MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA APPLICATA ALLE ONDE DI SUPERFICIE

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1 Q U A D E R N I P E R L A P R O G E T T A Z I O N E MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA APPLICATA ALLE ONDE DI SUPERFICIE Teciche SASW, MASW, FTAN, H/V, ReMi, MAM e HVRS di FAUSTINO CETRARO

2 INDICE GENERALE Prefazioe... 9 Q U A D E R N I CAPITOLO 1 ONDE SISMICHE E STRUMENTI DI ACQUISIZIONE Itroduzioe geerale Tipologie di ode sismiche Legge di Sell e pricipio di Huyges Tipi di vibrazioi Vibrazioi periodiche e irregolari Teorema di Fourier Trasformata di Fourier discreta (DFT - Discrete Fourier Trasform) Modi di vibrare del suolo e delle strutture Aalisi spettrale Campioameto del segale Atteuazioe geometrica Fattori di cotrollo delle ampiezze dei segali sismici Velocità delle ode sismiche Comportameto meccaico dei terrei Attrezzatura per le misure sismiche Tipologie di prove sismiche

3 CAPITOLO 2 ACQUISIZIONE DEL SEGNALE E CURVE DI DISPERSIONE Geeralità sul Physical oise Acquisizioe e iformazioi sui record Dispersioe e sovrapposizioe dei modi Disposizioe dei ricevitori per l acquisizioe del segale Tempi di acquisizioe Somma di acquisizioi multiple per la sismica attiva Acquisizioi per la sismica passiva (ReMi) - lieare Acquisizioi per aalisi H/V Tromometro digitale Tromio Parametri e settaggi per le acquisizioi Software di gestioe per le acquisizioi sismiche di tipo attivo Software di gestioe per le acquisizioi sismiche di tipo passivo Note sul posizioameto dei geofoi su strati compatti...66 CAPITOLO 3 SASW (Spectral Aalysis of Surface Wave) Cocetti geerali Metodo SASW Sorgeti utilizzate Differeza di fase Stima della velocità Valutazioe della qualità del segale Iterpretazioe delle misure Iversioe delle misure Metodo di aalisi CWT (Cotiuous Wavelet Trasform) Dati e aalisi dello spettro Valutazioe della velocità di taglio GSD Istrumets SASW Cotrol Software MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

4 CAPITOLO 4 MASW (Multichael Aalysis of Surface Waves) Geeralità Metodo MASW Cei sulle ode di Rayleigh i u mezzo stratificato Curva di dispersioe e velocità di gruppo Spettro di velocità Cosiderazioi sulle curve di dispersioe Ode guidate Modo fodametale e modi superiori di Rayleigh Operazioi di pickig per le curve di dispersioe Operazioi di iversioe per le curve di dispersioe Iversioe per le ode di Love e di Rayleigh Cosa soo gli algoritmi geetici Misfit e miimi locali Iversioe cogiuta e problema della o uivocità Algoritmi evoluti per la ricerca dei multiobiettivi MOP e frote di Pareto Cei sulla tecica MOEA Esempio di elaborazioe MASW 1D Profili di sezioi co le MASW (2D) Spread cofiguratio (stedimeto dei geofoi) Elaborazioe dei dati Idicazioi sul calcolo del VS Q U A D E R N I CAPITOLO 5 METODO FTAN (Frequecy-Time ANalysis) Geeralità del metodo FTAN Metodo di aalisi i sitesi Profili di velocità delle ode di taglio co il metodo FTAN

5 5.4 Software di elaborazioe per le aalisi i FTAN CAPITOLO 6 MICROTREMORI E RISPOSTA DI SITO Metodi dei rapporti spettrali Rapporti spettrali H/V Metodo di Nakamura HVSR Iversioe per ode di coda Spettri di Fourier Metodi di correlazioe Cross-correlatio di Aki (1957) Beam Formig ed High Resolutio MUSIC (Multiple Sigal Characterizatio) Matrice di covariaza Misura delle vibrazioi degli edifici secodo le ormative vigeti Acquisizioi dei dati Esempio di calcolo del rapporto H/V Elaborazioe mediate il software Geopsy.org Metodologia di calcolo della curva di dispersioe per H/V Cosiderazioi sul profilo verticale delle ode di taglio Elaborazioe co il software Easy HVSR CAPITOLO 7 ReMi e MAM Geeralità sui microtremori Metodologia ReMi (Refractio Microtremors) Velocità di fase Sitesi sul domiio f-k Autocorrelazioe spaziale - SPAC MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

6 7.3.3 Exteded spatial autocorrelatio - ESPAC Operazioe di pickig e curve di dispersioe Profilo verticale moodimesioale Metodo passivo MAM Esempio di elaborazioe MAM co array ad L Esempio di elaborazioe MAM co array triagolare Cofigurazioi 2D tipiche per le idagii MAM CAPITOLO 8 ANALISI CONGIUNTE PER LE ONDE DI SUPERFICIE Q U A D E R N I 8.1 Cocetti geerali Combiazioe MASW 1D co ReMi (1D) Combiazioe MASW 1D co MAM 2D Combiazioe MASW 2D co MAM Osservazioe sui metodi di combiazioe co HVSR Combiazioe ode Rayleigh - Love E HVSR Bibliografia Appedice

7 PREFAZIONE La ecessità di avere u testo aggiorato alle più modere teciche di acquisizioe ed elaborazioe dei segali sismici el campo dell igegeria civile ed i particolare per la geotecica, fa del presete volume u valido mauale pratico seza trascurare troppo la parte teorica. Si parte da ua ifariatura dei cocetti basilari della sismica delle ode che si propagao ei terrei e le loro iterazioi co l obiettivo di far compredere le teciche più diffuse e le termiologie diveute ormai di uso comue, utilizzado i qualche caso termii i ligua iglese co relativa traduzioe, i maiera da abituare si da subito il lettore all uso dei termii iterazioali preseti i letteratura scietifica. Q U A D E R N I Ua volta forite al lettore le iformazioi di base si procede col defiire le varie metodologie di acquisizioe dei segali sismici, riportado modalità e teciche di messa i opera co esempi illustrativi, sia per gli stedimeti da praticare i campaga che per le diverse strumetazioi prese a riferimeto. Vegoo suggerite e cosigliate le pratiche più corrette da eseguire a secoda delle situazioi. Il testo è stato strutturato i maiera tale da affrotare gli argometi co gradualità. Si passa dalla tecica di acquisizioe ed elaborazioe più semplice a quelle più complesse sio a giugere alla combiazioe delle stesse al fie di ridurre il problema della o uivocità dei risultati fiali. Gli argometi soo quelli di uso comue allo stato attuale i campo geologico/igegeristico. Dalla tecica di rilevameto più semplice coosciuta come Spectral Aalysis of Surface Wave sio ad arrivare a quelle più complesse dei Microtremor Array Measuremets i cofigurazioe 2D. U testo abbastaza pratico ella spiegazioe utile sia per chi si avvicia per la prima volta a tale argometo che per chi opera già da tempo. Chiaramete il testo deve essere iteso come uo strumeto di aiuto ella scelta dei metodi da applicare a secoda delle situazioi i cui ci si può trovare. L Autore 9

8 CAPITOLO 1 ONDE SISMICHE E STRUMENTI DI ACQUISIZIONE 1.1 Itroduzioe geerale I questo capitolo vegoo forite le iformazioi a carattere geerale sui pricipi sismologici di base al fie di redere facilmete compresibile le tematiche trattate, oltre alle procedure di acquisizioe dei dati attraverso le strumetazioi sismiche. Capire il feomeo dell iterazioe tra le particelle di terreo al seguito di ua perturbazioe, la quale produce ua serie di ode elastiche ei vari strati di terreo attraversati, è il puto di parteza esseziale per affrotare ei successivi capitoli le varie tematiche sui metodi geofisici di acquisizioe ed elaborazioe dei segali. Q U A D E R N I 1.2 Tipologie di ode sismiche Iiziamo a diversificare le ode sismiche i due tipi pricipali: le ode di corpo o di volume e le ode di superficie. Le prime, a loro volta, vegoo distite i ode: primarie o pricipali, idetificate co la lettera P. Queste ode compressive fao oscillare le particelle attraversate parallelamete alla loro direzioe di propagazioe. I termii pratici, al loro passaggio, le rocce si comprimoo e si dilatao cotiuamete è soo le più veloci (si propagao come le ode soore ell aria). Secodarie, dette ache ode S viaggiao più letamete delle P. Le particelle di terreo oscillao i seso trasversale alla direzioe di propagazioe. Queste vegoo suddivise i ode di taglio verticale (SV) e i ode di taglio orizzotale (SH) i relazioe alla direzioe di spostameto delle particelle. A differeza delle ode P, le ode S o causao variazioi di volume al loro passaggio, quidi, o si propagao ei liquidi. 11

9 Figura 1.1 Schema rappresetativo ode di corpo. A siistra ode primarie (P), a destra ode secodarie (S) Etrambe, quado raggiugoo u qualsiasi puto della superficie terrestre dao origie ad ua serie di ode cocetriche che si propagao i superficie più letamete. Tali ode soo dette ode di superficie. Le pricipali soo rappresetate dalle ode di Rayleigh che ricordao le ode geerate quado u sasso viee laciato i uo stago. Fao vibrare il terreo secodo orbite ellittiche e retrograde rispetto alla direzioe di propagazioe dell oda. Le secode soo le ode di Love, fao vibrare il terreo sul piao orizzotale. Il movimeto delle particelle attraversate da queste ode è trasversale e orizzotale rispetto alla direzioe di propagazioe delle ode. Queste ode superficiali soo quelle che causao i maggiori dai alle strutture. Figura 1.2 Schema rappresetativo ode di superficie. A siistra ode di Love, a destra ode di Rayleigh) 1.3 Legge di Sell e pricipio di Huyges La legge di Sell è ua formula che descrive le modalità di rifrazioe di u raggio lumioso ella trasizioe tra due mezzi co idice di rifrazioe diverso. Prede il ome da uo dei suoi scopritori, il matematico oladese Willebrord va Roije Sell ( ). Ua regola di carattere qualitativo per determiare la direzioe della rifrazioe è che il raggio lumioso è sempre più vicio alla ormale dal lato del mezzo più deso. Quado u oda sismica icotra ua superficie di separazioe tra due mezzi isotropi co caratteristiche elastiche diverse, ua parte dell eergia si riflette ello stesso mezzo i cui l oda icidete si propaga ed ua parte si rifrage ell altro (legge di Sell). Tale legge si riassume secodo i segueti puti: 12 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

10 raggio icidete, raggio riflesso e raggio rifratto stao tutti su uo stesso piao ormale alla superficie di separazioe; l agolo formato dal raggio icidete co la ormale alla superficie di separazioe è uguale all agolo di riflessioe; il rapporto tra il seo dell agolo icidete co quello rifratto è proporzioale al rapporto tra le velocità di propagazioe del primo e del secodo mezzo. La legge di Sell può essere ricavata dal Pricipio di Fermat: il percorso fra due puti preso da u raggio di luce è quello che è attraversato el mior tempo. Q U A D E R N I Il pricipio di Huyges (dal ome del fisico oladese Christiaa Huyges) è u metodo di aalisi applicato ai problemi di propagazioe delle ode. Esso afferma che ogi puto di u frote d oda può essere pesato come ua sorgete putiforme di ode co stessa fase, frequeza, ampiezza. Il caso più comue del pricipio di Huyges è quello della propagazioe di u oda piaa (geeralmete luce, ode radio, etc.) attraverso u foro di forma arbitraria. I questo caso il pricipio dice semplicemete che l estesioe del foro può essere cosiderata come u isieme di forellii più piccoli di modo che ciascuo si comporti come ua sorgete putiforme. Ua sorgete putiforme geera u oda sferica che si propaga i tutte le direzioi dello spazio (i maiera simile alle ode causate dal lacio di u sasso i uo stago). Figura 1.3 Schema della legge di Sell Figura 1.4 Schema del pricipio di Huyges 13

11 1.4 Tipi di vibrazioi Le vibrazioi soo perturbazioi idotte da ua sorgete i u dato mezzo fisico e a secoda del tipo di sorgete possoo essere di atura meccaica, elettromagetica, ecc. Queste perturbazioi che si propagao all itero del terreo vao a modificare lo stato di equilibrio aturale, iteso come eergia (atteuazioe e amplificazioe) e direzioe di propagazioe (rifrazioe e riflessioe), per giugere ed iteragire co le strutture preseti (effetto di risoaza) ifluezadoe la stabilità e la fuzioalità. Se si cosidera il terreo come u mezzo costituito da particelle legate da vicoli elastici, la vibrazioe è tramutabile i eergia che si propaga co ua certa direzioe, dipedete dal tipo di sorgete, e co ua certa velocità, dipedete dal mezzo attraversato, facedo si che tali particelle oscillio itoro ad ua posizioe di equilibrio. Si creao così ode di sforzo e di deformazioe rispetto alla direzioe di propagazioe che si atteuao i ampiezza co la distaza dalla sorgete, se la sorgete o trasmette al mezzo eergia i maiera cotiua. Le vibrazioi possoo essere rappresetate: el domiio del tempo descrivedo i uo stesso puto P come varia lo spostameto el tempo; el domiio dello spazio descrivedo come varia lo spostameto, i uo stesso istate lugo la direzioe di propagazioe. Ioltre possoo essere di tipo: periodico, quado fissato u puto la vibrazioe si ripete uguale a se stessa ad itervalli regolari. Può essere ella forma più semplice di tipo armoico o ella forma più geerale co ua compoete aleatoria. Per descriverla bastao pochi parametri. o periodiche o irregolari, di tipo impulsivo geerate da esplosioi, caduta di gravi, ecc. o trasitorio quado soo geerate ad esempio da terremoti o dal traffico. Si possoo ricodurre ad ua sommatoria di ifiiti moti periodici ciascuo rappresetabile co pochi parametri (Teorema di Fourier), dalla cui aalisi spettrale si può dedurre il moto risultate. U oda può essere defiita come ua perturbazioe armoica periodica che trasmette eergia attraverso il mezzo attraversato. Da ciò e cosegue che il moto siusoidale delle ode sismiche può essere rappresetato i forma trigoometrica o co otazioe complessa. I etrambi i casi le caratteristiche fodametali di u oda soo date dalla sua ampiezza, dalla frequeza e dalla fase. Dove l ampiezza, idicata co la lettera A, rappreseta la dimesioe del picco d oda, la frequeza (f) è l iverso del periodo espressa i Hertz (Hz), i ultimo la fase () è il parametro che rappreseta il cambiameto d oda, caratteristica di ua fuzioe siusoidale pura. 14 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

12 La forma trigoometrica è: u v a t A se t t A se t / 2 2 t A se t 2 ut Q U A D E R N I Figura 1.5 Schema del moto siusoidale da Kramer (1996) Metre la forma complessa è: u A 2 A 2 i t i t t e e Figura 1.6 Schema per la forma trigoometrica Otteuta utilizzado la legge di Eulero: e i cos i se Dove l amplificazioe A a 2 b 2, la frequeza circolare = 2f b espressa i rad/s, il tempo t, la frequeza f, la fase iiziale ta 1 a che permette di idividuare l istate t = i cui la particella tora ella posizioe d equilibrio, ed i ultimo la parte complessa i 1. Questo è quato per la rappresetazioe el domiio del tempo. Ora vediamo siteticamete la rappresetazioe el domiio del tempo e ello spazio. 15

13 Se il moto armoico viee rappresetato oltre che al variare del tempo t i uo stesso puto P, ache al variare della posizioe del puto P, lugo la direzioe di propagazioe (asse z), l equazioe del moto diveta: u(z,t) dove ai parametri rappresetativi del moto si aggiugoo la lughezza d oda e la velocità di propagazioe dell oda (v) legate al periodo T, o alla frequeza f, dalla relazioe: v /T f A se 2 t /T z / 1.5 Vibrazioi periodiche e irregolari Le vibrazioi trasmesse da ua sorgete al terreo soo i geere irregolari, ache quado la sorgete è classificata tra le sorgeti di vibrazioi periodiche. Nell immagie che segue soo rappresetati due esempi di vibrazioi periodiche e o periodiche o irregolari. Figura 1.7 Esempi di vibrazioi periodiche e o periodiche Il moto di vibrazioe del suolo viee studiato mediate fuzioi armoiche, le quali possoo essere periodiche o o periodiche. A tale fie si utilizza il teorema di Fourier Teorema di Fourier Ua fuzioe periodica u(t) di periodo T può essere scomposta i ua sommatoria, coosciuta come serie di Fourier, di ifiite fuzioi armoiche elemetari, ciascua delle quali caratterizzata da u valore dell ampiezza A della frequeza e della fase. 16 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

14 a u(t) a tt 0 1 a 0 a 1 T cos t b tt t0 se t Questo teorema è utile i quato cosete, attraverso l aalisi spettrale, di otteere la fuzioe armoica elemetare partedo dall aalisi del segale irregolare. Ioltre semplifica otevolmete il problema i quato cosete di scomporre il segale origiario i ua serie di segali elemetari per il pricipio di sovrapposizioe degli effetti. u(t)dt u(t) cos tdt b u(t) se t 2 T t0 2 T tt t0 dt Q U A D E R N I I maiera del tutto equivalete si può scrivere ache: c u(t) c 0 1 c I questo caso i valori di c i fuzioe della frequeza dao lo spettro di Fourier i termii di ampiezza. Allo stesso modo i valori di i fuzioe della frequeza dao lo spettro di Fourier i termii di fase. se t 2 2 a b ta 1 b a c0 a Trasformata di Fourier discreta (DFT - Discrete Fourier Trasform) Si tratta di ua trasformata che coverte u isieme fiito di campioi equispaziati di ua fuzioe i u isieme di coefficieti di ua combiazioe lieare di siuisoidi complesse ordiate al crescere della frequeza. Le frequeze delle siusoidi della combiazioe lieare (periodica) prodotta dalla trasformata soo multipli iteri di ua frequeza fodametale, il cui periodo è la lughezza dell itervallo di campioameto. La DFT richiede i igresso ua fuzioe discreta i cui valori soo, i geerale, complessi e o ulli ed hao ua durata limitata. È ampiamete utilizzata el campo dell elaborazioe umerica dei segali e ei campi correlati per aalizzare le frequeze coteute i u segale, per risolvere le equazioi differeziali alle derivate parziali 17

15 e per compiere altre operazioi come la covoluzioe o la moltiplicazioe di umeri iteri molto gradi. Questi coefficieti di Fourier si ottegoo o più per itegrazioe, ma come sommatoria, ovvero secodo la seguete espressioe: X N i t k t xt e k1 k co 1,..., N e 2 N t dove t è l itervallo di tempo regolare i ampiezza del tipo x x k t e k 1,..., N t k t k co Ciò cosete, mediate lo spettro di Fourier di rappresetare ua fuzioe del tempo el domiio delle frequeze (trasformata di Fourier discreta) o viceversa (atitrasformata di Fourier discreta): X N k t X e i t k k1 1.6 Modi di vibrare del suolo e delle strutture Sitetizzado u po la teoria sui modi di vibrare dei suoli, (per approfodimeti si rimada a Lachet e Bard, 1993; Lermo e Chavez-Garcia, 1993; 1994; SESAME, 2004 ecc), si può asserire che u oda di taglio SH, polirizzata sul piao orizzotale, che icide verticalmete dal basso l iterfaccia di u sigolo strato, tederà a restare imprigioata i superficie per riflessioi multiple dado luogo a feomei di risoaza per lughezze d oda icideti 4 H, ossia alle frequeze descritte dalla legge: VS f 4 H 1, 3, 5... dove idica l ordie del modo di vibrare (fodametale, primo superiore ecc.). Nella maggior parte dei casi ei sistemi di coperture teere, a causa dell atteuazioe delle stesse, il solo modo visibile è il fodametale. U suolo vibra co maggiore ampiezza a specifiche frequeze o solo quado è eccitato da u terremoto ma ache quado è eccitato da u tremore di qualsiasi origie. Questo fa sì che la misura delle frequeze di risoaza dei terrei sia possibile ovuque ache seza terremoti ed è il pricipio alla base della sismica passiva a stazioe sigola. 18 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

16 Per quato riguarda i modi di vibrare delle strutture, esistoo umerose equazioi semiempiriche che cosetoo di calcolare il periodo proprio di ua struttura i fuzioe della sua altezza e della tipologia costruttiva. Fermo restado che tali periodi possoo essere misurati i modo semplice ache tramite idagii passive, tra le varie formule proposte riportiamo a titolo idicativo solo le due estreme etro le quali si collocao le altre. Tali formule soo quelle proposte da Chopra e Goel (2000) e Hog e Hwag (2000) per strutture i cemeto armato: 0, 804 0, 9 T 0, 0294 A T 0, 067 A dove A è l altezza della struttura i metri. Ua volta defiite le codizioi di risoaze del suolo e quelle della struttura si possoo stimare le codizioi i cui si potrà sviluppare la doppia risoaza, suolo-struttura, e la profodità d idagie sigificativa come risposta sisimca del sito. Pertato, se ua struttura ha frequeza propria, bisogerà ivestigare se el sottosuolo esistoo amplificazioi per risoaza vicie alla frequeza propria della struttura. Quidi, ciò che iteressa sapere è la profodità corrispodete a questa frequeza critica. Uguagliado i termii di etrambe le frequeze di risoaze, suolo-struttura, ed esplicitado la profodità H del riflettore che geera la risoaza sulle coperture, si trova che per ua fissata Vs delle coperture le soluzioi soo quelle riportate di seguito. Queste curve rappresetao la profodità dell idagie miima etro la quale vao escluse risoaze del sottosuolo potezialmete critiche per le strutture (Chopra e Goel, 2000 e Hog e Hwag, 2000). Q U A D E R N I Figura 1.8 Relazioe tra l altezza di ua struttura e la profodità di sottosuolo miima da idagare per escludere la possibilità di dare doppia-risoaza i fuzioe della Vs dello strato risoate 19

17 Da otare che a parità di altezza della struttura, quato maggiore e la Vs delle coperture tato maggiore sarà la profodità d idagie per rilevare l evetuale preseza di cotrasti d impedeza. A titolo di esempio dai grafici riportati sopra si osserva che otteere u profilo di Vs ei primi 30 m è sufficiete solo su terrei teeri e per edifici etro i 3 piai. Se ci si sposta su terrei di media-rigidità (Vs = 400 m/s, categoria di suolo B secodo le NTC 2008), l idagie etro 30 metri può o essere sufficiete emmeo per strutture di 2 piai. 1.7 Aalisi spettrale L Aalisi spettrale è la rappresetazioe delle compoeti i frequeza di u segale (ampiezza vs. frequeza) e forisce maggiori dettagli rispetto all aalisi temporale (ampiezza vs. tempo). I pricipali metodi di aalisi dei segali di misura possoo essere riassuti ei cocetti di aalisi el domiio del tempo e aalisi el domiio della frequeza. È importate osservare che questi due modi di affrotare u problema soo tra loro itercambiabili, el seso che, sotto opportue codizioi, essua iformazioe viee persa el passare da u domiio all altro. Il vataggio che deriva dall itroduzioe dei due domii è la possibilità di cambiare la prospettiva co la quale si osserva u dato feomeo. I questo modo u problema che appare di difficile soluzioe i u domiio può risultare molto più semplice ell altro. Lo strumeto matematico che cosete di trasferire lo studio dei segali e dei sistemi dal domiio del tempo al domiio della frequeza è la trasformata di Fourier. Lo spettro di Fourier, quidi, forisce ua descrizioe del coteuto i frequeza di u segale, ovvero le frequeze corrispodeti alle compoeti di ampiezza più sigificative. Dallo spettro si possoo desumere i segueti parametri: l ampiezza massima; la frequeza fodametale (corrispodete all ampiezza massima); la forma dello spettro (che può essere a bada larga, a bada stretta, co u solo picco o co più picchi cofrotabili) Campioameto del segale Il campioameto (samplig) di u segale aalogico x(t) cosiste el predere solo i valori x(its) i corrispodeza a istati be precisi (its) detti istati di campioameto. Per esamiare le proprietà fodametali è utile 20 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

18 riferirsi al caso ideale i cui il campioameto è effettuato impiegado u treo di impulsi matematici. I tale ipotesi, sia x(t) u geerico segale co spettro X(f) limitato i bada fio alla frequeza fm, così come di seguito riportato i figura 1.9. Sia s(t) il treo di impulsi matematici di area uitaria, equispaziati dell itervallo di campioameto Ts, quidi co frequeza fs = 1/Ts. Q U A D E R N I Lo spettro S(f) risulta acora u treo di impulsi, di ampiezza fs ed equispaziati della stessa frequeza fs. Figura 1.9 Segale a bada limitata. A siistra l adameto el tempo; a destra lo spettro delle ampiezze Figura 1.10 Impulsi matematici di campioameto I defiitiva esiste la seguete corrispodeza fra tempo e frequeza: x t X f Figura 1.11 Spettro degli impulsi matematici di campioameto s t t its S f fs f k fs k 21

19 Il campioameto ideale cosiste el moltiplicare il segale x(t) per il treo di impulsi s(t): x s t x t s t x t t its xits t its i Il segale campioato (segale tempo-discreto) x s (t) che si ottiee è il seguete. i Figura 1.12 Segale campioato Per determiare lo spettro del segale campioato è sufficiete ricordare che al prodotto algebrico el tempo corrispode il prodotto di covoluzioe el domiio della frequeza: e che porta alla trasformata di Fourier del segale campioato: X s Quidi lo spettro del segale campioato è formato dalle repliche dello spettro del segale origiario x(f), traslate su frequeze multiple della frequeza di campioameto fs. Ioltre, le ordiate di tali repliche risultao tutte moltiplicate per u fattore di scala pari a fs. x t st X f S f f X f fs f k fs fs X f k fs k k Figura 1.13 Spettro del segale campioato Affiché o esistao sovrapposizioi fra le repliche, risulta evidete che il periodo di ripetizioe i frequeza deve essere maggiore o al più uguale a 2fm: 22 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

20 1 fs 2 fm Ts (codizioe riassutiva del Teorema del campioameto) Quado si verifica che fs < 2fm, ovvero quado la velocità co cui si effettua il campioameto è isufficiete, pertato i campioi acquisiti soo troppo radi, o è possibile otteere il segale origiario i alcu modo, a causa della sovrapposizioe delle repliche che creao u disturbo per lo spettro adiacete. Tale feomeo è detto aliasig. Q U A D E R N I Da quato appea detto si evice che la codizioe ecessaria affiché si possa eseguire correttamete la trasformata di Fourier sul segale campioato xs(t) = x(its) è che il segale origiario x(t) sia a spettro limitato. Figura 1.14 Feomeo di aliasig 1.8 Atteuazioe geometrica Premettedo che l aelasticità i geofisica è la caratteristica del regime di sforzo a cui le rocce soo sottoposte. I sismologia rappreseta il feomeo causato dall iterazioe di u frote d oda sismico co le eterogeeità del suolo e che produce ua atteuazioe i ampiezza delle ode registrate ad ua stazioe sismica i quato parte dell eergia sismica viee dissipata. Per capire il cocetto di atteuazioe geometrica cosideriamo ua fuzioe di origie compressiva (oda P) idealmete applicata el puto O e che si propaga i u semispazio omogeeo, tale che la risultate dell oda P sia idetica i ogi puto giacete sulla semisfera di cetro i O. Tale superficie idetificata dalla semisfera è detta frote d oda. Voledo dare ua defiizioe più rigorosa si può asserire che il frote d oda rappreseta la superficie idividuata dai tempi di percorreza di uguale valore a partire dal medesimo puto di origie. Ritorado al cocetto iiziale, dato che l eergia che si espade è fissa, i quato dipede dalla fuzioe di origie, è chiaro che ma mao il frote d oda si espade la desità di eergia dimiuisce. Dall esempio si ota come 23

21 i campo omogeeo la semisfera varia i base al tempo di percorreza che el primo caso è pari a t 1 e el secodo a 2t 1, due fasi temporali cosecutive. Figura 1.15 Schema rappresetativo di riferimeto Voledo geeralizzare si cosiderao al caso precedete ache le ode S e R superficiali, di cui le prime si propagao co froti d oda emisferici (P e S) e le altre superficiali secodo froti d oda cilidrici. Cosiderato che le ode ivestoo volumi di terreo sempre maggiori, il loro coteuto eergetico si riduce co la distaza dalla sorgete e co esso ache l ampiezza dello spostameto idotto el mezzo; tale feomeo è idicato come atteuazioe geometrica. Pertato le ode di volume si atteuao co legge 1/r all itero del mezzo e 1/r 2 sulla superficie. Metre le ode di Rayleigh si atteuao co legge 1/r 0,5, le quali allotaadosi dalla sorgete divetao predomiati su quelle di volume. Ioltre, l ampiezza delle ode P è sempre dello stesso sego e all icirca costate lugo il medesimo frote d oda. Cotrariamete le ode S variao i ampiezza e sego. Per quato riguarda le ode di superficie, la compoete verticale delle ode R ha sego costate, quella orizzotale cambia sego co la profodità. L ampiezza decade rapidamete co la profodità (a profodità approssimativa di 1,5 è pari a all icirca del 10% di quella i superficie). 24 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

22 Q U A D E R N I 1.9 Fattori di cotrollo delle ampiezze dei segali sismici Figura 1.16 Atteuazioe geometrica delle ode sismiche I froti d oda che si propagao si allargao e quidi l eergia per ciascu tipo di oda dimiuisce co il quadrato della distaza; ciò è possibile i quato i froti d oda si distribuiscoo su superfici sempre maggiori. Ifatti, se l ampiezza di u segale sismico o fosse i alcu modo alterata, la sua variazioe potrebbe essere utilizzata come u ottima fote di iformazioi riguardati le caratteristiche dei mezzi attraversati. Tale atteuazioe è evideziata dalla poteza media delle tracce sismiche registrate i superficie, poiché preseta valori molto diversi all aumetare del tempo di acquisizioe. I realtà vi è u gra umero di fattori che ifluezao i modo cosistete l ampiezza di u segale riflesso da ua certa iterfaccia idetificati i: divergeza geometrica; coefficiete di riflessioe di quella iterfaccia; assorbimeto; perdite per trasmissioe attraverso le iterfacce soprastati; effetto delle riflessioi multiple peg-leg. 25

23 Ma mao che u frote d oda sferico si propaga all itero di u mezzo cotiuo, omogeeo ed isotropo allotaadosi da ua sorgete la sua itesità tede a dimiuire proporzioalmete all iverso del raggio. Tutto questo vale el caso di propagazioe i u mezzo ideale i cui la velocità di propagazioe del frote d oda è costate rispetto alla profodità. Al cotrario, l assorbimeto atteua le ampiezze attraverso la coversioe irreversibile di eergia sismica i eergia termica a causa di feomei di: aelasticità; termoelettricità; piezoelettricità; isteresi (dal greco: hystéresis, ritardo ); assorbimeto viscoso i preseza di fluidi. La perdita si maifesta co il decadimeto di ampiezza del segale coseguete ad u atteuazioe delle alte frequeze, quidi alla modifica del suo spettro di ampiezza. Tra gli altri parametri associati alle perdite di eergia si ricordao: scatterig (riflessioe diffusa) che cosiste ella dispersioe di eergia elastica dovuta alla disomogeeità del mezzo; la coversioe d oda: quado ua perturbazioe elastica icide su ua superficie di separazioe tra due mezzi co diverse caratteristiche elastiche Velocità delle ode sismiche I geerale la velocità delle ode sismiche dipede dalle caratteristiche fisiche (desità ) e meccaiche (modulo di Youg E, coefficiete di Poisso, ecc.) del mezzo attraverso cui si propagao e dalla frequeza f dell oda (V =. f). I u mezzo omogeeo elastico (cioè el campo delle piccole deformazioi) la velocità di propagazioe delle ode sismiche è idipedete dalla frequeza (ode o dispersive). I tal caso valgoo le segueti relazioi i codizioi di far field: V S G / V P Eed E 1 1 VS , 5 26 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

24 V 0, 87 1, 12 1 R V S Al variare del modulo di Poisso del terreo () risulta V P /V S = f() (1,5 2,0 per terrei isaturi e rocce) e V R /V S. Q U A D E R N I Figura 1.17 Variazioe delle velocità al variare del modulo di Poisso L ipotesi di ode o dispersive (validità delle relazioi precedeti) è accettabile ei segueti casi: attraversameto di roccia o di terreo omogeeo (ode poco smorzate). Le ode si possoo, co buoa approssimazioe, cosiderare o dispersive el campo delle piccole deformazioi (domiio elastico lieare) e delle basse frequeze, e si possoo quidi applicare le relazioi precedeti; misure sismiche: le frequeze dell eccitazioe (1-10 Hz) e l ampiezza massima delle deformazioi idotte (< %) soo tali da potere applicare il modello. Nel caso di terrei stratificati o caratterizzati da altre forme di eterogeeità (discotiuità, giuti, ecc.), la velocità delle ode sismiche o si può più riteere idipedete dalla frequeza. Ioltre, è utile defiire la velocità delle ode di volume appareti (velocità di Lysmer), utilizzata elle fuzioi di impedeza diamica di ua fodazioe. 27

25 Figura 1.18 Schema illustrativo per la velocità di Lysmer V La 3, 4 VS 1 (velocità di Lysmer) Per quato riguarda la dipedeza della velocità delle ode di volume dal grado di saturazioe Sr del terreo: la velocità delle ode S è scarsamete ifluezata da Sr (o potedo l acqua sosteere sforzi di taglio). Nelle sabbie grossolae pulite dove gli effetti della capillarità soo trascurabili il grado di saturazioe iflueza il valore di V S solo el termie di desità. Metre ei terrei co u più elevato coteuto di fie le tesioi iterparticellari dovute alla capillarità cotribuiscoo ad aumetare la rigidezza del terreo attraverso il modulo G; la velocità delle ode P è ivece ifluezata da Sr e i particolare: Figura 1.19 Variabilità di Vp co Sr, per Sr = % - per Sr < 99%, la V P è cotrollata dalla rigidezza dello scheletro solido ella stessa maiera delle ode S; - per Sr = 100%, la V P è cotrollata dal mezzo liquido che è icompressibile (V P = 1500 m/s); - per 99% < Sr < 100%, la Vp varia sesibilmete col grado di saturazioe. 28 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

26 APPENDICE Q U A D E R N I 223

27 Q U A D E R N I Fig. A.1 Rif. F.4.30 Capitolo 4 spettro di velocità di fase co la defiizioe delle curve di dispersioe Fig. A.2 Rif. F.4.44 Capitolo 4 a siistra le curve di dispersioe, a destra i profili di velocità Vs otteuti dal processo di iversioe Fig. A.3 Rif. F.4.45 Capitolo 4 sezioe verticale fiale per le MASW 2D 225

28 Fig. A.4 Rif. F.6.13 Capitolo 6 fiestre temporali colorate i base al risultato otteuto Fig. A.5 Rif. F.6.14 Capitolo 6 rapporti H/V Fig. A.6 Rif. F.6.18 Capitolo 6 grafici a compoeti separate 226 MODELLAZIONE DEL SOTTOSUOLO CON LA GEOFISICA DELLE ONDE DI SUPERFICIE

29 Q U A D E R N I Fig. A.7 Rif. F.7.2 Capitolo 7 esempio di trasformazioe velocità di fase (1/slowess) frequeza Fig. A.8 Rif. F.7.11 Capitolo 7 esempio di curva di dispersioe per il metodo MAM 227