Modellazione (parte prima)

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1 Modellazione (parte prima) Dove si cominciano a vedere le principali tecniche per descrivere e rappresentare oggetti in uno spazio tridimensionale. Rappresentazione poligonale Curve e superfici Gometria Solida Costruttiva Suddivisione spaziale

2 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 1 Ora che abbiamo a disposizione gli strumenti matematici, geometrici ed algoritmici necessari, iniziamo a occuparci con questo capitolo di grafica 3D vera e propria, cominciando da come si descrive un oggetto in uno spazio 3D La modellazione, sia manuale che procedurale, di oggetti 3D è fondamentale nell ambito della grafica al calcolatore, come fondamentali sono i modi in cui un modello può essere rappresentato In questa prima parte vedremo i fondamenti, nel prossimo capitolo ci addentreremo in alcuni aspetti avanzati della problematica Una volta che sapremo come descrivere un oggetto 3D, affronteremo lo studio del rendering per capire come passare dalle descrizioni descritte in questo capitolo all immagine finale

3 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 2 Gli oggetti che si vogliono rappresentare in una applicazione grafica hanno di solito caratteristiche particolari 1. Sono finiti 2. Sono chiusi (non sempre) 3. Sono continui Le rappresentazioni di oggetti (regioni dello spazio, in generale) si suddividono in basate sul contorno (boundary): descrivono una regione in termini della superficie che la delimita (boundary representation, o b-rep). basate sullo spazio occupato (o volumetriche). Inizieremo dalle rappresentazioni basate sul contorno, ed in particolare da quella poligonale. L ipotesi fondamentale è che il contorno degli oggetti sia una varietà bidimensionale Una varietà è, a grosse linee, una superficie tale che ogni suo punto ha un intorno omeomorfo ad un disco piano (topologicamente equivalente) Gli oggetti reali hanno bordi estremamente complessi, in genere descrivibili in termini di superfici curve

4 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 3 Rappresentazione poligonale Per semplificare la descrizione ai fini della grafica 3D al calcolatore si usa spesso una approssimazione poligonale degli oggetti (del loro contorno). Si tratta di approssimare una superficie bidimensionale con un insieme di poligoni convessi opportunamente connessi gli uni agli altri Se la superficie da approssimare è una varietà si hanno delle limitazioni sull approssimazione; ad esempio ogni lato appartiene al più a due poligoni A seconda delle necessità i modelli poligonali possono risultare non utilizzabili; se per esempio si vuole un alto grado di approssimazione di una superficie curva, il numero di poligoni può diventare troppo grande per essere manipolato in tempi ragionevoli Nelle applicazioni interattive esiste quindi il problema di mantenere il numero di poligoni di ciascun oggetto il più basso possibile. Vedremo in seguito come, usando dei trucchi di shading, si possano usare modelli semplici da un punto di vista poligonale per rappresentare oggetti complesse

5 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 4 Alcuni esempi di mesh poligonali Solidi platonici (alcuni) I solidi platonici sono tutti e soli i poliedri regolari in tre dimensioni; sono in tutto 5 (1) Tetraedro (v=4, f=4) (2) Ottaedro (v=6, f=8) (3) Icosaedro (v=12, f=20)

6 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 5 Varie approssimazioni di una sfera Vediamo alcune approssimazioni di una sfera; si vede come più il numero di vertici è alto più l approssimazione risulta smooth (4) (v=36, f=50) (5) (v=121, f=200) (6) (v=441, f=800) (7) (v=2601, f=5000)

7 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 6 Esempi complessi Il coniglio di Stanford è ottenuto dalla fusione di varie immagini di profondità ottenute con apparecchiature laser avanzate. L originale è fatto di terracotta. Sul caccia dell Alleanza Ribelle non c è bisogno di alcun commento... (8) Bunny (v=35947, f=69451) (9) X-Wing (v=3104, f=6084)

8 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 7 Elementi fondamentali Gli elementi fondamentali di una rappresentazione poligonale (mesh) di una superficie bidimensionale sono 1. Vertici: sono gli elementi 0 dimensionali e sono identificabili con punti nello spazio 3D (essenzialmente tre coordinate); alle volte può essere utile associare ai vertici altre caratteristiche oltre alla posizione (tipo il colore) 2. Lati: sono elementi 1 dimensionali e rappresentano un segmento che unisce due vertici. Di solito non contengono altre informazioni. 3. Facce: sono i poligoni bidimensionali, formati da un certo numero di lati e di vertici (dimostrare che sono in numero uguale). I vertici o i lati si usano per identificare la faccia; possono contenere altre informazioni (tipo il colore) 4. Normali: è fondamentale sapere quale è l esterno della superficie e quale l interno; a tal scopo si associa spesso ad una mesh poligonale anche l informazione sulla normale uscente. Come vedremo questa informazione può essere associata ai vertici o alle facce, a seconda del tipo di shading voluto.

9 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 8 Da tali definizioni si vede che esistono due elementi importanti; i vertici danno informazioni di tipo posizionale, i lati informazioni di tipo connettivo Ovvero, i vertici sono gli unici elementi a cui è associata una posizione; la disposizione dei vertici determina la forma dell oggetto I lati connettono i vertici, permettendo di introdurre un concetto di vicinanza tra vertici e dando le informazioni di tipo topologico Le facce sono determinate una volta dati i vertici e i lati, quindi non introducono nulla di nuovo dal punto di vista posizionale e topologico; al più possono avere associate informazioni utili per lo shading, ma come vedremo spesso non è il caso Le normali sono calcolabili, in casi semplici, semplicemente dal prodotto vettore tra due vettori opportuni; per esempio la normale ad una faccia è data dal prodotto vettore di due qualsiasi dei suoi lati (bisogna stare attenti al segno)

10 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 9 Da notare che per determinare l effetto di una qualsiasi trasformazione affine su un oggetto (traslazione, rotazione, scalatura, composizioni varie di queste), basta applicare la trasformazione ai vertici (che sono punti); le informazioni connettive date dai lati non cambiano in questo tipo di trasformazioni Questo rende piuttosto semplice il rendering di oggetti descritti in termini di mesh poligonali.. qualsiasi trasformazione viene eseguita sui vertici, cioè si tratta di applicare trasformazioni affini su punti, cosa che sappiamo bene come fare L affermazione precedente è vera anche per la proiezione; per vedere come si proietta la forma di una mesh su un piano (l immagine), basta seguire la proiezione dei vertici.

11 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 10 Equazione di Eulero Se V è il numero di vertici, L il numero di lati ed F il numero di facce poligonali della mesh poligonale chiusa di genere G, allora vale la Formula di Eulero V L + F = 2 G Il genere di una superficie dipende (e determina) la sua topologia; per una sfera, per esempio, G = 0, mentre per un toro (una ciambella) G = 2 In ogni caso la maggior parte degli oggetti utilizzati in computer graphics sono topologicamente equivalenti a sfere (sapete cosa significa?)

12 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 11 Problemi di incidenza Un elemento di una mesh si dice incidere su un altro elemento se la loro intersezione è non nulla Ad esempio un lato incide sempre su 2 vertici Una ricerca di incidenza è una procedura che determina tutti gli elementi di un dato tipo che incidono su un certo elemento Ad esempio può essere interessante e utile sapere, data una faccia, quali siano i vertici della mesh che incidono su tale faccia. Vedremo tra poco alcune strutture dati usate per effettuare ricerche di incidenza in modo efficente

13 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 12 Consistenza di una mesh Perché una mesh sia consistente (sia una varietà) devono essere soddisfatte alcune condizioni (su cui torneremo): 1. Ogni lato ha 2 e solo 2 vertici incidenti 2. Ogni lato ha 2 e solo 2 facce incidenti 3. Se due facce incidono su uno stesso vertice, allora deve esserci un lato tale che le due facce vi incidono entrambe; inoltre il vertice di cui sopra deve incidere su tale lato La verifica di consistenza dipende dal grafico (nel caso le mesh siano generate manualmente) o dal programma (nel caso siano generate proceduralmente) Queste condizioni non sono comunque sufficienti ad evitare casi patologici; sono però sufficienti per la maggior parte dei casi comuni Il problema della consistenza delle mesh è particolarmente importante nelle applicazioni di grafica che trattano mesh dinamiche, ovvero mesh poligonali che cambiano durante il tempo, per esempio aumentando il numero di vertici o diminuendolo

14 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 13 Esempio di mesh non consistente Ecco infine un esempio di mesh incosistente, dove cioè non sono rispettati i vincoli di varietà dati sopra (10) Crack (v=11, f=10)

15 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 14 Tipologie di mesh poligonali Le più diffuse tipologie di mesh poligonali sono: Generiche: i poligoni possono avere qualsiasi numero di lati e non è detto che ci sia un solo tipo di poligono. Sono raramente utilizzate in grafica al calcolatore Quadrangolari: gli elementi poligonali sono tutti quadrilateri. Sono alle volte usate quando i dati da rappresentare posseggono una simmetria spaziale particolare, ad esempio se si vuole fare il rendering di un terreno descritto da un array di altezze Triangolari: sono le più diffuse. Questo deriva dal fatto che, come già detto, i triangoli sono non ambigui una volta specificati i tre lati

16 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 15 Come ho imparato ad amare i triangoli ed a vivere contento Definiamo gradi di libertà locali di un poligono in 3 dimensioni come i gradi di libertà che rimangono togliendo le tasformazioni rigide, ovvero rotazioni e traslazioni Quanti gradi di libertà locali in 3 dimensioni ha un poligono a n lati di cui si fissino le lunghezze dei lati? Ogni vertice del poligono ha 3 gradi di libertà, dunque si parte con 3n gradi di libertà A questi vanno tolti i 6 gradi di libertà delle trasformazioni rigide e gli n vincoli dati dalle lunghezze dei lati Si ottiene quindi 3n n 6 (che per altro ha senso solo per n > 2) Da questa formula si vede che per n > 3 bisogna specificare un certo numero di vincoli aggiuntivi se non si vuole che il poligono perda la planarità Detto in altri termini non è detto che n punti, con n > 3, stiano su un piano; bisogna in generale imporlo

17 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 16 In una mesh quadrangolare, dunque, bisogna sempre imporre un vincolo aggiuntivo per ogni quadrilatero che la compone In una mesh triangolare invece non ve ne è la necessità; presi tre punti questi sono sempre coplanari (vedi formula derivata prima con n = 3) Questo è il motivo per cui è preferibile usare una mesh triangolare Per lo stesso motivo la maggior parte delle schede grafiche accelera le operazioni sui triangoli; se le librerie con cui si programma ammettono anche suddivisioni quadrangolari (OpenGL, Direct3D), il processore automaticamente divide ogni quadrilatero in due triangoli con una diagonale

18 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 17 Livello di dettaglio Un fattore importante da considerare è l uniformità della mesh o meno È uno spreco di spazio e risorse avere una triangolazione molto fine in zone essenzialmente prive di particolari geometrici (piatte, per esempio) Una triangolazione troppo larga in certe zone, viceversa, non riesce a cogliere i dettagli e genera un modello poco fedele dell oggetto da rappresentare È importante quindi che una mesh non sia uniforme, ma vari il numero e le dimensioni dei suoi triangoli (o poligoni) a seconda del livello di dettaglio necessario in ogni zona

19 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 18 Heightfield In questa sequenza si può vedere un approssimazione poligonale per le altezze di un terreno; si noti che il numero di poligoni (triangoli) è costante e quindi il terreno appare realistico solo ad una certa distanza. Studieremo nel seguito applicazioni avanzate che ovviano a tale problema (12) Terreno (v=3721, f=7200)

20 ε(v) = 2π i Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 19 Una tecnica per capire se una zona è tessellata troppo utilizza la curvatura scalare Per una mesh triangolare è rappresentabile nel seguente modo: ad ogni vertice si associa un numero pari a 2π meno la somma degli angoli interni di tutti i triangoli incidenti sul punto θ 4 θ 3 θ i (v) θ 5 θ 1 θ 2 Questa non è la curvatura scalare, parametro che vi è legato ma è un si può dimostrare che se ε(v) = 0 allora il vertice v e tutti i vertici ad esso connessi giacciono su un piano Si vede che vertici con ε nullo (o molto piccolo) sono essenzialmente inutili

21 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 20 Generazione di mesh poligonali Esistono vari metodi per generare mesh poligonali che rappresentino oggetti 3D Per oggetti semplici si può creare la mesh manualmente tramite opportuni programmi di modellazione; in genere questo richiede buona abilità artistica e comunque è limitato a modelli molto semplici in termini di numero di poligoni Una tecnica usata è quella di disegnare un contorno poligonale di una sezione dell oggetto e generare quindi la mesh replicando tale contorno un numero fissato di volte lungo un cammino (chiuso o aperto) Una mesh può essere generata proceduralmente; un esempio è dato dagli oggetti frattali. Vedremo nel seguito un esempio di generazione procedurale di un paesaggio frattale

22 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 21 Una mesh può essere generata direttamente da un oggetto 3D reale; esistono varie tecniche che vanno sotto il nome di model (shape) acquisition. MODEL ACQUISITION Contact Non Contact Non destructive Destucrive Reflective Transmissive Jointed arms Slicing Computer Tomography Non optical Optical Microwave RADAR SONAR Passive Active Shape from X Structured light Time of flight Le tecniche ottiche vengono anche chiamate Image-based modeling. Verranno trattate nel corso di Visione Computazionale.

23 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 22 Come si rappresentano Vediamo ora quali strutture dati si usano per descrivere nella pratica delle mesh poligonali Da notare, prima di tutto, che nella stessa applicazione grafica si utilizzano spesso più strutture dati diverse per rappresentare lo stesso oggetto Vedremo in un attimo, ad esempio, come sia comodo descrivere una mesh poligonale in un certo modo in un file esterno, ma sia più efficente usare una descrizione diversa all interno del programma Sono quindi necessarie delle procedure per convertire una rappresentazione in un altra Progettare ed implementare tali procedure è un ottimo modo per capire nel dettaglio le varie rappresentazioni utilizzate per descrivere mesh poligonali Nei disegni e negli esempi ci concentreremo sul caso di mesh triangolari, ma il discorso è valido in generale per tutti i poligoni convessi

24 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 23 Rappresentazione semplice Il modo più immediato per rappresentare una mesh poligonale è specificare tutte le facce della mesh come terne di triplette di coordinate cartesiane Ad esempio il triangolo T 1 si può rappresentare come T 1 = {(a x, a y, a z ), (b x, b y, b z ), (c x, c y, c z )}. È chiaro che sebbene la rappresentazione sia semplice e compatta, non è efficente; ad esempio i vertici vengono ripetuti nella lista dei poligoni. Ricerche di incidenza sono inoltre particolarmente onerose (e a volte non definibili) a c T 1 T 2 typedef struct { float v1[3]; float v2[3]; float v3[3]; } faccia; b d

25 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 24 Lista dei vertici Un primo miglioramento può essere ottenuto eliminando la ridondanza dei vertici c Questo può essere fatto costruendo una lista dei vertici (senza ripetizioni) e dando quindi una lista di facce, ciascuna descritta dai puntatori ai vertici che la compongono (in genere in senso antiorario) a T 1 T 2 b d Ad esempio la faccia T 1 punta ai tre vertici a, b e c In questo modo si elimina la duplicazione dei vertici, ma non quello sui lati; un lato appartenente a due triangoli viene immagazzinato due volte Le ricerche di incidenza continuano ad essere complesse typedef struct { float x,y,z; } vertice; typedef struct { vertice* v1,v2,v3; } faccia;

26 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 25 Lista dei lati Un secondo passo può essere ottenuto eliminando la ridondanza dei lati Questo può essere fatto costruendo una lista dei vertici (senza ripetizioni) ed una lista dei lati, ciascuno composto dai due puntatori ai vertici incidenti il lato; ciascuna faccia viene descritta infine dai puntatori dei lati che la compongono (in genere in senso antiorario) Ad esempio il lato l 1 punta ai due vertici a e b, mentre la faccia T 1 punta ai due lati l 1, l 2 ed l 3. In questo modo si elimina la ripetizione sui vertici e sui lati Le ricerche di incidenza sono più semplici, ma non tutte a l 3 c T 1 T 2 l 1 l 2 typedef struct { float x,y,z; } vertice; typedef struct { vertice* in, fin; } lato; typedef struct { lato* l_1,l_2,l_3; } faccia; b d

27 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 26 Lista dei lati estesa c a l 3 l 2 T 1 T 2 d Un terzo passo può essere ottenuto aggiungendo alla struttura dati dei lati anche i due puntatori alle facce incidenti sul lato Ad esempio il lato l 2 punta a T 1 e T 2, oltre che a b e c come prima. In questo modo si semplificano di molto le ricerche di incidenza lato-faccia l 1 typedef struct { float x,y,z; } vertice; typedef struct { vertice* in, fin; faccia* sin, dest; } lato; typedef struct { lato* a,b,c; } faccia; b

28 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 27 Rappresentazione Winged-Edge In tale rappresentazione si aggiungono dei puntatori ai vari elementi per rendere più semplice l analisi delle incidenze Ogni lato contiene un puntatore ad i due vertici su cui incide, alle due facce su cui incide ed a due lati uscenti da ciascun vertice (in totale 4) Un vertice contiene un puntatore ad uno dei lati che incide su di esso, più le coordinate (ed altro) Similmente una faccia contiene un puntatore ad uno dei lati che vi incide (ed altro). Nel caso specifico del disegno si hanno i seguenti puntatori: l 2 (b, c, l 1, l 5, l 3, l 4, T 1, T 2 ), b(l 2 ), T 1 (l 2 ). c l 3 l 4 l 2 T 1 T 2 l 5 l 1 b typedef struct { we_vertice* v_ini, v_fin; we_lato* vi_sin, vi_dstr; we_lato* vf_sin, vf_dstr; we_faccia* f_sin, f_dstr; } we_lato; typedef struct { float x, y, z; we_lato* lato; } we_vertice; typedef struct { we_lato* lato; } we_faccia;

29 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 28 Rappresentazione Half-Edge In tale rappresentazione ogni lato viene diviso in due lati orientati in modo opposto Ciascun mezzo lato contiene un puntatore al vertice iniziale, alla faccia a cui appartiene, al mezzo lato successivo (seguendo l ordinamento) ed al mezzo lato gemello Ogni vertice, oltre alle coordinate (e possibilmente altre caratteristiche come il colore) contiene un puntatore ad uno qualsiasi dei mezzi lati che esce da tale vertice Ogni faccia contiene uno dei suoi mezzi lati (oltre ad altre caratteristiche quali, ad esempio, la normale) Per esempio, seguendo il disegno, si hanno i seguenti puntatori: l 2 (b, l 2, T 1, l 3 ), T 1 (l 2 ), b(l 2 ). l 3 l 2 l 2 T 1 b typedef struct { he_vertice* origine; he_lato* gemello; he_faccia* faccia; he_lato* successivo; } he_lato; typedef struct { float x, y, z; he_lato* lato; } he_vertice; typedef struct { he_lato* lato; } he_faccia;

30 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 29 Alcune considerazioni finali sulle strutture dati utilizzate per rappresentare le mesh poligonali Come già detto, la stessa applicazione grafica può far uso di più di una struttura dati Ad esempio è molto comune, poiché è semplice ed occupa poco spazio, la rappresentazione con la lista di vertici come formato per i file contenenti la geometria di oggetti Le applicazioni grafiche in genere caricano tali file ed usano l informazione contenuta in essi per riempire una struttura dati più utile ai fini algoritmici (per esempio la half-edge) Ecco un esempio di file che descrive un tetraedro con una mesh di triangoli

31 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 30 Ottimizzazioni: fan e strip di triangoli Normalmente alla pipeline grafica si inviano i triangoli (o i poligoni) di una rappresentazione poligonale Quando si mandano due triangoli che hanno un lato in comune, tale lato in realtà viene disegnato due volte Questo introduce un certo grado di overdraw, ovvero di ridondanza che può incidere sulle prestazioni dell applicazioni Si preferisce quindi raggruppare i triangoli di una mesh in opportuni gruppi che possono essere elaborati in maniere più efficiente Il supporto per tali ottimizzazioni dipende dalla libreria

32 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 31 Per le OpenGL si hanno due possibili gruppi di triangoli 1. Fan di triangoli: è un gruppo di triangoli che hanno in comune un vertice. Il primo triangolo viene specificato completamente, per i successivi basta dare il nuovo vertice Questo raggruppamento è piuttosto efficiente, ma in genere i triangoli che incidono su un vertice sono pochi 2. Strip di triangoli: è un gruppo di triangoli che posseggono a due a due un lato in comune. Di nuovo il primo triangolo viene specificato normalmente, per i successivi basta specificare il nuovo vertice. È meno efficiente, ma le strip in genere contengono più triangoli delle fan Esistono programmi per la conversione di una mesh qualsiasi in una mesh suddivisa per raggruppamenti (in genere per strip)

33 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 32 Riassumendo Le mesh poligonali sono semplici dal punto di vista della creazione Sono semplici da manipolare Esiste però un trade-off tra precisione della rappresentazione e spazio occupato (in memoria) Un altro trade-off è tra la semplicità di effettuare ricerche algoritmiche sulla mesh e lo spazio occupato Inoltre non sempre il rendering risulta perfetto; a volte diventa percebile la tessellazione sottostante In ogni caso è tuttora la tecnica più usata nelle applicazioni grafiche interattive

34 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 33 Curve e superfici Abbiamo visto diversi aspetti della descrizione di oggetti 3D tramite rappresentazioni poligonali Studiamo adesso alcune curve fondamentali utili per la modellizzazione di oggetti complessi Il vantaggio principale nell uso di superfici per modellare un oggetto è l assenza del problema della tessellazione visibile (vedremo comunque che non è del tutto vero) Fino a pochi anni fa l uso di curve, o superfici liscie, era impensabile per applicazioni in tempo reale; per lo più venivano utilizzate in fase di modellazione o per rendering non interattivo Negli utltimi tempi le cose sono cambiate ed oggi cominciano ad apparire applicazioni di grafica avanzata che usano superfici curve anche in tempo reale Iniziamo interessandoci di curve unidimensionali; il passaggio a superfici sarà quindi banale

35 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 34 Forma implicita e parametrica Una curva o una superficie può essere rappresentata sia in forma implicita, sia in forma parametrica La forma implicita è più compatta; ad esempio un cerchio di raggio unitario può essere scritto come x 2 + y 2 = 1 La forma parametrica richiede di trovare due funzioni f(t) e g(t) di un parametro t tali che la curva possa essere descritta dalle equazioni x = f(t) y = g(t) al variare di t in un certo intervallo (di solito [0, 1]) Esercizio 1: dare una formulazione parametrica del cerchio unitario Le curve parametriche sono le più usate in grafica al calcolatore; la forma implicita è usata solo in casi particolari (ad esempio nei ray-tracer) La forma implicita delle curve e superfici notevoli (quadriche e coniche) la ritengo arcinota a tutti...

36 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 35 Curve parametriche Forma parametrica di una curva P (t) = (p x (t), p y (t), p z (t), 1) In genere si usano polinomi di grado fissato per le funzioni di t che descrivono la curva Un esempio banale di curva parametrica lo abbiamo già visto: le rette Vettore tangente alla curva P (t) = Q + tu = (q x + tu x, q z + tu z, q z + tu z, 1) P (t) = dp (t) dt = (p x(t), p y(t), p z(t), 0) Quindi la derivata di un punto in forma parametrica è un vettore (lo si vede anche dal fatto che l ultima coordinata omogenea derivata si annulla)

37 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 36 Continuità; una curva si dice k-continua nel punto p(t) e si indica con C k se è derivabile k volte in quel punto Due curve possono essere unite per gli estremi; in tal modo si garantisce una curva risultante C 0, ovvero continua Per ottenere una curva C 1 si devono imporre ulteriori condizioni; le derivate delle due curve negli estremi che si congiungono devono coincidere Tale condizione dipende dalla parametrizzazione Una richiesta meno forte è che le due derivate (che sono vettori) giacciano sulla stessa retta ed abbiano la stessa direzione; in tal caso la curva è G 1 (continuità geometrica)

38 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 37 Non tutte le curve nel piano ammettono una rappresentazione parametrica polinomiale; si introducono quindi le curve razionali Si consideri una curva parametrica in cui anche la quarta componente è descritta da un polinomio in t P (t) = (p x (t), p y (t), p z (t), p w (t)) Sappiamo che non è un punto nello spazio (ultima coordinata diversa da 1 Se normalizziamo otteniamo Questa è una curva razionale P (t) = ( p x(t) p w (t), p y(t) p w (t), p z(t) p w (t), 1) Per esempo, il cerchio in due dimensioni non è descrivibile con una curva parametrica polinomiale, ma lo è con una curva razionale.

39 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 38 Interpolanti vs Approssimanti In computer graphics si descrivono in genere le curve con l ausilio di punti Bisogna distinguere tra curve interpolanti e curve approssimanti Le prime interpolano i punti, ovvero passano per questi; le seconde invece adattano la propria forma ai punti, ma non è detto che vi passino Le curve interpolanti si usano in genere per specificare le traiettorie nelle animazioni (in questo caso io voglio che la traiettoria passi per certi punti); Le curve approssimanti sono invece utilizzate più per la modellazione e si possono descrivere come combinazioni lineari di n punti P 1 P n i cui coefficenti sono opportune funzioni polinomiali o razionali di un parametro t P (t) = i B i (t)p i Le funzioni di blending B i (t) determinano il tipo di curva

40 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 39 Intermezzo: la forma matriciale La precedente espressione di una curva parametrica, come somma pesata di punti, può essere messa in forma matriciale Sebbene possa essere utile in determinate circostanze, noi non useremo questa notazione Per completezza (in alcuni libri viene estensivamente utilizzata) la cito soltanto Essenzialmente l espressione P (t) = i B i(t)p i può essere vista, formalmente, come il prodotto di due matrici B = (B 0 (t), B 1 (t),..., B n (t) P = P 0 P 1. L espressione per P (t) si ottiene a questo punto con l usuale prodotto righe-colonne tra matrici P n P (t) = BP

41 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 40 Curve di Bezier Inventate (o scoperte) contemporaneamente da Bezier e da De Casteljau Siano dati n + 1 punti P 0... P n detti punti di controllo La poligonale data dai punti di controllo si chiama poligonale di controllo La curva di Bezier è data dalla seguente forma parametrica: dove le funzioni P (t) = n B n,i (t)p i i=0 B n,i = n! i!(n i)! ti (1 t) n i sono le funzioni di base ed il parametro t appartiene all intervallo [0, 1] È facile dimostrare che n i=0 B n,i (t) = 1 t [0, 1] che tra l altro rende sensata l equazione scritta sopra (P (t) è effettivamente un punto)

42 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 41 Esercizio 2: precedente. cosa vi ricorda l espressione per B n,i (t)? Dimostrare il punto Dunque il punto P (t) è una opportuna combinazione affine dei punti di controllo; al variare di t tale punto percorre la curva (14) 4 punti di controllo (15) 5 punti di controllo

43 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 42 Proprietà 1. Ciascun coefficiente della combinazione affine è un polinomio di grado n in t (se i punti di controllo sono n + 1) 2. La curva P (t) passa da P 0 e da P n (per i valori di t pari a 0 ed 1 rispettivamente) 3. B n,i (t) 0 i 4. Le funzioni di base definiscono una partizione dell unità, ovvero si sommano a 1 5. La curva è interamente contenuta nell inviluppo convesso dei punti di controllo 6. La curva è invariante per trasformazioni affini, ovvero basta trasformare i punti di controllo per avere la curva trasformata

44 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 43 Movimenti Come cambia la curva se si sposta un punto di controllo? È facile dimostrare che P k P k + v P (t) C(t) = P (t) + B n,k (t)v Da questo si vede che spostando un punto di controllo si spostano tutti i punti della curva I punti di controllo sono quindi non locali, una loro perturbazione si ripercuote su tutta la curva Questo deriva dal fatto che le funzioni di blending per le curve di Bezier hanno supporto su tutto l intervallo [0, 1]

45 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 44 (16) Prima dello spostamento (17) Dopo lo spostamento

46 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 45 L algoritmo di De Casteljau Algoritmo per costruire ricorsivamente la curva di Bezier, per raffinamenti successivi. Si definisce una gerarchia di punti P 0... P n P 1,0 (t)... P 1,n 1 (t) P 2,0 (t)... P 1,n 2 (t). P n 1,0 (t)p n 1,1 (t) P n,0 (t) data dalla seguente formula ricorsiva P i,j (t) = (1 t)p (i 1),j + tp (i 1),(j+1) dove i = 1... n, j = 0... n i e dove si intende che i punti di controllo, che sono al livello zero della gerarchia (e che non dipendono dal parametro t), possano essere indicati con P 0,0... P 0,n

47 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 46 Si dimostra che l ultimo vertice della gerarchia descrive proprio la curva di Bezier, ovvero P n,0 (t) = P (t) Esercizio 3: verificare che i punti della gerarchia data sopra sono ben definiti (1 u) P 0 u P 10 P 1 P 20 P 11 P 30 P 2 P 21 P 12 P 3 (18) Diagramma (19) Interp. geometrica

48 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 47 La derivata della curva di Bezier Vediamo ora la derivata di P (t) Basta calcolare la derivata delle funzioni di base È immediato trovare che da cui d dt B n,i(t) = n(b n 1,i 1 (t) B n 1,i (t)) i < n P (t) = n 1 i=0 B n 1,i (t)(n(p i+1 P i )) Ricordo che P (t) rappresenta il vettore tangente alla curva per ogni valore del parametro t Esercizio 4: dimostrare che la curva è tangente alla poligonale di controllo nei punti P 0 e P n

49 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 48 Si può anche scrivere ovvero P (t) = n [( n 1 i=0 B n,i (t)p i+1 ) ( n 1 i=0 P (t) = n[c 1 (t) C 2 (t)] B n,i (t)p i )] dove C 1 è la curva di Bezier con punti di controllo P 1... P n e C 2 è la curva di Bezier con punti di controllo P 0... P n 1 Nella gerarchia di De Casteljan C 1 (n) e C 2 (n) sono proprio i due penultimi punti Dunque l ultima poligonale di De Casteljan è tangente alla curva di Bezier

50 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 49 Operazioni varie Si supponga di voler dividere una curva di Bezier in due parti distinte in un dato punto, tali che le due parti messe assieme facciano la curva originale Esercizio 5: dimostrare che basta prendere il bordo superiore ed inferiore del diagramma di De Casteljan come nuovi punti di controllo per le due curve Supponiamo invece data una curva di bezier di voler aggiungere un punto (e quindi aumentare di uno il grado) ottenendo però la stessa curva di partenza Si nota per prima cosa che il primo e ultimo punto devono rimanere uguali; se Q 0... Q n+1 sono i nuovi punti di controlli quindi Q 0 = P 0 e Q n+1 = P n Si dimostra che per gli altri n punti si ha Q i = i n + i P i 1 + (1 i n + i )P i 1 i n

51 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 50 Bspline Le curve di Bezier hanno alcuni difetti Per esempio sono di natura non locale, come abbiamo avuto modo di discutere Inoltre la curva non passa, in generale, vicino ai punti di controllo.. se si vuole costringere la curva a farlo bisogna aggiungere lo stesso punto più volte (pesa di più nella combinazione affine), ma questo obbliga a lavorare con curve polinomiali di grado elevato Questi problemi sono risolvibili usando più curve di Bezier e mantenendo la condizione C 1 (o G 1 ) sui punti di raccordo Il vincolo C 1 può però essere tedioso dal punto di vista operazionale Sono nate quindi le B-spline le quali sono più complesse delle curve di Bezier, ma introducono nuove funzionalità e parametri che le rendono più versatili Anche le curve B-Spline sono definibili in termini di combinazione affine di punti, ma le funzioni di base non sono a supporto su tutto l intervallo del parametro [0, 1], ma lo sono solo su sottoinsiemi

52 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 51 Sia dunque [0, 1] l intervallo di variazione del parametro t che descrive la curva P (t) Per prima cosa si partiziona l intervallo in m sottointervalli definendo m + 1 valori ordinati compresi tra 0 e 1 (t 0,..., t m ) con t 0 = 0 e t m = 1 e tali che t i t i+1 i Tali valori si dicono nodi della B-Spline e la (m + 1)-pla scritta sopra si dice vettore dei nodi In generale non si richiede che i nodi siano tutti diversi; se un nodo compare k volte in sequenza, allora si dirà avere molteplicità k, altrimenti si dice semplice Se i nodi sono equidistanti, allora la B-Spline si dice uniforme L intervallo chiuso-aperto [t i, t i+1 ) si chiama span dell i-esimo nodo

53 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 52 Si definische quindi un intero p come grado della B-Spline Le funzioni di base sono date quindi in termini ricorsivi con la formula di Cox-de Boor N i,0 (t) = 1 t i t < t i+1 0 altrimenti N i,p (t) = con la convenzione che (0/0) = 0 t t i t i+p t i N i,p 1 (t) + t i+p+1 t t i+p+1 t i+1 N i+1,p 1 (t) È facile vedere che per p = 0 la funzione di base i-esima è una funzione a gradino diversa da 0 solo nello span di i Esercizio 6: dimostrare che N i,p (t) è non nulla solo in [t i, t i+p+1 ), ovvero sull unione degli span dei nodi t i t i+p Esercizio 7: viceversa, dimostrare che sulla span di i le funzioni di grado p non nulle sono al più p + 1 e sono N i p,p (t), N i,p (t)

54 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 53 Proprietà delle funzioni di base 1. N i,p (t) è un polinomio in t di grado p 2. i, p, t N i,p (t) 0 3. N i,p (t) 0 solo su [t i, t i+p+1 ); località delle funzioni di base 4. La somma di tutte le funzioni di grado p diverse da 0 su ciascuno span è pari a 1 5. Il numero dei nodi m + 1, il grado p ed il numero di funzioni n + 1 sono legati m = n + p In un nodo di molteplicità k la funzione N i,p (t) è C p k

55 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 54 Definizione della curva B-spline Siano dati n + 1 punti (P 0,..., P n ) che chiamiamo punti di controllo; la curva B-Spline è data dalla seguente formula P (t) = n N i,p (t)p i i=0 dove vale la relazione m = n + p + 1, con m numero degli intervalli in cui si è diviso [0, 1] (gli span) La curva è definita solo sull intervallo [t p, t m p ] Da notare che il grado p è un parametro scelto dall utente, ed è indipendente dal numero di punti di controllo, a differenza delle curve di Bezier Si capisce quindi che le B-spline sono più versatili; posso mantenere il grado del polinomio basso aumentando il numero di punti di controllo a piacere Si può intervenire anche sul numero di nodi e la loro disposizione, ma in genere è più raro Da notare anche che in genere la curva B-spline non passa per i punti P 0 e P n come la Bezier

56 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 55 Se si desidera questa proprietà, si può dimostrare che basta avere i primi p + 1 nodi coincidenti (molteplicità p + 1) e gli ultimi p + 1 nodi coincidenti (i primi pari a 0, i secondi pari a 1) In tal modo la curva passa per il primo e l ultimo punto di controllo e si dice clamped Esercizio 8: una curva B-Spline clamped è uniforme o no? (20) B-Spline uniforme di grado 4 (21) B-Spline clamped

57 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 56 Proprietà delle B-Spline 1. P (t) è l unione di curve di grado p 2. Più basso è p e più la curva segue i punti di controllo 3. Se la curva è campled passa per il primo e ultimo punto di controllo 4. La curva è interamente contenuta nell inviluppo convesso dei punti di controllo; inoltre (condizione più forte rispetto alle curve di Bezier) se t [t i, t i + 1) allora P (t) appartiene all inviluppo convesso dei punti P i p P i 5. La curva è locale, nel senso che se cambio P i modifico la curva solo per t [t i, t p+i+1 ) 6. Le curve di Bezier sono un sottocaso delle B-spline; se prendo p = n ed i 2(n + 1) nodi hanno molteplicità p + 1 sia all inizio che alla fine del vettore dei nodi, allora ottengo una curva di Bezier 7. La curva B-Spline è invariante per trasformazioni affini

58 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 57 NURBS Introduciamo quindi le NURBS, acronimo che sta per Non Uniform Rational BSpline Questo tipo di curve sono diventate di moda negli ultimi anni; molti programmi di modellazione commerciale usano le NURBS come strumento di base (ad esempio Rhinoceros) Recentissimamente hanno fatto la loro comparsa anche in applicazioni avanzate di grafica interattiva; Quake III ha lanciato l uso delle NURBS usando grafica accelerata e difficilmente a questo punto si tornerà indietro.. Motivazione: abbiamo già notato come alcune tipologie di superfici non possano essere descritte con curve poligonali, ma necessitano curve razionali Inoltre le NURBS sono una generalizzazione delle B-Spline; lavorando con le NURBS ci si può sempre ridurre ai casi più semplici di B-Spline e Bezier

59 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 58 In poche parole le NURBS sono la proiezione in 3 dimensioni di B-Spline in 4 dimensioni Un po più concretamente possiamo immaginare di applicare la formula della B-spline ad una quadrupla che sia moltiplicata per una costante e che quindi ha l ultima componente diversa da 1 P (t) = Ni,p (t)w i x i Ni,p (t)w i y i Ni,p (t)w i z i Ni,p (t)w i dove w i sono costanti e si chiamano pesi dei punti di controllo; in genere si prendono positive Come al solito si rinormalizza rispetto all ultima componente in modo da riottenere un vero punto dello sapzio tridimensionale; in tal modo si ottiene P (t) = Se w i = 1 i si riottengono le B-Spline 1 n j=0 N j,p(t)w j n N i,p (t)w i P i i=0

60 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 59 Dunque le NURBS possono scriversi nella seguente forma con P (t) = R i,p = n R i,p (t)p i i=0 w i N i,p (t) n j=0 N j,p(t)w j Le proprietà di queste funzioni di base sono simili a quelle delle funzioni di base delle B-Spline 1. R i,p (t) è una funzione razionale di t di grado p 2. i, p, t R i,p (t) 0 3. R i,p 0 solo in [t i, t i+p+1 ) 4. Su [t i, t i+1 ) al più p + 1 funzioni di base di grado p sono non nulle, ovvero R i p,p (t),, R i,p (t) 5. Ne ho n + 1 e vale la relazione m = n + p In un nodo di molteplicità k, R i,p (t) è C p k

61 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 60 Proprietà delle NURBS 1. P (t) è un unsieme di curve razionali di grado p 2. Una curva NURBS clamped passa per il primo e l ultimo punto di controllo 3. Vale la proprietà forte dell inviluppo convesso 4. La curva è locale, variazioni di P i modificano la curva solo per t in [t i, t i+p+1 ) 5. B-Spline e curve di Bezier sono casi particolari di NURBS 6. La curva è invariante per trasformazioni proiettive (importante) 7. Se aumento il peso w i del punto P i la curva si avvicina a tale punto, se lo diminuisco la curva se ne allontana. Nei casi limite, se faccio tendere w i all infinito la curva passa per il punto P i, se lo faccio tendere a 0 disattivo il punto P i e la curva non lo considera

62 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 61

63 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 62 Superfici Una volta capite le curve parametriche viste fino ad ora, il passaggio a superfici parametriche è immediato Una superficie parametrica dipenderà da due parametri (u, v), anziché da un parametro solo t come nel caso delle curve. Sarà quindi descritta da un punto P (u, v) tale che p x = f x (u, v) p y = f y (u, v) p z = f z (u, v) In ogni punto della superficie sono definiti due vettori tangenti, dati dalle derivate rispetto a u e rispetto a v rispettivamente P u (u, v) = P (u, v) u e P v (u, v) = P (u, v) v

64 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 63 La normale alla superficie può allora essere calcolata semplicemente come il prodotto vettore di questi due vettori tangenti eventualmente normalizzata n(u, v) = P u (u, v) P v (u, v) Fissato uno dei due parametri, ad esempio u = u 0, il punto P (u 0, v) percorrerà una curva parametrica con parametro v. Stessa cosa per u. Tali curve sono chiamate isoparametriche Le curve isoparametriche risulteranno importanti quando discuteremo come fare il rendering di una superficie curva nella pipe-line grafica

65 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 64 Date le funzioni di blending X n,i (t), che possono essere quelle di Bezier, delle B-Spline o delle NURBS, e dati n m punti di controllo P ij, la superficie è definibile nel seguente modo P (u, v) = n i=0 m X n,i (u)x m,j (v)p ij j=0 Esercizio 9: dimostrare che fissato u, P (u, v) è una curva (di Bezier, B-Spline o NURBS a seconda delle funzioni di blending) e viceversa. Un oggetto 3D può quindi essere modellato da un insieme di queste superfici, che usualmente vengono denominate patch, opportunamente connesse Bisogna in ogni caso verificare che le superfici siano C 1 nei raccordi Per farlo si segue lo stesso principio delle curve, usando le derivate P u e P v viste sopra

66 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 65

67 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 66 Da notare che si può estendere la notazione matriciale che abbiamo visto per le curve al caso delle superfici; basta arrangiare i punti di controllo in una matrice n m P (u, v) = (X n,0 (t), X n,1 (t),..., X n,n (t)) P 00 P 0m X m,0 (t)... P n0 P nm X m,m (t) Le superfici parametriche così definite godono di molte proprietà delle curve che le generano Ad esempio sono invarianti affini nel caso di Bezier e delle B-Spline, sono invarianti proiettive nel caso delle NURS; sono inoltre contenute interamente nell inviluppo convesso dei punti di controllo Nel caso di Bezier la superficie passa per i quattro punti estremi della griglia di controllo, mentre per B-Spline e NURBS bisogna imporlo tramite la procedura di clamping Da notare infine che per le B-Spline e le NURBS la relazione tra numero di nodi, grado dei polinomi e numero di punti di controllo deve essere rispettata in entrambe le direzioni u e v.

68 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 67 Geometria Costruttiva Solida Passimo ora a rappresentazioni volumetriche degli oggetti. Una rappresentazione volumetrica esatta di oggetti è data dalla cosidetta CSG o Costructive Solid Geometry È una rappresentazione particolarmente adatta per il modeling (è diffusa nel settore CAD), ma meno efficiente per il rendering. Si tratta, essenzialmente, di costruire degli oggetti geometrici complessi a partire da oggetti elementari (cubi, sfere, cilindri etc) e da operazioni booleane tra questi Quali sono le operazioni booleane? Consideriamo due oggetti semplici A e B

69 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 68 Operazioni booleane su solidi elementari 1. Unione: l unione A B è l insieme dei punti che appartengono ad almeno uno dei due solidi (or non esclusivo) 2. Differenza: la differenza A B è l insieme dei punti che appartengono ad A, ma non a B 3. Intersezione: l intersezione A B è l insieme dei punti che appartengono ad A ed a B (and)

70 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 69 Alberi CSG Le operazioni CSG possono essere descritte tramite un albero (gerarchia) Ciascun nodo di un albero che non sia una foglia contiene una delle tre operazioni elementari, o Ciascuna foglia contiene una primitiva A B A B A B

71 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 70 Ovviamente si possono fare cose più complesse A B C

72 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 71 Suddivisione spaziale Le tecniche a suddivisione spaziale sono rappresentazioni volumetriche discretizzate che dividono lo spazio in cubi elementari o voxel. A ciascun voxel viene assegnato un valore pari a pieno se il voxel interseca l oggetto, vuoto altrimenti. La maniera più comune di organizzare i voxel è l octree. Queste strutture sono anche usate per organizzare lo spazio della scena quando gli oggetti abbiano altre rappresentazioni (p.es. poligonale), in modo da rappresentare l arrangiamento spaziale degli oggetti (poligoni). In questo caso si usano spesso i BSP tree Inoltre, essendo l arrangiamento spaziale utilizzato per determinare le facce nascoste o l intersezione o meno con il campo di vista, queste strutture sono fondamentali nella fase di rendering e per la sua ottimizzazione.

73 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 72 Octree Abbiamo già incontrato gli octree nel capitolo di geometria computazionale Ricordo che un quadtree è una suddivisione ricorsiva dello spazio in ottanti Una rappresentazione di una scena complessa ad alta risoluzione richiederebbe l impiego di un numero enorme numero di voxel, per cui queata rappresentazione é limitata a singoli opggetti. Oltre che per contenere una rappresentazione a voxel della scena, gli octrees vengono usati per organizzare lo spazio della scena ovvero per rappresentare l arrangiamento spaziale degli oggetti che la compongono. Per costruire ricorsivamente un octree che rappresenti la coerenza spaziale degli oggetti, si esegue la suddivisione di ogni nodo fin quando un nodo non è vuoto o non contiene, in parte o tutto, un singolo oggetto. Nelle foglie dell albero è quindi contenuto il puntatore ad una struttura dati per l oggetto della scena (o una sua parte) contenuto nella regione associata alla foglia Nel caso di una rappresentazione poligonale della superficie dell oggetto (molto comune) gli oggetti sono poligoni.

74 Grafica al Calcolatore Modellazione (parte prima)- 73 BSP tree Una alternativa agli octrees, nella rappresentazione dell arrangiamento spaziale degli oggetti sono i binary space partitioning (BSP) trees Abbiamo già incontrato anche i BSP tree nel capitolo di geometria computazionale È una delle strutture dati più usate negli ultimi anni, specialmente nei programmi interattivi in cui il punto di vista cambia continuamente In genere viene usato in fase di rendering per determinare le facce nascoste. Ogni nodo dell albero contiene un piano di suddivisione opportunamente scelto Lo spazio viene quindi diviso in due sottospazi da tale piano; quindi si itera fino a che ogni regione o non è vuota o non contiene, in parte o tutto, un singolo oggetto.