Applicazione di metodi statistici alla produzione e al controllo. Vainer Folisi

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2 A mia madre e a mia sorella Ho imparato che desidererei aver detto una volta in più a mia madre e a mia sorella che volevo loro un gran mondo di bene, prima che se ne andassero. 2

3 INDICE Prefazione Introduzione Simbologia 1. CARATTERISTICHE DI UN CAMPIONE 8 2. LA DISTRIBUZIONE NORMALE E NORMALE STANDARDIZZATA INTERVALLI DI CONFIDENZA Intervallo di confidenza per la media Intervallo di confidenza per la media con varianza nota Intervallo di confidenza per la media con varianza incognita Intervallo di confidenza per la varianza 4. I TEST DI SIGNIFICATIVITA Test F (Confronto fra due varianze) Test t (Confronto fra due medie) Test 2 (Confronto fra frequenze) LE CARTE DI CONTROLLO Introduzione Carte per caratteristiche esprimibili come variabili Considerazioni preliminari Carta della media e del range R Utilizzazione della carta in routine Relazione tra specifiche e prestazioni della macchina Limiti di controllo superiori ed inferiori Le curve operative delle carte di controllo Cenni sulle carte di controllo per attributi 6. CAMPIONAMENTO Tecniche usate nel collaudo di accettazione Curve operative e piani di campionamento per attributi La scelta di un piano di campionamento L'errore del campionamento a percentuale costante Potere discriminante di un piano di campionamento Tavole MIL-STD 105 D Il campionamento delle materie prime

4 7. ANALISI DELLA VARIANZA Analisi della varianza a un criterio di classificazione Analisi della varianza a due criteri di classificazione REGRESSIONE LINEARE E CORRELAZIONE SEMPLICE Regressione lineare Retta di regressione Analisi della varianza della regressione Errore del coefficiente di regressione Correlazione semplice 9. DEFINIZIONE E CARATTERISTICHE DI UN METODO p Definizione di un metodo analitico Definizione dell'errore Precisione Accuratezza Sensibilità Limite di rivelazione di un metodo Convalida di un metodo di analisi Linearità e proporzionalità Sensibilità, precisione, accuratezza 10. IL DOSAGGIO BIOLOGICO Introduzione Risposte suscettibili di misura. Analisi della curva dose risposta Titolo o potenza relativa Tipi principali di dosaggio biologico con risposte misurabili Dosaggi per rapporto d'inclinazione Dosaggi per rapporto d'inclinazione bilanciati Dosaggi per linee parallele Dosaggi per linee parallele simmetrici e bilanciati Dosaggio a sei punti Dosaggio di un antibiotico su piastra rettangolare Calcolo dell'attività

5 APPENDICI TABELLE TAB. I TAB. Il TAB. III TAB. IV TAB. V TAB. VI TAB. VII TAB. VIII TAB. IX 86 Distribuzione normale standardizzata unilaterale Distribuzione normale standardizzata bilaterale Coefficienti d2, C2, A2, B3, B4, D3, D4 Distribuzione di F Distribuzione di t Distribuzione di 2 Codice lotto-campione Campionamento singolo Distribuzione di r Bibliografia 97 VALMET 98 5

6 INTRODUZIONE Il controllo preventivo, sia esso delle materie prime o in corso di produzione è determinante per prevenire, come dice la parola stessa, difetti che potrebbero non essere più rimediabili sul prodotto finito oltreché come garanzia della qualità del prodotto finito. E ormai unanimemente riconosciuto che il solo controllo dell'ultimo stadio della fabbricazione ha poco significato. Si deve pertanto tenere ben presente che la qualità si costruisce durante tutto il processo produttivo e quindi durante la costruzione degli impianti, la ricerca e lo sviluppo del prodotto, l'acquisto dei materiali, la produzione, il controllo, l'ispezione, l'etichettatura, l'immagazzinaggio e la distribuzione. Il primo quesito che si presenta al controllore che ha recepito quanto detto in precedenza, riguarda la significatività dei controlli effettuati, sia in fase di campionamento sia in corso di produzione, essendo conscio che l'attendibilità di un risultato è legata in modo più o meno determinante al numero di osservazioni effettuate (soprattutto nel caso di controlli per attributi come vedremo più avanti). Oltre alla rappresentatività del campione su cui sono effettuati i controlli, ci si trova abitualmente di fronte a problemi quali il tenere sotto controllo la produzione di una determinata macchina oppure di determinare l'errore analitico del metodo di controllo utilizzato e così via. Il controllo statistico cerca appunto di dare una risposta a questi quesiti rendendoci anche consapevoli dei rischi, ossia della probabilità di errore, cui siamo inevitabilmente soggetti, sia come produttori sia come utilizzatori, quando prendiamo una determinata decisione. La statistica inoltre ci permette di trarre da un campione omogeneo, ossia con una difettosità distribuita uniformemente, di proporzioni limitate, un giudizio sulla qualità del prodotto finale con il relativo rischio percentuale di accettazione o di rifiuto. Non si deve infine associare necessariamente la parola statistica a teorie matematiche molto complesse perché l'applicazione dei metodi statistici risulta spesso piuttosto semplice e relativamente facile. 6

7 SIMBOLOGIA xi = indica i risultati ottenuti con i da 1 a n: x1, x2... xn = media aritmetica degli n risultati xi = sommatoria dei risultati ottenuti con i da 1 a n R = Range (differenza tra il valore massimo e il minimo osservato) N = numero dei risultati ottenuti (numerosità del campione) 2 s = varianza s = deviazione standard o scarto tipo CV = deviazione standard relativa o coefficiente di variazione S = deviazione standard della media σ = deviazione standard vera μ = media vera u = variabile ridotta o scarto ridotto t = coefficiente di Student F 2 = coefficiente di Fischer = chi quadrato E = errore medio e = errore relativo C.O. = curva operativa LQA = limite di qualità accettabile LQT = limite di qualità tollerabile NA = numero di accettazione r = coefficiente di correlazione b = coefficiente di regressione a = origine della linea di regressione 7

8 1 CARATTERISTICHE DI UN CAMPIONE Se in tempi diversi e in condizioni apparentemente identiche si esegue una misura di una stessa caratteristica si ottengono dei risultati diversi anche se lievemente gli uni dagli altri. Analogamente, gli oggetti fabbricati successivamente da una macchina automatica mostrano tra loro differenze minime. Tali variazioni sono dovute al fatto che se è possibile mantenere costanti un certo numero di fattori che agiscono sui risultati del processo produttivo stabilito, un infinità di altri ci sfuggono e provocano le differenze constatate tra i risultati sperimentali. Orbene, quando si sono ottenute una serie di misure, è interessante caratterizzare il campione da cui le misure derivano mediante un certo numero di parametri per poterli poi paragonare a quelli di un altro campione. Un campione può essere caratterizzato dalla tendenza centrale cioè dalla tendenza delle osservazioni a disporsi intorno ad un valore medio, e dalla dispersione più o meno grande di tali osservazioni attorno alla media. La tendenza centrale può essere espressa in vari modi. Il valore più comunemente usato è la: Media aritmetica = x i / n Anche la dispersione può essere stimata in più modi. Tra i più usati: Range R = xmax xmin Varianza s2 = (x i - )2 / (n 1) in cui: (differenza tra il max e il min valore osservato) il numeratore è la somma dei quadrati degli scarti dalla media; il denominatore è il numero di gradi di libertà (pari al numero di osservazioni meno una). Il valore positivo della radice quadrata di s2 è chiamato: Deviazione standard s = (x i - )2 / (n 1) Se si vuole inoltre paragonare la dispersione di due campioni misurati con unità diverse si può ricorrere al: Coefficiente di variazione CV = 100 s / 8

9 che è indipendente dall'unità di misura impiegata. Esempio 1-1 Uno stesso campione di neomicina solfato è titolato 8 volte con lo stesso metodo. Si ottengono i seguenti risultati: 679, 700, 698, 705, 684, 675, 685, 702 (Ul/mg) Essi costituiscono un campione di cui: x Media aritmetica R = i = = 8 n 5528 = Per calcolare la varianza, si calcola lo scarto di ciascun titolo dalla media, poi il quadrato di questi scarti. xi (xi - ) (xi - ) La varianza è s2 = 932 / (8-1) = 133,14 La deviazione standard s = 133,14 = 11,54 e il CV = 1,67 Il calcolo della varianza può essere semplificato applicando la formula seguente che è algebricamente equivalente: x i 2 - ( x i )2 / n 2 s = n-1 dove al numeratore (devianza) compare la sommatoria dei quadrati di ciascuna osservazione meno un fattore di correzione costituito dalla sommatoria delle osservazioni elevate al quadrato e divisa per il numero di osservazioni. Quando i dati da analizzare sono numerosi (un centinaio per esempio) è vantaggioso classificarli per ordine di grandezza crescente e a ripartirli in un certo numero di classi. Il numero di osservazioni in ciascuna classe si chiama frequenza per classe e la tavola ottenuta tavola di frequenza. L'esame dei dati può essere avviato attraverso la costruzione di un istogramma. 9

10 Esso si ottiene, se l'ampiezza delle classi è costante, riportando sull'asse delle ascisse dei segmenti consecutivi di lunghezza proporzionale all'ampiezza delle classi, e innalzando su questi segmenti, presi come base, dei rettangoli, la cui altezza è proporzionale alla frequenza della corrispondente classe. Esempio 1-2 Distribuzione dei pesi in mg del contenuto di 150 capsule Centro di classe Limiti di classe 195,5 196,5 196,5 197,5 197,5 198,5 198,5 199,5 199,5 200,5 200,5 201,5 201,5 202,5 202,5 203,5 203,5 204,5 204,5 205,5 205,5 206,5 206,5 207,5 207,5 208,5 208,5 209,5 Frequenze Fig. 1 Questa elementare rappresentazione geometrica fornisce per se stessa degli utili ragguagli sulla distribuzione delle frequenze. 10

11 Il valore della media e della deviazione standard nel caso di dati raggruppati è fornito dalle formule = x i f i / n Media Deviazione standard (in cui n è il numero totale di osservazioni) s = [(x i - )2 f i] / n Esempio 1-3 Livello di acidità, espresso in unità di ph, di 150 cassette di terreno. Classi Valore Frequenze centr. 4,7-5,0 5,0-5,3 5,3-5,6 5,6-5,9 5,9-6,2 6,2-6,5 6,5-6,8 6,8-7,1 7,1-7,4 Media xi 4,85 5,15 5,45 5,75 6,05 6,35 6,65 6,95 7,25 = xi fi / n fi xifi xi- (xi - )2 (xi - )2 fi ,55 30,90 87,20 155,25 193,60 152,40 126,35 104,25 58,00 992,50-1,3-1,0-0,7-0,4-0,1 +0,2 +0,5 +0,8 +1,1 1,69 1,00 0,49 0,16 0,01 0,04 0,25 0,64 1,21 5,49 5,07 6,00 7,84 4,32 0,32 0,96 4,75 9,60 9,68 48,54 = 922,5 / 150 = 6,15 Deviazione standard Coefficiente di variazione s = [(xi - )2 fi] / n = 48,58/150 = 0,569 CV = s. 100 / = 56,9 / 6,15 = 9,25 11

12 2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE E NORMALE STANDARDIZZATA Le caratteristiche di una distribuzione di frequenza (ad es: la forma dell'istogramma) possono suggerire l'adattamento di una curva ai dati. Alla spezzata che delimita l'area del piano cartesiano coperta dai rettangoli dell'istogramma può essere sostituita una curva interpolatrice. La curva continua così ottenuta è una rappresentazione della distribuzione di frequenza della popolazione da cui deriva il campione. La media e lo scarto tipo calcolati dai dati del campione danno una stima della tendenza centrale, della dispersione della popolazione ma nessuna informazione sulla forma della distribuzione. Esistono parecchie distribuzioni teoriche. Una di queste la normale o gaussiana è assai frequentemente rappresentativa dei processi produttivi (Fig. 2). Fig. 2 - Curva di distribuzione normale In una distribuzione normale, la variabile osservata x è suscettibile di prendere tutti i valori compresi tra - +. L'equazione che rappresenta tale distribuzione è 2 f (x) = 1/ σ 2π e (x- μ) /2 σ 2 12

13 in cui σ e μ sono rispettivamente la deviazione standard e la media vera. Essa ha un massimo in corrispondenza della ascissa μ ed è simmetrica rispetto all'ordinata che passa per questo punto. Inoltre presenta due punti di flesso in corrispondenza delle ascisse μ - σ e μ + σ. Quando la distribuzione è normale si possono individuare degli intervalli entro i quali cadono delle percentuali fisse del numero dei casi osservati. Più precisamente se l'area racchiusa dalla curva rappresenta tutta la popolazione, cioè il 100% dei valori osservati, si hanno i seguenti intervalli entro i quali cadono le percentuali a fianco indicate della intera popolazione. intervallo μ± σ μ±2σ μ±3σ % compresa nell'intervallo 68,27 95,45 99,73 Si può quindi affermare che in una distribuzione normale, avente media μ e deviazione standard σ, nell'intervallo μ ± 3 σ cadono quasi tutti i casi osservati. E importante sottolineare che ciò vale solo se la forma della distribuzione osservata è effettivamente assimilabile a quella normale. La curva normale o gaussiana (vedi figura 2) è rappresentata da due parametri μ e σ. In altre parole se di una distribuzione di frequenza noi conosciamo μ e σ o meglio la loro stima e s saremo in grado di disegnare la curva. Tanto più piccola sarà la deviazione standard, tanto più stretta sarà la curva di distribuzione e viceversa tanto più larga sarà la curva, quanto maggiore sarà la sua deviazione standard. Fig. 3 La curva normale presenta l'inconveniente di contenere due parametri μ e σ. E possibile ridurre tali parametri ad uno solo mediante la trasformazione u = (x μ) / σ esprimendo ogni valore della variabile x in termini di scarto da μ espresso in unità di σ. La variabile u anch'essa distribuita normalmente viene indicata come variabile ridotta o scarto ridotto ed ha valor medio uguale a zero e varianza pari a uno. 13

14 Si riconducono così tutte le distribuzioni normali a un tipo unificato che si chiama curva normale standardizzata (Figura 4). I valori assunti da questa e dalla relativa area sono stati raccolti in apposite tavole che possono essere utilizzate per tutte le distribuzioni normali qualunque sia la loro media e la loro deviazione standard (vedi tab. I-II). Fig. 4 Qualsiasi problema, quindi, relativo a valori di probabilità di una determinata distribuzione normale può essere risolto in termini di variabile ridotta utilizzando le apposite tavole che ci danno la porzione di area compresa tra - e l'ordinata in un punto u1. Un'applicazione frequente dello scarto ridotto è la seguente: - dati i limiti tecnologici di un processo produttivo, si debba determinare se vengono prodotti pezzi oltre le tolleranze e in quale misura. Esempio 2-1 Prendiamo in considerazione una macchina che ripartisce un antibiotico in flaconcini. La deviazione standard ottenuta sperimentalmente su un gran numero di campioni è s = 4,9. Per rispettare i limiti del capitolato i pesi non devono essere inferiori a 100,0 mg. Un campione di 50 flaconi fornisce come stima della media dei pesi di ripartizione = 105,7 mg. Domanda: con tale produzione qual'è la % di pezzi con peso inferiore a 100,0 mg? Si calcola u = (100,0-105,7) / 4,9 = -1,163. Cercando nelle apposite tavole il valore corrispondente a u = - 1, 16 si trova 0, 123. Si conclude che il 12,3% di flaconi del lotto avranno contenuto al di sotto di 100,0 mg. Trasformando questo discorso in termini di probabilità si può dire che prelevando a caso un flacone del lotto la probabilità di prelevarne uno il cui contenuto sia inferiore a 100,0 mg è del 12,3 %. Il processo in questione non è dunque in grado di rispettare la specifica. Esempio 2-2 Produzione di tubetti di crema a peso teorico g 22. La intubettatrice negli ultimi mesi ha fornito una deviazione standard pressochè costante pari a s = 0,269. Specifica: non più dell'1 % della popolazione deve avere peso inferiore a 22 g. Si sono prelevati durante la fabbricazione 80 pezzi che pesati hanno fornito: = 22,8 g 14

15 Supponendo la popolazione corrispondente normale si può concludere che la macchina è in grado di rispettare le specifiche? Per fare ciò si cercherà qual'è la porzione di popolazione al di sotto di 22 g. u = ( 22-22,8 ) / 0,269 = - 2,97 In corrispondenza di u = -2,97 si trova 0,0015. Si conclude che lo 0,15 % di tubetti del lotto avranno un peso inferiore a 22 g per cui la nostra macchina nelle condizioni di regolazione in cui trovasi è in grado di rispettare la specifica. 15

16 3 INTERVALLI DI CONFIDENZA Quando di un dato campione esaminiamo una caratteristica e ne determiniamo la media è assai poco probabile che la stima si identifichi con il valore μ. Tale stima varierà al variare del campione secondo la legge di distribuzione indotta dalla legge di distribuzione cui il campione si riferisce. Il problema della stima intervallo, consiste nel fissare i due limiti entro i quali è compreso, con una certa probabilità il valore di un dato parametro. In altre parole definiremo intervallo di confidenza quell'intervallo limitato da due valori L1 (limite inferiore) e L2 (limite superiore) tale che la probabilità che il valore vero sia compreso tra L1 e L2 sia pari a 1 - α (con α compreso tra zero e uno) dove 1 - α è il livello di confidenza e dove L 1 e L2 sono variabili causali in quanto funzioni degli n elementi campionari. Analizzeremo qui di seguito, gli intervalli di confidenza più usati. 3.1 Intervallo di confidenza per la media INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA CON VARIANZA NOTA. Nel caso di un campione di numerosità n con media, se σ è la deviazione standard vera della distribuzione, si definisce come deviazione standard della media l'espressione σ =σ / n Se x1, x2,, xi sono i dati ottenuti da un campione estratto da una popolazione distribuita normalmente con media μ incognita e varianza σ2 nota, la media relativa ai dati ottenuti è data da = x i / n La variabile ridotta o standardizzata della è data da u - μ = σ / n Allora utilizzando le tavole apposite è possibile determinare due valori L1 e L2 tali che P (L1 u L2) = 1 α Generalmente si scelgono per L1 e L2 valori simmetrici per cui l'intervallo di confidenza di una media è fornito dall'espressione 16

17 ± u ( σ / n ) Esempio 3-1 Da un campione di 36 panetti di burro si sia stimato il peso medio = 100,62. La popolazione da cui sono stati estratti i 36 elementi ha per quella determinata caratteristica σ2 nota = 4,84. Si chiede una stima della media della popolazione al livello di confidenza del 95%. Se 1 - α = 0,95 α = 0,05 Dalle tavole della curva normale standardizzata bilaterale (tab. II) si ha che u = 1, 96 Per cui l'intervallo di confidenza è dato da 100,62 ± 1,96 ( 2,2 / 36 ) cioè da 99,90 a 101, INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA CON VARIANZA INCOGNITA Quando ci si trova nella situazione espressa al punto precedente supponendo per incognita la varianza e quindi la deviazione standard occorre calcolare la stima che è data come sappiamo da s = (x i - )2 / (n 1) Si definisce allora come stima della deviazione standard della media l'espressione s = s / n e l'intervallo di confidenza di una media è fornito dall'espressione ± t ( s / n ) dove rispetto all'espressione del paragrafo (varianza nota) è stato sostituito al simbolo u il simbolo t per indicare che la distribuzione campionaria di riferimento in questo caso è la distribuzione t di Student, che è una distribuzione normalmente valida per n < 30 (vedi Fig. 8). Esempio 3-2 Un analista ha stabilito il titolo di una soluzione di acido cloridrico N utilizzando Na 2CO3 puro e secco in presenza di metilarancio. Si sono effettuate 6 misure e i risultati sono stati: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 1,042 1,035 1,032 1,037 1,044 1,038 17

18 = 1,038 per α = 0,05 s = 0,0044 e n-1 = 5 g.d.l. t = 2,57 La media vera dunque ha il 95% di probabilità di trovarsi entro i limiti: _ ± t ( s / n ) _ 1,0426 cioè 1,038 ± 2,57 ( 0,0044 / 6 ) = { 1,0334 Esempio 3-3 Si abbia un campione di 12 osservazioni relative al volume di una lozione dopo barba aventi per media = 152 e deviazione standard s = 3,7. Si chiede una stima della media della popolazione a livello di confidenza del 95% Allora sulle tavole della distribuzione di t per α = 0,05 e n-1 = 11 g.d.l. si trova t = 2,20 per cui l'intervallo di confidenza è dato da 154, ± 2,20 ( 3,7 / 12 ) = { 149, Intervallo di confidenza per la varianza. Per determinare l'intervallo di confidenza per la varianza ci si avvale delle tavole della funzione di distribuzione della variabile casuale 2 in quanto il valore campionario ha una distribuzione del tipo 2 con n-1 gradi di libertà. L'intervallo di confidenza è fornito dall'espressione: (n-1) s σ2 21 α/2 (n-1) s α/2 Esempio 3-4 Volendo determinare (con 1- α = 0,90) il grado di precisione, in termini di variabilità del prodotto, con il quale una macchina taglia fogli di carta, si preleva da un lotto di pezzi prodotti, un campione di 10 pezzi. La stima della varianza ha fornito s2 = 0,06. 2 Dalle tavole della distribuzione di in corrispondenza di 9 g.d.l. 2 0,95 = 16,92 2 0,05 = 3,32 per cui l'intervallo di confidenza è dato da 9. 0, , σ ,92 3,32 0,032 σ2 0,163 18

19 4 TEST DI SIGNIFICATIVITA In generale di una data caratteristica misurabile non si conoscono i valori veri; si conoscono come affermato in precedenza alcuni valori campionari della caratteristica e quindi la stima della media o della deviazione standard. Tali stime tanto più differiscono dai valori veri quanto più piccola è la numerosità n del campione esaminato. Pertanto per confrontare le stime di due valori di una caratteristica appartenenti a due popolazioni diverse occorrono dei test di significatività capaci di chiarire se le differenze eventualmente rilevate sono attribuibili a variazioni naturali delle stime e quindi dovute al caso o se tali differenze sono attribuibili a popolazioni diverse. Queste tecniche statistiche vengono applicate quando per la soluzione di problemi quali la modifica di metodi produttivi o di analisi, impiego di nuove macchine ecc. esiste la necessità di contenere i costi dell'indagine e quindi di basarsi su informazioni limitate magari a volte fornite dal C.Q. o su informazioni storiche senza possibilità di ulteriori informazioni. Il modo di operare per tale verifica, è dato dal seguente schema: 1) si formula un'ipotesi relativa ai parametri in esame. 2) si definiscono i criteri probabilistici per accettare o respingere le ipotesi. 3) si determina la campionatura della popolazione da esaminare. 4) si applica ai valori della campionatura il test idoneo. 5) si accetta o si respinge l'ipotesi. Ogni esperimento muove da una ipotesi; all'origine di esso possiamo porne diverse: che A sia migliore (poco, molto, moltissimo, ecc.) di B; che B sia migliore (poco, molto, moltissimo, ecc.) di A; che A sia assolutamente uguale a B. Quest'ultima ipotesi è detta ipotesi nulla, tutte le altre sono dette ipotesi alternative. Per tutti gli esperimenti che si analizzano, si sceglie sempre l'ipotesi nulla. Tale scelta ha almeno due motivazioni 1) l'ipotesi nulla è una sola; le ipotesi alternative sono infinite. 2) non si può provare una ipotesi; si può solo dimostrarne la inaccettabilità. L'ipotesi quindi è di supporre nulla la differenza, cioè si suppone uguaglianza fra la popolazione in esame e quella nota. I risultati del test sono statisticamente significativi quando l'ipotesi nulla, cioè l'ipotesi di uguaglianza, viene respinta, in quanto esiste una differenza fra i parametri considerati. 19

20 Quando questa ipotesi è vera, cioè quando l'uguaglianza supposta è reale, si accetta l'ipotesi nulla, si respinge invece l'ipotesi nulla quando risulta falsa, cioè la differenza fra le popolazioni in confronto esiste effettivamente. Rappresentando graficamente quanto detto avremo: CONFRONTO FORMULAZIONE IPOTESI NULLA (si ipotizza uguaglianza) RISULTATI DEL TEST NON SIGNIFICATIVI SIGNIFICATIVI IPOTESI NULLA VERA IPOTESI NULLA FALSA Non esiste differenza Esiste differenza ACCETTAZIONE RESPINTA IPOTESI NULLA IPOTESI NULLA UGUAGLIANZA DIFFERENZA 20

21 Le ipotesi che generalmente si formulano sono: Ipotesi di uguaglianza delle medie Ipotesi di uguaglianza delle varianze Ipotesi di uguaglianza delle percentuali (test t) (test F) (test 2) In ogni caso, l'ipotesi vera o falsa che sia, è soggetta ad un errore dipendente dal grado di precisione adottato. Normalmente i test possono essere di due tipi: TEST BILATERALI (Fig. 5) TEST UNILATERALI (Fig. 6) I test bilaterali vengono impiegati quando interessa genericamente sapere se esiste differenza tra le stime del parametro considerato. I test unilaterali vengono impiegati quando interessa sapere se esiste differenza in una sola direzione (un solo limite inferiore o superiore). TEST BILATERALI Fig. 5 TEST UNILATERALI Fig. 6 Come si è già detto, nel decidere se una ipotesi è vera o falsa, l'impiego di campioni, fa sì che si commettano errori; questi possono essere di due specie: errore di Il specie: si ha quando in base al campione si decide di accettare l'ipotesi nulla come vera, mentre nel campione non è realmente vera; tale errore dicesi errore β (beta) Il complemento a 1 della dicesi anche potenza dei test. probabilità di errore (1-β) 21

22 Si commette quando si considera l'ipotesi nulla come falsa mentre in realtà, nella popolazione, l'ipotesi è vera; tale errore dicesi: errore α (alfa) e si chiami anche significatività dei test. errore di I specie: Il complemento a 1 della probabilità di errore dicesi anche protezione dei test. CONFRONTO FORMULAZIONE IPOTESI NULLA (si ipotizza uguaglianza) RISULTATI NON RISULTATI SIGNIFICATIVI SIGNIFICATIVI Se l ipotesi formulata Se l ipotesi formulata Se l ipotesi formulata Se l ipotesi formulata è realmente vera e accettata è in e respinta è in realtà e respinta è in realtà non si commettono realtà falsa si falsa, non si vera si commette un errori. commette un errore commettono errori. errore di I specie di II specie (β). (α). Naturalmente le due specie di errori portano a diverse conseguenze; occorre quindi cautelarsi in misura diversa a seconda dei casi. In generale possiamo dire: -la probabilità di commettere un errore di I o di II specie diminuisce quando la numerosità n del campione cresce. -se si vuole minimizzare l'errore di dichiarare diverse (differenza significativa) due serie di osservazioni che in realtà non lo sono e magari sulla base di ciò procedere a investimenti per modifiche di impianti, bisognerà scegliere α piccolo (es. 0,05 oppure 0,01 o ancora più piccolo) secondo il rischio probabilistico che si vuol correre. - se si vuole massimizzare la potenza del test (1- α tendente a 1) di regola bisogna aumentare la numerosità del campione. Esaminata l'importanza di valutazione dei rischi in base ai due errori possibili le strade da seguire che si offrono nell'impostazione di un test di significatività sono due: 22

23 1 Caso (dati α e n) A) formulazione dell'ipotesi da controllare B) determinazione della numerosità n del campione disponibile C) definizione di α D) identificazione dei limiti critici in funzione di α e n E) confronto con i limiti critici del parametro scelto e conseguente giudizio di accettazione o rifiuto dell'ipotesi F) individuare, se necessario, la curva operativa del test. 2 Caso (dati α e β) A) formulazione dell'ipotesi da controllare B) definizione di α e β C) determinazione della numerosità campionaria n necessaria D) identificazione dei limiti critici E) confronto con i limiti critici del parametro scelto e conseguente giudizio di accettazione o rifiuto dell'ipotesi. E bene sottolineare infine che una dichiarazione di differenza significativa è un risultato che depone in una certa misura a sfavore dell'ipotesi nulla mentre una dichiarazione di differenza non significativa non costituisce una prova a favore dell'ipotesi nulla per cui sarebbe in tal caso più corretto affermare Non si può stabilire statisticamente una differenza (con α richiesto) con la numerosità del campione utilizzato. 4.1 Test F Confronto fra le due stime di varianze Quando si vuole verificare se la differenza fra due stime di varianze, ottenute esaminando campioni, è significativa o meno, si applica il test F Esso è derivato da una distribuzione (fig. 7) che trova larga applicazione statistica Fig. 7 23

24 L'aggancio alla distribuzione teorizzata dal matematico Fischer, è stato possibile considerando l'andamento del rapporto fra due varianze, rapporto che naturalmente è 1 se esse sono uguali, ed aumenta man mano che aumenta la loro differenza. Il valore di F è perciò dato dalla formula: F = s12/s22 dove: s12 = varianza con maggior valore Le tavole sono state predisposte in funzione dei grado di libertà delle due varianze e della probabilità di errore α. Queste tavole portano in orizzontale i valori dei gradi di libertà relativi alla maggiore varianza e in verticale quelle relativi alla varianza inferiore; pertanto la lettura del valore F avviene considerando il punto di incontro delle rette relative ai gradi di libertà delle due varianze della probabilità di errore α ammesso. Il valore ottenuto dal calcolo confrontato con il valore riportato sulle tabelle determina l'esistenza di significatività fra le varianze in esame; in ogni caso, l'ipotesi di uguaglianza viene respinta quando il valore di F calcolato è uguale o superiore a quello letto sulla tabella, viceversa, l'ipotesi viene accettata se il valore risulta inferiore a quello della tabella. Questo test si applica nella pratica ogni volta che si vuole paragonare la precisione di due gruppi di osservazione: paragone sulla qualità del lavoro di due analisti; miglioramento provocato nella precisione di un metodo di analisi da una modifica nel metodo; paragone sul lavoro di due macchine automatiche ecc. Esempio 4-1 Confronto della precisione di due metodi di analisi. L'analisi di un campione analizzato secondo il metodo A ha fornito i seguenti valori (Fe %): 9,3 9,1 6,6 8,1 8,5 Analizzato secondo il metodo B ha fornito i seguenti valori: 8,6 8,9 8,5 8,4 7,9 8,0 Nei due casi: A) V = s12 = 1,152 B) V = s22 = 0,142 Si calcola F = 1,152 / 0,142 = 8,1 con n1 = 4 e n2 = 5 g. d. I. La tavola IV mostra che per n1 = 4 e n2 = 5 e α = 0,05 F = 5,2 Essendo Fcalc > F teor si conclude che è verosimile affermare che i due metodi sono diversi e che il metodo B è più preciso. Esempio 4-2 Confronto della precisione tra due analisti. Due analisti usando un unico campione hanno ottenuto in una titolazione i seguenti risultati 24

25 Analista A V = s2 = 103,15 Fcalc = 103,15 / 35,77 = 2,88 Analista B V = s2 = 35,77 per n1 = 5 e n2 = 5 g.d.l. La tavola IV mostra che per n1 = 5 n2 = 5 e α = 0,05 F = 5,1 Essendo Fcalc < Fteor si conclude che non vi è differenza di precisione tra i due analisti. 4.2 Test t Confronto fra medie Il test t si applica in tutti i casi di confronto fra medie ed è normalmente valido per campioni inferiori a n = 30; esso consiste in una distribuzione di medie i cui valori non tendono a quella Normale, ma tendono a una distribuzione leggermente appiattita (fig. 8). Fig. 8 I problemi risolvibili con i test t, come già detto, sono inerenti solo a differenza fra medie, ma può essere applicato sotto differenti forme: I Caso Il Caso III Caso confronto fra due medie di cui una nota e una stimata (test basato su un singolo campione) confronto fra due stime di medie di coppie di osservazioni (dati appaiati) con il metodo delle differenze confronto fra due stime di medie di osservazioni indipendenti (dati non appaiati) 25

26 I Caso: Il primo caso può presentarsi quando occorre verificare se la stima della media di una determinata distribuzione corrisponde ad una precedente nota, oppure alle specifiche. Il modo di operare per la verifica delle ipotesi è il seguente. a - supporre la media del campione uguale alla media vera nota b - scegliere α c - calcolare dal campione la media ( ) e la stima dello scarto tipo vero (s) d - calcolare il valore di t - μ t = s/ n e - leggere sulla tabella V il valore di t in corrispondenza dei g.d.l. e di α f - respingere l'ipotesi di uguaglianza se il valore di t calcolato è uguale o superiore al valore di t letto sulla tabella, oppure accettare l'ipotesi di uguaglianza se il valore di t calcolato risulta inferiore al valore di t letto sulla tabella. Esempio 4-3 Un controllo sui dati produttivi di una materia prima ha mostrato che la resa media di un'operazione effettuata secondo un metodo prestabilito su centinaia di lotti, era di 49,90 Kg. Viene modificato il metodo e si effettuano 10 osservazioni che danno i seguenti risultati: 51,2 50,7 49,9 52,4 48,9 50,6 51,3 49,0 50,6 51,1 La media è = 50,57 La media è evidentemente superiore alla resa media abituale di 49,9 Kg ma essendo il campione costituito da 10 osservazioni e relativamente disperse, ci si domanda se la differenza è significativa o è semplicemente dovuta al caso. -μ Si calcola t = s/ n La stima dello scarto tipo risulta: s = 1,069 con 9 g.d.l. per cui t = (50,57-49,90) / (1,069 / n ) = 1,98 Si legge nella tabella V per 9 g.d.l. e α = 0,05 t = 2,26 26

27 Essendo tcalc< t si conclude che non differisce da μ e non si può quindi affermare che la modifica del metodo produttivo ha migliorato la resa. Il Caso Confronto di medie Capita sovente di voler controllare la validità di due metodi di analisi (non come precisione ma come accuratezza) mediante osservazioni simultanee su una serie di campioni successivi. In tal caso il test t t= - μ s / n = d sd / n ci permette di valutare se un metodo fornisce risultati sistematicamente più elevati o più bassi. Esempio 4-4 Si vuole raffrontare i risultati ottenuti nella determinazione del fluoro totale su campioni di pasta dentifricia mediante due metodi analitici differenti. Campione Metodo A Metodo B x2 x Calcoliamo: d -0 t = sd / n d = d / n = 32/12 = 2,67 27

28 d 2 - ( d )2 / n 2 d s = n-1 Si legge nella tavola V per α = 0,05 e n-1 = 16 g.d.l. t = 2,15 Essendo tcalc > t ne deriva che i due metodi conducono a risultati differenti. III Caso Quando si devono confrontare medie d'insiemi di osservazioni indipendenti come il comportamento due macchine che lavorano lo stesso prodotto prima di applicare il test t, occorre verificare con il test "F" se le due stime s 12 e s22 possono essere considerate come appartenenti ad unico scarto tipo vero. In caso affermativo si procederà alla soluzione del problema applicando il seguente schema: a - supporre uguaglianza fra 1 e 2 b - scegliere α c - calcolare dai campioni le stime delle medie e delle varianze ( 1, 2, s12 e s22 ) d - verificare con il test "F" la significatività fra le due varianze stimate e - se la differenza non è significativa, passare al calcolo della stima combinata impiegando la seguente formula: sp = s12(n1-1) + s22(n2-1) / (n1 +n2 2) dove sp = stima combinata e ponderata f - calcolare il valore di "t" t= sp / (1/n1+ 1/n2) g - leggere sulla tabella V il valore di "t" in corrispondenza di n1+ n2-2 g.d.l. e di α h - respingere l'ipotesi di uguaglianza se il valore di t calcolato è uguale o superiore al valore di "t" letto sulla tabella, oppure accettare l'ipotesi di uguaglianza se il valore di "t" calcolato risulta inferiore a quello letto sulla tabella. 28

29 Esempio 4-5 Si abbiano campioni provenienti da due cicli produttivi. Per valutare se vi è differenza fra i valori medi di una data caratteristica sono state eseguite 7 determinazioni per il materiale del ciclo A e 5 per quello del ciclo B. CICLO A 101, 103, 99, 101, 98, 102, 104, , = 100, 0 s12 = 6,0 CICLO B 103, 105, 2 = 104,0 s22 = 2,5 Prima di passare al calcolo della stima combinata (S p) bisogna verificare, mediante il test "F" se le due varianze stimate (s12 e s22 possono essere considerate provenienti da un unico scarto tipo vero. F = s12 / s22 = 6 / 2,5 = 2,4 Dalle tavole il valore dei test "F" con 95 % di probabilità risulta uguale a 6,16; pertanto la differenza fra le due varianze non è significativa; si può quindi effettuare il calcolo della stima combinata (Sp) sp = 2,14 Calcolata la stima combinata si procede poi al calcolo di "t" t = 3,2 Dato che interessava determinare la significatività con un errore a dell'1% si è cercato sulla tabella il valore di "t" corrispondente a "g.d.i." = 10 che è risultato 2,76. Confrontato il valore di "t" del calcolo con quello della tabella, è stato possibile concludere che vi era differenza fra il materiale fornito del ciclo "A" rispetto a quello fornito dal ciclo "B". Quando da un esame analogo al precedente, risulta che il test "F" dà significatività, occorre proseguire nel seguente modo: - calcolare il test "t" con la seguente formula: t= (s12/n1+ s22/n2) N.B. - In questo caso non si procede al calcolo della stima combinata in quanto si è dimostrato che le due varianze sono diverse. 29

30 - calcolare il valore di "g.d.i." (gradi di libertà) impiegando la seguente formula e utilizzando l'intero più vicino al risultato ottenuto. (s12/n1+ s22/n2) gdl = (s12/n1)2 /n1 + (s22/n2)2 /n2 - leggere sulla tabella V il valore di "t" in corrispondenza dei g.d.l. e di α. - respingere l'ipotesi di uguaglianza se il valore di "t" calcolato è uguale o inferiore al valore "t" letto sulla tabella, oppure accettare l'ipotesi di uguaglianza se il valore di "t" è inferiore a quello letto sulla tabella. Esempio 4-6 Riprendendo l'esempio precedente e supponendo che i valori del ciclo B si siano presentati differenti, si ha: CICLO A 101, 102, 98, 96, 102, 110, 99, , 99 1 = 100, 0 s12 = 6,0 CICLO B 96, 108, 2 = 103, 0 s22 = 35,0 Si è eseguita la verifica della significatività delle due varianze. F = s22 / s12 = 35 / 6 = 5,83 N.B.: In questo caso si è impiegato al numeratore la varianza s22 in quanto è quella con maggior valore. Dalle tabelle il valore di "F" con 95% di probabilità, corrispondente a 4 e 6 g.d.l. = 4,5; pertanto le due varianze sono da ritenere appartenenti a due scarti tipo veri, perciò sono diverse. Si è proceduto poi al calcolo del valore di t t= (s12/n1+ s22/n2) t = 1,07 30

31 Per ricercare sulle tabelle il valore di "t" da confrontare con quello calcolato si è proceduto alla determinazione dei g.d.l. impiegando la formula (s12/n1+ s22/n2) gdl = (s12/n1)2 /n1 + (s22/n2)2 /n2 Gdl = 6,23 quindi 6 Si è effettuata la verifica di significatività fra le medie considerando 6 g.d.l. ed ammettendo un errore dell'1% Il valore di "t" risultante dalle tabelle è 3,71; pertanto si è potuto concludere che le medie dei cicli "A" e "B" non differivano significativamente fra loro anche se appartenenti a due differenti distribuzioni. 4.3 Test 2 Confronto fra frequenze I test esaminati finora si applicano a dati numerici quantitativi misurabili. Per osservazioni che non possono essere espresse con una misurazione, come il numero di pezzi conformi o difettosi si ricorre al 2 per confrontare frequenze osservate a frequenze teoriche. Il test " 2 " è un indice che verifica se le frequenze osservate (fo) differiscono significativamente da quelle che si sarebbero dovute verificare (frequenze assegnate "np") ammettendo l'ipotesi di uguaglianza. Esso è calcolato impiegando la seguente espressione 2 = (fo np)2 /np dove: fo np frequenze osservate frequenze assegnate o aspettate Dalla formula si nota come la sommatoria dei rapporti sia zero quando le frequenze osservate corrispondono a quelle aspettate, ed assuma valori positivi man mano che le frequenze osservate differiscono da quelle aspettate. Per poter definire se la differenza fra le frequenze è dovuta solo al caso, si confronta il valore di 2calcolato con quello risultante dalle tabelle in funzione dei gradi di libertà e dell'errore ce ammesso; in altre parole, si verifica se il valore di 2calcolato è contenuto in quello che ha una de terminata probabilità di verificarsi per caso. Il numero di gradi di libertà da considerare è dato dal numero delle differenze che si effettuano meno 1. Lo schema generale di applicazione per questo test è il seguente: a- supporre uguaglianza fra le frequenze b- eseguire la stima delle frequenze aspettate c- scegliere l'errore alfa (α) 31

32 d- calcolare il 2 e- leggere sulla tab. VI il valore 2 corrispondente ai gradi di libertà e all'errore α considerato f - respingere l'ipotesi di uguaglianza se il valore di 2 calcolato è uguale o superiore a quello risultante dalle tabelle, oppure accettare l'ipotesi se il valore di 2 calcolato è inferiore a quello della tabella. Esempio 4-7 In uno stabilimento alimentare cinque inflaconatrici lavorano in condizioni identiche. In un periodo di produzione pari a 42 mesi il numero di fermi dovuti ad avarie su un particolare della macchina sono stati rispettivamente: 4, 5, 3, 9, 9 Si chiede se si può ritenere significativa la differenza di difettosità e se quindi è giustificato un fermo di produzione per manutenzione preventiva delle inflaconatrici D e E. Se gli apparecchi sono identici la probabilità che il prossimo fermo capiti su uno di essi è p = 0,20 Su un totale di 30 fermi si sarebbe dovuto avere su ciascuna inflaconatrice np = 30 x 0,20 = 6 fermi Calcoliamo 2 Inflaconatrice Fermi osservati (fo) Fermi teorici (np) fo - np (fo-np)2 /np A ,67 Nella tavola VI si trova per B ,17 α = 0,05 e 4 g.d.i, C ,5 D ,5 E ,5 TOT ,34 2 = 9,49 Essendo 2 calc = 5,34 < 9,49 si conclude che le cinque inflaconatrici si comportano in modo analogo e che è inutile fermare alcune di esse per ricercarne un vizio di costruzione. Esempio 4-8 Si vogliono confrontare le risultanze del funzionamento di una macchina di confezionamento prima e dopo la modifica di un particolare sul dispositivo di timbratura del n di lotto. A intervalli regolari sono stati prelevati alcuni flaconi e gli stessi sono stati classificati in conformi (nessuna difettosità di timbratura) e difettosi (timbratura non perfettamente leggibile, ecc.) Tab. A PRIMA DOPO TOTALE Conformi a = 225 c = Difettosi b = 25 d = TOTALE

33 Dall'osservazione dei risultati emerge che i difettosi dopo l'intervento sono diminuiti. Per assicurarsi che tale miglioramento non è dovuto al caso applichiamo il test 2. Riscriviamo la tabella Conformi Difettosi (fo-np)2 /np PRIMA fo np fo-np ,8-6, ,2 6,8 CONF = 0,20 DIF = 2,54 DOPO fo np fo-np ,2 6, ,8-6,8 CONF = 0,17 DIF = 2,12 TOTALE 5,03 I valori np (freq. teorica) sono stati così calcolati: La porzione di pezzi conformi nel lotto è data da 510 / 550 = 0,9273 La probabilità che un pezzo appartenga a PRIMA della regolazione è data da 250/550 = 0,4545 La probabilità composta che un pezzo PRIMA della regolazione sia conforme è data da 0,9273 x 0,4545 = 0,4215 La frequenza teorica per un campione totale di n = 550 pezzi è dunque dato da 0,4215 x 550 = 231,8 Alla stessa maniera si calcolano gli altri valori di np Il numero di gradi di libertà è (2-1) x (2-1) = 1 Nella tabella VI per n' = 1 e α = 0,05 si trova 2 = 3,84 Essendo 2 calc = 5,03 > 3,84 si conclude che esiste una differenza di qualità tra prima e dopo la regolazione. Il calcolo effettuato risulta sufficiente lungo ed è stato proposto solo ai fini didattici. Lo stesso calcolo in una tavola 2x2 viene normalmente effettuato partendo dalla tab. A con la formula: (ad - bc)2. N 2 = (a+b) (c+d) (a+c) (b+d) 2 = (225x15 285x25)2 x550 / (250x300x510x40) = 5,05 Nota: Quando i campioni sono piccoli oppure vi sono frequenze attese < di 5 e 2 ha un solo g.d.l. bisogna introdurre, nella formula del 2, una correzione detta "correzione di Yates" che tiene 33

34 conto del fatto che la distribuzione empirica esaminata è discontinua mentre 2 è una variabile continua. Se si omette tale correzione, si corre il rischio di sovrastimare 2 e considerare significative differenze che non lo sono. Con tale correzione la formula diventa ( I ad - bc I ½ N)2 x N 2 = (a+b) (c+d) (a+c) (b+d) Sempre in una tabella 2 x 2, quando si hanno frequenze osservate < di 5 o il totale delle osservazioni è minore di 20 è indispensabile applicare il metodo esatto di Fischer che si basa sul calcolo dei fattoriali. Finora si sono considerate tabelle di contingenza con un solo grado di libertà ma i concetti e le formule indicate possono essere estesi al caso di tabelle con m righe e n colonne. 34

35 5 LE CARTE DI CONTROLLO 5.1 Introduzione Le carte di controllo costituiscono uno strumento, che la statistica ci offre, atto a determinare se un processo produttivo è tale da garantire, per tutta la durata del suo svolgimento, il realizzarsi delle caratteristiche volute. La conoscenza del comportamento della variabilità casuale è il supporto metodologico sul quale si fondano gli aspetti teorici e pratici delle carte di controllo. Se infatti durante un processo produttivo verifichiamo periodicamente una determinata caratteristica (il peso di una compressa ad es.) e se le variazioni trovate rientrano nel modello stabilito di variabilità, attribuendone quindi solo al caso la giustificazione, possiamo considerare il processo sotto controllo. Viceversa se il processo fornisce variazioni sistematiche o comunque anomale che non rientrano nel modello stabilito è necessario al ripetersi di tali deviazioni sospendere il processo produttivo e ricercare le cause che hanno originato le deviazioni stesse. Il problema dal punto di vista statistico si configura come un "test di significatività" ripetuto nel tempo. Si controlla cioè se la distribuzione di probabilità della caratteristica oggetto del controllo si mantiene uguale nel tempo o meno. Le carte di controllo essenzialmente si possono dividere in due classi: a) carte per caratteristiche esprimibili come variabili (misure) b) carte per caratteristiche esprimibili come attributi (conforme - non conforme) 5.2 Carte per caratteristiche esprimibili come variabili Quando si tratta di controllare il comportamento di una caratteristica del prodotto esprimibile mediante il risultato di una misurazione, la metodologia più usuale consiglia di adottare contemporaneamente due carte: una che controlla la media e l'altra la dispersione della variabile. Tali carte di controllo per variabili, di cui tratteremo, sono conosciute sotto il nome di carte - R. Vediamo come si costituisce una carta di controllo destinata ad esempio alla sorveglianza di una macchina automatica CONSIDERAZIONI PRELIMINARI Prima che una carta - R possa essere avviata devono essere prese alcune decisioni: il successo del lavoro a venire può dipendere dall'accuratezza con cui queste sono prese. Occorre stabilire: 1) Quale caratteristica deve essere esaminata. 2) Con quale criterio si sceglieranno i pezzi da misurare. 3) Quanto frequente deve essere l'ispezione. 4) Quante misure si faranno ad ogni ispezione. Ogni volta che ci si trova davanti a un gruppo di pezzi dai quali scegliere quelli da misurare, deve essere stabilita una procedura che elimini ogni parzialità. 35

36 I pezzi costituenti il campione devono essere scelti a caso; vale a dire che tutti i singoli pezzi hanno la stessa probabilità di essere misurati. Questa esigenza talvolta pone dei problemi pratici non indifferenti, che tuttavia vanno risolti con una programmazione adeguata. In base alle caratteristiche esaminate deve essere definita la frequenza delle ispezioni. Devono queste succedersi a intervalli di un quarto d'ora, ogni quattro ore, a giorni alternati? Il problema è di indole sostanzialmente economica: si tratta di bilanciare il costo di ispezioni molto fitte contro le perdite che potrebbero verificarsi in seguito a ispezioni troppo rade. Non si può stabilire una formula che risolva automaticamente ogni singola applicazione: le decisioni devono essere prese con una conoscenza completa del processo tenendo ben presente il bilancio economico complessivo. A ogni ispezione quante misure si devono fare? Quanto numeroso deve essere il campione? Qual'è cioè la sua "dimensione"? La numerosità campionaria, come vedremo in seguito, ha influenza con i limiti di controllo della carta, e determina la probabilità β di non avvertire uno slittamento delle condizioni di un processo. Parecchi modelli matematici sono stati proposti ai fini di stabilire la numerosità campionaria ottimale, tuttavia dal punto di vista pratico lo si risolve utilizzando una numerosità campionaria abbastanza esigua (4-5 campioni) e poi variando la frequenza dell'ispezione fino a raggiungere la necessaria regolazione del processo CARTA DELLA MEDIA E DEL RANGE R (Determinazione dei limiti di controllo sulla base di dati osservati e senza riferimento a prescrizione). Prendiamo ad esempio una macchina che ripartisce una polvere (talco) destinata a riempire flaconi a un peso teorico di 60,0 g. Si decide di regolare inizialmente la macchina su un peso medio di 63 g corrispondenti a un surdosaggio del 5%. La macchina senza essere più regolata viene messa in marcia. Si preleva un gruppo di 4 flaconi successivi e se ne pesa il contenuto. I risultati vengono segnati sul foglio (vedi Figura 9) e vengono calcolati - R. Terminate queste operazioni si preleva un secondo campione e così via fino ad aver prelevato una decina di campioni. A questo punto è facile calcolare la media generale = /10=62,6 e l'ampiezza media R = R/10 = 1,4 g La media generale e l'ampiezza media R vengono riportare sul grafico sotto forma di due rette continue orizzontali. L'insieme dei risultati ottenuti permette di calcolare s = R / d2 s = 0,68 g E molto più semplice calcolare la deviazione standard a partire da tale formula in cui R è la media di K ampiezze ( R/K) e d 2 un coefficiente che dipende dalla taglia di ciascun campione e che figura in tabella III. 36