APPUNTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

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1 APPUNTI DI MATEMATICA FINANZIARIA 15 gennaio 2015 Sommario Introduzione per lo studente: Questa dispensa è stata creata appositamente per tutti gli studenti che per fortuna o sfortuna si sono imbattuti in Matematica Finanziaria e nel suo ostico e spesso poco chiaro studio. Per moltissimi è diventato un vero e proprio esame da incubo con formule e concetti di di cile comprensione. E sembrata mancasse fin da subito CHIAREZZA. E sono proprio la chiarezza e la snellezza a farla da padroni in questa raccolta di appunti ed esempi concreti concentrati in quello che noi chiamiamo SUCCO della materia. Concetti di cili spiegati in modo semplice con un linguaggio terra terra pur sempre estremamente esaustivo e completo per preparare l esame nel migliore dei modi. Ottima anche come integrazione o per seguire la lezione del docente, in modo preventivo, prendendo direttamente appunti. Info: La dispensa è disponibile presso il negozio la LEGATORIA DEL DUOMO sito in Via Sant Agnese 12 che si occupa per conto di SCRIBAmates (www.scribamates.it) della consegna dei materiali. Lì e sul sito potrete trovare tantissime altre dispense ed appunti redatti direttamente da studenti come noi che hanno studiato e sudato con i vostri stessi Prof. 1

2 Indice 1 Operazione finanziaria Approfondimento Fattore di montante 7 3 Capitalizzazione Regime finanziario di interesse anticipato Regime finanziario di interesse semplice Regime finanziario di interesse composto Tassi di interesse Tassi equivalenti Tasso annuo convertibile k volte all anno (j k ) Forza d interesse (Intensità istantanea d interesse) Scindibilità Tempi non interi Attualizzazione Capitalizzazione vs Attualizzazione Rendite Principio di equivalenza finanziaria Valore attuale di una rendita costante Montante di una rendita costante Esercizi svolti Esercizio svolto Prezzo della proprietà Valore della rendita Contanti Esercizio svolto Indici Temporali Scadenza Media (z) Scadenza Media Aritmetica (SMA) Duration (Durata media finanziaria) Ammortamenti Premessa Ammortamento Francese Ammortamento Italiano

3 8.4 Ammortamento Americano Assicurazioni Tipologie di assicurazione: Approfondimenti Tecnici Tavole di sopravvivenza Premio unico Tassi spot e forward Tipologie di titoli Tassi d interesse Come calcolare i prezzi dei titoli quotati Esercizi svolti Particolarità da ricordare 60 3

4 Premessa Fondamentale Per entrare nell ottica dello studio della Matematica Finanziaria bisogna capire da subito che il valore di una somma di denaro si incrementa al passare del tempo. Bisogna recitare il seguente mantra: "1e oggi vale più di 1e domani". La spiegazione di questa semplice e breve affermazione è che 1e oggi possiamo investirlo ad un determinato tasso d interesse guadagnando grazie alla quota di interessi che otterremo. Tale quota infatti accrescerà il valore della somma iniziale investita rendendoci "domani", più ricchi di oggi. Se scioccamente pensassimo che ricevere 1e domani sia come riceverne 1e oggi vorrebbe dire non tenere conto dell opportunità positiva di investimento descritta prima. La nostra scelta si chiamerebbe COSTO OPPORTUNITA. Non avendo sfrutta-to l opportunità di investire avremmo perso un occasione e questa mancanza genererebbe per noi un costo, detto COSTO OPPORTUNITA. 1 Operazione finanziaria Un operazione finanziaria è qualsiasi accordo che genera uno scambio di somme di denaro riferite ad epoche diverse. Esempi: acquisto BOT (Buono Ordinario del Tesoro), accensione Mutui, con-tratti di Leasing, etc. Il più elementare progetto (Operazione Semplice) è, ad esempio, un costo seguito da un ricavo. L operatore impiega un capitale iniziale sostenendo un costo allo scopo di conseguire un capitale futuro. Le operazioni possono essere: semplici! quando è coinvolta una sola scadenza (BOT); complesse! quando sono coinvolte più scadenze (BTP acronimo per Buoni del Tesoro Poliennali); d investimento! rinuncia oggi ad una somma di denaro per ottenere in futuro una somma maggiore; di finanziamento! ricevere oggi una somma di denaro e rimborsarla in date future; 1.1 Approfondimento Vi può essere un ulteriore suddivisione riguardo le operazioni di investi-mento e finanziamento, come segue: 4

5 Investimento IN SENSO STRETTO! Se i costi precedono nel tempo i ricavi; Finanziamento IN SENSO STRETTO! Se i ricavi precedono nel tempo i costi; Investimento IN SENSO LATO! Operazioni per cui la scadenza media aritmetica dei costi precede l epoca del primo ricavo; Finanziamento IN SENSO LATO Operazione per cui la scadenza media aritmetica dei ricavi precede l epoca del primo costo; Investimento PURO! Operazione che Cambia Segno una sola volta, da negativo a positivo; Significa che in caso di investimento la prima è una USCITA negativa poiché per investire una somma bisogna privarsene. Finanziamento PURO! Operazione che Cambia Segno una sola volta, da positivo a negativo; Significa che in caso di finanziamento la prima è una ENTRATA positiva poiché quando si è finanziati si entra in possesso di una somma nuova che non era disponibile prima. L importo investito si chiama CAPITALE INIZIALE. La somma disponibile alla fine dell investimento si chiama CAPITALE FINALE o MONTANTE. Per ricordarsi del MONTANTE concettualmente possiamo pensare che il Ca-pitale iniziale cresce... quindi MONTA, come la panna, accrescendo il valore della somma iniziale. 5

6 Consideriamo quindi: M = C + I I = M C dove: M = Montante C = Capitale I = Interessi 6

7 2 Fattore di montante Si chiama Legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t) accumulato al tempo generico t (partendo) da un capitale iniziale C. M(t) = F (C; t) (1) Tale espressione indica in formula matematica il fatto che il Montante sia funzione di due elementi: Capitale e Tempo. Essere funzione di "qualcosa" vuol dire dipendere da variabili e precisamente da Capitale e Tempo. Il valore di un capitale C cambia nel tempo. La misura della variazione del valore è data proprio dal Fattore di Montante M(t). La "t" in M(t) esprime il numero di periodi per cui viene spostato il capitale. Il Montante viene stimato attraverso alcune leggi che ci permettono di valutare in termini monetari l interesse LEGGE FINANZIARIA DI CAPITA- LIZZAZIONE grazie ai seguenti postulati: 1. Esiste un Montante per ogni C 6= 0 (In linguaggio matematico 9 un M(t) 8 C 6= 0); 2. Se t = 0! M = C; 3. t 2 > t 1 ; M 2 > M 1 ; 4. Montante direttamente proporzionale a C; Il Fattore di Montante remunera il tempo per il quale si sta cedendo il denaro oggi. Il Fattore di Montante è da considerarsi come un ricavo. Ci sono tre condizioni affinché una funzione possa essere considerata un fattore di montante: f definita tra 0 e T (significa che si considerano solo tempi positivi); f(0) = 1 (significa che se investo 1e e immediatamente dopo lo disin-vesto ottengo lo stesso identico capitale investito. Niente di più, niente di meno); f 0 (t) 0 (significa che la funzione NON E DESCRESCEN T E. Inoltre la sua derivata prima (f ) deve essere non-negativa, quindi maggiore/uguale di 0); 7

8 * Dire "Non decrescente" è diverso da dire crescente poiché ciò che interessa a chi investe il denaro per un determinato periodo è che il montante non diminuisca. Potrebbe rimanere nella peggiore delle ipotesi uguale ma mai diminuire, sarebbe illogico, del tutto irrazionale. Il tasso d interesse del periodo è derivato dalla seguente equazione: i(t) = I(t) C Continua

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