Appunti di matematica Percorso

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1 Gioia Setti Appunti di matematica Percorso Matematica finanziaria

2 Gioia Setti Appunti di matematica Percorso Matematica finanziaria

3 internet: Redattore responsabile: Tecnico responsabile: Redazione: Progetto grafico: Copertina: Impaginazione e prestampa: Stefano Ganci Gianluigi Ronchetti Edistudio - Milano Studio Talarico Simona Corniola Compos 90 s.r.l. - Milano Art Director: Nadia Maestri Proprietà letteraria riservata 2011 De Agostini Scuola SpA Novara 1ª edizione: gennaio 2011 Printed in Italy CEDAM Scuola è un marchio registrato e concesso in licenza da Wolters Kluwer Italia s.r.l. a De Agostini Scuola SpA. Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Dea Picture Library, istockphoto Excel è un marchio registrato della Microsoft Corp. L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941 n.633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO Corso di Porta Romana, Milano Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei supporti multimediali o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica Stampa: A.G.F. Italia Peschiera Borromeo (Mi) Ristampa Anno

4 Indice Unità 1 Unità 2 Introduzione VII IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE 1 TEORIA 1 La capitalizzazione semplice 2 2 La capitalizzazione frazionata 7 3 Lo sconto razionale 8 4 Lo sconto commerciale 12 5 Il tasso di sconto 13 ESERCIZI S.O.S. Sintesi 14 Verifica 23 TIME OUT RECUPERO 25 INFORMATH RISOLUTORE DI PROBLEMI PER IL MONTANTE 26 INFORMATH RISOLUTORE DI PROBLEMI PER IL VALORE ATTUALE RAZIONALE 28 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA 31 TEORIA 1 La capitalizzazione composta 32 2 Confronto tra le due leggi di capitalizzazione 34 3 La capitalizzazione frazionata 37 4 Lo sconto composto 38 5 Confronto tra le leggi di sconto razionale e sconto composto 40 6 Una caratteristica del regime di capitalizzazione composta: la scindibilità 41 7 Equivalenza finanziaria 42 ESERCIZI S.O.S. Sintesi 45 Verifica 52 TIME OUT RECUPERO 55 Unità Unità Appendice 3 4 LE RENDITE 61 TEORIA 1 Che cos è una rendita 62 2 Il montante di una rendita annua temporanea 62 3 Il valore attuale di una rendita annua temporanea 64 4 Le rendite perpetue 67 5 Le rendite frazionate 68 6 Problemi inversi 68 7 Il tasso 0 73 ESERCIZI S.O.S. Sintesi 74 Verifica 80 TIME OUT RECUPERO 83 INFORMATH COME REALIZZARE LE TAVOLE FINANZIARIE PER IL CALCOLO DEI VALORI DI a ni E s ni 84 AMMORTAMENTI 87 TEORIA 1 Rimborso di un capitale 88 ESERCIZI S.O.S. Sintesi 93 Verifica 96 TIME OUT RECUPERO 101 INFORMATH IL PIANO DI AMMORTAMENTO MEDIANTE EXCEL 102 APPENDICE Il principio di induzione L interpolazione lineare Formule utili per i piani di ammortamento 115 INFORMATH RISOLUTORE DI PROBLEMI PER LA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA 56 INFORMATH RISOLUTORE DI PROBLEMI PER LO SCONTO COMP0STO 58

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6 Guida all uso L esposizione della TEORIA è semplice e lineare e si avvale di numerosi accorgimenti per facilitare lo studio. Le Definizioni sono evidenziate, per rendere agevole l individuazione e la memorizzazione. Ogni concetto teorico è accompagnato da esempi che ne chiariscono l applicazione. Gli errori più comuni vengono resi espliciti attraverso richiami a margine. Le rubriche Memo a margine del testo richiamano i concetti teorici pregressi. Le schede Focus offrono spunti di approfondimento. Al termine della parte teorica la sezione S.O.S. Sintesi consente allo studente di ripassare tutti i concetti e le formule incontrati, prima di affrontare le serie di problemi ed esercizi. Gli ESERCIZI e i PROBLEMI (con soluzione a lato), organizzati per argomento e ispirati a problematiche quotidiane reali, vengono introdotti da Esercizi svolti. Le Verifiche permettono allo studente di mettere alla prova la propria preparazione. Le schede Timeout Recupero presentano un ulteriore serie di esercizi pensati per chi ha più difficoltà a superare i punti critici della teoria. La serie completa di esercizi, di cui ogni unità presenta una pagina campione, è consultabile e scaricabile dal sito web La sezione Informath, al termine di ciascuna unità, fornisce importanti indicazioni pratiche sull utilizzo del foglio elettronico per l impostazione e la risoluzione di problemi di matematica finanziaria. Nel sito sono disponibili risorse didattiche aggiuntive nell area contrassegnata dal simbolo

7 Introduzione TEORIA VII Introduzione Che cos è la matematica finanziaria Spesso nella vita ci troviamo nella necessità di operare una scelta fra varie alternative di carattere finanziario. Se voglio comprare un motorino del costo di 3200 euro, mi vengono proposte di solito varie possibilità di finanziamento. Ad esempio potrei versare una certa somma alla consegna più un numero di rate mensili di un certo importo per la durata di 3 anni; in alternativa potrei pagare interamente con il versamento di rate semestrali sempre per la durata di 3 anni. Qual è per me l alternativa più conveniente? Le due alternative sono equivalenti? Vediamo un altro esempio: ho bisogno di un mutuo per comprare la casa. Anche in questo caso potrò scegliere il modo di rimborso: rate costanti annue per la durata di 10 anni oppure potrò pagare annualmente soltanto l interesse sulla somma ricevuta e restituire tutta la somma con un unico versamento fra 10 anni. Anche in questo caso, qual è l alternativa a me più favorevole? Un esempio ancora: ho a disposizione una certa somma, supponiamo euro, e voglio investirla. Mi vengono proposte diverse soluzioni: potrò vincolare il mio denaro e ricevere fra 3 anni euro oppure vincolarlo più a lungo, per 5 anni, e ricevere alla fine euro. Ancora una decisione da prendere! La matematica finanziaria ci offre gli strumenti per poter effettuare una scelta razionale in questi e in altri tipi di problema; si potrebbe dire che ci insegna a dare un valore ai soldi. È immediato accorgersi che 100 euro oggi sono preferibili a 100 euro che saranno disponibili fra 2 anni! Ma che cosa preferire fra 100 euro oggi e 120 fra 2 anni, ovviamente nel caso in cui il bisogno di contante non sia immediato? In realtà, per poter valutare una somma di denaro è necessario sapere anche quando tale somma diverrà disponibile. La matematica finanziaria si occupa proprio di dare una valutazione dei capitali in relazione al tempo. Il valore effettivo di un capitale diviene in effetti, come vedremo, una funzione del tempo. L interesse, il montante, lo sconto, il valore attuale Chi possieda una somma C, se ne cede la disponibilità ad altri per un certo periodo di tempo, ha diritto a un compenso. A questo compenso viene dato il nome di interesse. Questa somma verrà aggiunta alla somma iniziale nel momento del rimborso e la somma effettivamente incassata prende il nome di montante. Quindi: interesse è il compenso che spetta a chi cede la disponibilità di un suo capitale ad altri per un certo periodo di tempo (il simbolo comunemente usato è I); montante è la somma del capitale iniziale con l interesse (il simbolo usato è M).

8 VIII TEORIA INTRODUZIONE Si ha subito che: M = C + I Chi d altra parte anticipa il pagamento di un debito di importo C, che scadrebbe dopo un certo periodo di tempo, ha diritto a un compenso che va a diminuire la somma da versare. In questi casi si opera uno sconto (il simbolo usato è S) e la somma scontata viene detta valore attuale (il simbolo usato è V). L ammontare del debito alla scadenza viene detto valore nominale (il simbolo è C). Si ha subito che: V = C S L asse dei tempi Da quanto detto si può comprendere come il tempo sia di fondamentale importanza nelle operazioni finanziarie, che vengono spesso schematizzate facendo ricorso all asse dei tempi, che è semplicemente una retta orientata, dove vengono rappresentati i numeri interi. Con lo 0 si indica il tempo presente (oggi), con i numeri positivi il tempo futuro, così +1 (o anche 1 senza segno) indica tra un anno, 2 indica 2 anni fa e così via, come si vede dal grafico ( fig. 1) tempo oggi figura 1 Vedremo più avanti le modalità per il calcolo effettivo dell interesse o dello sconto. Notiamo già che il valore di un capitale C viene in effetti aumentato o diminuito di un certo importo se la sua disponibilità viene spostata nel tempo. La variazione prende il nome di interesse se il capitale risulterà disponibile in un epoca successiva e di sconto se il capitale diviene disponibile in un epoca precedente, come si può vedere dallo schema. a) Capitalizzazione. Un capitale C disponibile a una certa scadenza viene impiegato per un tempo t: dopo questo tempo al capitale va aggiunto l interesse I, quindi il valore del capitale diventa C + I, cioè M (fig. 2). C M=C+I tempo figura 2 b) Attualizzazione. Un capitale C esigibile a una certa scadenza diviene disponibile in un epoca precedente, cioè con un tempo t di anticipo: il capitale viene diminuito dello sconto S, quindi il valore del capitale diventa C S, cioè V (fig. 3). V=C S C tempo figura 3

9 Introduzione TEORIA IX Il calcolo dell interesse e del montante Il calcolo dell interesse e del montante di una certa somma C dovrà tener conto del tempo di impiego, ovvero del tempo in cui viene ceduta ad altri la disponibilità della somma, e del cosiddetto tasso di interesse, cioè dell interesse dovuto sull unità di denaro, 1 euro, nell unità di tempo, di solito l anno. Questo tasso in matematica finanziaria si indica con i e si esprime in percentuale (per esempio 3%) o anche come numero decimale (per esempio 3% diventa 0,03; 0,4% diventa 0,004). L interesse dovrà crescere all aumentare del tempo di impiego e valere 0 per t = 0. Il grafico della funzione interesse al variare di t potrebbe essere uno qualunque dei seguenti ( fig. 4). interesse (I) interesse (I) interesse (I) tempo (t) tempo (t) tempo (t) figura 4 Il grafico della funzione montante, essendo M = C + I, sarà allora traslato verso l alto della quantità C, ovvero sarà uno dei seguenti ( fig. 5). montante (M) montante (M) montante (M) tempo (t) tempo (t) tempo (t) figura 5 Nella realtà ci sono essenzialmente due modalità per il calcolo dell interesse. Si parla infatti di regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta, a seconda del modo di calcolare l interesse su una certa cifra impiegata per un determinato tempo. In pratica, il primo viene usato per i brevi periodi di tempo, di solito inferiori all anno, il secondo per periodi più lunghi.

10 Il regime di capitalizzazione semplice Unità 1 Prerequisiti Saper risolvere equazioni di primo grado. Obiettivi Saper calcolare interesse e montante in regime di capitalizzazione semplice. Saper calcolare sconto e valore attuale. Saper risolvere i problemi inversi. Conoscere e saper usare i tassi equivalenti.

11 TEORIA 2 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE 1. La capitalizzazione semplice L interesse è considerato proporzionale al tempo t di impiego, al tasso i e alla somma investita C. Si ha la formula: I = C i t (1) Il montante sarà allora: M = C + I = C + C i t o anche, mettendo in evidenza C, M = C (1 + i t) (2) Rappresentiamo graficamente l interesse I e il montante M in funzione del tempo t. Il grafico di I è una retta passante per l origine ( fig. 1.1), mentre il grafico di M è una retta che non passa dall origine ( fig. 1.2), ottenuta traslando il grafico precedente verso l alto della quantità C. interesse (I) montante (M) tempo (t) figura 1.1 tempo (t) figura 1.2 Fissiamo bene le idee: il tasso i è l interesse su 1 euro per 1 anno; si chiama anche tasso unitario annuo e viene espresso in percentuale o in numero decimale; il tempo t è il tempo di impiego della somma C e si misura in anni. Se il tempo di impiego non è intero, per esempio se una somma viene investita per 3 anni, 2 mesi e 20 giorni, t deve comunque essere espresso in anni. Ricordiamo che l anno commerciale viene considerato di 360 giorni e ogni mese di 30 giorni, per cui 1 giorno = 1 di anno e mese = 1 di anno. 12 Così, 3 anni (simbolo: a), 2 mesi (m) e 20 giorni (g) diventa in anni: 3a 2m 20g a = ` + + a a j = ` j = ` 18 j = = 58 a = 29 a 18 9 I è l interesse complessivo; C è il valore iniziale del capitale; M è il montante, dato dalla somma di C e I. Definizione Il fattore (1 + i t) viene detto fattore di capitalizzazione semplice: moltiplicando per (1 + i t) un capitale C otteniamo il valore del capitale aumentato dell interesse, ossia il capitale viene portato avanti nel tempo.

12 1. La capitalizzazione semplice TEORIA 3 ESEMPIO 1 Calcola l interesse semplice su un capitale di 2000 impiegato per 5 anni al 6%. I dati sono: C = 2000, t = 5a, i = 6% = 0,06. Usiamo la formula (1) I = C i t. Otteniamo: I = ,06 5 = Calcola l interesse semplice su un capitale di 3000 impiegato per 3 anni, 2 mesi e 15 giorni al 4%. I dati sono: C = 3000, i = 0,04, t = 3a 2m 15g. Il tempo t va espresso in anni: t a = a a 77 ` + + a j = ` + + = = 6 24 j Usiamo la formula I = C i t. Otteniamo: I = 3000 $ 0, 04 $ 77 = Calcola il montante di un capitale di 10000, impiegato per 4 anni al 2,5%. I dati sono: C = , t = 4a, i = 2,5% = 0,025 Usiamo la formula: M = C (1 + it). Otteniamo: M = (1 + 0,025 4) = Calcola il montante di un capitale di 3000 impiegato per 3 anni, 3 mesi e 10 giorni al 5%. I dati sono: C = 3000, i = 0,05, t = 3a 3m 10g Il tempo t va espresso in anni: t a = a a 118 a 59 ` + + a j = ` + + = = = 4 36 j Usiamo la formula M = C (1 + it). Otteniamo: M = 3000 $ 1 0, ` + $ = 3491, j FOCUS Per effettuare i calcoli usiamo solitamente una calcolatrice scientifica, cioè una calcolatrice che dispone di vari tasti comprendenti i tasti di funzione, tra i quali quelli che permettono di calcolare una potenza qualunque, o una radice di indice qualunque, o un logaritmo, o un esponenziale. In realtà i tasti sono parecchi di più e vengono usati per diverse applicazioni. I tasti che dovrai usare sono naturalmente quelli di operazione (,,, ), e anche quelli di potenza ( ) yx oltre che di logaritmo. Sappiamo bene qual è l ordine delle operazioni da eseguire in un espressione. Per esempio, se voglio calcolare l espressione , eseguirò per prima la potenza: avrò quindi ; successivamente la moltiplicazione: ; e solo alla fine l addizione: 53.

13 TEORIA 4 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Ebbene, la calcolatrice scientifica è programmata in modo tale che i calcoli indicati siano svolti esattamente come si deve, non è necessario inserire parentesi o procedere con risultati parziali come abbiamo fatto ora! In altre parole, basta impostare il calcolo tutto di seguito, cioè digitare i tasti yx per ottenere subito il risultato esatto, cioè Prendiamo in esame un altra espressione, per esempio Procedendo al calcolo manuale ottengo: = 24 = Se imposto sulla calcolatrice il calcolo digitando tutto di seguito, cioè yx, il risultato non è più quello cercato, perché la calcolatrice dà il valore 20. In effetti la calcolatrice non ha sbagliato perché ha eseguito correttamente per prima la potenza, poi la divisione e infine la somma! In questo caso, però, è necessario ricorrere alle parentesi, perché vogliamo che una somma venga eseguita prima di una divisione, contrariamente alle precedenze stabilite fra le operazioni. Dobbiamo quindi impostare i calcoli in questo modo: yx. Va detto che c è un altro modo più semplice e svelto per avere lo stesso risultato: si imposta il calcolo al numeratore, senza bisogno di parentesi: yx ; a questo punto si digita per fissare il risultato e infine si digita l ultima operazione:. Facciamo ancora un esempio: se voglio calcolare l espressione 15, dato 2 $ 4 che la moltiplicazione al denominatore va eseguita per prima, dovrò usare anche in questo caso le parentesi e digitare:, oppure, senza parentesi, dovrei digitare:. Saper usare bene la calcolatrice è importante per risparmiare tempo, ma anche per la precisione del calcolo: una calcolatrice scientifica è programmata per dare risultati accurati, con molte (di solito più di 10) cifre decimali esatte, cifre che si perdono se siamo abituati a ricorrere a risultati parziali che vengono di volta in volta approssimati. Così, se dobbiamo calcolare il montante di una somma di 1500, impiegata al 6% per 3 anni e 5 mesi, usando la formula (2), M = , 06 $ ` + 12 jb potremo digitare tutto di seguito sulla calcolatrice, cioè ottenendo il risultato finale pari a 1807,50. Oppure potremo anche svolgere il calcolo, senza usare le parentesi, iniziando dalla parentesi più interna e procedendo come si farebbe nel calcolo manuale; ma attenzione, ogni risultato parziale va fissato premendo. Il calcolo verrebbe impostato così: 1807,50. Problemi inversi La formula dell interesse fornisce una relazione tra le quantità C, i, t, I e quella del montante fornisce una relazione tra le quantità C, i, t, M. In entrambi i casi, note tre delle quattro quantità in gioco, possiamo ricavare la quarta risolvendo una semplice equazione di primo grado.

14 1. La capitalizzazione semplice TEORIA 5 I risultati ottenuti sono di solito numeri decimali che arrotonderemo con due cifre decimali se si tratta di capitali, con almeno quattro se l incognita ricavata è il tempo o il tasso. Notiamo che, se l incognita è il tempo, il risultato ottenuto risolvendo l equazione va trasformato in anni, mesi, giorni. Vediamo un esempio. ESEMPIO Vogliamo trasformare in anni, mesi, giorni il tempo t = 2,324, che come al solito è espresso in anni, cioè t = 2,324a. Questo tempo è compreso tra 2 e 3 anni, quindi la parte intera del numero è il numero di anni. Per la parte decimale osserviamo che 0,324 anni equivale a 324 di 1000 anno; per calcolare i giorni, dato che 1 giorno = 1 di anno, ci chiediamo a quanti trecentosessantesimi equivalgono Si tratta di risolvere una proporzione: da cui ricaviamo l incognita: x : 360 = 324 : 1000 x = 324 $ 360 = 324 $ 360 = 0, 324 $ 360 = 116, Il numero di giorni è allora 116,64 che, dovendo essere intero, arrotondiamo a 117. Nota che, in definitiva, è bastato moltiplicare la parte decimale del numero, cioè 0,324, per 360. Il tempo è allora pari a 2 anni e 117 giorni. Se vogliamo i mesi divideremo 117 per 30: il quoziente (3) è il numero di mesi e il resto (27) il numero di giorni residuo. In definitiva: 2,324a = 2a 3m 27g. 1 MEMO Arrotondare con un certo numero di cifre decimali significa togliere la parte decimale eccedente, lasciando inalterata l ultima cifra, se la prima cifra decimale cancellata è inferiore a 5, incrementando l ultima cifra di 1 se la prima cifra decimale cancellata è maggiore o uguale a 5. Regola pratica: se il tempo non è intero, la parte intera del numero rappresenta gli anni, la parte decimale viene moltiplicata per 360: il risultato arrotondato è il numero di giorni, che volendo possiamo esprimere in mesi e giorni. Così per esempio 4,352a equivale a 4 anni e 0, = 127 giorni o anche 4 anni, 4 mesi e 7 giorni. Per indicare le incognite di un equazione non useremo x, y o altre lettere, come solitamente avviene, ma manterremo i simboli delle grandezze implicate. ESEMPI 1 Calcola per quanto tempo deve essere impiegato un capitale di per fruttare un interesse di 100 al tasso del 3,5%. I dati sono: I = 100, i = 3,5% = 0,035, C = Usiamo la formula (1). Sostituiamo i dati e otteniamo l equazione: 100 = ,035 t

15 TEORIA 6 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Quindi: t = 100 = 0, 1905 a $ 0, 035 Avremo allora t = 0,1905a = 0 anni e 0, = 69 giorni, cioè t = 2 mesi e 9 giorni. 2 Calcola a quale tasso viene investito un capitale di che frutta in 3 anni l interesse di 425. I dati sono: I = 425, t = 3a, C = Usiamo la formula I = C i t. Sostituiamo i dati e otteniamo l equazione: 425 = i 3 Quindi: i = 425 = 0, 0071 ovvero i = 0,71% $ 3 3 Calcola per quanto tempo deve essere impiegato un capitale di al tasso del 2,5% per ottenere un montante di I dati sono: M = , i = 2,5% = 0,025, C = Usiamo la formula (2). Sostituiamo i dati e otteniamo l equazione: = (1 + 0,025 t). Svolgendo i calcoli otteniamo successivamente = t 875 t = t = = 5,7143 a 875 Avremo allora t = 5,7143 a = 5 anni e 0, = 257 giorni, cioè 5 anni, 8 mesi e 17 giorni. 4 Calcola a quale tasso un capitale di 2500 impiegato per 1 anno e 4 mesi dà un montante di I dati sono: M = 2650, t = 1a 4m, C = 2500 Usiamo la formula (2). Sostituiamo i dati e otteniamo l equazione: 2650 = i ` + 12 jb Svolgendo i calcoli otteniamo successivamente 2650 = 2500 $ 1 4 ` + i 3 j , 33i = 2650 i = , 33 = 0,045 ovvero 4,5%

16 2. La capitalizzazione frazionata La capitalizzazione frazionata Qualche volta, visto che la capitalizzazione semplice riguarda di norma i brevi periodi, il tasso di interesse viene riferito non all anno intero, ma a una sua parte o frazione. Si parla così di tasso semestrale, se il periodo di riferimento è il semestre, di tasso quadrimestrale se il periodo è il quadrimestre, e così via. Questi tassi di interesse, che esprimono l interesse unitario, ovvero l interesse fruttato da 1 impiegato per la parte di anno considerata, si chiamano tassi frazionati e si indicano con i k, dove k indica il numero di periodi contenuti in un anno. Quindi: i 2 è il tasso relativo a 1 di anno (un semestre) ovvero è il tasso 2 semestrale, i 3 è il tasso relativo a 3 1 di anno (un quadrimestre) ovvero è il tasso quadrimestrale, i 4 è il tasso trimestrale, i 6 il tasso bimestrale, i 12 il tasso mensile. Le formule dell interesse e del montante rimangono le stesse, ma occorre fare attenzione al tempo, che deve essere espresso in frazioni di anno. Basterà moltiplicare il tempo in anni per il numero di periodi in un anno. TEORIA 7 ESEMPIO Vogliamo esprimere in semestri un tempo t = 2 anni, 4 mesi e 15 giorni: t = a s 19 ` + + $ s 2, j = ` + + = = j semestri 8 Se avessimo voluto esprimere il tempo in trimestri avremmo avuto: t = ` + + $ 4 tr = j 9,5 trimestri Per il calcolo del tempo (vedi il paragrafo precedente) sappiamo che per trasformare il tempo espresso come numero decimale, in anni e giorni, la parte intera è il numero degli anni e la parte decimale va moltiplicata per 360 per ottenere i giorni. In modo del tutto analogo, nella capitalizzazione frazionata la parte intera darà il numero di frazioni di anno, ovvero i semestri, quadrimestri, e la parte decimale verrà moltiplicata per il numero di giorni del periodo, cioè per 180 se si tratta di semestri, per 120 se si tratta di quadrimestri, ESEMPIO Calcoliamo il tempo necessario affinché un capitale di frutti l interesse di 350 al tasso trimestrale del 2%. I dati sono: I = 350, i 4 = 2% = 0,02, C = Usiamo la formula (1), sostituendo i 2 al posto di i: I = C i 2 t. Sostituiamo i dati e otteniamo l equazione: 350 = ,02 t Quindi: t = 350 = 1,875s $ 0, 02 Avremo allora t = 1,875 semestri, cioè 1 semestre e 0, = 158 giorni; quindi 1 semestre, 5 mesi e 8 giorni.

17 TEORIA 8 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Confronto fra tassi Tassi equivalenti Se vogliamo investire un capitale è naturale cercare di investirlo in modo che questo frutti il maggior interesse: tra due tassi di interesse relativi allo stesso periodo sceglieremo senza dubbio il maggiore! Ma che decisione prendere se i due tassi sono riferiti a periodi diversi? Potrebbe essere indifferente la scelta tra due impieghi? Due tassi sono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per lo stesso periodo di tempo, danno lo stesso interesse (e quindi lo stesso montante). Nella capitalizzazione semplice la relazione tra tasso annuo e tasso frazionato equivalenti è immediata. Infatti: i è l interesse su 1 per 1 anno. Quando la capitalizzazione è frazionata, 1 impiegato per il periodo di 1 di k anno dà l interesse i k, ma 1 anno = k periodi, per cui l interesse fruttato in un anno al tasso i k sarà, secondo la formula (1), I = C i k t, dove t è espresso in frazioni di anno, cioè I = 1 i k k = i k k. Uguagliando i due interessi avremo subito: i = k i k (3) ESEMPIO È più conveniente impiegare un capitale al 3,15% trimestrale oppure al 4,25% quadrimestrale? Riferiamo i tassi allo stesso periodo e calcoliamo i tassi annui equivalenti: i 4 = 3,15% è equivalente al tasso annuo i = k i k = 4 3,15% = 12,6% i 3 = 4,25% è equivalente al tasso annuo i = k i k = 3 4,25% = 12,75% Il tasso da preferire è allora quello quadrimestrale. 3. Lo sconto razionale Come si è già accennato nell Introduzione, si parla di sconto quando il pagamento di una somma viene anticipato rispetto alla scadenza. Per esempio, si estingue anticipatamente un debito oppure, avendo un credito da riscuotere in futuro, cediamo ad altri il diritto a riscuotere il nostro credito ottenendo anticipatamente una somma inferiore a quella riferita alla scadenza. A ogni regime di capitalizzazione corrisponde una legge di sconto. Alla capitalizzazione semplice corrisponde la legge dello sconto razionale. Nei problemi di sconto le quantità in gioco sono: il valore della somma riferita alla scadenza o valore nominale, che si indica con C; il tasso di interesse i (o i k se ci si riferisce a frazioni di anno); il tempo di anticipo rispetto alla scadenza, che si indica al solito con t (espresso in anni o in frazioni di anno, sempre in accordo con il tasso di interesse usato); il valore scontato, cioè quello effettivamente pagato o riscosso prima della scadenza, detto somma scontata o valore attuale, che si indica con V; lo sconto, cioè la differenza tra valore nominale e valore attuale, che si indica con S.

18 1. 3. Lo sconto razionale TEORIA 9 Nel regime di sconto razionale il valore attuale di un capitale C esigibile dopo un tempo t è la somma V r che, se venisse impiegata a interesse semplice per il tempo t di anticipo rispetto alla scadenza, darebbe esattamente un montante uguale a C. Quindi, il valore nominale C è il montante del valore attuale V r. Ricordando la formula del montante in capitalizzazione semplice, cioè M = C (1 + i t), avremo che: C = V r (1 + i t) (4) e, ricavando V: V C r = 1 + it (5) La differenza tra valore nominale e valore attuale è lo sconto razionale S r : S C V C C r = r = 1 + it Riduciamo allo stesso denominatore e svolgiamo i calcoli: S r = C^1 + i th C C+ C i t C = = Cit 1 + it 1+ it 1 + it e quindi: S Cit r = (6) 1 + it La (6) può anche essere scritta così: S r = Cit = C $ it= V it 1 + it 1 + it r cioè: S r = V r i t (7) Quindi lo sconto razionale è l interesse sul valore attuale. Definizione Il fattore 1 è detto fattore di sconto razionale: moltiplicando il valore 1 + it di un capitale C per 1 otteniamo la somma scontata, ovvero il valore del 1 + it capitale C viene portato indietro nel tempo. Rappresentiamo graficamente l andamento del valore attuale V r ( fig. 1.3) e dello sconto S r (fig. 1.4) in funzione del tempo t. valore attuale razionale (V r ) tempo (t) sconto razionale (S r ) figura 1.3 tempo (t) figura 1.4

19 TEORIA 10 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE ESEMPI 1 Il valore nominale di un credito è 10000, da riscuotere fra 3 anni. Il credito viene ceduto oggi. Se il regime di sconto è quello razionale e il tasso di interesse usato è il 2%, qual è la somma riscossa oggi? Viene riscossa oggi quella somma che, impiegata per 3 anni al tasso convenuto i, darebbe il montante di 10000, cioè il valore attuale V r. I dati sono: valore nominale C = 10000, tempo di anticipo t = 3a, i = 2%. Usiamo la formula (5): V C r = = = 9433, it 1 + 0, 02$ 3 La differenza tra valore nominale e valore attuale è lo sconto risultante, cioè ,96 = 566,04. Per ottenere direttamente lo sconto si poteva usare la formula (6):, S Cit $ 0 02 $ 3 r = = = 566, it 1+ 0, 02$ 3 2 Una cambiale del valore nominale di 2500, scadente fra 3 anni e 6 mesi viene scontata razionalmente al tasso del 4%. Calcola la somma scontata e lo sconto razionale. I dati sono: C = 2500, t = 3a 6m, i = 2%. Il tempo va espresso in anni: t = 3+ 6 = 3+ 1 = 7 a Usiamo la formula (5): V C 2500 r = = = 2192, it 1+ 0, 04$ 7 2 Lo sconto è dato da: S r = ,98 = 307,02 3 Un debito di 3000, scadente tra 5 anni, viene saldato oggi. Calcola la somma scontata se il tasso usato è il 2,1% trimestrale. I dati sono: C = 3000, t = 5a, i 4 = 2,1%. Il tempo va espresso in semestri: t = 5 2 = 10 s. Usiamo la formula (5): V C 3000 r = = = 2479, it 1 + 0, 021 $ 10 S r = ,34 = 520,66 4 Un debito viene saldato 6 mesi prima della scadenza col versamento di Lo sconto applicato è quello razionale al tasso del 3,2%. Calcola il valore nominale del debito e lo sconto. I dati sono: V r = 13000, i = 3%, t = 6m. Il tempo va espresso in anni: 6m = 6 = 1 a 12 2 Usiamo la formula (4): C = V 1 i t , 03 1 ^ + h = ` + = j r $ Lo sconto applicato è: S r = = 195

20 1. 3. Lo sconto razionale TEORIA 11 Problemi inversi Le quantità in gioco nei problemi di sconto sono C, V r, S r, i, t. In realtà le formule viste sopra esprimono relazioni fra quattro delle cinque quantità: note allora tre delle variabili che compaiono in una delle formule, si può sempre ricavare la quarta risolvendo un equazione di primo grado. ESEMPI 1 Calcola la scadenza di un debito di 2200, che è stato saldato oggi con il versamento di 2000 al tasso del 15%. I dati sono: V r = 2000, C = 2200, i = 15%. Usiamo la formula C = V r (1 + i t) e sostituendo i dati otteniamo: 2200 = 2000 (1 + 0,15 t) Svolgiamo i calcoli: 2200 = $ 0,15 t t = = 0,6667 a = 0,667 $ 360 = 240g = 8 mesi 2000 $ 0, 15 2 Ho diritto a riscuotere 8000 fra 3 mesi e 15 giorni. Oggi posso ricavare, scontando razionalmente il mio credito, 7729,47. Calcola il tasso applicato. I dati sono: C = 8000, V r = 7729,47, t = 3m 15g. Il tempo va espresso in anni: 3m15g = 3 15 a 7 ` + = a j 24 Usiamo ancora la formula C = V r (1 + i t) e sostituendo i dati otteniamo: 8000 = 7729, 47 $ 1 7 ` + i 24 j Svolgiamo i calcoli: 8000 = 7729, , 43 i , 47 i = = 12% 2254, 43 3 Una cambiale del valore nominale di 2000 è scontata oggi razionalmente al tasso quadrimestrale del 2%. Calcola la scadenza, sapendo che lo sconto è stato pari a 150. I dati sono: C = 2000, i 3 = 2%, S r = 150. Possiamo calcolare il valore attuale: V r = = 1850 Usiamo la formula S r = V r i t e sostituendo i dati otteniamo: 150 = ,02 t, dove t sono i quadrimestri. Quindi: t = 150 = 4, 0541q = 4, 0541 $ 120 = 486g 1850 $ 0, 02 o anche: 0,486g = 1a 4m 6g.

21 TEORIA 12 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE 4. Lo sconto commerciale Per periodi brevi di tempo, di solito inferiori all anno, viene spesso usato anche lo sconto commerciale, indicato con S c, che viene calcolato come interesse sul valore nominale, cioè: S c = C i t (8) C indica il valore nominale, i il tasso di interesse, t il tempo di anticipo rispetto alla scadenza, calcolato come sempre in accordo col tasso. Il valore attuale o somma scontata è allora V c = C S c = C C i t e, mettendo in evidenza C, si ha: V c = C (1 i t) (9) Definizione Il fattore (1 i t) viene detto fattore di sconto commerciale: moltiplicando per (1 i t) il valore del capitale C otteniamo la somma scontata, ovvero il capitale viene portato indietro nel tempo. ATTENZIONE! Come si è detto, lo sconto commerciale si usa per brevi periodi. In effetti se consideriamo la formula del valore attuale, si può vedere che per t > i 1 il fattore (1 i t) diventa negativo, e questo è assurdo. Rappresentiamo graficamente l andamento dello sconto commerciale S c ( fig. 1.5) e del valore attuale commerciale V c ( fig. 1.6) in funzione del tempo t. sconto commerciale (S c ) tempo (t) val. attuale commerciale (V c ) figura 1.5 tempo (t) figura 1.6 ESEMPI 1 Una cambiale di 2000 viene scontata commercialmente 3 mesi prima della scadenza al tasso del 5%. Calcola lo sconto commerciale e la somma scontata. I dati sono: C = 2000, i = 5%, t = 3m = 3 = 1 a Usiamo la formula (8): S c = C i t = , = 15 Calcoliamo ora la somma scontata: V c = C S = = Per l acquisto di un computer vengono richiesti 500 alla consegna ed 400 dopo 4 mesi. Calcola quale somma si dovrebbe pagare interamente alla consegna, se viene applicato sul versamento futuro lo sconto commerciale al tasso del 3%.

22 1. 5. Il tasso di sconto TEORIA 13 L importo da pagare è dato dalla somma di 500 con il valore scontato per 4 mesi di 400. Il tempo, come al solito, va espresso in anni: t = 4m = 4 = 1 a 12 3 L importo da versare sarà quindi: $ 1 0, 03 1 ` $ = = 3 j 896 FOCUS Lo sconto commerciale, essendo l interesse sul valore nominale C, risulta sempre maggiore dello sconto razionale, calcolato allo stesso tasso e per lo stesso tempo. Infatti lo sconto razionale è l interesse sul valore attuale (o somma scontata) V r ; ma sappiamo che V r < C e l interesse semplice è direttamente proporzionale alla cifra sulla quale è calcolato. Quindi, S c > S r e di conseguenza V c < V r. La relazione tra gli sconti si osserva anche dal grafico dell andamento dei due sconti in funzione del tempo per lo stesso tasso i ( fig. 1.7). sconto (S) sconto commerciale tempo (t) sconto razionale figura Il tasso di sconto Si chiama tasso di sconto lo sconto unitario annuo, cioè lo sconto calcolato sul capitale unitario di 1 per un tempo di anticipo rispetto alla scadenza di 1 anno. Il simbolo usato è d. Se consideriamo lo sconto razionale abbiamo, sostituendo 1 sia a t sia a C, S r = Cit " d i 1 it r = i Se consideriamo lo sconto commerciale abbiamo, con le stesse sostituzioni: S = C i t " d = i c Il tasso di sconto commerciale risulta esattamente uguale al tasso i di interesse, mentre il tasso di sconto razionale risulta leggermente inferiore. Osserviamo infatti che il denominatore della frazione i è maggiore di 1 + i 1, essendo i una quantità positiva! c 1 MEMO Nei problemi, quando si parla semplicemente di tasso ci si riferisce al tasso di interesse i, mentre se si vuole indicare il tasso di sconto, esso viene sempre espressamente specificato.

23 ESERCIZI 14 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE S.O.S. Sintesi L interesse I è il compenso che spetta a chi cede ad altri la disponibilità di una somma C per un certo tempo t. Il montante M è la somma del capitale C con l interesse I: M = C + I Con i si indica il tasso unitario di interesse, cioè l interesse sul capitale di 1 impiegato per 1 anno. Nella capitalizzazione semplice i è dato dal prodotto C i t. Il tempo t è il tempo di impiego e va espresso in anni. Il montante diventa allora: M = C (1 + i t) Se il tasso unitario è riferito a una frazione pari a 1 di anno si parla di tasso frazionato, e si indica con ik. k La relazione che lega i a i k è: i = k i k Se si usa il tasso unitario frazionato i k, il tempo deve essere espresso in frazioni di anno. Lo sconto S è il compenso che spetta a chi anticipa la disponibilità di un capitale prima della sua scadenza, Il valore nominale C è il valore del capitale alla scadenza. Il valore attuale o somma scontata V è la differenza fra valore nominale e sconto: V = C S Con i si indica il tasso unitario di interesse annuo, con i k il tasso di interesse relativo a 1 di anno. k Con t si indica il tempo di anticipo rispetto alla scadenza, che va espresso in anni o frazioni di anno, in accordo con il tasso i. Nel regime di capitalizzazione semplice si usano lo sconto razionale e lo sconto commerciale. Per lo sconto razionale valgono le formule: S Cit V C r = r 1 it = it Per lo sconto commerciale valgono le formule: S c = C i t V c = C (1 + i t) Si può definire lo sconto razionale come interesse sul valore attuale e lo sconto commerciale come interesse sul valore nominale. Il tasso di sconto d è lo sconto sulla somma di 1 per un periodo di anticipo di 1 anno. Se si utilizza lo sconto razionale si ha: d i r = 1 + i Se si utilizza lo sconto commerciale si ha: d c = i PER SVOLGERE I CALCOLI Le somme di denaro vanno arrotondate con due decimali. Il tasso di interesse è di solito dato in percentuale, ma per i calcoli è conveniente esprimerlo come numero decimale. Se il tempo è un numero decimale e va trasformato in anni mesi giorni, occorre tenere presente che la parte intera è il numero di anni (o frazioni di anno) e la parte decimale ci dà i giorni se moltiplicata per il numero di giorni di un anno (o della frazione di anno). Se il tempo è dato in anni, mesi e giorni e va trasformato in numero decimale, ricordiamo che numero di anni numero di mesi numero di giorni tanni = Se si desidera esprimere il tempo in frazioni pari a 1 di anno, basta moltiplicare tanni per k. k Il calcolo dell interesse e del montante 1 Calcola l interesse nei seguenti casi. a) C = i = 4% t = 2a [ 800] b) C = 2500 i = 2,4% t = 2a 6m 4g [ 150,67] c) C = 3000 i = 0,3% t = 3a 5m [ 30,75] d) C = 4000 i = 1,2% t = 10m 10g [ 41,33]

24 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE ESERCIZI Calcola il montante nei seguenti casi. a) C = 2000 i = 2% t = 1a 6m [ 2060] b) C = 3000 i = 0,4% t = 2a 7m 3g [ 3031,1] c) C = 1500 i = 3,2% t = 1a 3m 5 g [ 1560,67] d) C = i = 3,2% t = 2a 3m [ 16080] Calcola l interesse nei seguenti casi. a) C = 2000 i 2 = 5% t = 3a [ 600] b) C = 3000 i 3 = 2,1% t = 1a 3m [ 236,25] c) C = 1700 i 12 = 0,2% t = 4m 15g [ 15,3] d) C = i 4 = 1,04% t = 1a 5m 12g [ 603,2] Calcola il montante nei seguenti casi. a) C = 2500 i 6 = 0,6% t = 7m 10g [ 2555] b) C = 2000 i 2 = 2,5% t = 8m 10g [ 2069,44] c) C = 7000 i 4 = 3,2% t = 2a 8m [ 9389,33] d) C = i 12 = 0,4% t = 1a 3m 15g [ 15930] PROBLEMI INVERSI 5 Calcola il capitale iniziale nei seguenti casi. a) I = 300 i = 2% t = 6a [ 2500] b) I = 883,33 i = 2,5% t = 4a 5m [ 8000] c) M = 6900 i = 3% t = 5a [ 6000] d) M = 5760,44 i = 1,5% t = 2a 6m 10g [ 5550] e) I = 1960 i 2 = 8% t = 2a 6m [ 1400] f) M = 2390,52 i 4 = 2,3% t = 5m 4g [ 2300] Calcola il tempo di impiego nei seguenti casi. 6 a) C = 3000 i = 5% I = 200 [t = 1a 4m] b) C = 2500 i = 2,3% I = 130 [t = 2a 3m 4g] c) C = i = 0,4% I = 70 [t = 1a 9m] d) C = i = 3,25% I = 2000 [t = 3a 28g] 7 a) C = 2300 i = 6% M = 2700 [t = 2a 10m 23g] b) C = 5000 i = 3,25% M = 6000 [t = 6a 1m 25g] c) C = 5000 i = 2,5% M = 5500 [t = 4a] d) C = 7000 i = 0,8% M = 7028 [t = 6m] 8 a) C = 2000 i 2 = 3% I = 30 [t = 3m] b) C = i 6 = 1,2% I = 1440 [t = 4 bimestri = 8m] c) C = 3500 i 4 = 2% I = 385 [t = 5 trimestri 1m 15g = 1a 4m 15g] d) C = i 12 = 1% I = 1716 [t = 14 mesi 9 g = 1a 2m 9g] 9 a) C = 2000 i 3 = 6% M = 2288 [t = 2 quadrimestri 48g = 9m 18g] b) C = 3000 i 2 = 2,5% M = 3630 [t = 8 semestri 72g = 4a 2m 12g] c) C = i 4 = 0,6% M = [t = 2 trimestri 60g = 8m] d) C = 4000 i 6 = 7% M = 4420 [t = 1 bimestre 30g = 3m]

25 ESERCIZI 16 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Calcola il tasso di impiego nei seguenti casi. 10 a) C = 5000 t = 3a I = 450 [i = 3%] b) C = 3000 t = 4a 2m I = 437,5 [i = 3,5%] c) C = t = 5m 15g I = 477,42 [i = 8,33%] d) C = 6000 t = 1a 3m 10g I = 536,67 [i = 7%] 11 a) C = 7000 t = 4a M = 7560 [i = 2%] b) C = t = 3a 2m M = 11331,25 [i = 2,5%] c) C = 5800 t = 4m 12g M = 5991,4 [i = 9%] d) C = 2000 t = 1a 3m 15g M = 2031 [i = 1,2%] 1 MEMO Se vogliamo calcolare un tasso frazionato basterà calcolare il tasso annuo e usare successivamente la formula dei tassi equivalenti, cioè i = k i k, quindi dividere per k il tasso (annuo) trovato, oppure esprimere il tempo in frazioni di anno. Ricordiamo che per il semestre k = 2, per il quadrimestre k = 3, per il trimestre k = 4, per il bimestre k = 6, per il mese k = Calcola il tasso semestrale nei seguenti casi. a) C = 3000 t = 2a I = 600 [i 2 = 5%] b) C = 2500 t = 1a 3m M = 2625 [i 2 = 2%] Calcola il tasso trimestrale nei seguenti casi. a) C = 2000 t = 3a I = 360 [i 4 = 1,5%] b) C = 7000 t = 1a 3m M = 7350 [i 4 = 1%] Problemi Ho depositato 3 anni e 4 mesi fa 3000 presso una banca che applica il tasso dello 0,3% annuo. Quanto potrò ritirare oggi? [ 3030] Deposito oggi 2500 presso una banca che capitalizza al tasso del 2,1%. Tra quanto tempo potrò ritirare 2700? [3a 10m 9g] Ritiro oggi il montante di un deposito di effettuato 3 anni fa al tasso i = 1,5% e lo impiego a un tasso superiore di un punto percentuale. Quale somma potrò ritirare fra 1 anno e 6 mesi? [ 13010,25] Quale capitale devo investire oggi per poter contare tra 2 anni su una somma di 3000, sapendo che la banca capitalizza al 4%? [ 2777,78] Voglio investire una somma di Posso vincolarla per 3 anni e riscuoterò allora 5600, oppure vincolarla per 3 anni e 6 mesi e riscuotere allora Quale dei due impieghi mi frutta il tasso maggiore? [Il secondo] Ho emesso un assegno di 2000 in data 01/02/2010, ma l assegno è stato coperto con 10 giorni di ritardo. Se la banca pratica il tasso del 15% sugli scoperti di c/c, quanto mi è costato il ritardo? [ 8,30]

26 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE ESERCIZI Quanto tempo fa ho versato la somma di 7000, sapendo che oggi posso riscuotere 7600 e che il tasso applicato è stato il 3,2%? [2a 8m 4g] Calcola dopo quanto tempo un capitale investito al 6% raddoppia il suo valore. [16a 8m] 22 Calcola dopo quanto tempo un capitale investito al 9% frutta un interesse pari a 1 del suo valore. 3 [3a 8m 13g] 23 Calcola a quale tasso annuo va impiegato un capitale perché in 10 anni dia un interesse pari al 50% del suo valore. [5%] 24 ESERCIZIO SVOLTO Una somma di 3000 è stata depositata in banca al tasso i = 3%. Dopo 3 mesi la banca ha ridotto il tasso al 2,5%. Quale somma si potrà ritirare dopo 9 mesi dal primo versamento? Rappresentiamo la situazione sull asse dei tempi, indicando con 0 il momento del primo versamento. C= 3000 M=? i=3% i=2,5% 0 3m Il montante finale sarà la somma del capitale investito con l interesse fruttato. Nel regime di capitalizzazione semplice l interesse è dato soltanto dal capitale iniziale, secondo la formula I = C i t. Il tasso non è lo stesso per tutto il periodo, così l interesse dovrà essere conteggiato separatamente per il periodo di 3 mesi al 3% e per il restante periodo di 6 mesi al 2,5%. Avremo allora: interesse totale = 3000 $ 0, 03 $ $ 0, 025 $ 6 = Quindi: M = = m 25 Quattro anni fa sono stati versati 5000 su un libretto di risparmio al 5%. Quale somma è disponibile oggi, sapendo che il tasso 2 anni fa è stato ridotto al 4,5%? [ 5950] ESERCIZIO SVOLTO 26 Dieci mesi fa sono stati depositati 7000 al 4% e 3 mesi fa sono stati prelevati Quale somma potrà essere ritirata oggi? La somma da prelevare oggi è naturalmente la somma (algebrica) dei capitali depositati o prelevati più l interesse fruttato. Va però osservato che per i primi 7 mesi il capitale che dà interesse è tutta la somma, cioè 7000, mentre per gli ultimi 3 mesi il capitale fruttifero è ridotto a = Allora avremo: interesse totale = 7000 $ 0, 04 $ $ 0, 04 $ 3 = 213, La somma disponibile oggi è: M = ,33 = 5213,33.

27 ESERCIZI 18 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE 27 Il signor Martelli ha effettuato presso la sua banca, che offre il tasso del 2%, le seguenti operazioni: in data 01/01/2009 versamento di 3500 in data 01/06/2009 versamento di 2000 in data 01/11/2009 prelievo di Qual è l ammontare del saldo alla fine dell anno 2009? [ 4088,33] ESERCIZIO SVOLTO 28 Due capitali di importo uguale sono stati investiti il primo 3 anni fa e il secondo 2 anni fa al tasso i = 2%. Oggi si ritirano complessivamente Determina l importo dei due capitali. Rappresentiamo la situazione sull asse dei tempi. C C M = Ciò che ritiriamo oggi è la somma dei due montanti. La nostra incognita è C. Scriviamo l equazione che ci permetterà di risolvere il problema. Montante del primo capitale + montante del secondo capitale = C (1 + 0,02 3) + C (1 + 0,02 2) = C (1,06) + C (1,04) = ,1 C = C = = , I problemi da 29 a 33 richiedono l uso di equazioni di primo grado non immediatamente ricavabili dalle formule. 29 Un capitale di è stato investito in parte al 2% e in parte al 5%. Dopo 3 anni il montante complessivo è di Calcola le due parti del capitale. A quale tasso unico si poteva impiegare il capitale per avere lo stesso montante? [ 3000; 7000; 4,1%] 30 Un certo capitale è stato dato in prestito 6 anni fa al tasso i = 3%. Un capitale doppio del precedente è stato investito 4 anni fa al tasso del 2%. Oggi complessivamente si ricavano Calcola l ammontare dei due capitali. [ 2000; 4000] 31 Dopo quanto tempo i montanti di 3000 (calcolato al 5%) e di 4000 (calcolato al 2%) risultano uguali? [14a 3m 13g] 32 Una somma di è stata investita 3 anni fa a interesse semplice al tasso i = 5%. Dopo un certo periodo di tempo il tasso è stato diminuito al 4%. Oggi la somma disponibile ammonta a Calcola dopo quanto tempo, a partire dal primo investimento, è avvenuto il cambio di tasso. [6m] 33 La signora Tommasi ha investito 4 anni fa 3500 a un certo tasso e 4000 a un tasso superiore di mezzo punto percentuale. Calcola i due tassi, sapendo che l interesse complessivo fruttato ammonta a [3,5%; 4%]

28 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE ESERCIZI Calcola lo sconto razionale e lo sconto commerciale nei seguenti casi. a) C = i = 4% t = 3a [S r = 1285,71; S c = 1440] b) C = 3500 i = 0,3% t = 2m [S r = 1,75; S c = 1,75] c) C = 4000 i = 7,5% t = 4m 15g [S r = 109,42; S c = 112,50] d) C = 5000 i 2 = 0,2% t = 7m 10g [S r = 12,19; S c = 12,22] 35 Calcola il valore attuale razionale e il valore attuale commerciale nei seguenti casi. a) C = 2300 i = 1,5% t = 2a [V r = 2233,01; V c = 2231] b) C = 4000 i = 5% t = 3m [V r = 3950,62; V c = 3950] c) C = 7000 i = 0,4% t = 4m 10g [V r = 6989,90; V c = 6989,89] d) C = 8700 i 3 = 1% t = 8m 15g [V r = 8518,97; V c = 8515,13] PROBLEMI INVERSI Calcola il tasso i nei seguenti casi. 36 a) C = 8000 V r = 7728,47 t = 3m 15g [12%] b) C = 3500 V r = 3450 t = 2a [0,72%] c) C = V r = 9900 t = 1a 8m 20g [0,59%] d) S r = 120 V r = 5000 t = 8m [3,60%] 37 a) C = 4500 V c = 4300 t = 4a [1,11%] b) C = 2000 V c = 1500 t = 3a 5m [7,31%] c) C = 6000 V c = 5720 t = 4a 3m 12g [1,09%] d) S c = 35 V c = 1035 t = 6m [6,54%] 38 Calcola il tempo di anticipo rispetto alla scadenza nei seguenti casi. a) C = 1400 V r = 1300 i = 4% [1a 11m 2g] b) C = 4000 V r = 3750 i 2 = 2,5% [1a 4m] c) C = 9000 V c = 9500 i = 0,4% [13a 10m 20g] d) S c = 400 V c = 5600 i 4 = 0,2% [8a 4m] Calcola il valore nominale nei seguenti casi. 39 a) V r = 2300 i = 8% t = 3a [ 2852] b) V c = 4000 i = 0,5% t = 1a 3m [ 4025,16] c) S r = 120 i = 2% t = 5m [ 14520] d) S c = 300 i = 1% t = 8m [ 45000] 40 a) V r = 7000 i 2 = 2% t = 6m [ 7140] b) V c = 2000 i 3 = 1,2% t = 2a [ 2155,17] c) S r = 380 i 4 = 0,3% t = 1a 3m [ 25713,33] d) S c = 35 i 12 = 0,1% t = 5m [ 7000]

29 ESERCIZI 20 Unità 1 IL REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE ESERCIZIO SVOLTO 41 Un debito di 840 viene saldato 6 mesi prima della scadenza con il versamento di 820. Calcola il tasso di sconto commerciale applicato. Se il debito fosse stato scontato razionalmente, quale sarebbe stato il tasso di sconto applicato? I dati sono: C = 840, somma scontata = 820, t = 6m = 6 a = 1 a 12 2 Applichiamo dapprima la legge di sconto commerciale: in questo caso il tasso di sconto coincide con il tasso di interesse i. Ricaviamo lo sconto: S c = C V = = 20 Dalla formula S c = C i t ricaviamo: S d i 20 c = = c 477, % C$ t = 840 $ 1 = 2 Applichiamo ora la legge di sconto razionale; in questo caso il tasso di sconto è dato da: d i r = 1 + i Dalla formula S r = V r i t ricaviamo: Sr i = = 20 = 488, % Vr $ t 820 $ 1 2, Infine: d i r = = = 465, %, inferiore, come previsto, al tasso di sconto commerciale. 1 + i 1 + 0, Calcola i tassi di sconto applicati nei casi seguenti: a) C = S c = 1400 t = 3a [4,67%] b) C = 3800 V c = 3600 t = 10m [6,32%] c) C = 2000 V r = 1850 t = 1a 4m [6,08%] d) V r = 5000 S r = 30 t = 2a 4m [0,26%] Problemi 43 Con il pagamento di 357 si estingue anticipatamente un debito di 370 scadente fra 8 mesi, sul quale è stato applicato lo sconto razionale. Calcola il tasso di valutazione e il tasso di sconto. [5,46%; 5,18%] 44 Calcola quanto tempo prima della scadenza una cambiale deve essere scontata perché il suo valore attuale commerciale sia pari alla metà del valore nominale, al tasso i = 7%. [7a 1m 20g] 45 Con il versamento di 330 si salda anticipatamente un debito di 360, sul quale è applicato lo sconto commerciale. Calcola la scadenza, sapendo che il tasso applicato è i = 12%. [8m 10g] 46 Cedo il diritto a riscuotere un credito di 3000, con scadenza tra 2 anni, e riscuoto oggi Quale tasso di sconto commerciale è stato applicato? [3,33%] 47 Per l acquisto di una merce si devono effettuare due pagamenti: il primo di 2500 fra 6 mesi e il secondo di 3000 tra 1 anno. Se si volesse pagare la merce oggi e venisse accordato lo sconto razionale al tasso i = 4,5%, quanto si dovrebbe versare? [ 5315,80] 48 Con il montante di un capitale di 2700, depositato 3 anni fa al tasso del 5%, si estingue anticipatamente un debito di 3146,40 scadente fra 8 mesi, sul quale è applicato lo sconto razionale. A quale tasso? [2%]

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