Il rilievo le proiezioni utilizzate per generare immagini bidimensionali degli oggetti

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1 Il rilievo le proiezioni utilizzate per generare immagini bidimensionali degli oggetti

2 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Una fotografia ed una vista prospettica di un oggetto tridimensionale. Si tratta di rappresentazioni comprensibili in maniera intuitiva, costruite con lo stesso procedimento con cui si formano le immagini nei nostri occhi. 224 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

3 Rilievo e proiezioni Un immagine è una rappresentazione di un oggetto reale Siamo abituati da sempre ad osservare immagini. Una fotografia, un quadro, un acquarello o un semplice schizzo. Un immagine non è che un insieme di segni e macchine colorate sulla carta, oppure pixel su uno schermo o linee vettoriali con cui oramai chi legge queste pagine ha sicuramente familiarità. Queste immagini non sono oggetti veri ma hanno una tale forza evocativa da permetterci di sostituirle con gli oggetti reali - quali simboli - in maniera indifferente. Esistono diversi tipi di immagini che possono essere ottenute da un oggetto reale. Al di la del modo il cui l immagine è resa (pennellate, segni, macchine, cristalli di alogenuro d argento, pixel, tratti), possiamo dividere tutte le immagini in due grandi famiglie in base alla loro geometria: le proiezioni centrali o prospettiche e le proiezioni parallele o ortografiche. Le immagini bidimensionali di cui parliamo sono chiamate proiezioni perché si ottengono effettivamente proiettando un oggetto tridimensionale su un piano. Per capire di cosa parliamo attraverso un esempio facile da capire possiamo pensare alle ombre. L ombra su una superficie piana di un oggetto tridimensionale è un immagine dell oggetto. Si tratta di un immagine molto povera che non ci permette di apprezzare altri dettagli dell oggetto se non quello che viene chiamato contorno apparente : la silhouette dell oggetto. Da un punto di vista geometrico l ombra ci aiuta a capire come è ottenuta una proiezione. Tornando al discorso sulla classificazione delle immagini, possiamo fare un paragone con le ombre. Nella nostra esperienza esistono due tipi di ombre, abbastanza diverse tra loro. Le ombre proiettate dal sole e le ombre proiettate da una sorgente di luce vicina all oggetto, come una lampada. L ombra proiettata dal sole può essere più o meno allungata ma se due spigoli di un oggetto sono paralleli anche nell ombra questi spigoli sono paralleli. Se invece pensiamo all ombra di un oggetto illuminato da una sorgente di luce vicina ci rendiamo conto facilmente del fatto che linee parallele dell oggetto, nell ombra tendono a divergere. Per rendercene conto possiamo fare un esperimento: puntiamo un faretto rasente al muro, poi poggiamo il palmo della mano sul muro e guardiamo l ombra del braccio. Tanto più la fonte di luce è vicina all oggetto quanto più l effetto è evidente. Allontanando la sorgente di luce le linee dell ombra divergono sempre di meno: L angolo formato dai raggi di luce che lambiscono le estremità dell oggetto diventa via via più piccolo allontanando la sorgente di luce dall oggetto. Se congiungiamo le estremità di un oggetto con la sorgente di luce formiamo un triangolo che ha per base l oggetto stesso e per altezza la distanza della sorgente di luce dall oggetto. Tanto più la sorgente di luce è vicina, quanto più l angolo formato dai raggi che ne lambiscono le estremità è grande, quindi l ombra divergente. Se la sorgente di luce è il sole l angolo formato da questi raggi sarà piccolissimo perché la distanza del sole dall oggetto è incomparabilmente maggiore della dimensione dell oggetto e dunque non faremo grave errore nel considerare nullo l angolo tra i raggi. Le ombre sono immagini degli oggetti reali ottenute proiettandone i contorni su un piano. Le ombre proiettate dal sole sono ottenute con raggi paralleli tra loro e possono essere paragonate a una proiezione parallela, come un assonometria o una proiezione ortogonale. Le ombre proiettate da una sorgente di luce vicina sono ottenute con raggi divergenti e possono essere paragonate a una proiezione prospettica. Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

4 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Come nasce un immagine prospettica Un immagine prospettica o proiezione centrale, da un punto di vista geometrico, è simile all ombra proiettata da una sorgente di luce vicina. Le immagini prospettiche ci sono estremamente familiari perché quando guardiamo qualcosa, sulla retina dei nostri occhi si generano immagini di questo tipo. La prospettiva prima e la fotografia poi, sono state inventate per produrre, attraverso differenti artifici, immagini simili a quelle che si producono nell occhio ed è per questo che le immagini prospettiche ci riescono molto ben comprensibili. Per generare un immagine prospettica, da un punto di vista concettuale, procediamo nel modo seguente. Dato un certo oggetto tridimensionale nello spazio, scegliamo un certo punto da cui riprenderlo. Questo punto è il punto di vista o per meglio dire il centro della proiezione. Possiamo per il momento pensare a questo punto semplicemente come al punto in cui è posizionata la macchina fotografica. Per questo punto di vista passano infinite rette; per definire la direzione della ripresa dobbiamo scegliere un altro punto: il punto a cui stiamo mirando quando scattiamo una fotografia. Per due punti passa una ed una sola retta, cosicché attraverso questi due punti definiamo una retta detta asse ottico. Ora per costruire un immagine prospettica procediamo idealmente in questo modo: consideriamo ogni punto visibile della superficie dell oggetto dal punto di vista O. Ciascuno di questi punti avrà un certo colore (o per essere pi precisi diffonde luce di un certo colore). Ora immaginiamo, per ciascuno di questi punti di tirare un filo dello stesso colore del punto congiungendolo con il centro di proiezione O. Facendo la stessa operazione per tutti i punti, otterremo una sorta di estrusione a piramide della superficie dell oggetto verso il punto O. Questo solido conterrebbe al suo interno un infinità di fili o per meglio dire di raggi che congiungono i punti della superficie visibile dell oggetto con il centro di proiezione O. Per ottenere la nostra immagine bidimensionale non resta altro da fare che sezionare questo solido con un piano perpendicolare all asse ottico. Otterremo in questo modo un immagine bidimensionale dove ogni punto (punto immagine) è dato dall intersezione di un raggio che collega il centro di proiezione O con un punto della superficie visibile dell oggetto (punto oggetto). A seconda che il piano con cui si fa la sezione sia più o meno vicino al centro di proiezione, l immagine sarà più o meno grande. È facile capire che tutte queste immagini sono identiche a meno di un fattore di scala, o per meglio dire sono geometricamente simili (due figure si dicono geometricamente simili se hanno gli angoli uguali e i lati in proporzione). Se il piano di sezione utilizzato è tra l oggetto e il centro di proiezione, l immagine sarà più piccola dell oggetto. Se Il piano è dietro l oggetto rispetto al centro di proiezione (è il caso dell ombra), l immagine sarà più grande. Se infine il centro di proiezione si trova tra l oggetto ed il piano (è questo il caso di una ripresa fotografica), allora l immagine si formerà ribaltata e sarà tanto più grande quanto più è grande la distanza tra il centro di proiezione ed il piano (lunghezza focale). La macchina fotografica non fa che materializzare la sezione interponendo un piano (la pellicola o il sensore) in maniera che ogni raggio proveniente dall oggetto e pas- 226 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

5 Rilievo e proiezioni 1 2 Π2 C O 0 A B O 3 B A P r Π1 B A C C Generazione di un immagine prospettica o proiezione centrale. Dato un punto di vista O (centro di proiezione) ed una retta r che identifica la direzione in cui si guarda (asse ottico), i punti della superficie di in oggetto tridimensionale, visibili da 0, sono proiettati con rette convergenti in O. Il solido di raggi luminosi ottenuto in questo modo viene quindi sezionato con un piano p1 perpendicolare all asse ottico. In questo modo, per ogni punto della superficie dell oggetto reale (A, B,C...), ottengo un punto immagine (A, B, C...) sul piano p1. In una ripresa fotografica il piano p2 è materializzato dalla pellicola o dal sensore ed è al di là del centro di proiezione. La distanza tra il piano p2 e il centro di proiezione in una fotografia è la distanza focale dell obiettivo (1). Un teleobiettivo ha una distanza focale maggiore e produce immagini più grandi (2). Un grandangolare ha una distanza focale più corta ed è in grado di inquadrare un campo più ampio producendo immagini più piccole (3). Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

6 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Proiezioni parallele: In queste immagini gli oggetti appaiono diversi da come siamo abituati a vederli. Si tratta di rappresentazioni di tipo tecnico da cui è possibile leggere tutti i dettagli in vera forma ed ottenere le misure. 228 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

7 Rilievo e proiezioni sante per il centro di proiezione, vada a formare un punto immagine sul fotogramma. In realtà il meccanismo ottico con cui è ottenuta una ripresa fotografica è più complesso ma per semplicità possiamo considerarlo come una ideale prospettiva, con tutti i raggi convergenti in un unico centro di proiezione. Un altro modo per rappresentare gli oggetti: le proiezioni parallele Le immagini prospettiche ben si prestano a rendere in maniera immediata e intuitiva l aspetto di un oggetto, ma sono meno utili a fini di studio, documentazione e progettazione. Su un immagine prospettica infatti, non siamo in grado di misurare direttamente l oggetto perché, per come viene generato questo tipo di immagine, le linee che sull oggetto sono parallele tendono in genere a divergere. Sull immagine gli oggetti che nella scena erano più lontani dal punto di vista, appaiono più piccoli. Le immagini che si usano nel disegno tecnico ed in generale per una rappresentazione misurabile degli oggetti, sono ottenute in un modo completamente diverso dalle immagini prospettiche. Si tratta di immagini che si ottengono proiettando su un piano gli oggetti tridimensionali con raggi paralleli tra loro. Le immagini ottenute in questo modo sono in genere meno intuitive da comprendere, proprio per il fatto che noi non vedremo mai un oggetto reale in questo modo. La finalità di queste immagini è squisitamente tecnica. Molto spesso un manufatto prodotto dall uomo, che vogliamo rappresentare in un immagine, ha di per se stesso dei piani preferenziali. Possiamo pensare ad un edificio come la chiesa rappresentata nelle illustrazioni a commento di questo testo. A parte dettagli come i modellati, la maggior parte delle superfici ha una giacitura ben definita: si tratta di superfici orizzontali, parallele al pavimento, oppure verticali, parallele al piano delle navate o al piano della facciata. È chiaro che volendo rappresentare l edificio, o almeno una parte di esso, attraverso un immagine bidimensionale, è conveniente proiettare l oggetto su uno di questi tre piani. In questo modo infatti le superfici che nell oggetto reale erano parallele a questi piani appariranno in vera forma e saranno direttamente misurabili sull immagine, a meno di un fattore di scala. Un esempio di questo tipo di rappresentazione è la sezione (nell esempio che vediamo una sezione longitudinale, ossia parallela al lato più lungo dell edificio). La sezione è un immagine che permette di apprezzare il profilo del manufatto lungo un certo piano. Concettualmente possiamo immaginare di segare il nostro oggetto come se tagliassimo un blocco di creta con il filo, proiettando su un piano parallelo al piano di sezione, il contorno dell intersezione dell oggetto con il piano di sezione. Spesso alla sezione, rappresentata con una grafia ben riconoscibile, vengono aggiunte le linee degli oggetti visibili in proiezione, al di la del piano di sezione. Un altro elaborato tipico nella rappresentazione di un manufatto architettonico è la pianta o planimetria. Questo tipo di immagine, da un punto di vista geometrico, è del tutto simile alla sezione vista in precedenza, con la sola differenza che il piano di sezione è orizzontale cioè parallelo al pavimento. Nella planimetria si seziona il corpo di fabbrica con un piano orizzontale, in genere ad un altezza sufficiente da Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

8 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI C C B Sezione longitudinale di una chiesa. La sezione propriamente detta è quella campita: si tratta dell intersezione dell oggetto con un piano la cui giacitura è parallela al fianco della navata. Sullo stesso elaborato vengono aggiunti i contorni degli oggetti, visibili in proiezione oltre il piano della sezione, in maniera da dare il più informazione possibile. Notiamo che la proiezione è fatta con raggi paralleli. Il piano su cui si proietta è parallelo al piano di sezione ed i raggi sono perpendicolari al piano. Per questa ragione questo tipo di elaborato è detto proiezione ortogonale. B A Π r A intercettare le finestre ed altri elementi significativi, riportando a terra il contorno dell intersezione delle murature con il piano di sezione. In maniera analoga alla sezione longitudinale, nella planimetria si riportano le linee visibili in proiezione oltre il piano di sezione come soglie, gradini, disegni della pavimentazione ecc. In questi due esempi la proiezione avviene su un piano, verticale per la pianta e orizzontale per la sezione, paralleli a uno dei piani principali dell oggetto. La caratteristica comune del modo in cui queste immagini è ottenuta, è quella di aver usato raggi tutti paralleli tra loro per ottenere l immagine. A ben vedere si tratta, nel caso della pianta e della sezione, di casi particolari per la scelta di un piano ben preciso tra i tanti piani possibili. Se il piano su cui proiettiamo non è parallelo ad un piano preferenziale dell oggetto otteniamo un immagine chiamata assonometria. Un assonometria non ha nulla di concettualmente diverso dal una pianta o un prospetto per il modo con cui l immagine viene generata (a parte il fatto di rappresentare o meno uno spaccato dell og- 230 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

9 Rilievo e proiezioni D r D C A B A Π Un altra tipica proiezione ortogonale è la planimetria o pianta. Il meccanismo è identico a quello utilizzato per produrre la sezione, con la sola differenza che la giacitura del piano è orizzontale. L altezza che si sceglie per il piano di sezione in genere è tale da intercettare le bucature come le porte e le finestre. Questo elaborato viene redatto, in architettura, per illustrare nel modo più chiaro possibile l organismo murario. Come per la sezione, in proiezione, si aggiungono i contorni di altri dettagli visibili al di sotto del piano di sezione come soglie, modanature dello zoccolo, pavimentazioni ecc. B C getto). Quello che cambia è solamente il piano su cui eseguiamo la proiezione. Immaginiamo di tenere in mano un cubo al di sopra di un piano perpendicolare alla direzione dei raggi del sole. Ruotandolo opportunamente ad un certo punto l ombra sarà quadrata: avremo ottenuto quella che è detta proiezione ortogonale ossia un immagine simile alla pianta e alla sezione di cui abbiamo parlato poco fa. In tutti gli altri casi otterremo un assonometria. Differentemente dalla prospettiva non esiste una macchina fotografica che permetta di ottenere una proiezione parallela. Tradizionalmente elaborati di questo tipo erano solamente disegni di progetto e venivano redatti manualmente. Oggi la grafica 3d ci permette di ottenerli a partire da un modello digitale; il problema quindi si sposta sul realizzare un modello 3d che rispecchi fedelmente l oggetto reale da cui ottenere, tramite una proiezione parallela, una vista ortografica. Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

10 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI B C r A C Un assonometria è una proiezione parallela, concettualmente analoga alla pianta, al prospetto e alla sezione, con la sola differenza che il piano utilizzato per la proiezione non è parallelo a un qualche piano preferenziale dell oggetto, ma ha una giacitura generica. A B Π I metodi del rilievo Le tecniche che permettono di ottenere un elaborato grafico misurabile da un oggetto reale si dividono essenzialmente in due categorie: il rilievo diretto ed il rilievo indiretto. Si parla di rilievo diretto quando si produce un disegno prelevando le misure direttamente dall oggetto reale e riportandole nel disegno. Il rilievo diretto Il rilievo diretto è conveniente quando l oggetto da rilevare ha una geometria chiara e semplice da comprendere. Nella storia sono stati messi a punto molti strumenti di misura, alcuni estremamente semplici ed altri più complessi e sofisticati, per misurare gli oggetti. Potremmo classificare gli strumenti e le tecniche utilizzati nel rilievo in base alla loro finalità principale. Spesso gli strumenti usati per il rilievo di un oggetto sono simili a quelli utilizzati per controllarne la geometria in fase di costruzione. L architetto e il muratore si avvalgono spesso di strumenti simili. 232 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

11 Rilievo e proiezioni Individuare sull oggetto piani di giacitura e posizione nota È questo uno dei primi problemi da risolvere. Spesso gli oggetti che vogliamo misurare non sono perfettamente orizzontali, non sono perfettamente squadrati ecc. Una prima esigenza è quella di individuare su un oggetto, piani di riferimento sui quali riportare la posizione dei punti dell oggetto. La livella a bolla serve a individuare rette orizzontali; il filo a piombo rette verticali. L antenato della moderna livella torica era l archipendolo: una squadra con un braccio graduato che sfruttava un filo a piombo per controllare l orizzontalità di una retta. Oggi è possibile acquistare per poche decine di euro livelle laser che, sfruttando il principio del filo a piombo proiettano una linea luminosa che materializza visivamente l intersezione di un oggetto tridimensionale con un piano orizzontale o verticale. Livelle di questo tipo funzionano per oggetti di piccola dimensione, tipicamente si usano in interni. Esistono versioni più sofisticate e precise di questi strumenti, utilizzate nei cantieri per individuare con precisione gli orizzontamenti anche a grande distanza. La livella ottica permette di svolgere lo stesso compito traguardando attraverso un cannocchiale punti che sono tutti alla stessa quota. Un altro metodo, economico ma non per questo meno preciso, che tutti possono usare, consiste nel riempire un tubo di gomma trasparente con acqua. Alle estremità del tubo, il livello dell acqua si posiziona alla stessa quota, purché non ci siano bolle d aria e nessuno calpesti il tubo. Lavorando in coppia è possibile trasportare una quota orizzontale ponendo dei segni, ad esempio con un gessetto o con degli adesivi, su diversi punti, anche non visibili l uno dall altro, che saranno con certezza tutti alla stessa quota. Misurare distanze La misura più facile da prelevare è la misura di una distanza. Misurare un angolo con precisione è più difficile che misurare una distanza. La tecnica della trilaterazione, già illustrata nella prima parte di questa dispensa, è molto conveniente per ottenere, indirettamente la misura di angoli, misurando unicamente delle distanze. Esistono molti tipi di metri, rigidi o a nastro (metallici o in plastica con fibre di vetro). Uno strumento ormai diffuso è il distanziometro laser che permette di ottenere con grande precisione le distanze misurando il tempo impiegato da un raggio luminoso a percorrere avanti e indietro la distanza tra l apparecchio e il punto misurato, oppure il ritardo di fase con cui la radiazione luminosa torna all apparecchio. Misurare angoli La misura degli angoli è stata affrontata storicamente con l invenzione del teodolite: si tratta di un cannocchiale che può essere puntato ruotandolo con grande precisione attorno a due assi. Il teodolite si usa per misurare angoli e, indirettamente distanze, misurando con grande previsione l angolo che un oggetto di dimensione nota, come un asta metrica, occupa nel campo visivo del cannocchiale. Misurare angoli e distanze La stazione totale, uno strumento topografico oggi comune, combina il teodolite con un potente distanziometro e permette di misurare contemporaneamente angoli e distanze con grande precisione. La stazione totale permette di acquisire le coordinate in 3 dimensioni (X,Y,Z) di una serie di punti base (appoggio topografico) che verranno poi utilizzati per prelevare le Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

12 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI 1 Strumenti utilizzati nel rilievo diretto per creare o verificare allineamenti con piani orizzontali e verticali. Filo a piombo (1). Archipendolo (2), antenato della moderna livella torica (3). Livella laser (4): utilizza un pendolo per proiettare linee luminose orizzontali e verticali. Livella ad acqua (5): un modo economico e molto preciso per individuare allineamenti orizzontali. Livella ottica (6): utilizza un cannocchiale per lo stesso scopo. Strumenti utilizzati per misurare distanze. Il metro (7) si usa confrontando una misura dell oggetto con una misura nota (il metro stesso). Distanziometro laser (8): misura le distanze in base al tempo impiegato dalla radiazione luminosa a tornare indietro (tempo di volo) o il ritardo di fase con cui la radiazione torna all apparecchio. Strumenti per misurare angoli: Il teodolite (9) permette di misurare angoli in orizzontale e in verticale con un cannocchiale. Può essere usato per misurare grandi distanze in base all angolo che un oggetto di lunghezza nota occupa nel campo visivo del cannocchiale. Strumenti per misurare angoli e distanze: La stazione totale (10) è la combinazione di un potente distanziometro e un teodolite. Rileva la posizione dei punti mirati in 3d. Il laser scanner (11) esegue in continuo misurazioni in ogni direzione ottenendo la posizione dei punti in 3d e, per ciascun punto, caratteristiche della superficie quali la riflettanza ed il colore ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

13 Rilievo e proiezioni misure localmente, oppure per realizzare un raddrizzamento fotografico, come vedremo tra breve. Lo scanner laser è uno strumento molto sofisticato il cui funzionamento è concettualmente simile a quello della stazione totale. Un distanziometro misura costantemente la distanza dall apparecchio dei punti lambiti da un raggio laser. Il raggio laser è proiettato su uno specchio che ruota verticalmente mentre l intera base ruota orizzontalmente. Per ogni misurazione, l apparecchio registra la distanza e i due angoli, risalendo così alla posizione del punto rispetto all apparecchio. Contemporaneamente lo scanner misura la riflettanza della superficie ossia la quantità di radiazione che questa riflette ed il colore della superficie stessa oltre ad altri parametri. Il risultato è una vera e propria fotografia in tre dimensioni di tutti i punti visibili dalla stazione. Il rilievo completo dell oggetto viene ottenuto spostando la stazione ed eseguendo più riprese. Le riprese vengono infine allineate in un unico modello i cui punti sono ottenuti da più scansioni. Il rilievo indiretto Il rilievo indiretto consiste nel prelevare le misure da una riproduzione dell oggetto come ad esempio una fotografia ortorettificata o una vista ortografica ottenuta da un modello 3d. Quando disegniamo una base grafica ricalcandola da una foto rettificata, stiamo eseguendo un rilievo indiretto. Volendo utilizzare questa tecnica, allora, il problema si sposta sul come ottenere questa immagine dalla quale è possibile estrarre le misure. Rilevare forme bidimensionali da una fotografia Se l oggetto da rilevare nella realtà è piano, come nel caso di un dipinto su tela o su tavola, è possibile ottenere un immagine fotografica in cui le forme siano identiche a quelle dell oggetto reale, a meno di un fattore di scala. Quando due figure geometriche hanno gli angoli uguali e i lati in proporzione, ossia sono uguali a meno di un fattore di scala, esse si dicono simili. Per quello che abbiamo visto illustrando il modo in cui si ottengono le immagini prospettiche però, anche se un oggetto (o una parte dei esso) è piano, non è detto in generale che l immagine fotografia lo riproduca in vera forma: questo succede solo se l asse ottico è perpendicolare alla superficie dell oggetto e conseguentemente il piano su cui si forma l immagine è parallelo al piano dell oggetto. In tutti gli altri caso l immagine sarà distorta. Ora osserviamo attentamente il modellino che illustra la proiezione prospettica. Immaginiamo che l oggetto piano che vorremmo riprodurre sia la facciata della casetta. Nel caso che vediamo illustrato, il piano di proiezione non è parallelo al piano della facciata ma ha una giacitura arbitraria, dunque nell immagine che si forma su di esso la facciata appare distorta. Pensandoci bene però un modo per ottenere un immagine dove la facciata appaia in vera forma ci sarebbe: bisognerebbe ottenere l immagine sezionando il solido a piramide costituito dai raggi luminosi, con un piano parallelo a quello della facciata. Nell immagine che si formerebbe su un piano come quello, le geometrie appartenenti a piani con giaciture diverse da quello della facciata apparirebbero distorte, ma tutto ciò che è nel piano della facciata (o in piani paralleli) apparirà in vera forma. Una normale macchina fotografica non permette di fare una ripresa Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

14 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI del genere perché il piano della pellicola è solidale con l apparecchio ed è sempre ortogonale all asse ottico. Bisognerebbe poterlo ruotare ed infatti qualcuno ci ha già pensato in tempi storici inventando il banco ottico. Questo apparecchio, in cui l obiettivo è collegato al corpo tramite un soffietto, permette di far basculare il piano della pellicola ottenendo di fatto una sezione del solido simile a quella illustrata. Potremmo anche pensare ad un altro stratagemma. Immaginiamo che la ripresa sia stata fatta con una normale macchina fotografica, e quindi la facciata appaia distorta nell immagine. Potremmo immaginare di fare un operazione inversa a quella della ripresa, sostituendo, nella nostra scena, la macchina fotografica con un proiettore di diapositive. La piramide prodotta dal proiettore a partire dal fotogramma sarebbe la stessa, solo che i raggi luminosi andrebbero nella direzione inversa. Ora basta interporre uno schermo con la stessa giacitura della facciata.. ed ecco che otterremmo una sezione del solido dove la facciata appare in vera forma. La trasformazione che porta dall immagine in cui la facciata appare distorta a un immagine in cui questa appare in vera forma è detta omografia. Non è altro che una riproiezione dell immagine distorta. Tra i metodi utilizzati tradizionalmente per rettificare un immagine fotografica di un oggetto piano, uno è proprio quello di riproiettarla su un piano basculante. Un altro metodo è quello di ottenere per via grafica, tramite complesse costruzioni geometriche, la vera forma delle geometrie. Il metodo più usato oggi è quello di trasformare punto per punto l immagine con un sistema di due equazioni in due incognite e sei parametri, che permette di ottenere per via analitica l immagine corretta. I software per il raddrizzamento fotografica utilizzano appunto questo metodo e determinano i parametri della trasformazione con due sistemi. Il primo sistema, detto delle linee cadenti prevede che l utente individui sull immagine almeno due rette che nella realtà sono orizzontali ed almeno due rette che nella realtà sono verticali, più almeno una distanza nota in orizzontale ed almeno una distanza nota in verticale. Questo metodo è adatto a oggetti che nella realtà sono squadrati come ad esempio la facciata della casa. Con queste informazioni il software determina i sei parametri necessari a raddrizzare la fotografia e produce un immagine in cui tutti i dettagli appartenenti al piano della facciata saranno leggibili in vera forma. Se sulla facciata era presente una decorazione dipinta anche questa apparirà in vera forma e quindi potremo ricalcarla direttamente dall immagine, certi che le forme che otterremo saranno rigorosamente fedeli all originale. Se non sono presenti linee verticali e orizzontali e si vuole utilizzare questa metodologia, uno via potrebbe essere quello di creare artificialmente questi allineamenti tendendo fili, poggiando aste, proiettando laser, o posizionando mire. L altro metodo attraverso il quale i software per il raddrizzamento determinano i parametri necessari per la trasformazione è per punti. Per determinare i sei parametri necessari a definire la trasformazione omografica sarà necessario che l utente indichi almeno quattro punti sull immagine di cui siano note le coordinate X e Y nella realtà. Volendo utilizzare questa tecnica si possono posizionare sull oggetto mire (almeno quattro per ogni scatto che si intende fare). Utilizzando la tecnica della triangolazione potremo riportare in un disegno la posizione di tutte le mire. Se il disegno è in CAD potremo facilmente ottenere le coordinate dei punti attraverso il comando ID. Utilizzando il plugin per la georeferenziazione in QGIS (si veda il capitolo relativo) possiamo addirittura caricare il rilievo dei punti come strato di base e ottenere le coordinate 236 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

15 Rilievo e proiezioni O 0 Π3 O C B A Π2 C C B A L immagine prospettica di un oggetto piano, come la facciata di una casa, normalmente è distorta perché, come nel caso che vediamo illustrato qui a fianco, la giacitura del piano su cui avviene la proiezione (p3), perpendicolare all asse ottico, non è la stessa del piano dell oggetto. L unico modo per ottenere un immagine in cui la facciata si veda in vera forma è scattare perpendicolarmente ad essa. Un altro modo è quello di sezionare il solido luminoso con un piano (p1) parallelo alla facciata. Il banco ottico (in alto) permette di ottenere questo tipo di proiezione, disassando l obiettivo rispetto al piano della pellicola. P r B A Π1 Un altro modo per ottenere un immagine corretta della facciata è quello di riproiettare l immagine dal piano p2 al piano p1 Una trasformazione che modifichi l immagine in questo modo è detta omografia. Esistono algoritmi per rettificare analiticamente le immagini digitali. Il metodo proiettivo utilizzabile in Qgis per la georeferenziazione (si veda il relativo capitolo), applica una trasformazione omografica per ottenere un immagine rettificata di un oggetto piano a partire da un immagine proiettata su un piano di giacitura generica. Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

16 0,883 0,893 0,864 0,827 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Nell esempio che vediamo illustrato in queste pagine, una parete dipinta del tempio di Buhen, conservata presso il Museo Nazionale di Khartoum, il rilievo è stato ottenuto per via indiretta, rettificando una serie di immagini con una trasformazione omografica e producendo un mosaico di immagini rettificate (fotopiano). direttamente cliccando i punti. Questo metodo permette di ottenere un immagine geometricamente rigorosa e misurabile attraverso un rilievo diretto di pochissimi punti: un operazione fattibile in pochi minuti e con strumenti semplicissimi. Otterremo una grigia di punti di controllo misurati, una sorta di scheletro sulla base del quale rettificare le immagini. Montando le immagini rettificate otterremo un mosaico (fotopiano) da qui ottenere Il resto del rilievo per via indiretta. Dopo aver progettato le riprese da effettuare, si posizionano mire di carta in maniera che in ciascuno scatto ne siano visibili almeno 4, corrispondenti grosso modo agli angoli dell inquadratura. Le distanze tra le mire vengono misurate direttamente con il metro. La posizione di ogni mira può essere otenura misurandone la distanza da due punti noti. Attraverso la tecnica della trilaterazione si ricostruisce la posizione di tutte le mire in un disegno al CAD. In generale, se le condizioni di lavoro lo permettono, è preferibile utilizzare gli stessi due punti base per trilaterare tutti gli altri punti, evitando in casi di imprecisioni nelle misurazioni, che l errore su propaghi. I due punti base possono essere posizionati a livello, ad esempio con la livella ad acqua, oppure allineati verticalmente con il filo a piombo. in questo modo i punti restituiti avranno un orientamento certo rispetto all orizzonte. 0,901 0,466 0,976 0,915 0,413 0,981 0,407 ri ( ,1.7831) 1,191 1,597 1,376 0,68 1,595 1,312 0,924 0,883 0,926 1,21 1,225 0,932 0,879? 0,92 0,41 0,856 1,344 1,63 1,527 1,755 1,144 1,365 fj (0.4552,1.8055) ew (1.6462,1.809) ff (2.5721,1.8241) 0,39 0,821 0,969? 1,113 1,385 1,054 1,383 1,055 ex (2.8242,2.1474) fa (3.6796,2.1158) 0,824 0,894 1,072 1,346 1,073 1,379 1,065 0,819 0,892 1,077 1,4 1,1 1,417 1,105 0,855 0,481 0,984 0,464 0,986 0,876 0,475 fe (3.9159,1.8055) rv (5.0289,1.7988) rw (6.1009,1.7989) rx (7.1779,1.7903) rs (7.6579,1.7595) In questo modo otteniamo una griglia di punti misurati, di cui sono note le coordinate X,Y che saranno usati per rettificare le immagini. Tutto il resto del rilievo sarà ottenuto per via indiretta da queste immagini. rj (0,0) fi (0.3897,0.8928) rp ( ,0.8822) fg (0.4068,0) ey (1.7657,0.8928) fh (1.7188,0.011) ez (2.4456,0.9008) fb (3.9702,0.9863) rm (5.0242,0.9748) ru (6.0972,0.9799) rr (7.1959,0.9265) rn (7.6598,0.9325) fk (3.9621,0.0174) rt (5.0152,0.0804) rl (6.0802,0.088) ro (7.1851,0.072) rk (7.6598,0.0565) 238 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

17 Rilievo e proiezioni Gli scatti sono effettuati a mano libera o meglio con il cavalletto, badando a mantenere l asse ottico il più possibile perpendicolare alla superficie. Solo un raddrizzamento analitico dei singoli fotogrammi permetterà di eliminare la distorsione, che inevitabilmente sarà presente e di ottenere immagini geometricamente simili all oggetto reale e perfettamente combacianti. Oltre alla distorsione derivante dalla non perfetta ortogonalità tra l asse ottico ed il piano della superficie, una fotografia presenta in genere una distorsione detta aberrazione sferica dovuta all obiettivo. È possibile correggere l aberrazione sferica prima di raddrizzare il fotogramma se l immagine è scattata in RAW. È consigliabile comunque inquadrare il soggetto lasciando un margine attorno, perché le deformazioni ottiche sono più evidenti nelle zone periferiche del fotogramma. Per ciascuna foto si procede quindi al raddrizzamento. Si collimano le mire sull immagine indicando le relative coordinate. Le immagini rettificate vengono scontornate in maniera che, una volta assemblate, sia visibile solamente la zona compresa all interno delle mire usate per il raddrizzamento. Le immagini vengono quindi montate in un unico mosaico. Questa immagine è geometricamente simile alla superficie reale ed ha una scala nota (è nota la dimensione di ogni pixel in metri). Il fotopiano può essere usato con sicurezza per produrre la base grafica. In questo esempio la base comprende diversi layer tra cui: il contorno apparente dei blocchi (geometria poligonale), la superficie integra dei blocchi (geometria poligonale) e la decorazione (geometria lineare). I layer definiti in questo modo sono stati utilizzati, assieme al fotopiano, come base in un progetto GIS, per raccogliere altra documentazione. Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

18 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Come facciamo a vedere in 3d : la stereoscopia Per rilevare indirettamente la geometria di un oggetto tridimensionale, in un caso generale, non è sufficiente un singolo fotogramma. Dato un certo punto di vista infatti, esistono più oggetti che possono generare la stessa immagine prospettica; per individuare con certezza la geometria di un oggetto, allora, sarà necessaria una seconda immagine presa da un angolazione differente. Questo è il principio alla base della tecnica di rilevamento indiretto che prende il nome di stereofotogrammetria. Per comprendere bene questo argomento facciamo ancora una volta un passo indietro e consideriamo gli strumenti che la natura ci ha fornito per apprezzare correttamente l ambiente in cui ci muoviamo. A chi legge non sarà certo sfuggito che gli esseri umani e la gran parte degli animali che vivono in ambienti illuminati, è dotata di due occhi. Come mai un occhio solo non sarebbe stato sufficiente? La ragione è che noi apprezziamo la posizione delle cose attorno a noi attraverso la comparazione in tempo reale di due immagini leggermente diverse. È possibile accorgersi di questo aspetto facendo un semplice esperimento: teniamo un dito davanti al naso e chiudiamo uno degli occhi. Osserviamo la posizione apparente del dito rispetto allo sfondo. Ora chiudiamo l occhio e apriamo l altro. Noteremo che la posizione apparente del dito rispetto allo sfondo cambia. Questo fenomeno è chiamato parallasse. Il cervello riceve continuamente le immagini provenienti dai due occhi e, conoscendo la distanza tra gli occhi e l orientamento di ciascuno di essi è in grado di desumere la posizione reale degli oggetti cosicché noi vediamo il mondo in 3d. Gli occhi sono un telemetro naturale di cui l evoluzione ci ha forniti. La comparazione di due segnali leggermente differenti è uno stratagemma utilizzato in molte applicazioni ad esempio, sempre con riferimento alla nostra biologia, possiamo capire la direzione da cui proviene un suono attraverso il ritardo con cui le onde sonore arrivano ad un orecchio rispetto all altro. Questo spiega perché sott acqua non si riesce a capire da che direzione proviene un suono: nel mezzo acquatico le onde sonore si propagano molto più velocemente cosicché il ritardo è troppo piccolo perché noi lo si possa apprezzare. La stereofonia è una tecnica che permette di riprodurre la tridimensionalità della percezione sonora. Il suono viene registrato da due microfoni leggermente distanziati (tanto quanto le orecchie di un ascoltatore) e poi ci viene riproposto da due diffusori posizionati in modo che ciascun orecchio percepisca il suono come lo avrebbe percepito un ascoltatore le cui orecchie avessero avuto la posizione dei microfoni. Lo stesso identico principio della stereofonia è applicabile alla visione attraverso la stereoscopia. Per riprodurre la sensazione della tridimensionalità nella visione, quello che si fa è scattare due immagini da due punti di vista leggermente distanziati (tanto quanto lo sono gli occhi) per poi riproporre a ciascuno dei due occhi la sua visione parziale della scena. Questo effetto si ottiene attraverso apparecchi detti stereoscopi espressamente concepiti per questo fine. Un altro metodo per riprodurre la visione stereoscopica è quella dell anaglifo. Un anaglifo è un immagine ottenuta sovraimponendo due immagini prese da punti di vista diversi. Ciascuna delle immagini è resa con una scala di sfumature in due colori complementari, solitamente rosso e ciano. L osservatore guarda l immagine con occhiali le cui lenti filtrano alternativamente i due colori in maniera che ciascun occhio possa vedere solamente l immagine giusta. Si tratta di un metodo non molto raffinato perché sacrifica la componente cromatica, ma è molto economico e facile da applicare. 240 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

19 Rilievo e proiezioni A sinistra: il cervello elabora in tempo reale le immagini provenienti dai due occhi. La parallasse (lo spostamento apparente degli oggetti vicini rispetto allo sfondo, differenziato da un occhio all altro) è utilizzata per valutare la distanza degli oggetti. A destra: due immagini prese da punti di vista diversi, ed osservate con un apparecchio che permetta a ciascun occhio di vedere una sola delle due immagini, riproducono la sensazione della tridimensionalità. In basso: anaglifo. Lo stesso effetto può essere ottenuto sovraimponendo le due immagini virate in colori complementari ed osservando la fusione delle due immagini con lenti di colore tale che ogni occhio veda una sola delle due immagini. Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

20 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Stereofotogrammetria: l oggetto è ripreso da due punti di vista diversi producendo due fotogrammi. La restituzione dalla coppia stereoscopica avviene attraverso i seguenti passaggi: 1: orientamento esterno: consiste nel ricostruire la giacitura e posizione reciproca dei piani dei due fotogrammi Π1 D C O01 A B O1 Π2 D C O02 A B 2: orientamento interno: consiste nel ricostruire la posizione dei centri di proiezione rispetto ai piano dei fotogrammi O2 3, 4: Proiezione in avanti. Per lo stesso punto immagine nei due fotogrammi (punti omologhi), viene costruita una retta passante per il punto immagine ed il relativo centro di proiezione. Il punto di intersezione delle rette corrisponde alla posizione che il punto aveva al momento delle riprese B 1 A 2 C 3 r1 D r2 P1 4 P2 242 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

21 Rilievo e proiezioni Rilevare forme tridimensionali da due immagini: la stereofotogrammetria Il principio alla base della visione binoculare è stato sfruttato storicamente per rilevare la geometria di oggetti tridimensionali da coppie di immagini fotografiche. Una delle applicazioni più importanti della stereofotogrammetria è stata tradizionalmente la produzione di cartografie attraverso l interpretazione di coppie stereoscopiche di immagini aeree. La stereofotogrammetria è stata largamente utilizzata nel rilevamento architettonico di superfici inaccessibili a un rilievo diretto ed in generale nel rilevamento di tutte quelle forme difficili da ricondurre a geometrie semplici. Immaginiamo di aver ripreso un oggetto da due punti di vista diversi. Ottengo due fotogrammi dove per ciascuno dei punti oggetto (A,B,C,D ) vengono generati rispettivamente i punti immagine (A, B, C, D ) e (A, B, C, D ). Vediamo quali sono i passi da seguire per ricostruire la posizione effettiva dei punti originali partendo dalle due immagini. La prima operazione che dovrei fare con questi due fotogrammi che ho in mano, sarebbe quella di riposizionarli nello stesso modo in cui erano quando sono state scattate le foto. In sostanza devo individuare esattamente i due piani su cui sono state fatte le due proiezioni. Un piano è individuato da una giacitura e da un punto. La giacitura è definita dai tre angoli che il piano forma rispetto agli assi di un sistema di riferimento ortonormale XYZ: tre parametri dunque. Oltre alla giacitura, per definire un piano, sono necessarie le coordinate di un punto (altri tre parametri). I piani con la stessa giacitura sono infiniti e tutti paralleli tra loro. La posizione di un punto, a parità di giacitura, identifica il piano in maniera univoca. L operazione attraverso cui ricostruisco la posizione reciproca dei piani di proiezione al momento degli scatti è detta orientamento esterno. Si tratta, come è facile capire, di un operazione tutt altro che semplice. Per semplificare il problema, storicamente, sono stati progettati apparecchi detti stereocamere, dove due corpi macchina sono fusi assieme su un asta rigida. Utilizzando un apparecchio di questo tipo la posizione reciproca dei fotogrammi era nota a prescindere. L altro parametro necessario per eseguire la restituzione stereofotogrammetrica è, per ciascun fotogramma, la posizione del centro di proiezione rispetto al piano di proiezione. Se diamo per scontato che l asse ottico sia perpendicolare al piano di proiezione si tratta in sostanza di conoscere la distanza del centro di proiezione dal piano di proiezione. Questa distanza è la lunghezza focale dell obiettivo. Anche in questo caso, per semplificare il problema, si utilizzavano macchine dette camere metriche con focale fissa e caratteristiche ottiche certificate. L operazione consistente nell individuazione del centro di proiezione per ciascun fotogramma, prende il nome di orientamento interno. Una volta eseguito l orientamento esterno e l orientamento interno, è possibile procedere alla restituzione dei punti con un metodo della proiezione in avanti. Da un punto di vista concettuale si procede nel modo descritto di seguito. Individuo sui due fotogrammi due punti omologhi, ossia i due punti immagine corrispondenti al medesimo punto oggetto. Per ciascun fotogramma costruisco una retta passante per il punto immagine e per il centro di proiezione (per due punti passa una e una sola retta). 2 3 In alto: stereocamera per riprese stereofotogrammetriche (1); schema concettuale del funzionamento di un restitutore a proiezione meccanica (2) e ottica (3). In basso: diversi tipi di restitutori analogici (4,5) e analitici (6). Il primo restitutore mai costruito (Nistri) è un brevetto italiano Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

22 Jacopo Russo - SISTEMI di ELABORAZIONE delle INFORMAZIONI Fotogrammetria digitale. I fotogrammi, scattati in maniera che ogni porzione della superficie del soggetto si visibile da almeno due punti di vista diversi, vengono allineati. In questa fase il software determina automaticamente l orientamento esterno ed interno dei fotogrammi. Il punto di intersezione di queste due rette mi da la posizione, nelle tre dimensioni, che il punto aveva quando sono stati scattati i fotogrammi. Chi legge adesso starà chiedendosi come, materialmente, sia possibile realizzare questa costruzione. Per realizzarla, storicamente, sono stati progettati complicatissimi apparecchi detti restitutori, veri e propri monumenti all ingegno umano, che permettevano con complicati meccanismi, di materializzare i raggi di proiezione: meccanicamente, con aste metalliche, oppure otticamente, con specchi. La posizione dei punti, individuata in questo modo, veniva riportata sul piano del foglio da disegno e tracciata con una penna. Con l avvento delle tecnologie informatiche sono stati progettati restitutori analitici che permettevano di ottenere la proiezione per via digitale. La restituzione avveniva sempre manualmente. Un operatore procedeva per punti e linee producendo un disegno, in un primo momento cartaceo e più recentemente vettoriale. Si trattava comunque di tecniche estremamente costose e che pochi operatori specializzati erano in grado di padroneggiare. stereofotogrammetria digitale La stereofotogrammetria classica è stata con il tempo abbandonata rendendosi disponibile una tecnologia, quella della scansione laser 3d, che permetteva di acquisire in automatico nuvole di punti. Recentemente la stereofotogrammetria ha tornato a diffondersi per la disponibilità di computer sempre più potenti e sensori con risoluzioni sempre maggiori che hanno reso possibile l automatizzazione dell intero processo a partire da immagini digitali. I software per la stereofotogrammetria digitale, come Photoscan, sono in grado di eseguire automaticamente l orientamento dei fotogrammi. Senza che sia necessario alcun intervento da parte dell utente, sofisticati algoritmi confrontano i fotogrammi individuando pattern di pixel omologhi. Dal confronto tra i fotogrammi questi software riescono a ricostruire la giacitura e la posizione di tutti i fotogrammi al momento dello scatto. Dalle immagini così orientate il programma ricostruisce la posizione di 244 ISCR - Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro

23 Rilievo e proiezioni ciascun punto dell oggetto a partire dai pixel dei fotogrammi. Il risultato è una nuvola di punti con coordinate spaziali XYZ e coordinate cromatiche RGB ed è molto simile ad una nuvola di punti ottenuta tramite scansione laser. I punti vengono quindi interpolati generando una rete di facce triangolari (mesh) che rappresenta la superficie dell oggetto. Un aspetto interessante della stereofotogrammetria digitale è la possibilità di texturizzare (rivestire con un immagine) la mesh, in maniera molto precisa. Dal momento che la nuvola di punti, e quindi la mesh, viene prodotta a partire dalle immagini, queste possono essere proiettate con grande precisione sul modello, cosa che invece non è scontata nel caso di un modello prodotto con scansione laser. Nel caso di una scansione laser il centro di proiezione della ripresa è la sorgente del laser e non coincide con il centro di proiezione di una eventuale ripresa fotografica. Questo comporta problemi geometrici nella riproiezione dell immagine sul modello. Nel caso della stereofotogrammetria digitale, invece, il problema non esiste perché il centro di proiezione di ciascuna ripresa coincide per definizione con il punto utilizzato per fare la proiezione in avanti nella restituzione. Dunque la proiezione dell immagine sul modello può avvenire senza alcun problema. Una volta ottenuto un modello (mesh) è possibile creare delle viste ortografiche, ossia immagini ottenute tramite una proiezione parallela e quindi misurabili, su piani scelti dall utente. Per poter creare la vista ortografica che ci serve, è necessario definire in qualche modo un piano di riferimento su cui verrà eseguita la proiezione. Quando chiediamo di esportare un ortofoto selezioniamo uno dei piani tra top XY, Bottom, Right ecc. ma quale è il sistema di riferimento rispetto a cui sono definiti questi piani? Il modello che viene generato, se non diamo alcuna informazione, è collocato in un sistema di rifermento arbitrario. Non ha unità di misura note ne è orientato rispetto a un qualche piano noto. Un sistema efficace per creare il nostro sistema di riferimento consiste nell inserire nella scena, prima di fare le riprese, dei marker ossia delle mire la cui posizione è nota. Nel caso che vediamo illustrato come esempio, sono state inserite solamente tre mire. Come mai tre? Abbiamo detto che un piano è definito da una giacitura (tre angoli) e un punto (tre coordinate). Un altro modo per definire un piano è quello di indicare la posizione di tre punti. Per due punti infatti passa una sola retta e per una retta passano infiniti piani: tutti quelli che possono ruotare attorno alla retta come fa una porta attorno ai cardini. Un terzo punto blocca la posizione del piano in maniera inequivocabile. Tre punti definiscono un piano ed infatti se un tavolo con quattro gambe può ballare (perché una delle tre ha l estremità fuori dal piano), un treppiede invece non balla mai perché le tre estremità delle sue gambe appartengono a uno e un solo piano. Nel nostro caso abbiamo posizionato le prime due mire in due punti che fossero alla medesima quota del pavimento, sulle due librerie ai lati dell angelo. Il terzo punto, confidando che la libreria non strapiombi, lo abbiamo posizionato al di sopra del primo, sullo stesso spigolo. Poi abbiamo misurato le distanze reciproche tra i punti. In un disegno CAD abbiamo riportato la posizione della prima mira in un punto che avesse ascissa nulla (X=0) ed ordinata pari alla distanza (in metri) dal pavimento. Questo punto, corrispondente alla prima mira, lo abbiamo poi copiato orizzontalmente verso destra di una distanza pari a quella misurata. Utilizzando le misure prese tra queste due mire e la terza, abbiamo utilizzato la trilaterazione per ottenere la posizione della terza mira. Di questi tre punti abbiamo quindi ottenuto le coordinate X,Y (la Scuola di Alta Formazione e Studio - Anno 2014 /

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