Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011"

Transcript

1 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico Corso di Psicometria - Modulo B Dott. Marco Vicentini Rev. 10/01/011

2 La distribuzione F di Fisher - Snedecor Verifica di ipotesi sulla omogeneità della varianza Nel caso di due campioni / un campione Verifica di ipotesi sulle medie Un campione e la popolazione Varianza nella popolazione nota / ignota Due campioni indipendenti Varianza nella popolazione nota / ignota Varianze omogenee / non omogenee Due campioni non indipendenti

3 3

4 La distribuzione F di Fisher e Snedecor consente di confrontare tra loro due varianze. Essa è definita come il rapporto tra due distribuzioni χ A e χ B con a e b gradi di libertà: F =! a A A,B! b B La significatività della statistica F dipende da: gradi di libertà della prima distribuzione; gradi di libertà della seconda distribuzione. 4

5 La forma della distribuzione varia al variare dei gdl d1=1, d=1 d1=1, d=15 d1=5, d=1 d1=5, d=15 d1=100, d=

6 6

7 Importante: la distribuzione della popolazione di riferimento deve essere NORMALE 1. confronto tra le varianze di due campioni, per valutare se i campioni derivino da due popolazioni con varianze uguali;. confronto tra una varianza campionaria s e la varianza di una popolazione σ 7

8 Si tratta di verificare se due varianze campionarie s 1 e s si possano ritenere provenienti da una stessa popolazione (distribuita normalmente) oppure no. 8

9 esempio 1 Da due campioni, ciascuno formato da n = 10 osservazioni abbiamo ottenuto le due varianze: s 1 = 8.6, s = 6.7. Ci si chiede se i due campioni possano provenire da due popolazioni con la stessa varianza. 9

10 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi 1 1 H0 : σ = σ H1 : σ σ. calcolo del valore F Si devono mettere a rapporto le due varianze ponendo al numeratore la varianza maggiore: F = s max = 8.6 s min 6.7 =1, 9 10

11 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, leggiamo sulla tavola dei valori critici per tale livello il valore che dipende dai gdl del numeratore e dai gdl del denominatore. La varianza al numeratore ha ν 1 = 9 gdl, quella al denominatore ν = 9 gdl, che, per un valore di α = 0,05 ci danno il valore di 3,18. 11

12 la tavola della F Il valore sopra è la soglia critica al 5%, quello sotto è la soglia all 1% 1

13 valori critici F = 3,18 si H 0 no H 0 13

14 esempio 1 (4) 4. Decisione Poiché F cal = 1,9 è minore del valore critico F c = 3,18, non possiamo rigettare l ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Le due varianze sono omogenee. 14

15 Si tratta di verificare se la varianza di una popolazione normale σ sia uguale ad una varianza σ 0 data. Formalmente la contrapposizione di ipotesi è del tipo: H 0 : σ = σ 0 0 H 1 : σ σ 15

16 La statistica che usiamo è: dove: χ σ σˆ s n ( n 1) χ ( n 1) ˆ σ σ ( n 1) = = ns σ è la statistica con n-1 gdl è la varianza della popolazione è la varianza della popolazione stimata dal campione è la varianza del campione è l ampiezza del campione 16

17 esempio Un gruppo di n = 30 studenti viene sottoposto ad una prova di abilità numerica e di aver ottenuto una varianza pari a s = 4. Supponendo che la distribuzione delle osservazioni sia normale; ci si chiede se la varianza dei punteggi possa essere considerata maggiore di una varianza σ = 3, ad un livello di α = 0,01. 17

18 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H0 : σ = H1 : σ > 3, 3,. calcolo del valore χ Utilizzando la formula del Chi-quadrato si ottiene: χ ns ( n 1) = = = σ , 37,7 18

19 esempio (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,01, leggiamo sulla tavola dei valori critici per tale livello il valore che dipende dai gdl. Dalle tavole risulta con 9 gdl, χ c = 49,59. 19

20 esempio (4) 4. Decisione Poiché χ cal = 37,7 è minore del valore critico χ c = 49,59, non possiamo rigettare l ipotesi H 0. CONCLUSIONE: La varianza della popolazione da cui deriva il campione può essere di 3,. 0

21 1

22 Obiettivo: decidere se la media di un campione è significativamente diversa dalla media di una popolazione µ.

23 la varianza della popolazione σ è nota? SI NO utilizzo della distribuzione normale utilizzo della distribuzione t

24 1. formulazione delle ipotesi;. trasformazione dei valori campionati nella corrispondente statistica z, t, F o χ ; 3. determinazione dei valori critici a partire dal coefficiente di confidenza dettato dal problema o stabilito dal ricercatore; 4. confronto tra valori calcolati a partire dal campione e valori critici con relativa decisione.

25 quando σ è noto, il punto associato alla media del campione è dato da z = X µ X µ = σ σ n X / quando σ è ignoto, il punto associato alla media del campione non è più z, ma t in quanto dobbiamo utilizzare la stima di σ t X µ X µ = = ˆ σ s/ n 1 x 5

26 In passato, la distribuzione t di Student veniva utilizzata solo per piccoli campioni (n < 30), per evitare calcoli elaborati. Attualmente, grazie alla diffusione dei calcolatori, la distribuzione t viene sempre utilizzata quando la varianza della popolazione è ignota, anche quando la numerosità campionaria è elevata. In ogni caso, per campioni molto numerosi (n > 50), l'utilizzo della distribuzione t porta di fatto agli stessi risultati rispetto a quelli della distribuzione normale. 6

27 esempio 1 Si sa che la distribuzione del tempo impiegato da ragazzi maschi normali di 18 anni nell'esecuzione di una prova di abilità meccanica di incastro ha media µ = 00 sec. e dev. st. σ = 0. Uno sperimentatore vuole verificare se ragazzi sordomuti maschi della stessa età diano analoghi risultati nella prova; per fare ciò sceglie un campione di n = 64 ragazzi sordomuti, che sottopone alla prova, ottenendo un tempo medio nel campione pari a 190 secondi. 7

28 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi H 0 : µ = 00 H 1 : µ! 00. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ noto: z = X! µ! / n = 190! 00 0 / 64 =!4 8

29 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è bidirezionale, vengono individuate due aree uguali, ciascuna con una probabilità associata pari ad α/. Dalla lettura della tavola delle aree della distribuzione normale si rileva che i valori critici risultano essere -1,96 e +1,96. 9

30 la tavola della normale 30

31 la tavola della normale All'interno della tavola possiamo leggere le aree sottese tra il punto medio a ed il punto b 0,475 0,5 Date le aree, quanto vale il punto b? α/ = 0,05 31

32 la tavola della normale Per α = 0,05 il valore critico di z è 1,96; dato che il test è bidirezionale dobbiamo considerare come soglia anche il valore negativo -1,96. 3

33 esempio 1 (4) 4. decisione -4 < -1,96 Poiché z cal = 4 è maggiore del valore critico z c = 1,96, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. 33

34 esempio 1 (5) Un secondo modo di procedere è quello di calcolare l'intervallo di fiducia della media e vedere se la media calcolata sul campione cade all'interno di tale intervallo: µ ±σ z x Sostituendo = 00, σ =,5, z c = 1,96 risulta: µ x x x c 00 ±,5 1,96 da cui deriva che l'intervallo di fiducia per la media è dato da 195,1 µ 04,9 Dal momento che X = 190 non rientra nell'intervallo di fiducia dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0 34

35 esempio 1 (6) CONCLUSIONE: Sulla base del risultato ottenuto dai soggetti sordomuti dobbiamo ritenere che esista una diversità di prestazione nella prova di abilità; in particolare i ragazzi sordomuti hanno tempi di esecuzione più bassi dei normali. 35

36 esempio Un gruppo di n = 50 soggetti con lesioni cerebrali viene sottoposto ad un test per valutare le capacità cognitive. Il punteggio medio ottenuto dai soggetti è di 97,3 con s = 1,5. Sapendo che il punteggio medio al test, quando le funzioni cognitive sono integre è pari a 100, ci chiediamo se i soggetti in questione non siano menomati in maniera significativa. 36

37 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H : µ = H1 : µ < 100. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ ignoto: X µ z cal = s / n 1 = 97, ,5/ 49 = 1,51 37

38 esempio (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è monodirezionale, bisogna trovare sulla tavola della normale il punto b che dà luogo ad un area di 0,45. 0,45 α = 0,05 b = -1,64 38

39 4. decisione esempio (4) Poiché z cal = -1,51 è maggiore del valore critico z c = -1,64, non possiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: il punteggio medio dei soggetti cerebrolesi non differisce da quello dei normali; la lesione cerebrale in questione non genera dei deficit significativi. 39

40 Laddove la varianza della popolazione è ignota, si dovrà quindi ricorrere ad una sua stima: ˆ s /( n 1) σ = x Il rapporto: X µ ˆ σ x da utilizzare per la verifica d'ipotesi sulla media, si distribuisce come il t di Student con n-1 gradi di libertà. 40

41 esempio 3 Si supponga di aver estratto a caso un campione di 17 bambini e di averli sottoposti ad un test di intelligenza. Il Q.I. medio ottenuto è 107,3 con s = 14. Ci si chiede se il campione provenga da una popolazione normale, la cui distribuzione abbia media µ =

42 esempio 3 () 1. formulazione delle ipotesi H0 : µ = 100 H1 : µ 100. calcolo del valore t t = s X / µ n 1 = 107, / 17 1 =,086 4

43 esempio 3 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,05, e dato che il test è bidirezionale, vengono individuate due aree uguali, ciascuna con una probabilità associata pari ad α/. Dalla lettura della tavola dei valori critici della t per un test bidirezionale con 16 gdl si ottiene il valore di,10. 43

44 la tavola della t 44

45 4. decisione esempio 3 (4) Poiché t cal =,086 è minore del valore critico t c =,10, non possiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Non possiamo escludere che i bambini del nostro campione provengano da una popolazione con media =

46 46

47 Obiettivo: decidere, attraverso il confronto tra le medie dei due campioni indipendenti, se tali campioni provengono da due popolazioni diverse o meno. 47

48 le varianze della popolazioni da cui provengono i campioni sono note? SI utilizzo della distribuzione normale NO utilizzo della distribuzione t le varianze sono omogenee? SI (stima della varianza comune) NO (utilizzo formula corretta)

49 ASSUNZIONI 1. entrambi i campioni sono distribuiti normalmente;. sono tra loro indipendenti; 3. le popolazioni da cui derivano hanno varianze omogenee. Vedi Test- F: verifica di ipotesi sulla omogeneità delle varianze. 49

50 Quando σ è noto, la distribuzione campionaria della differenza tra le due medie ha le seguenti caratteristiche: a) si distribuisce in forma normale b) µ x x = µ 1 µ 1 = 0 c) σ x x = 1 σ 1 n + n 50

51 Il test associato alla differenza tra le medie è: z x 1 x = X 1 n 1 X σ + n 51

52 esempio 1 Un ricercatore vuole sapere se vi siano differenze nell'atteggiamento verso l'attività extradomestica tra le donne sposate con figli e quelle senza figli. Allo scopo somministra una scala di atteggiamento a due campioni casuali di donne coniugate, di cui n 1 = 45 con figli e n = 36 senza figli, ottenendo i seguenti punteggi medi: X1 = 65, X = 75. Ipotizzando che la distribuzione dei punteggi sulla scala di atteggiamento sia normale in entrambi i gruppi, con σ 1 = σ = 10, si vuole sapere se i due campioni siano estratti da popolazioni con media uguale oppure no. 5

53 esempio 1 () 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore z Usiamo la formula per grandi campioni e σ noto: z cal = σ X X = = / n1 + n 10/

54 esempio 1 (3) 3. determinazione dei valori critici Fissato un livello di significatività α = 0,01, e dato che il test è bidirezionale, bisogna trovare sulla tavola della normale il punto b che dà luogo ad un area di 0.495? b = ±,57 0,495 α/ = 0,005 54

55 esempio 1 (4) 4. decisione Poiché z cal = 9 è maggiore del valore critico z c =,58, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: il punteggio medio delle donne con figli è significativamente diverso da quello delle donne senza figli; l'atteggiamento dei due gruppi verso il lavoro extradomestico è differente. 55

56 La statistica ha una distribuzione di probabilità che si approssima a quella del t di Student con n 1 + n - gradi di libertà: dove: t = (X 1! X )! (µ 1! µ ) ˆ! x1!x ( ) + s ( n!1)! ˆ x1!x = s 1 n 1!1 n 1 + n! " 1 n n 56

57 X1 X ( µ 1 µ ) è la differenza tra le medie calcolate nei due campioni è la differenza tra le medie delle due popolazioni ˆ σ x x 1 1, è la stima della deviazione standard della distribuzione campionaria della differenza tra le medie n n le numerosità dei due campioni 57

58 esempio Un commerciante verifica la durata di due diverse marche di lampadine. Con 8 lampadine della marca A ottiene una media = 137 ore con s = 36; con 7 lampadine della marca B ottiene una media di 1036 ore con s = 40. A fronte di tale risultato il commerciante vuole sapere se la differenza tra le due medie è tale da poter affermare con una probabilità del 95% che le lampadine di marca A hanno una durata superiore a quelle di marca B. 58

59 esempio () 1. formulazione delle ipotesi H : µ = µ 0 A H : µ > µ 1 A B B. calcolo del valore t Usiamo la formula: t = ( X1 X ) ( µ 1 µ ) ˆ σ x 1 x 59

60 esempio (3). calcolo del valore t Per prima cosa dobbiamo stimare il valore della deviazione standard della differenza tra le medie: ( ) + s ( n #1) ˆ " x 1 #x = s 1 n 1 #1 n 1 + n # 1 n n = ˆ " x 1 #x = 36 $ $ 6 $ # 8$ 7 =

61 esempio (3). calcolo del valore t Quindi calcoliamo il valore di t con la formula: t = (X 1 " X ) " (µ 1 " µ ) = # ˆ x 1 "x t = 137 " =

62 esempio (4) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è unidirezionale, i gradi di libertà sono ( ) = 13. t = 1, decisione Poiché t cal = 10,5 è maggiore del valore critico t c = 1,771, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: Le lampadine della marca A sono migliori di quelle della marca B. 6

63 Se viene violato l'assunto di omogeneità delle varianze è necessario introdurre una correzione al test. Rimane comunque necessario che la distribuzione delle popolazioni sia normale. 63

64 La statistica viene calcolata con la formula corretta per varianze non omogenee: t = (X 1! X )! (µ 1! µ ) s 1 n 1!1 + s n!1 Con gradi di libertà: d = ( ˆ )! x1!x (! ˆ ) x1 n (! ˆ ) x n +1! 64

65 ! ˆ x1!x = s 1 n 1!1 + s n!1 è la stima della varianza della distribuzione campionaria della differenza tra le medie.! ˆ x1 = s 1 n 1!1 ˆ! x = s n!1 sono le stime delle varianze delle distribuzioni campionarie delle medie stimate a partire dalle varianze dei campioni. 65

66 esempio 3 A due gruppi di n 1 = 10 e n = 6 soggetti viene somministrato un test sull'ansia. Il primo gruppo ottiene un valore medio = 8 con s 1 = 0,5; il secondo gruppo un punteggio medio = 1 con s = 5. Ci si chiede se i due gruppi differiscono relativamente al livello d'ansia. Supponiamo che sia violato l'assunto di omogeneità delle varianze e che i due gruppi derivino da popolazioni con varianze non omogenee. 66

67 esempio 3 () 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t Usiamo la formula: ( X1 X ) t = s1 s + n 1 n

68 esempio 3 (3) t =. calcolo del valore t (8 1) ( 0,5) ( 5) = 3,95 I cui gdl saranno dati da: d = ( 1,03) ( 0,03) ( 1) = 6,58 68

69 esempio 3 (3) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, i gradi di libertà sono 6,58 = 7. t =,05 4. decisione Poiché t cal = 3,95 è maggiore del valore critico t c =,05, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. CONCLUSIONE: I due gruppi differiscono per livello d'ansia. 69

70 Nel caso le varianze non siano omogenee esiste un metodo alternativo, rispetto a quello appena visto, che prevede il calcolo di un t critico corretto attraverso la seguente formula:! t c = ˆ x1 t 1c + ˆ! ˆ x1!x dove:! x t c t è il valore critico di t con n 1-1 gdl (n 1 = 1 c numero di elementi del campione 1) e livello di sig. α t è il valore critico di t con n -1 gdl (n = c numero di elementi del campione ) e livello di sig. α 70

71 t c = esempio 3 metodo alternativo Riprendiamo i dati dell'esercizio 3 e adottiamo il metodo alternativo. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, t 1c = valore critico con 9 gdl:,6 t c = valore critico con 5 gdl:,06 0,03,6 + 1,06 = 1,01 ( ) ( ),11 decisione Poiché t cal = 3,95 è maggiore del valore critico t c =,11, dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. 71

72 7

73 Nel caso di coppie di osservazioni non indipendenti la media della distribuzione campionaria della differenza tra le medie risulta essere: µ x1 x = µ µ µ x = 1 x 1 µ la varianza della distribuzione campionaria della differenza tra le medie sarà: ˆ σ x x 1 = ˆ σ x 1 + ˆ σ x ˆ σ x ˆ σ 1 x r x 1 x r x1 x in cui l'ultimo termine è la correlazione tra le medie di tutti i possibili campioni non indipendenti tratti dalle popolazioni in esame. 73

74 r x1 x Poiché non si conosce il valore di è impossibile utilizzare la distribuzione campionaria della differenza tra le medie; per superare questo inconveniente si considera un unico campione costituito da coppie di elementi appaiati; il punteggio cui si fa riferimento è dato dalla differenza tra i punteggi di ciascuna coppia; nell'ipotesi H 0, se non vi sono differenze tra le due serie di punteggi, la media delle differenze risulterà ZERO 74

75 75 Di tale differenza possiamo calcolare la media con la formula: differenza dei punteggi ( ) 1 1 X X n X X n D X i i i D = = = e calcolare la varianza con: = n D n D s i i D

76 76 1. la media è pari alla differenza tra le medie delle popolazioni da cui sono tratti i campioni distribuzione campionaria della differenza dei punteggi 1 1 µ µ µ µ = = x x D. la varianza è: = = ˆ n D n D n n s i i σ D

77 distribuzione campionaria della differenza dei punteggi 3. il test t avrà la seguente forma t = X D sd n 1 la stessa statistica si può calcolare direttamente dai dati grezzi con la formula: = D t ( ) n D ( D) ( n 1) 77

78 esempio 4 Si vuole studiare l'effetto dell'affatica-mento sul rendimento in una prova di precisione. A questo scopo si contano il numero di errori commessi da un gruppo di 10 soggetti in una prova di precisione. Dopo averli sottoposti ad un lavoro gravoso per un certo periodo di tempo, si contano nuovamente gli errori commessi dai 10 soggetti nella stessa prova di precisione. I dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente. 78

79 esempio 4 () sogg. numero di errori differenza prova 1 prova D = X 1 - X D A B C D E F G H I L medie somme 79

80 esempio 4 (3) 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t t = Usiamo la formula: D D ( n ) ( D) ( n 1) 80

81 esempio 4 (3) 1. formulazione delle ipotesi H µ = H1 : µ µ 1 0 : µ 1. calcolo del valore t t = Usiamo la formula: 10 ( 10 0) ( 10) (10 1) = 3 81

82 esempio 4 (4) 3. determinazione dei valori critici Il livello di significatività fissato è α = 0,05; il test è bidirezionale, i gradi di libertà sono (10-1) = 9. t =,6 4. decisione Poiché t cal = 3 è maggiore del valore critico t c dobbiamo rigettare l'ipotesi H 0. =,6, CONCLUSIONE: L'affaticamento influisce sui risultati della prova. 8

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Nella verifica delle ipotesi è necessario fissare alcune fasi prima di iniziare ad analizzare i dati. a) Si deve stabilire quale deve essere l'ipotesi nulla (H0) e quale l'ipotesi

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 10-Il test t per un campione e la stima intervallare (vers. 1.1, 25 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,

Dettagli

Corso di Psicometria Progredito

Corso di Psicometria Progredito Corso di Psicometria Progredito 3.1 Introduzione all inferenza statistica Prima Parte Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico 2013-2014

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 TEST D IPOTESI Partiamo da un esempio presente sul libro di testo.

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Inferenza statistica. Statistica medica 1

Inferenza statistica. Statistica medica 1 Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella

Dettagli

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice Esercitazione 15 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 18 L importanza del gruppo di controllo In tutti i casi in cui si voglia studiare l effetto di un certo

Dettagli

STATISTICA IX lezione

STATISTICA IX lezione Anno Accademico 013-014 STATISTICA IX lezione 1 Il problema della verifica di un ipotesi statistica In termini generali, si studia la distribuzione T(X) di un opportuna grandezza X legata ai parametri

Dettagli

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 5-Indici di variabilità (vers. 1.0c, 20 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE

Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale Un punteggio all interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo. Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una

Dettagli

T DI STUDENT Quando si vogliono confrontare solo due medie, si può utilizzare il test t di Student La formula per calcolare il t è la seguente:

T DI STUDENT Quando si vogliono confrontare solo due medie, si può utilizzare il test t di Student La formula per calcolare il t è la seguente: T DI STUDENT Quando si vogliono confrontare solo due medie, si può utilizzare il test t di Student La formula per calcolare il t è la seguente: t = X i X j s 2 i (n i 1) + s 2 j (n j 1) n i + n j - 2 1

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Intervalli di confidenza

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Intervalli di confidenza Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Intervalli di confidenza Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze. In questi casi, per verificare se un evento

Dettagli

Statistiche campionarie

Statistiche campionarie Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle

Dettagli

Corso di Psicometria Progredito

Corso di Psicometria Progredito Corso di Psicometria Progredito 4.2 I principali test statistici per la verifica di ipotesi: Il test F Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico

Dettagli

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze

Dettagli

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) 1 CONCETTI GENERALI Finora abbiamo descritto test di ipotesi finalizzati alla verifica di ipotesi sulla differenza tra parametri di due popolazioni

Dettagli

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco

Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Esercitazione 1 del corso di Statistica 2 Prof. Domenico Vistocco Alfonso Iodice D Enza April 26, 2007 1...prima di cominciare Contare, operazione solitamente semplice, può diventare complicata se lo scopo

Dettagli

Capitolo 11 Test chi-quadro

Capitolo 11 Test chi-quadro Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 11 Test chi-quadro Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università di Padova

Dettagli

Rapporto dal Questionari Insegnanti

Rapporto dal Questionari Insegnanti Rapporto dal Questionari Insegnanti SCUOLA CHIC81400N N. Docenti che hanno compilato il questionario: 60 Anno Scolastico 2014/15 Le Aree Indagate Il Questionario Insegnanti ha l obiettivo di rilevare la

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

CAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI. I FONDAMENTI

CAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI. I FONDAMENTI VERO FALSO CAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI. I FONDAMENTI 1. V F Un ipotesi statistica è un assunzione sulle caratteristiche di una o più variabili in una o più popolazioni 2. V F L ipotesi nulla unita

Dettagli

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI 1. L azienda Wood produce legno compensato per costruzioni

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Esercitazione n.2 Inferenza su medie

Esercitazione n.2 Inferenza su medie Esercitazione n.2 Esercizio L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese mediche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi per la media (varianza nota), p-value del test Il manager di un fast-food

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi sulla varianza In un azienda che produce componenti meccaniche, è stato

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA)

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA) Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 4: Analisi della varianza (ANOVA) Analisi della varianza Analisi della varianza (ANOVA) ANOVA ad

Dettagli

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso

Dettagli

Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test

Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 6 05.03.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test Il preside della scuola elementare XYZ sospetta che

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale di area tecnica. Corso di Statistica Medica Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica Campionamento e distribuzione campionaria della media Corsi di laurea triennale di area tecnica -

Dettagli

CAPACITÀ DI PROCESSO (PROCESS CAPABILITY)

CAPACITÀ DI PROCESSO (PROCESS CAPABILITY) CICLO DI LEZIONI per Progetto e Gestione della Qualità Facoltà di Ingegneria CAPACITÀ DI PROCESSO (PROCESS CAPABILITY) Carlo Noè Università Carlo Cattaneo e-mail: cnoe@liuc.it 1 CAPACITÀ DI PROCESSO Il

Dettagli

Statistica inferenziale

Statistica inferenziale Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo

Dettagli

Indici di dispersione

Indici di dispersione Indici di dispersione 1 Supponiamo di disporre di un insieme di misure e di cercare un solo valore che, meglio di ciascun altro, sia in grado di catturare le caratteristiche della distribuzione nel suo

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei

Dettagli

Il coefficiente di correlazione di Spearman per ranghi

Il coefficiente di correlazione di Spearman per ranghi Il coefficiente di correlazione di Spearman per ranghi Questo indice di correlazione non parametrico viene indicato con r s o Spearman rho e permette di valutare la forza del rapporto tra due variabili

Dettagli

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011 L4, Corso Integrato di Psicometria - Modulo B Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Rev. 18/04/2011 Inferenza statistica Formulazione

Dettagli

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi . Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche

Dettagli

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi Come posso confrontare diverse ipotesi? Nella statistica inferenziale classica vengono sempre confrontate due ipotesi: l ipotesi nulla e l ipotesi

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Esercitazione n.4 Inferenza su varianza

Esercitazione n.4 Inferenza su varianza Esercizio 1 Un industria che produce lamiere metalliche ha ricevuto un ordine di acquisto di un grosso quantitativo di lamiere di un dato spessore. Per assicurare la qualità della propria fornitura, l

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN)

Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Il calcolo del valore attuale netto (VAN) serve per determinare la redditività di un investimento. Si tratta di utilizzare un procedimento che può consentirci di

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stima puntuale per la proporzione Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180

Dettagli

Concetto di potenza statistica

Concetto di potenza statistica Calcolo della numerosità campionaria Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona Concetto di potenza statistica 1 Accetto H 0 Rifiuto H 0 Ipotesi Nulla (H

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

Esercizi test ipotesi. Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010

Esercizi test ipotesi. Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizi test ipotesi Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Verifica delle ipotesi - Esempio quelli di Striscia la Notizia" effettuano controlli casuali per vedere se le pompe

Dettagli

FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU

FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU Ψ FONDAMENTI DI PSICOMETRIA - 8 CFU STIMA DELL ATTENDIBILITA STIMA DELL ATTENDIBILITA DEFINIZIONE DI ATTENDIBILITA (affidabilità, fedeltà) Grado di accordo tra diversi tentativi di misurare uno stesso

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica. Indici di Affidabilità

Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica. Indici di Affidabilità Disegni di Ricerca e Analisi dei Dati in Psicologia Clinica Indici di Affidabilità L Attendibilità È il livello in cui una misura è libera da errore di misura È la proporzione di variabilità della misurazione

Dettagli

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che Statistica Cognome: Laurea Triennale in Biologia Nome: 26 luglio 2012 Matricola: Tema A 1. Parte A 1.1. Sia x 1, x 2,..., x n un campione di n dati con media campionaria x e varianza campionaria s 2 x

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso di Statistica medica e applicata Dott.ssa Donatella Cocca 1 a Lezione Cos'è la statistica? Come in tutta la ricerca scientifica sperimentale, anche nelle scienze mediche e biologiche è indispensabile

Dettagli

Corso di Psicometria Progredito

Corso di Psicometria Progredito Corso di Psicometria Progredito Soluzioni della simulazione del 17/05/2011 Gianmarco Altoè Dipartimento di Psicologia Università di Cagliari, Anno Accademico 2010-2011 Leggere BENE le avvertenze prima

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1

DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1 DATI NORMATIVI PER LA SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE PAC-SI A BAMBINI DI INIZIO SCUOLA PRIMARIA 1 Marta Desimoni**, Daniela Pelagaggi**, Simona Fanini**, Loredana Romano**,Teresa Gloria Scalisi* * Dipartimento

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco)

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) IL P-VALUE (α) Data un ipotesi nulla (H 0 ), questa la si può accettare o rifiutare in base al valore del p- value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo,

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica Un po di statistica Christian Ferrari Laboratorio di Matematica 1 Introduzione La statistica è una parte della matematica applicata che si occupa della raccolta, dell analisi e dell interpretazione di

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema

Dettagli

Elementi di Psicometria

Elementi di Psicometria Elementi di Psicometria E2-Riepilogo finale vers. 1.2 Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2010-2011 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2010-2011

Dettagli

Determinare la grandezza della sottorete

Determinare la grandezza della sottorete Determinare la grandezza della sottorete Ogni rete IP possiede due indirizzi non assegnabili direttamente agli host l indirizzo della rete a cui appartiene e l'indirizzo di broadcast. Quando si creano

Dettagli

Analisi dei residui. Test Esatto di Fisher. Differenza fra proporzioni

Analisi dei residui. Test Esatto di Fisher. Differenza fra proporzioni Statistica Economica Materiale didattico a cura del docente Analisi dei residui Test Esatto di Fisher Differenza fra proporzioni 1 Analisi dei residui Il test statistico ed il suo p-valore riassumono la

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Nome N. Matricola Ancona, 14 luglio 2015 1. Tre macchine producono gli stessi pezzi

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte

Dettagli

Regolamento del Settore Attività Giovanile. Approvato dal Consiglio Federale Del 13 aprile 2013 con delibera n. 124

Regolamento del Settore Attività Giovanile. Approvato dal Consiglio Federale Del 13 aprile 2013 con delibera n. 124 Regolamento del Settore Attività Giovanile Approvato dal Consiglio Federale Del 13 aprile 2013 con delibera n. 124 TITOLO I - DISPOSIZIONI GENERALI art. 1 - L Attività Giovanile 1- Per organizzare e coordinare

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL 1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per l analisi dati con Excel si fa riferimento alla versione 2007 di Office, le versioni successive non differiscono

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

I ESERCITAZIONE. Gruppo I 100 individui. Trattamento I Nuovo Farmaco. Osservazione degli effetti sul raffreddore. Assegnazione casuale

I ESERCITAZIONE. Gruppo I 100 individui. Trattamento I Nuovo Farmaco. Osservazione degli effetti sul raffreddore. Assegnazione casuale I ESERCITAZIONE ESERCIZIO 1 Si vuole testare un nuovo farmaco contro il raffreddore. Allo studio partecipano 200 soggetti sani della stessa età e dello stesso sesso e con caratteristiche simili. i) Che

Dettagli

Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione

Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta del 30/1/06 Esercizio 1 Una banca ha N correntisti. Indichiamo con N n il numero di correntisti esistenti il giorno n-esimo. Descriviamo

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Il confronto fra proporzioni

Il confronto fra proporzioni L. Boni Il rapporto Un rapporto (ratio), attribuendo un ampio significato al termine, è il risultato della divisione di una certa quantità a per un altra quantità b Il rapporto Spesso, in maniera più specifica,

Dettagli

SPC e distribuzione normale con Access

SPC e distribuzione normale con Access SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,

Dettagli

Strumenti informatici 13.1

Strumenti informatici 13.1 1 Strumenti informatici 1.1 I test post-hoc nel caso del confronto fra tre o più proporzioni dipendenti e la realizzazione del test Q di Cochran in SPSS Nel caso dei test post-hoc per il test Q di Cochran,

Dettagli

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti.

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti. PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 009/00 0/06/00 () (4pt) Olimpiadi, nale dei 00m maschili, 8 nalisti. Si sa che i 4 atleti nelle corsie centrali hanno probabilità di correre in meno di 0 secondi. I 4 atleti delle

Dettagli

Test d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi

Test d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi In molte situazioni una raccolta di dati (=esiti di esperimenti aleatori) viene fatta per prendere delle decisioni sulla base di quei dati. Ad esempio sperimentazioni su un nuovo farmaco per decidere se

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008 Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi

Dettagli

Nota sullo svolgimento delle prove INVALSI 2012 2013 per gli allievi con bisogni educativi speciali

Nota sullo svolgimento delle prove INVALSI 2012 2013 per gli allievi con bisogni educativi speciali Nota sullo svolgimento delle prove INVALSI 2012 2013 per gli allievi con bisogni educativi speciali 1 A.S. 2012 13 Bisogni educativi speciali. Documento pubblicato il 23.4.2013 1. Premessa A titolo di

Dettagli

Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea

Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea Funzionamento di un mercato ben organizzato Nel Pitgame i giocatori che hanno poche informazioni private interagiscono

Dettagli

Alessandro Pellegrini

Alessandro Pellegrini Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione

Dettagli