1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione

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1 Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti o Per dubbi o assisteza potete iviare ua a o Idice degli argometi 1. Distribuzioi campioarie legate alla distribuzioe ormale. La stima dei parametri di ua distribuzioe 3. Itervallo bilatero di cofideza bilatero per la frazioe p di ua popolazioe 4. Itervallo di cofideza per la variaza σ di ua popolazioe 5. Itervallo di cofideza per la media µ di ua popolazioe el caso siao dispoibili umerosi dati (>30) 6. Itervallo di cofideza per la media µ di ua popolazioe el caso siao dispoibili pochi dati (<30) 7. Test di ipotesi statistiche 7.1 Test di ipotesi sulla media di ua popolazioe co campioe grade (ampiezza campioe > 30) 7. Test di ipotesi sulla media di ua popolazioe co campioe piccolo (ampiezza campioe < 30) 7.3 Test di ipotesi uilatero sulla differeza tra le medie µ di due popolazioi, osservazioi o accoppiate (campioi idipedeti ed etrambi co > 30) 7.4 Test di ipotesi sulla differeza tra le medie µ di due popolazioi, osservazioi accoppiate 7.5 Test di ipotesi sulla variaza σ di ua popolazioe pagia 0

2 1. Distribuzioi campioarie legate alla distribuzioe ormale Il cocetto di distribuzioe campioaria è il seguete: dalla popolazioe di parteza, supposta gaussiaa per semplicità, estraiamo campioi di determiata ampiezza. Per oguo di questi campioi possiamo calcolare, come visto i precedeza, il valore medio X e la deviazioe stadard campioaria s (i italiao la deviazioe stadard viee chiamata scarto tipo ). Co il procedere dell'estrazioe e l'accumularsi dei campioi, oteremo che ache i valori di X ed s calcolati si distribuiscoo i u certo modo (sappiamo già, ad esempio, che la distribuzioe dei valori medi è ach'essa gaussiaa ma co ua deviazioe stadard σ iferiore a quella della popolazioe e pari, per la precisioe, a σ ). Queste distribuzioi soo le distribuzioi campioarie. Le formule del valore medio e della deviazioe stadard campioaria soo tra le statistiche più semplici ed ituitive. Per la prima si sommao i dati estratti e si divide per, per l'altra si calcola ua sommatoria di quadrati di differeze, si divide per -1 e si prede la radice. Queste operazioi (sommare, elevare al quadrato, etc.) soo due esempi di fuzioe applicata ai dati del campioe, ma ce e possoo essere ifiite altre. Due distribuzioi campioarie molto importati soo: la statistica t di Studet la statistica χ (Chi quadro) Cerchiamo di capire come si ottegoo queste statistiche ed a cosa possoo essere utili. Diamoe iazitutto la defiizioe. Se u campioe casuale di osservazioi y1, y, y3,... è estratto da ua distribuzioe ormale co media µ e variaza σ, allora la distribuzioe campioaria della statistica ( 1s ) χ = σ ha ua desità di distribuzioe chi-quadro co (-1) gradi di libertà. I parole: Se si moltiplica il quadrato della deviazioe stadard campioaria per (-1) e si divide per la variaza della popolazioe, si ottiee ua variabile distribuita co ua determiata desità, chiamata "desità di distribuzioe chi-quadro" Sia z ua variabile casuale distribuita secodo la ormale stadard e χ ua variabile casuale distribuita secodo la chi-quadro co ν = gradi di libertà. Se z e χ soo idipedeti, allora la statistica t = z χ ν ha ua desità di distribuzioe chiamata t di Studet (o semplicemete distribuzioe t) co ν gradi di libertà. pagia 1

3 Si può dimostrare che vale la relazioe: z y µ t = = χ s ν Questa relazioe è molto importate, perché fa vedere che la statistica t dipede solo dalla media della distribuzioe da cui si è estratto il campioe. I parole: Se si sottrae al valore medio campioario la media m della popolazioe e si divide per il rapporto tra la deviazioe stadard campioaria e la radice di, si ottiee ua variabile distribuita co ua determiata desità, chiamata "desità di distribuzioe t (o di Studet)" Aalogamete, la statistica χ è legata alla sola variaza della distribuzioe da cui si è estratto il campioe (e lo si vede direttamete dalla formula) I sostaza, le statistiche ora viste soo utili proprio perché ciascua è legata ad uo ed uo solo dei parametri che idetificao la gaussiaa della popolazioe. Quado parleremo degli itervalli di cofideza vedremo che per defiire itervalli di cofideza per la media utilizzeremo la distribuzioe di Studet, metre per gli itervalli di cofideza della variaza utilizzeremo la statistica χ.. La stima dei parametri di ua distribuzioe Abbiamo visto, durate il corso relativo al Cotrollo Statistico di Processo, come le misure di caratteristiche idustriali (lughezza, peso, etc.) siao dotate (e così il processo che le geera) di ua distribuzioe di probabilità. Quasi sempre ell'ambiete produttivo si ha a che fare co ua approssimazioe della distribuzioe di probabilità gaussiaa o ormale, defiita dai due parametri media e deviazioe stadard. Per cooscere il valore esatto di tali parametri occorrerebbe cooscere tutti i valori costitueti la popolazioe. No essedo ciò possibile, occorre "stimare" i valori di questi parametri basadosi sui pochi dati dispoibili. La stima dei parametri può essere "putuale", el seso che ci porta ad assegare u valore defiito, i base ai dati del campioe estratto, al parametro icogito, oppure i termii di "itervallo fiduciario". I tal caso si troverà u itervallo, la cui ampiezza dipede dal livello di rischio prescelto, che coterrà il vero valore del parametro icogito co ua certa probabilità (defiizioe imprecisa ma ituitiva, diveterà più chiara quado prederemo i esame gli esempi presetati el seguito). 3. Itervallo di cofideza bilatero per la frazioe p di ua popolazioe pagia

4 Spesso è ecessario determiare u itervallo bilatero di cofideza per la frazioe o percetuale p di ua popolazioe, come ad esempio el caso del livello di difettosità p di u lotto (rapporto tra pezzi o coformi e pezzi costitueti il lotto). Vediamo u esempio (ricavato dal Joural of Productio Egieerig, Ja. 1986) U progetto comue di ricerca tra USA e Giappoe prevedeva l'aalisi di u uovo tipo di struttura i cemeto armato. La struttura vee sottoposta a prove e vee chiesto ai tecici americai di valutare le proprietà della uova struttura. Su 48 tecici iterpellati, 36 riteero che la struttura fosse troppo leggera. Trovare u itervallo di cofideza al 95% per la vera frazioe di tecici che ritee che la struttura fosse troppo leggera. La frazioe è data da 36 p = = L'itervallo di cofideza bilatero al 95% è dato da p± z α pq Dalla tabella della distribuzioe ormale vediamo che l'area pari a 0.05 è alla destra del puto L'itervallo cercato è: 075. ± = 0.75 ± 0.1 = (0.68, 0.87) L'iterpretazioe dell'itervallo è la seguete: se chiedessimo a umerosi tecici il loro parere sulla struttura i esame, il 95% delle volte troveremmo ua percetuale compresa tra il 6.8% e l'87.% che afferma che la struttura è troppo leggera. pagia 3

5 4. Itervallo di cofideza per la variaza σ di ua popolazioe U resposabile del cotrollo i u impiato di riempimeto barattoli sa che la quatità coteuta ei sigoli barattoli può variare, a causa di fattori icotrollabili del processo. La quatità media coteuta è importate, ma altrettato importate può essere la sua variabilità, data da σ. Se σ è troppo grade, alcui barattoli coterrao troppo ed altri troppo poco prodotto. Per valutare tale variabilità, vegoo selezioati e pesati accuratamete 10 barattoli, ricavado: y = 7.98 g s = 0.04 g Costruire u itervallo di cofideza al 90% per la variaza del processo di riempimeto. L'itervallo cercato è dato dalla relazioe seguete: ( -1)s ( -1)s σ χ χ α/ ( 1 α/ ) Occorre fare l'ipotesi che i dati provegao da ua popolazioe distribuita secodo la desità di probabilità gaussiaa. Si ha ioltre α=0.10 e quidi α/=0.05 e (1-α/) =0.95. I gradi di libertà soo (-1) = 10-1= 9. Dalla tavola dei valori di χ si ricava χ 0.05 = e χ 0.95 = Sostituedo i valori ella formula otteiamo: (10-1)(0.04) ( 10 1)( 0. 04) σ da cui: σ Questo itervallo va iterpretato el seguete modo: se effettuassimo umerose misure della variaza del processo di riempimeto, oteremmo che il 90% delle volte il valore della variaza misurato cade ell'itervallo trovato. Tale itervallo può duque essere utilizzato per cotrollare se la variaza del processo si discosta dai valori impostati. pagia 4

6 5. Itervallo di cofideza per la media µ di ua popolazioe el caso siao dispoibili umerosi dati (>30) Nel caso siao dispoibili più di 30 misure possiamo, i virtù del teorema cetrale limite, assumere che la distribuzioe campioaria approssimi ua distribuzioe ormale. I tal caso u itervallo di cofideza è dato dalla formula seguete: σ s y ± zα/ ( ) y ± zα/ ( ) dove y è il valore medio campioario e z α/ il valore, preso dalle tabelle della distribuzioe ormale, che lascia ella coda superiore (ed i quella iferiore) u valore apri ad α/. Notare l'approssimazioe effettuata sostituedo la deviazioe stadard della popolazioe co quella campioaria. No è ecessario fare l'ipotesi che la distribuzioe della popolazioe sia ormale. Suppoiamo che u cetro di calcolo voglia valutare l'affidabilità delle memorie di massa dispoibili. U idice dell'affidabilità è dato dall'itervallo medio di tempo che itercorre tra due errori successivi di lettura. Per stimare questo valore, il cetro ha registrato gli itervalli il tempo tra 45 errori successivi, ricavado come tempo medio y = 176 e s = 15. Stimare la vera media del tempo tra errori successivi co ua cofideza del 90%. Abbiamo come livello di cofideza 1-α = 0.9 e quidi α= 0.1, duque α/=0.05. Dalle tabelle ricaviamo il valore z α/ = Iseredo i valori umerici ella formula, troviamo: s y ± zα/ ( ) = ± ( 15 ) = ± Siamo cofideti al 90% che il vero valore della media della popolazioe da cui abbiamo estratto il campioe sia coteuta tra e ). 6. Itervallo di cofideza per la media µ di ua popolazioe el caso siao dispoibili pochi dati (<30) Purtroppo o è sempre possibile estrarre umerosi campioi ed utilizzare la formula precedete, basata sulla desità di distribuzioe ormale. Come regola pratica, se le misure raccolte soo meo di 30 o si può ivocare il teorema cetrale limite e sfruttare la formula precedete, ma occorre utilizzare la distribuzioe campioaria t di Studet. I questo caso occorre verificare che la distribuzioe della popolazioe sia ormale. Se questa ipotesi o è soddisfatta il test può o essere sigificativo. U itervallo di cofideza è pertato dalla formula: pagia 5

7 s y ± t α/ ( ) dove il valore t α/, preso dalle tabelle della distribuzioe t, è quel valore che lascia alla propria destra u'area pari ad α/. E' importate ricordare, utilizzado la tabella, che il umero di gradi di libertà della t è pari a (-1). Si è scoperto che l'aggiuta di u determiato composto al fluido trasportato da ua certa codotta permette di ridurre la quatità di calcare depositata sulle pareti. U esperimeto viee codotto, itroducedo il composto e misurado poi la percetuale di calcare presete i 5 soluzioi, dopo averle fatte decatare per 4 ore. I risultati soo i segueti: Stimare u itervallo per la media del calcare presete elle 5 soluzioi esamiate, co ua cofideza del 99%. Come prima cosa occorre calcolare il valore medio del campioe e la deviazioe stadard campioaria, trovado y = 39. e s = 9.3. Per u livello di cofideza del 99% troviamo 1-α = 0.99 e quidi α= 0.01, duque α/= Poiché il ostro campioe è composto solamete da 5 misure, è ecessario fare l'ipotesi che la quatità media di calcare coteuta el fluido segua ua distribuzioe gaussiaa. Dalle tabelle ricaviamo il valore t α/ = Sostituedo i valori umerici ricaviamo: s s 9. 3 y ± tα/ ( ) = y ± t ( ) = 39. ± ( ) = 39. ± L'itervallo di cofideza cercato è duque (178.9, 99.5). Se è vera l'ipotesi fatta, che il calcare sia distribuito secodo ua gaussiaa, allora possiamo essere cofideti al 99% che la media sia compresa tra i due valori sopra idicati. 7. Test di ipotesi statistiche U test di ipotesi statistiche permette di verificare se i pochi dati estratti (campioe) dalla popolazioe supportao (o cotraddicoo) ua certa ipotesi, fatta su uo dei parametri che idetificao la popolazioe icogita. I test vegoo solitamete formalizzati come ell'esempio seguete: ipotesi ulla Ho : la media è pari a x pagia 6

8 ipotesi alterativa Ha : la media è iferiore al valore x L'ipotesi alterativa potrebbe ache essere la seguete: ipotesi alterativa Ha : la media è superiore al valore x oppure ipotesi alterativa Ha : la media ha u valore diverso da x (è maggiore o miore) Oltre a fissare le ipotesi, occorre idicare la probabilità di errore del I tipo α (già vista quado abbiamo studiato le carte di cotrollo per variabili). La probabilità di errore del I tipo (α) è la probabilità di rifiutare (erroeamete) l'ipotesi ulla, quado questa è vera. Avedo posto, ad esempio, che Ho : µ=µ o, se i dati mi spigoo a rifiutare l'ipotesi che la media valga µ o, (metre ciò è vero) allora commetto u errore del primo tipo. I modo aalogo, la probabilità di accettare u'ipotesi, quado quest'ultima è falsa, viee idicata come probabilità di errore del tipo (errore ß). Avedo posto, come ipotesi ulla, che Ho : µ=µ o, se i dati mi spigoo ad accettare questa l'ipotesi, (metre la media ha i realtà u valore diverso da µ o ) allora commetto u errore del secodo tipo. La regioe critica (CR) è la regioe (semiretta o segmeto) di rifiuto dell'ipotesi ulla Ho. la sua dimesioe dipede dalla probabilità di errore del 1 tipo. Se il valore calcolato dai dati i ostro possesso cade i questa regioe, rifiuteremo l'ipotesi ulla, cioè accetteremo l'ipotesi alterativa Ha. Spesso si ota ua certa difficoltà di compresioe su questo puto, dovuta alle frequeti egazioi (es. o accettare u'ipotesi falsa, etc..) ed al diverso modo di formulare le ipotesi iiziali, che capovolge le covezioi comuemete adottate. Per facilitare la compresioe della procedura, occorre esamiare co attezioe gli esempi proposti el seguito e svolgere gli esercizi (lo svolgimeto di alcui esercizi è presetato alla fie delle dispese). E' molto utile risolvere gli esercizi graficamete. L'ultima defiizioe da ricordare è la seguete: Si defiisce poteza del test la probabilità di rifiutare l'ipotesi ulla Ho, quado questa è, i effetti, falsa. La poteza del test è data dal valore (1-ß). La poteza del test è u modo per idicare la capacità del test (come dice ache il ome) di farci predere la decisioe giusta (cioè rifiutare l'ipotesi rivelatasi falsa). Dopo aver visto le formule di calcolo ecessarie per effettuare u test di ipotesi statistiche vediamo qualche esempio reale che possa servire da guida per le future applicazioi: pagia 7

9 7.1 Test di ipotesi sulla media di ua popolazioe co campioe grade (ampiezza campioe > 30) La legge impoe che il livello massimo di ua sostaza daosa per l'orgaismo, coteuta ell'acqua potabile, sia pari a 5 ppm (parti per milioe). U impiato produttivo per la realizzazioe di circuiti stampati scarica piccole quatità di tale sostaza elle acque di u fiume. La direzioe dell'impiato ordia il blocco dell'impiato el caso i cui la cocetrazioe della sostaza daosa superi 3 ppm. 50 prelievi casuali permettoo di ricavare y = 3.1 ppm e s = 0.5 ppm. Questi risultati provao co sufficiete evideza che è ecessario fermare l'impiato produttivo? Verificare al livello di sigificatività pari a Abbiamo: Ho : y = 3 ppm Ha : y > 3 ppm Poiché abbiamo 50 campioi (>30) possiamo usare la statistica y z = = = s / Cerchiamo la regioe critica CR per α =0.01 dalle tabelle della desità ormale. Troviamo z α =.36 e la regioe critica per il ostro test è data dai valori z superiori a.36. Avedo ricavato z = 1.414, o abbiamo ragioe di rifiutare l'ipotesi ulla Ho. No abbiamo pertato motivo di rifutare l'idea che la media sia pari a 3 ppm e o u livello superiore. 7. Test di ipotesi sulla media di ua popolazioe co campioe piccolo (ampiezza campioe < 30) L'effetto di fermi macchia sulle prestazioi di sistemi di produzioe automatici viee spesso simulato tramite appositi software. Uo di questi studi era orietato all'aalisi di u sistema costituito da ua sola macchia utesile co tempo di arrivo medio dei job ad itervalli di 1.5 miuti, ua lavorazioe di durata fissa e pari ad 1 miuto ed u tempo di fermo macchia pari al 10% del totale. Dopo 7 simulazioi complete, ciascua di lughezza 160 ore (le simulazioi devoo essere sufficietemete lughe per fare i modo che il sistema vada "a regime"), la produzioe media per settimaa (40 ore lavorative) é y = pezzi (il umero frazioario è u risultato tipico della simulazioe). Per u sistema di produzioe seza fermi macchia, la produzioe media sarebbe di 190 pezzi. Sapedo che per le 7 prove si ha s = 0 pezzi per settimaa, verificare l'ipotesi che la vera produzioe media per settimaa sia iferiore a 190 pezzi. Adottare u livello di sigificatività pari a Ho : y = 190 pezzi pagia 8

10 Ha : y < 190 pezzi Poiché abbiamo effettuato solo 7 simulazioi complete (<30) dobbiamo usare la statistica t (Studet), co riferimeto all' α assegato. Abbiamo: y yo t = = = s / 0 7 metre dalle tabelle della distribuzioe t troviamo, per 6 gradi di libertà (-1) il valore t α = t 0.05 = Ricordiamo che la distribuzioe di Studet è simmetrica rispetto allo zero. L'area a destra del puto è pari a quella a siistra del puto Essedo l'ipotesi alterativa del tipo y < 190 la regioe critica CR è data dai valori a siistra del puto Il valore da oi ricavato era t = , che o appartiee alla regioe critica. No abbiamo pertato ragioe di rifiutare l'ipotesi ulla Ho e cocludiamo che la produzioe settimaale è, a quel livello di sigificatività, effettivamete di 190 pezzi. 7.3 Test di ipotesi uilatero sulla differeza tra le medie µ di due popolazioi, osservazioi o accoppiate (campioi idipedeti ed etrambi co > 30) Questo tipo di test uilatero viee svolto per verificare se esista ua differeza tra le medie di due popolazioi, formalizzado così le ipotesi ulla ed alterativa: ipotesi ulla H0:( µ 1 µ ) = Do ipotesi alterativa H :( µ µ ) > D {oppure H :( µ µ ) < D } a 1 o a 1 o e si svolge calcolado il valore della statistica: ( y y ) D z s1 s e cofrotadolo co lo z α determiato i base al livello di cofideza richiesto. La regioe critica dipede dal modo i cui è stata formulata l'ipotesi alterativa. Se z > z α {oppure z < -z α } rifiuterò l'ipotesi ulla. 1 Per ridurre i costi è stato sviluppato u uovo processo di paificazioe. E' di iteresse stabilire se il uovo processo permetta di dimiuire il umero di calorie coteute. I dati soo i segueti (1 =uovo processo, = processo precedete): = 50 = 30 1 y = 155 cal y = 1330 cal 1 s = 15 cal s = 38 cal 1 s pagia 9

11 Poiamo: ipotesi ulla ipotesi alterativa H 0 H :( µ µ ) < 0 a :( µ µ ) = La regioe critica, al livello 0.05, è data da z α = Iseredo i dati umerici ella statistica otteiamo: ( y1 y) D0 ( ) z = s1 s ( 15) ( 38) = 141. Il valore z ricavato NON cade ella regioe critica, essedo z > -z α. Cocludo che il campioe esamiato NON forisce co sufficiete evideza la prova che il uovo processo permetta di dimiuire il coteuto calorico del prodotto. 7.4 Test di ipotesi sulla differeza tra le medie µ di due popolazioi, osservazioi accoppiate Vegoo aalizzati 4 esemplari femmia di raa trovate i ua zoa cotamiata da TCDD, u composto ocivo presete egli scarichi di acque idustriali. I particolare viee misurata la quatità (i ppm) di cotamiate presete el fegato e elle ovaie, compilado la tabella seguete. I ricercatori affermao che "il livello medio di TCDD presete elle ovaie delle rae è superiore a quello presete el fegato". Verificare questa affermazioe al 5%. raa N fegato ovaie E' chiaro il motivo per cui si debba effettuare il test "per osservazioi accoppiate". Dobbiamo verificare se le popolazioi "fegato" ed "ovaie" differiscoo, o soo caratterizzate dalla stessa media. 7.5 Test di ipotesi sulla variaza σ di ua popolazioe Questo test viee effettuato ei casi i cui si possa riteere che la variabilità di u processo produttivo sia cresciuta. L'esperieza mostra che la variabilità di ua liea di produzioe di sfere per cuscietti foriti da u certo produttore è pari a (variaza della popolazioe). pagia 10

12 Per ridurre i costi il foritore ha istallato u sistema di produzioe più ecoomico. La variaza campioaria ricavata misurado 100 sfere estratte casualmete da u lotto di produzioe cosegato all'utilizzatore è pari a s = I dati dispoibili foriscoo sufficiete evideza di ua maggiore variabilità ei diametri delle sfere prodotte co il uovo metodo?. Verificare ad u livello di cofideza pari ad α = Formalizziamo il problema el seguete modo: ipotesi ulla H 0: σ = σ1 la variaza è rimasta costate ipotesi alterativa H : σ > σ la variaza è aumetata cioè: a 1 ipotesi ulla ipotesi alterativa H 0 H : σ > a : σ = Dovremo esamiare i dati sfruttado ua certa statistica, che dipeda solo dalla variaza. Per quato visto elle pagie segueti, sappiamo che la statistica ( 1s ) χ = σ dipede solo dalla variaza ed è distribuita secodo la chi-quadro. Avedo posto come ipotesi alterativa ua variaza superiore, saremo portati a rifiutare l'ipotesi ulla se il valore di χ calcolato dai dati supera (cioè si trova più a destra) di u certo valore di soglia. La regioe di rifiuto dell'ipotesi ulla è detta ache regioe critica CR. Questo livello di soglia χ α lo leggeremo dalla tabella i fuzioe del valore di α. Nel ostro caso è α = Riassumedo, rifiuteremo l'ipotesi Ho se si verifica la relazioe χ > χ 0.05 = Passado ai umeri otteiamo: χ ( 100 1)( ) = = Essedo > 13.5, il valore cade ella regioe critica, i cui si deve rifiutare l'ipotesi ulla. Dobbiamo duque cocludere che, co cofideza al 95%, la variaza del processo produttivo è cresciuta rispetto al valore pagia 11

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