Appunti di Matematica 1 - I polinomi - Polinomi. I vari monomi che compongono il polinomio si chiamano termini del polinomio.

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1 ppunti di Mtemtic Polinomi Un polinomio è un somm lgeric di monomi. ; c sono polinomi. ; I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche essere considerto come un polinomio con un solo termine. NOT: se in un polinomio ci sono monomi simili questi si sommno e il polinomio si dice ridotto form normle. 6 4 Definizione: se un polinomio ridotto form normle h termini, cioè è costituito d monomi, si chim inomio, se è costituito d monomi si chim trinomio. è un inomio c è un trinomio Definizione: il grdo di un polinomio è il grdo del suo termine di grdo mggiore. h grdo 4 Definizione: il grdo di un polinomio rispetto d un letter è il mssimo degli esponenti con cui compre quell letter. h grdo rispetto ll letter e grdo rispetto ll letter. Termine noto di un polinomio: è il termine di grdo 0 cioè il termine in cui non compre nessun letter. è il termine noto Polinomio omogeneo: un polinomio si dice omogeneo qundo tutti i suoi termini hnno lo stesso grdo. grdo 4. è un polinomio omogeneo poiché tutti i suoi termini hnno 8

2 ppunti di Mtemtic Operzioni con i polinomi ddizione tr polinomi L somm tr due o più polinomi è il polinomio che h per termini tutti i termini dei polinomi ddendi. ( ) ( 4 ) 4 (si riduce sommndo i termini simili) Differenz tr polinomi L differenz tr due polinomi si ottiene sommndo l primo polinomio l opposto del secondo (si cmi il segno dei coefficienti del secondo). ( ) ( 4 ) 4 5 Per indicre ddizione e sottrzione tr polinomi si prl di somm lgeric. Moltipliczione di un monomio per un polinomio Per moltiplicre un monomio per un polinomio si pplic l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione e si moltiplic il monomio per ciscun termine del polinomio. Moltipliczione tr due polinomi Si moltiplic ogni termine del polinomio per ogni termine del e si sommno i risultti (sempre per l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione) ( ) ( ) ( ) ( ) NOT: il grdo del prodotto è l somm dei grdi dei polinomi fttori (per l proprietà delle potenze). 8

3 ppunti di Mtemtic NOT: come si moltiplicno tre polinomi? Prim si moltiplicno due polinomi e il risultto si moltiplic per il terzo. ( )( )( 4) ( )( 4) ( 4 )( 4) Divisione di un polinomio per un monomio Esempio : ( ):? Per l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll ddizione ho: ( : )( : ) Quindi in questo cso, essendo ogni termine del polinomio divisiile per il monomio, il polinomio risult divisiile per il monomio. ( ): Quindi: ( ) cioè se si h Q B Esempio : ( ):? In questo cso il polinomio non è divisiile per poiché il suo termine non è divisiile per. Possimo scrivere m non è un polinomio. Esercizi ) ( ):... ) ( ) :... 84

4 ppunti di Mtemtic Esercizi (Operzioni con i polinomi) ) ( 4 5 ) ( ) [ ) ( 8 6 ) ( 5 ) 5 [ 5 ) ( 5 ) ( 5 7) [ ) ( 4 ) ( 5 4 ) ( ) [ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 4 6) ( ) ( ) ( ) [ [ ( ) ( )( ) ( 9 ) 7) ( ) [ 8 4 8) ( )( [ ) ( ) ( ) [ 9) ( )( ) ( 4 )( ) [ 7 8 0) ( )( ) ( )( ) [ ) ( )( ) ( )( ) 5 [ 4 ) ( 4 9 )( 4 9 ) ( 6 8) 4 [ 6 6 ) ( )( )( ) 4 4 [ 4) ( ) 5 ( )( ) [ 6 6 5) ( )( 4) ( 5 )( 5) [ 7 5 [ 7 6) ( )( ) 7) ( )( 5) ( )( 4 ) ( 5)( 4 ) [

5 ppunti di Mtemtic Prolemi di geometri ) Determin perimetro e re dell figur trtteggit 5 [ p 6 ; ) Prolem svolto Consider il trpezio isoscele in figur e determin perimetro e re. Osservndo il tringolo HD (tringolo rettngolo isoscele) si h H KB Quindi llor B 7 p 7 0 ( 7 ) 0 86

6 ppunti di Mtemtic 87 Prodotti notevoli Nell moltipliczione dei polinomi ci sono dei csi prticolri che conviene ricordre. Prodotto dell somm di due monomi per l loro differenz Considerimo per esempio: ( )( ) 4 4 In generle si h: ( )( ) B B B B B B cioè si ottiene sempre l differenz tr il qudrto del monomio e il qudrto del monomio ( )( ) B B B Esempi ) ( )( ) ) ( )( ) ) 4 4) ( )( ) ( )( ) 5) ( )( ) ( )( ) 9 6) ( )( )( ) ( )( ) 4

7 ppunti di Mtemtic Qudrto di un inomio Considerimo per esempio: ( ) ( )( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 In generle si h: ( B) ( B)( B) B B B B B In conclusione: ( B) B B Quindi il qudrto di un inomio risult ugule ll somm tr il qudrto del termine, il qudrto del termine e il doppio prodotto tr il termine e il termine del inomio. Esempi ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 4 4 Interpretzione geometric ( ) Il qudrto di lto è dto dll unione del qudrto di lto, del qudrto di lto e di due rettngoli di lti e (e quindi re ) 88

8 ppunti di Mtemtic Not Vedimo come risult il qudrto di un trinomio: ( B C) ( B C) ( B C) B C B B BC C CB C B C B C BC Quindi il qudrto di un trinomio è dto dll somm tr qudrto del termine, qudrto del termine, qudrto del termine e il doppio prodotto tr il e il termine, il doppio prodotto tr il e il termine e il doppio prodotto tr il e il termine. Esempio ( c) 9 4c ( ) ( ) ( ) ( c) ( ) c 9 4c 6 c 4c ( ) Sviluppimo il cuo di un inomio: Cuo di un inomio ( B) ( B)( B)( B) ( B) ( B) ( B B )( B) B B B B B B B B In conclusione: ( B) B B B Quindi il cuo di un inomio risult l somm tr cuo del termine, cuo del termine, triplo prodotto tr il qudrto del termine e il termine, triplo prodotto tr il termine e il qudrto del termine. Esempi ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9 ppunti di Mtemtic Esercizi (Prodotti notevoli) ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 0 ) ( 5) ( 5) ( ) [ 7 ) ( ) ( ) 5( ) [5 4) ( ) [ 5 5) ( ) [ 5 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 7) ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 8) [ 44 8) ( ) ( ) 4( ) [ 4 9) ( ) ( )( ) ( ) [ 4 0) ( ) ( ) ( )( ) [ ) ( ) ( ) 6( ) 7 8 [ ) ( ) ( )( ) ( ) [ ) ( )( )( ) ( ) [ 4 4 4) ( ) ( ) ( ) [ 6 8 5) ( ) 4( ) ( ) ( ) 5 [ [ 90

10 ppunti di Mtemtic 6) ( )( ) ( ) [ 4 0 [ 4 7) ( ) 8) ( )( ) ( )( ) [ 4 9 9) ( ) ( 5 9) [ 0 0) ( ) [ ) ( ) ( ) 8 [ 0 ) [ ) ( )( ) ( ) [ 8 4)( )( ) ( ) [ 5) ( ) ( )( ) 6 [ 4 6) ( ) ( )( ) ( ) [ 0 7) ( ) ( 4)( 4) 8 [ 9 4 8) ( 5 ) ( 5 )( 5) ( 4 5 ) 9) ( )( ) [ 4 0 [ [ ( ) ( )( ) 0) ( ) ( )( ) 9 ( ) [ 0 9

11 ppunti di Mtemtic Esercizi (Clcolo letterle e geometri) ) Determin perimetro e re dell figur trtteggit. [ p 6; 6 ) Determin perimetro e re del romo in figur spendo che C 6 ; BD 8. [ p 0; 4 ) Determin l re del settore circolre trtteggito spendo che il rggio misur. [ 0 π 4) Consider un rettngolo R di dimensioni e. Se viene umentto del 50% e viene diminuito del 50% come risult l re del nuovo rettngolo R? Come risult rispetto ll re di R? 4 4 [ R ' ; R ' R 9

12 ppunti di Mtemtic 5) Determin l re dell zon trtteggit. [ 4 6) Determin l re di un esgono regolre di lto. 7) Consider un qudrto di lto 4 e determin l re dell zon trtteggit. [ 6 8) Determin perimetro e re dell figur seguente. [ 5 [ 5 6r r πr ; π 9) Un prllelepipedo rettngolo h dimensioni,,. Clcol il suo volume V. ument di tutte le dimensioni e clcol il nuovo volume V. [ V 6 ; V ' 6 6 9

13 ppunti di Mtemtic 0) Clcol l re dell zon trtteggit. [ ) Clcol l re del qudrto BCD di lto B e l re del qudrto B C D ottenuto congiungendo i punti medi. Come risult l re di B C D rispetto ll re di BCD? ) Determin perimetro e re del trpezio BCD. 9 [ ( BCD) 4 9 ; ( ' B' C' D' ) 6 [ p 8; 5 94

14 ppunti di Mtemtic Sched per il recupero (CLCOLO LETTERLE: MONOMI E POLINOMI) [ 9. ( ) ( ) ( ) 9. [ ( ) : ( ) : ( ) 4 [. In un tringolo isoscele l se misur 0 e il lto oliquo. Determin perimetro e re del tringolo. [ 6 ; Un qudrto h lto che misur 4. Clcol perimetro, re e misur dell digonle. [ 6 ; 6 ; 4 5. Consider un tringolo equiltero di lto. Determin perimetro e re del tringolo. 6. ( ) ( 5) ( ) ( 4 ) ( 5) ( 4 ) 9 [ 9 ; 4 [ 0 4 [ 5 7. ( ) 8. ( ) ( ) ( ) [ ( ) : ( ) [ 0. ( ) ( ) ( ) ( ) [