Augusto Freddi Teoria del rischio. Per le assicurazioni P&C

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3 Augusto Freddi Teoria del rischio Per le assicurazioni P&C

4 Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2014

5 A Clara, Alessandro, Alberto e Claudia. 3

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7 Indice Prefazioni 11 Notazione 15 Avvertenze 19 Introduzione La definizione del rischio 2. Il rischio considerato in questo testo Le lotterie roulette e di cavalli Il rapporto tra soggetto e lotteria Il rischio come affare Il rischio gestibile da una C.A. danni La rappresentazione matematica del rischio La variabile aleatoria Il vettore aleatorio L indipendenza tra variabili aleatorie La dipendenza tra variabili aleatorie Le copule Il portafoglio di rischi gestito da una c.a Le leggi dei grandi numeri I processi stocastici Le variabili aleatorie tempi di arresto 102 PARTE I Analisi statica del rischio Capitolo I Le distribuzioni di probabilità associate al rischio Le distribuzioni empiriche Le distribuzioni teoriche Le forme approssimate per le distribuzioni non note 145 Capitolo II La misura e l ordinamento del rischio Le misure classiche del rischio Le misure moderne del rischio L ordinamento del rischio 181 Capitolo III La trasformazione soggettiva del rischio Le teorie dell utilità Le misure di avversione al rischio Le misure del rischio percepito 232 7

8 8 Indice 4. L ordinamento soggettivo degli oggetti L ordinamento soggettivo delle utilità degli oggetti 240 Capitolo IV Il prezzo del rischio La determinazione del prezzo per un rischio da assicurare Le principali proprietà necessarie per i principi di equivalenza Criteri per la scelta del caricamento di sicurezza applicato 274 Capitolo V La valutazione empirica del rischio La classificazione dei rischi La teoria della credibilità 296 Capitolo VI La trasformazione oggettiva del rischio La trasformazione del rischio individuo-c.a La trasformazione del rischio C.A.-C.R Il ruolo svolto dalla deviazione standard La classificazione delle forme riassicurative tradizionali Analisi delle principali forme riassicurative tradizionali La riassicurazione non proporzionale basata sui sinistri ordinati La riassicurazione per i rischi di catastrofe L alternative risk transfer I catastrophe bonds I contratti derivati 389 PARTE II Analisi dell evoluzione temporale del rischio Capitolo VII I processi propedeutici ai processi del rischio I processi di Markov I processi di somma parziale Le martingale I processi di Poisson Il moto browniano o processo di Wiener Il processo white noise 455 Capitolo VIII Modelli per i processi del rischio Le impostazioni individuale e collettiva Due strutture di un portafoglio di rischi I processi del rischio 463

9 Indice 9 4. Le scelte preliminari per la costruzione dei modelli I processi base del rischio gestito I processi ausiliari del rischio gestito I processi del rischio di gestione 508 Capitolo IX La teoria della rovina La probabilità di rovina: considerazioni generali Probabilità di rovina e tempi di rovina: definizioni generali 3. Probabilità di rovina di un portafoglio 519 di rischi indipendenti Probabilità di rovina di un portafoglio di rischi dipendenti La probabilità di rovina: un modello basato sulle realizzazioni del processo delle riserve libere La teoria classica della rovina La probabilità di rovina accettabile La teoria moderna della rovina 561 PARTE III Altri aspetti tecnici ed economici associati alla gestione del rischio Capitolo X Le politiche di distribuzione dei dividendi Definizione e valutazione di una politica di distribuzione dei dividendi Le politiche per la distribuzione dei dividendi 583 Capitolo XI I problemi della solvibilità, della stabilità e della redditività Il problema della solvibilità Il problema della stabilità Il problema della redditività Un modello per garantire congiuntamente la solvibilità, la stabilità e la redditività 625 Capitolo XII L assicurazione delle catastrofi Che cosa è una catastrofe Rischi catastrofali e rischi di catastrofe L assicurabilità dei rischi di catastrofe L assicurazione dei rischi di catastrofe Le risorse necessarie per assicurare i rischi di catastrofe La massima perdita probabile (PML) Il ruolo svolto dallo Stato I vantaggi offerti da una assicurazione obbligatoria 658

10 10 Indice 9. I modelli computerizzati per i rischi di catastrofe Analisi di un portafoglio soggetto a rischi di catastrofe Tre modelli matematici per i risarcimenti causati da catastrofi Un modello per il rischio di catastrofe che utilizza la teoria dei valori estremi e il prezzaggio dei cat bonds L assicurazione contro il terremoto: passato, presente e futuro prossimo Il rischio idrogeologico 15. L assicurazione contro il terrorismo Bibliografia 707

11 19 Prefazione a Lezioni di teoria del rischio L insegnamento della Teoria del rischio è stato introdotto nell ordinamento didattico universitario italiano, e più precisamente nel settore scientifico disciplinare SECS-S/06, solo dalla metà degli anni novanta. Al momento, a mia conoscenza, non siste alcun testo scritto in italiano su questa disciplina, che, però, viene insegnata in varie università italiane ed interpretata in almeno tre modi diversi. Quest ultimo atteggiamento trae la sua origine dal fatto che, quando si parla di rischio in ambito economico, si può far riferimento o al rischio gestito nei mercati finanziari o a quello gestito nei mercati assicurativi, e quest ultimo può ancora essere distinto tra quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore vita e quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore danni. Questo testo, che si prende l incarico di rompere il ghiaccio, è il frutto di una prima sistemazione degli appunti preparati per il corso di Teoria del rischio da me svolto presso la Sapienza - Università di Roma fin dall a.a. 1995/96 e nasce semplicemente per fornire un supporto didattico ai miei e ad altri studenti. Esso tratta essenzialmente gli aspetti teorici che riguardano le assicurazioni contro i danni, ma ritengo, tuttavia, che il contenuto di questo volume possa essere parzialmente utile anche agli studenti dei corsi di laurea gestiti dalle Facoltà di Economia, in quanto sono presentati e analizzati molti concetti base relativi alla teoria generale del rischio. La principale novità, rispetto ai testi della letteratura mondiale, riportati nella bibliografia, utilizzati per la scelta della gran parte del contenuto attuariale, è che questo testo è stato pensato e scritto per una didattica di base. Ho cercato di realizzare questo obiettivo attraverso: a) una diversa strutturazione degli argomenti, che ben si presta, a mio modo di vedere, ad essere integrata da altri contributi più specifici, b) l introduzione nel testo dei concetti statistici e probabilistici che sono propedeutici agli argomenti di teoria del rischio trattati. Il testo, dopo una introduzione di carattere generale in cui il rischio viene definito, classificato e rappresentato matematicamente, si sviluppa in altre due parti. Nella prima è presentata la sua analisi statica, ossia è preso in esame il rischio rappresentato da un vettore aleatorio. Il suo contenuto 11

12 12 Prefazione 20 riguarda le principali distribuzioni di probabilità utilizzate in campo attuariale, le misure e gli ordinamenti del rischio e la definizione del premio puro assicurativo e riassicurativo. Nella seconda, dedicata alla sua analisi dinamica, è preso in esame il rischio rappresentato da un processo stocastico. Il suo contenuto riguarda i processi stocastici di base (in particolare, i processi di Poisson), i principali modelli per la teoria del rischio (il modello Cramér-Lundberg e il modello Sparre Andersen), i processi del rischio e la teoria della rovina. Prima di concludere questa prefazione, ritengo doveroso rivolgere un sentito ringraziamento alla dott.sa Giulia Sargenti, per la lettura critica e la revisione delle bozze, e ai miei figli Alessandro e Alberto, per l aiuto che mi hanno dato nella composizione grafica del testo. Augusto Freddi Roma, marzo 2007

13 21 Prefazione a Teoria del rischio L insegnamento della Teoria del rischio è stato introdotto nell ordinamento didattico universitario italiano, e più precisamente nel settore scientifico disciplinare SECS-S/06, solo dalla metà degli anni novanta. Al momento, questa disciplina viene insegnata in varie università italiane ed interpretata in almeno tre modi diversi. Quest ultimo atteggiamento trae la sua origine dal fatto che, quando si parla di rischio in ambito economico, si può far riferimento o al rischio gestito nei mercati finanziari o a quello gestito nei mercati assicurativi, e quest ultimo può ancora essere distinto tra quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore vita e quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore danni. Questo testo intende fornire un ampia descrizione di quella parte della Teoria del rischio che viene utilizzata dagli attuari che operano nel settore assicurativo danni. Esso sviluppa largamente il testo Lezioni di teoria del rischio, da me pubblicato nel 2007, che rappresentava la sistemazione degli appunti del corso di Teoria del rischio da me tenuto presso la Sapienza - Università di Roma fin dall a.a. 1995/96. Rispetto al testo Lezioni di teoria del rischio, che si articolava in sei capitoli più una introduzione questo nuovo testo si articola su dodici capitoli più una introduzione. I nuovi capitoli riguardano: - La valutazione empirica del rischio, - La trasformazione oggettiva del rischio, - Le politiche di distribuzione dei dividendi, - I problemi della solvibilità, della stabilità e della redditività, - L assicurazione delle catastrofi. Per quanto attiene la parte conservata, premesso che è stata largamente integrata, va detto che essa si articola ora su sette capitoli in quanto il vecchio capitolo II è stato sdoppiato nei capitoli: - La misura e l ordinamento del rischio, - La trasformazione soggettiva del rischio. Questo testo è stato pensato e scritto con finalità didattiche anche se ambisce ad essere considerato un manuale per questa materia. Ho cercato, infatti, di prendere in considerazione non solo la quasi totalità degli argomenti che caratterizzano questa disciplina dal punto di vista attuariale ma anche di evidenziare gli aspetti matematici e statistici associati al concetto di rischio. Dunque, il titolo Teoria del rischio non 13

14 14 Prefazione 22 è associato solo al significato attribuito inizialmente al modello di Cramér-Lundberg ma è riferito anche ad altre teorie collaterali come la teoria dell utilità e la teoria della credibilità e, ultimo ma non meno importante, al concetto stesso di rischio. Nel testo sono, pertanto, inseriti i concetti statistici e probabilistici che sono propedeutici agli argomenti di teoria del rischio trattati. Il testo, dopo una introduzione di carattere generale in cui il rischio viene definito, classificato e rappresentato matematicamente, si sviluppa in altre tre parti così denominate: - Analisi statica del rischio, - Analisi dell evoluzione temporale del rischio, - Aspetti tecnici ed economici associati alla gestione del rischio. Prima di concludere questa prefazione, ritengo doveroso rivolgere un sentito ringraziamento a mio figlio Alberto, per l aiuto che mi ha dato nella composizione grafica del testo. Augusto Freddi Roma, dicembre 2013

15 23 Notazione B(R) σ -algebra di Borel su R. C.N.[L;Θ ] Caratteristica numerica della lotteria L di parametro Θ. CX Distribuzione di probabilità continua della v.a. X. c X (x q ) Valore atteso della coda della f.d. associata alla v.a. X d.d.p. Distribuzione di probabilità Domf Dominio della funzione (deterministica o aleatoria) f DX Distribuzione di probabilità (d.d.p.) discreta della f.d. f.d.p. f.c. f.d. f.g.m. f.g.p. Φ(x) n Φ Σ F t v.a. X. Funzione distribuzione (di probabilità) Funzione densità di probabilità Insieme delle f.d. definite su R. Funzione caratteristica Funzione distribuzione (di probabilità) Funzione generatrice dei momenti Funzione generatrice delle probabilità F.d. normale standard F.d. congiunta della f.d. normale standardizzata n- variata, Filtrazione con indice continuo t 0. F n Filtrazione con indice discreto n N. H cx I IX K t M[L;Θ ] m.b.u. Insieme delle funzioni continue convesse Insieme [0,1] Distribuzione di probabilità (d.d.p.) generica della v.a. X. Variabile aleatoria che rappresenta il numero degli eventi che si verificano nell intervallo temporale (0,t]. Misura della lotteria L dipendente dal vettore parametrico Θ, ottenuta applicando il funzionale M[ ;Θ ]. Moto browniano unidimensionale 15

16 16 Notazione 24 MPL MSE MX M(X,v) Maximum probable loss Mean Squared Error Distribuzione di probabilità (d.d.p.) mista della v.a. X. Funzione generatrice dei momenti (f.g.m.) della v.a. X. m X (x) Vita media residua della v.a. X. N Insieme dei numeri naturali. N + Insieme dei numeri naturali positivi. N(μ,σ 2 ) F.d. normale con valore atteso μ e varianza σ 2. Q X (B) Misura di probabilità indotta su B(R) dalla v.a. X. R Insieme dei numeri reali. R Unione dell insieme dei numeri reali e dell infinito R + Insieme dei numeri reali non negativi. R + Insieme dei numeri reali positivi. R Insieme delle v.a. X che hanno realizzazioni non negative e x*(x) finito. Ranf Codominio della funzione (deterministica o aleatoria) f S t Variabile aleatoria che rappresenta l ammontare del danno complessivo provocato dai sinistri nell intervallo temporale (0,t]. (k ) X V.a. numero di insuccessi prima di ottenere k tx successi. Variabile aleatoria che rappresenta un rischio concentrato in un istante passato, t < 0, o presente, t = 0 (entrambi in assenza di informazioni) o futuro, t > 0. X Variabile aleatoria (v.a.). X Vettore aleatorio x Realizzazione della v.a. X. x Realizzazione del vettore aleatorio X. x*(x) Massimo valore tra le realizzazioni della v.a. X. X t Variabile aleatoria che rappresenta un rischio valutato in un intervallo temporale (0,t]. X(t) Processo stocastico nel caso continuo che descrive l evoluzione del rischio in un intervallo temporale [0,t]. {X n : n J} Processo stocastico con insieme indice J discreto.

17 25 Notazione 17 Classe delle d.d.p. sub-esponenziali tz Variabile aleatoria che rappresenta l ammontare del danno provocabile dalla realizzazione dell evento all istante t R. Z Insieme dei numeri interi relativi. v.a. Variabile aleatoria α k (X) Momento k-esimo della v.a. X rispetto all origine. γ 1 (X) Indice di asimmetria della v.a. X. γ 2 (X) Indice di curtosi della v.a. X. Γ(λ) Funzione Gamma completa. Γ(z,λ) μ k (X) Funzione Gamma incompleta. Momento k-esimo della v.a. X rispetto al valore atteso. 1 A (X) Indicatore dell evento A. Spazio degli stati di un generico processo stocastico ℵ Insieme delle lotterie. ℵ* Insieme delle lotterie che hanno le loro realizzazioni in [0,1]. Ξ Insieme di v.a. d = o = d Uguaglianza in distribuzione p Convergenza in probabilità q.s. Converge quasi sicuramente Esiste

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19 26 Avvertenze A) Nel testo, per semplificare la trattazione senza, tuttavia, perdere molto in generalità, sono state via via introdotte 18 ipotesi restrittive. Tali ipotesi, salvo avviso contrario, devono considerarsi rispettate in tutta la trattazione seguente, tenendo presente che, ovviamente, le ipotesi introdotte in ciascuna delle prime due parti valgono solo nella parte in cui sono state introdotte. B) Le variabili aleatorie sono indicate con una lettera maiuscola, mentre tutte le loro realizzazioni, così come quasi tutti gli altri valori deterministici, sono indicate con una lettera (la stessa della v.a.) minuscola. C) I vettori aleatori sono indicati con una lettera maiuscola in grassetto. D) Per indicare un paragrafo vengono utilizzati due numeri separati da un trattino: il primo è espresso in cifre indo-arabe e sta ad indicare la numerazione del paragrafo nel capitolo di appartenenza e il secondo è espresso con numerazione romana e sta ad indicare il capitolo di appartenenza. La scrittura 1.2-V sta, dunque, ad indicare il paragrafo 1.2. del capitolo V. Quando manca il secondo numero vuol dire che il paragrafo appartiene all introduzione.