Pietro Belli. Quaderno di Calcolo Matematico-Finanziario

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1 Pietro Belli MATE_FINA Quaderno di Calcolo Matematico-Finanziario

2 Argomento 1 L interesse semplice Preambolo L interesse rappresenta il prezzo da pagare per poter disporre di un capitale monetario non proprio e pertanto può essere definito come prezzo d uso del capitale ; in pratica, è il frutto del capitale monetario. L interesse sale sia col crescere del capitale sia con l aumentare del tempo di investimento: si dice che è funzione crescente del tempo e del capitale. L interesse prodotto dall unità di capitale (1 euro) nell unità di tempo (1 anno) è detto tasso di interesse o saggio di interesse e può essere indicato come tasso unitario (es. 0,05) o come tasso percentuale (es. 5%). Nei calcoli si usa il tasso unitario; il tasso di interesse è direttamente proporzionale al rischio e al tempo di impiego del capitale. La somma del capitale investito e dell interesse maturato in un dato tempo è detta montante: in sostanza è un capitale posticipato alla fine del tempo di impiego; pertanto il calcolo del montante in funzione del capitale iniziale è chiamato posticipazione. Posticipare significa riferire un valore finanziario a un momento futuro e, per contro, anticipare significa riferire un valore finanziario a un momento antecedente: il calcolo del capitale iniziale in funzione del montante è quindi chiamato anticipazione. Si definisce sconto l interesse calcolato sul montante anziché sul capitale: dunque è quella somma che va detratta dal montante per ottenere il capitale iniziale. L interesse matura sempre alla fine del periodo di investimento: se tale periodo non supera l unità di tempo assunta (normalmente l anno), il calcolo segue la legge dell interesse semplice. Quando invece si deve operare per periodi di più unità temporali, alla fine di ogni periodo matura un interesse che si somma al capitale divenendo anch esso fruttifero: si ha allora l interesse composto. Le formule; Esercizi svolti Le formule Formula generale dell interesse semplice I =. r. n I = interesse; = capitale iniziale; r = tasso unitario di interesse, cioè l interesse di 1 euro in 1 anno (es. 3% = 0,03); n = durata dell investimento espressa in anni o frazioni di anno (es. per 32 giorni n = 32/360; per 4 mesi n = 4/12); si noti che l anno finanziario ha, per convenzione, la durata di 360 giorni (12 mesi di 30 giorni). Dove Nelle applicazioni finanziarie l interesse semplice si applica per frazioni di anno. ESEMPIO Un capitale di ,00 è investito al tasso di interesse del 3% per 4 mesi e 20 giorni. Quale interesse è prodotto al termine dell investimento? 140 I = ,03. = 140,

3 Argomento 1 L interesse semplice Formule derivate C = I 0 rn I r = 0 I n = C r 0 ESEMPI 1. Un certo capitale è stato investito al tasso del 2,50% per un tempo di 8 mesi, al termine del quale si è ottenuto l interesse di 100,00. Qual è l ammontare del capitale investito? 100,00 = = 6.000,00 0,025. 8/12 2. A quale tasso di interesse fu investito il capitale di ,00 che in 7 mesi e 15 giorni ha prodotto un interesse pari a 506,25? 506,25 r = = 0, / Si è investito un capitale di ,00 al tasso del 4% ottenendo l interesse di 315,00. Quanto durò l investimento? 315,00 n = = 0, ,04 N.B. Per esprimere il tempo in mesi si moltiplica il risultato per 12; per ottenerlo in giorni si moltiplica per ,75 12 = 9 mesi 0, = 270 giorni Formula del montante semplice Serve per effettuare posticipazioni di capitali all interesse semplice. = (1 + r n) Dove = montante (capitale finale); = capitale iniziale; (1 + r n) = fattore di posticipazione a interesse semplice; n = tempo espresso in anni; r = tasso di interesse. ESEMPIO Un capitale di ,00 è investito per 6 mesi al tasso del 4%. Quale capitale finale si otterrà? = (1 + 0,04 6/12) = ,00 10

4 L interesse semplice 1 Argomento Formula del valore scontato Serve per effettuare anticipazioni di capitali all interesse semplice. Cn C 0 = 1+ r n = capitale iniziale; = montante (capitale finale); 1 = fattore di anticipazione a interesse semplice; 1 + r. n n = tempo espresso in anni; r = tasso di interesse. Dove ESEMPIO Un certo capitale è stato investito il 10 aprile al tasso del 3% e al 10 novembre dello stesso anno ha prodotto un montante di ,75. A quanto ammontava il capitale iniziale? ,75 = 1 + 0,03 7/12 = , Formula dello sconto semplice razionale Cn r n Sc = 1+r n ESEMPIO Pago con tre mesi di anticipo un debito di ,00. Quale sconto devo detrarre dal capitale se il tasso convenuto è del 5%? ,05 3/12 Sc = = 185, ,05 3/ Formula dello sconto commerciale Lo sconto commerciale è impiegato per le operazioni di sconto cambiario. Sc = r n Per ottenere la somma scontata si applica direttamente la formula seguente: = (1 r n) 11

5 Argomento 1 ESEMPI L interesse semplice 1. Una cambiale del valore nominale di 6.000,00, con scadenza a 3 mesi, è presentata per lo sconto bancario al tasso del 6%. Quale sconto detrarrà la banca dall importo del titolo? Sc = 6.000,00 0,06 3/12 = 90,00 2. Una cambiale di ,00, che scade fra 8 mesi e 20 giorni, viene presentata a una banca per lo sconto. Quale somma ne ricaverà se la banca applica all operazione il tasso del 6%? = ,00 (1 0,06 260/360) = , Formula per il calcolo di interessi e sconti col metodo dei divisori fissi I = N D Dove N = numero = prodotto di capitali per giorni di investimento; D = divisore fisso = 360/r. ESEMPIO Si presentano allo sconto le seguenti cambiali: N. IMPORTI GIORNI MANCANTI ALLA SCADENZA NUMERI (CAPITALI PER GIORNI) , , , , , SOMME , Si determini, al tasso di sconto del 5%, l ammontare complessivo dello sconto e degli importi scontati. N = D = = , Sc = = 964, = ,00 964,96 = ,04 12

6 L interesse semplice 1 Argomento 1.2 Esercizi svolti ESERCIZIO 1.1 All inizio dell anno un risparmiatore deposita, al tasso di interesse netto del 2,80%, la somma di 2.500,00. Successivamente effettua i seguenti ulteriori depositi: 3.000,00 alla fine di Marzo, 1.500,00 al 15 aprile, 2.800,00 al 22 maggio, 3.600,00 al 10 Luglio, 4.000,00 alla fine di settembre ed 3.200,00 al 25 novembre. Di quale somma potrà complessivamente disporre alla fine dell anno? Si devono sommare i montanti di ogni deposito maturati dalla valuta di ciascuna operazione fino alla fine dell anno: = (1 + 0,028) (1 + 0,028 9/12) (1 + 0, /360) (1 + 0, /360) (1 + 0, /360) (1 + 0,028 3/12) (1 + 0,028 35/360) = ,53 ESERCIZIO 1.2 Un risparmiatore deposita in forma fruttifera al tasso netto del 2% le seguenti somme: 5.000,00 al 10 gennaio; 4.000,00 al 10 febbraio; ,00 al 30 aprile; 7.000,00 al 30 giugno; 8.000,00 al 30 Settembre; 6.000,00 al 30 novembre. Nel medesimo anno effettua i seguenti prelievi: 3.000,00 al 10 Maggio; 5.000,00 al 10 agosto. Considerando che l istituto di credito, a partire dal 1 Settembre, ha operato una riduzione del tasso di interesse portandolo all 1,75%, si determini l ammontare del deposito esistente alla fine dell anno. Occorre anzitutto determinare il montante complessivo riferito alla fine di agosto al tasso del 2% e successivamente procedere al calcolo del montante a fine anno al tasso dell 1,75%. C 8/12 = (1 + 0,02 230/360) (1 + 0,02 200/360) (1 + 0,02 4/12) (1 + 0,02 2/12) (1 + 0,02 110/360) (1 + 0,02 20/360) = ,44 C 12/12 = ,44 (1 + 0,0175 4/12) (1 + 0,0175 3/12) (1 + 0,0175 1/12) = ,20 Un impresa agricola ha dato luogo, nell arco dell anno, ai seguenti ricavi e costi: ESERCIZIO 1.3 DATE RICAVI ( ) COSTI ( ) 15/ ,00 18/ ,00 30/ ,00 10/ ,00 20/ ,00 30/ ,00 30/ ,00 13

7 Argomento 1 L interesse semplice Si determini, al tasso di interesse del 3%, l ammontare del reddito netto annuo posticipato dell imprenditore. Il reddito netto è dato dalla somma dei ricavi al netto della somma dei costi Rn = (1 + 0,03 170/360) (1 + 0,03 2/12) (1 + 0,03 315/360) (1 + 0,03 282/360) (1 + 0,03. 7/12) (1 + 0,03 100/360) = ,36 ESERCIZIO 1.4 Il sig. Giuseppe ha acquistato un immobile urbano al prezzo di ,00 e ha concordato il pagamento così dilazionato: ,00 alla firma del preliminare di vendita; ,00 contestualmente al rogito notarile, che è avvenuto dopo 30 giorni; - il saldo dopo 3 mesi dal rogito. Considerando r = 0,04, determinare l importo dell ultimo versamento a saldo. Poiché il saldo avviene dopo 3 mesi dal rogito, cioè dopo 4 mesi dal preliminare, occorre posticipare ogni valore al quarto mese dal preliminare. = ( ) (1 + 0,04 4/12) (1 + 0,04 3/12) = ,67 ESERCIZIO 1.5 La sig.ra Luisa deve far fronte ai seguenti debiti: ,00 al 10/12 dell anno in corso; ,00 al 20/02 del prossimo anno; ,00 al 10/03 del prossimo anno. Chiede al creditore di posticipare il primo pagamento alla fine dell anno in corso e gli altri due al 30/05 del prossimo anno. Il creditore accetta concordando un tasso di interesse del 5%. Si determini l ammontare delle somme che dovranno essere versate dalla sig.ra Luisa alle nuove scadenze. Montante del primo pagamento alla fine dell anno in corso: C 31/12 = ,00 (1 + 0,05 20/360) = ,56 Somma del secondo e terzo pagamento riferita al 10/3 dell anno successivo: C 30/05 = ,00 (1 + 0,05 310/360) ,00 (1 + 0,05 290/360) = ,78 ESERCIZIO 1.6 La sig.ra Ester acquista un appartamento concordando i seguenti pagamenti: ,00 al rogito, che avviene dopo 2 mesi dall accordo preliminare di vendita; ,00 dopo altri 30 giorni; ,00 a 4 mesi dal preliminare. Sapendo che alla firma del preliminare ha versato una caparra pari al 20% del prezzo pattuito, si determini, al tasso del 5%: a) il prezzo concordato; b) l ammontare della caparra. 14

8 L interesse semplice 1 Argomento N.B. Se la caparra è pari al 20% del prezzo, significa che le altre rate, nell insieme, rappresentano l 80% del prezzo pattuito. Somma delle rate riferita all attualità: = = , ,05 2/ ,05 3/ ,05 4/12 Ammontare del prezzo, di cui la somma delle rate rappresenta l 80% (0,80): ,46 Prezzo = = ,32 0,80 Ammontare della caparra (pari al 20% del prezzo): Caparra = ,32 0,20 = ,86 ESERCIZIO 1.7 Il sig. Luigi deve far fronte ai seguenti debiti: ,00 con scadenza al 15/4; ,00 con scadenza al 22/7; ,00 con scadenza al 30/9. Chiede di poter effettuare tutti i pagamenti in unico versamento da effettuarsi al 10/8. Il creditore acconsente concordando un tasso di interesse del 3%. Quanto dovrà pagare il sig. Luigi al 10/8? Bisogna calcolare la somma di tutti i debiti riferendoli alla data del 10/8. 1 C 10/8 = (1 + 0,03 115/360) (1 + 0,03 18/360) = , ,03 50/360 ESERCIZIO 1.8 Per l acquisto di un fondo rustico è stato convenuto il prezzo di ,00 corrisposto mediante i seguenti versamenti: ,00 alla stipula del contratto preliminare di vendita in data 20/1; ,00 al rogito in data 20/2; ,00 al 20/4; ,00 al 20/5; ,00 al 20/6; - il resto al 20/07. Considerando r = 0,05, si determini l ammontare del versamento effettuato in data 20/7. Bisogna detrarre, dal prezzo convenuto, la somma dei diversi pagamenti tranne quello incognito. Il tutto va riferito alla data del versamento incognito, cioè al 20/7. C 20 = ( ) (1 + 0,05 180/360) (1 + 0,05 150/360) (1 + 0,05 90/360) (1 + 0,05 60/360) (1 + 0,05 30/360) = ,67 15

9 Argomento 1 ESERCIZIO 1.9 L interesse semplice Un imprenditore riceve un finanziamento da un istituto di credito al 20/1 del corrente anno e si impegna a restituire il prestito con i relativi interessi al tasso del 5%, secondo il seguente programma: ,00 al 20/2; ,00 al 20/3; ,00 al 20/4; ,00 al 20/5; ,00 al 20/6; ,00 al 20/7. Al 1 giugno il debitore realizza di non poter far fronte agli ultimi 2 pagamenti e chiede all istituto di credito di poter fruire di un ulteriore finanziamento. Valutata la situazione, l istituto accorda il rifinanziamento dell impresa per un importo di ,00 a condizione che a fine anno l imprenditore restituisca l intero importo comprendente le due rate insolute e il nuovo prestito, conteggiando un tasso di interesse del 6%. Determinare: a) l importo del finanziamento acceso il 20/1; b) la somma da rimborsare alla data del 31/12. L ammontare del finanziamento è pari alla somma dei diversi pagamenti, anticipati al 20/ , , , ,00 = ,05 1/ ,05 2/ ,05 3/ ,05 4/ , , = , ,05 5/ ,05 6/12 Al 1 giugno, data in cui è richiesto un ulteriore finanziamento, restano da corrispondere 2 pagamenti, rispettivamente scadenti il 20/6 e il 20/7. Pertanto, la nuova somma da rimborsare a fine anno è ottenuta posticipando, al tasso del 6%, l importo del nuovo finanziamento più gli ultimi 2 pagamenti fino al 31/12. = ,00 (1 + 0,06 190/360) ,00 (1 + 0,06 160/360) ,00 (1 + 0,06 7/12) = ,33 ESERCIZIO 1.10 L impresa edile Palanca & C. è titolare di un c/c bancario su cui deposita tutti i proventi della propria attività e dal quale preleva di volta in volta i fondi necessari per sostenere i costi di gestione. All inizio dell anno disponeva di un saldo attivo di ,00 e, nell esercizio in corso, ha effettuato i seguenti prelievi e versamenti: 16 VALUTA PRELIEVI VERSAMENTI 10/ ,00 20/ ,00 05/ ,00 20/ ,00 04/ ,00 10/ ,00 20/ ,00 15/ ,00 09/ ,00 30/ ,00 10/ ,00

10 L interesse semplice 1 Argomento Determinare, al tasso del 3%, il reddito netto realizzato nel corso dell esercizio. N.B. Per il calcolo degli interessi usiamo il metodo dei numeri e divisori fissi, computando i giorni da ciascuna valuta alla fine dell anno e assegnando ai capitali e ai numeri un segno positivo per i depositi e negativo per i prelievi. VALUTA CAPITALI GIORNI NUMERI 01/ , / , / , v / , / , / , / , / , / , / , / , / , Saldi , Calcolo degli interessi. Divisore fisso: 360/0,03 = N I = = = 4.701,62 D Determinazione del reddito netto (ricavi meno costi): Rn = , ,62 = ,62 ESERCIZIO 1.11 La sig.ra Milena lo scorso anno ha effettuato i seguenti investimenti: - per un certo tempo ha tenuto sul conto corrente bancario il capitale iniziale di ,00, ottenendo 150,00 di interessi maturati al tasso netto del 2%; - successivamente ha investito il montante ottenuto, per lo stesso periodo di tempo, al tasso del 3%; - il montante di questo secondo investimento è stato quindi impiegato, al tasso del 5%, fino alla fine dell anno. Quale montante finale ha ottenuto la sig.ra Milena? a) Tempo del primo investimento: 150,00 n = = 0, ,02 Mesi 0,25 12 = 3 17

11 Argomento 1 L interesse semplice b) Montante del secondo investimento: = (1 + 0,03 3/12) = ,12 c) Montante del terzo investimento: = ,12 (1 + 0,05 6/12) = ,52 ESERCIZIO 1.12 Il 10 febbraio dello scorso anno il sig. Lorenzo ha investito, al tasso del 5,50%, il capitale di ,00, ottenendo, dopo un certo tempo, l interesse di 522,50. Al termine di tale impiego, ha investito il montante ricavato al tasso del 6% per lo stesso periodo di tempo. Successivamente, il nuovo montante, destinato a un diverso investimento fino alla fine dell anno, ha fruttato l interesse di 335,50. A quale tasso è avvenuto quest ultimo investimento? a) Tempo del primo investimento: 522,50 n = = 0,3333 = 4 mesi ,055 b) Montante del primo investimento (capitale + interessi): = , ,50 = ,50 c) Montante del secondo investimento: = ,50 (1 + 0,06 4/12) = ,95 d) Tasso di impiego del terzo investimento: 335,50 r = = 0, ,95 4/12 ESERCIZIO 1.13 Nello scorso anno un risparmiatore ha depositato in banca, al tasso netto del 2,50%, le seguenti somme: ,00 il 10/01; ,00 il 25/03; ,00 il 20/06; ,00 il 15/09; ,00 il 10/11. Sapendo che a fine anno il saldo del conto corrente ammontava a ,96, determinare l importo del prelievo che il risparmiatore ha effettuato in data 30/07. a) Saldo finale del conto se non si fosse verificato il prelievo: = (1 + 0, /360) (1 + 0, /360) (1 + 0, /360) (1 + 0, /360) (1 + 0,025 50/360) = ,96 18

12 L interesse semplice 1 Argomento b) Importo del prelievo alla data del 30/07 (5 mesi prima della chiusura del conto): , ,96 = = , ,025 5/12 ESERCIZIO 1.14 La sig.ra Chiara, all inizio dell anno, ha contrattoun debito da restituire mediante i seguenti versamenti concordati al tasso del 5%: ,00 al 15/02; ,00 al 15/04; ,00 al 15/06; ,00 al 15/08; ,00 al 15/10. In data 30/07 la sig.ra Chiara chiede al creditore di saldare il debito residuo con un unico versamento immediato. Il creditore acconsente, ma concordando una riduzione del tasso di sconto al 4%. Determinare l ammontare del debito iniziale e l importo della sua estinzione al 30/07. a) Debito iniziale: 2.000, , , , ,00 = = , ,05 45/ ,05 105/ ,05 165/ ,05 225/ ,05 285/360 b) Debito residuo al 30/07. Alla data del 30/7 mancano 2 rate al saldo del debito, per cui il debito residuo è dato dalla somma di queste rate anticipate al 30/7: 3.000, ,00 = + = 5.970, ,04 15/ ,04 75/360 Per l impianto di un frutteto un imprenditore agricolo sostiene i seguenti costi: ESERCIZIO 1.15 DATA OPERAZIONE IMPORTO ( ) 30/08 Preparazione del terreno ,00 30/10 Concimazione 2.000,00 30/03 Acquisto astoni 8.500,00 10/04 Acquisto sostegni e varie 4.500,00 15/05 Retribuzione salariati 4.200,00 Per far fronte a questi impegni finanziari l agricoltore ricorre al credito agevolato, che viene concesso al tasso del 3,75%, con l impegno di rimborsare il capitale e i relativi interessi in data 30/07. Si determini l ammontare della somma da rimborsare alla data indicata. La somma da rimborsare è pari al montante di ciascuna rata posticipata al 30/7: = (1 + 0, /12) (1 + 0,0375 9/12) (1 + 0,0375 4/12) (1 + 0,0375 3/12) (1 + 0, /360) = ,50 19

13 Argomento 1 L interesse semplice ESERCIZIO 1.16 Un agricoltore decide di investire parte dei suoi risparmi nell esecuzione di un miglioramento fondiario. Gli si prospettano due possibilità: eseguire opere di drenaggio del suolo (miglioramento A) oppure costruire un magazzino attrezzato per lo stoccaggio della frutta (miglioramento B). Decide, pertanto, di orientare l investimento verso la soluzione cui corrisponde il maggior tasso di rendimento del capitale impiegato. Il capitale corrisponde al costo della miglioria; l interesse che se ne ottiene è dato dall incremento del reddito annuo conseguito per effetto della miglioria e il tasso di rendimento deriva dal rapporto tra interesse e capitale. Il tasso della provvista del capitale è del 4%. Si prospettano le seguenti risultanze: INVESTIMENTO COSTO REDDITO ANTE REDDITO POST Miglioramento A al 30/ , , al 30/06 Miglioramento B al 30/ al 30/ al 30/ , ,00 a) Costo totale a fine anno del miglioramento A: Kt A = (1 + 0,04 9/12) (1 + 0,04 6/12) = ,00 b) Costo totale a fine anno del miglioramento B: Kt B = (1 + 0,04 8/12) (1 + 0,04 6/12) (1 + 0,04 4/12) = ,33 c) Incrementi di reddito: - Miglioramento A: 5.000,00 - Miglioramento B: 3.000,00 d) Tassi di fruttuosità. Il tasso di interesse è dato dal rapporto tra interesse annuo e capitale: I r = Nella fattispecie l incremento di reddito rappresenta l interesse tratto dall investimento e il costo totale rappresenta il capitale investito Miglioramento A: r = = 0, Miglioramento B: r = = 0, ,33 Conviene effettuare il miglioramento A, cui corrisponde un tasso di fruttuosità del 12% contro un tasso del 9,1% della miglioria B. 20

14 L interesse semplice 1 Argomento ESERCIZIO 1.17 Un agricoltore acquista il 10 maggio una trattrice al prezzo di ,00 concordandone il pagamento mediante le seguenti rate senza interessi aggiuntivi: - il 40% del prezzo dopo un mese; - il 20% del prezzo dopo due mesi; - il 20% del prezzo dopo tre mesi; - il 20% del prezzo dopo quattro mesi. I pagamenti avverranno mediante prelievo su c/c bancario intestato all agricoltore con tasso di interesse a suo favore del 2,70%, il cui saldo, al momento dell acquisto, è di ,00. Quale saldo rimarrà sul suo c/c appena corrisposta l ultima rata della trattrice? Il saldo finale è dato dalla differenza tra il saldo iniziale e ciascuna rata di pagamento, il tutto riferito alla data dell ultima rata. = (1 + 0,027 4/12) ,40 (1 + 0,027 3/12) ,20 (1 + 0,027 2/12) ,20 (1 + 0,027 1/12) ,20 = 8.294,75 Un imprenditore presenta alla sua banca per lo sconto le seguenti cambiali: ,00 scadenza 30 giorni; ,00 scadenza 60 giorni; ,00 scadenza 80 giorni; ,00 scadenza 90 giorni. Determinare, al tasso del 6%, il ricavo netto che l imprenditore otterrà dall operazione. ESERCIZIO 1.18 a) Procedimento con l uso della formula diretta: = (1 r n) = (1 0,06 30/360) (1 0,06 60/360) (1 0,06 80/360) (1 0,06 90/360) = ,50 b) Procedimento con i divisori fissi: N. CAPITALI GIORNI NUMERI , , , , Totali , Divisore fisso = = ,06 N Sc = = = 148,50 D = ,50 = ,50 21

15 Argomento 1 ESERCIZIO 1.19 L interesse semplice Detengo una cambiale di ,00 che scade fra 3 mesi e 20 giorni. Desidero sapere se, scontando subito questo titolo al tasso di sconto del 6%, posso ottenere la somma necessaria a estinguere un mio debito di ,00 contratto al tasso del 4% con scadenza fra 2 mesi. Valore scontato della cambiale: = (1 0,06 110/360) = ,00 Valore attuale del debito: = = , ,04 2/12 Il valore scontato della cambiale non copre del tutto la somma necessaria a estinguere il debito. ESERCIZIO 1.20 Il sig. Carlo possiede il seguente patrimonio: - un immobile urbano valutato ,00; - un credito di ,00 esigibile tra 9 mesi; - una cambiale attiva di ,00 con scadenza a 6 mesi. Potendo realizzare subito l ammontare di tutti i suoi averi, il sig. Carlo si propone di acquistare un fondo rustico al prezzo di ,00. Considerando un tasso di interesse del 3% e un tasso di sconto del 6%, si determini l ammontare della somma residua da esborsare per l acquisto del fondo rustico. a) Valore di realizzo del patrimonio del sig. Carlo: 1 = (1 0,06 6/12) = , ,03 9/12 b) Somma residua necessaria per l acquisto del fondo rustico: S = , ,70 = ,30 ESERCIZIO 1.21 La sig.ra Marisa necessita di un prestito a fronte del quale può offrire in garanzia una cambiale del valore nominale di ,00 con scadenza a 9 mesi. Il finanziatore accetta l operazione convenendo lo sconto razionale del titolo al tasso del 6.50%. Quanto otterrà dal finanziatore la sig.ra Marisa? Sconto razionale della cambiale: r n ,00 0,065 9/12 Sc = = = 836, r n 1 + 0,065 9/12 22

16 L interesse semplice 1 Argomento Valore scontato o capitale iniziale: = ,00 836,71 = ,29 N.B. Allo stesso risultato si perviene applicando direttamente la formula del valore scontato: ,00 = = = , r n 1 + 0,065 9/12 Il titolare di un c/c bancario registra, all inizio dell anno, un saldo attivo di ,80. Nel corso dell anno avvengono i seguenti movimenti: ESERCIZIO 1.22 VALUTA DEPOSITI PRELIEVI 10/ ,00 25/ ,00 10/ ,00 15/06 Valore scontato di una cambiale di ,00, scadenza a 3 mesi 10/ ,00 20/09 Valore scontato di una cambiale di 7.800,00, scadenza a 4 mesi 16/ ,00 15/ ,00 03/ ,00 Determinare l ammontare del saldo a fine anno considerando un tasso di interesse del 2% e un tasso di sconto del 6%. Il saldo finale è dato dalla differenza tra depositi e prelievi, ciascuno posticipato a fine anno: = ,80 (1 + 0,02) (1 + 0,02 320/360) (1 + 0,02 275/360) (1 + 0,02 200/360) (1 0,06 3/12) (1 + 0,02 195/360) (1 + 0,02 170/360) (1 0,06 4/12) (1 + 0,02 100/360) (1 + 0,02 74/360) ( ,02 45/360) (1 + 0,02 27/360) = ,60 ESERCIZIO 1.23 La sig.ra Giovanna possiede una cambiale di 2.800,00 con scadenza a 170 giorni, scontabile al tasso del 6,35%. Ha, poi, un debito di 1.200,00, contratto al tasso del 5%, che scade fra un mese e mezzo. Dispone, inoltre, dei seguenti capitali: - montante di un capitale di ,00 investito 6 mesi fa al tasso del 3%; - interesse prodotto da un capitale di 5.000,00 impiegato al tasso del 4,50% per un tempo di 235 giorni. La sig.ra Giovanna investe la sua attuale disponibilità netta al tasso del 3% ottenendo 262,00 di interessi. Quanto è durato questo investimento? 23

17 Argomento 1 L interesse semplice a) Capitale netto disponibile, calcolato portando all attualità ogni componente del capitale personale: = (1 0, /360) (1 + 0,03 6/12) , /360 = , ,05 45/360 I 262,00 b) Durata dell investimento: n = = 0,63 = 226 giorni r ,37 0,03 ESERCIZIO 1.24 Il signor Gianni sconta in banca una cambiale del valore nominale di , con scadenza fra 6 mesi, ottenendo un ricavo netto di ,00. Determinare il tasso di interesse praticato dalla banca per l operazione di sconto. Si determina l ammontare dello sconto calcolato come differenza tra montante e capitale: Sc = , ,00 = 1.050,00 Dalla formula dello sconto commerciale si ricava, quindi, il tasso di interesse: Sc = C. n r. Sc n; r = = = 0,07 C. n r /12 ESERCIZIO 1.25 La sig.ra Sonia è titolare di un c/c bancario con tasso attivo lordo del 2%. Nell anno in corso sono avvenuti i seguenti movimenti: - 01/01: saldo attivo con valuta 31/12 anno precedente: ,00; - 28/02: versamento di 1.000,00; - 15/04: prelievo di 2.500,00; - 31/08: prelievo di 1.500,00; - 31/010: versamento di 2.000,00. Determinare il saldo finale del conto al 31/12 considerando l anno civile di 365 giorni e la ritenuta fiscale del 27% sugli interessi attivi maturati. N.B. Nel c/c bancario si utilizza, per il calcolo degli interessi, il metodo dei numeri e divisori fissi calcolando i giorni che intercorrono tra la valuta di un operazione e quella dell operazione successiva / /02 15/04 31/08 31/ RIASSUNTO SCALARE VALUTA SALDI PER LA VALUTA PERIODO GIORNI NUMERI 31/ ,00 31/12-28/ / ,00 28/02-15/ / ,00 15/04-31/ / ,00 31/08-31/ / ,00 31/10-31/ SALDO CAPITALI TOTALE NUMERI , Divisore fisso: D = 365/0,02 = Interessi: N = = 273,80 D Imposta erariale: Imp = 273,80. 0,27 = 73,93 Interessi netti: I = 273,80 73,93 = 199,87 Saldo finale del c/c: S = , ,87 = ,87

18 Argomento 2 Preambolo L interesse L interesse composto può essere annuo, se matura e si converte in capitale alla fine di ogni anno, oppure convertibile se matura e si converte in composto capitale per frazioni di anno (semestrale, trimestrale, ecc.). L interesse composto annuo è quello più diffuso nelle applicazioni economiche ed estimative. Ne è un esempio la maggior parte dei depositi annuo bancari e postali. I problemi che si presentano in questo ambito sono legati alla ricerca del montante, al calcolo del valore attuale, al calcolo dell interesse maturato e del tasso di interesse applicato. Chi usa un capitale non proprio per un certo tempo, alla scadenza dovrà restituire il capitale più l interesse maturato. Tale somma complessiva costituisce il montante. Per valore attuale si intende, invece, l ammontare del capitale iniziale corrispondente a un montante noto. Un caso particolare richiede l applicazione simultanea dell interesse semplice e composto. Questa problematica concerne i calcoli relativi a investimenti che comprendono anni interi e frazioni di anno; in tali casi si deve applicare l interesse composto per gli anni interi e l interesse semplice per le frazioni di anno. Nelle applicazioni economico-estimative assumono notevole rilievo le operazioni di posticipazione e anticipazione a interesse composto, che peraltro hanno lo stesso significato di quelle relative all interesse semplice. L uso dei coefficienti di posticipazione e di anticipazione consente di spostare avanti e indietro nel tempo i valori finanziari. Le formule; Esercizi svolti. 2.1 Le formule Formula del montante composto Serve per effettuare posticipazioni di capitali a interesse composto. = q n = montante (capitale più interesse); = capitale iniziale; q = 1 + r; n = tempo espresso in anni; r = tasso di interesse (interesse di 1 euro in 1 anno). Nelle applicazioni finanziarie l interesse composto si applica per anni interi. Dove ESEMPI 1. Investendo al tasso del 3% un capitale di ,00, quale montante si otterrà dopo 4 anni? = ,03 4 = ,28 2. Ho depositato in banca al tasso del 2,50% la somma di ,00. Dopo 2 anni la banca ha ridotto il tasso di interesse portandolo al 2,25%. Quale montante otterrò dopo altri 2 anni? = , , = ,88 25

19 Argomento 2 L interesse composto annuo Applicazione simultanea dell interesse semplice e composto Si applica per tempi che comprendono anni interi e frazioni di anno. ESEMPIO Investendo un capitale di ,00 al tasso del 2%, quale montante si otterrà dopo 3 anni e 9 mesi? = q 3 (1 + 0,02 9/12) = , Formula del valore attuale C =C I q 0 n n Dove 1 = fattore di anticipazione a interesse composto annuo. q n ESEMPI 1. Ho il diritto di riscuotere la somma di ,00 fra 3 anni. Chiedo di poter disporre subito di tale diritto: quanto otterrò se viene applicato un tasso di interesse del 5%? 1 = = ,94 q 3 2. Per estinguere un debito dovrei versare ,00 fra 2 anni e ,00 fra 3 anni. Chiedo di estinguere il mio debito mediante un versamento immediato. Quanto dovrò pagare se è stato convenuto un tasso di interesse del 2,50%? 1 1 = = ,13 q 2 q Formula dell interesse composto annuo I = (q n 1) ESEMPIO Un capitale di ,00 è stato impiegato al tasso del 5% per un tempo di 3 anni. Quale interesse se ne è ottenuto? I = (q 3 1) = 1.970,31 26

20 L interesse composto annuo 2 Argomento Formule inverse I C = q 0 n 1 r= n C C n Quale capitale, impiegato oggi al tasso del 3%, è in grado di produrre dopo 2 anni l interesse di 2.500,00? 2.500,00 = = ,90 q 2 1 ESEMPI 2. Un capitale di ,00 ha prodotto, in 2 anni, un montante di ,00. A quale tasso è avvenuto l investimento? r= ,00 2 1= 0, , Esercizi svolti ESERCIZIO 2.1 Il sig. Filippo riscuote oggi la somma derivante dal rimborso di un prestito di originari ,00, concesso 3 anni fa al tasso d interesse del 4%. Per contro, ha l impegno di pagare l importo di ,00 fra 5 anni. Chiede di utilizzare il rimborso ottenuto per estinguere subito il suo debito, concordando con il creditore un tasso di sconto del 3%. Qual è la situazione finanziaria odierna del sig. Filippo? Occorre posticipare il valore del prestito concesso 2 anni addietro e detrarvi il valore attuale del debito. 1 C = (1 + 0,04) = , ,52 = 6.063,12 (1 + 0,03) 5 ESERCIZIO 2.2 La sig.ra Laura ha intenzione di acquistare un immobile alle seguenti condizioni: oggi, alla firma del preliminare di vendita, versa un assegno di ,00 e paga 6,22 di spese; successivamente concorda i seguenti pagamenti: - fra 6 mesi, alla stipula del rogito, ,00; - fra 2 anni ; - fra 3 anni Considerando un tasso di interesse del 4%, qual è il prezzo di compravendita dell immobile? Il prezzo corrisponde alla somma di tutti i pagamenti portati all attualità: = , = , ,04 6/12 q 2 q 3 27