Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10. Articolo 1: 5 luglio Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders

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1 Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/0 Articolo : 5 luglio 200 Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders Docente Vincenzo Auletta Note redatte da: Filomena Carnevale Abstract L asta al secondo prezzo (Generalized Second Price Auction) e le sue varianti è stata il principale meccanismo utilizzato dalle aziende di ricerca per mettere all asta le posizioni per i link di ricerca sponsorizzati. In questo lavoro studieremo il benessere sociale degli equilibri di Nash di questo gioco. È noto che esiste un equilibrio di Nash socialmente ottimo, e non è difficile vedere che nel caso generale, ci sono anche equilibri molto cattivi: il divario tra un equilibrio di Nash e l ottimo sociale può essere arbitrariamente grande. In particolare, considereremo il caso in cui gli offerenti (bidders) sono conservatori, nel senso che non fanno una offerta superiore rispetto alle loro valutazioni proprie, e mostreremo che, per gli offerenti conservatori il peggior equilibrio di Nash e l ottimo sociale sono all interno di un fattore del rapporto aureo,.68. Introduzione Uno dei mezzi più visibile con il quale Internet ha interrotto l attività tradizionale è il modo in cui viene venduta la pubblicità. Offline, il prezzo per la pubblicità è in genere impostato mediante negoziazione o al prezzo pubblicato. Online, invece, molta pubblicità viene venduta tramite asta. I motori di ricerca di maggior rilievo sono Google e Yahoo! Lo spazio dedicato all asta, accanto ai risultati di ricerca, costituisce una pratica nota come ricerca sponsorizzata. Generalmente, le aste sponsorizzate vengono eseguite per ogni parola chiave e le offerte vengono espresse in termini di disponibilità a pagare per ogni clic. Iniziamo considerando il semplice modello in cui la percentuale di clic (click-through-rate) dipende solo dallo slot, cioè, il click-through-rare per un offerente che viene assegnato allo slot i è. Alla fine della sezione estenderemo i risultati ottenuti al modello con click-through-rate separable in cui se l inserzionista j ottiene lo slot i, allora il click-through-rate sarà γ j, dove γ j è un certo fattore di qualità attribuito all inserzionista. Senza perdere di generalità, consideriamo un asta con n inserzionisti e n slot. Lo possiamo fare perché se ci sono più slot che inserzionisti, allora i rimanenti slot restano non allocati e se ci sono più inserzionisti che slot, allora possiamo immaginare di avere ulteriori slot con click-through-rate pari a zero. Indichiamo con v i la valutazione dell inserzionista i, e con α j il click-through-rate dello slot j. Supponiamo che gli inserzionisti e gli slot siano ordinati in modo tale che v v 2... v n e α α 2... α n, allora il meccanismo é articolato in quattro passi:. ogni inserzionista sottomette la propria offerta, b i 0; 2. gli inserzionisti sono ordinati in base alle offere;

2 2 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 3. lo slot piú alto é assegnato all inserzionista con l offerta piú alta, il secondo slot é assegnato all inserzionista con la seconda offerta piú alta, e cosí via; 4. l inserzionista che occupa lo slot i paga l offerta fatta dall inserzionista che occupa lo slot i +, l inserzionista che occupa l ultimo slot paga 0. L asta al secondo prezzo (GSP) è una semplice generalizzazione dell asta di Vickrey per un singolo elemento. L asta di Vickrey per un singolo elemento e la sua generalizzazione, il meccanismo VCG, rendono il comportamento truthful una strategia dominante, e l outcome risultante massimizza il benessere sociale. La GSP, come abbiamo detto, è una generalizzazione dell asta di Vickrey, ma non è né truthful, né massimizza il benessere sociale. Essa, infatti, non ha un equilibrio in strategie dominanti e, in generale, il comportamento truthful non è una strategia in equilibrio. Vediamolo con un esempio. Esempio. Consideriamo un asta in cui ci sono 3 inserzionisti, e 2 slot. Siano v = 0, v 2 = 4 e v 3 = 2 i valori che attribuiscono, rispettivamente, a ciascun click. Supponiamo che i clickthrough-rate degli slot siano α = 200 e α 2 = 99. Se ciascun giocatore dichiara la propria vera valutazione, cioé le offerte sono b = 0, b 2 = 4, e b 3 = 2, allora il primo giocatore ottiene il primo slot e il secondo ottiene il secondo slot. In questo caso, il payoff del primo giocatore sarà α (v b 2 ) = 200(0 4) = 200. Se, invece, il primo giocatore dichiara una offerta più bassa (mentendo) piò guadagnarci: supponiamo che le offerte adesso siano b = 3, b 2 = 4, e b 3 = 2, allora il primo giocatore ottiene il secondo slot e il secondo ottiene il primo slot. In questo caso, il payoff del primo giocatore sarà α 2 (v b 3 ) = 99(0 2) = 592, che è maggiore di 200. Sia S n l insieme delle permutazioni di n elementi, allora possiamo caratterizzare l assegnazione degli inserzionisti agli slot utilizzando una permutazione π tale che π(i) rappresenta l inserzionista che occupa lo slot i, cioè, l inserzionista con la i-esima offerta più alta. Definizione. L utilità di un utente i che occupa lo slot j è u i = α j (v i b π(j+) ). Definizione. Dato un insieme di offerte b = {b, b 2,..., b n }, tale insieme costituisce un equilibrio di Nash se nessun inserzionista può aumentare la propria utilità cambiando la propria offerta. Quindi, diciamo che b è un equilibrio di Nash se valgono le seguenti equazioni: b π() b π(2)... b π(n) dove π è la permutazione definita da b. (v π(i) b π(i+) ) α j (v π(i) b π(j) ), j < i () (v π(i) b π(i+) ) α j (v π(i) b π(j+) ), j > i Definizione. Diciamo che π è una feasible permutation per α e v se esiste un vettore di offerte b che genera π ed è un equilibrio di Nash. La qualità totale di un equilibrio di Nash la possiamo misurare attraverso il social welfare, che è definito come j α jv π(j).

3 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 3 Il benessere sociale ottimo si ottiene, naturalmente, quando π è la permutazione identità. Esiste sempre un equilibrio di Nash per cui il benessere sociale è quello ottimo. Tuttavia, non tutti gli equilibri di Nash sono ottimi. Pertanto, siamo interessati a quantificare il price of anarchy di tale gioco, che è dato dal massimo, su tutte le permutazioni che definiscono un equilibrio di Nash, di j α jv j j α. jv π(j) 2 Conservative Bidders Equilibria Diciamo che un inserzionista i è γ-conservative se b i γ v i. Quindi, gli inserzionisti generici sono 0-conservativi. Gli inserzionisti -conservativi sono detti, semplicemente, conservativi. Definizione Dati i parametri α e v, b è un conservative bidder equilibrium se è un equilibrio di Nash e b i v i, i. Teorema Per 2 slot, se tutti gli inserzionisti sono γ-conservativi, allora il price of anarchy è limitato da + γr( r) γ + r( γ) dove r = α 2 α. Dimostrazione. Possiamo supporre, senza perdere di generalità, che α =, α 2 = r, e α v + α 2 v 2 =, in quanto quello che vogliamo provare è invariante rispetto al ridimensionamento di α a v. In qualunque equilibrio di Nash non ottimo risulta b b 2 e dalla condizione di Nash () abbiamo: (v π(i) b π(i+) ) α j (v π(i) b π(j) ), j < i α 2 (v 0) α (v b 2 ), r(v 0) (v b 2 ) e, dalla condizione conservativa, abbiamo b 2 γ v 2. Quindi, sostituendo v = γv 2 e combinando le due equazioni in modo da eliminare il termine b 2, otteniamo: r( rv 2 ) rv 2 b 2 r r 2 v 2 rv 2 b 2 r + b 2 r 2 v 2 rv 2 r + b 2 rv 2 (r ) r + b 2 rv 2 (r ) b 2 r rv 2 (r ) b 2 γ rγ γ rv 2 (r )γ

4 4 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders quindi, da b 2 γ rγ γ rv 2 (r )γ e da b 2 γ v 2 otteniamo 0 v 2 + rγ γ rv 2 (r )γ. Pertanto, abbiamo: v 2 rv 2 (r )γ γ rγ v 2 ( r(r )γ) γ( r) v 2 γ( r) r(r )γ r v 2 γ r(r ) (2) Inoltre, il benessere sociale in qualunque equilibrio di Nash non ottimo è: α v 2 + α 2 v = v 2 + r( rv 2 ) + r( r)γ γ + r( γ) Pertanto, abbiamo: i v i i v π(i) γ + r( γ) + rγ( r) v π(i) i + γr( r) γ + r( γ) v i i e, quindi, il price of anarchy è limitato da: + γr( r) γ + r( γ) Teorema 2 Dati v, α e una feasible permutation π, se i < j e π(i) > π(j), allora e, in particolare, α j 2 oppure v π(i) v π(j) 2. α j + v π(i) v π(j) (3) Dimostrazione. Poichè si tratta di un equilibrio di Nash, l offerente nello slot j è soddisfatto delle proprie condizioni e non vuole aumentare la propria offerta per aggiudicarsi lo slot i,

5 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 5 pertanto α j (v π(j) b π(j+) ) (v π(j) b π(i) ) α j v π(j) α j b π(j+) v π(j) b π(i) α j v π(j) + b π(i) v π(j) + α j b π(j+) α j v π(j) + b π(i) v π(j), poiché α j b π(j+) 0 α j v π(j) + b π(i) v π(j) α j + b π(i) v π(j) v π(j) v π(j) α j + v π(i) v π(j) poiché b π(i) v π(i), completando la dimostrazione. Definizione. Dati i parametri α e v, diciamo che una permutazione π è weakly feasible se l equazione (3) è verificata per ogni i < j, π(i) > π(j). Pertanto, dal teorema sappiamo che: Corollario. Dati α e v, qualunque permutazione che corrisponde ad un equilibrio di Nash con conservative bids è weakly feasible. I risultati principali di questo articolo seguono dall analisi del price of anarchy su tutte le permutazioni π weakly feasible. Prima di procedere con il caso principale, vediamo i risultati precedentemente raggiunti nel caso di conservative bids: Teorema 3 Se + price of anarchy è limitato da δ, cioè δ >, per ogni i, e se π è una permutazione weakly feasible, allora il v π(i) ( δ ) i i Dimostrazione. Se π i > i, allora esiste qualche j > i tale che π j i (dal principio della piccionaia, poichè esistono solo i slot con indice < i, allora almeno uno dei primi i offerenti dovrà occupare uno slot dopo i). Così, poiché π(j) i < π(i) e j > i possiamo applicare la nostra relazione: v i v π(i) ( α j )v π(j) ( α j )v i ( δ )v i

6 6 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders dove la prima disuguaglianza è quella del teorema 2. Quindi, il teorema segue direttamente: v π(i) = v π(i) + v π(i) i π(i) i π(i)>i v i + v i ( δ ) π(i) i π(i)>i ( δ ) i v i Adesso, presentiamo il bound sul price of anarchy per le permutazioni weakly feasible, e quindi per GSP per conservative bidders. I risultati principali consistono nel fatto che il price of anarchy è limitato da.68. Innanzitutto, proviamo che è limitato da 2, poiché la prova è semplice e cattura le idee principali. Proviamo questo bound per le permutazioni weakly feasible. Dalla prova, tuttavia, potrà automaticamente essere dedotto ad un bound per le permutazioni feasible. Teorema 4 Per i conservative bidders, il price of anarchy per GSP è limitato da un fattore pari a 2. Dimostrazione. Proveremo, per induzione su n che tutte le permutazioni weakly feasible risultano in un benessere sociale che è, al massimo, minore del massimo valore possibile per un fattore pari a 2. Per 2 inserzionisti e 2 slot sappiamo che il peggior social welfare possibile per una permutazione weakly feasible è al massimo una frazione di.25 dellõottimo. Questo risultato lo otteniamo direttamente dal Teorema, considerando il fatto che per i conservative bidders γ =, quindi: + γr( r) γ + r( γ) = + r( r) + r( ) = + r( r) + r( ) = + r( r) che è una funzione quadratica con valore massimo in.25. Quindi, dobbiamo provare il passo induttivo. Consideriamo i parametri v, α e una permutazione π weakly feasible. Sia i = π () lo slot occupato dall inserzionista con valore più alto, e j = π() l inserzionista che occupa il primo slot (come illustrato nella Figura ). Se i = j = allora possiamo applicare l ipotesi induttiva subito. Altrimenti, l equazione (3) ci dice che: oppure v j v 2. α 2

7 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 7 Figure : Allocazione degli slot nelle prove dei Teoremi 4 e 5. (a) Supponiamo che α 2 e consideriamo l input senza lo slot i e l inserzionista. Tale input ha n slot e n inserzionisti, e la permutazione π ristretta a tale input continua ad essere weakly feasible, quindi, per ipotesi induttiva, risulta: α k v π(k) 2 (α v v i + + v i α n v n ) k i 2 (α 2v v i + + v i α n v n ) quindi, k i α k v π(k) = v + k i α k v π(k) 2 α v + 2 k> (b) Se, invece, v j v dall input. 2, dobbiamo fare la stessa cosa, eliminando lo slot e l inserzionista j Adesso, quindi, proviamo il risultato più stretto. Teorema 5 Per gli offerenti conservativi, il price of anarchy è limitato da Dimostrazione. Come prima, proveremo tale risultato per tutte le permutazioni weakly feasible. Definiamo una sequenza di valori r k in modo tale da poter provare che per k slot il benessere sociale è almeno una frazione r k dell ottimo, e proviamo che r k converge a

8 8 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders Sia r 2 =.25 e supponiamo di avere r 2, r 3,..., r n. Consideriamo i parametri α, v, e una permutazione weakly feasible π. Assumiamo che i = π () e j = π(). Se i = j =, allora è ovvio che il price of anarchy è limitato da r n. Altrimenti supponiamo, senza perdere di generalità, che i j: poiché l equazione (3) è simmetrica rispetto a α e v, possiamo scambiare i rispettivi ruoli nella prova per i > j. Sia β = α e γ = v v j, sappiamo che β + γ. Seguendo, quindi, il discorso nella prova dell ultimo teorema, abbiamo: α k v π(k) = v + α k v π(k) k i k β α v + ( i α k v k + r n k=2 n k=i+ ) β α v + [ i k α k )v k + r n k=2(α ] k> β α v + (α )v i + r n r n Adesso, possiamo utilizzare il fatto che i j per affermare che v i v j = γ v ( β )v e, quindi: α k v π(k) k [ β + ( ) 2 ] α v + r n β k> r n k> Quindi, vorremmo trovare qualche valore r n tale che, β α k v π(k) r n k k in modo tale da ottenere { min, r n r n β + ( ) 2 } r n β per qualche β. Notiamo, però, che qualche altro limite che possiamo ottenere è:

9 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 9 α k v π(k) γ α v + r n k k> ( ) α v + β r n k> seguendo l idea della prova del teorema precedente, ma rimuovendo le slot e l inserzionista j nel passo induttivo. Quindi, un altra alternativa consiste nell ottenere { min, } r n r n β per ogni β. Quindi, se possiamo avere che r n finito. Cioé: è limitato dal massimo di queste due quantità, abbiamo { [ { r n max r n, max β, β + ( ) 2 }] } r n β per ogni β. Adesso, dobbiamo trovare per quale valore di β (0, ] l espressione { max β, β + ( ) 2 } r n β assume il valore minimo. Tale valore minimo può essere in due punti: il minimo della funzione quadratica, oppure l intersezione tra queste due funzioni. Tali funzioni si intersecano in β = r + + r 2 r (dove r sta per r n e il minimo quadratico si ottiene in 2r. Quindi, per r 4 3, il minimo si ottiene nell intersezione e per r < 4 3, il minimo si ottiene nel minimo della funzione quadratica. Quindi: ( ) r n 4, r n < 4 3 r n = ( r n rn n ) 2 r, r n 4 3

10 0 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders Figure 2: La sequenza di valori r k è un upper bound al price of anarchy per k slot. Questo ci permette di definire r k ricorsivamente da r 2 =.25 in modo tale che r k converge monotonicamente ad un punto fisso di tale funzione che è ϕ = (+ 5) 2.68, come illustrato nella Figura 2. Ciò avviene perché la funzione che mappa r n in r n è non-decrescente ed ha un punto fisso in ϕ, quindi, se r n ϕ allora r n ϕ. Il seguente teorema, inoltre, mostra come può essere facile lavorare con questa nuova formulazione. Teorema 6 Il peggior price of anarchy possibile su tutti i possibili parametri n, α, v e tutte le permutazioni π weakly feasible si ottiene quando π è un semplice ciclo, cioé, esiste {x,..., x n } = {,..., n} tale che π(x i ) = x i+ per i < n e π(x n ) = x. Dimostrazione. Se π è weakly feasible, ma non è un semplice ciclo, allora possiamo decomporre tale permutazione come il prodotto di due permutazioni disgiunte π = π π 2 con supporti N e N 2, rispettivamente. Ció significa che π i agisce sugli offerenti e sugli slot con indici in N i. Quindi, abbiamo:

11 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders k α kv π(k) k N k α = α k v π(k) + k N 2 α k v π(k) kv k k N + k N 2 { } k N max α k v π(k) k N, 2 α k v π(k) k N k N 2 e π i è weakly feasible su N i (cioè l input ristretto agli slot con indice in N i e agli inserzionisti con indice in N i ). 3 Estensione al separable click-through-rate Finora, abbiamo considerato il caso in cui il click-through-rate dell inserzionista i assegnato allo slot j dipende solo dallo slot in cui si trova. Un modello più generale, detto separable click-through-rate assume, invece, che il tasso di click dipenda da un prodotto di due fattori: uno dipendente dall inserzionista, l altro dallo slot. Diciamo che se l inserzionista i è assegnato allo slot j, allora otterrà un click-through-rate pari a γ i α j, dove γ i è un certo fattore di qualità attribuito all inserzionista. La generalizzazione dell asta al secondo prezzo per questo modello ordina gli inserzionisti in base al prodotto γ i α j e richiede agli inserzionisti di pagare la minima offerta per conservare la posizione. Per esempio, se π è la permutazione definita dall ordinamento per γ i α j, allora l inserzionista π(i) dovrà pagare: b π(j+) γ π(j+) γ π(j) quindi, l utilità del giocatore i, se assegnato allo slot j, sarà: ( u i = γ i α j v i b ) π(j+)γ π(j+) γ i e il benessere sociale è dato da: α k γ π(k) v π(k) k Quindi, considerando che α... α n e che γ v... γ n v n, la definizione, in questo modello, di equilibrio di Nash, è simile a quella data nel modello non-separable. Teorema 7 Dati v, α, γ e una feasible permutation π nel modello separable click-through-rate, se i < j e π(i) > π(j), allora: α j + γ π(i)v π(i) γ π(j) v π(j) (4)

12 2 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders Dimostrazione. Poiché l inserzionista π(j) non può aumentare la propria utilità ottenendo lo slot i, abbiamo che: ( γ π(j) α j v π(j) b ) ( π(j+)γ π(j+) γ γ π(j) v π(j) b ) π(i)γ π(i) π(j) γ π(j) poiché b π(j+) 0 e b π(i) v π(i), abbiamo il risultato desiderato. Quindi, data quest ultimo teorema, seguono anche tutti gli altri risultati. Concludiamo la presentazione vedendo un esempio pratico in cui viene applicato il modello separable click-through-rate, ovvero vediamo il funzionamento della ricerca sponsorizzata di Google (AdWords). La ricerca sponsorizzata in Google. conciliare gli interessi di tre parti: Per riuscire a creare un asta efficiente, è necessario - gli inserzionisti, che desiderano pubblicare annunci pertinenti in modo che gli utenti facciano click su di essi: - gli utenti, che desiderano visualizzare annunci pertinenti e non vogliono essere disturbati da spam o altro materiale per loro non rilevante; - Google, infine, che vuole offrire un buon servizio sia agli inserzionisti che agli utenti. Ora che abbiamo capito gli interessi di ciascuno dei soggetti coinvolti nel processo, guardiamo in che modo le loro azioni vengono conciliate nell ambito dell asta. Di particolare importanza è il concetto di qualità dell annuncio. Che cos è il punteggio di qualità? Il punteggio di qualità è costituito da tre componenti. Tra questi, il più importante è di gran lunga la percentuale di click. Permettendo agli utenti di esprimere un voto mediante i loro click, Google consente a milioni di persone in tutto il mondo di decidere quali annunci sono più appropriati per ciascuna ricerca effettuata. La filosofia di Google si basa da sempre sul giudizio degli utenti che viene utilizzato come criterio fondamentale per prendere le decisioni. Utilizzando la percentuale di click e il punteggio di qualità come fattori decisivi dell asta, Google è riuscito a incorporare il giudizio degli utenti nel processo di pubblicazione degli annunci. La pertinenza è il secondo fattore più importante del punteggio di qualità, ossia la pertinenza della parola chiave rispetto tanto agli annunci quanto ai termini di ricerca utilizzati dagli utenti. Google determina la pertinenza analizzando la lingua e il contesto dell annuncio o della ricerca e il loro livello di correlazione rispetto a una parola chiave. Google utilizza la pertinenza per fare in modo che gli utenti visualizzino solamente annunci utili. In tal modo, impedisce di far pagare gli inserzionisti per una ricerca che non è correlata al proprio prodotto o servizio. La terza componente del punteggio di qualità è la qualità della pagina di destinazione. Un annuncio è utile per un utente solo se la pagina di destinazione alla quale esso rimanda lo aiuta a trovare le informazioni che sta cercando. Una pagina di destinazione di elevata qualità deve presentare contenuti originali e pertinenti, essere facilmente navigabile, avere tempi di caricamento rapidi e pop-up ridotti al minimo, nonché essere trasparente riguardo alla natura della propria attività, al modo in cui il sito interagisce con il computer di un visitatore e al modo in cui intende utilizzare i dati personali del visitatore.

13 Article : Sponsored Search Equilibrium for Conservative Bidders 3 In che modo, dunque, questo punteggio di qualità influisce sul funzionamento delle aste? Quello che fa Google è utilizzare un dato detto ranking dell annuncio e che si ottiene moltiplicando l offerta dell inserzionista per il livello di qualità dell annuncio. Esempio. Consideriamo un esempio di asta con 4 inserzionisti, con offerte rispettivamente di 4, 3, 2,, i cui annunci hanno un punteggio di qualità diverso. Siano i punteggi di qualità pari a, 3, 6, e 8, rispettivamente. Per determinare il ranking dell annuncio, basta dunque moltiplicare tra loro questi due valori. A questo punto basta classificare gli annunci in base al loro ranking. In questo caso, l annuncio con il risultato migliore è il numero 3, con valore 2, il secondo è il numero 2, con valore 9, il terzo è il numero 4, con valore 8. Gli inserzionisti che offrono 4 hanno un punteggio di qualità così basso che il loro annuncio non viene nemmeno pubblicato. Adesso, sappiamo in che modo funziona il ranking degli annunci. Ma quanto paghiamo effettivamente per un click? Pensiamo all inserzionista in posizione : è in competizione con l inserzionista in posizione 2, pertanto l importo che deve pagare è determinato dal suo punteggio di qualità e dal ranking dell annuncio in seconda posizione. In particolare, il prezzo che dovrà pagare l inserzionista sarà dato dal rapporto tra il ranking dell annuncio in seconda posizione ed il punteggio di qualità dell inserzionista. Esempio 2. Per mettere in luce un aspetto importante, vediamo un altro esempio, in cui ci sono 3 inserzionisti, e ciascuno di essi offre lo stesso prezzo. Supponiamo che l offerta massima sia pari a 4, e che i punteggi di qualità siano diversi e, in particolare, siano pari a 8, 6 e 3. Il ranking dell annuncio viene calcolato dunque moltiplicando l offerta per il punteggio di qualità. Il risultato è rispettivamente un ranking di 32, 24, e 2. In questo caso, pertanto, il prezzo sarà determinato dal ranking dell annuncio dell inserzionista che si trova immediatamente al di sotto, diviso per il punteggio di qualità dell inserzionista in questione. Quindi, in questo particolare esempio, il prezzo per l inserzionista sarà 24 diviso per 8 e, quindi, 3. Per il secondo inserzionista, sarà invece 2 diviso per 6 e, quindi, 2. Infine, nel caso dell ultimo inserzionista, poiché non esiste alcun inserzionista immediatamente al di sotto, quindi, il prezzo che dovrà pagare sarà il prezzo minimo determinato dall asta. Tale esempio sottolinea il fatto che, aumentando semplicemente il punteggio di qualità, è possibile ridurre il prezzo da pagare per ogni clic e, quindi, il punteggio di qualità può essere determinante.