Formule per la verifica ed il progetto del rinforzo in FRP di pilastri rettangolari soggetti a pressoflessione deviata

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1 Formule per la verifica ed il progetto del rinforzo in FRP di pilastri rettangolari soggetti a pressoflessione deviata Giorgio Monti, Silvia Alessandri Università di Roma La Sapienza

2 Contenuti Approccio approssimato per la costruzione della superficie di collasso 3D Equazioni in forma chiusa per la verifica di pilastri esistenti (dominio di interazione) Equazioni in forma chiusa per il progetto del rinforzo in FRP (dominio di interazione) Procedura di verifica del pilastro e di progetto del rinforzo in FRP.

3 Introduzione Edifici in c.a. progettati secondo i vecchi codici normativi possono andare incontro a situazioni pericolose con effetti catastrofici. Una tipica inadeguatezza risiede nel meccanismo di trave forte-pilastro debole.

4 Introduzione Obiettivo: rinforzare tutti i pilastri nelle zone di potenziale formazione delle cerniere plastiche Metodo: applicare fogli di FRP lungo le facce del pilastro, con le fibre parallele all asse, nelle zone terminali.

5 Obiettivi e Metodi Obiettivi: Trovare una procedura semplice per il progetto del rinforzo flessionale in FRP per pilastri sotto dimensionati Controllando il relativo modo di collasso. Metodi: Sviluppo di equazioni in forma chiusa per la verifica di pilastri esistenti (sezioni rettangolari con armatura doppia simmetrica) soggetti a pressoflessione deviata Estensione al caso di pilastri rinforzati con FRP Uso per il progetto del rinforzo in FRP.

6 Verifica agli SLU (Approccio classico) La verifica della sezione è basata sul dominio di interazione Ciascun punto limite (N Sd, M Rd,x, M Rd,y ) è definito da: inclinazione dell asse neutro (β) posizione dell asse neutro (d ) La valutazione avviene per integrazione Interaction curves N sd - M sd M sd Yes No M Rd N sd0 My Failure domain N, M x, M y Mx d' β ε s ε c ε yd f cd yd f yd

7 Interaction curves N sd - M sd Approccio approssimato La superficie di collasso può essere approssimata analiticamente mediante sezioni a sforzo assiale costante (the load contour method, Bresler,1960): N sd0 M M ux α 1 Muy + = 1 M 0x 0y α 2 M0y M0x Plane at costant N sd M Rd My Mx Failure domain N, M x, M y

8 Approccio approssimato Gli esponenti α 1 e α 2 nell equazione dipendono da: Geometria della sezione trasversale, Percentuale di armatura Sforzo assiale Percentuale di rinforzo (per sezioni con FRP) Bresler indicò per le sezioni in c.a.: 1.15 α 1 = α

9 Valutazione dell esponente α Una relazione tra α e i parametri adimensionali della sezione trasversale può essere espressa come: b h γ η η ω sx sy nsd sx sy α = c μ μ pilastri esistenti b = larghezza della sezione, h = altezza della sezione, μ sx, μ sy = percentuale meccanica di armatura disposta nella direzione dell asse x e y, rispettivamente, N n sd = sforzo assiale normalizzato, dato da: Sd nsd = 085. f b h cd c γ η sx η sy ω

10 Valutazione dell esponente α Una relazione tra α e i parametri adimensionali della sezione trasversale può essere espressa come: b h γ η η ω sx sy nsd sx sy α = c μ μ γ b α = μ μ h η η ε ε ω sx sy fx fy Sd sx sy fx fy c n n n pilastri esistenti pilastri rinforzati con FRP n fx, n fy = numero di fogli di FRP parallelamente agli assi della sezione c γ η sx η sy ε fx ε fy ω

11 Comparazione tra l approccio esatto approssimato per pilastri non rinforzati normalized bending moment my m n Sd = 0.1 exact failure domain approximate failure domain bh= 0.3 bh= 0.8 bh= 1.0 μ sii = 0.1 μ sii = 0.2 μ sii μ s μ s μ s normalized bending moment mx normalized bending moment my 0.7 n 0.6 Sd = 0.2 exact failure domain 0.5 approximate failure domain bh= 0.3 bh= 0.8 bh= μ sii = 0.2 μ sii μ sii μ s = 0.2 μ s = 0.2 μ s normalized bending moment mx normalized bending moment my n Sd exact failure domain approximate failure domain bh= 0.3 bh= 0.5 bh= 1.0 μ sii = 0.2 μ sii = 0.3 μ sii μ s = 0.2 μ s = 0.2 μ s normalized bending moment my n Sd = 0.5 exact failure domain approximate failure domain bh= 0.3 bh= 0.8 bh= 1.0 μ sii = 0.1 μ sii = 0.2 μ sii μ s μ s μ s normalized bending moment mx normalized bending moment mx

12 Comparazione tra l approccio esatto approssimato per pilastri rinforzati con FRP normalized bending moment my m n Sd = 0.1 b h = 0.5 μ sx = 0.1 μ sy = 0.2 n fx = 2 n fy = 2 b h = 1.0 μ sx μ sy = 0.2 n fx = 2 n fy = 2 exact failure domain failure domain approximate whit least squares method failure domain from approximated equations b h = 0.8 μ sx μ sy n fx = 1 n fy = normalized bending moment mx normalized bending moment my m n Sd = 0.2 b h μ sx = 0.1 μ y = 0.3 n fx = 2 n y = 3 exact failure domain failure domain approximate whit least squares method failure domain from approximated equations b h μ sx = 0.2 μ sy = 0.2 n fx = 2 n fy = 2 b h = 1.0 μ sx = 0.2 μ sy = 0.2 n fx = 1 n fy = normalized bending moment mx normalized bending moment my m n Sd b h = 0.6 μ sx = 0.2 μ sy = 0.2 n fx = 1 n fy = 1 exact failure domain failure domain approximate whit least squares method failure domain from approximated equations b h = 0.5 μ sx = 0.3 μ sy n fx = 1 n fy = 2 b h = 1.0 μ sx μ sy n fx = 2 n fy = normalized bending moment mx normalized bending moment my m n Sd = 0.5 b h = 0.5 μ sx = 0.1 μ sy = 0.2 n fx = 2 n fy = 2 b h = 1.0 μ sii μ s = 0.2 n f II = 2 n f = 2 exact failure domain failure domain approximate whit least squares method failure domain from approximated equations b h = 0.8 μ sii μ s n f II = 1 n f = normalized bending moment mx

13 Calcolo dei momenti resistenti I momenti resistenti uniassiali possono essere ottenuti mediante equazioni approssimate in forma chiusa basate sulle seguenti ipotesi: Armatura uniformemente distribuita lungo il contorno della sezione Leggi tensione deformazione non lineari per: acciaio (bilineare) calcestruzzo (parabola-rettangolo) Rapporto di copriferro δ=0.05 Limite campo 1a: si trascura l armatura superiore parallela tesa l armatura ortogonale si considera interamente snervata

14 Equazioni di equilibrio Le equazioni di equilibrio possono essere scritte in forma adimensionale Forze e momenti nell acciaio nel calcestruzzo e nell FRP possono essere espresse in funzione dei diagrammi equivalenti delle tensioni. h y cx cy x d' = ξ h d h c h = 1 As A f y A f II As II x As II A f II As A f δy ξs + ξc ξs - δy εs ε f εyd εyd αcfcd - + αs ξs + f yd αs ξs f yd b concrete steel FRP model whit uniformly section strains stresses distributed steel reinforcement εc ε's f cd f yd f yd - f fdd α - - f ξ f f fdd

15 Approccio approssimato Per evitare la soluzione iterativa dell approccio classico: La posizione dell asse è ottenuta in funzione dello sforzo assiale normalizzato Diverse funzioni sono state sviluppate per i diversi modi di collasso della sezione

16 Posizione dell asse neutro per sezioni non rinforzate Modo di collasso 1a: La relazione quadratica tra la posizione dell asse neutro, ξ c, e n Sd può essere approssimata con il yd metodo della secante: ξ = Modo di collasso 1b: Assumendo α c costante la posizione dell asse neutro è: n + 2.2μ 1a Modo di collasso 2: c ( n + 2.2μ +μ ) sd s sii ( ) sd + μ sii s + ξ 1 ξ c = μ La posizione dell asse neutro è nota: nsd + 2.2μ ξ c = μ s s s s μ 1a 2 3 ε su ε yd ε su ε yd ε su ε yd 2 3 1a 2 3 yd 1b 1b 1b ε' ε' ε cu s ε cu s ε' ε cu s

17 Comparazione tra metodo esatto e metodo approssimato normalized uniaxial bending m ( n, m ) d0 Rd0 ( n, m ) d1 Rd1 ( n, m ) d2 Rd2 ( n, m ) d3 Rd3 approximate domain exact domain normalized axial load

18 Posizione dell asse neutro per sezioni rinforzate in FRP La posizione dell asse neutro è ottenuta in funzione dello sforzo assiale normalizzato per i diversi modi di collasso della sezione Si utilizza il metodi della secante tra i limiti dei modi di collasso i e i+1: ( n n )( ξ ξ ) sd i i+ 1 i ξ c(, ii+ 1) =ξ i + η η + ξ ξ μ +μ ( ) ( )( ) i+ 1 i i+ 1 i 4.4 s f

19 Posizione dell asse neutro Modo di collasso 1a: ε c0 yd ε cu ξ = c ( nsd + 2.2μ s +μ sii +μ f +μf II ) μ ( sii s f ) + μ +μ + ξ 1 d'=δd 1a 1b ε' s x = ξd d Modo di collasso 1b: n + 2.2μ + μ + μ ξ c = μ +μ sd s f f II s f 2 ε s> εyd ε fd ε yd ε 0 d'' Modo di collasso 2: ξ = c ( nsd 2.2 s f f II ) ( μ s +μ f ) + + μ +μ +μ +ξ A 2 A A = ( r) 3 1 μf (1 ξ ) +μ ( ξ ξ ) 3 2 fii

20 Comparazione tra metodo esatto e metodo approssimato 0.4 momento flettente normalizzato dominio esatto - modello a fibre dominio approssimato sforzo assiale normalizzato

21 Procedura per la verifica ed in progetto della sezione a pressoflessione deviata Consideriamo un pilastro esistente in c.a. avente RC: una sezione rettangolare con base b e altezza h l armatura è simmetrica rispetto agli assi b d

22 PROCEDURA DI VERIFICA PER LA SEZIONE NON RINFORZATA Passo 1: Calcolo dello sforzo assiale normalizzato in corrispondenza dei limiti tra i modi di collasso Passo 2: Calcolo della posizione dell asse neutro Passo 3: Calcolo dei momenti resistenti uniassiali Passo 4: Calcolo dell esponente α Passo 5: Verifica della disuguaglianza: m m Sdx Sdy + 1 m n m n ( ) ( ) 0x Sd 0y Sd Passo 6: Se la disuguaglianza al Passo 5 non risulta soddisfatta o si vuole incrementare la capacità resistente del pilastro occorre progettare il rinforzo in FRP α α

23 PROCEDURA DI PROGETTO DEL RINFORZO IN FRP Passo 1: Scelta dello spessore e della larghezza dei fogli da utilizzare Passo 2: Calcolo dei valori dello sforzo assiale normalizzato in corrispondenza dei limiti tra i modi di collasso Passo 3: Calcolo della posizione dell asse neutro Passo 4: Calcolo dei momenti resistenti uniassiali Passo 5: Calcolo dell esponente α Passo 6: Verifica della disuguaglianza: m m Sdx Sdy + 1 m n m n ( ) ( ) 0x Sd 0y Sd Passo 7: Se la disuguaglianza al Passo 6 non è soddisfatta si aggiunge un altro foglio di FRP e si ricomincia dal Passo 2. α α

24 Conclusioni E stato proposto un metodo per: la verifica di una sezione rettangolare in c.a. con armatura doppia simmetrica per il progetto del rinforzo in FRP Il metodo introduce equazioni semplificate in forma chiusa Dato lo sforzo normale agente: Si determina il modo di collasso della sezione Si calcolano i corrispondenti momenti resistenti I domini d interazione approssimati si discostano poco da quelli ottenuti con un modello a fibre della sezione