STATO LIMITE ULTIMO PER TENSIONI NORMALI

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1 ORDINE DEGLI INGEGNERI Coro di aggiornamento lla normativa imia Gennaio 007 marzo 007 STATO LIITE ULTIO PER TENSIONI NORALI Pro. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile Univerità di Salerno

2 Analii trttrale Idealizzazione trttra e dimenionamento elementi trttrali L analii è governata dal omportamento dei materiali H B Veriia N C A' e ε ' ε n σ σ '/n n Calolo delle olleitazioni A ε σ /n

3 Analii a livello di ezione Dimenionamento elementi trttrali H Veriia N C A' e ε ' ε n σ σ '/n n A ε σ /n B A. Ipotei di elatiità lineare dei materiali σ ε B. Ipotei di non linearità meania dei materiali σ ε

4 Ipotei di bae nel metodo delle tenioni ammiibili Conervazione delle ezioni piane Omogeneità ed iotropia del aletrzzo in zona omprea e dell armatra Aderenza tra aiaio e aletrzzo Trarabilità della reitenza a trazione del aletrzzo

5 etodo delle tenioni ammiibili Legami otittivi dei materiali e tenioni e le deormazioni ei materiali vengono limitate valori bai C A' N e ' ε n σ '/n n i ame valida l ipote di elatiità lineare de materiali ε σ Rk Caletrzzo 7.5 ε σ A ε σ /n ε σ 00 Aiaio FeB38k FeB44k

6 Eempio della ezione a emplie armatra inlea σ 3 r d b σ 3 r d A alolo dello tato tenionale nell ipotei di elatiità lineare Eqilibrio alla rotazione: Eqilibrio alla tralazione nella direzione dell ae dell elemento: 0 σ + σ r n i,i,i A da r A etodo delle tenioni ammiibili etodo delle tenioni ammiibili 0,, + r A n i i i r n A n da σ σ n σ σ S n n A b d b n A

7 Legami otittivi dei materiali Stati limite ltimi per tenioni normali Coa i intende per Stato Limite Ultimo di na ezione? Lo tato limite ltimo di na ezione è individato dal raggingimento della maima deormazione del aletrzzo ompreo o dell aiaio teo. Deormazione ltima del aletrzzo: ε Deormazione ltima dell aiaio: ε n n A' A A' A ε ε ε ε ε ' < < ε n ε ' ε ε ε 0.00

8 Ipotei di bae negli tati limite ltimi Conervazione delle ezioni piane Omogeneità ed iotropia del aletrzzo in zona omprea e dell armatra Aderenza tra aiaio e aletrzzo Trarabilità della reitenza a trazione del aletrzzo Deormazione maima del aletrzzo pari nel ao di leione emplie e ompota on ae netro interno alla ezione, e variabile da detto valore ino a 0.00 per ae netro eterno alla ezione Deormazione maima dell armatra tea pari a +0.00

9 Legami otittivi dei materiali Stati limite ltimi per tenioni normali i onidera lo tato tenionale orripondente alle deormaioni ltime dei materiali CALCESTRUZZO materiali arato ino all Oorre deinire n legame otittivo de ondizione ltima ACCIAIO 00 t.a. Stati limite ltimi t.a. Stati limite ltimi 0.00

10 Legami otittivi dei materiali: il aletrzzo Il legame σ-ε è non lineare in da valori modeti della deormazione La deormazione orripondente alla tenione maima è preohé otante al variare della reitenza del l Dopo il valore maimo della reitenza il legame σ-ε proede on n tratto dereente la i pendenza amenta all amentare della reitenza Il valore della deormazione maima amenta al diminire della reitenza

11 Legami otittivi dei materiali: σ ' il aletrzzo: legge di Saenz k ε ε σ + k E E o ( ) 0.4 ε E 0 ε k ε. E E ε ε ε ε / ε * σ 0 ε 0.00 ε (introdotta per la prima volta a livello di odii dal CEB nel odel Code del 976 EUROCODICE progettazione delle trttre in.a.) Diagramma per l analii trttrale: analii non lineare o analii platia ( 50) / 400 ( )

12 Legame otittivo del aletrzzo per il rogetto e veriia della ezione traverale Norme ontente nello teo Dereto 9//996 EUROCODICE on modiihe ed integrazioni A) Diagramma parabola-rettangolo B) Stre blok σ Diagramma parabola-rettangolo ' d σ ε) ( d ε σ ( ε) 000 ε ( 50 ε) ε < d ε

13 Si onidera allo.l.. n diagramma tenionale otante on tenione pari a d eteo alla parte di ezione omprea tra il bordo più ompreo e : Ae netro interno alla ezione A' 0. 8 Stre Blok ε ' d Ae netro eterno alla ezione A' h h ε h ' d h d 0.8 h d ' d - d' A b d' A b

14 Dierenti modelli per il aletrzzo σ k.83 R.5 k 0 k d α d α α γ α 0.85 α0.80 nel ao di STRESS BLOCK on ezione di larghezza reente dalla ibra maggiormente omprea vero l ae netro ' d E d A' Parabola-rettangolo Crva di Saenz ε ε ε ' d Coe. γ - Stati limite ltimi (Dereto 9//996) γ.5.a.p. γ.6.a. e.a.p. on preompreione parziale ' d ' d 0.8 h d d- d' A b Crva di Saenz Parabolarettangolo Stre Blok

15 Legami otittivi dei materiali L aiaio Analii globale σ d γ ε0.00 E ε ε d γ t Progetto della ezione σ d γ Coe. γ - Stati limite ltimi (Dereto 9//996) ε0.00 E ε ε γ.5 d γ

16 Poibili ondizioni limiti della ezione generia , ( h d ) 3,4 ( / E ) d ε 0.00 ε ε ε ε ε 3/7H ε ε ε <ε >0 ε<ε d >0 d /E A ( h d ) -0 Deormazione ltima del aletrzzo: ε ε ' Deormazione ltima dell aiaio: 3 ε ,3 C d/e B 3,4 4,5

17 Stati di olleitazione ZONE POSIZIONE ASSE NEUTRO STATI DI SOLLECITAZIONE (teno leione o < < 0 trazione pra) - A ,3 3,4 C B 4,5 (teno-preo 3 leione/leione) 0 < <, 3 (teno-preo, 3 < < 3, 4 leione/leione) 4 (teno-preo d leione/leione) 3, 4 < < 5 (preo leione) d < < h -0 /E d 6 (preo leione/ompr. h < < + empl.)

18 Eqazioni di eqilibrio alla tralazione ed alla rotazione intorno all ae barientrio ε h σ () N λ h G A i εi σi d i Eqilibrio alla tralazione: b b n σ i i 0 i b ( ) d + A σ N Eqilibrio alla rotazione intorno all ae barientrio: n σ i i i 0 i ( ) [( h / ) + ] d + A σ [ d ( h / ) ] N e

19 Eqazioni di eqilibrio alla tralazione ed alla rotazione intorno all ae barientrio Ponendo: σ 0 ψ ( ) d d λ σ ( ) ( ) σ ( ) d 0 0 d 0 σ ( ) ψ d Si ottiene: b ψ d + n A σ i i i N b ψ d n [( h/ ) λ ] + A σ [ d ( h/ ) ] i i i i G

20 Coeiienti ψ e λ ( ) σ d 0 ( ) ( ) ψ σ d λ d σ( ) d σ ( ) ψ d ε ' d h σ () N λ h G A i ε i σ i d i b

21 Coeiienti ψ e λ ezione rettangolare Diagramma Parabola-rettangolo Stre blok ψ 0.8 λ h ψ λ ψ/ 0.75 h - A ,3 C B 3,4 4,5 ξ ψ λ ν µ G

22 Andamento dei oeiienti ψ e λ ψ ψ, ν PARABOLA-RETTANGOLO STRESS BLOCK ν λ 0. 0 µ CG ξ

23 Tenione nelle armatre tee 3.5 B - A ,3 3,4 C 4,5-0 /E d ε Zone,,3: d E σ d ε Zone 4,5: σ E ε ( d ) ε Zona 6: 0.00 ( d ) 3 h 7 σ E ε

24 Tenione nelle /E d armatre ompree ' 3.5 B - A ,3 C 3,4 4,5 '' Zone, : -0 Zone,3,4,5: /E d Zona 6: ε 0.0 d σ E ε ( d ) d ε σ E d d ε σ E d

25 b b ψ d ψ d + A σ h λ + A ' + σ A ' N σ h d' A ' σ ' h d' G Zona σ ' σ ψ λ - d E ε ;- d d d d d E ε d E ε d E ε ; d d

26 Sezione rettangolare: veriia (N d ) (N, ) d d e ot N d N ( d) N Veriia tipo A: Veriia tipo B: Veriia tipo C: N e e d N d d N d d N d N N ( d d ( d N N ) ) e ( d )

27 Sezione rettangolare: veriia Eldendo la zona (relativa alla tenoleione) e la zona 6 di aro interee per ragioni di dttilità, appliando lo Stre blok i ha: Eqilibrio alla tralazione (determinazione poizione ae netro): a) armatra omprea in ampo elatio: L eqazione determinatrie dell ae netro i preenta nella orma egente: b d + A E ( d ) A d N d he rilta na eqazione di grado in on oeiienti a, a, a 0, orniti dalle egenti relazioni a 0. 8 b d ( 0. 8 b d + 0. A E + A N ) a 0 + a A d E d d + A d d + N d d

28 Sezione rettangolare: veriia Sezione rettangolare: veriia b) armatre entrambe nervate: L eqazione di eqilibrio alla tralazione diventa: d d d N A A b d d d b. A A N ) armatra ineriore in ampo elatio: L eqazione di eqilibrio alla tralazione diventa: ( ) d d N d. E A A b he rilta na eqazione di grado in on oeiienti a, a, a 0, orniti dalle egenti relazioni d b. a 8 0 d N E A. A a d E A. a Eqilibrio alla rotazione intorno al barientro: σ σ + λ ψ d h A d h A h b d G

29 A Eempio di veriia di ezione rettangolare a leione emplie Veriia allo tato limite ltimo della ezione in orripondenza dell appoggio B, oggetta al momento lettente d kgm B Cl: Rk50 kg/mq C aiaio: FeB38k Reitenze di alolo del aletrzzo e dell aiaio: k 0.83 Rk kg / m γ.6 d Determinazione della poizione dell ae netro: i pponga inizialmente di eere nella zona in i le armatre ono entrambe nervate.l eqazione di eqilibrio alla tralazione diventa, tilizzando il diagramma treblok per il aletrzzo: 0. 8 b + A A N 0 γ d k d d 3304kg / m d ψ

30 i ege I limiti della zona in i le armatre ono nervate ono: ( d / E ) d 0. 0 ( d / E ) ( 3304/00000) ( 3304/00000) , d. 06 m , 4 ( h d ) ( ) m ( / E ) (3304/00000) d per i i riade nella zona on l armatra omprea in ampo elatio: A d A 0. 8 b <, d d In tale zona l eqazione determinatrie della poizione dell ae netro è: b d + A E ( d ) A d N 0 d he diventa n eqazione di II grado in a + a + a m

31 dove a a A E (0. 8 b d ) 3768 a 0. 8 b Rilta 350 d d + A d 3768 d d + N A E d + A d N ) ( B B 4 AC m A 350 Il momento ltimo i riava dall eqazione di eqilibrio alla rotazione, he per la zona in eame è la egente: G h h h 0. 8 b d A σ d A σ d

32 dove σ E ε 3085 kg/m σ d E 0. 0 d ( 3304 kg/m 0. 0 d ) ( ) Il momento ltimo vale, pertanto: G ( ) ( ) ( ) kgm 330 per i la veriia è oddiatta, eendo: kgm d kgm < G kgm Si oerva inine he l ae netro allo.l.. è nella zona : ξ.57 d 0.65 < ξ, h 70 h

33 Trarando l armatra in ompreione, il proedimento diventa molto più agevole. Inatti per l ae netro i ottiene: A d 0.8b d m In aenza di armatra in ompreione non oorre veriiare e l armatra omprea è nervata o meno. Si pò direttamente valtare il momento ltimo. G ( ) ( ) dan m 30 dan m (lievemente ineriore a 330 dan m)

34 Domini di reitenza adimenionalizzati Adimenionalizzazione N, G A ν µ, G ( ) ( A ) ω ω d b h d b h d b h d h d ξ / h ; δ d / h ; d/ h δ h Ad eempio, introdendo le qantità adimenionali eqilibrio alla tralazione: b n ψd Ai σi + bhd i bhd ( d / d ) b Le eqazioni di eqilibrio alla tralazione ed alla rotazione diventano: σ σ ψ ξ + ω + ω ν ψ ξ λ ξ + ω σ d d δ d ω σ d nell eqazione di N h d ν δ µ,g

35 8 h h h Domini di reitenza adimenionalizzati ψ ξ + ω σ d + ω ξ,3 ξ 4,5ξ, 6 3,4 A' A' A' A' A A A b b σ d ξ ξ ξ0 ξ 5 + δ 0.59 ( δ ) ε ε ε ε' ε ε 0.00 ε' ε' ε' ε' 5,6 3,4 ε' 4,5 ε ε ε ε ε 0 ε /E d ν µ ψ ξ ω ω/ '.00 d'/h 0.05 λ ξ + ω σ d δ ω σ d δ µ DOINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U. ω0.5 NORATIVA SAENZ ν 0.0 E E 0.0 ν E, µ, G ω δ, + δ 0 δ, ω δ 0.66, G, δ 0.0,3,,3 δ d 3,4 ξ + ω ω 0.5 G ξ 3,4 λ ξ + ω δ + ω δ, 4,5, 5,6 ψ + ωψ ω ξ δ.6.35 µ, 4,5 ψ d ξ λ ξ ,6 ψ λ + ω ω E ω δ ν δ δ + ω + ω.0 Gµ 6 d, G ω 0 6 δ ω δ d ν 3 ν ν, 0. 57, 8 ω , G

36 Domini di reitenza adimenionalizzati.00 ω µ DOINIO SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U. ω ω/ '.00 d'/h 0.05 ξ0 ξξ,3 ξξ 3,4 ξξ 4,5 ξξ 5, ν

37 bh µ Conronto Tenioni Ammiibili-Stati Limite Ultimi in termini di Dominio Reitente ' d ω ω/ '.00 d'/h 0.05 ξ0 ξξ,3 ξξ 3,4 Stati limite Ultimi Tenioni ammiibili ξξ 4,5 ξξ 5,6 ω ν.5 N bh ' d

38 Sezione rettangolare: problemi di progetto in leione e preoleione Le eqazioni di eqilibrio alla tralazione ed alla rotazione in orma adimenionale riltano: ψ ξ + ω ψ ξ σ d + ω σ λ ξ + ω d σ d ν δ ω σ ψ ξ A B ( δ λ ξ) + ω ( δ ) µ Fleione d progetto di h(b) ed A on b(h) ed il rapporto delle armatre aegnati progetto di A e A on b ed h aegnati σ d A B δ µ G Tralazione Preoleione Rotazione intorno al barientro Rotazione intorno all armatra tea progetto di h(b) ed A noti b(h) e le perentali meanihe di armatra progetto della ezione e delle armatre mediante abahi (/ν)-(e/h)

39 Fleione: progetto di h o b ed A mediante Tabelle σ σ σ ψξ δ λξ +ω δ ψ ξ + ω + ω ν ( ) ( ) d d d µ ρ ω ω A A ψ ξ ψξ σ ω ψξ( δ λξ) +ρ δ [( σ/ d ) + ρ ( σ / d )] σ / +ρ σ / µ µ ρ b h r r d () ξ + µ () ξ (,, δ, ξ, ρ) d d h d d [( ) ( )] d [ µ () ξ + µ () ξ ] ρ r d b b [ µ () ξ +µ () ξ ] ρ b r d ( ) µ h A b h ω d d ψ ξ b h [ ρ ( σ + σ / )] d ζ b h b h d A d d / ζ h d d d b h d ζ d µ ω µ ( ξ) + µ ( ξ) ω p A ζ h d µ

40 Fleione: progetto di h o b ed A mediante Tabelle h r b r b h A r (,, δ, ξ, ρ) r d d ζ ζ (,, δ, ξ, ρ ) ζ d h d d A B 0. C 0 ζ progetto di h ed AAon b ed il rapporto tot delle armatre aegnati progetto di b ed A on h ed il rapporto delle armatre aegnati Veriia delle ezioni inlee ξ C r ρ

41 Coeiienti r e ζ r (,, δ, ξ, ρ) r d d ( d,, δ, ξ ρ) ζ ζ, d

42 Eempio di progetto di ezione rettangolare a leione emplie lnghezza ampate: L 4. ml; L 5.3 ml; bae: b 40 m; ario permanente: g k 400 kg/m L L L progetto dell altezza h della ezione e dell armatra L ario aidentale: q k 080 kg/m - aletrzzo: R k 50 kg/m - aiaio: FeB38k Ampliiando i arihi aratteritii eondo i oeiienti parziali di irezza γg.4 e γq.5, i ottiene il ario di progetto: q d. 4 g +. 5 q k k 9000 kg/m Il momento maimo lngo la trave i ha in orripondenza dell appoggio intermedio e vale: 3 3 q ( L + L ) d B,d 6404 kgm 8 L + L

43 Si eege il progetto tabellare dell altezza della ezione. La reitenza di progetto ridotta per aletrzzo di lae Rk 50 kg/m rilta eere d 0 kg/m. 6 Adottando, in ae di dimenionamento n ae netro di progetto ξ 0.5, he aira boni reqiiti di dttilità, dalla tabella di progetto allo.l.. per ezione rettangolare a emplie armatra relativa ad 0 kg/m, 3800 /. 5, 3304 kg/m d / h d d i riavano i valori dei oeiiente r e ζ: r ( ζ ( d d 0, 0, d / h d / h 0.05, 0.05, e qindi l altezza minima della ezione: h r b d d d m 3304, 3304, ρ 0) 0.30 ρ 0) ξ r h[m]

44 L armatra minima rihieta rilta: A ζ h d 5.74 m Per onronto i eege il progetto della ezione eondo il metodo delle tenioni ammiibili. In qeto ao i oniderano direttamente i arihi aratteritii: q g k + qk kg/m per i il momento maimo in orripondenza dell appoggio B vale: B ( ) 844 kgm La tenione ammiibile per Rk 50 kg/m vale σ 85 kg/m. Dalla tabella di progetto alle t.a. di ezioni rettangolari a emplie armatra i ottiene: r ( σ 85; σ 00; ζ ( σ 85; σ 00; d / d d / d 0.05; 0.05; n 5) 0.70 n 5) 0.878

45 da i rilta r b d B h d + d m Amendo per l altezza della ezione h 65 m (lievemente periore al valore ottento dal progetto agli.l. on ξ 0.5) i ottiene la egente armatra di progetto: m A ζ d σ d m La olzione è otanzialmente identia a qella ottenta agli.l... Tttavia on il progetto agli.l.. ono poibili molte altre olzioni on altezze variabili tra 5 ed 83 m, pr on ae netro in zona dttile (0.5 ξ 0.35).

46 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione rettangolare Il problema del progetto dell altezza e dell armatra pò eere ondotto in analogia al ao del metodo delle tenioni ammiibili, determinando diagrammi he legano le variabili /ν ed e/h, eendo e l eentriità ornita dal rapporto G /N. ψ ξ + ω ψ ξ σ d + ω σ d λ ξ + ω σ ν d δ ω σ d δ µ G Tralazione Rotazione intorno al barientro Si ottiene: µ ν G e h ν ψ ξ ψ ξ + ω ( σ / ) + ω ( σ / ) d [( /) λ ξ] + ω ( σ / d ) [ ( /) δ ] ω ( σ/ d ) [( /) δ ] ψ ξ + ω ( σ / ) + ω ( σ / ) d d d

47 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione rettangolare e/h ω ω' SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U ξ d'/h 0.05 / ν

48 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione rettangolare Progetto della ezione (b, h) Fiata le perentali delle armatre periore ed ineriore (gali negli abahi orniti), e note le olleitazioni, i impone n valore di progetto del ario aiale limite, he dipende eenzialmente dalla dttilità he i intende onerire all elemento progettato; lle rve (/ν, e/h) relative alle preiate perentali ω ed ω i leggono i valori di η e/h orripondenti; eendo nota la eentriità di progetto e, i poono riavare l altezza h e la bae b della ezione mediante le relazioni: e h, η Progetto delle armatre b ν N h d A A ω b h Fiate la geometria della ezione e le aratteritihe dei materiali e note le olleitazioni, i alolano preliminarmente i valori adimenionali e/h e ν; negli abahi il pnto di oordinate (/ν, e/h) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armatre rihiete. d d

49 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione rettangolare Veriia della ezione Note la geometria della ezione, la qantità di armatre, le aratteritihe dei materiali e le olleitazioni, i alola il valore del parametro adimenionale ν; amendo lo teo ome valore ltimo ν, dalla oordinata /ν e per interpolazione tra le rve orripondenti ai de valori delle perentali di armatra omprendenti qella eettiva, i determina il valore di e/h e qindi della eentriità orripondente al momento ltimo. La veriia pertanto i ottiene ontrollando il oddiaimento della relazione: d < N η h N e

50 Eempio di progetto di ezione rettangolare a preoleione Si progetti agli.l.. na ezione rettangolare oggetta in ondizioni di eerizio alle egenti olleitazioni di alolo: d kgm N d 7588 kg I materiali da tilizzare ono aletrzzo di lae Rk 50 kg/m ed aiaio tipo FeB38k. Per il progetto della ezione mediante gli abahi, i alola preventivamente l eentriità del ario: d ed m N d 7588 Fiando il valore di ξ0.4 (generalmente ompreo tra he orriponde all inira alle zone -3), dall eqazione di eqilibrio alla tralazione ritta in orma adimenionale, i ottiene n valore di progetto di ν : : σ σ ψ ξ + ω + ω ν ψ ξ ν 3. d d 5 ψ ξ ν

51 iando il valore di ω 0.0 e d /h0.0 all abao i ottiene /h: 3.5 ν e/h ω ω' SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U. η e / h ξ d'/h 0.0 / ν h ed η N b ν h A d ω bh A m d d 6.65 m

52 Eempio di veriia di ezione rettangolare a preoleione Veriia agli.l.. di na ezione rettangolare oggetta in ondizioni di eerizio alle egenti olleitazioni di alolo: N d 7588 kg d kgm φ6 4φ6 I materiali tilizzati ono aletrzzo di lae Rk 50 kg/m ed aiaio tipo FeB38k. Le reitenze di alolo del aletrzzo di lae Rk 50 kg/m e per l aiaio FeB38k riltano: d 0 kg/m d 3800 / kg/m. 6 A VERIFICA EDIANTE GLI ABACHI Per eettare la veriia mediante l abao oorre preventivamente alolare /ν e ωω : N ν 0.33 / ν ω ω ' 0. bh d

53 Dall abao i legge: η e / h 0.65 N η h N h La veriia è oddiatta riltando: d < 3590

54 B VERIFICA ANALITICA Per la determinazione della poizione dell ae netro, i pponga inizialmente di eere nella zona in i le armatre ono entrambe nervate. L eqazione di eqilibrio alla tralazione diventa 0.8b + A A N d d d 7588 i ege: N b d 0. 6 m Eendo l ae netro nella zona 3 ( ) ege: ( ) ( 5 3) kgm (poo divero da 3590 per via graia)

55 La ezione irolare:veriia e progetto A,0.8 C N ' d r d r G 0 0 G G 0 ϕ r A i d i ' σ i n d' Se i adotta per la valtazione del ontribto tatio del aletrzzo l ipotei empliiativa dello Stre-Blok, il diagramma delle deormazioni al variare della poizione dell'ae netro erve elivamente a valtare il ontribto delle barre di armatra, in qanto qello del aletrzzo è deinito dal prodotto dell area A al di opra della orda pota a 0.8 dal bordo ompreo per la tenione di progetto d d.83 R.5 k 0 k d α d α α γ α 0.85 α 0.80 nel ao di STRESS BLOCK on ezione di larghezza reente dalla ibra maggiormente omprea vero l ae netro

56 La ezione irolare:veriia e progetto A,0.8 C N ' d r d r G 0 0 G G 0 ϕ r A i d i ' σ i n d' Determinazione della poizione dell ae netro F ( ) A + A σ N 0 [ ] ϕ aro d r il ontribto tatio del aletrzzo i rive N i i i d on ϕ l angolo relativo alla orda per ( ϕ en ϕ o ϕ) r d A d d 0. 8

57 La ezione irolare:veriia e progetto Determinazione della poizione dell ae netro F ( ) A + A σ N 0 [ ] d i i i d d Da n pnto di vita operativo, i oerva he la F( ) è na nzione reente della poizione dell ae netro on valore negativo per 0 e poitivo per, e N è minore del ario maimo opportabile dalla ezione on eentriità nlla. Pertanto, individate de poizioni dell ae netro i orripondono valori di egno oppoto della F( ), la poizione dell ae netro in na iterazione eiva i ottiene otrendo na rva di errore he onente na rapida onvergenza vero la olzione eatta., i+, i, i+, i F F, i+, i i, i+ Fi + Fi Fi + Fi F( ) L arreto del proedimento iterativo è regolato dalla dieqazione,i+ i+ r π F d ( ) + A d < ε F F i+,i on ε F errore ammeo (per eempio ε F /000). F i,i+ h r

58 La ezione irolare:veriia e progetto A,0.8 C N ' d r d r G 0 0 G G 0 ϕ r A i d i ' σ i n d' Determinazione del momento ltimo G G + i 0 A 4 3 i σ i d dove il ontribto del aletrzzo i ottiene dalla egente relazione: G N N 3 r en ϕ ϕ enϕ i

59 La ezione irolare:progetto on abahi Adimenionalizzazione N, ν G A µ, G ω d 3 π r d πr d π r d r d ξ /(r) ; δ d /(r) ; d/ h δ r Ad eempio, introdendo le qantità adimenionali eqilibrio alla tralazione: A n d Ai σ i N + r d i π r d π π r d nell eqazione di ν Le eqazioni di eqilibrio alla tralazione ed alla rotazione diventano: A ω i + σ i ν πr n πr 3 G d πr 3 G d + d ω n σi di i µ π d G

60 La ezione irolare:progetto on abahi Il problema del progetto dell altezza e dell armatra pò eere ondotto in analogia al ao del metodo delle tenioni ammiibili, determinando diagrammi he legano le variabili /ν ed e/(r), eendo e l eentriità ornita dal rapporto G /N. e / N G µ G r r ν 5 ω e/r ξ d'/h 0.05 / 0. ν

61 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione irolare Progetto della ezione (r) Fiata la perentale geometria ompleiva di armatra e note le olleitazioni, i impone n valore di progetto del ario aiale limite, he dipende eenzialmente dalla dttilità he i intende onerire all elemento progettato; lla rva (/ν, e/r) relativa alla preiata perentale ω i legge il valore di η e/r orripondente; eendo nota la eentriità di progetto e, i pò riavare il raggio r della ezione, nonhé l armatra, mediante le relazioni: r e η A ω π r d d Progetto delle armatre Fiate la geometria della ezione e le aratteritihe dei materiali e note le olleitazioni, i alolano preliminarmente i valori adimenionali e/r e ν; negli abahi il pnto di oordinate (/ν, e/r) permette per interpolazione di determinare il valore di progetto delle armatre rihiete.

62 Preoleione: : abahi per il progetto della ezione irolare Veriia della ezione Note la geometria della ezione, la qantità di armatre, le aratteritihe dei materiali e le olleitazioni, i alola il valore del parametro adimenionale ν; amendo lo teo ome valore ltimo ν, dalla oordinata /ν e per interpolazione tra le rve orripondenti ai de valori delle perentali di armatra omprendenti qella eettiva, i determina il valore di e/r e qindi della eentriità orripondente al momento ltimo. La veriia pertanto i ottiene ontrollando il oddiaimento della relazione: d < N η r N e

63 La ezione generia:preo-leione retta A etodo generale di tipo nmerio B Veriia on diagramma Stre-blok etodo generale ε σ Determinazione dell ae netro i+ ε m i+ i i n i+ m i ε σ σm ( n ) ( N + N ) N ( σ ) N,, A j j j n N, i 0 σ ( ) b( ) d x i+ x i x

64 La a ezione generia:preo-leione retta etodo generale nmerio i+ ε m i+ i i n ε ε σ σ σm i+ m i n x i+ x i x ( σ ) N,, A j j j σ, j d per ε, j εo σ, j d per ε, j εo σ, j E ε, j per ε, j < εo

65 La a ezione generia:preo-leione retta etodo generale nmerio i+ ε m i+ i i n ε ε σ σ σm i+ m i n x i+ x i x ( N N ) N, +, i r i t i N r, i t, i ( x x ) σ( ) i+ x x i 0 m i+ i m m N σ d ( ) ( ) d

66 La ezione generia:preo-leione retta etodo generale nmerio i+ ε m i+ i i n i+ m x i+ i x i ( ), +, i r i, t i n ε ε x + r, i t, i N σ σ σm Determinazione del momento ltimo + ( A σ ),,,, i j 0 σ j j ( ) b( ) ( x x ) σ( ) i+ x i + x i m i ( ) G G n m 0 σ i d ( ) ( ) j d d

67 Sezione generia: preo-teno leione deviata Nel ao della preoleione deviata ono inogniti ia la poizione he l inlinazione dell ae netro. Come nel ao del metodo di veriia alle tenioni ammiibili è poibile pervenire alla olzione del problema della veriia individando la ezione reagente per eive approimazioni Domini di reitenza per ezioni rettangolari Cao A: ρ x ρ 0 µ hb ' d ρ x ρ 0 Cao B: ρ x ρ 0.5 h 0.h ρ A i N A i ρ x A i x x Cao C: ρ x ρ.0 Cao D: ρ x 0.5, ρ 0 Cao E: ρ x.0, ρ 0 Cao F: ρ x.0, ρ h 0.b 0.b b ω 4A i + ρ x A i + ρ A i ( ). d bh d x µ x bh '

68 Sezione rettangolare: domini di reitenza per preo-teno leione deviata ρ x ρ 0 µ hb ' d R k 50 kg/mq-feb44k: R k 350 kg/mq-feb38k: x µ x bh ' d

69 Sezione rettangolare: domini di reitenza per preo-teno leione deviata ρ x ρ µ hb ' d R k 50 kg/mq-feb44k: R k 350 kg/mq-feb38k: x µ x bh ' d

70 Sezione rettangolare: domini di reitenza per preo-teno leione deviata ρ x ρ 0 µ hb ' d R k 50 kg/mq-feb44k: R k 350 kg/mq-feb38k: x µ x bh ' d

71 Sezione rettangolare: preo-teno le- ione deviata (olzione approimata).0 µ β0.5 β0.6 β0.8 β0.7 β ωperentale meania di armatra ompleiva della ezione µ x β x xo α + w o β 4 + ω ( ν, ω) max ν 0.4, (. ω) α log(0.5)/log(β ) α ν

72 Sezione rettangolare: preo-teno le- ione deviata (olzione approimata) Conronto analii parametria-epreione approimata β β Invilppo max Invilppo medio Invilppo min 0.5 β 4 + ω ( ν, ω) max ν 0.4, (. ω) ν N b h d ν N b h d

73 Sezione rettangolare: preo-teno le- ione deviata (olzione approimata) Conronto analii parametria-epreione approimata β β Invilppo max Invilppo medio Invilppo min 0.5 β 4 + ω ( ν, ω) max ν 0.4, (. ω) ν N b h d ν N b h d

74 Sezione rettangolare: preo-teno le- ione deviata (olzione approimata) Cl: Rk 50 kg/m aiaio FeB44k armatre 6 φ6 N d kg e x 5 m e 9 m h50 x x xo α + o α α log(0.5)/log(β ) b40 Reitenze di alolo del aletrzzo e dell aiaio: 0.83 R R k d d 0 kg/m ak d.6 γ Calolo dello orzo normale ltimo adimenionale ν: ν N b h d kg/m

75 Determinazione di xo : Il ario adimenionale vale 5 ν 0.0 La perentale meania di armatra dipota in direzione x ed il oprierro, riltano: A ω ω d x x b h η xo e d / h.5 N η h e/h kgm ω ω' δ x d h SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U ξ d'/h 0.05 / ν

76 Determinazione di o : Il ario adimenionale vale 5 ν 0.0 La perentale meania di armatra dipota in direzione x ed il oprierro, riltano: A ω ω d x x b h η x o e x d / b.05 N η b x kgm e/h ω ω' SEZIONE RETTANGOLARE - PRESSOFLESSIONE S.L.U ξ δ d h d'/h 0.0 / ν

77 Calolo dei oeiienti β e α : A, tot d ω 0.56 b h d β ( ν, ω) max ν 0.4, (.4 ω) + ω 0.5 max , log(0.5) log(0.5) α.6 log( β) log(0.55) ( ) 55 Domini di reitenza approimato e veriia a preoleione deviata: x xo α + o α <

78 Relazione otittiva parabola-lineare lineare Indiating b ε the ollowing ratio: ε ε ε0 the ollowing two branhe o the relationhip are deined: 0 0 a ε ε + bε; ; or or ε (0,) ε > where: a + γ b γ with: 0 + E γ E t ε t 0 ε o E o ε o E t o,, ε ε

79 DOINI DI RESISTENZA (ν-µ) C C ZONA 3 ZONA 6 Eqazioni di eqilibrio ezionali (adimenionali): N ν b h d σ ξψ + ω' ' σ + ω σ ' σ µ ξψ (0.5 λξ ) + ω' (0.5 δ ') ω (0.5 δ ') b h d

80 PARAETRO ψ σ( ) d σ( ) d ψ region ξ,3 0,6 0,5 0,4 l,d 0,3 0, 0, 0,05 nonined ψ d ψ h d region 3 to 5 region ξ

81 PARAETER λ λ λ σ( ) d ψ d λ h σ( ) d ψ d ,6 0,5 0,4 l,d 0,3 0, 0, 0,05 nonined ξ

82 Cae A- region a, where ξ < and α α(ξ) : α Fnzioni ψ e λ ε ε 0 ξ h α( ξ) α( ξ) ( ξ) ( +γ) 3 ψ λ( ξ) Cae B- region b where ξ < and αα(ξ) >: α( ξ) ψ ( ξ) + ( γ ) λ ( ξ ) 3α( ξ) Cae C- region 3, 4 and 5, where ξ and α >?(?ontant): α ψ () ξ + ( γ ) ot λ( ξ ) 3α ( +γ) ( ) +γ α( ξ) 3 3 α ( ξ ) α ( ξ ) α α α( ξ) 4 3 α ( ξ ) 3 α ( ξ ) ( γ ) ( γ ) α ( ξ ) 3 α + 3 ( γ ) α ( γ ) α ot Cae D- region 6a, where <ξ α/(α ) and α> (?ontant): α ψ ( ξ) ( 4α+ λ( ξ ) αξ 3 ( ξ ) 3 ξ αξ 6αξ 3α ξ [ + ξ +γ ξ( +γ) ] α ) ξ + α (ξ ) (3+ ξ) α ξ [ ξ + (+ γ) 3ξ(+ γ) ] { α (ξ ) ξ + 6αξ 3α ξ [ + ξ + γ ξ (+ γ) ]} Cae E - region 6b, where ξ > α/(α ) and α > (?ontant): ξ+α ψ( ξ) ( ξ )( γ ) ξ λ ( ξ) 3 3ξ+α( 3ξ )( γ ) [ ξ+α( ξ )( γ ) ]

83 Epreioni empliiate di ψ e λ β ψ λ,ψ ψ ψ λ lim λ λ ξ,3 ξ ξ Region ψ λ Region (ξ ξ 3 ) ψ ξ ψ λ λ ξ 3 Region 3,4,5 (ξ 3 ξ ) Region 6 (ξ >) Ψ ψ ψ λ λ βξ β+.5 Ψ ξ ξ ( 0.5λ) λ 0.5 ξ 0.75

84 ν µ INTERACTION CURVES ν χ DIAGRAS 0,6 0,4 0, 0,0 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 0, 0,4 0,6 0(χ d) 0,8 µ ω ω' 0, d'/h 0,05 0,6 0,5 0,4 0,3 l,d 0, 0, 0,05 Unonined ν

85 ν µ INTERACTION CURVES ν χ DIAGRAS 0,6 0,4 0, 0,0 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 0, µ 0,6 0,5 0,4 0,3 l,d 0, 0, 0,05 Unonined ν 0,4 onrete ailre 0,6 0(χ d) teelailre ω ω' 0,3 d'/h 0,05

86 INCREENTO DI DUTTILITA χ χ χ,,n χ χ,, χ χ,n,n I ''( χ l, d ) ε ε ψ ψ n l, d.6 l, d l, d I 0,6 χ 0,5 0,4 0,3 0, 0, l,d 0,05 Unonined I' χ 30ν -0,7 d'/h 0,05 ν

87 Inlenza di ξ lla dttilità della ezione - A /E d 5 6,3 C B 3,4 4,5 Al reere di ξ i ride la dttilità della ezione; per le travi i onigliano valori di ξ omprei tra La normativa onente il alolo platio enza rihiedere il ontrollo delle rotazioni platihe e ξ è minore di 0.5 ed il alolo elatio on riditribzione e ξ è minore di 0.45

88 H SEZIONI PRESSOINFLESSE DIAGRAA OENTO-CURVATURA ( φ N) A d x d ε ε a χ T λx C N A b εa T Determinazione del diagramma momento-rvatra (-φ) a orzo normale N otante. Per ogni aegnato valore della rvatra φ i determina il valore dell ae netro delle deormazioni tale he ia oddiatto l eqilibrio alla tralazione: N C + T T. Dall eqazione di eqilibrio alla rotazione i determina il momento orripondente, ottenendo qindi n pnto di oordinate (, φ).

89 DIAGRAA OENTO-CURVATURA ( φ N) φ φ φ Determinazione della rvatra di nervamento φ (nervamento delle armatre) e della rvatra ltima φ (raggingimento della deormazione ltima nel aletrzzo).

90 Diagrammi omento-crvatra al variare di N (tm) ν 0.5 ν 0 ν Ν b d d φ0 4φ0 Rk 50 kg/mq FeB44k φ 0 6 ν 0 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 φ /φ 8,4,5 8,6 5,83 4,09 3,0

91 ECCANISO GLOBALE E ECCANISO LOCALE DI COLLASSO

92 ODELLI DI CAPACITÀ ravi e pilatri: leione on e enza orzo normale deormativa θ di travi e pilatri è deinita ome rapporto tra l potamento traverale della ezione di momento nllo e la ditanza di tal La apaità deormativa ezione dalla erniera platia (le( di taglio). L v V - Elemento trave Lv + La apaità deormativa oì valtata i dierenzia in relazione ai 3 tati limite oniderati. Stato limite di Danno Limitato Stato limite di Danno Severo Stato limite di Collao (SL-DL) (SL-DS) (SL-CO)

93 Capaità rotazionale L epreione più emplie: θ pl φ l φ pl pl pl ( 0.5 d ) La lnghezza della erniera platia oniderando il rapporto / e la nellezza di taglio (λ /Vd) l ' pl ψ l v V 0.5 t l v

94 Inlenza del edevolezza del Inlenza del edevolezza del vinolo/nodo vinolo/nodo ε ε ε θ 4 4,,,, a t b a a b a d l d l τ τ a t b pl a t t a a pl d l d d l l,,, * *,, 4 τ ψ φ ε ε θ

95 Le epreioni della lnghezza della erniera platia l pl ' '' t lpl + lpl 0. 5ψ l v + ψ db k lv + k 4τ a, d b l pl 0.08l d Prietele (996) v b l t pl 0.5ψ lv +.ψ db Lehman (998) 4 τa, l l pl pl 0. l v d b Panagiotako & Fardi (00) 0.4 db 0.lv + 0.7h + O.P.C.. 374

96 Lnghezza della erniera platia in nzione della le di taglio (/V) lpl [mm] Prietle Lehman Pan & Fardi odello generale L V [mm]

97 La apaità rotazionale ripetto alla orda eondo O.P.C Opzione n. (regreione nmerio-perimentale) θ γ el 0.06 ( ν ) max( 0.0, ω' ) 0.3 max ( 0.0, ω) 0.5 l ν h ( α ρx w / ) 00ρd.5 Opzione n. (teoria on taratra perimentale) θ γ el θ + 0.5L ( ) pl φ φ L pl Lv on Lv h θ φ φ L v d b

98 ODELLAZIONE CERNIERE PLASTICHE Diagrammi omento-rotazione tazione allo nervamento: θ θ + 0.5L pl ( ) φ φ Lpl LV tazione ltima: Lv h φ φ L v d b Ordinanza n. 374 del 0 arzo 003 Stato Limite di Danno Limitato DL Stato Limite di Danno Severo DS Stato Limite di Collao CO θ 3/4 θ θ θ

99 ODELLI DI CAPACITÀ Rotazione di nervamento Lv Lv h θ φ φ L v d b Contribto leionale Contribto tagliante Sorrimento delle barre

100 ODELLI DI CAPACITÀ Rotazione ltima Lv θ θ + ( φ φ ) L pl 0.5L L V pl φ φ φ è la rvatra a nervamento valtata oniderando la deormazione di nervamento dell armatra tea φ è la rvatra ltima valtata oniderando la deormazione ltima del l Lpl Lv

101 ODELLI DI CAPACITÀ I valori di maima apaità deormativa ono dierenti in relazione a i 3 tati limite SL-DL θ,dl θ SL-DS SL-DC θ θ,ds,co θ θ + θ 3 4 ( θ + ( φ θ ) φ )L pl 0.5L L V pl

102 Un programma perimentale FRP propertie Fiber t j [mm] E FRP [GPa],FRP [Pa] ε,frp [%] CFRP* GFRP** Linea - Obiettivo 560 NODI: 3-4 *ommerialized b SIKA; ** ommerialized UR b dell Univerità APEI di Salerno

103 Tet et-p

104 Tet on FRP onined olmn

105 Tet on FRP onined olmn

106 Htereti loop and load-diplaement diplaement envelope olmn reinored with mooth rebar (barre lie) more pinhing olmn reinored with deormed rebar (barre ad ader. migliorata) le pinhing

107 Htereti loop and load-diplaement diplaement envelope Lateral Fore [N] 0000 Fmax Fmax C-S-A 0 r Fmax Fmax Diplaement [mm] Lateral Fore [N] C3-S C-S-G C4-S-G C0-S-C C3-S-C C-S-A C-S-A C6-S-A Diplaement [mm] Fmax Lateral Fore [N] 0.90 Fmax C9-D/R C9-D Fmax Fmax Diplaement [mm] Lateral Fore [N] potamento al ollao onvenzionale C9-D/R C9-D C3-S/R C3-S Diplaement [mm]

108 ORDINE DEGLI INGEGNERI Coro di aggiornamento lla normativa imia gen. 006 mar. 007 STATO LIITE ULTIO PER TENSIONI NORALI Pro. Ciro FAELLA Dipartimento di Ingegneria Civile Univerità di Salerno