Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

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1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

2 Confronto di medie In psicologia, è difficile conoscere i parametri della popolazione ed è difficile voler conoscere i parametri della popolazione perché sappiamo che le persone non sono tutte uguali e perché sappiamo che le persone cambiano con il tempo e l esperienza La maggior parte delle volte, vogliamo vedere se c è una differenza fra: gruppi differenti: quando voglio sapere se maschi e femmine si comportano diversamente oppure giovani-anziani, fratelli gemellinon gemelli, lavoratori-disoccupati, operai - impiegati-dirigenti... misure ripetute: quando vogliamo studiare una differenza fra due o più misurazioni della stessa variabile sulla stessa persona ad es. prima e dopo uno stimolo particolare, prima e dopo un intervento educativo, lo stesso test a distanza di tempo... G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

3 Confronto di medie In statistica inferenziale una particolare tecnica di analisi ha lo scopo specifico di confrontare fra loro due medie per vedere se sono uguali o diverse È il t di Student (spesso abbreviato in t-test) 1 Quando si applica a misurazioni ripetute, viene chiamato confronto di medie per campioni appaiati (oppure dipendenti o correlati) 2 quando si applica a gruppi differenti, viene chiamato confronto di medie per campioni indipendenti (oppure non correlati) 3 una terza versione è chiamata confronto di medie per campione unico e su usa per confrontare la meda di un campioni di cui abbiamo i dati grezzi con un altra media (della popolazione, di un campione diverso di cui non abbiamo i dati grezzi... ) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

4 Confronto di medie: dipendenti/indipendenti Nel confronto di medie abbiamo sempre l assunto che una variabile dipenda da un altra La variabile dipendente è la variabile misurata (test psicologico, aggressività, memoria,... ) La variabile indipendente è il motivo per cui l abbiamo misurata: per i campioni appaiati potrebbe essere il tempo trascorso, l intervento sperimentale... per i campioni indipendenti è la variabile che viene usata per distinguere i gruppi (maschio/femmina, madre lavoratrice/casalanga,... ) L ipotesi che ci guida è che l indipendente abbia un influenza sulla dipendente (ad es. maschi più aggressivi delle femmine; apprendimento migliore con una certa tecnica di insegnamento) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

5 Confronti dipendenti, appaiati, correlati Tutte le volte che capits di confrontare fra loro due variabili misurate sullo stesso campione (ad es. situazioni prima/dopo) abbiamo un campione dipendente, in quanto la misurazione post potrebbe dipendere dalla pre Oppure capita di lavorare con campioni appaiati: casi statistici che sono legati fra loro (as es. coppie moglie-marito) casi statistici che sono stati appaiati a posteriori (ad es. per verificare che un piccolo campione estratto da una popolazione patologica si differenzi effettivamente da un piccolo campione estratto dalla popolazione normale G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

6 Confronti dipendenti, appaiati, correlati Se per qualche motivo le due misurazioni sono appaiabili, ci si aspetterà che: i diversi casi statistici non necessariamente abbiano gli stessi valori (è possibile che ci sia grande variabilità fra i casi statistici) lo stesso caso statistico abbia lo stesso valore o valore vicini (piccola variabilità entro ciascun caso statistico) Possiamo allora ipotizzare (ipotesi nulla) che la differenza dei punteggi di ogni caso sia nulla (X 1 = X 2 ovvero X 1 X 2 = 0) e di conseguenza, se è vera l ipotesi nulla, la somma di tutte le differenze è 0 (D = X 1 X 2 = 0) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

7 Confronti dipendenti, appaiati, correlati A questa media delle differenze (D = X 1 X 2 ) applichiamo il procedimento della distribuzione campionaria della media delle differenze Questa distribuzione si approssima a una curva t con gl = N 1 dove N equivale al numero di coppie appaiate La curva di t è simile alla normale ma è differente quando N è piccola e diventa praticamente normale quando N è grande G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

8 Distribuzioni t (di Student) La curva t si calcola come un punto z, ma si usa l errore standard al posto della deviazione standard La curva di t cambia in base ai gradi di libertà Esistono le tavole di t (Appendice C a p. 311) Per N > 30 la t si approssima alla normale G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

9 I punti z e le medie campionarie A questo punto abbiamo: 1 La media del nostro campione (D) 2 La media della distribuzione campionaria (cioè 0) 3 L errore standard delle medie campionarie Possiamo usare la formula dei punti z per trovare la posizione del nostro campione rispetto a tutti gli altri campione della medesima ampiezza Usiamo (1) come punteggio; (2) come media e (3) come deviazione standard G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

10 I punti z e le medie campionarie Possiamo calcolare il punto z e poi trovare l area corrispondente z = X X s t = X µ x = X µ σ σ x N In questo caso il punteggio grezzo è la media del campione, la media di riferimento è quella della popolazione e la deviazione standard per cui dividiamo è l errore standard della media campionaria G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

11 Tavole significatività per t Una volta calcolato il t, usiamo le tavole di t La tabella a p.124 riporta per ogni grado di libertà i valori che identificano il 2.5% estremo delle code Per gl=5, i valori ±2.57 indicano i valori estremi Ovvero, valori di t compresi fra e sono non significativi (accettiamo H 0) e indicano che è abbastanza probabile ottenere un campione in cui le due variabili misurate sono uguali fra loro Valori di r 2.57 oppure r sono significativi (H 1) e indicano che ci sono poche probabilità che le variabili misurate siano uguali tra loro G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

12 Tavole significatività per t L appendice C riporta una tavola più completa e più precisa Per ogni per ogni grado di libertà, sono riportati i valori (chiamati critici ) per il 10%, 5%, il 2% e l 1% (riga Due code ) Vediamo che per gl=5 il valore critico al 5% è (approssimabile a 2.57) Questo valore è senza segno, ma va interpretato come se fosse e G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

13 Procedimento manuale Usando i dati del file Welk_c11eser6.sav (N=14) facciamo la differenza fra X e Y: d = X Y Facciamo la media dei 14 valori d trovati: 3, 3571 Calcoliamo la deviazione standard: 6, Calcoliamo t: t = d 3, 3571 = s 2 d 6, N 14 = 1, 817 Cerchiamo sulla tabella 12.1 (p.124) N 1 = 14 1 = 13 gradi di libertà, il valore critico al 5% (pari a ±2.16) Dal momento che è minore di 2.16, il nostro t cade nell area del 95% e non in quella estrema (del 5%) Il nostro t non è significativo G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

14 Verifica SPSS del procedimento manuale Carichiamo in SPSS il file Welk_c11eser6.sav Calcoliamo il t-test appaiato (istruzioni prossimo lucido) Media e devia. st. delle differenze sono analoghi t e gradi di libertà sono identici questa volta, SPSS ci dà la probabilità associata ad un t = per gl = 13. La probabilità (espressa come proporzione) è.092, quindi il 9.2% Pur essendo piccola, rientra ancora nell area del 95%; quindi non significativa G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

15 SPSS: Campioni appaiati Analizza Confronta medie Test T: campioni appaiati In Variabili appaiate bisogna inserire due variabili quantitative che verranno confrontate fra loro a coppie Infine OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

16 SPSS: Campioni appaiati Statistiche per campioni appaiati Coppia 1 Media N Deviazione std. Errore std. Media ans_p 19, ,4325,6433 ans_d 19, ,7694,4769 Correlazioni per campioni appaiati N Correlazione Sig. Coppia 1 ans_p e ans_d 100,718,000 Test per campioni appaiati Differenze a coppie Intervallo al 95% Media Dev.st. ER Media Inf Sup t df Sig. (2c) ans_p - ans_d,1800 4,4798,4480 -,7089 1,0689,402 99,689 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

17 Avvertenze Questo test statistico viene usato in diverse situazioni, purché ci siano due variabili misurate sullo stesso caso Nel caso di campioni correlati o appaiati, la correlazione delle due variabili dovrebbe essere medio-alta, altrimenti l assunto di d = 0 non è più valido In effetti, se le due variabili non correlano, il valore del test è lo stesso dei campioni indipendenti Nel caso di due variabili diverse (ma non ripetute) bisogna essere sicuri che gli intervalli teorici siano uguali, altrimenti l assunto di d = 0 non è più valido G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

18 Applicabilità Per confrontare la media di due variabili misurate in uno stesso gruppo Cosa si usa 2 variabili quantitative (entrambi dipendenti) su cui vengono calcolate le differenze dei punteggi ed infine mostrate le medie (una per ciascun gruppo) il motivo per cui la variabile è stata misurata due volte, è la variabile indipendente (non presente come tale nei dati grezzi) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico / 18

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