Gestione Industriale della Qualità

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1 Appunti del corso di Gestione Industriale della Qualità Ing. Toni Lupo A.A. 010/011 1

2 Sommario 1.1 Diagramma di Pareto ed istogramma 7 1. Diagramma ramo foglia Diagrammi a scatola (e baffi) Diagrammi causa effetto Test sulle varianze e sulle medie Test di Bartlett 0.1 Carte di controllo di Shewhart 6. Test sulle sequenze in dati random Metodo grafico Metodo analitico Intervallo di confidenza di Cp Test delle ipotesi su Cp Utilizzazione delle carte di controllo Carta R Carta s Carte di controllo per distribuzioni non normali Indici di capacità Distribuzione nota Limiti del set up Errore più probabile del set up Analisi di capacità per piccoli lotti Generalità Carte per misure individuali Carte di controllo di gruppo Carte di controllo di accettazione La caratteristica operativa di una carta Carte CUSUM: generalità e progettazione esatta Progettazione approssimata delle carte CUSUM Carte per il controllo della frazione o percentuale di elementi non conformi o difettosi: carte p Caratteristica operativa di una carta p. 93

3 11.3 Frequenza di campionamento e numerosità dei campioni durante il controllo Carte p per dimensioni variabili dei campioni Carte di controllo per il numero di difettosi o non conformi: carte n p Carte di controllo per il numero di non conformità: carte c Carte per il numero di difettosità per unità di prodotto: carte u Carte per attributi per il numero totale di non conformità: carte per demeriti Carte CUSUM per la frazione di difettosi Carta x Carta R Carta p Carta s Carta di Wang Certificazione degli operatori: analisi delle medie Incertezza delle misure Valutazione dell incertezza di una misura Stima dell idoneità del sistema di misura Utilizzazione del Range 10 3

4 Carte di controllo di Shewhart Introduzione La variabilità è insita in ogni processo. Le dimensioni di due pezzi lavorati consecutivamente su una stessa macchina utensile sono diverse; due apparecchiature fabbricate sotto identiche specifiche hanno tempi di guasto diversi. Supponiamo di avere un semplice processo produttivo, per esempio una lavorazione al tornio, e che la caratteristica che interessa sia il diametro del pezzo. Le cause o fattori di variazione del diametro possono essere classificate seguendo diversi criteri e precisamente: - In base al loro contributo alla variabilità della caratteristica. Con tale classificazione le cause che hanno maggiore effetto sulla caratteristica prendono il nome di cause "speciali" (o fattori identificabili) e le altre cause "comuni". - In termini del tipo di influenza che hanno sulla caratteristica. Alcuni fattori modificano il valore medio, e quindi possono essere utilizzati per riportare il processo al valore nominale, altri influenzano la variabilità ed altri ancora ambedue. - Una terza classificazione riguarda la loro controllabilità. Alcuni parametri del processo (utensili, tipo di materiale grezzo, manodopera) sono fattori controllabili, mentre altri (umidità e temperatura atmosferiche, variazioni nell usura dell utensile, variabilità delle caratteristiche del grezzo, vibrazioni della macchina, etc.) non lo sono (o, almeno, potrebbero non essere economicamente controllabili) e prendono il nome di disturbi. Possiamo definire la qualità di un prodotto in termini delle deviazioni della caratteristica, nel nostro caso la dimensione del diametro, dal valore nominale; la qualità sarà tanto più elevata quanto più piccole sono tali deviazioni. I motivi di una tale definizione sono evidenti quando si rifletta che minori scostamenti dal valore nominale significano minori scarti e rilavorazioni, maggiore facilità di montaggio, minore necessità di collaudi, etc. Per ottenere, quindi, un prodotto di qualità occorre fare in modo che la variabilità del diametro dal valore nominale sia il più possibile ridotta. Una delle vie per ottenere ciò è quella di individuare i fattori che provocano la variabilità, almeno i più importanti e cioè quelli "identificabili" o "cause speciali", e tenerli sotto controllo. L insieme delle operazioni di monitoraggio dello stato del sistema, l individuazione dei fattori identificabili ed il loro controllo, la riduzione sistematica della variabilità (miglioramento continuo), sono lo scopo del controllo statistico di processo. Noi diremo che un processo è in controllo statistico se tutte le cause identificabili non influenzano la caratteristica. Evidentemente anche in tali condizioni la caratteristica ha una variabilità (perché altri fattori, le cause comuni, sono ancora attive ed incontrollate). Supponiamo di esaminare la dimensione del diametro del pezzo tornito; se tutte le cause speciali sono ininfluenti e sono attive solo le cause comuni, ciascuna delle quali contribuisce poco alla variabilità del diametro, allora è molto probabile che un modello normale N(0, σ ), con media zero e varianza σ spieghi le differenze tra valore del diametro e valore nominale. In tali condizioni diremo che il processo è in controllo (statistico) se, eseguendo un certo numero di controlli (misure del diametro) i dati non indicano "chiaramente" che la 4

5 Carte di controllo di Shewhart distribuzione degli scarti delle misure dal valore nominale si è discostata da una distribuzione normale N(0, σ ). Quanto "chiaramente" i dati debbono indicare che il modello assunto non è più valido dipende dalle conseguenze, generalmente economiche, di ritenere il processo fuori controllo quando lo è o, viceversa, dal ritenerlo in controllo quando invece non lo è (rischi di prima e di seconda specie). I passi che pertanto si seguono nel SPC sono: - studio del processo; - identificazione delle cause speciali e controllo dei loro effetti; - identificazione del modello; - verifica dello stato di controllo. Se il processo è in controllo (ed è idoneo, ma di questo parleremo nel seguito) e si mantiene tale per un sufficiente periodo, si potrebbe ritenere di poter sospendere ogni azione di controllo che, generalmente, costa. Ciò non è possibile per una serie di motivi. Un processo che mantiene lo stato di controllo è detto stazionario; ma nella realtà non esistono processi stazionari. Ogni processo abbandonato e se stesso tende a raggiungere il massimo di entropia (disordine) e, quindi ad aumentare la variabilità. Le macchine si usurano, mentre le persone dimenticano e lentamente finiscono col non applicare più le procedure. Se qualcosa può andare male, lo farà (legge di Murphy). La qualità richiesta è oggi sempre più elevata e quindi è necessario operare costantemente in tale direzione. Poiché le tecniche di controllo producono informazioni, queste possono essere utilizzate per migliorare il processo e quindi minimizzare le variazioni. Ciò consente, anche in una visione puramente utilitaristica, di utilizzare non solo le mani, ma anche il cervello del personale disponibile. Il giudizio sullo stato di controllo è basato sulla individuazione dei fattori identificabili e sul controllo dei loro effetti. Tuttavia la suddivisione tra cause identificabili e cause comuni è stata basata sull entità degli effetti che queste producono sulla caratteristica. Si osserva, però, che dire che una causa è identificabile a seconda che provoca effetti elevati o bassi è piuttosto vago e non soddisfa certamente un ingegnere che è abituato a quantificare. La variazione di una dimensione di un micron è elevata o bassa? Se stiamo eseguendo una operazione di tornitura è molto bassa, se stiamo operando nel campo della nano tecnologia è molto elevata. Se il nostro processo è quindi una tornitura non siamo interessati a correggere una tale variazione, nella nano tecnologia sì. È, quindi, necessario definire in modo più preciso le cause identificabili e comuni. Diremo che una causa di variazione appartiene alla categoria delle "cause identificabili" se la sua identificazione, e successivo controllo, possono essere eseguiti in modo che, globalmente, gli effetti economici sono positivi. Con una tale definizione la caccia ai fattori identificabili, ed alla riduzione dei loro effetti, è sempre aperta. Si è detto che una volta identificato un fattore si cerca di ridurne gli effetti sul processo. Le vie da seguire per raggiungere lo scopo sono due. La prima è quella di controllare il fattore. Se, per esempio, abbiamo rilevato che le variazioni di durezza del grezzo inducono variazioni nel diametro, controllando la durezza riduciamo la variabilità. Un tale metodo per ridurre la variabilità non sempre è possibile e potrebbero essercene altri più convenienti economicamente. Supponiamo, per esempio, di essere in un impianto che si estende su un area di alcune migliaia di m e che abbiamo rilevato che le condizioni atmosferiche influenzano significativamente il processo (in modo tale, cioè, che siamo costretti ad eseguire interventi correttivi costosi per fare in modo che il prodotto rispetti 5

6 Carte di controllo di Shewhart le specifiche). In tali condizioni, essendo impensabile di controllare le condizioni climatiche, l unica alternativa di controllo è quella di trasferirsi in un altro sito con condizioni climatiche, per esempio, più stabili. Se non vogliamo, o possiamo, controllare in tal modo il fattore, possiamo ricorrere, se ciò è possibile, ad un altro metodo ed in particolare non più cercare di controllare il fattore, ma fare in modo che i suoi effetti, sulla caratteristica cui siamo interessati, siano eliminati o almeno ridotti; si rende cioè il processo insensibile al fattore. Una tale tecnica di controllo degli effetti del fattore è indicata con il termine di "progettazione robusta" del processo. Nel seguito, comunque, non ci interesseremo né della progettazione robusta (del processo, ma tale tecnica può anche applicarsi al prodotto) né delle tecniche di controllo dei fattori. Ciò che ci proponiamo è di illustrare, in maniera che si spera semplice, le principali e più utilizzate tecniche del SPC di un processo produttivo illustrandole con riferimento ad esempi applicativi. Si prevede che siano già note, da un precedente corso, le tecniche di analisi statistica e ne vengono richiamate solo alcune che hanno più ampia utilizzazione nel SPC e che si rendessero necessarie per proseguire nell indagine. Negli esempi sviluppati spesso l aver eseguito un campionamento senza aver ben studiato le cause di variazione ha portato alla necessità di dover eseguire nuovi campionamenti (sono spesso più esempi di ciò che non si dovrebbe fare che di ciò che si deve fare). La via seguita è sembrata, didatticamente, la più opportuna; spesso si è rilevato che gli studenti sono a conoscenza delle tecniche di analisi statistica dei dati, ma meno nella programmazione degli esperimenti e quindi nel determinare "quali" e "quanti" dati raccogliere. Del resto quella di fare prima gli esperimenti e solo dopo cercare di analizzarli per ottenere le informazioni desiderate, è pratica errata ma ampiamente diffusa. 6

7 Carte di controllo di Shewhart Capitolo 1: Analisi e presentazione dei Dati Ad un processo produttivo si richiede di dare un prodotto conforme alle specifiche. Ciò, generalmente, non avviene spontaneamente, ma è la conseguenza di una continua opera di controllo e regolazione. Ogni processo ha una sua variabilità intrinseca dovuta ad innumerevoli cause; l individuazione, il controllo e la riduzione di tali cause di variazione è lo scopo del "Controllo di Processo". Generalmente per gli scopi che il controllo di processo si prefigge è necessario procedere al prelievo ed all analisi di campioni del prodotto e alla misura di parametri del processo (temperature, pressioni, portate, composizioni, ph, posizionamenti, etc.) e cioè occorre procedere alla raccolta di dati che saranno quindi analizzati per ottenere le necessarie informazioni sul processo. Occorre preliminarmente dare risposte ai seguenti quesiti e cioè: - quali e quanti dati, - come analizzarli. Le risposte sembrano ovvie. Poiché stiamo raccogliendo dati per ottenere risposte ai quesiti che ci siamo posti, il tipo di dati da raccogliere deve darci le informazioni necessarie. Ogni altro dato, inoltre, anche se facilmente acquisibile, non serve e quindi fa solo sprecare tempo e risorse. Le informazioni che ci aspettiamo di ottenere dai dati saranno la base delle nostre future azioni; è quindi necessario che queste abbiano un ridotto margine di errore. Infine per quanto riguarda il come analizzare i dati la risposta ovvia è che dobbiamo utilizzare quelle tecniche che consentano di estrarre il massimo di informazione e ridurre quindi il margine di errore delle nostre conclusioni. Occorre precisare che i passi sulla conduzione dell indagine, prima esposti, rappresentano la successione temporale dell indagine, ma in effetti poiché ci serviremo delle tecniche statistiche, e tra queste sceglieremo le più potenti, la quantità di dati necessaria è determinata dalla precisione delle risposte e quindi dalla procedura statistica che sarà utilizzata (Progettazione degli Esperimenti). Generalmente il primo passo è quello di esaminare il prodotto finito per il quale, ovviamente, sono previste delle specifiche (dimensioni, aspetto, difetti, colore, etc.). Per evitare di restare nel vago, le tecniche di analisi, che verranno illustrate, lo saranno attraverso l applicazione ad un ipotetico caso che si può verificare in produzione. 1.1 Diagramma di Pareto ed istogramma Supponiamo, quindi, che, in una industria meccanica, la produzione di un particolare dia una qualità poco soddisfacente e cioè che il numero di pezzi difettosi è eccessivamente elevato. Si tratti, in particolare, di un pezzo il cui schizzo è mostrato in Fig

8 Carte di controllo di Shewhart D L Fig. 1-1 Le caratteristiche che interessano sono: Diametro: D = 50 ± 0.1 mm Lunghezza: L = 100 ± 0. mm Rugosità: Ra = μ Il pezzo è prodotto su due torni a CN ed il grezzo è costituito da un pezzo stampato. Una prima indagine è relativa alle cause di difettosità. Da una tale indagine risulta che su 450 pezzi scartati 70 lo sono stati perché il diametro era fuori tolleranza, 11 perché lo era la lunghezza, 45 a causa di una eccessiva rugosità e altri 3 per cause diverse Diam. Lungh. Rugos. Altro Fig. 1- Tali dati sono riportati in un diagramma (Fig. 1-) in cui sull asse delle ascisse si riporta la caratteristica della classe (il motivo della difettosità) e su quello delle ordinate la numerosità della classe o la frazione. Le classi sono riportate in ordine decrescente di numerosità. Il grafico ottenuto prende il nome di diagramma di Pareto. Il diagramma mostra sempre che il maggior numero di cause di non conformità sono dovute ad un numero limitato di fattori e quindi permette di mettere in evidenza la cause vitali di non conformità. È poco efficiente occuparsi contemporaneamente di tutte le cause di difettosità, pertanto si concentrano le risorse disponibili (uomini e mezzi) per la soluzione di un unico problema. Il diagramma di Pareto indica che il problema prioritario è quello degli scarti dovuti alla mancanza di conformità alle specifiche del diametro. (Poiché le motivazioni delle nostre azioni sono economiche, nel diagramma si riporta non il numero di difetti, ma i costi relativi; nel caso in esame si sta supponendo che tutti i tipi di difetti comportino lo stesso 8

9 Carte di controllo di Shewhart costo). Infatti, se riusciamo a migliorare la produzione riducendo, per esempio, del 50% tale frazione di pezzi difettosi, riduciamo la difettosità totale del 135/ = 33.75%. Se invece ci preoccupassimo di ridurre la difettosità provocata dalla rugosità, anche se riuscissimo ad eliminare completamente tale causa, in totale avremmo un miglioramento pari al 45/ = 10%. Tale decisione è presa prescindendo dalle difficoltà, incognite, che incontreremo nella soluzione del problema. Per iniziare l indagine occorrono informazioni più dettagliate sul tipo di difettosità e pertanto preleviamo un campione della produzione ed eseguiamo il collaudo della grandezza da studiare. Per una prima analisi i dati verranno riportati su un grafico per un esame visivo; il grafico più opportuno è l istogramma che ci permette di osservare come le misure si distribuiscono ed in che relazione stanno con le specifiche. xm xm Tab. 1-1 A tale scopo individuiamo il valore più grande ed il più piccolo dei dati raccolti (il Range dei dati) e, fissato un numero di classi k, determiniamo l ampiezza di ogni classe dividendo il Range per il numero delle classi. La scelta del numero delle classi è importante perchè al se troppo elevato o molto basso, rispetto al numero dei dati, non si ottengono informazioni significative; generalmente tale numero si sceglie pari a n oppure utilizzando la regola k=1+3.3 Log(n). Utilizzando la prima regola è k=10 Spesso per semplicità si preferisce sottrarre da tutte le misure una quantità costante che può essere la moda, il valore nominale o una qualunque altra dimensione. Nel nostro caso abbiamo sottratto da tutte le misure 45 mm. I risultati delle misure siano quelli riportati nella precedente Tab Nelle ultime due colonne sono riportati i valori minimo xm e massimo xm di ogni riga. La differenza tra il valore massimo della colonna xm (=5.19) ed il minimo della colonna xm (=4.9) dà il Range del campione. Dividendo ora il Range per k (=10) otteniamo l ampiezza di ogni classe h. Con i dati della tabella si ha: h = R/k = ( )/10=0.07 Per comodità è opportuno che h abbia una cifra significativa in più delle misure; in tal modo non ci saranno incertezze nella classificazione dei dati. (Se ciò non è possibile allora qualche dato coinciderà con il limite superiore di una classe e con quello inferiore di quella 9

10 Carte di controllo di Shewhart successiva; il dato va assegnato alla prima classe). L ampiezza delle classi è quindi 0.07 ed i conseguenza i limiti superiori delle classi saranno: I classe 4.9+h=4.947 II classe 4.9+h= X classe h = Centro classe Limiti classi // / ///// ///// / ///// ///// ///// ///// // ///// ///// ///// ///// // ///// ///// ///// //// ///// /// ///// ///// /// // Fig. 1-3 tot. 100 Il limite superiore calcolato dell ultima classe, per problemi di arrotondamento, non sempre coincide con il valore massimo misurato; porremo sempre il limite superiore dell ultima classe pari al massimo valore misurato. Siamo allora in condizione di costruire una tabella delle frequenze che, per i dati esaminati, è riportata in Fig Nella tabella nella prima colonna è riportato il valore centrale della classe e nella seconda i limiti della classe. Per costruire il diagramma delle frequenze basta, per ogni valore, aggiungere una barretta alla classe che lo contiene (talvolta la quinta barretta è posta trasversalmente sulle prime quattro per comodità di conteggio). È sempre opportuno verificare che il numero dei dati riportati sia pari al totale disponibile perché gli errori sono molto frequenti. Si riporta quindi centro classe e frequenza in un diagramma a barre (istogramma) mostrato in Fig In tale figura sono anche riportati il valore nominale ed i due limiti di tolleranza. 10

11 Carte di controllo di Shewhart 5 Xmed 0 15 LIT LST Fig. 1-4 Da essa possiamo trarre le seguenti conclusioni: - le misure non sono centrate rispetto al campo di tolleranza, - non esistono pezzi con dimensioni inferiori al limite inferiore di tolleranza, - tutti i pezzi difettosi sono tali perché le dimensioni sono superiori al limite superiore di tolleranza, - non si rilevano punti isolati, - la dispersione dei dati è troppo elevata per la tolleranza richiesta, - sembra che la distribuzione sia distorta. L esame della figura indica quindi che per ridurre la frazione di pezzi fuori tolleranza occorre spostare la media del processo e ridurre la dispersione. Mentre nel caso in esame è semplice spostare la media del processo, non altrettanto può dirsi della dispersione. In seguito mostreremo dei diagrammi molto utili allo scopo e cioè i diagrammi cause effetto; subito ci occuperemo di altri diagrammi utili per lo studio e la presentazione dei dati e precisamente dei diagrammi ramo-foglia e dei diagrammi a scatola. Utilizzeremo i dati della Tab Diagramma ramo foglia In questo diagramma le classi vengono determinate dalla penultima cifra significativa dei dati. Il primo dato della tabelle è 5.1; le ultime due cifre significative sono 1 e. La prima cifra indica una classe; individuata la classe riportiamo in corrispondenza tutte le ultime cifre significative. Il dato appartiene alla classe (5)1 foglia. Esaminando i dati si vede che abbiamo in tutto tre classi o rami e precisamente 49, 50 e 51. Raccogliendo i dati secondo le classi individuate si ottiene il seguente diagramma Fig. 1-5a 11

12 Carte di controllo di Shewhart Poiché il numero delle classi ottenuto è molto piccolo costruiamo il diagramma "stirato" che si ottiene dividendo ciascun ramo in due parti la prima che contiene i dati la cui ultima cifra è compresa tra 0 e 4 e la seconda tra 4 e 9; la prima classe si indicherà con un asterisco. 49* * * Fig. 1-5b Per aumentare ulteriormente il numero delle classi ciascun ramo originario si può dividere in cinque nuovi rami; evidentemente al primo appartengono i dati in cui l ultima cifra è 0 o 1, alla seconda o 3, alla terza 4 o 5, alla quarta 6 o 7 e alla quinta 8 o 9. I rami si indicano con : il primo con un asterisco, il secondo con una t, il terzo con una f, il quarto con una s ed infine il quinto con un punto. Si ottiene il diagramma ramo e foglie "schiacciato" di Fig. 1-5c. Il diagramma è molto simile all istogramma, ma è ottenuto con minore fatica (si suppone di operare manualmente). Per determinare il numero dei rami, e quindi se utilizzare il diagramma normale, stirato (stretched) o schiacciato (squeezed) si usa la relazione: M = 10Log n Il numero di rami che si utilizza è il più prossimo, ma minore, di M. Nel nostro caso è M=0 e quindi dobbiamo utilizzare l ultimo diagramma che contiene 15 classi. Evidentemente tracceremo solo il diagramma che serve. 49* 49t 3 49f 49s * t f s * t 51f 51s Fig. 1-5c Il diagramma ramo e foglie ha il vantaggio che si riportano i valori numerici e ciò può 1

13 Carte di controllo di Shewhart evitare discussioni sulla correttezza dei dati e questi, inoltre, sono riportati ordinati. 1.3 Diagrammi a scatola (e baffi) Un altro metodo di presentare i dati è con l uso di diagrammi a scatola. Per ottenere un tale diagramma si determinano la mediana (M) ed i quartili inferiore (Q1) e superiore (Q3). (La mediana è il valore tale che il 50% dei dati ha un valore inferiore ed, evidentemente, il 50% superiore; il quartile inferiore è il valore tale che un quarto dei dati ha valore inferiore ed i tre quarti superiore, viceversa per il quartile superiore). Ordinati i dati in ordine crescente si ottiene: Mediana = 5.05 Q1 = 5.0 Q3 = 5.08 (La mediana, essendo il numero dei dati 100 è la media tra il 50-esimo ed il 51-esimo dato, Q1 è la media tra il 5-esimo ed il 6-esimo, e Q3 la media tra il 75-esimo ed il 76- esimo) Si determina: RIQ = Q3 - Q1 = 0.06 (rango interquartile) Q3 + RIQ = =5.14 Q1 - RIQ = = 4.96 Si costruisce quindi il diagramma di Fig. 1-6 in cui i lati orizzontali del rettangolo sono tracciati in corrispondenza dei due quartili (Q1 il lato inferiore e Q3 il lato superiore); dentro il rettangolo si riporta un segmento orizzontale in corrispondenza della mediana x Fig. 1-6 A partire dal lato inferiore del rettangolo si riporta un segmento verticale (baffo) la cui lunghezza è il minimo tra (Q1 - Xmin) e RIQ e a partire dal lato superiore un segmento pari al più piccolo tra (Xmax - Q3) e RIQ. Nel nostro caso: Xmax - Q3 = = 0.10 Q1 - Xmin = =

14 Carte di controllo di Shewhart e quindi le lunghezze dei baffi saranno RIQ = Si riportano inoltre: a) i punti che cadono tra (Q1-1.5RIQ) e (Q1 - RIQ) oppure tra (Q3+1.5RIQ) e (Q3 + RIQ), che si indicano con una "o", b) i punti che cadono al di sotto di (Q1-1.5RIQ) o al di sopra di (Q3+1.5RIQ) che si indicano con un asterisco. Con i dati della tabella si ha: Q3+1.5RIQ = = 5.17 Q1-1.5RIQ = = 4.93 Pertanto il dato 4.9 va riportato con un asterisco ed il dato 4.93 con una o; superiormente i tre dati 5.16 sono riportati con una o, ed i due dati 5.18 e 5.19 con un asterisco. I diagrammi a scatola consentono di: a) confrontare diverse serie di dati; b) avere una indicazione della forma della distribuzione. Se la mediana, come in questo caso, cade al centro dei due quartili allora la distribuzione è simmetrica (per es. normale), se è più vicina a Q1 allora i dati hanno una distorsione positiva, negativa se più vicina a Q3. c) avere informazioni sulla lunghezza delle code. Lunghezza dei baffi (whiskers) elevata significa code molto estese. d) rilevare dati anomali; generalmente, ma non sempre, valori oltre i baffi sono sintomo di anomalie. [Spesso è vero il contrario e cioè un valore anomalo è esterno all intervallo (Q1-1.5RIQ)(Q3+1.5RIQ)] Per meglio interpretare un diagramma a scatola è utile il confronto con la distribuzione normale (di media μ e scarto quadratico medio σ). Q1 = μ σ Q3 = μ σ Mediana = μ = (Q3 + Q1)/ RIQ = Q3 - Q σ (distribuzione simmetrica) (l altezza del rettangolo è proporzionale allo scarto quadratico medio) 1.5RIQ σ Q1 - RIQ μ - σ Q3 - RIQ μ - σ La probabilità che un punto cada esternamente all intervallo (Q1-1.5RIQ) (Q3+1.5RIQ) è pari a e cioè un punto ogni 00 circa. 1.4 Diagrammi causa effetto Per metter in luce le cause di variabilità, ma non solo per questo, un mezzo molto utilizzato, specialmente nei circoli di qualità (QC), e che si è dimostrato molto potente, è il diagramma causa-effetto proposto per la prima volta in Giappone da Ishikawa. Per la sua costruzione si seguono i seguenti passi: 1- determinare la caratteristica qualitativa da analizzare ed indicarla sulla destra del foglio racchiudendola in un rettangolo e tracciare una freccia con doppia linea dalla 14

15 Carte di controllo di Shewhart destra della pagina sino al rettangolo. - Segnare i fattori principali che influenzano la caratteristica qualitativa superiormente ed inferiormente al foglio dentro dei rettangoli. 3- Per ognuno di questi fattori individuare i fattori che li influenzano (le cause delle cause) e collegarli con frecce alla freccia del fattore. Procedere individuando, per ogni fattore, i fattori che lo influenzano. I diagrammi causa-effetto sono una utilissima guida sia per la discussione che per la ricerca delle cause di qualunque problema di produzione. Ogni volta che si verifica una variazione nella qualità, istogrammi o altri diagrammi permettono di evidenziare ciò che è accaduto, ma non perché è accaduto; il perché deve essere ricercato ed il diagramma causa-effetto è adatto allo scopo. Riprendendo l esempio prima riportato, la caratteristica che interessa è la dimensione del diametro. Le cause di variazione possono essere: - semilavorato (materiale); - macchine utensili, utensili, attrezzature; - operatori; - sistema di misura (ispezione). Consideriamo le cause di variazione dovute al semilavorato. Possiamo avere: - variazioni di durezza; - variazioni dimensionali; -... Le variazioni di durezza del semilavorato possono essere dovute a: - processo di lavorazione (del semilavorato); - caratteristiche del materiale; -... Le variazioni di durezza dovute al processo di lavorazione del semilavorato possono dipendere da: - differenti condizioni di raffreddamento; -... Si sono indicate solo alcune delle cause per mostrare come procedere nell analisi. Il diagramma causa-effetto è riportato nella Fig Operatori Materiale Raffr. Proc Car. Mat. Durezza Dimens. Diametro Controllo Macchine Fig

16 Carte di controllo di Shewhart In base ad esso si analizzano tutte le cause di variazione del diametro; eventualmente durante l analisi si può completare il diagramma. Supponiamo di esaminare, inizialmente, il ramo: - macchine utensili, utensili, attrezzature. In mancanza di dati si comincia con l esaminare quei rami che si ritiene siano responsabili delle maggiori variazioni nella caratteristica sotto studio. Macchine utensili Nella lavorazione si sono utilizzati due torni a CN. Quando si è prelevato il campione non si è prestata attenzione a tale fatto e pertanto non è più possibile distinguere i pezzi lavorati dalle due macchine; occorre indagare se la notevole dispersione dei dati sia da imputare a ciò. Le Fig. 1-8, 1-9 e 1-10 mostrano cosa succede quando si mescolano campioni di popolazioni normali aventi uguali varianze e differenti medie (50% dei pezzi da ogni popolazione). In tali figure f(x 1 ) ed f(x ) indicano le densità di probabilità delle due popolazioni, mentre f(x) 1 è quella che si ottiene miscelando le due popolazioni (50% di ciascuna popolazione). Le figure sono relative a differenze nelle medie di 1, e 3 volte la deviazione standard del processo rispettivamente. Evidentemente la popolazione non è più normale; quello che le figure mostrano è che inizialmente si ha un aumento della varianza, successivamente si ha una insellatura e quindi, tracciando l istogramma dei dati, si rileva un doppio picco nelle frequenze f(x1) f(x) f(x) X 0 Fig f(x) = 0.5 f(x 1 ) f(x ) 16

17 Carte di controllo di Shewhart f(x1) f(x) f(x) x Fig f(x1) f(x) f(x) X Fig Ne deriva che l istogramma mostrerà più picchi solo se la differenza tra le medie è di alcuni σ. Evidentemente quando si preleva un campione da una di tali popolazioni, occorre tener presenti gli effetti del campionamento per cui può succedere che campioni estratti da più popolazioni mostrino un solo picco e viceversa. Ciò può anche essere dovuto ad una scelta non appropriata del numero delle classi (troppo poche o troppo numerose). Quindi solo se l istogramma mostra più picchi ben separati possiamo avere un ragionevole dubbio che i dati si sono ottenuti campionando da più popolazioni. Ad analoghe conclusioni si perviene, come sarà mostrato nel seguito, esaminando i grafici di probabilità normale. È indicativo il comportamento dello scarto quadratico medio quando si mescolano due popolazioni con medie diverse ed uguali varianze. Se il 50% dei dati è preso da ognuna delle due popolazioni, la media è il valore medio delle due medie, mentre lo scarto quadratico medio assume i valori sotto riportati. Indicato con μ 1 e μ la media delle due popolazioni con μ 1 < μ, il valore medio del campione di dimensione n ottenuto mescolando le due popolazioni, 50% dei pezzi da ogni popolazione, sarà pari a: 17

18 Carte di controllo di Shewhart Δµ/σ σ 1 /σ Quindi, per esempio, se le medie delle due popolazioni differiscono di 3σ si ha un aumento dell 80% dello scarto quadratico medio. L istogramma di Fig. 1-4 sembra somigliare alla densità di probabilità di Fig. 1-9 e pertanto se le popolazioni relative alle due macchine hanno medie diverse, la differenza deve essere di pochi. 1.5 Test sulle varianze e sulle medie Il test utilizzato per la verifica dell ipotesi è diverso a seconda che le varianze siano o meno note ed in quest ultima ipotesi se sono uguali o no. Supporremo di non conoscere le varianze delle due popolazioni e testeremo l ipotesi della loro uguaglianza (test di omogeneità della varianza). Dobbiamo, quindi, testare l ipotesi: H 0 : μ 1 = μ con l ipotesi alternativa: H 1 : μ 1 μ Si ritiene inoltre che una differenza tra le medie di 0.0 mm non sia significativa. Passiamo quindi alla progettazione del piano. A tale scopo si utilizza la Tab. A1 (Appendice). Occorre fissare i rischi di prima e di seconda specie ed il valore della differenza tra le medie a cui far corrispondere il rischio. Tale valore è evidentemente 0.0 mm. Occorre ancora conoscere le varianze delle due popolazioni. Come base per la progettazione possiamo assumere quale valore di σ quello calcolato dal precedente campione. Se fosse vera l ipotesi di due popolazioni allora la σ di ciascuna dovrebbe essere minore di tale valore, ma in tal caso il piano avrebbe una maggiore capacità discriminatoria. In base ai dati della Tab. 1-1 la stima dello scarto quadratico medio è: s = Fissando σ=0.05, β=0.1 ed essendo: μ Δ= 1 μ = 04. σ dalla tabella ricaviamo (test bilaterale) n = 68. I dati della tabella sono relativi al confronto di una media con un valore costante; nel caso di confronto di due medie occorre raddoppiare la numerosità dei campioni. Prelevati e collaudati due campioni, ciascuno di numerosità 136, si sono ottenuti i seguenti risultati Media SQM Lo scarto quadratico medio sarà pari a passaggi diventa:, che dopo semplici. 18

19 Carte di controllo di Shewhart Preliminarmente dobbiamo testare l ipotesi di uguaglianza delle varianze e cioè: H0: σ1 = σ con l ipotesi alternativa: H1: σ1 σ Sappiamo che se è vera l ipotesi nulla allora il rapporto delle due varianze campionarie, divise i corrispondenti gradi di libertà, segue una distribuzione F con gli opportuni gradi di libertà. Fissando =0.05 i valori critici di F corrispondenti ad aree nelle due code pari a 0.05, valgono: e 1.43 (poiché la tabella disponibile non contiene i valori della F per 136 gradi di libertà, prendiamo i valori relativi a 10 gradi di libertà). Il rapporto tra le due varianze campionarie è [5.078/4.933] = 1.06 Pertanto non ci sono elementi per rigettare l ipotesi nulla. In queste condizioni il test sarà basato sulla statistica: x 1 x S ( μ1 μ ) ( 1 n 1 n ) p 1 + dove n1 ed n sono le dimensioni dei due campioni ed S p è calcolato con l espressione: Risulta: X 1 X S p S p = ( n 1) S + ( n 1) 1 n n S p = S ( μ1 μ ) = 4 ( 1 n + 1 n ) ( ) 1 = La statistica utilizzata ha distribuzione t con n1+n- gradi di libertà. I valori critici di t avendo scelto α=0.05 sono: e 1.98 (anche questi corrispondono a 10 gradi di libertà) e pertanto, essendo il valore calcolato della statistica interno ai due valori critici, possiamo accettare l ipotesi nulla. Si conclude che l elevata variabilità riscontrata non è un effetto dell utilizzazione di due distinte macchine con diverse medie. Occorre quindi continuare l indagine sulle singole macchine. Evidentemente dobbiamo eseguire delle analisi su ciascuna macchina. Per semplicità, da ora in poi, supporremo di analizzare la variabilità di una sola macchina. Trattandosi di una operazione di tornitura possiamo avere errori dovuti ad ovalizzazione, conicità ed un errore dovuto al posizionamento dell utensile. Riesaminando i dati ci si accorge che la procedura di misura non indicava né la sezione in cui eseguire la misura, né era prevista l esecuzione di più misure sulla stessa sezione. Pertanto occorre eseguire un nuovo campionamento (e un nuovo collaudo) per condurre l analisi. Occorre preliminarmente determinare quali dati rilevare. Scopo dell indagine è quello di accertare la variabilità: 19

20 Carte di controllo di Shewhart 1 - sullo stesso pezzo in una stessa sezione (errore di rotondità), - del valore medio in una sezione di misura, 3 - del valore medio sulle due sezioni di misura (conicità). Per rispondere al primo quesito possiamo eseguire, su ciascun pezzo, quattro misure sulla stessa sezione e calcolare media e varianza. Un test sull omogeneità della varianza permetterà di accertare se si può ammettere che le varianze sono tutte uguali e, in caso affermativo, di stimarla. Ripetendo le misure su più pezzi, i valori medi ottenuti possono essere utilizzati per rispondere al secondo quesito. Per rispondere al terzo occorre ripetere le misure su un altra sezione che, per meglio mettere in luce l effetto su cui si indaga, deve essere, per quanto possibile, lontana dalla prima. Si decide quindi di prelevare e collaudare un nuovo campione di 0 pezzi; su ciascuno si eseguiranno due serie di quattro misure, ruotando il pezzo approssimativamente di un ottavo di giro, nelle due sezioni distanti 10 mm dalle due estremità. I risultati dell indagine sono riportati nella seguente Tab. 3a. In essa i dati delle due righe sono relativi alla due estremità del pezzo. 1.6 Test di Bartlett Cominciamo con il verificare gli errori di rotondità. Nella tabella l ultima colonna riporta gli scarti quadratici medi calcolati all interno di ogni campione. Tali scarti, come si è detto, danno una misura degli errori di rotondità in quanto non dipendono né dal posizionamento dell utensile né da eventuali conicità del pezzo. Analizziamo i soli dati relativi alla prima sezione. Dobbiamo inizialmente verificare che tutti gli scarti quadratici medi possono assumersi come appartenenti alla stessa popolazione. Dobbiamo cioè testare l ipotesi nulla: H0: σ1 = σ =... = σk con l ipotesi alternativa: H1: σi σj per qualche i e j. Il test che si adopera è quello di Bartlett. Dai dati si calcola la varianza utilizzando tutti i dati; se è vera l ipotesi nulla tale varianza è data da: S ( n ) k i 1 p = i= 1 N dove ni è la numerosità dell i-esimo campione, k il numero dei campioni ed N il numero totale di dati. S k Nr x1 x x3 x4 x s i 0

21 Carte di controllo di Shewhart Tab. 1- Si calcola quindi: Q = e quindi la statistica di Bartlett: B=Q/h con: ( N k) ln S ( n 1) k 1 h = 1+ 3 p k i= 1 1 i ln S i ( k 1) i= 1 ni 1 N k il valore di B si confronta con il valore di χ( k 11 ), α ; si accetta l ipotesi che tutte le varianze possano ritenersi uguali se: B<χ( k 11 ), α Con i dati della tabella, eseguiti i calcoli indicati, si ottiene B=31.17; dalle tabelle della distribuzione χ, con α=0.05, si ottiene: χ 19, =30.1, mentre con α=0.005 si ha: χ 19, =36.. In definitiva, quindi, il valore di B è significativo al livello 0.95 e non lo è al livello Le conclusioni che possono trarsi è che sono necessarie ulteriori indagini e ciò tenendo anche conto del fatto che nella Tab. 3a molti valori di s sono molto elevati (il che farebbe 1 1

22 Carte di controllo di Shewhart presupporre un non corretto funzionamento della macchina). L analisi dei dati relativi ai diametri medi in una data sezione consente di mettere in luce eventuali errori nel riposizionamento dell utensile all inizio della lavorazione di un pezzo (ed eventualmente degli effetti dell usura dell utensile, ma di ciò si parlerà diffusamente nel seguito). Analizziamo, quindi, i dati sui diametri medi relativi ad una sezione ed in particolare quelli della prima riga di ogni pezzo relativi alla sezione di inizio lavorazione. Valore medio e varianza valgono: x = s x = I risultati mostrano che c è un errore nel valore medio del diametro, circa 0.05 mm più grande del valore nominale; permettono inoltre di accertare una variabilità, abbastanza elevata, nel posizionamento dell utensile. Per verificare una conicità nei pezzi si utilizzano i diametri medi misurati alle due estremità. Poiché le misure dei diametri non sono indipendenti, il test verrà eseguito sulle differenze tra i valori medi alle due estremità. Ciò consente di ridurre la varianza in quanto tale differenza non risente degli errori dovuti al posizionamento dell utensile all inizio della lavorazione di ogni pezzo; in definitiva si elimina una causa di variabilità ed il test è più sensibile. La Tab. 1-3 riporta le venti differenze nei diametri Tab. 1-3 Testiamo l ipotesi che la differenza tra i diametri non è significativa. La statistica che viene utilizzata è: D 0 s d n t n 1 dove con D si è indicato il valore medio delle differenze ed s d è il corrispondente scarto quadratico medio. In base ai dati della tabella si ottiene: D = s d = L intervallo di confidenza è: D tn 1,α sd n = ± Poiché l intervallo di confidenza non contiene lo zero, rigettiamo l ipotesi nulla e concludiamo che esiste un errore di conicità; in particolare il diametro cresce spostandosi verso il mandrino e l errore, tra i due punti di misura, è pari a mm. Possiamo pertanto eseguire un intervento di manutenzione in modo da correggere un tale errore. Un altro intervento è quello derivante dalla constatazione che valore medio e valore nominale differiscono di circa 0.05 mm.

23 Carte di controllo di Shewhart Di una tale necessità avremmo potuto accorgerci prima in quanto era evidenziata dall istogramma (Fig. 1-4). Eseguiti gli interventi si preleva un nuovo campione e si verifica il miglioramento. Supponiamo che i risultati del test siano che il processo è migliorato, l errore di conicità non è significativo e la media non differisce significativamente dal valore nominale. La variabilità del processo è comunque molto alta. 7. Test non parametrico sulle medie Prima di procedere oltre verrà illustrata una procedura alternativa al test t. Questo è basato sull assunzione di popolazioni normali con varianze incognite ma uguali. Non sempre è ragionevole assumere l ipotesi di normalità o di uguaglianza delle varianze. Se la numerosità dei campioni è elevata, il test t è abbastanza robusto; se ciò non si verifica è meglio utilizzare un test non parametrico in quanto il test t può portare facilmente a conclusioni erronee. Un test non parametrico ampiamente utilizzato è quello dei segni (sign test). Supponiamo di avere n coppie di osservazioni indipendenti ( x, ' i xi ) da due distribuzioni di probabilità F1(x), F(x); vogliamo verificare che le due popolazioni hanno la stessa distribuzione di probabilità; testiamo l ipotesi nulla: H0: F1(x)=F(x) con l ipotesi alternativa: Poniamo: H1: F1(x) > F(x) oppure: H1: F1(x) < F(x) oppure: H1: F1(x) = F(x) v i 1 x x ' > 0 = i i 0 altrimenti e calcoliamo la somma r = vi Se H0 è vera P(vi=1)=0.5 ed essendo le osservazioni indipendenti, la variabile random r ha distribuzione binomiale: p(r) = n 1 r n Diremo che r è significativamente grande, al livello di significatività 100 α%, se r r Iα con r Iα il più piccolo intero tale che: P(r r I α) α Analogamente diremo che r è significativamente piccolo se r r Sα con r Sα il più grande intero tale che: P(r r Sα ) α Infine diremo che r non differisce significativamente dal suo valore atteso (n/) se è compreso tra r α ed n-r α dove r α è il più grande valore tale che: P(r α r n-r α ) > 1-α La Tab. A riporta i valori critici di r Iα, r Sα, e r α per α=0.01 e

24 Carte di controllo di Shewhart L applicazione del test ai dati della Tab. 3b, delle differenze tra le medie ai due estremi del pezzo, è banale. Infatti, essendo tutte le differenze positive è r=0; pertanto r differisce in modo significativo dal valore atteso (n/=10) e si conclude che si può rigettare l ipotesi che le due serie di misure siano estratte dalla stessa popolazione. Sono frequentemente usati molti altri test non parametrici; di alcuni si parlerà nel seguito. Tornando ai dati dell esempio si è rilevato che la variabilità del valore medio del diametro in una sezione è troppo elevata. Sappiamo che la macchina è in grado di assicurare un errore nel posizionamento di 0.01 mm, mentre, in base ai risultati ottenuti, l errore sui diametri è di quasi 0. mm (sei volte lo scarto quadratico medio 6s x = = 0.17 mm). Esaminando il diagramma causa-effetto, si cercano le cause di una tale variabilità. Essa, tra l altro, può essere dovuta ad un mal funzionamento della macchina oppure all usura dell utensile. Si decide pertanto di eseguire una manutenzione sul sistema di comando del carrello e di verificare, staticamente, l errore di posizionamento. L indagine viene condotta utilizzando le stesse tecniche prima illustrate e pertanto non si riporta. Supponiamo che le conclusioni siano che la variabilità non è dovuta ad un cattivo funzionamento della macchina. Decidiamo, pertanto, di esaminare la seconda causa di variazione, che si era individuata in base al diagramma causa-effetto, e cioè l usura dell utensile. Preliminarmente vengono esaminati gli utensili usurati. Si tratta di utensili con inserto in carburo di tungsteno e sono disponibili alcuni inserti sostituiti. Essi mostrano un labbro di usura rilevante oltre che molto variabile da un inserto all altro. Si rileva altresì che vengono utilizzati inserti di due differenti fornitori; si ritiene che ciò meriti ulteriori indagini. A tale scopo si misurano i labbri di usura di alcuni degli utensili già utilizzati. I risultati delle misure su trenta utensili sono di seguito riportati. Fornitore A Fornitore B.45,65, Valore medio e varianza valgono rispettivamente: Fornitore A Media = Varianza = Fornitore B Media = 0.37 Varianza = Testiamo l ipotesi di uguaglianza delle varianze. Il rapporto delle varianze campionarie, divise i corrispondenti gradi di libertà, vale: ( /9)/( /9) = dalla tavole della distribuzione F si ricava: F 9, 9 ; =. 093 e pertanto non ci sono elementi per rigettare l ipotesi nulla. Possiamo allora eseguire il già citato test sulle medie. Risulta: S p =

25 Carte di controllo di Shewhart x 1 x S p ( μ1 μ ) = 3 ( 1 n + 1 n ) ( ) 1 = 3.56 Nelle tavole della distribuzione t leggiamo: t ,. = (corrispondente a 60 gradi di libertà). Concludiamo pertanto che le medie delle due popolazioni sono diverse e precisamente che gli utensili del fornitore A hanno una usura media più elevata. È quindi conveniente rifornirsi dal fornitore B. Poiché il labbro di usura influenza la dimensione dei pezzi, la variabilità, osservata sulle dimensioni, potrebbe essere imputata ad esso. Si osserva, preliminarmente, che raccogliere i dati e riportarli su un istogramma, o altro diagramma analogo, non permetterebbe di trarre utili informazioni ai fini dell indagine. Il fenomeno dell usura che vogliamo indagare necessita di altri diagrammi che non facciano perdere la successione temporale con cui i pezzi sono stati lavorati e li raggruppino in base all utensile utilizzato per lavorarli. In definitiva, quindi, per rendersi conto del fenomeno da studiare occorre che essi siano analizzati nella loro dinamicità. Solo in questo modo potremo accorgerci dell influenza dell usura sulle dimensioni dei pezzi. In generale diagrammi "dinamici" consentono di studiare l impatto dei vari fattori (materiale, manodopera, attrezzature, etc.) sul processo produttivo e, quindi, di verificarne gli effetti positivi o negativi. I diagrammi che vengono utilizzati per tali scopi prendono il nome di "Carte di controllo". 5

26 Carte di controllo di Shewhart Capitolo : Carte di controllo.1 Carte di controllo di Shewhart Tra le carte di controllo oggi in uso la più antica, ma ancora ampiamente utilizzata, è quella di Shewhart. Tornando all esempio che fa da filo conduttore a questa esposizione, il problema è quello di studiare la variabilità del diametro del pezzo ed abbiamo deciso di indagare gli effetti dell usura dell utensile. Sappiamo che con un utensile vengono lavorati 00 pezzi; decidiamo, quindi, di collaudare un pezzo ogni cinque e di riportare i risultati su un diagramma cartesiano in cui sull asse delle ascisse si riporta un indice che indichi la successione temporale con cui il pezzo è prodotto, per esempio il numero d ordine del campione o l orario di produzione, e su quello delle ordinate il risultato della misura. Nr x Nr x Nr x Nr x Tab. -1 I dati delle quaranta misure di Tab. -1, sono riportati nella Fig. -1. Il diagramma è molto deludente in quanto non indica alcuno spostamento della media, mentre, in base all usura degli utensili, ci si aspettava un suo aumento. In realtà, invece, la cosa è assolutamente normale. Abbiamo visto che la variabilità del diametro è l effetto di numerosi fattori; alcuni, rilevati dalla precedente analisi, sono stati corretti, ma sicuramente molti altri sono ancora attivi. In definitiva, quindi, il valore del diametro è influenzato dall usura, ma anche da tante altre cause che disturbano l effetto del fattore che vogliamo studiare. Se vogliamo mettere in rilievo l effetto del fattore usura, occorre ridurre il disturbo introdotto dagli altri fattori. Supponiamo che i disturbi abbiano una distribuzione normale con media zero e varianza σ ; se eseguiamo la media di n misure sui diametri di pezzi prodotti in sequenza, la distribuzione dei disturbi sarà con media zero e varianza σ n. Poiché in pratica possiamo ammettere che i valori che una variabile distribuita normalmente può assumere sono tutti compresi nell intervallo μ ± 3 σ ne deriva che il disturbo contribuisce al valore 6