IL GENIO DI ARCHIMEDE. Ostia Antica Maratona di Matematica 2015

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1 IL GENIO DI ARCHIMEDE Ostia Antica Maratona di Matematica 2015

2 Archimede di Siracusa Circa mezzo secolo dopo Euclide esplose il genio di Archimede ( a.c.). Archimede ampliò i confini della matematica ben oltre quelli cui era giunto Euclide. Dopo di lui il mondo matematico avrebbe atteso quasi 2000 anni prima di incontrare un personaggio dello stesso valore.

3 La vita di Archimede Nacque a Siracusa e suo padre pare che fosse un astronomo. Da egli derivò la passione di Archimede per l astronomia. Da giovane viaggiò a lungo in Egitto e studiò ad Alessandria dove aveva operato a lungo anche Euclide. Ancora giovane rientrò a Siracusa dove trascorse il resto della sua vita.

4 Archimede di Siracusa

5 La duplice funzione della matematica L interesse di Archimede era rivolta sia agli aspetti teorici della matematica sia ad applicazioni pratiche. La matematica ha sia una funzione culturale sia strumentale: è un sapere logicamente coerente e sistematico da un lato, e dall altro è un strumento essenziale per una comprensione della realtà.

6 La vite di Archimede Sembra che durante gli anni giovanili abbia inventato la cosiddetta vite di Archimede, un congegno che serviva per sollevare l acqua da un certo livello a uno più alto: in altri termini una pompa idraulica. Il congegno era costituito di un elica che si muoveva all interno di uno stantuffo.

7 Era lo stereotipo del matematico con la testa tra le nuvole che, alle volte, dimenticava perfino di mangiare e di lavarsi. Si racconta che il re Ierone II di Siracusa sospettava che il suo orefice nel fargli una corona avesse sostituito l oro datogli con una lega meno preziosa. Dette ad Archimede il compito di determinarne la composizione.

8 Archimede combatté a lungo con il problema finché un giorno mentre faceva un bagno fu folgorato da una idea che gli fornì la soluzione: aveva scoperto il principio di idrostatica sul galleggiamento dei corpi: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l alto pari al peso di liquido spostato. Si racconta che uscì per strada gridando Eureka, eureka! senza accorgersi che era uscito senza mettersi nulla addosso, nudo come un verme.

9 Immerse un blocco d oro dello stesso peso della corona in un recipiente pieno d acqua e misurò il volume dell acqua spostata (pari al volume del blocco d oro). Poi immerse la corona nello stesso recipiente pieno d acqua e misurò il volume dell acqua spostata. Rilevò che la quantità dell acqua era maggiore. Ne dedusse che la corona aveva un volume maggiore del blocco d oro, quindi la sua densità era minore per cui la corona non era tutta d oro.

10 La leva Molte altre scoperte sono attribuite ad Archimede, in particolare nel campo della meccanica: i principi di funzionamento delle leve e delle carrucole. L avvenimento più importante avvenne in occasione dell attacco di Siracusa da parte dei soldati romani, guidati dal generale Marcello.

11 Archimede con le sue macchine da guerra, che lanciavano pietre a grande distanza, riuscì a respingere i soldati romani. Si racconta, tra l altro, che con una sua macchina riuscisse a sollevare una nave romana, esclamando : Datemi un punto di appoggio e vi solleverò la terra.

12 Gli specchi ustori Archimede concentrò i raggi riflessi da uno specchio parabolico sulle navi romane portandone la temperatura a un livello tale da provocare un incendio. Si dice che come specchi utilizzò degli scudi di bronzo di sezione parabolica o anche una serie di specchi piani disposti in varie posizioni. Gli specchi ustori sono oggi utilizzati per accendere la fiamma olimpica.

13 La conquista di Siracusa Successivamente il generale Marcello, non riuscendo a conquistare Siracusa, cambiò tattica e mise sotto assedio la città. Siracusa resistette lungamente finché in occasione di unna festa dedicata alla dea Diana, i Siracusani si abbandonarono al bere e ai divertimenti, allentando la stretta di sorveglianza. Ne approfittarono i romani per entrare nella città.

14 La morte di Archimede Archimede stava lavorando alla risoluzione di un problema di geometria quando entrò nella stanza un soldato romano che gli intimò di seguirlo. Archimede rispose: Noli tangere circulos meos aggiungendo che doveva terminare la dimostrazione iniziata. A questa risposta il soldato romano sguainò la spada e lo uccise, nonostante l ordine del generale Marcello di portarglielo vivo. Archimede aveva 75 anni.

15 La Scuola di Atene Raffaello Stanza della Signatura Musei Vaticani

16 Il generale Marcello fece erigere in onore di Archimede una tomba di cui nel tempo si persero le tracce. La tomba, nascosta sotto una siepe di rovi, fu riscoperta da Cicerone che aveva notato all ingresso una scultura rappresentante una sfera iscritta in un cilindro.

17 La tomba di Archimede Siracusa

18 I grandi teoremi di Archimede: lunghezza della circonferenza Si sapeva che: Il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro è una costante: C/d = h, da cui C = h x d = h x 2r. h è ciò che poi abbiamo chiamato π (pi greco), il cui valore oggi è 3,

19 Il calcolo di π Dimostrò poi che la costante h = π ha un valore superiore a 3. Infatti la lunghezza di una circonferenza è maggiore della lunghezza p del perimetro dell esagono regolare inscritto nella circonferenza il cui lato è uguale al raggio: p = 6r = 3d. Ne segue che Il rapporto π = c/d > p/d = 3d/d = 3. Quindi π >3.

20 Ma questo era già noto. In un passo della Bibbia si trova π = 3 e una stima più precisa è presente nel Papiro di Rhind (1650 a.c.) dove si trova π = 256/81 = 3, Archimede, considerando poligoni iscritti e circoscritti di un maggior numero di lati (12 lati, 24 lati, ), i cui perimetri si approssimano, per difetto e per eccesso, maggiormente alla lunghezza della circonferenza, trova per π (detta anche costante di Archimede) valori sempre più precisi.

21 Molti altri matematici si sono cimentati nel calcolo di π. Tolomeo (circa150 d.c.) trovò per π il valore 3,1416. Lo scienziato cinese Tsu Ch ung-chih ( d.c.) trovò il valore 3, Il matematico indù Bhaskara (circa 1185 d.c.) trovà 3,1416..

22 Dopo l introduzione del sistema decimale si ottennero valori sempre più precisi. Il matematico francese Viete ( ) arrivò a un poligono regolare di lati ottenendo un valore esatto fino alla nona cifra decimale. Newton e Leibniz, avvalendosi dei risultati dell analisi matematica, trovarono valori più esatti: il problema da geometrico, divenne aritmetico.

23 Una svolta decisiva si è avuta con l avvento del computer. Con un primo rudimentale computer degli Stati Uniti nel 1949 furono trovate 2037 cifre decimali esatte. Via via queste sono aumentate: oggi sono note oltre mezzo miliardo di cifre.

24 Questo lungo e faticoso cammino ha avuto inizio da un piccolo trattato dell insuperato Archimede di Siracusa: La misura del cerchio.

25 Area del cerchio Si sapeva anche che il rapporto tra l area di un cerchio e il quadrato di lato il diametro è una costante: k. A cerchio / A quadrato = k

26 Archimede considerò un cerchio e un triangolo rettangolo di base la lunghezza della circonferenza e di altezza il raggio. r

27 Cerchio e triangolo equivalenti Con un mirabile teorema, basato su una duplice reductio ad absurdum, dimostrò che l area A del cerchio e l area T del triangolo sono uguali. I casi possibili sono tre: A>T, A<T, A=T. Dimostrò che se A>T oppure A<T si perviene a un assurdo. Ne consegue che A=T. L area di T= 1/2 x 2πr x r = π r 2

28 Sulla sfera e il cilindro E un opera in due volumi in cui Archimede, con abilità quasi sovrumana, determinò volumi e aree della sfera e di altri solidi.

29 Area della superficie sferica Era già noto solo che i volumi di due sfere sono proporzionali ai cubi dei loro diametri: V sfera / d 3 = m Nulla si sapeva sull area della superficie sferica.

30 Superficie di una sfera Archimede dimostrò che l area della superficie di una sfera di raggio r è uguale a 4 volte l area del suo cerchio massimo. S = 4πr 2 Adopera la dimostrazione a lui cara: doppia reductio ad absurdum. I casi possibili sono tre: S> 4πr 2, S< 4πr 2, S = 4πr 2 Dimostra che nei primi due casi si giunge a una assurdo, quindi S = 4πr 2

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32 . E stupefacente aver trovato che la superficie di una sfera è uguale a 4 volte l area delimitata dal suo equatore. Archimede stesso in una lettera a un certo Dosideo, matematico alessandrino, esprime stupore per questo risultato.

33 Volume di una sfera Archimede dimostrò che il volume di una sfera è uguale a quattro volte il volume di un cono avente per raggio della circonferenza di base e per altezza il raggio r della sfera (cono con base il cerchio delimitato dall equatore e vertice in un polo. V sfera = 4 x 1/3π r 2 x r = 4/3 π r 3

34 Sfera e cono iscritto

35 Il capolavoro di Archimede: la sfera e il cilindro ad essa circoscritto Infine Archimede dimostrò una interessante relazione tra la sfera e il cilindro a essa circoscritto che rappresenta il coronamento di tutta la sua opera: il cilindro è una volta e mezzo la sfera sia per quanto riguarda il volume che per quanto riguarda l area della superficie.

36 Sfera e cilindro circoscritto

37 Superficie del cilindro e della sfera Il raggio di base del cilindro è r e la sua altezza h è 2r. A superficie totale cilindro = A superficie laterale + A due basi = 2πrh + 2πr 2 = 2πrx2r + 2πr 2 = 4 πr 2 + 2πr 2 = 6 πr 2 = 3/2 x(4 πr 2 ) = 3/2 superficie sfera

38 Volume del cilindro e della sfera V cilindro = πr 2 x 2r = 2 πr 3 = 3/2 x (4/3 πr 3 ) = 3/2 V sfera Racconta Plutarco che Archimede pregò amici e parenti di porre sulla sua tomba un cilindro con dentro una sfera e come iscrizione il rapporto 3/2 esistente tra le superfici e i volumi dei due solidi.

39 Io non so se Archimede fu il più grande matematico dell antichità, come taluni dicono. Certo la sua genialità fu eccezionale. La matematica di Archimede durò per molti secoli. Solo, infatti, nel diciassettesimo secolo, con l avvento dell analisi matematica, riprese lo sviluppo della matematica.

40 Mi piace concludere con le parole di Voltaire: C è più immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero.

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