Matematica finanziaria

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1 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Materiale didattico Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Matematica fiaziaria A cura di Fracesco CARBONE Versioe: 02ge2013 Materiale i bozza. E gradita la segalazioe di evetuali errori/orrori. Viterbo Ao Accademico 2012/13 1

2 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Sommario Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Itroduzioe Regimi dell iteresse... 4 Iteresse semplice... 5 Iteresse composto discotiuo auo... 7 Iteresse covertibile Iteresse composto cotiuo auo Aualità Operazioi relative alle aualità costati posticipate limitate Operazioi relative alle aualità costati aticipate limitate Operazioi relative alle aualità costati posticipate illimitate Operazioi relative alle aualità variabili limitate Costruzioe di u piao di ammortameto Periodicità Operazioi relative alle periodicità costati posticipate limitate Operazioi relative alle periodicità costati posticipate illimitate Risoluzioe degli esercizi di matematica fiaziaria Schema metodologico Uso del foglio elettroico ella matematica fiaziaria Impostazioe Sitassi delle formule Risoluzioe mediate l uso del foglio elettroico Quadro delle pricipali formule di matematica fiaziaria

3 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Itroduzioe Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 La matematica fiaziaria (MF) è uo strumeto di lavoro per la dottria estimativa, per le valutazioi ecoomico-fiaziarie e per le scieze ecoomiche. Avvaledosi della MF è possibile spostare el tempo (aticipare/posticipare) dal mometo i a quello j degli importi moetari (costi e/o ricavi), oché aggregarli eseguedo la loro somma algebrica allorquado si realizzao i epoche diverse. Perché vi è bisogo della MF? Le motivazioi possoo essere comprese aalizzado il seguete quesito: è meglio oggi oppure tra u ao? La totalità degli idividui razioali opterebbe per i oggi. Questa uaimità verrebbe adrebbe ad assottigliarsi allorché al termie dell ao verrebbe assicurato u importo via via crescete, pari a [1.000+], dove è la remuerazioe che ciascuo idividuo si attederebbe per aver atteso il tempo ecessario affiché maturasse [C ] 1. La relazioe che lega il capitale iiziale co il capitale fiale è la seguete dove C =C 0 +; =C 0 *r*t ossia esprime l icremeto moetario che registra u capitale i fuzioe della ragioe fiaziaria (saggio di iteresse) [r] co cui varia il capitale el tempo [t], cioè è l iteresse maturato dal capitale ell uità di tempo, che ormalmete viee così determiato Ne cosegue ed assumedo t=1 ao, si ha I = C 0 r t C = C 0 + (C 0 r t) C = C 0 (1 + r) Ritorado al quesito sopra esposto, ciascu idividuo accetterà [1.000+] a importi diversi di i relazioe al suo saggio persoale atteso di remuerazioe del capitale. Data la somma attesa [C ] per riuciare a [C 0 ], la formula iversa cosete di determiare il relativo saggio di iteresse [r ] che ciascu idividuo implicitamete ha scelto per la remuerazioe del tempo dell attesa che maturi [C ], ossia r = C C 0 1 Il saggio di iteresse [r], ormalmete espresso su base aua, è ragioe co cui avviee la remuerazioe uitaria del capitale rappresetata dall iteresse [I] a favore del capitalista (titolare dei diritti di proprietà del capitale). L iteresse è il costo che ciascuo deve sosteere per aver avuto u capitale da terzi e coseguetemete potremo defiire il saggio di iteresse come il costo uitario d uso del capitale. Altresì l iteresse rappreseta il costo che ciascu sostiee per aver riuciato all uso alterativo dei capitali. Muovere del dearo el tempo equivale a sottrarlo ad altri usi alterativi, pertato deve ricooscersi la sua remuerazioe sia se esso è stato forito da u capitalista (caso evidete) sia se il dearo derivi da autofiaziameto. 1 Esso potrebbe ache iterpretarsi come è l ammotare a cui ciascuo riucerebbe per avere immediatamete la completa dispoibilità del capitale [C 0 =C-]. 3

4 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Gra parte degli idividui che posseggoo dei capitali, gradi o piccoli che siao, impiegadoli si attedoo ua remuerazioe. Ipotizzado che essa sia esclusivamete i dearo 2, ovvero ragioado i ua logica di ivestimeto, el mometo i cui ciascu idividuo impiega del dearo per realizzare ua iiziativa (strategia A) da essa si attede ua remuerazioe almeo pari o superiore a quella che avrebbe coseguito co lo stesso capitale impiegato i qualsiasi altro modo (strategie alterative B ed altre alterative), per cui la migliore tra le strategie scartate è il costo della riucia della strategia A 3. Esemplificado: el mometo i cui l idividuo ha u capitale depositato i u coto correte, lo preleva per realizzare u iiziativa si attede che quest ultima gli forisca u beeficio o iferiore a quello che avrebbe avuto lasciado il dearo el coto correte. Ne cosegue che ciascuo tede ad impiegare il dearo (ma il ragioameto può estedersi a qualsiasi risorsa), i iiziative che elle attese gli assicurio ua remuerazioe almeo superiore all impiego correte. Da cui la MF è lo strumeto che cosete di icludere el processo di valutazioe ecoomicofiaziario il costo opportuità dell impiego alterativo del capitale. Co riferimeto ad u geerico ivestimeto, i ricavi dello stesso devoo essere i etità tale da compesare l isieme dei costi sosteuti dall ivestitore, ivi comprese le macate remuerazioi che l ivestitore o ha percepito prelevado il capitale dal coto correte i cui era depositato. La MF assume che: i) qualsiasi operazioe fiaziaria sia effettuata, comuque esiste u soggetto che mette a disposizioe il dearo (capitalista) ed u altro che lo impiega (utilizzatore); ii) qualsiasi impiego sia realizzato co i capitali si deve comuque ricooscere ua remuerazioe a favore del capitalista; La determiazioe degli iteressi sul capitale impiegato è coseguetemete ua operazioe imprescidibile per poter icludere el processo di valutazioe il costo d uso del capitale. Ne cosegue che la somma di due o più importi ecoomico-fiaziari che si realizzao i epoche diverse richiede ecessariamete la determiazioe dei relativi iteressi maturati durate il periodo, ovvero due importi che maturao i mometi diversi o possoo sommarsi matematicamete, ma solo fiaziariamete. Ciò può effettuarsi solamete se ci si avvale della MF. 1. Regimi dell iteresse I relazioe alle modalità co cui l iteresse si aggrega al capitale (tab. 1) si distiguoo i segueti regimi: Iteresse semplice: regime fiaziario i cui l iteresse maturato sul capitale si somma al capitale che lo ha geerato al termie dell ao. E il regime co cui covezioalmete si assume di operare per operazioi fiaziarie o superiori all ao. Si tratta di u iteresse o fruttifero, poiché gli iteressi geerati el periodo precedete rimagoo ierti ei periodi successivi, ossia l iteresse maturato al termie dell uità di tempo o cocorre alla maturazioe degli iteressi per il periodo successivo; 2 Normalmete la remuerazioe a favore del cosumatore è rappresetata dall utilità che gli assicura l acquisto di u bee utilizzado il dearo. Per utilità deve itedersi la capacità del bee a soddisfare u ostro bisogo. 3 Il valore della migliore alterativa scartata per seguire la strategia A, costituisce il costo opportuità di quest ultima. 4

5 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Iteresse composto: dato u capitale iiziale, gli iteressi maturati el corso del tempo si sommao al capitale iiziale per la determiazioe degli iteressi dei periodi successivi, ovvero gli iteressi soo fruttiferi. L iteresse composto può essere distito i: discotiuo auo: quado l iteresse maturato el corso tempo, a fie ao si aggrega al capitale iiziale per la quatificazioe degli iteressi del periodo successivo; covertibile: quado gli iteressi maturati da u capitale si sommao al capitale iiziale più volte el corso dell uità di tempo i cui è espresso il saggio di iteresse (esempio: saggio su base aua co aggregazioe bimestrale, trimestrale, semestrale, etc.); cotiuo o matematico: quado gli iteressi si sommao al capitale i ogi istate. Esso ha ua valeza più sul piao teorico che operativo. Tab. 1 - Quadro siottico dei regimi di iteresse Iteresse Iteresse Capitale riferimeto Semplice No fruttifero Capitale iiziale Composto discotiuo auo Fruttifero Motate Auale di Aggregazioe degli iteressi al capitale Covertibile Fruttifero Motate Iferiore all ao Cotiuo Fruttifero Motate Istate per istate Iteresse semplice E il regime covezioalmete i uso quado i movimeti fiaziari avvegoo co orizzoti temporali covezioalmete iferiori all ao. Gli iteressi si aggregao al capitale al termie del periodo e o soo fruttiferi. Dato u il capitale dispoibile al mometo iiziale idicato come C 0, u saggio di iteresse auo r ed il tempo t, l iteresse ammota a: Formule iverse iteresse semplice Capitale iiziale I = C 0 r t Saggio di iteresse Tempo C 0 = r = t = I r t I C 0 t I C 0 r Motate semplice Il capitale fiale geeratosi al termie del periodo [t] (co t 1 ao) è deomiato motate semplice ed ammota a: M = C 0 + I = C 0 + C 0 r t = C r t 5

6 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Formule iverse motate semplice Capitale iiziale Saggio di iteresse C 0 = r = M C 0 C 0 t Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 M 1 + r t = M C 0 1 t Tempo t = M C 0 C 0 r = M C 0 1 r Scoto. Si itede l importo portato a riduzioe del motate per determiare il capitale dispoibile. Formalmete C = M Sc. Si distiguoo comuemete lo scoto matematico o razioale Sc = M C = M dallo scoto bacario o commerciale M 1+r t = Sc = M r t M 1+r t M (1+r t) = M r t 1+r t. Quest ultimo è quello applicato dalle bache. Formalmete è meo ortodosso di quello matematico, tuttavia, più semplice da calcolare e più vataggioso. Le operazioi i regime di iteresse semplice La posticipazioe di capitali. Dato u capitale C 0 ed il saggio di iteresse r il motate al mometo t (M t ) è dato come M t = C 0 (1 + r t) fattore di posticipazioe per l iteresse semplice La posticipazioe implica spostare ad u mometo successivo il C 0 accorpadogli i relativi iteressi maturati el corso del periodo otteedo il motae (M t ). Il motate sarà sempre superiore al capitale iiziale (M t >C 0 )., L aticipazioe di capitali. Dato u capitale M t ed il saggio di iteresse r il capitale al mometo 0 (C 0 ) è dato come C 0 = M t r t fattore di aticipazioe per l iteresse semplice L aticipazioe implica spostare ad u mometo precedete il M depuradolo dai relativi iteressi otteedo il motae (C 0 ). Il capitale al mometo 0 sarà sempre iferiore al motate (C 0 <M t ). 6

7 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Posticipazioe ( 1 r t) Ultimo aggiorameto: 28 dicembre (1 r t) Aticipazioe t = 1 ao Il motate plurieale. Pur operado i regime di iteresse semplice è possibile determiare il motate al termie di u arco temporale plurieale. Ricordado che si è i u regime di iteresse o fruttifero, dato u C0 ed u saggio di iteresse r, il motae al mometo dopo ai è Ed aggregado si ha Essedo Si ha che M 0 1 = C 0 + I 0 1 M 1 2 = C 0 + I 1 2 M 2 3 = C 0 + I 2 3 M 1 = C 0 + I 1 M 0 = C 0 + (I I I I 1 ) I 1 0 = I 2 1 = I 3 2 = = I 1 M 0 = C 0 + I = C 0 + (C 0 r t) = C ( r t) Iteresse composto discotiuo auo Cosete di far viaggiare u importo moetario i u periodo temporale (covezioalemete) superiore all ao, dove al termie di ciascu ao gli iteressi si aggregao al capitale iiziale, costituedo il capitale fiale o motate che geerera l iteresse dell aualità successiva. Iteresse composto è quello maturato al termie dell ao dato il capitale iiziale C 0 saggio di iteresse r al termie di u ao, l iteresse sarà: I = C 0 r metre il motate al termie del medesimo ao (M ) ammota a M = C 0 + I = C 0 + C 0 r = C r = C 0 q da cui è possibile determiare le segueti formule iverse Saggio di iteresse Capitale iiziale r = M C 0 1 C 0 = M q ed il 7

8 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Rispetto ad u orizzote temporale plurieale pari ad, dato u capitale iiziale C 0 ed u saggio di iteresse costate per l itero periodo, al motate al termie dello stesso periodo (M ) si perviee Periodo (=ai) =0 C 0 C 0 C 0 C 0 =1 M 1=C 0+I 1 M1 = C 0 + C 0 r M1 = C 0 (1 + r) 1 M1 = C 0 q =2 M 2=M 1+I 2 M2 = M 1 + M 1 r M2 = M r 2 = C r r 2 M2 = C 0 q 2 =3 M 3=M 2+I 3 M3 = M 2 + M 2 r M3 = M r 3 = C r r 2 (1 + r) 3 M3 = C 0 q 3 = = M =M -1+I -1 M =M -1+M -1*r M = M r = C o 1 + r r r r M = C 0 q Ne cosegue che u motate dopo ai sarà pari a M = C 0 q dove [] è il umero delle volte che il capitale diviee fruttifero. Da cui è possibile sviluppare le segueti formule iverse Capitale iiziale C 0 = M q Saggio di iteresse r = M C 0 1 Data la relazioe Tempo q = M C 0, sviluppado si ha q = log q e metre M C 0 = log M log(c 0 ), da cui = log M log C 0 log(q). Per la determiazioe del tempo, ci si può avvalere ache di altri procedimeti, meo precisi ma comuque efficaci: a) tavole fiaziarie idividuado i tempo corrispodeza del coefficiete q più prossimo a quello calcolato come rapporto tra capitale fiale e cap<itale iiziale; b) metodo grafico poedo sull ordiate q ed i ascissa, riportado i valori progressivi al variare di e tracciado la cogiugete dei vari valori, avedo cura di compredere valori i cui estremi soo rispettivamete superiori ed iferiori al valore determiato come rapporto tra capitale fiale e capitale iiziale. L età i corrispodeza el puto di itersezioe co l asse delle ascisse è il tempo cercato. Le operazioi mediate l iteresse composto Posticipare implica calcolare il motate al termie del periodo aggregado i relativi iteressi delle varie aualità. Co questa operazioe il C 0 si accrescere degli iteressi maturati el corso del periodo che aualmete adrao ad aggregarsi al capitale stesso accrescedo il capitale su cui vao a computarsi gli iteressi del periodo successivo. Il motate o capitale fiale sarà superiore al capitale iiziale (M >C 0 ). Formalmete si ha: per la posticipazioe di u ao: per la posticipazioe di ai: M 1 = C 0 q M = C 0 q 8

9 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Aticipare implica depurare il capitale fiale della compoete degli iteressi maturati el corso del periodo, ovvero calcolare il capitale iiziale dato il motate, o capitale fiale, riferito all epoca. Il capitale iiziale sarà iferiore al motate o capitale fiale (C 0 <M ). Formalmete si ha: per l aticipazioe di u ao: C 0 = M 1 1 q per la posticipazioe di ai: C 0 = M 1 q. Posticipazioe (1 ) r q 1 (1 r) 1 q Aticipazioe t = ai 9

10 Valori ( ) C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Cofroto tra il regime dell iteresse semplice e quello composto Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Come già stato esposto, il regime dell iteresse semplice fa riferimeto ad iteressi o fruttiferi, metre quello composto attiee agli iteressi fruttiferi. Co riferimeto al motate al termie di u ao, o vi soo differeze, poiché motate semplice, t=1, si ha: M 1 = C 0 (1 + r t) = C 0 (1 + r) motate composto, t=1, si ham 1 = C 0 (1 + r) Le diversità esisteti si evideziao co su periodi plurieali, es. determii il motate al 10 ao di u capitale di 1000 al saggio del 10%. Metre il motate semplice cresce liearmete co ua ragioe aua costate (100 /ao), il motate composto ha u adameto crescete co il passare degli ai poiché aualmete aumeta il capitale rispetto al quale viee calcolato l iteresse dell ao successivo Ai Capitale Motate semplice Motate composto Iteressi semplici aui Iteressi composti aui Ai Comparazioe dell iteresse semplice e composto dato C0 1000, r=10% al termie dei 10 ai Iteresse semplice Iteresse composto Capitale Iteressi Iteressi iiziale semplici composti Motate semplice Iteressi totali Motate composto Iteressi totali Differeze aui aui ,00 0,00 0,00 0,00 0, ,00 100,00 100, ,00 100,00 100,00 0, ,00 100,00 200, ,00 110,00 210,00 10, ,00 100,00 300, ,00 121,00 331,00 31, ,00 100,00 400, ,10 133,10 464,10 64, ,00 100,00 500, ,51 146,41 610,51 110, ,00 100,00 600, ,56 161,05 771,56 171, ,00 100,00 700, ,72 177,16 948,72 248, ,00 100,00 800, ,59 194, ,59 343, ,00 100,00 900, ,95 214, ,95 457, ,00 100, , ,74 235, ,74 593,74 I I I I C0 C1= C0+I C2= C0+I C3= C0+I Rappresetazioe dell iteresse o fruttifero el corso degli ai 4 C4= C0+I tempo Rappresetazioe dell iteresse o fruttifero el corso degli ai I4 I3 I2 I C0 C1= C0+I1 C2= C1+I2 C3= C2+I3 4 C4= C3+I4 tempo 10

11 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Iteresse covertibile Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Gli iteressi maturati su u capitale si sommao al capitale medesimo volte el corso dell uità di tempo t ovvero ogi t periodi, dove t = t. Ne cosegue che il saggio di iteresse, avete base aua r, deve essere espresso come fuzioe del tempo t. Il saggio di iteresse è di orma defiito su base aua, ovvero esprime l icremeto di valore di 1 euro el corso di u ao. Se gli iteressi maturati si covertoo i capitale per il periodo successivo fosse diverso dall ao, ache il saggio di iteresse dovrà essere espresso ella medesima uità di tempo. Ne cosegue che se il tempo fosse espresso i uità iferiori (superiori), occorre dividere (moltiplicare) il saggio di iteresse per il umero di uità di tempo coteute el corso di u ao, ossia per il umero di volte che esso diviee fruttifero. I particolare se l uità di tempo a coclusioe del quale l iteresse si coverte i capitale è espresso i: trimestri, e cosegue che il saggio di iteresse auo dovrà essere diviso per il umero di periodi i cui è suddiviso l ao (el caso: r/4); i giori, settimae, mesi, ecc., il saggio di iteresse auo deve essere espresso rispettivamete su base gioraliera, (ovvero r/360 gg), settimaale (ovvero r/52), mesile (ovvero r/12), ecc.; i biei, il saggio di iteresse auo dovrà essere raddoppiato, (ovvero r*2). E possibile icotrare situazioi i cui il saggio di iteresse sia defiito per periodi diversi dall ao (superiori o iferiori), i tal caso deve essere esplicitamete idicato. Esempio: Dato u capitale iiziale C 0, il motate a fie ao al saggio r, cosiderado che gli iteressi soo fruttiferi ogi t* sarà: t t *, r c r t M C 1 r 0 C 0 1 r * t Iteresse composto cotiuo auo Regime fiaziario i cui l iteresse maturato sul capitale si somma i ogi istate al capitale che lo ha geerato. Passado dal fiito (vedi iteresse covertibile) all ifiito si ha: M = lim t C r t Dove e è il umero di Nepero (e=2,71828). t = C 0 e r t Nel caso i cui si iteda operare sul cotiuo, assumedo r quale fuzioe del tempo [r(t)], a geeralizzazioe dell espressioe precedete è: 11

12 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 M t = C 0 exp t r t dr 0 2. Aualità Co il termie di aualità si idetificao gli importi fiaziari percepite co ua cadeza auale. Le aualità possoo essere distite i fuzioe: della atura: variabili, ovvero vi è almeo u importo della serie è diverso dagli altri; oppure costati: ovvero tutti gli importi della serie soo uguali; della durata: a) limitate: gli importi costati aui soo i umero defiito, pari ad ; b) illimitate: gli importi costati aui soo i umero idefiito; del mometo temporale i cui si registrao el corso dell ao: a) aticipate gli importi costati aui cadoo ad iizio ao; b) posticipate gli importi costati aui cadoo al termie dell ao; c) mediamete aticipate gli importi costati aui cadoo a metà ao. A meo che diversamete specificato, è covezioe assumere che le poste fiaziarie, si collochio al termie del periodo (siao ormalmete posticipate). Occorre ricordare che o vi è ua covezioe su come debba essere espressa l evetualità che cadoo i altri mometi el corso dell ao. Ciò può essere idicato specificado che soo aticipate, oppure utilizzado locuzioi come ricorroo all iizio del periodo, etc. L accumulazioe. si itede l aggregazioe i u uico valore capitale i corrispodeza di u determiato mometo temporale, di ua serie di importi auali aveti cadeza aua, che cadoo i ai diversi rispetto ad u periodo temporale plurieale. l accumulazioe può essere iiziale, fiale oppure itermedia. Operazioi relative alle aualità costati posticipate limitate Accumulazioe fiale: creare u capitale alla fie della serie di aualità cotiue costati e posticipate, ormalmete idicato come mometo oppure t A = a q 1 + a q 2 + a q a q ( 1) + a q = = a q 1 + q 2 + q q 1 + q = a q 1 + q 2 + q q + 1 Quest ultima costituisce ua progressioe geometrica, che può essere espressa come: A = a q 1 r dove [] è il umero delle aualità che deve aggregarsi. Accumulazioe iiziale: creare u capitale all iizio della serie di aualità cotiue costati e posticipate, idicato come 0. 12

13 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 A 0 = a q 1 1 q + a q 2 1 q + a q 3 1 q + + a q ( 1) 1 q + a q 1 q = = a 1 q q 1 + q 2 + q q 1 + q = a 1 q q 1 + q 2 + q q + 1 Quest ultima costituisce ua progressioe geometrica, che può essere espressa come: A = a 1 q q 1 r dove è il umero delle aualità che si sommao. = a q 1 r q Accumulazioe itermedia: creare u capitale i u mometo itermedio della serie di aualità cotiue, costati e posticipate, idicato come m. Ciò equivale a dire che per le aualità precedeti il mometo m si effettuerà ua accumulazioe fiale al mometo m, metre per quelle segueti si effettuerà ua accumulazioe iiziale al mometo m. Formalmete A m = A 0 m + A m che sviluppado diviee ed A 0 m = a qm 1 r Accumulazioe delle aualit à precedeti il mometo "m" A m = a q m 1 r q m Accumulazioe delle aualit à segueti il mometo "m" Operazioi relative alle aualità costati aticipate limitate. Le operazioi eseguibili co questo tipo di aualità soo esattamete le medesime delle aualità posticipate avvaledosi delle medesime formule, fatta eccezioe per ua operazioe prelimiare fializzata a redere posticipata l aualità aticipata avvaledosi del coefficiete di posticipazioe: aualità aticipata aualità posticipata a a a =(a a *q) Accumulazioe fiale A = a a q q 1 r Accumulazioe iiziale A 0 = a a q q 1 r q 13

14 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre

15 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Formule iverse Determiazioe dell aualità data l accumulazioe fiale r a = A q 1 Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Nel caso dovesse sottedere l aualità da accatoare costatemete per per poter avere u capitale dispoibile el futuro pari ad A, questa è deomiata quota di reitegra. Determiazioe dell aualità data l accumulazioe iiziale r q a = A 0 q 1 Nel caso dovesse sottedere l aualità da versare costatemete per per poter estiguere u debito cotratto pari ad A 0, questa è deomiata quota di ammortameto. Costruzioe di u piao di ammortameto A B C D E F 1 T. deve comprare u'abitazioe del valore di A tal fie sottoscrive u mutuo quiqueale co rate semestrali costati posticipate al saggio di iteresse del 5%. 2 Capitale ,00 3 Saggio di iteresse auo % 5,00% 4 Saggio di iteresse semestrale % 2,50% 5 Rate 10 6 Piao di ammortameto 7 Numero Quote Quota Debito Debito rate Rateo costate capitale iteressi estito residuo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,97 825, , , , ,79 418, ,00-0, Piao di ammortameto (formule di calcolo) 21 Numero Quote Quota Debito Debito rate Rateo costate capitale iteressi estito residuo 22 0 =C3 23 =+B9+1 =C3*C5*((1+C5)^C6)/(((1+C5)^C6)-1) =C10-E10 =G9*$C$5 =D10 =G9-F10 24 =+B10+ 1 =C10 =C11-E11 =G10*$C$5 =F10+D11 =$G$9-F11 Operazioi relative alle aualità costati posticipate illimitate Accumulazioe iiziale Poiché A 0 = lim a q 1 1 r q = a r lim q 1 q 15

16 si ha C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx q 1 lim q = 0 Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 A 0 = a r Operazioi relative alle aualità variabili limitate Accumulazioe fiale A = a 1 q 1 + a 2 q a i q i + a q = i 0 a i q i Accumulazioe iiziale A 0 = a 1 1 q 1 + a 2 1 q a i 1 q i + a 1 q = a i 1 i 0 q i Dove a 1 a 2 a i a Costruzioe di u piao di ammortameto Il piao di ammortameto è uo strumeto fiaziario di uso comue a cui il cosumatore fa ricorso per l acquisto di u bee dal prezzo importate o avedo l itera somma a disposizioe e dovedo ricorrere ad u fiaziameto da parte del mercato fiaziario. Attraverso questo piao egli si impega a saldare il debito el corso di u periodo di tempo plurieale, mediate il versameto di ua rata co cadeza stabilita, compresiva di ua quota capitale, cocerete il pagameto del bee i seso stretto e della quota iteressi, relativa alla remuerazioe ricoosciuta a colui che ha reso dispoibili i capitali per l acquisto. Il piao di ammortameto è parte itegrale del mutuo ipotecario richiesto da u idividuo presso ua baca o altra istituzioe, per l acquisto dell abitazioe Gli elemeti fodametali per la costruzioe di u piao di ammortameto soo: debito [D]: capitale richiesto dal soggetto debitore, che si cofigura come u capitale aticipato di cui deve procedere all estisioe; durata []: periodo temporale espresso i ai el corso del quale il debitore si impega a saldare il debito; saggio di iteresse [r]: costo auo del debito cotratto dal soggetto debitore; periodicità di pagameto []: cadeza co cui il debitore si impega a pagare la rata, che può essere su base aua, oppure co cadeza superiore all ao (raramete) oppure iferiore all ao esempio mesile, bimestrale, trimestrale, etc.. 16

17 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 I fuzioe di quella che sarà la periodicità di pagameto occorre armoizzare alcui dei parametri fiaziari. Se la restituzioe del debito avviee mediate 1 rata/ao i parametri esposti soo già aturalmete armoizzati, viceversa, se le rate soo i umero superiore ad 1 rata/ao, esempio hao ua cadeza quadrimestrale [=4 mesi] si deve: quatificare le rate aualmete a pagameto, ossia [ = 12 ] dove 12 soo i mesi dell ao; covertire il saggio di iteresse da auo [r] i periodico [r ] attraverso la seguete relazioe r = r ρ, dove 12 soo i mesi dell ao. Il relativo fattore di 12 posticipazioe sarà [q = (1 + r )]; esprimere la durata del mutuo [t] come umero di periodi i cui cadoo a scadeza le rate [t] quatificato co la seguete relazioe t = 12 ρ Es.: assuta ua periodicità trimestrale per cui [=3 mesi], u saggio di iteresse auo del 6%, ed ua durata del mutuo di 3 ai, si avrà: [ = 12 ρ = 4 rate*ao] [r = 6% ρ 12 = 1,5%]; [t = 3 12 ρ = 12 rate]. Dati gli elemeti fodametali sopra idicati, sussistoo diverse modalità co cui può determiarsi il rateo, l importo della rata periodicamete saldata dal debitore, che può avveire al termie del periodo (posticipata) oppure i avvio dello stesso (aticipata) allorché specificatamete idicato. Co riferimeto ad u debito di da liquidarsi i 3 ai ad u saggio di iteresse auo del 6% co rate semestrali, si procederà ad illustrare i diversi schemi di calcolo del piao di ammortameto. ρ Piao di ammortameto co rata fissa. Esso è deomiato comuemete come piao alla Fracese e si caratterizza per avere u rateo periodico costate per l itero durata. Rateo Quota capitale Quota Iteressi Debito estito Debito residuo Numero a Q.Cap Q.It D.Est D rata r q i a = D [a-q.it] [D q i-1 *r] Q. Cap 1 1 D 0 D. Est i , ,95 600, , , , ,95 507, , , , ,95 411, , , , ,95 313, , , , ,95 211, , , , ,95 107, , ,00-17

18 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Piao di ammortameto co la quota capitale costate, oto ache come metodo Italiao. Si caratterizza per avere ua quota capitale costate e coseguetemete u rateo variabile per effetto della variazioe degli iteressi. Numero rata Rateo Quota Iteressi Quota capitale Debito estito Debito residuo Q.It Q.Cap D.Est D D 0 [Q.It+Q.Cap] [D i-1 *r] Q. Cap 1 D 0 D. Est i , ,33 600, , , , ,33 500, , , , ,33 400, , , , ,33 300, , , , ,33 200, , , , ,33 100, , ,00 - i Ua variate del piao di ammortameto co il metodo Italiao è quello co quota capitale costate per uità di misura (es, per uità di superficie), ma variabile i valore assoluto (co la superficie aua). Si distigue dal precedete per prevedere ua quota capitale variabile, pertato il rateo risulta ach esso variabile date le variazioi aue della quota iteressi e capitali. E il caso di u debito cotratto da ua azieda forestale per la redazioe del piao di assestameto, la cui estizioe è ua fuzioe della superficie della particella forestale aualmete oggetto di utilizzazioe. Numero rata Q. Capitale uitaria D 0 Parametro di variazioe Quota Capitale Quota Iteressi Rateo Debito Estito Q.Cap Q.It D.Est D D 0 i Debito Residuo Sup tot Sup i Sup Sup i [Q.It+Q.Cap] [Q.It+Q.Cap] Q. Cap tot 1 D 0 D. Est i /ha ha , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 - Superficie totale (ha)

19 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Piao di ammortameto co rata costate e pagameto degli iteressi aticipato, oto ache come metodo Tedesco. Preseta delle aalogie co quello a rata costate, ma ache sigificative differeze prevededo che al mometo della sottoscrizioe del mutuo si provveda alla liquidazioe degli iteressi per primo periodo sull itero capitale. L ammotare delle rate di estizioe del debito è calcolato co riferimeto al debito residuo degli iteressi e la rata è aticipata. Rate Rateo Quota iteressi aticipati Quota capitale Debito estito Debito residuo al etto iteressi aui aticipati Debito residuo al lordo degli iteressi aui aticipati a Q.It (at) Q.Cap D.Est D.Res(at) D.Res r q D. Res (at )0 q 1 1 q D. Res (at )0 r D. Res 0 Q. It at Q. it (at) i D. Res i a , , , , , , , , , , ,04 999, , , , , ,04 760, , , , , ,04 514, , , , , ,04 261, , , , , ,04-0, , ,00-0,00-0,00 Piao di ammortameto co due tassi, deomiato ache Americao. Differisce sostazialmete dagli altri schemi. Esso si articola i due piai Piao di fiaziameto che defiisce l ammotare auo degli iteressi sul debito sottoscritto ad saggio idicato come rii. Tale ammotare sarà iteramete restituito al termie del periodo di fiaziameto; Piao di pre-accumulato. Il debito è chiamato a creare u fodo el corso degli ai di durata del mutuo, tale che al termie dello stesso tra capitale versato e relativi iteressi maturati ad u saggio pari a rii si ha a disposizioe il capitale per estiguere il debito. Cocretamete il cotraete del mutuo versa rateo auo pari alla somma degli iteressi del piao co il capitale versato aualmete al fodo di pre-accumulo. N rata Piao fiaziameto Piao di pre-accumulo saggio di iteresse saggio di 6,00% iteresse 5% Debito Quota Capitale Fodo iteressi versato Pre-accumulo Iteressi D Q.It C.Ver F.PAcc It D D r D r q 1 Totale accumulato Rateo C. Ver i F. PAcc r C. Ver i + It i Q. It + C. Ver , , , , , , , ,00 78, , , , , ,27 158, , , , , ,78 240, , , , , ,52 325, , , , , ,56 411, , ,00 19

20 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx 3. Periodicità Operazioi relative alle periodicità costati posticipate limitate Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Accumulazioe fiale A t = P q t 1 q 1 dove è il turo e t il umero dei turi fio al mometo t Accumulazioe iiziale A 0 = A t 1 q t = P q t 1 q 1 1 q t dove è il turo e t il umero dei turi fio al mometo t Operazioi relative alle periodicità costati posticipate illimitate Accumulazioe iiziale 1 A 0 = P q 1 Dove è l itervallo di tempo co cui ricorroo le periodicità. Nel settore forestale è il turo o periodo di curazioe Accumulazioe iiziale A 0 = P a q 1 q 1 Quadro siottico delle formule di calcolo fiaziario (i sfodo grigio le formule da memorizzare, i sfodo chiaro le formule di ricavare) Trasferimeto di valori el tempo Valore a Formule da memorizzare Fattore di riporto o posticipazioe q Fattore di scoto o aticipazioe 1 q Formule da ricavare 20

21 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Aualità costati posticipate Poliaualità costati Valore Aualità a Valore poliaualità; P q Fattore di accumulazioe fiale di aualità limitate q 1 r Fattore di accumulazioe fiale di poliaualità limitate (1) t q q 1 1 Ultimo aggiorameto: 28 dicembre q Fattore di accumulazioe iiziale di aualità limitate q q Fattore di accumulazioe iiziale di poliaualità limitate (1) t q 1 1 t q 1 q Fattore di accumulazioe iiziale aualità illimitate (capitalizzazioe di aualità) 1 r Fattore di accumulazioe iiziale poliaualità illimitate (capitalizzazioe di poliaualità) 1 q 1 (1) Legeda: [t] ai itercorreti tra due successive poliaualità; [] umero dei turi. 4. Risoluzioe degli esercizi di matematica fiaziaria Schema metodologico I problemi di MF variao sigificativamete per quel che cocere i loro termii geerali, metre la loro soluzioe passa attraverso degli schemi comui avvaledosi della ristretta cerchia di formule di matematica fiaziaria. Altresì, cofrotado i testi di matematica fiaziaria ed estimo, questi riportao esercizi aaloghi. Ciò è dovuto all esigeza di soffermarsi soprattutto sulla metodologia e o al caso specifico. Lo schema logico per la soluzioe dei problemi di MF e mutatis mutadi per quelli estimativi, si articola elle segueti fasi: a) aalisi del testo ed idividuazioe del quesito a cui si deve risposta, ossia: cosa dobbiamo determiare?; b) idividuare il procedimeto più opportuo per poter dare risposta al quesito. Si tratta di idividuare lo schema logico-matematico di riferimeto che cosete di giugere all obiettivo richiesto co la formulazioe del quesito; c) esame delle iformazioi dispoibili ed idividuazioe degli ulteriori dati macati. Dato lo schema logico-matematico da applicare, occorre verificare se i dati dispoibili sia sufficieti per le elaborazioi ecessarie, ovvero quali soo i dati macati e dove è possibile acquisirli; 21

22 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 d) rappresetazioe grafica del problema rispetto all asse del tempo e schematizzazioe del procedimeto che si adrà a sviluppare; e) applicazioe del procedimeto risolutivo. Le elaborazioi che si adrao ad eseguire possoo essere: * prelimiari, fializzati a determiare dei dati strumetali per l applicazioe del procedimeto (obiettivi prelimiari); * risolutive, ovverosia foriscoo il risultato al quesito avazato; * di perfezioameto per esprimere il risultato ella formulazioe più opportua per rispodere al meglio al quesito; f) evideziare il risultato fiale, eucleare dal problema il risultato del quesito. Si cosideri che la risposta al quesito pricipale può effettuarsi seguedo diversi procedimeti. Ioltre è frequete che svolgedo lo stesso esercizio, seppur sia stato adottato il medesimo procedimeto, si possoo coseguire risultati leggermete diversi. Ciò o è u errore ma è dovuto al diverso livello di approssimazioe che spesso accompaga gli strumeti di calcolo. Esempio 1 T. decide di versare mesilmete il 15% del proprio stipedio che ammota ad 1800 ad ua assicurazioe co. Vuole cooscere il capitale dispoibile dopo 18 mesi di versameti. Saggio di iteresse 3,5%. 1. quesito pricipale: determiazioe del motate semplice al 18 mese 2. estrapolazioe dei dati primari e loro rappresetazioe grafica: m m m m m m m m m m m m m m m m m m Rappresetazioe grafica del procedimeto di calcolo: m m m m m m m m m m m m m m m m m m 4. defiire il procedimeto di calcolo: accumulazioe fiale di mesilità costati posticipate al termie del 18 mese. Prelimiarmete occorre a) 10 defiire la 15 mesilità accatoata, b) esprimere il saggio di iteresse su base mesile; 5. aalisi dei dati dispoibili ed itegrazioe di quelli macati: tutte le iformazioi utili soo coteute el testo; 7. Elaborazioi: a) Quota mesile accatoata Q m. le St 15% % = /mese 270 b) umero quote versate N. Qm. li ai 12 1,5 12 = 18 mesilità c) saggio di iteresse mesile r r m. le = 0,29% 12 Accumulazioe di mesilità costati posticipate limitate 18 q 1 1,029 1 Qm.le 270 = 4.982,38 r 0,29% Esempio 2: 22

23 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 U pioppeto della superficie di 12,45 ha è gestito co u ciclo colturale di 15 ai ed attualmete ha l età di 9 ai. La spesa di impiato riferita all ao 2 ammota a 1500 euro/ha. Successivamete si sostegoo spese aue per 150 euro/ha dal 3 al 5 ao e 60 /ha dal 6 al 15 ao, metre per l espiato delle ceppaie si sostiee ua spesa di 250 /ha. Dal taglio itercalare eseguito al 10 ao si ottiee ua produzioe di 80 m 3 /ha e dal taglio di fie turo di 180 m 3 /ha, rispettivamete al prezzo di macchiatico di 85 /m 3 ed 140 /m 3. Supposto che il pioppeto sia riovato costatemete, si determii il valore della piatagioe. Saggio di scoto 5%. 1) Quesito pricipale: stima del pioppeto al 9 ao; 2) Estrapolazioe dei dati primari e loro rappresetazioe:

24 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx 3) Rappresetazioe grafica del procedimeto di calcolo Ultimo aggiorameto: 28 dicembre Vm 3. defiire il procedimeto di calcolo: capitalizzazioe dei redditi periodici per i cicli successivi a quelli i corso a cui sommare il valore dei redditi futuri del ciclo i corso; Obiettivi prelimiari: a) cooscere la periodicità dell impiato;b) determiare i redditi futuri dell impiato del periodo compreso tra il 9 ed il 15 ao; 6. aalisi dei dati dispoibili ed itegrazioe di quelli macati: Tutti i dati utili e ecessari per rispodere al quesito soo coteuti el testo. Sommatoria dei ricavi(r) dall ao 0 all ao R 6 80*85* 1 5% 180* ,71 /ha Sommatoria delle spese dall ao 0 all ao % % 1500* 1 5% % S 250 = 5% 0 5% 4.240,95 /ha Reddito periodico del pescheto Rp R 0 0 S ,76 /ha Valore del capitale fodiario del pescheto (V 0 V 0 0 R q 0 1 S , ,95 = ,27 /ha % 1 Sommatoria dei ricavi dal 9 ao al 15 ao 24

25 15 R 9 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx % Sommatoria delle spese dall ao 9 all ao S 60* % % 658,11 /ha Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Valore uitario del pioppeto al 9 ao (Vm), determiato co il criterio dei redditi futuri. Vm V 0 15 R 9 m q 15 9 S , ,71 658, % Determiazioe del valore dell itero pioppeto V V Sup ,97 12,45 m, 12,45 m = ,24 = ,97 /ha 5. Uso del foglio elettroico ella matematica fiaziaria Impostazioe Per la soluzioe degli esercizi co foglio elettroico i dati debboo essere itrodotti i forma opportua. Di seguito è forito uo schema di riferimeto co cui impostare lo sviluppo dell esercizio, che o ha carattere vicolate. Esso distigue ua prima sezioe relativa all itroduzioe dati elemetari a cui segue la secoda relativa all elaborazioi. a) Itroduzioe dati elemetari coloa A: descrizioe sitetica del parametro; coloa B: uità di misura; coloa C: valore del parametro. b) Elaborazioi coloa A: descrizioe sitetica dell obiettivo del calcolo; coloa B: uità di misura; coloa C: itroduzioe della fuzioe di calcolo dalla cui risoluzioe scaturisce il valore. Nella sezioe del foglio dedicata alle elaborazioi, dapprima vegoo riportati gli obiettivi prelimiari di calcolo, quidi l obiettivo fiale e le evetuali operazioi di perfezioameto. 25

26 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Sitassi delle formule La coloa D riporta le fuzioi che hao geerato i risultati preseti ella coloa C. Dovedosi risolvere gli esercizi di matematica fiaziaria mediate l uso di foglio elettroico occorre familiarizzare ell itroduzioe delle formule. Queste, ifatti, debboo essere scritte secodo la sitassi prevista dal foglio elettroico. Occorre, comuque, ricordare che molte di queste formule soo già coteute ell archivio delle fuzioi del foglio elettroico e possoo essere utilmete impiegate, tuttavia, essedo già strutturate occorre compredere come lavorao per adottare evetuali accorgimeti al loro uso rispetto alle proprie esigeze. Scrittura delle formule dell iteresse semplice su foglio elettroico A B C C esplosa 2 Capitale iiziale Saggio di scoto 2,00% 4 Tempo Mesi Fuzioi dell'iteresse semplice 7 Iteresse semplice 0,50 =C2*C3*(C4/12) 8 Motate semplice 106,00 =C2*(1+(C3*C4)) 9 Scoto semplice commerciale 0,53 =C8*C3*(C4/12) 10 Scoto semplice razioale 0,53 =(C8*C3*(C4/12))/(1+(C3*(C4/12))) 26

27 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Scrittura delle formule dell iteresse composto co aualità costati su foglio elettroico A B C D E 2 Saggio di scoto R 3,50% 3 Aualità posticipata A 150,00 4 Tempo N ai Fuzioi dell'iteresse composto 7 Fattore di posticipazioe 1,0350 =(1+C2) 8 Fattore di aticipazioe 0,9662 =1/(1+C2) 9 Q.ta aua aticipata a 144,93 =C3/(1+C2) 10 Q.ta aua posticipata a 150,00 =C9*(1+C2) 11 Iteresse composto (per 1 ao) I 5,25 =C3*((1+C2)-1) 12 Iteresse composto (per ai) I 390,29 =C3*(((((1+C2)^C4)-1)/C2)-C4) 13 Motate composto auale M 155,25 =C3*(1+C2) Motate composto plurieale di aualità limitate 14 costati e posticipate (*) A 2.190,29 =C3*((((1+C2)^C4)-1)/C2) 15 Scoto composto razioale Scr 740,79 =C14*(((1+C2)^C4)-1)/((1+C2)^C4) 16 Acc. fiale di aualità limitate costati e posticipate A 2.190,29 =C3*((((1+C2)^C4)-1)/C2) 17 Acc. iiziale di aualità limitate costati e posticipate A ,50 =C3*((((1+C2)^C4)- 1)/(C2*((1+C2)^C4))) 18 Q.ta aua di reitegra a 150,00 =C16*(C2/(((1+C2)^C4)-1)) 19 Q.ta aua di ammortameto a 150,00 =C17*((C2*(1+C2)^C4)/(((1+C2)^C4)- 1)) 20 Q.ta aua di deprezzameto lieare a 61,73 =(C16-C17)/C4 21 Acc. iiziale di aualità illimitate costati e posticipate A ,71 =C3/C2 (*) Equivale Acc. fiale di aualità limitate costati e posticipate Scrittura delle formule dell iteresse composto co aualità variabili su foglio elettroico A B C C esplosa 2 Aualità Tempo ai 1 4 Aualità Tempo ai 2 6 Aualità Tempo ai 3 8 Aualità Tempo ai 7 10 Aualità Tempo ai Saggio di iteresse 4,50% Fuzioi dell'iteresse composto Acc. Fiale di aualità limitate, variabili, ,70 =(C2*(1+$C$12)^($C$7-C3))+(C4*(1+$C$12)^($C$7-C5))+ cotiue e posticipate +(C6*(1+$C$12)^($C$7-C7)) Acc. iiziale di aualità limitate, variabili, ,25 =((C2*(1+$C$12)^($C$7-C3))+(C4*(1+$C$12)^($C$7-C5))+ cotiue e posticipate +(C6*(1+$C$12)^($C$7-C7)))/((1+C12)^C7) =(C2*(1+$C$12)^($C$11-C3))+(C4*(1+$C$12)^($C$11-C5))+ Acc. Fiale di aualità limitate, variabili, ,47 +(C6*(1+$C$12)^($C$11-C7))+(C6*(1+$C$12)^($C$11-C9))+ cotiue e posticipate +(C6*(1+$C$12)^($C$11-C11)) =(C2*(1+$C$12)^($C$11-C3))+(C4*(1+$C$12)^($C$11-C5))+ Acc. iiziale di aualità limitate, variabili, ,64 +(C6*(1+$C$12)^($C$11-C7))+(C6*(1+$C$12)^($C$11-C9))+ cotiue e aticipate +(C6*(1+$C$12)^($C$11-C11))/((1+$C$12)^$C$11) 27

28 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Risoluzioe mediate l uso del foglio elettroico Esempio 1 Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 T. decide di versare mesilmete il 15% del proprio stipedio che ammota ad 1800 ad ua assicurazioe. Vuole cooscere il capitale dispoibile alla fie del 3 ao di versameti. Saggio di iteresse 3,5%. Sviluppo mediate foglio elettroico A B C C esplosa 1 Stipedio /mese 1.800,00 2 Percetuale stipedio accatoato 15% 3 Periodo accatoameto ai 3 4 Saggio di iteresse 3,50% 5 6 Obiettivi prelimiari 7 Quota mesile accatoata /mese 270,00 =C1*C2 8 Numero rate accatoate 36 =C3*12 9 Saggio di iteresse mesile 0,29% =C4/ Elaborazioi fiali 12 Capitale accatoato ,93 =C7*((((1+C9)^C8)-1)/C9) Esempio 2 U pioppeto della superficie di 12,45 ha è gestito co u ciclo colturale di 15 ai ed attualmete ha l età di 9 ai. La spesa di impiato riferita all ao 2 ammota a 1500 euro/ha. Successivamete si sostegoo spese aue per 150 euro/ha dal 3 al 5 ao e 60 /ha dal 6 al 15 ao, metre per l espiato delle ceppaie si sostiee ua spesa di 250 /ha. Dal taglio itercalare eseguito al 10 ao si ottiee ua produzioe di 80 m 3 /ha e dal taglio di fie turo di 180 m 3 /ha, rispettivamete al prezzo di macchiatico di 85 /m 3 ed 140 /m 3. Supposto che il pioppeto sia riovato costatemete, si determii il valore della piatagioe. Saggio di scoto 5%. Sviluppo mediate foglio elettroico A B C C esplosa 1 Superficie pioppeto ha 12,45 12,45 2 Ciclo colturale ai Età correte ai Spesa impiato complessiva al 2 ao /ha Epoca spesa impiato ai spese aue dal 3 al 5 ao /ha Ao di avvio spese aue 150 ai Ao di termie spese aue 150 ai spese aue dal 6 al 15 ao /ha Ao di avvio spese aue 60 ai Ao di termie spese aue 60 ai Spese espiato ceppaie a fie turo /ha Età produzioe itercalare ai Produzioe itercalare mc/h 80 a Produzioe fie turo mc/h 180 a Prezzo di macchiatico produzioe 10 ao /mc Prezzo di macchiatico produzioe 15 ao /mc Saggio di scoto 5% 5% Elaborazioi prelimiari 21 Accumulazioe dei ricavi al 15 ao /ha ,71 =(C16*C14)*((1+C18)^(C2-C13))+(C15*C17) 22 Accumulazioe delle spese al 15 ao /ha 4.240,95 =(C4*((1+C18)^(C2-C5)))+(C6*((((1+C18)^(C8-C7))- 28

29 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre )/C18)*((1+C18)^(C2-C8)))+(C9*((((1+C18)^(C11-C10))- 1)/C18))+C12 23 Reddito periodico pioppeto /ha ,76 =C21-C22 Valore fodiario del pioppeto ad iizio ciclo /ha 24 colturale ,27 =C23/((1+C18)^C2) Accumulazioe dei ricavi dal 9 al 15 ao /ha ,71 =((C16*C14)*((1+C18)^(C2-C13)))+(C15*C17) Accumulazioe delle spese dal 9 al 15 /ha 27 ao 658,11 =(C9*((((1+C18)^(C2-C3))-1)/C18))+C Elaborazioi fiali 30 Valore del pioppeto al 9 ao /ha ,97 =(C24+(C26-C27))/((1+C18)^(C2-C3)) Elaborazioi di perfezioameto 33 Valore dell'itera superficie a pioppeto ,24 =C30*C1 29

30 C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Ultimo aggiorameto: 28 dicembre Quadro delle pricipali formule di matematica fiaziaria Quadro delle pricipali formule di matematica fiaziaria relative all iteresse semplice Sc M Formula Deomiazioe Obiettivo I C 0 r Iteresse semplice M C 0 (1 r) Motate semplice Sc M r t Scoto semplice commerciale 1 M r t Scoto semplice 1 1 rt 1 r t matematico o razioale Determiare il capitale geeratosi (iteresse) el periodo idicato, al saggio d iteresse ifruttifero defiito. Determiare l importo complessivo (capitale ed iteresse) riferito alla fie del periodo idicato, al saggio di iteresse o fruttifero. Determia l ammotare di dearo da detrarre quale macato iteresse per il periodo di scoto t del motate M. Determiare l ammotare di dearo da detrarre quale macato iteresse per il periodo di scoto t dal motate M al saggio di iteresse ifruttifero. Quadro delle pricipali formule relative alla trattazioe delle aualità q 1 r 1 1 q (1 r) r C q M C0 1 0 r C q M C0 1 0 I C0 q 1 I C0 q 1 Fattore di posticipazioe Fattore aticipazioe su 1 ao Motate su ai composto su 1 ao Iteresse su composto ai 1 a0 a p * Aualità q aticipata a p a 0 q M q 1 Sc = A q q 1 a r Aualità posticipata Scoto composto di Accumulazioe fiale di limitate aualità costati, posticipate Coefficiete per cui moltiplicare u importo per posticiparlo di 1 ao. Assume sempre valori superiori all uità. Coefficiete per cui moltiplicare u importo per aticiparlo di 1 ao. Assume sempre valori iferiori all uità.. Dato u capitale iiziale, forisce il capitale fiale complessivamete dispoibile (capitale iiziale + iteressi) dopo u periodo limitato Forisce l iteresse composto che matura su u capitale al termie di u periodo defiito di tempo Determiare la quota aua posticipata (a p ), data la quota aticipata (a 0 ) ed il saggio di iteresse. Determiare la quota aua aticipata (a 0 ), data la quota aticipata (a p ) Forisce la somma di dearo da dedurre al motate fiale per otteere il capitale iiziale che maturerà tra ai. Forisce la somma di aualità costati posticipate. Si poe l obiettivo di creare u capitale alla fie del periodo di ai. 30