Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame dell 11/1/2012 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere alle domande nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. Il compito è diviso in due parti. Per essere ammessi all orale è necessario ottenere almeno metà dei punti possibili in ognuna delle parti. PARTE I ESERCIZIO 1 Si effettua il seguente esperimento: dapprima si lancia una moneta (bilanciata). Se il risultato è T (testa) allora si lancia un dado (bilanciato). Se il risultato è C (croce) allora si lanciano due dadi, uno rosso e uno blu, entrambi bilanciati. Rispondere alle seguenti domande: (a) Sapendo che dal lancio della moneta è uscita C, calcolare la probabilità che la somma dei punteggi ottenuti lanciando i 2 dadi (quello rosso e quello blu) sia 4. (b) Calcolare la probabilità di ottenere 4 (vuoi come somma del punteggio dei due dadi lanciati, vuoi come punteggio dell unico dado lanciato). (c) Calcolare la probabilità che sia uscita T, sapendo che abbiamo ottenuto 4.

2 ESERCIZIO 2 Si sa che incrociando fra di loro piselli di una varietà ibrida, la probabilità che la pianta risultante abbia frutto giallo è di 1/4, che abbia frutto verde è di 3/4. Producendo 600 piante da questo incrocio, qual è la probabilità di averne almeno il 28% a frutto giallo? Scrivere la formula esatta per tale probabilità, e calcolatela tramite l approssimazione normale. Se anziché 600, analizzassimo piante, tale probabilità sarebbe minore, uguale o maggiore? Rispondete con un ragionamento, senza calcolare esplicitamente tale probabilità. DOMANDA 3 Misuriamo la quantità X in un campione di dimensione n. La deviazione standard della media campionaria F è la radice quadrata della varianza campionaria; F è una misura della variazione che si avrebbe nella media campionaria cambiando il campione; F cresce come n al crescere della dimensione n del campione.

3 PARTE II ESERCIZIO 4 (9 punti) In un controllo di qualità della produzione, si è trovato che il 20% dei pneumatici di un campione non soddisfa gli standard dell azienda. 1. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione della produzione al di sotto degli standard, se il campione ha dimensione a) n = 10, oppure b) n = 25. Usate il metodo dell approssimazione normale, nei due modi visti a lezione, e discutete se tali approssimazioni siano appropriate. 2. Supponendo che il valore vero della probabilità che un pneumatico non rispetti gli standard sia effettivamente del 20%, come dovremmo scegliere la dimensione del campione n perche l ampiezza dell intervallo di confidenza sia minore di 0.05? 3. Supponiamo ora che lo statistico dell azienda segua i metodi bayesiani e, sulla base delle sue conoscenze dei metodi di produzione, scelga una distribuzione a priori Beta(a, b) con a+b = 10 e valore atteso 5%. Come verrebbe affrontato il caso a) (campione di 10 pneumatici di cui il 20% difettosi)? Mostrare il procedimento con cui si costruirebbe la distribuzione a posteriori (non è necessario trovare i valori di a e b e la formula esatta della distribuzione a posteriori; se ci si riesce, si hanno dei punti extra, qualora si sia comunque raggiunta la sufficienza). Mostrate che cosa si può usare in questa impostazione al posto dell intervallo di confidenza al 99%.

4 ESERCIZIO 5 (6 punti) In uno studio è stato misurato il costo metabolico di 10 immersioni in cui individui di foca di Weddell (Leptonychotes weddellii) si procuravano del cibo e, per ciascun animale, hanno misurato il costo di un immersione, della stessa durata, in cui la foca non aveva assunto cibo. I dati 1 (in ml O 2 kg 1 ) sono i seguenti: Individuo Consumo dopo un immersione senza cibo Consumo dopo un immersione con cibo 1 42,2 71,0 2 51,7 77,3 3 59,8 82,6 4 66,5 96,1 5 81,9 106,6 6 82,0 112,8 1. erificate (ad un livello di significatività del 5%) l ipotesi che l alimentazione non aumenti il costo metabolico di un immersione 2. Trovate un intervallo di confidenza al 95% per la variazione media del consumo di ossigeno nelle immersioni con cibo rispetto a quelle senza cibo. 1 per semplificare i conti li presento solo per 6 foche.

5 ESERCIZIO 6 Un esperimento di incrocio di due varietà pure di piselli ha dato, alla generazione F 2, i seguenti risultati DD Dr rd rr Totale dove D e r rappresentano il gene dominante e quello recessivo a due loci. erificate se tali risultati sono compatibili con le leggi di Mendel che prevederebbero frequenze di 9/16, 3/16, 3/16, 1/16 per i quattro gruppi. DOMANDA 7 Misuriamo la quantità X in un campione di 10 individui prima e dopo avere assunto un farmaco. ogliamo effettuare un test dell ipotesi H 0 che la quantità X sia in media uguale prima e dopo avere assunto il farmaco contro l ipotesi H 1 che X sia in media diversa. F il t-test per campioni accoppiati è preferibile al test (non parametrico) dei segni perché non richiede ipotesi sulla distribuzione di X; F il test dei segni è preferibile al t-test perché è più potente; F la potenza del t-test è la probabilità che venga accettata l ipotesi H 0 quando l ipotesi H 0 è vera.

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