SEGMENTAZIONE DELLE IMMAGINI

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1 EGMENTAZIONE DELLE IMMAGINI Introduzione Generamente una immagine contiene diversi oggetti presenti nea scena. Per esempio, in una cea robotizzata di assembaggio, i sistema di visione acuisisce automaticamente i vari oggetti da assembare. L obiettivo de sistema di visione in tae contesto, consiste ne dividere immagine in regioni differenti, ognuna dee uai, incude soo uno degi oggetti acuisiti da assembare. L interesse in tae appicazione, è ueo di avere disponibie un agoritmo che isoa i vari oggetti presenti ne immagine. I processo di dividere immagine in regioni omogenee, dove tutti i pixe che corrispondono ad un oggetto sono raggruppati insieme, è chiamato egmentazione. I raggruppamento dei pixe in regioni è basato in reazione ad un criterio di omogeneità che i distingue tra oro. I criteri possono, per esempio, essere vaori di simiarità di attributi coore, tessitura, ecc. oppure vaori di prossimità spaziae distanza Eucidea, ecc.. I principi di simiarità e di prossimità sono motivati daa sempice considerazione che regioni omogenee derivano daa proiezione di punti di un oggetto ne immagine rappresentati da pixe che sono spaziamente vicini con vaori simii di iveo di grigio. Queste assunzioni non sono sempre vaide, ed in diverse appicazioni è necessario integrare atre informazioni in reazione aa conoscenza a priori de contesto appicativo dominio de appicazione. I raggruppamento dei pixe in uest utimo caso si basa confrontando e regioni ipotizzate con regioni modeate a priori. Due puntuaizzazioni importanti:. La segmentazione de immagine non impica a cassificazione dee regioni. L agoritmo di segmentazione partiziona sotanto immagine in regioni omogenee e nessuna informazione viene fornita per riconoscere gi oggetti associati e tanto meno sua oro reazione.. La segmentazione de immagine non è basata su una particoare teoria fisicomatematica. Conseguentemente diversi sono gi agoritmi disponibii, moti dei uai non esaustivi e basati su un approccio euristico utiizzando metodi ad hoc per e varie appicazioni. Gi agoritmi di segmentazione possono essere raggruppati come segue: - Agoritmi basati sua conoscenza gobae o parziae de immagine knowedge based. La conoscenza è rappresentata dagi istogrammi di acune caratteristiche de immagine. - Agoritmi basati sui contorni Edge-based - Agoritmi basati sue regioni Region-based. Gi agoritmi Edge e Region based si caratterizzano a oro vota sua base dee features uminanza, tessitura, movimento, coore, ecc. utiizzate per estrazione dei bordi o dee regioni. Per una immagine ideae, gi agoritmi Edge based e Region based operano in modo duae producendo gi stessi risutati. In teoria, i contorni chiusi possono essere ottenuti da regioni usando agoritmi di Inseguimento dei contorni border foowing o tracker foowing.

2 Anaogamente, e regioni possono essere ottenute dai contorni usando agoritmi di riempimento di regioni region fiing. Nee immagini reai, è difficie derivare in modo univoco, contorni esatti dee regioni e viceversa. A causa de rumore, sia gi agoritmi Edge based che Region based, non forniscono una corretta segmentazione de immagine. Risutati accettabii possono essere derivati combinando i risutati parziai di diversi agoritmi ed integrando a conoscenza a priori dea scena opportunamente modeizzata. Regioni e Contorni L insieme dei pixe connessi rappresentanti una particoare caratteristica o proprietà degi oggetti è chiamata regione di una immagine. Una immagine può contenere diverse regioni che rappresentano una particoare proprietà di un singoo oggetto compesso oppure proprietà associate ai vari oggetti dea scena. A causa di errori presenti ne immagine, non sempre è corretta a corrispondenza tra e regioni e ciò che esse rappresentano ossia gi oggetti o parte degi stessi. Un contorno è una ista ordinata di bordi. L insieme dei pixe che deimitano una regione costituiscono un contorno chiuso. Non sempre i imiti di una regione sono chiusi. Processo di egmentazione La segmentazione, processo di raggruppamento dei pixe in regioni, può essere definita come un metodo che partiziona una immagine fi,j in regioni R,R,...,R n che soddisfano e seguenti condizioni: n U - Rk f, i j k, ossia intera immagine Partizione esaustiva. - Ogni regione R i soddisfa un definito predicato o criterio di omogeneità PR i ; ossia PR i vero i,n 3- Ogni Regione R i è spaziamente connessa. 4- Pixe appartenenti a regioni confinanti R i ed R j, uando considerati congiuntamente, non soddisfano i predicato: PR i R j Faso i,j dee n regioni 5- {R i } è una partizione escusiva, ossia R i R j con i j I predicato di omogeneità P indica a conformità di tutti i pixe di una regione R i ad un particoare modeo dea regione stessa.

3 3 egmentazione mediante sogia I processo di convertire i ivei di grigio di una immagine fi,j in una immagine binaria gi,j è i metodo più sempice di segmentazione: 0 g i, j 0 g i, j se per oggetti scuri se se se f i, j f i, j < f i, j f i, j > per oggetti chiari dove è a sogia dei ivei di grigio, gi,j per i pixe appartenenti agi oggetti e gi,j 0 per i pixe appartenenti ao sfondo. La segmentazione mediante a sogia dei ivei di grigio è motivata, considerando che gi oggetti dea scena, proiettati in zone omogenee regioni ne immagine, sono caratterizzati da una rifettività o assorbimento dea uce uasi costante. Un intervao di ivei di grigio è associato agi oggetti ed un intervao di ivei di grigio e associato ao sfondo. Un vaore di iveo di grigio detto anche sogia di separazione tra i due intervai è cacoato ao scopo di assegnare i vaore ai pixe con vaori compresi ne primo intervao e di assegnare vaore 0 ai pixe con vaori compresi ne secondo intervao. Così è ottenuta immagine binaria gi,j che corrisponde aa segmentazione con sogia. e intervao dei ivei di grigio [, ] associato agi oggetti è noto, immagine binaria è così ottenuta figura Figura : gi, j 0 se f, i j atrimenti e sono noti diversi intervai disgiunti di ivei di grigio [ k, k ] associati ai corrispondenti oggetti O k, una segmentazione a sogia, più generae, è ottenuta: g i, j k 0 se f i, j [ k, atrimenti per k,n oggetti Figura. Le immagini da microscopio, per anaisi de sangue, sono normamente segmentate con a precedente euazione, dove un dato intervao di iveo di grigio è associato a citopasma, o sfondo presenta ivei di grigio più ati e e cee de nuceo sono più scure. k ]

4 4 Figura : egmentation with a goba threshod: a origina image; b histogram; c e upper right sector of a segmented with goba threshods of 0, 47, and 85, respectivey. La segmentazione mediante sogia può essere utiizzata anche per estrazione dei bordi corrispondenti agi oggetti dea scena. Ne ipotesi che tai oggetti sono scuri rispetto ad uno sfondo più chiaro, si può ipotizzare che un intervao di ivei di grigio può comprendere soo ivei che appartengono tra o sfondo ed i confini di ciascun oggetto. e si indica con Δ intervao che incude soo i ivei di grigio dei contorni degi oggetti, si ottiene a seguente immagine segmentata: gi, j 0 se f, i j Δ atrimenti Le sogie considerate in precedenza sono cacoate interattivamente da utente. In aternativa, e sogie possono essere cacoate automaticamente sua base dea conoscenza a priori, per esempio, i numero di oggetti ne immagine, e oro dimensioni e a distribuzione dei ivei di grigio degi oggetti rispetto ao sfondo.

5 Figura egmentazione con diversi intervai di separazione dei ivei di grigio 5

6 6 Metodi di segmentazione mediante sogia Diversi metodi di segmentazione sono stati sviuppati per i cacoo automatico dea sogia anaizzando a distribuzione dei ivei di grigio de immagine e a conoscenza a priori sugi oggetti di interesse. Metodo P-Tie Questo metodo si basa sua conoscenza a priori dea percentuae P di area de immagine occupata da oggetto da esatare rispetto ao sfondo Figura 3. In diverse appicazioni, uesta situazione si verifica spesso, e a distribuzione dei ivei di grigio appare come in figura ne contesto di binarizzare immagine. Figura 3 Tipico Istogramma uando due oggetti sono ben separati Una tipica appicazione, in cui si ha a priori una stima de area degi oggetti di interesse, è nea digitaizzazione di pagine stampate di un testo. In uesto caso gi oggetti, ossia i caratteri, sono neri rispetto ao sfondo bianco. L istogramma atteso è de tipo bimodae con una dominanza di pixe più chiari appartenenti ao sfondo. La sceta dea sogia P, in termini di percentuae de area corrispondente ai ivei di grigio più scuri i caratteri, infuenza i risutati dea segmentazione. Una sogia bassa produce una segmentazione con caratteri in parte o de tutto canceati, mentre a sceta di una sogia ata, produce una segmentazione con caratteri artefatti e modificati daa forma originae Figura 4.

7 Figura 4 Variazione dea sogia e visuaizzazione de rispettivo fitraggio di pixe appartenenti agi oggetti caratteri di interesse. 7

8 8 Metodo su anaisi de istogramma In acune appicazioni, risuta efficace anaizzare istogramma dei ivei di grigio di una immagine, per cacoare sogie appropriate, ao scopo di identificare intervai di iveo di grigio che identificano con buona approssimazione o sfondo scuro o chiaro e gi oggetti dea scena. Figura 5 Gi istogrammi rappresentati in Figura 5a mostrano due picchi che corrispondono rispettivamente ad un oggetto dea scena, con una distribuzione dei ivei di grigio approssimati da una Gaussiana,σ, ed ao sfondo con distribuzione Gaussiana,σ. La varianza dee distribuzioni nee due figure dipende sostanziamente da rumore, daa brianza de oggetto rispetto ao sfondo e dae condizioni di iuminazione che possono generare ombre più o meno accentuate da confondere oggetto con o sfondo. e i due picchi sono ben accentuati e separati, e nea vae de istogramma ricadono pochi pixe, a segmentazione de immagine non risuta moto infuenzata da vaore dea sogia seezionata Figura 5a. In uesto caso, i cacoo automatico dea sogia è reaizzato facimente anaizzando istogramma H da cui sono cacoati i massimi ocai H 0 ed H s ed i minimo H. è i vaore dea sogia ottimae stimata tra i ivei di grigio 0 ed s in corrispondenza rispettivamente de picco de oggetto e deo sfondo. La distanza tra i picchi non è considerata. Questo metodo può essere generaizzato per n oggetti con distribuzione Gaussiana dei ivei di grigio,σ,..., n,,σ n e con o sfondo,σ. In uesto caso sono da ricercare n sogie,..., n anaizzando istogramma H de immagine che presenterà n picchi ed n vai.

9 9 Figura 6 Modifica de istogramma Metodo basato sua modifica de istogramma Nee appicazioni dove e distribuzioni dei ivei di grigio de oggetto e deo sfondo si sovrappongono, a segmentazione de immagine è fortemente infuenzata daa sceta dea sogia. L istogramma non presenta un andamento perfettamente bimodae e conseguentemente uaunue sceta dea sogia, individua pixe che possono appartenere a oggetto ed ao sfondo. Per minimizzare uesto inconveniente, si può modificare istogramma de immagine non considerando i pixe ad ato gradiente. In atre paroe, istogramma de immagine è cacoato con i soo contributo dei pixe con vaore medio-basso de gradiente che appartengono nettamente a oggetto oppure ao sfondo, mentre non sono considerati i pixe appartenenti ai bordi che sono con vaore ato de gradiente. e si indica con fi,j immagine da segmentare e con fi,j i gradiente di f, istogramma H de immagine gradiente f si modifica come evidenziato in Figura 6, presentando una vae più profonda che consente a sceta dea sogia in modo più sempice. Un approccio aternativo consiste ne cacoare istogramma de immagine considerando soo i contributo dei pixe con ato gradiente ossia considerando i pixe a confine tra oggetto e sfondo pixe di bordo. In uesto caso, istogramma H cacoato presenta sotanto un picco, con i corrispondente iveo di grigio che è sceto come sogia di segmentazione. Atri approcci si basano ne cacoo de istogramma de apaciano de immagine f. In uesto caso i ivei di grigio, dei pixe nee vicinanze de oggetto, variano da un vaore minimo ad un massimo seguendo una rampa di saita. I vaore de apaciano f è zero in corrispondenza dei pixe con ivei costanti e ungo a rampa di saita. Nea zona di transizione tra rampa e vaori costanti e viceversa, i apaciano de immagine presenta vaori rispettivamente positivi e negativi. L istogramma H è cacoato con i soo contributo dei pixe con vaore moto ato o moto basso de apaciano. Questo produce un istogramma modificato con andamento bimodae e con una vae accentuata tra i due picchi consentendo a sceta ottimae dea sogia di segmentazione.

10 0 Metodo dea sogia ottimae iterativa Per uee appicazioni dove non si ha una conoscenza de immagine, a sogia di segmentazione può essere cacoata in modo ottimae vautando parametri statistici dea distribuzione dei ivei di grigio dei pixe de oggetto e deo sfondo, a patto di avere una distribuzione di tipo bimodae. In uesto caso i probema si risove ne ricercare a migiore sogia che separa e due mode de istogramma. I metodo si basa su approssimazione de istogramma de immagine usando a media pesata di due densità di probabiità con distribuzione normae. Da istogramma de immagine H si deriva istogramma normaizzato dato da: p H 55 Hi per 0,55 i 0 che rappresenta a probabiità di occorrenza di ogni iveo di grigio. Per ogni vaore sceto dea sogia sono individuati due raggruppamenti di pixe rispettivamente de oggetto e deo sfondo i cui istogrammi dei ivei di grigio sono approssimati con due distribuzioni normai N,σ ed N,σ. Figura 7 Determinazione dea sogia ottimae La sogia è sceta con un iveo di grigio corrispondente aa minima probabiità ps tra i picchi dee due distribuzioni normai, e conseguentemente si ha una segmentazione con i minimo errore, ossia si ha i numero minimo di pixe non appartenenti a oggetto oppure ao sfondo. Ogni vaore di sogia determina due varianze, vae a dire una per i ivei di grigio minori di ed una per uei maggiore di. La definizione di sogia ottimae introdotta da Otsu [8] è uea per a uae a somma pesata dee varianze within-group tra i due gruppi è minimizzata. I pesi sono e probabiità dei rispettivi gruppi. Ciascun gruppo dovrebbe avere una distribuzione unimodae a forma di campana approssimabie ad una Gaussiana una distribuita attorno ad una media bassa ed una attorno ad una media più ata. Questo impica che vi è una reazione di omogeneità dei ivei di grigio appartenenti ad ogni raggruppamento, in cui i due gruppi differiscono un atro ossia i ivei di grigio dei pixe appartenenti ao sfondo ed a oggetto. Una misura di omogeneità è caratterizzata daa varianza. Un raggruppamento con ata omogeneità avrà una varianza bassa e viceversa una varianza ata per un gruppo con bassa omogeneità. Una possibiità di trovare a sogia di segmentazione per i due gruppi è uea di avere una varianza tra gruppi minima. Un atro modo è ueo di massimizzare a differenza tra e medie dei due gruppi.

11 Indichiamo con W σ a somma pesata dee varianze dei gruppi, ovvero a within-groupvariance. ia σ a varianza de gruppo con ivei di grigio inferiori ad, e σ uea reativo a gruppo avente ivei di grigio superiori ad. Per correttezza rotazionae, indichiamo i due gruppi oggetto e sfondo con gruppo e gruppo da momento che non si conosce a priori se i gruppo è oggetto oppure sfondo ed anaogamente per i gruppo. In corrispondenza di una sogia, a probabiità che un pixe appartenga a primo gruppo oppure a secondo è data da: 55 0 p p Con e indichiamo e medie de primo e secondo gruppo generate daa sogia rispettivamente di seguito definite: p 0 / 55 / p Le varianze, sono cacoate dae euazioni: 55 0 / / p p σ σ 3 che dipendono soo daa sogia. La varianza within-group W σ è definita come segue: W σ σ σ La migiore sogia può essere ottenuta mediante un metodo di ricerca seuenziae, attraverso tutti i possibii vaori di che minimizzano W σ. Vi è una reazione tra a varianza W σ e uea totae σ, ove uest utima non dipende daa sogia e che è di seguito definita: 55 0 p σ 4 dove 55 0 p La reazione tra e due varianze rende i cacoo dea sogia ottimae computazionamente meno compesso. Riscrivendo a σ otteniamo 55 0 ] [ ] [ p p σ

12 { } { } 55 0 ] [ ] ][ [ ] [ ] [ ] ][ [ ] [ p p 5 e considerando che 0 ] ][ [ 0 p e 0 ] ][ [ 55 p Riscrivendo σ si ha ] [ ] [ ] [ ] [ 55 0 p p σ [ ] { } ] [ ] [ σ σ 6 I primo termine è a varianza within-group W σ definita sopra, mentre i secondo termine è a varianza tra i gruppi between-group variance che indichiamo con B σ. Quest utima è a somma pesata de uadrato dee distanze tra a media di ciascun gruppo e a media totae. La media totae possiamo scrivera come 7 empificando a 6, eiminando e sostituendo con si ha ] ][ [ W σ σ. Da momento che a varianza totae non dipende daa sogia, a sogia che minimizza W σ è uea che massimizza a between-group variance B σ ] ][ [ B σ Vi è una stretta reazione tra i vaore di sogia cacoato tra un istante ed i successivo. Usando a e considerando che esso passa da a abbiamo p Con un vaore iniziae 0 0 p. Daa otteniamo a reazione ricorsiva p Con vaore iniziae 0 0. Da euazione 7 abbiamo Metodo di segmentazione con sogia adattiva Nee appicazioni dove immagine è acuisita in condizioni di uce non uniforme, e sogie seezionate con i metodi precedenti non producono una buona segmentazione. In tae contesto, un unico vaore di sogia reativo a intera immagine non produce buoni risutati di segmentazione.

13 3 Figura 8 Immagine ad iuminazione non uniforme Emerge esigenza di anaizzare istogramma de intera immagine mediante metodi di ricerca adattiva dea sogia. La segmentazione de immagine competa può essere ottenuta da unione dee regioni dee singoe sotto-immagini. Un metodo aternativo, chiamato con sogia variabie, sempre ne caso di immagini con iuminazione non uniforme, è ueo di approssimare i vaori dei ivei di grigio de immagine mediante funzioni piane oppure biuadratiche. Normamente a funzione di approssimazione è reativa ai ivei di grigio appartenenti ao sfondo. L istogramma e a sogia, sono poi vautati rispetto a tae funzione di approssimazione. Questa tecnica permette uindi di normaizzare o sfondo. Inserire figura normaizzazione sfondo. In tae contesto, può essere utie dividere immagine in sottoimmagini uadrate e per ueste utime a sogia è cacoata utiizzando i metodi precedenti. La segmentazione de immagine competa è ottenuta considerando come sogia di ciascun pixe i vaore di sogia interpoato tra due o più sottoimmagini.

14 4 Figura 9 egmentazione con sogia adattiva Metodo con sogia mutiiveo per immagini a coori e mutispettrai Per acune appicazioni, dove sono utiizzate immagini mutispettrai ed a coori, a segmentazione può risutare efficace operando ricorsivamente su istogramma di intensità di ciascuna componente spettrae o di coore per a ricerca di sogie a diversi ivei. Questo metodo consiste ne partizionare iniziamente una immagine componente in una regione scura ed in una più chiara ocaizzando un minimo ocae tra due picchi de istogramma di intensità. uccessivamente, sono cacoati separati istogrammi per ciascuna regione. I processo continua ricorsivamente fino a uando esistono regioni con soo un picco dei reativi istogrammi.

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16 6 Figura 0 Esempio di sogia mutiiveo Un agoritmo di segmentazione basato sua ricerca ricorsiva dee sogie:

17 7 - i considera immagine componente fi,j come una singoa regione. - Cacoa istogramma H di intensità con 0,55. Ricerca i vaore minimo tae da dividere immagine in una zona chiara ed una scura. 3- Partiziona a regione in sottoregioni in reazione aa sogia cacoata in. 4- Ripetere i passo e 3 per ciascuna regione de immagine fino a uando gi istogrammi associati contengono soo un picco significativo. L agoritmo precedente può essere migiorato considerando ne passo anche istogramma iveato cacoato come segue: H ' L L H i i L dove L rappresenta i numero di ivei di intensità coinvoti neo smoothing de istogramma. Voendo estendere tae metodo per e immagini a coori o mutispettrai, agoritmo precedente verrebbe modificato per ripetere i passi e 3 su tutte e componenti di coore e spettrai de immagine ed aggiungendo i seguente passo: 3.- Tutte e componenti di coore o spettrae segmentate sono proiettate sovrapposte in una immagine muticomponente. I processo di segmentazione continua sue regioni esistenti ne immagine muticomponente. Ne caso di immagini a coori naturai, e componenti di coore sono rappresentate dae componenti Rosso Verde e Bu RGB, oppure dae componenti di coore YIQ usati per a trasmissione teevisiva o dae componenti di coore derivate chiamate, Intensità Tinta e aturazione HI. Ne caso di immagini mutispettrai, dea scena sono disponibii diverse componenti spettrai ne visibie nm e ne infrarosso nm che sono scete per fornire informazioni per e diverse strutture de territorio cotivazioni, rocce, fiumi, boschi, ecc.. Ne caso di segmentazione di immagine con muticomponenti, è necessario evitare fase segmentazioni per strutture omogenee, introducendo una forte parceizzazione dee regioni. L immagine muticomponente segmentata deve essere verificata da un osservatore umano per verificare se i processo di segmentazione con sogie a più ivei conduce a risutati accettabii Figura. Una buona segmentazione è ottenuta riducendo a dimensionaità dee componenti di coore o uee spettrai mediante a trasformata ae componenti principai Karhunen-Loeve. La segmentazione di immagini mutispettrai risuta più efficace utiizzando metodi decisionai dea teoria statistica per identificazione degi oggetti cassificazione.

18 8 Figura Tipici istogrammi per diversi spazi di coore di una stessa immagine a coori. egmentazione basata su estrazione dei contorni La segmentazione di una immagine può essere reaizzata sua base dei contorni che deimitano gi oggetti dea scena. I contorni di una immagine possono essere estratti mediante gi agoritmi di Edging che come è noto evidenziano tutte e discontinuità di intensità coore, iveo di grigio, tessitura, ecc. presenti ne immagine. I risutati degi agoritmi di Edging non possono essere usati in modo diretto per a segmentazione, poichè i contorni che deimitano e regioni omogenee presentano diverse interruzioni causate sia daa iuminazione non uniforme dea scena che per effetto de rumore. Per eiminare i probema dea interruzione dei contorni, sono richiesti agoritmi ad hoc che ricostruiscono in modo competo i contorni di ciascuna regione omogenea. Gi agoritmi di estrazione dei contorni utiizzano varie tecniche uai: - Inseguimento dei contorni border foowing, - Connettivita dei pixe, - Coegamento dei frammenti di bordo ink-edge, - Approssimazione dei bordi curve fitting, Trasformata di Hough, ecc..

19 9 I metodi di segmentazione basati sui contorni, presentano acune difficotà ne contesto di oggetti che si sovrappongono o si toccano. In tai circostanze sono sviuppati agoritmi di segmentazione ad hoc. Inseguimento dei bordi edge foowing La segmentazione de immagine basata su estrazione dei contorni prevede i seguenti passi:. Estrazione dei bordi Edge-detection.. Inseguimento dei contorni partendo dai risutati mappe dei bordi e dee direzioni dei bordi de passi ed utiizzando e informazioni nee vicinanze di ciascun bordo Edge foowing. 3. Coegamento dei contorni interrotti Edge-inking. 4. Riempimento dee regioni deimitate dai contorni Region fiing. Gi agoritmi associati a primo passo sono stati già studiati. Gi agoritmi de secondo passo, che riguardano inseguimento dei contorni sono stati anaizzati in precedenza per e immagini binarie ne contesto dea codifica de contorno. In uesto caso e regioni sono già definite normamente con metodi di segmentazione a sogia e agoritmo di inseguimento de contorno si propone di approssimare i contorno di ciascuna regione con percorsi basati con 4-vicinanza oppure 8-vicinanza. Lo stesso agoritmo di inseguimento dei contorni può essere modificato per gestire immagini a iveo di grigio dove e regioni non sono ancora definite. I contorno è rappresentato da un percorso sempice percorso fatto di pixe non ripetuti aventi ciascuno non più di due pixe adiacenti di pixe con ato vaore de gradiente nea mappa gradiente. In pratica, agoritmo esamina inea per inea immagine gradiente, anaizzando ogni pixe con vaore massimo de gradiente oppure uando supera un determinato vaore di sogia. Trovato tae pixe agoritmo prova ad estrarre i contorno de area omogenea, inseguendo un percorso di pixe con massimo vaore de gradiente fino a uando non viene incontrato i pixe di partenza. In uesto caso i contorno ottenuto è descritto da un percorso chiuso. La ricerca dei pixe de contorno si basa su raggruppamento di pixe con massimo vaore de gradiente che soddisfano percorsi con 4-vicinanza oppure con 8-vicinanza e sua base dea direzione più probabie di continuazione de contorno. In sostanza sono utiizzate e informazioni di gradiente e di direzione dei bordi estratti con gi agoritmi di edging. Un agoritmo di inseguimento dei contorni per immagini a iveo di grigio può essere così schematizzato: a Cerca un pixe de contorno. Anaizza immagine gradiente inea per inea fino a uando non si incontra un pixe P i x,y che ha massimo vaore de gradiente oppure che possiede un vaore di gradiente che supera una certa sogia predefinita. b Cerca i pixe successivo. ia P j x,y i pixe adiacente a P i x,y con massimo vaore di gradiente e con a stessa direzione θp i. P j risuta eemento de contorno ed i passo b è ripetuto. Atrimenti si procede a passo successivo. c Esamina i pixe adiacenti a P j. i cacoa a media dei pixe adiacenti a P j corrispondenti aa finestra 3 3 centrata su P j. I risutato dea media è confrontato

20 0 con un vaore di grigio gradiente predefinito ao scopo di vautare se P J è interno o esterno aa regione in esame. d Continua inseguimento de contorno. I pixe P k è seezionato come eemento adiacente a P i nea direzione θp i ±π/4. La sceta de segno dipende da risutato de passo precedente. e i pixe P k risuta un nuovo eemento de contorno, inseguimento deo stesso continua proseguendo con i passo b. e P k non è eemento de contorno ricerca un nuovo pixe di contorno P i proseguendo con i passo a. I contorno estratto con agoritmo precedente, può essere descritto geometricamente mediante segmenti rettiinei e mediante tratti di curva. La descrizione formae dea rappresentazione dei contorni sarà anaizzata ne seguito. Coegamenti contorni interrotti In diverse appicazioni, gi agoritmi di estrazione dei contorni sono costretti ad operare con immagini che presentano diverse interruzioni nei contorni a causa de rumore. In tae contesto sono necessari agoritmi per i coegamento dei contorni interrotti Edge inking ao scopo di produrre contorni chiusi. Metodi di approssimazione ineare e non ineare possono essere utiizzati se è possibie descrivere i contorno con segmenti rettiinei e curviinei. Questo può essere sempificato se si ha una conoscenza a priori dea forma de contorno da ricercare. Ne esempio, e interruzioni de contorno ne tratto P P 3 e P 4 P 5 possono essere approssimate da tratti di una curva paraboica, mentre i tratti P 6 P 7 e P 8 P sono approssimate con tratti rettiinei. Diversi agoritmi di Edge-inking sono stati sviuppati per appicazioni ad hoc su basi euristiche. Un modo aternativo per risovere i probema è ueo di considerare un contorno come un percorso ottimae P, P,...,P n di un grafo i cui nodi rappresentano i pixe de immagine e gi archi rappresentano i ivei di connettività di due pixe adiacenti P I,P J. In atre paroe, agoritmo di inseguimento de contorno è riformuato come agoritmo di ricerca de migior percorso per coegare i pixe di inizio e fine de contorno. Questo approccio anche se computazionamente costoso può risutare necessario ne contesto di immagini con rumore. Ricordiamo acune definizioni sui grafi. Un grafo GP,A è costituito da un insieme non vuoto di nodi {P k k,n} e da un insieme A di coppie di nodi distinti P i,p j non ordinati. Ciascuna coppia è detta arco. Nea coppia P i,p j, se arco è diretto da nodo P i a nodo P j, poi P j è chiamato anche espansione de nodo.

21 Un grafo è caratterizzato con diversi ivei di nodi. I iveo 0 de grafo coincide con i singoo nodo di partenza de grafo; utimo iveo de grafo contiene insieme dei nodi finai goas. Tra i ivei estremi vi sono uei intermedi. Per ciascun arco P i,p j può essere associato un costo. Una seuenza di nodi P, P,...,P m, dove i generico nodo P i è i successore di P i-, è chiamato percorso Path da P a P m i cui costo è definito da: m Cm g Pi, Pi i dove gp i, P i è i costo associato a arco P i, P i. Ne contesto de inseguimento dei contorni, possiamo considerare che immagine è rappresentata come un grafo ed un percorso P, P,..,P m costituisce un contorno con pixe iniziae P e pixe finae P m. Ciascun nodo contiene informazione associata de pixe, ossia i moduo de gradiente P i e a direzione de contorno θp i che è ortogonae aa direzione di massimo gradiente. Un grafo può essere costruito se si considerano archi P i,p j che coegano i corrispondenti pixe adiacenti P i e P j con i criterio dea 8-vicinanza e se a direzione ocae θp i e θp j è compatibie con a direzione de contorno entro certi imiti. Per esempio possiamo considerare vaido arco P i,p j se a direzione di P j come successore di P i si trova ne intervao [θp i -π/4,θp j π/4] e se i vaori de gradiente P i e P j sono a di sopra di un vaore predefinito di sogia che indica una buona probabiità di pixe eemento de contorno. Per ricercare i contorno tra i pixe P A e P B come evidenziato in figura esistono diversi percorsi. La sceta de percorso ottimae può essere vautato con a seguente procedura euristica di ricerca: -Considera i pixe di partenza P A, iniziaizza a ista de contorno PATH e a funzione costo g A k de percorso da nodo P A a nodo P k. Ogni eemento dea ista PATH mantiene indice dei nodi de percorso in eaborazione ed un puntatore a nodo precedente de percorso ottimae. -Espandere i nodo iniziae P A generando tutti i suoi successori ed inserire tai nodi successori nea ista PATH. I successori sono vautati in accordo aa direzione dei pixe adiacenti come indicato in precedenza. Cacoare a funzione costo de percorso de nodo P A ad ogni nodo successore trovato. Può essere utiizzato come funzione costo a somma dei modui de gradiente ungo i vari percorsi che vanno da P A ai nodi successori trovati.

22 3-e a ista PATH è vuota, segnaa una condizione di errore. Atrimenti, determina nea ista PATH i pixe P k a uae è associato un vaore massimo dea funzione costo g A k. e P k P B, i percorso ottimae è competato e a procedura termina. Tae percorso è costituito da tutti i nodi dea ista PATH che hanno i puntatore non nuo per ripercorrere a ritroso i percorso ottimae. 4-Espandere i nodo P k individuato ne precedente passo ed inserire tutti i suoi successori nea ista PATH generando i puntatori a nodo parente P k. Cacoare a funzione costo dei percorsi aternativi associati ad ogni successore di P k trovato. Ritorna a passo 3. Questa procedura può essere modificata per gestire contorni chiusi ed in uesto caso i nodo di partenza P A con massimo vaore de gradiente coincide con nodo finae P B. In generae a funzione costo g A B associata a percorso tra i pixe P A e P B può essere condizionato da un generico pixe intermedio P K ed è definito daa reazione: g B g k g B g P, P g P, P A A k i i i k dove a componente g A k indica a funzione costo reativo a percorso da pixe iniziae P A a pixe intermedio P k, mentre a componente g k B indica a funzione costo reativo a percorso tra i pixe intermedio P k e i pixe estremo P B de contorno. m Risutati dea procedura appicata a immagine 5x8 de esempio precedente. Nea figura sono indicati i vaori de gradiente P k per ogni pixe de immagine e a direzione de contorno θp k che è ortogonae aa direzione di massimo gradiente. Ogni nodo P i viene espanso creando i successori P j che soddisfano ae seguenti condizioni: j k j j a θp I - θp J < 90 0 successore P J di P I b P I,P J sono adiacenti con soo tre direzioni de tipo 8-percorsi i vuoe estrarre i contorno da pixe P A P a pixe finae P B P 8. I successori di P che soddisfano ae condizioni sopra indicate sono i pixe P e P con g A gp A,P P A P 9 e g A P A P 8. Pertanto i pixe P è seezionato vaore gradiente più ato mentre i P è scartato. I successori di P sono i pixe P 3, P 8 e P 9 e e corrispondenti funzioni cumuative di massimo gradiente sono rispettivamente: g A 3 P P P 3 5 g A 8 P P P 8 0 g A 9 P P P 9 4 Tuttavia viene seezionato P 3 come pixe de percorso con massimo vaore de gradiente mentre P 8 e P 9 sono scartati.

23 3 I processo si ripete fino a raggiungere i pixe finae P B ottenendo a termine i percorso P,P,..,P 8 che corrisponde i massimo vaore dea funzione cumuativa de gradiente g A B. In generae i metodi euristici di ricerca di un percorso in un grafo non sempre garantiscono risutati ottimai uando appicati per a ricerca automatica dei contorni. Quando opportunamente adattati a probemi specifici reai e scegiendo appropriate funzioni di vautazioni de percorso si possono ottenere risutati accettabii con tempi di cacoo adeguati. a Immagine binaria b Etichettatura dee componenti connesse c Immagine binaria ed etichettata Figura Immagine binaria con cinue componenti connesse di vaore Componenti Connesse upponiamo di avere una immagine binaria B e che Bx,y Bx,y v con v0 oppure v. I pixe x,y è connesso a pixe x,y rispetto a vaore v, se c è una seuenza di pixe x,yx 0,y 0, x,y, x,y,.., x n,y n x,y in cui i Bx i,y i v per i,.,n ed x i,y i è pixe ne intorno di x i-,y i- per ogni i,,n. La seuenza di pixe x 0,y 0, x,y, x,y,.., x n,y n forma un percorso connesso da x,y a x,y. Una componente connessa di vaore v, è un insieme di pixe C, ciascuno avente vaore v e tae per cui ogni coppia de insieme è connessa rispetto a v. La Figura a mostra una immagine binaria con cinue componenti connesse di vaore e zone bianche, connesse con i concetto di 8-vicinanza e 4-vicinanza. A uesto punto diamo a seguente Definizione I processo di etichettamento di componenti connesse di una immagine binaria B produce una immagine di output LB costituita da etichette. Le etichette i vaori dei pixe sono uee dee sue componenti connesse. Una etichetta è un simboo denomina unicamente una entità. Regioni connesse in base aa 8- vicinanza e 4-vicinanza avranno a sessa etichetta. oitamente per e etichette vengono usate numeri interi positivi piuttosto che caratteri.

24 4 In Figura b è mostrato i risutato de processo di etichettamento di componenti connesse de immagine binaria di Figura a. Vi sono svariati agoritmi che effettuano etichettamento di componenti connesse, acuni sono fatti per caricare intera immagine in memoria ed impiegare agoritmi ricorsivi e che avorano per una componente aa vota. Atri agoritmi sono stati disegnati per immagini moto grandi e processano due righe de immagine aa vota. Atri agoritmi sono stati disegnato per essere impementati su architetture paraee. a 4-vicinanza b 8-vicinanza Figura 3 Ordine di ricerca dei pixe ne intorno a pixe in eaborazione * Agoritmo ricorsivo di abeing upponiamo che B è una immagine binaria con N righe ed M coonne. iamo interessati ad etichettare componenti connesse di pixe aventi vaore e di produrre in output una immagine etichettata LB. La strategia da adottare è uea di negare intera immagine in modo tae che i pixe ad divengono -, a fine di distinguere i pixe eaborati da uei da eaborare -. Quindi si inizia ne ricercare pixe con vaore -, modificare i suo vaore ad e successivamente attivare una procedura di ricerca di pixe a - ne intorno de pixe in eaborazione. oo i pixe in posizioni ammesse ne intorno de pixe in eaborazione sono individuati daa procedura di ricerca. La maniera di ricercare i pixe ne intorno è indicato in Figura 3.

25 5 Figura 4 Primi cinue passi de agoritmo ricorsivo appicata aa prima componente per immagine binaria di Figura. I carattere in grassetto indica i pixe in eaborazione Trasformata di Hough In aternativa ai metodi precedenti, basati su anaisi ocae adiacenza, orientamento, gradiente, ecc. dei pixe de contorno, per estrazione dei contorni ed i coegamento dee eventuai interruzioni presenti, considereremo ora un metodo che si basa su una reazione gobae tra i pixe. Tae reazione gobae tra i pixe risuta appropriata per a segmentazione di immagini che presenta oggetti di cui si conosce a oro forma e e dimensioni uest utima non è strettamente necessaria. Per esempio, ne caso di immagini teerievate, per o studio de territorio, risuta essenziae individuare particoari strutture geometriche inee, poigoni, ecc. che rappresentano strade, ponti, terreni cotivati, ecc.. Ne ispezione dei circuiti stampati necessita individuare strutture ineari e circoari, cosi come ne automazione industriae, i sistema di visione di una cea robotizzata, ocaizza ne piano di avoro oggetti con forma circoare predefinita. In reazione a tai contesti agoritmo di estrazione dei contorni può essere speciaizzato aa ricerca automatica di particoari contorni associati a figure geometriche predefinite come inee, cerchi, poigoni, ecc..

26 6 Figura 5 Agoritmo ricorsivo di abeing La trasformata di Hough può essere utiizzata per risovere a segmentazione de immagine nee condizioni sopra indicate e più in generae anche in condizioni di oggetti che si toccano o si sovrappongono generando contorni più compessi. La trasformata di Hough si propone di vautare reazioni strutturai e non, presenti tra i pixe de immagine. Per esempio, data una immagine, si vuoe verificare se esistono strutture geometriche ineari significanti, con uaunue direzione ed in uaunue posizione ne immagine. I probema si riduce a verificare se esistono insiemi di pixe aineati ungo una retta con identico iveo di grigio. Un modo per risovere uesto probema consiste ne considerare prima due pixe, individuare uindi una retta, e successivamente, verificare tutti i pixe significativi che sono ben aineati oppure poco distanti daa retta. e i pixe da anaizzare sono n, si dovrebbe ripetere tae procedura nn-/ n vote e poi verificare aineamento considerando ciascuno degi n punti con tutte e inee richiedendo circa n nn-/ n 3 confronti. I tempo di cacoo richiesto sarebbe improponibie. Una souzione inteigente a uesto probema è offerto daa trasformata di Hough.

27 7 Ne piano immagine, euazione di un fascio di rette, passante per un pixe x i,y i, in forma espicita, è data da: yi pxi dove p e sono i parametri di pendenza ed intercetta di ogni retta de fascio. L euazione precedente può essere riscritta nea forma: y i px i definendo in uesto modo un nuovo piano p che è chiamato spazio parametrico. i osserva che a pixe x i,y i ne piano immagine xy corrisponde una singoa retta con euazione y i px ne piano parametrico p. i Figura 6 Trasformata di Hough. Da piano in coordiante immagine xy, a ueo parametrico p. e consideriamo un secondo pixe x j,y j ne piano immagine sempre appartenente aa retta ypx, vi corrisponde una nuova retta y j -px j ne piano parametrico, a uae si interseca ne punto p, con a retta precedente associata a pixe x i,y i Figura 6. Osserviamo ancora che i punto p, risuta i punto di intersezione ossia punto comune neo spazio parametrico dee inee associate rispettivamente ai pixe x i,y i e x j,y j che appartengono aa stessa inea ypx ne piano immagine. Da ciò consegue che se si considera un terzo pixe x k,y k aineato con a stessa retta ypx, ne piano parametrico è generata una terza retta con a caratteristica di intersecarsi con e atre rette neo stesso punto p,. I risutato dea trasformata di Hough, di rappresentare una retta de piano immagine con un punto p, neo spazio parametrico, può essere utiizzato per risovere i probema posto iniziamente per a verifica se n punti ne piano immagini sono aineati. Più in generae, possiamo affrontare i probema di estrarre automaticamente e strutture ineari di un contorno senza avere una conoscenza a priori. È noto che e informazioni di partenza sono i vaore de gradiente e a direzione di ogni pixe ottenute appicando i noti agoritmi di estrazione dei bordi. Mediante una sogia predefinita possono essere evidenziati gi eementi de contorno più` significativi massimo vaore de gradiente. In reazione ad una particoare appicazione, può essere richiesto di individuare rette con un numero imitato di direzioni, sempificando in ta modo a trasformata di Hough. La riduzione dee possibii direzioni dee inee da ricercare ne immagine conduce ad una imitata discretizzazione de parametro angoare p e conseguentemente anche per i parametro. Questo porta a suddividere con una grigia non moto densa i piano parametrico p ed ogni cea rappresenta un opportuno intervao dei parametri p e.

28 8 I piano parametrico così definito è competamente rappresentato daa matrice di accumuazione Ap, dove in uesto caso gi indici p e individuano e cee dea grigia di discretizzazione. A inizio dea procedura a matrice A è iniziaizzata. Per ogni pixe Px x,y k eemento di un potenziae contorno, sono incrementati di una unita tutti gi eementi dea matrice di accumuazione Ap, individuati daa retta y k -px k neo spazio parametrico p,. e ne immagine si trova un contorno con un tratto rettiineo, per ogni pixe ad esso appartenente, a matrice di accumuazione A sarà modificata come indicato in precedenza. A termine dea procedura, si osserverà che un eemento p, dea matrice, presenterà un vaore massimo che coincide teoricamente a numero dei pixe de contorno rettiineo anaizzato, mentre tutti gi atri eementi presenteranno a massimo vaore possono rimanere a zero in reazione a iveo di discretizzazione dei parametri p e. La presenza nea matrice di accumuazione di un soo picco in un soo eemento p,, impica che i pixe trasformati erano coineati ne piano immagine ed appartenenti aa retta di euazione yp x. Figura 7 Appicazione dea trasformata di Hough per e inee. Nee immagini reai, a causa de rumore, a matrice di accumuazione presenta diversi picchi che probabimente indicano diverse strutture ineari ne immagine.

29 9 In atre paroe, a ricerca di strutture ineare ne immagine che in genere può risutare compessa, con a trasformata di Hough si riduce aa ricerca dei massimi ocai nea matrice di accumuazione Figura 7. Attenzione, con uesto approccio, se i contorno presenta diverse interruzioni, e strutture ineari sono comunue individuate neo spazio parametrico. In uesto caso, a mancanza di pixe nei tratti interrotti de contorno, ha soo effetto di avere picchi più bassi nea matrice di accumuazione. Come evidenziato in figura, nee immagini reai sia per a presenza di rumore sia per a non perfetta coinearità dei pixe, una struttura ineare, non è accumuata neo spazio parametrico in un soo punto, ma interessa una piccoa area, di cui viene cacoato i centro di massa per identificare i parametri p, di rappresentazione dea struttura ineare. Quando sono considerate strutture ineari verticai, euazione dea retta in forma espicita ypx, non risuta più adeguata poichè i parametro p e non è più dicretizzabie facimente diventerebbe troppo grande. Per eiminare uesto inconveniente, si utiizza a rappresentazione dea inea in coordinate poari: ρ x cosθ y sin θ dove ρ è a distanza dea inea da origine e θ e angoo tra a perpendicoare aa retta e asse dee x. In uesto caso una retta ne piano x,y corrisponde a punto ρ,θ neo spazio parametrico ρθ vedi Figura 8. Figura 8 Piano immagine e parametrico Come evidenziato in Figura 9, e proprietà dee trasformate di Hough con uesto nuovo spazio parametrico ρθ rimangono invariate. Una retta ne dominio spaziae è proiettata in un punto ne dominio parametrico. In corrispondenza de pixe x i,y i, ne dominio parametrico non si ha più una retta ma una curva sinusoidae. La coinearità dei pixe ne dominio spaziae ρ 0 xcosθ 0 ysinθ 0 è verificata, come in precedenza, trovando nea matrice di accumuazione ρ 0,θ 0 che corrisponde a punto comune di intersezione Aρ 0,θ 0 dee M curve ne dominio parametrico.

30 30 Anche con uesta rappresentazione parametrica è importante uantizzare in modo adeguato o spazio parametrico ρ,θ rappresentato ancora daa matrice di accumuazione Aρ,θ. Fin ui, abbiamo definito, soo per strutture ineari ne piano immagine, i oro modeo rappresentazione ne dominio parametrico. Vediamo ora come a trasformata di Hough può essere generaizzata per a ricerca automatica di contorni con figure geometriche più compesse. In generae un contorno può essere rappresentato daa euazione r f x, y, a, a,..., a f x, y, a n 0 dove r a rappresenta i vettore dei parametri dea curva. La ricerca di un contorno curviineo mediante a trasformata di Hough richiede a seguente procedura: Figura 9 Trasformata di Hough in coordinate poari

31 3 -I dominio parametrico a,a,...,a n deve essere opportunamente uantizzato definendo una matrice di accumuazione Aa,a,...,a n che viene iniziamente azzerata. -Per ogni pixe x,y de immagine, con vaore massimo de gradiente, oppure con vaore de gradiente superiore ad una sogia predefinita, incrementare di una unita tutte e cee interessate dea matrice di accumuazione Aa,a,...,a n che soddisfano euazione parametrica f x, y, a, a,..., a n 0 secondo i imiti di definizione dei parametri a i definiti ne passo. 3-La matrice di accumuazione A è anaizzata. Ogni picco significativo Aa,...,a n è candidato per rappresentare ne dominio spaziae a curva di origine fx,y,a,...,a n 0. Trasformata di Hough per cerchi Per sempicità, si vogiono riconoscere automaticamente strutture circoari presenti ne immagine. Tai strutture possono essere approssimate da un cerchio a cui descrizione anaitica è data da: x-a y-b r dove con a,b è indicato i centro de cerchio e con r i raggio. i osserva che necessita una matrice 3D di accumuazione Aa,b,r associata ao spazio parametrico previsto per i parametri a,b,ed r. Un pixe x,y ne piano immagine, eemento di un contorno circoare di raggio r e centro a,b, genera neo spazio parametrico un cerchio di euazione: a-x b-y r che è a curva uogo dei centri di tutti i cerchi di raggio r e passanti per x,y ne piano immagine. Considerando tutti i punti x i,y i dea struttura circoare e ripetendo o stesso ragionamento neo spazio parametrico, si generano atrettanti cerchi che si intersecano in un unico punto a,b, che coincide con e coordinate de centro de cerchio da uae sono derivati i punti x i,y i. Pertanto anche in uesto caso, insieme pixe che descrivono un cerchio ne piano immagine, uando trasformati neo spazio parametrico, producono, soo in un punto dea matrice di accumuazione, un picco ne piano immagine. e vi sono ne piano immagine diverse strutture circoari con raggio costante, nea matrice di accumuazione, si avranno diversi picchi ae posizioni a i,b i che rappresentano con una buona attendibiità i centri dei cerchi esistenti ne immagine. Quando i raggio r dee strutture circoari non è noto a priori, o spazio parametrico risuta tridimensionae, con i conseguente notevoe incremento de carico computazionae. Quest utimo cresce in modo esponenziae insieme ao spazio parametrico con aumentare dei parametri che descrivono curve più compesse. Ao scopo di ridurre in modo considerevoe a compessità computazionae, a trasformata Hough è appicata a immagine gradiente considerando anche informazione di direzione se disponibie per ciascun pixe eemento di bordo. Ritornando aa ricerca di strutture circoari con raggio costante noto, a trasformata di Hough era appicata a ciascun pixe di bordo x i,y i con i conseguente incremento nea matrice di

32 3 accumuazione di tutte e cee a,b appartenenti a cerchio di centro x i,y i neo spazio parametrico. e a direzione de pixe è utiizzata i numero di cee da incrementare si riducono notevomente. Figura 0 Trasformata di Hough per i cerchi Per tae scopo conviene riscrivere euazione de cerchio nea forma parametrica ma in coordinate poari: x a rcosθ y b rsinθ La direzione Φx i,y i di ciascun pixe è stimata da processo di estrazione dei bordi insieme a immagine gradiente, con un certo errore ΔΦ che può essere vautato in reazione a contesto appicativo.

33 33 Inserire figura Da ciò consegue, che neo spazio parametrico, e cee a,b da incrementare sono soo uee cacoate dae seguenti operazioni: e che soddisfano aa seguente condizione: a x rcos ϕ x, y b y rsin ϕ x, y ϕ xy, [ Φ xy, Δ Φ, Φ xy, Δ Φ ] dove si ricorda che Φx,y è a direzione de bordo ne pixe x,y e ΔΦ è i suo massimo errore previsto. Nea figura, sono evidenziati gi intervai A,B e A,B, corrispondenti a centri dei cerchi deo spazio parametrico, mostrando che soo una parte imitata dee cee Aa,b associate sono incrementate. Quando a struttura geometrica de contorno da estrarre risuta compessa con a necessità di utiizzare un numero notevoe di parametri oppure uando non è facie trovare una descrizione anaitica, una souzione a probema è rappresentata con a trasformata di Hough generaizzata. Questo metodo determina un contorno di forma compessa sua base dea conoscenza a priori de suo modeo che è acuisito iniziamente mediante un processo di apprendimento e codifica. Come primo approccio, consideriamo che i modeo ed i contorno da estrarre siano invarianti in dimensioni e rotazione. Nea figura è rappresentato i contorno campione modeo. Un punto interno di riferimento Px,y viene sceto possibimente nea zona centrae dea regione. Una semiretta comunue orientata è tracciata partendo da Px,y ed intersecando i contorno ne punto Cx,y. La direzione de bordo ne punto Cx,y è rappresentata daa retta t. Consideriamo ora i seguenti parametri associati a punto di riferimento Px,y sceto: - θ orientazione de bordo ne punto Cx,y rispetto a asse x; - α C angoo formato daa semiretta r con asse dea x. - R distanza de bordo Cx,y da punto di riferimento Px,y. Inserire figura Continuando a tracciare diverse semirette partendo sempre da punto di riferimento P, si intersecherà i contorno in diversi punti C,C,...C n. Per ogni punto C i de contorno, per costruzione, sono cacoati i vaori di R i ed α, e a direzione dea tangente t i è determinata. Queste terne di vaori sono memorizzate in una tabea R che costituisce a codifica de modeo de contorno insieme ae coordinate de punto di riferimento Px,y.

34 34 Inserire figura Per comodità, a tabea può essere ordinata per vaore crescente dea direzione de bordo θ i. i osserva inotre che in acuni punti i contorno può avere a stessa direzione, ossia θx i,y i θx j,y j. Questi casi sono considerati inserendo in ogni riga dea tabea e coppie corrispondenti R i,α i che presentano a stessa direzione de bordo θ i. Vediamo ora come opera a trasformata per estrazione de contorno per immagine reai. Da immagine gradiente ogni pixe x,y con vaore di gradiente significativo e direzione θ è anaizzato per determinare una possibie ocazione a,b de punto di riferimento. Questo è reaizzato con e seguenti euazioni: a x R θcos α x, y b yr θ sin α x, y I cacoo dei parametri a e b che generano a matrice di accumuazione Aa,b è possibie, seezionando nea tabea-r, a ista dee coppie R i,α i, in reazione aa direzione de bordo θx,y. L agoritmo competo è i seguente: -Genera a tabea-r de contorno desiderato. -Quantizza in modo appropriato o spazio parametrico ed iniziaizza a matrice di accumuazione Aa,b. 3-Esamina ogni pixe x,y eemento de contorno de immagine gradiente con direzione θx,y. Utiizzando θx i,y i seeziona e coppie R i,α i daa tabea-r e mediante e euazioni precedenti cacoa i presunto punto di riferimento a i,b i de contorno da ricercare. Incrementa a matrice di accumuazione: Aa i,b i Aa i,b i 4-Esamina a matrice di accumuazione A seezionando i picco o i picchi più segnificativi che rappresentano i punti di riferimento associati ai contorni desiderati. Riassumendo, a trasformata di Hough generaizzata può essere utiizzata per estrarre contorni di oggetti con figure geometriche compesse confrontando neo spazio parametrico oggetto con i suo modeo precedentemente acuisito. L agoritmo precedente può essere modificato nei passi 3 e 4 per estrarre contorni che rispetto a modeo hanno modificato a oro dimensione di un fattore di scaa s e orientazione di un angoo ψ rispetto a asse dea x. Ciò comporta estensione deo spazio parametrico con una matrice di accumuazione Aa,b,ψ tridimensionae.

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