METODI BAYESIANI PER IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

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1 Unverstà degl Stud d Bresca Poltecnco d Mlano Unverstà degl Stud d Pava Unverstà degl Stud d Lecce Dottorato d Rcerca n TECNOLOGIE E SISTEMI DI LAVORAZIONE XII CICLO METODI BAYESIANI PER IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA RELATORE: COORDINATORE: Prof. Qurco SEMERARO Prof. Roberto PACAGNELLA CANDIDATO: Ing. Banca Mara COLOSIMO

2 Un sncero rngrazamento va n prmo luogo al prof. Consonn, docente d statstca dell unverstà d Pava. Devo prncpalmente alla sua charezza espostva l fatto d essere ruscta a segure, senza troppe dffcoltà, l corso d statstca bayesana nseme a dottorand d statstca metodologca. Ed è questo passo che, n un ottca bayesana, ha rappresentato la ma pror. Un sentto rngrazamento va po al Prof. Tullo Tolo, che n quest ann non m ha ma fatto mancare l suo valdo consglo, l suo scuro apporto, ed uno stmolante scambo d opnon. Un rrnuncable graze va al Prof. Semeraro. In prmo luogo per la sua lucda capactà nell ndcarm sempre l gusto equlbro tra rcerca metodologca ed applcazone ngegnerstca. Pù n generale per la sua abltà nel blancare l rgore d una guda e la dsponbltà all autonoma del contrbuto personale. Desdero nfne rngrazare tutt gl amc della sezone per la pazenza con cu hanno sopportato la ma naturale tendenza a condvdere profonde e talvolte eccessve passon ntellettual.

3 INDICE CAPITOLO 1: Introduzone 1.1. L approcco bayesano come alternatva d modellzzazone 4 CAPITOLO 2: Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 2.1. Introduzone Modell economc bayesan per la scelta de pan d camponamento per attrbut I pan per l camponamento monoattrbuto Camponamento sngolo Camponamento doppo e multplo I pan per l camponamento multattrbuto Notazone Il pano d mnmo costo atteso: l modello d Case, Schmdt e Bennet [Cas75] Ipotes del modello Funzone obettvo Un nuovo modello economco per la progettazone d pan bayesan multattrbuto La modfca della funzone obettvo Introduzone d una scelta rguardo alla poltca d scarto o rprstno del lotto Una pù approfondta anals della funzone obettvo: la suddvsone de cost tra forntore e clente La carta p per l controllo della dstrbuzone a pror Un algortmo d rcerca della soluzone ottma: l pattern search casualzzato La valdazone dell algortmo d ottmzzazone Il caso reale: determnazone del pano d mnmo costo atteso per l collaudo del corpo valvola grezzo Il corpo valvola grezzo Anals de dat storc: stma delle dstrbuzon a pror Stma de parametr d costo Costo d collaudo: Cc Costo d rfuto: Cr Costo d accettazone Il pano d mnmo costo atteso per l corpo valvola Anals d senstvtà della soluzone adottata Concluson e possbl svlupp 46

4 CAPITOLO 3:Le carte d controllo adattatve bayesane 3.1. Introduzone La progettazone economca delle carte d controllo n letteratura Il modello d Duncan Le potes La notazone I rcav ed cost Il modello La progettazone economca delle carte d controllo: la rcerca dopo Duncan Generalzzazone del modello Semplfcazone del modello Progettazone statstco-economca Produzon d durata lmtata Carte d Controllo a Statstche Dpendent La progettazone ntegrata del controllo d qualtà Modell basat sulle rlavorazon e sulla dmensone del lotto Modell basat sulla dmensone del lotto d produzone e d spezone Modell basat sulle poltche d controllo del processo e d gestone della produzone Modell per l progetto congunto delle carte Le carte d controllo a parametr varabl Modell per carte a parametr varabl Carte d controllo dnamche non bayesane Carte d controllo dnamche bayesane Progettazone economca d una carte d controllo adattatva bayesana per l controllo delle non conformtà Notazone Il modello Ipotes Lo schema d controllo adattatvo La determnazone de parametr d controllo La funzone obettvo Valutazone numerca delle performance delle carte d controllo Anals d senstvtà della soluzone Concluson e futur svlupp 98

5 CAPITOLO 4 Msurare e montorare la qualtà del servzo: un approcco bayesano 4.1. Introduzone Il servzo e l prodotto La Qualtà del servzo n letteratura Le dmenson della qualtà del servzo Indcator tangbl del Servzo Indcator d qualtà nterna Dmensone tecnca Dmensone economca Dmensone organzzatva Dmensone ambentale Indcator d qualtà esterna Controllo perodco degl ndcator Indcator ntangbl del Servzo: anals d Customer Satsfacton Score Cards Reply Card Gestone reclam Transacton montorng Metod per la valutazone della qualtà del servzo n letteratura Il Servqual La struttura Applcazon del SERVQUAL Il dbattto sul SERVQUAL Il Qualtometro Il modello concettuale La struttura Confronto tra SERVQUAL e QUALITOMETRO IL SERVPERF Il modello concettuale La struttura Normed Qualty Il modello concettuale La struttura TWO-WAY Model Proposta d una nuova metodologa d anals de dat d Customer Satsfacton basata sulle ret d dpendenza bayesane Le ret d dpendenza bayesane Anals d Customer Satsfacton: l caso Call Center ASSITALIA Scelta della stratega d rcerca per l Questonaro Asstala Anals de dat e rappresentazone de rsultat 140

6 I legam tra le domande del questonaro Determnazone de pes d mportanza Concluson 150 CAPITOLO 5 Concluson 152 Bblografa 154 Appendce A Element d statstca bayesana 166 Appendce B Le dstrbuzon beta e polya e la propretà d rproducbltà 168 Appendce C Rsultat numerc della progettazone d una carta d controllo c adattatva bayesana 172 Appendce D Bayesan Belef Network: l metodo e l software Bayesan Knowledge Dscovery 188

7 INDICE DELLE FIGURE Fgura 2.1: Il corpo valvola grezzo...35 Fgura 3.1: Parametr d progettazone d una carta d controllo...52 Fgura 3.2: Dfferent stat del sstema nel modello d Duncan...57 Fgura 3.3: Calcolo del sottontervallo d tempo τ nell approcco d Duncan Fgura 3.4: Classfcazone delle carte d controllo a parametr varabl.70 Fgura 3.5: Lo schema d controllo...84 Fgura 3.6: Calcolo d τ nell approcco proposto...86 T T 1(,0 T (01, T (11, Fgura 3.7: Calcolo d f (0, Fgura 3.8: Calcolo d f...88 Fgura 3.9: Calcolo d f...88 Fgura 3.10 Calcolo d f...89 Fgura 3.11: Andamento de parametr al varare della probabltà d fuor controllo...91 Fgura 3.12 Normal plot de rsultat ottenut con progettazone statca94 Fgura 3.13 Normal plot de rsultat ottenut con progettazone dnamca...94 Fgura 3.14 L effetto de dvers parametr nell anals d senstvtà...97 Fgura 4.1: La qualtà del servzo n Gronroos [Gro82] Fgura 4.2: La qualtá del servzo n Parasuraman, Zethaml e Berry.109 Fgura 4.3: Un semplce Drect Acyclc Graph (DAG che rappresenta una rete d dpendenza bayesana Fgura 4.4 Rete Bayesana ottenuta dall anals de dat (stratega d rcerca Arc Inverson Fgura 4.5 Legame Tempo-Sodddurata-Durott-Raccoltadat Fgura 4.6 Legame Capacta -Telefonate Fgura 4.7 Legame Oraro-Rsposta...147

8 INDICE DELLE TABELLE Tabella 2.1: Prncpal smbol utlzzat nel captolo Tabella 2.2: Parametr statstc adottat nella valdazone dell algortmo d rcerca [Cas75]...32 Tabella 2.3 Parametr economc adottat nella valdazone dell algortmo d rcerca [Cas75]...32 Tabella 2.4: Rsultat della fase d valdazone dell algortmo d rcerca della soluzone ottma Tabella 2.5: Gl attrbut per l collaudo del corpo valvola grezzo Tabella 2.6: Test χ per verfcare la dstrbuzone a pror adottata...37 Tabella 2.7: Stma de parametr della dstrbuzone a pror...38 Tabella 2.8: Cost per non conform n lott accettat...40 Tabella 2.9: Pano d mnmo costo per l corpo valvola grezzo...41 Tabella 2.10: Pano attualmente adottato n azenda...41 Tabella 2.11: Anals d senstvtà: effetto del costo d accettazone...42 Tabella 2.12 Anals d senstvtà: effetto del costo varable d collaudo43 Tabella 2.13 Anals d senstvtà: effetto della dmensone del lotto...44 Tabella 2.14 Anals d senstvtà: effetto della meda della dstrbuzone a pror...44 Tabella 2.15 Anals d senstvtà: effetto della devazone standard della dstrbuzone a pror...45 Tabella 2.16 Anals d senstvtà: effetto de parametr d costo ndpendent dagl attrbut...45 Tabella 3.1: Alcune delle caratterstche dstntve de modell esamnat per la progettazone economca d carte statche tme varyng...72 Tabella 3.2: Modell propost per la progettazone economca d carte dnamche non bayesane...75 Tabella 3.3: Modell propost n letteratura per la progettazone economca d una carte adattatva bayesana...79 Tabella 4 Prncpal smbol nell approcco proposto...81 Tabella 3.5: Parametr adottat nella valutazone numerca...92 Tabella 3.6: Cas smulat nell anals d senstvtà...96 Tabella 3.8 Rsultat dell anals d senstvtà...97 Tabella 4.1 Indcator ed obettv delle dmenson tangbl del servzo [Neg92]...115

9 Tabella 4.2: Categore d attrbut della qualtà del Two-way model ( - nsoddsfazone, + soddsfazone, 0 neutrale Tabella 4.3:Confronto d alcun strument utlzzat per la valutazone della qualtá del servzo [Cal97] Tabella 4.4 Domande e stat delle varabl per l anals delle dpendenze138 Tabella 4.5 Tabella rassuntva de dat raccolt Tabella 4.6 Valor d Verosmglanza de legam consderat Tabella 4.7 Valor d probabltà condzonata Tabella 4.8 Anals del legame SODDISFAZIONE - CC/TRAD Tabella 4.9 Verosmglanza delle component della Soddsfazone...149

10 Captolo 1 Introduzone 1 CAPITOLO 1 INTRODUZIONE "La Qualtà Sappamo cos'è, eppure non lo sappamo. Questo è contraddttoro. Alcune cose sono meglo d altre, coè hanno pù Qualtà. Ma quando prov a dre n che cosa consste la Qualtà, astraendo dagl oggett che la possedono, paff, le parole t sfuggono. Ma se nessuno sa cos'è, a fn pratc non esste per nente. Invece esste, eccome Perché ma la gente pagherebbe una fortuna per certe cose e ne getterebbe altre nella spazzatura? Ovvamente alcune sono meglo d altre Ma n cosa consste l meglo?" Robert Prsg Zen and the Art of Motorcycle Mantenance: An Inqury nto Values (1974, traduzone talana, Adelph Il brano d Prsg ntroduce e rappresenta n modo molto effcace la confusone e l ncertezza che hanno accompagnato la defnzone d qualtà nel corso degl ann. C è orama convergenza tra mondo accademco e azendale sulla defnzone d qualtà come: nseme delle caratterstche d un enttà che ne determnano la capactà d soddsfare esgenze espresse ed mplcte. (UNI EN ISO Da questa defnzone appare charo che l problema d controllare la qualtà può essere suddvso n due sottoproblem. Il prmo consste nel determnare n prmo luogo qual sono le caratterstche dell enttà che sono n grado d determnare soddsfazone n ch usufrusce del bene.

11 Captolo 1 Introduzone 2 In secondo luogo occorre ndvduare un legame quanttatvo tra caratterstche e soddsfazone del clente: decdere coè valor o gl ntervall d valor che ogn caratterstca può assumere per soddsfare le esgenze espresse ed mplcte. Noto l legame tra caratterstche del bene e soddsfazone, occorre defnre una modaltà d controllo nel tempo d queste caratterstche. La necesstà d un controllo ha ovvamente orgne nella presenza d una certa mprevedble varabltà d queste caratterstche nel tempo. Il prmo sottoproblema, ossa l legame tra soddsfazone e caratterstche dell enttà è spesso rsolto nel caso n cu l clente sa evoluto. Spesso nfatt, per prodott non d largo consumo, s pens ad esempo a ben strumental, le caratterstche che ndvduano la soddsfazone sono modellate attraverso l concetto d specfca. In un componente meccanco ad esempo, le tolleranze dmensonal e geometrche rappresentano l nseme d vncol che alcune caratterstche del prodotto devono soddsfare affnché l prodotto sa da rteners soddsfacente. La soddsfazone n questo caso può qund concdere con l concetto d conformtà, anche se non è trascurable la presenza d fattor tradzonalmente rtenut secondar (es. estetca che rmangono legat ad una percezone soggettva del prodotto. Il problema d defnzone del legame tra caratterstche e soddsfazone è nvece molto meno charo per prodott d largo consumo ed è emerso ancor pù prepotentemente alla rbalta negl ultm ann con la crescente attenzone alla qualtà de servz. In quest ultmo caso le problematche relatve all dentfcazone ed alla msura della soddsfazone del clente sono ancora queston aperte e rrsolte, dato che non s è ancora assestata n letteratura una metodologa quanttatva su cu esste una certa convergenza. Rsolto l problema d defnzone del legame tra caratterstche dell enttà e soddsfazone del clente attraverso la defnzone delle specfche, l concetto d qualtà può allora rprendere l tradzonale sgnfcato d conformtà alle specfche. Controllare la qualtà nel tempo sgnfca qund verfcare che l enttà contnu a rspettare vncol mpost dalle specfche, realzzando qund un bene che soddsfa le esgenze per cu è stato progettato. Come accennato n precedenza l concetto d controllo della qualtà n questo caso è strettamente legato al concetto d varabltà ntrnseca a qualunque processo reale d trasformazone. In questo caso con varabltà s ntende varazone mprevsta rspetto ad un comportamento tollerato o accettato. Se ad esempo è noto l effetto dell usura utensle sul dametro d un albero tornto, e s è gà prevsto attraverso una compensazone adattatva della profondtà d passata o pù semplcemente attraverso una sosttuzone dell utensle a ntervall opportun, è ovvo che n questo caso s è comunque n presenza d varabltà prevsta, o che può rteners accettata. Questa varabltà rtenuta naturale non è oggetto

12 Captolo 1 Introduzone 3 del controllo statstco d qualtà ed è spesso modellata attraverso un modello statstco della varable n uscta (dstrbuzone, parametr, struttura d autocorrelazone temporale. Le tecnche d controllo della qualtà sono orentate nvece a segnalare tempestvamente la presenza d anomale e mprevst che determnano una extra-varabltà, o meglo una varabltà che non è rtenuta accettable o naturale. Tra le metodologe orentate ad effettuare un controllo statstco della qualtà, pan d camponamento e le carte d controllo sono scuramente gl strument pù dffus. La dfferenza tra quest due approcc ha orgne nella dversa natura e ne dvers obettv che le due metodologe s propongono. Un pano d accettazone nasce dall'esgenza d eserctare un controllo su prodott n ngresso ad un qualsas stado produttvo: l'attenzone è essenzalmente orentata al prodotto e solo ndrettamente al processo d cu l prodotto rsulta un rsultato. L'adozone d pan d accettazone è nfatt l pù delle volte orentata a valutare le prestazon d un forntore, sa esso esterno o nterno al sstema (ad esempo un altro stado produttvo sul cu processo non s è n grado d eserctare un effettvo controllo. In questo caso l'obettvo è noltre quello d defnre la procedura pù corretta per ndvduare la presenza d part dfettose nel flusso, contnuo o dscreto, d part n ngresso. Informazone chave è qund quella relatva a lmt d specfca delle varabl d qualtà d nteresse, per gudcare se un pezzo rsulta conforme o meno alle specfche d progetto. L'adozone d carte d controllo all'nterno d un sstema produttvo è nvece essenzalmente orentata a porre l'attenzone sul processo: vengono msurate una o pù caratterstche d qualtà allo scopo d nferre sullo stato del processo che le ha generate. In questo caso nfatt non s tengono n consderazone, salvo n cas partcolar (ad es. lmt d controllo modfcat, le specfche della varabl d nteresse: l'obettvo è testare l'potes d processo n controllo, dove con controllo s ntende la stuazone d funzonamento ''stable'', ''a regme'' della macchna o stado produttvo n esame. L'attenzone è qund dedcata alla parte prodotta, ntesa come rsultato d uno stato d funzonamento del processo che l'ha generata. Questa attenzone al processo pù che al prodotto determna noltre una maggore capactà d nfluenzare le prestazon della macchna o fase controllata. Qualora s evdenz una stuazone d fuor controllo, s prevede nfatt una precsa procedura d rcerca della causa assegnable e, eventualmente, un ntervento sul processo al fne d rprstnare la stuazone d funzonamento ''stable''. Tale procedura d rcerca ha luogo presumblmente a processo non funzonante, con evdente nfluenza sulla cadenza produttva rsultante. Il lavoro s occuperà d fornre una proposta d soluzone relatvamente a tutt problem evdenzat, seguendo l flusso produttvo del materale n azenda.

13 Captolo 1 Introduzone 4 S nzerà nfatt dall anals del processo d accettazone del materale n ngresso. Nel secondo captolo s ntrodurrà un approcco per la progettazone economca d pan d accettazone nel caso n cu pù caratterstche d qualtà sano da controllare (pan multattrbuto. Una volta che l materale n ngresso è stato accettato, a valle delle vare fas produttve è possble adottare delle carte d controllo. Il terzo captolo proporrà un approcco per la progettazone economca d carte d controllo per la msura delle non conformtà. Infne l bene prodotto è consegnato al clente, sa esso un altra azenda o un utente fnale. In quest ambto occorre ndvduare qual sono gl aspett che pù pesantemente condzonano la soddsfazone del clente rguardo a servz d erogazone del bene (servzo logstco e assstenza post-vendta. Il quarto captolo s occupa qund del problema d defnre un approcco per l anals e la msura della qualtà del servzo attraverso la msura della soddsfazone del clente (customer satsfacton. Comune a tutt gl approcc propost è l adozone d strument d statstca bayesana. Le ragon per cu una tale scelta s gustfca ne dvers ambt, verranno d volta charte n ogn captolo e rassunte nelle concluson. In questo captolo s ntende tuttava fornre qualche cenno rguardo a presuppost dell nferenza bayesana L approcco bayesano come alternatva d modellzzazone Un felce esempo che nquadra bene la dfferenza tra approcco bayesano e approcco frequentsta s deve a L.J. Savage ( 61 [Ber85]. L autore potzza tre stuazon n cu s rtene utle procedere ad un espermento caratterzzato da prove bernoullane (n prove ndpendent l cu possble esto è successo/nsuccesso e la cu probabltà d successo θ è costante nel tempo. Le tre stuazon sono molto dfferent: nella prma s ntende valutare se un muscologo è n grado d ndovnare se l autore d uno spartto è Haydn o Mozart. A tal fne vene progettato un espermento che consste n 10 prove, ognuna delle qual consste n una estrazone casuale d uno spartto sottoposto al muscologo che deve decdere rguardo l autore. L espermento vene condotto e dà luogo a 10 success su 10. Il secondo espermento rguarda una sgnora nglese la quale sostene d ruscre a valutare, osservando una tazza d the con del latte, se è stato versato prma l the o l latte. L espermento condotto per valutare l ablta dell anzana sgnora consste n 10 prove che danno luogo a 10 success su 10.

14 Captolo 1 Introduzone 5 Nell ultmo espermento un ubraco sostene d ruscre a prevedere se nel lanco d una moneta non truccata l esto sarà testa o croce. Anche n questo caso vene condotto un espermento n cu su 10 tentatv, l ubraco ndovna 10 volte. L mpostazone frequentsta determna per tutt e tre gl esperment la stessa stma puntuale della probabltà d successo. Infatt 3 esperment sono formalmente dentc: n ogn prova l esto è rappresentable attraverso una varable booleana (1= successo; 0=nsuccesso; s è n presenza d 10 osservazon x =1,..,10 dove d x bernoull( θ, coè ogn x segue una dstrbuzone bernoullana d parametro θ dove θ rappresenta la probabltà d successo. Con un mpostazone frequentsta s procede alla stma d massma verosmglanza per θ che, n ognuno de tre esperment rsulta uguale e par a: n.rosuccess 10 θˆ = = = 1 n.roprove 10 Ma la domanda che c s pone è: avere ne tre cas la stessa stma per la probabltà d successo è un rsultato ntutvamente accettable? Rfacendos ad un semplce buon senso è possble rtenere che l esto complessvo delle 10 prove sa da mputare passando dal prmo al terzo esempo sempre pù al caso e sempre meno all abltà. In defntva s ha un nformazone a pror sulla dfferenza tra le tre stuazon che potrebbe essere opportunamente modellata ma che nell mpostazone frequentsta non trova spazo. L approcco bayesano s basa sul presupposto che sa possble consderare l parametro della dstrbuzone, n questo caso θ, non semplcemente come un valore defnto seppur ncognto, da stmare. In un approcco bayesano s rtene che anche l parametro possa essere caratterzzato da una dstrbuzone d probabltà che, n un mpostazone bayesana, rappresenta un nformazone a pror, soggettva, π (θ che s ha sul parametro. Nota questa dstrbuzone a pror del parametro e la dstrbuzone delle osservazon dato l parametro f ( x θ, l teorema d Bayes generalzzato consente d ottenere la dstrbuzone a posteror: ~ f ( x θ π( θ π ( θ x = f ( x θ π( θ dθ = Θ f ( x θ π( θ m( x dove: - x vettore delle osservazon; - θ parametro;

15 Captolo 1 Introduzone 6 - { (x θ,θ Θ} f denstà d probabltà; - π(θ denstà, dstrbuzone nzale d θ (pror; - m ( x = f ( x θ π( θ dθ denstà margnale d x. Θ In defntva l approcco bayesano consente d ottenere nformazon sul parametro attraverso la dstrbuzone a pror e dat osservat (per maggor dettagl sul meccansmo d nferenza bayesano, s veda l Appendce A. Non dsconoscendo la possbltà d potzzare una fondata dstrbuzone a pror soggettva, occorre sottolneare che n questo lavoro non s rcorrerà ma all ntroduzone d un nformazone soggettva. La dstrbuzone a pror sarà d conseguenza sempre ntrodotta a partre dalla stora del processo. D conseguenza verrà semplcemente sfruttata la maggore flessbltà modellstca dell approcco bayesano confrontato con quello frequentsta.

16 Captolo 2 7 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto CAPITOLO 2 PROGETTAZIONE ECONOMICA DI UN PIANO DI CAMPIONAMENTO BAYESIANO SINGOLO MULTIATTRIBUTO 2.1. Introduzone Il camponamento d accettazone è uno degl strument d controllo statstco della qualtà pù adottat nella normale pratca manfatturera e consste nel decdere rguardo ad un lotto d matere prme, semlavorat o prodott fnt n ngresso. La decsone vene presa verfcando l rspetto degl standard qualtatv d un sottonseme d part nel lotto (campone d dmensone n. In funzone d quanto osservato spezonando le part nel campone, vene presa una decsone (accettazone o rfuto che rguarda l ntero lotto. In generale la verfca degl standard qualtatv è eseguta per attrbut. Cò sgnfca che vene verfcato che l pezzo n ngresso sa da rteners conforme rspetto a tutte le caratterstche d qualtà su cu sono mposte delle specfche (attrbut. La progettazone del pano consste appunto nel defnre, rferendos al caso pù semplce d pano d camponamento semplce monoattrbuto, la dmensone del campone n ed l numero d accettazone Ac, ossa l numero d non conform superato l quale l lotto è rfutato. In realtà la scelta dventa pù complessa se s passa a camponament compost da pù fas decsonal o relatv a pù attrbut. Infatt, n letteratura esstono orma pù tpologe d pan d accettazone tra cu è possble sceglere. Una classfcazone degl approcc pù dffus rguarda: la tpologa d pano: la scelta è tra pan per attrbut e per varabl. Dversamente a quanto accade nel caso d carte d controllo, la tpologa pù dffusa d pano è quella per attrbut.

17 Captolo 2 8 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto E n relazone a questa tpologa d pano che son stat propost l maggor numero d approcc che nel seguto andremo ad elencare. Il numero d attrbut consderat: n questo caso s parla d pan mono o multattrbuto. Per la seconda tpologa d pano, d cu s occuperà n dettaglo questo captolo, gl approcc propost n letteratura sono tutt altro che numeros. E possble comunque ovvare a questa mancanza utlzzando un approcco approssmato che consste nel rdurre un pano multattrbuto, n cu sngol attrbut sono stocastcamente ndpendent, n pù pan sngol, avendo cura d sceglere opportunamente valor d rscho per clente e forntore [Dun86]. l numero d stad decsonal: s dstnguono n questo caso pan sngol, dopp o multpl. Esste nfatt la possbltà d progettare un camponamento n accettazone l cu esto (accettazone o rfuto del lotto può avvenre a seguto d un cero numero d test sequenzal. Ad ogn stado decsonale, ad esclusone dell ultmo, s può accettare l lotto, rfutarlo o procedere con un ulterore camponamento e qund con un ulterore stado decsonale. pan meno frequentemente utlzzat: sequenzal: n questo caso s collauda una parte alla volta (dmensone del campone n=1 fnché l numero cumulato d pezz non conform determna l accettazone o l rfuto del lotto. pan a camponamento a catena: nel caso d collaudo dstruttvo o d test molto costos, la dmensone del campone è spesso molto pccola. In quest cas s può adottare un pano con camponamento a catena che rduce l rscho del forntore per percentuale d dfettos molto basse. pan a camponamento contnuo: nel caso n cu le part che arrvano dal forntore non sono naturalmente raggruppate n lott, s può adottare un pano che consente d gudcare le sngole part alternando collaud al 100% a collaud d una frazone lmtata f d part, per rdurre cost d camponamento. pan Skp Lot: sono una naturale estensone de pan a camponamento contnuo nel caso n cu però l forntore provveda a fornre le part n lott. Anche n questo caso, se la percentuale d dfettos rscontrata è partcolarmente bassa, s provvede a rdurre lo sforzo d camponamento controllando solo una frazone de lott n ngresso. Nella progettazone d un pano d camponamento per attrbut s possono adottare due scelte: la prma rguarda l adozone d un

18 Captolo 2 9 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto approcco statstco o economco mentre la seconda rguarda l adozone d un ottca bayesana o frequentsta. Al contraro d quanto accade nella progettazone delle carte d controllo, che verrà trattata dffusamente nel terzo captolo, le due possbl scelte non sono tra d loro ndpendent. Nel tradzonale approcco alla progettazone d pan d camponamento, s usa adottare un ottca statstca, n cu s consdera l concetto d rscho ma senza procedere ad una sua valorzzazone economca. In quest ambto nfatt parametr del pano sono scelt n base alla curva caratterstca operatva che s ntende adottare o, pù precsamente, defnendo due punt della curva rappresentatv del rscho del consumatore e del rscho del produttore. L approcco economco s contrappone a quello statstco poché la scelta del pano da adottare è ottenuta attraverso l ottmzzazone d una funzone economca n cu s consderano cost d spezone, cost d accettazone d prodott dfettos e cost d rfuto d prodott conform. Quas tutt gl approcc economc propost n letteratura s rfanno ad un mpostazone bayesana e questa evdenza è da attrburs ad un mportante rsultato che va sotto l nome d teorema d Mood [Moo43]. Prma d ntrodurre la prncpale conclusone del teorema occorre fare qualche premessa sull approcco bayesano n quest ambto. S supponga che un prodotto è fornto n una sere d lott da un forntore. A causa d una naturale varabltà, quest lott sono caratterzzat da una qualtà che vara nel tempo. Questa varabltà può essere dstnta n varabltà nterna al lotto (camponamento e varabltà tra lott (camponamento pù varabltà d processo. Se queste due font d varabltà sono ugual, sgnfca che l processo è stable nel tempo e che ogn lotto può essere consderato come un campone casuale estratto da un processo n cu la probabltà d generare non conform è costante. Questa stuazone è sottntesa n tutt pan d camponamento tradzonal o non-bayesan. Spesso però l processo che genera lott non è stable nel tempo, per cu le potes sulle qual s basa l approcco tradzonale al controllo n accettazone non sono pù verfcate ed è naturale applcare un approcco bayesano. Infatt n un approcco non bayesano l parametro che regola la generazone d dfettos nel lotto, p, è rtenuto costante anche se ncognto. In un approcco bayesano nvece sul parametro p s prevede una dstrbuzone f(p, pror, che modellzza la varabltà d questo parametro nel tempo. Il prncpale rsultato del teorema d Mood è che se f(p=1 se p=p0 e f(p=0 quando p p0, allora non c è bsogno d camponare [Mon96]. D conseguenza la convenenza economca al camponamento s ha solo n presenza d una varabltà naturale nella frazone d dfettos con cu lott sono generat. Vsta la naturale relazone tra progettazone economca ed approcco bayesano, quas tutt modell bayesan propost n letteratura sono

19 Captolo 2 10 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto rvolt a progettare economcamente l collaudo n accettazone. Tra quest, molt s occupano, pù n dettaglo, della progettazone economca d pan monoattrbuto. In realtà ne cas real, lott n ngresso sono caratterzzat da pù caratterstche d qualtà che devono essere conguntamente controllate. In questo captolo s affronterà qund l problema della progettazone economca d pan d accettazone bayesan multattrbuto. Partendo da un anals dello stato dell arte s procederà a valutare crtcamente gl approcc propost su questo argomento, proponendo un metodo che non assume a pror una poltca nel caso d rfuto del lotto. In letteratura nfatt, la progettazone economca d pan multattrbuto è condotta assumendo che tutt gl attrbut sano scrappable o screenable. Per attrbuto scrappable s ntende una caratterstca che, qualora provoch l rfuto del lotto, porta allo scarto del lotto. In questo caso s sta mplctamente potzzando che l collaudo al 100% sa o mpossble (per es. nel caso d controllo dstruttvo oppure anteconomco. Se nvece l rfuto del lotto provocato da un attrbuto comporta l collaudo al 100% e l eventuale rprstno de pezz non conform, l attrbuto è detto screenable. L unca ragone per assumere a pror che tutt gl attrbut appartengano ad una o all altra classe è una maggore semplctà gestonale della procedura d accettazone. Nell approcco proposto, che trae orgne da [Des97], l appartenenza d un attrbuto all una o all altra classe (e qund la poltca da segure sul lotto a valle d un rfuto rspetto a quell attrbuto: collaudo al 100% o scarto del lotto sarà rtenuta un ulterore varable decsonale del modello, scelta sulla base de cost che occorre sostenere ne dvers cas. In secondo luogo verrà esamnata con maggore attenzone l adozone d una data dstrbuzone a pror per gl attrbut d nteresse, punto crtco n genere dell mpostazone bayesana. Verrà qund proposta una stma della dstrbuzone a pror sulla base de dat storc e una procedura per valutare se, nel tempo, l adozone d una determnata dstrbuzone a pror non sa pù da rteners valda. L adozone dell approcco proposto verrà nfne presentato n relazone ad un caso reale, evdenzando vantagg economc rspetto alle procedure adottate n azenda allo stato attuale.

20 Captolo 2 11 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 2.2. Modell economc bayesan per la scelta de pan d camponamento per attrbut A parte l approcco proposto dall Amercan Socety for Qualty Control n [Cal90] relatvo alla progettazone d un pano bayesano con approcco statstco, tutt gl approcc bayesan su pan d accettazone propongono una progettazone economca del pano, come gà antcpato nel precedente paragrafo. Analogamente a quel che accade nella progettazone statstca, la maggor parte degl approcc propost trattano d pan monoattrbuto, mentre solo due approcc, che verranno dscuss n maggor dettaglo, rguardano la progettazone economca nel caso n cu l camponamento sa da effettuare n relazone a pù attrbut. Quest ultma stuazone rappresenta l caso n cu un pezzo può rsultare non conforme, e qund non superare l test d accettazone, a causa d m dvers tp d non conformtà, tra loro ndpendent I pan per l camponamento monoattrbuto Camponamento sngolo La maggor parte de modell propost n letteratura per la progettazone economca d pan d accettazone con approcco bayesano, s occupano del caso pù semplce: l pano sngolo monoattrbuto. Il prmo modello n quest ambto s deve a Guthre e Johns nel 59 [Gut59]. In questo prmo lavoro sull ottmzzazone economca de pan d accettazone, vengono evdenzat prncpal cost convolt dalla progettazone del pano, prncpalmente: - costo d accettazone d pezz non conform nella parte d lotto non collaudata; - costo d rparazone de pezz non conform rlevat; - costo d collaudo de pezz del campone; - costo d rfuto d pezz conform nella parte d lotto non collaudata. Il modello determna, nel caso d dmensone N del lotto suffcentemente grande, delle relazon asntotche che permettono d calcolare l numero d accettazone. Rprendendo l modello d Guthre e Johns, Hald nel 60 [Hal60] semplfca l approcco ntroducendo una funzone d costo lneare e utlzzando l concetto d break-even qualty

21 Captolo 2 12 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto pr: la frazone d dfettos che determna un punto d pareggo tra accettare o rfutare l lotto. Nonostante la semplfcazone ntrodotta e successv svlupp propost da Hald fno all ultmo lavoro presentato nel 68 [Hal68], n cu gl autor propongono delle tabelle per facltare l applcazone dell approcco proposto, la progettazone economca bayesana rsulta ancora dstante da una semplce applcazone, per l numero elevato d nformazon che l uso delle tabelle rchede. Tuttava prncpal spunt ntrodott da Hald (l uso d una forma tabellare e l rlassamento del vncolo d nterezza sul numero d accettazone e sulla dmensone del campone sono condvs dall'unca norma attualmente n vgore su pan d camponamento bayesan [JIS63]. In questa norma s fornsce una soluzone al problema della progettazone del pano d accettazone bayesano n tabelle, funzone d tre parametr ottenut consderando l rapporto tra varanza all nterno de lott e varanza tra lott, la dmensone de lott, cost d collaudo, l punto d break-even e la frazone meda d non conform. Dfferente dagl approcc precedent, l approcco proposto n [Erc74] propone due pan d camponamento sngolo a nzo e fne del processo produttvo. Scuro apporto dell approcco è l ndvduazone della relazone esstente tra la qualtà n uscta al processo produttvo e l pano d accettazone sulle matere prme n ngresso. Rsulta con quest approcco charo che la qualtà n uscta è frutto d due forme d nonconformtà, la prma provenente da materal n ngresso, la seconda causata dal vero e propro processo produttvo. L potes d funzone d costo lneare, comune a tutt gl approcc fnora elencat, vene nfne modfcata nel modello presentato n [Mos84b], n cu s ntroduce l concetto d avversone o propensone al rscho del decsore. Al costo atteso s sosttusce qund l utltà attesa che, sebbene rsult un nteressante mgloramento del modello d ottmzzazone economca, presenta consuet problem d stma della funzone utltà. Occorre nfne ctare, per dovere d completezza, un ultmo nseme d approcc, che però modfcano la struttura classca del processo decsonale d un pano d camponamento e che sono denomnat PASS (Prce-Adjusted Sngle Samplng. La progettazone economca d questo tpo d pan sngol s basa sull dea d accettare comunque l lotto a seguto del collaudo, modfcando l prezzo pagato dal clente n funzone del lvello d non conformtà rscontrato nel lotto [Fos72], [Fos77], [Cha83], [Ehr88] Camponamento doppo e multplo In letteratura è stato presentato un unco modello d pano d camponamento doppo. In [Ste78] è nfatt proposto un approcco per

22 Captolo 2 13 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto camponamento a due stad per tutt tp d collaudo: dstruttvo (n questo caso è d conseguenza mpossble procedere ad un collaudo al 100% nel caso d rfuto del lotto, non dstruttvo e collaudo nterrotto (curtaled nspecton. Anche relatvamente a pan multpl, un solo approcco è stato fnora proposto n letteratura [Mor79]. In potes d dstrbuzone a pror nota, l modello è strutturato come problema decsonale markovano n cu l processo è l attvtà d camponamento e la poszone del processo è defnta da due valor: lo stado e lo stato. Ogn stado è defnto dal numero d pezz collaudat fno a quel momento e lo stato è defnto dal numero d pezz non conform rscontrat allo stesso stante. La probabltà d transzone da uno stato all altro è la probabltà d trovare un certo numero d pezz dfettos. Valorzzando economcamente tutte le possbl scelte, l modello propone un set d equazon rcorsve che porta a defnre l pano multplo ottmo economcamente I pan per l camponamento multattrbuto Tutt modell d camponamento multattrbuto, condvdono la stessa mpostazone: la defnzone d una funzone obettvo e l applcazone d un metodo d ottmzzazone. Il problema è un problema a varabl ntere poché occorre defnre la coppa d valor Ac (numero d accettazone e n (dmensone del campone, entrambe quanttà ntere, per ognuno degl m attrbut, suppost ndpendent. Tutt modell adottano come algortmo d ottmzzazone l pattern search, un algortmo d rcerca dretta della soluzone che rsulta, però, fortemente dpendente dall potes d funzone obettvo unmodale e che verrà approfondto nel paragrafo I modell per la progettazone d pan multattrbuto s possono essenzalmente suddvdere n due categore, n funzone dell approcco utlzzato nella funzone obettvo. Il prmo tpo d pano, cu appartengono gl approcc propost n [Sch72], [Cas75], [Al75] e [Mos86], mra alla mnmzzazone del costo totale atteso; l secondo, proposto n [Mos84a], consdera nvece come funzone obettvo l utltà del decsore. Nel prmo nseme d lavor, la prma dfferenza rguarda le potes assunte. In partcolare [Sch72] usa una dstrbuzone possonana per l numero d non conform nel campone e una dstrbuzone a pror esponenzale msta. In [Cas75] nvece, la dstrbuzone a pror utlzzata è una polya e, sfruttando la propretà d rproducbltà (descrtta n Appendce B s derva un modello dscreto anzché contnuo.

23 Captolo 2 14 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto [Mos86] e [Al75] condvdono l mpostazone d [Cas75], che rappresenta, almeno teorcamente un superamento dell approcco n [Sch72]. In dettaglo però [Mos86] s occupa d fssare K programm d camponamento, uno al termne d cascuno de K stad produttv del processo, suppost n sequenza. Il metodo qund propone soluzone ad un problema d suddvsone dello sforzo d spezone nterno al processo pù che ad un problema d progettazone del collaudo n accettazone. [Al75], nvece, estende l anals d [Cas75] al caso d controllo contemporaneo per attrbut e per varabl. Il secondo flone d rcerca è orentato a massmzzare l utltà attesa ed è rappresentato dall approcco proposto n [Mos84a]. In questo caso l obettvo è ntrodurre esplctamente l atttudne al rscho del decsore, e anche se teorcamente valdo, presenta la consueta dffcoltà d stmare la funzone obettvo. Tra gl approcc propost n letteratura, s prenderà come punto d partenza quello proposto n [Cas75] poché s è nteressat a svluppare un pano per l accettazone n ngresso nel caso d pù attrbut (e non d caratterstche modellabl n parte come attrbut e n parte come varabl s farà rfermento all approcco proposto n [Cas75], proponendone una modfca della funzone obettvo e dell algortmo d rcerca della soluzone ottma. Per comprendere meglo le dfferenza proposte, s partrà ntroducendo l approcco nel prossmo paragrafo. In seguto, nel paragrafo 2.5, s descrveranno n dettaglo le modfche proposte.

24 Captolo 2 15 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 2.3. Notazone Smbolo m ( 1,.., m n Ac N X x fn(x gn(x p s,t,s,t,w Pa Cc Cr Ca CC - Cscarto CA Csost Numero d attrbut Indce per dentfcare l attrbuto Dmensone del campone relatvamente all -mo attrbuto Numero d accettazone relatvamente all -mo attrbuto Dmensone del lotto Numero d nonconform relatvamente all -mo attrbuto present nel lotto Numero d nonconform relatvamente all -mo attrbuto present nel campone d dmensone n Dstrbuzone del numero d non conform nel lotto Dstrbuzone del numero d non conform rspetto all -mo attrbuto, nel campone d dmensone n Frazone d part non conform ne lott n accettazone Parametr della dstrbuzone a pror della frazone d pezz non conform p nel lotto Probabltà d accettazone relatvamente all -mo attrbuto Costo d collaudo del lotto Costo d rfuto del lotto Costo d accettazone del lotto costo d collaudo d un tem rspetto all -mo attrbuto (=1,..,m; costo d scarto dell ntero lotto; costo dervante dalla presenza d un pezzo dfettoso non collaudato n un lotto accettato (=1,..,m; Costo d sosttuzone d un pezzo danneggato al collaudo: dverso da zero nel caso d collaudo dstruttvo CC 100% costo per collaudare tutto l lotto rspetto all -mo attrbuto Crepl costo d sosttuzone (o rmpazzo d un pezzo non conforme con uno conforme

25 Captolo 2 16 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto Crt. costo-opportuntà del rtardo con cu l clente processa l nuovo lotto n ngresso qualora l lotto precedente sa stato rfutato Tabella 2.1: Prncpal smbol utlzzat nel captolo Il pano d mnmo costo atteso: l modello d Case, Schmdt e Bennet [Cas75] Ipotes del modello 1. Ogn sngolo lotto n ngresso ha dmensone N, costante. 2. Il collaudo d un pezzo è eseguto rspetto ad m attrbut ndpendent. 3. Per cascun attrbuto s ntende determnare una coppa d numer nter (n, Ac, per =1,..,m, che rappresentano rspettvamente l ampezza del campone da collaudare ed l numero d accettazone rspetto all attrbuto -esmo. Il numero totale d pezz prelevat è qund max{ n }. 4. Il collaudo è supposto dstruttvo. Qualora l lotto non super l test, non s può procedere con un controllo al 100%. In questo caso nfatt l lotto vene defntvamente scartato. Quando nvece l lotto è accettato, pezz collaudat sono sosttut con altrettant pezz addzonal. 5. Il collaudo è esente da error (quest potes non è esplctamente ctata nell artcolo, ma sembra opportuno segnalarla. 6. Sono note le stme delle seguent grandezze economche: - CC = costo d collaudo d un tem rspetto all -mo attrbuto (=1,..,m; - Cscarto= costo d scarto dell ntero lotto; - CA= costo dervante dalla presenza d un pezzo dfettoso non collaudato n un lotto accettato (=1,..,m; - Csost= costo d sosttuzone d un pezzo (danneggato al collaudo. 7. Per ogn attrbuto, la dstrbuzone a pror della frazone d pezz non conform p è una somma pesata d due beta d parametr s, t, s, t >0. Le m dstrbuzon sono ndpendent. I loro parametr sono

26 Captolo 2 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 17 stmat con l metodo de moment, note le stme delle mede µ e delle varanze σ 2, con le seguent equazon: s µ σ µ µ = 2 2 1( (2.1. (1 (1 2 2 t µ σ µ µ = (2.2. Come dmostrato n Appendce B, nell potes che l lotto d dmensone N sa estratto medante camponamento bnomale da un processo caratterzzato, relatvamente all attrbuto -mo, dalla frazone d pezz non conform p con dstrbuzone a pror ndcata nell potes 7, la dstrbuzone del numero d pezz non conform relatvamente allo stesso attrbuto è la somma pesata d due polya d parametr s, t, s, t : m t s t s w N t s t s t X N t s X s X N w N t s t s t X N t s X s X N w X f N 1,.., ed 0 ' ',,, 1, per0 ' ' ( ' ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( (1 ( ( ( ( ( ( ( = > + + Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ = (2.3. Le m dstrbuzon sono ndpendent. Per l teorema d Hald (descrtto n Appendce B, la denstà gn(x del numero d pezz non conform nel campone s ottene da fn(x, sosttuendo n ad N ed x ad X Funzone obettvo La funzone obettvo è l costo totale atteso, composto dalle seguent categore d costo: Costo d collaudo: Cc Costo d rfuto: Cr Costo d accettazone: Ca Il costo d collaudo può essere calcolato come somma de cost relatv al collaudo per ogn attrbuto. Il costo del collaudo relatvamente all -mo attrbuto può, d altra parte, essere calcolato come prodotto del costo

27 Captolo 2 18 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto untaro d collaudo relatvamente all -mo attrbuto per l numero d pezz collaudat relatvamente allo stesso attrbuto: m Cc = 1CC n dove: = CC = costo d collaudo d un tem rspetto all -mo attrbuto. (2.4. Per l calcolo del costo d rfuto, occorre moltplcare l costo d scarto del lotto, Cscarto, supposto noto (potes 6 per la probabltà che l lotto venga rfutato. Quest ultma probabltà è l complemento ad uno della probabltà d accettazone. D altra parte un lotto verrà accettato se supererà l test relatvamente a tutt gl attrbut (ntersezone d event. Per l potes d ndpendenza tra gl attrbut, la probabltà d accettazone è par al prodotto delle probabltà d accettazone relatvamente a sngol attrbut. Rmane qund da calcolare la probabltà d accettazone relatvamente all -mo attrbuto: l lotto supererà l test (verrà accettato rspetto all attrbuto qualora l numero d non conform x rscontrato nel campone d dmensone n non rsult superore al numero d accettazone Ac. Sempre relatvamente all -mo attrbuto, se potzzamo noto l numero d non conform X present nel lotto d dmensone N, l numero d non conform x nel campone n segue una dstrbuzone pergeometrca. Condzonatamente a X, la probabltà d accettazone relatvamente all -mo attrbuto rsulta qund: Pa X dove ϕ n Ac = ϕn ( x X x = 0 ndcauna dstrbuzone pergeometrca (2.5. Indcata con fn(x la probabltà d trovare X non conform n un lotto d dmensone N, s ottene: Pa = N Ac n X = 0 x = 0 ϕ ( x X f N ( X (2.6. D conseguenza consderando l nseme degl m attrbut, l costo d rfuto è dato da:

28 Captolo 2 19 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto Cr m m N Ac Cscarto( 1 Pa = Cscarto 1 ϕ n ( x X f N ( X (2.7. = 1 = 1X = 0 x = 0 = D altra parte la sommatora: N ϕn X = 0 ( x X fn ( X = gn ( x rappresenta x, ossa la probabltà d rscontrare x element gn ( dfettos rspetto all attrbuto -mo nel campone d dmensone n.. D conseguenza la (2.7 può essere rscrtta come: Cr dove m Ac Cscarto 1 g n ( x (2.8. = 1x = 0 = Cscarto= costo d scarto dell ntero lotto. L ultmo elemento da consderare è l costo d accettazone d un lotto Ca. S consder n prma stanza noto l numero d numero d non conform, relatvamente ad ognuno degl m attrbut, n un lotto d dmensone N: X1,..., Xm. La probabltà d accettazone n questo caso rsulta: m m Ac 1,.., X m = Pa ( X = n ( x X = 1 = 1x = 0 Pa( X ϕ (2.9. Per stmare Ca occorre po consderare che qualora l lotto sa accettato, due font d costo devono essere consderate: la prma rguarda la sosttuzone de pezz collaudat e la seconda l accettazone d pezz dfettos. Infatt, qualora l lotto rsult accettato, dal momento che l collaudo è supposto dstruttvo, occorre sostture pezz collaudat, sostenendo un costo Csost max{ n }, vsto che l numero d pezz da collaudare è par a max{ n }. La seconda fonte d costo rguarda l numero d non conform che, relatvamente all -mo attrbuto, può essere presente sa nella frazone

29 Captolo 2 20 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto d lotto non spezonata N- max{ n }, sa nel gruppo d part che sosttuscono pezz collaudat max{ n }. Se s consdera che l gruppo d pezz che sosttuscono quell collaudat sono generat sempre dallo stesso processo, complessvamente l numero d pezz non conform sarà sempre rferto ad un lotto d dmensone N e sarà qund ndcato con X. In defntva: m m Ac Ca( X 1,.., X m = CA X + Csost max{ n } ϕ n ( x X (2.10. = 1 = 1 x = 0 dove: CA= costo dervante dalla presenza d un pezzo dfettoso non collaudato n un lotto accettato; Csost= costo d sosttuzone d un pezzo (danneggato al collaudo. Rmuovamo nfne l potes che sa noto l numero d dfettos X rspetto all attrbuto -mo present nel lotto. Consderando che la probabltà d avere X element dfettos relatvamente all attrbuto -mo nel lotto d dmensone N è fn(x, s ottene: N N m m Ac m Ca =... CA X + Csostmax{ n } ϕn ( x X f N ( X X = X = = 1 0 m 0 1 = 1 x = 0 = 1 (2.11. Una scrttura equvalente ma pù compatta evdenza la possbltà d applcare l teorema d Bayes: m N Ac Ca = CA X ϕn ( x X f N ( X = 1 X = 0 x = 0 m N Ac k ϕn ( xk Xk f N ( X k + k k = 1 Xk = 0 xk = 0 k m N Ac + Csostmax{ n } ϕn ( x X f N ( X = 1X = 0 x = 0 (2.12.

30 Captolo 2 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 21 Per l teorema d Bayes la dstrbuzone a posteror ( N x X ψ del numero d non conform nel lotto rspetto all -mo attrbuto, dato che s è osservato un numero x d non conform relatvamente allo stesso attrbuto nel campone, è data da: ( ( ( ( ( ( ( ( 0 n N n N X N n N n N x g X f X x X f X x X f X x x X ϕ ϕ ϕ ψ = = = (2.13. Per cu: ( ( ( ( n N N n x g x X X f X x ψ ϕ = (2.14. D conseguenza: = = = = = = = = Ac x n Ac x n N N X Ac x N n N X x g x X E x g x X X X f X x X ( ( ( ( ( ( ψ ϕ (2.15. Consderando noltre che: ( ( ( 0 n N X N n x g X f X x = = ϕ (2.16. Sosttuendo le espresson (2.15 e (2.16 nell equazone (2.12 s ottene: = = = = = = + + = m Ac x n m k k Ac x k n m Ac x n k k k x g n Csost x g x g x X E CA Ca ( } max{ ( ( ( (2.17 In defntva, l costo totale atteso che s ntende mnmzzare può essere rcavato consderando le tre component d costo ndcate (collaudo, rfuto e accettazone:

31 Captolo 2 22 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto C TOT = Cc + Cr + Ca E sosttuendo le equazon (2.4, (2.8 e (2.17 l espressone: m CTOT = CCn = 1 m Ac + Cscarto 1 g + n ( x = 1x = 0 m Ac m Ac k + CA + E( X x gn ( x g n ( xk k = 1 x = k = 0 1 xk = 0 k m Ac + Csostmax{ n } gn ( x = 1x = 0 (2.18 C TOT assume (2.19

32 Captolo 2 23 Progettazone economca d un pano d camponamento bayesano sngolo multattrbuto 2.5. Un nuovo modello economco per la progettazone d pan bayesan multattrbuto Le modfche proposte rspetto all approcco descrtto nel precedente paragrafo rguardano essenzalmente la funzone obettvo, la modaltà d controllo della dstrbuzone a pror e l algortmo d ottmzzazone. Infatt l approcco proposto n [Cas75] potzza che tutt gl attrbut dano luogo ad un collaudo dstruttvo, escludendo così la possbltà d effettuare, a valle del rfuto del lotto, un collaudo al 100% con eventuale rprstno de pezz non conform. In realtà, se non tutt gl attrbut danno luogo ad un controllo dstruttvo, la scelta della poltca pù opportuna a valle d un rfuto del lotto è da ndvduars n funzone de cost convolt. Inoltre, occorre consderare che nella realtà non tutt cost sono da attrbure allo stesso soggetto (consumatore o forntore del lotto. Spesso nella realtà produttva s stpulano delle norme contrattual che attrbuscono cost da sostenere a seguto d un rfuto del lotto al forntore, per motvarlo a mglorare la qualtà delle part n ngresso. Questa possbltà verrà, d conseguenza opportunamente modellata nella funzone obettvo, proponendo qund un approcco che rsulta pù faclmente applcable alla realtà produttva. Il secondo problema affrontato rguarda l controllo nel tempo della valdtà della dstrbuzone a pror utlzzata, punto consderato tradzonalmente crtco nell mpostazone bayesana. Nel caso proposto occorre n prmo luogo sottolneare che non s adotta un ottca puramente bayesana, adottando un approcco tpo emprcal bayes, vsto che la dstrbuzone a pror è stmata, sa rguardo all potes dstrbuzonale sa rguardo a parametr, da dat storc dsponbl. Secondaramente verrà proposta una carta d controllo da utlzzare per verfcare che nel tempo, parametr che caratterzzano la dstrbuzone non varno, rendendo poco realstca la pror utlzzata. Infne verrà proposto un algortmo d ottmzzazone basato, come per gl altr approcc propost n quest ambto n letteratura, su un algortmo d rcerca dretta opportunamente modfcato per consderare l caso n cu la funzone obettvo sa dscreta e non necessaramente unmodale.

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