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1 Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza) La definizione di tale quantità scalare è L= F dl (unità di misura joule J) Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento, questo a volte può contrastare coll uso comune di lavoro fatto: es. per mantenere sollevata (in quiete) una valigia di 20 kg sicuramente compiamo uno sforzo (lavoro) ma dalla nostra definizione, il lavoro meccanico è L=0 J! Nel caso di una forza costante e di un cammino rettilineo si può semplificare l integrale L= F dl = F s = F s cos(α) con l il cammino percorso e α l angolo fra il vettore forza ed il vettore spostamento. Se α è minore di un angolo retto L>0 Se α è maggiore di un angolo retto L<0 nche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J. F α s 1 Energia è un termine generale per indicare la capacità di compiere lavoro. Iniziamo a definire l energia cinetica, ovvero un corpo può compiere lavoro perché è dotato di movimento K=½mv 2 (stesse unità di misura del lavoro) Teorema lavoro-energia Utilizziamo la seconda legge di Newton F dl=ma dl= ma vdt = ma dt v =m dv v= d(½ m v 2 ) Quindi il lavoro (meccanico) determina una variazione dell energia cinetica.in termini finiti L(i f) = ΔK = K f -K i Da osservare che questo teorema discende direttamente dalla 2 a legge di Newton e in molti casi permette di risolvere problemi in modo semplice e diretto senza risolvere le equazioni (differenziali) di moto. 2

2 Potenza La rapidità con la quale si riesce a compiere un certo lavoro viene chiamata potenza. Se nell intervallo di tempo Δt viene eseguito il lavoro L la potenza media sarà P=L/ Δt (potenza media) per intervalli sempre più brevi si arriva alla potenza istantanea P=dL/dt=F dl/dt =F v (unità di misura watt W) Questa quantità scalare è molto usata anche nel linguaggio comune: es. la potenza di motore di automobile è 45 kw 3 Forze conservative Forze per le quali il lavoro su un cammino chiuso è nullo L= F dl=0 questo vuol dire che il lavoro tra due punti risulta indipendente dal cammino che unisce i due punti c F dl= F dl= F dl= c d e d e 4

3 Preso un punto come riferimento (ricordarsi che esiste questa condizione, si definisce la costante di integrazione!) il secondo estremo dell integrale può essere spostato a piacere. Il lavoro compiuto non dipende dal cammino ma solo dal punto quindi L= F dl= f()=f(x,y,z) il lavoro è una funzione del punto. Si definisce come energia potenziale U la seguente funzione U= -L = - F dl ( è fissato ed è quindi funzione del punto ) la variazione di energia potenziale fra due punti e C corrisponde al lavoro eseguito contro la forza fra questi due punti C ΔU=U(C)-U()= -L( C) = - F dl 5 Consideriamo un percorso rettilineo lungo x, il lavoro di una forza conservativa che dipende solo da x è du U+cost =- F dl= F x dx da cui F x = (vale in una dimensione) dx In generale l energia potenziale dipenderà da x, y e z e quindi F = -( U/ x) î - ( U/ y) ĵ -( U/ z) k ^ tale operazione è detta gradiente (grad) e si definisce l operatore ^ vettoriale e differenziale nabla =( / x) î + ( / y) ĵ + ( / z) k F = - U cioè la forza è l opposto del gradiente dell energia potenziale (osservare che U è uno scalare mentre nabla formalmente un vettore, il risultato è perciò un vettore, ma nabla senza U non ha alcun senso, solo applicando a U si genera il vettore risultato) 6

4 Energia potenziale Energia posseduta da un corpo in virtù della sua posizione. Il lavoro svolto contro la forza conservativa viene immagazzinato nell energia potenziale. Es. un corpo portato ad una certa altezza in quiete può produrre lavoro se viene lasciato cadere ad una quota inferiore. Il lavoro che facciamo per alzarlo non viene perso ma si recupera con la caduta. Questo è il significato di forza conservativa. Cadendo l energia potenziale si trasforma in energia cinetica. Quindi esiste un legame fra i vari tipi di energia. Poiché dall en. potenziale si ricava la forza, è in genere preferibile calcolare U che è una quantità scalare e da U ricavare la forza. Vedremo che questo sarà utile in elettromagnetismo per il calcolo del campo elettrico. 7 Forze conservative sono ad esempio: forza elastica di una molla U=½kx 2 m M forza gravitazionale U=-G U=mgh r q 1 q 2 forza elettrica U= k r Per queste ultime si è definito U(r )=0 Esercizio: Usando la definizione, calcolare l energia potenziale delle 3 forze conservative. 8

5 Energia meccanica In meccanica, dal teorema lavoro-energia L= ΔK ma in presenza di forze conservative - ΔU = ΔK quindi U i + K i = U f + K f la quantità E= U + K è perciò uguale (costante) all inizio e alla fine del moto. E è l energia totale (meccanica) del corpo e in presenza di forze conservative vale la conservazione dell energia totale ΔE=0. Nel caso ci siano anche forze non conservative il lavoro può essere separato in Lc+Lnc= ΔK - ΔU + Lnc = ΔK Lnc = Δ(K+U) da cui Lnc= ΔE cioè si ha una variazione dell energia totale del sistema causata dal lavoro delle forze non conservative. 9 Lnc oltre che essere legato alle forze di attrito, tien conto se su un sistema abbiamo fatto del lavoro utilizzando forze esterne al sistema: Per esempio se lanciamo una palla verso l alto, il lavoro muscolare viene ceduto alla palla che modifica sia il suo stato di quiete (energia cinetica) sia la sua posizione (energia potenziale) Da osservare che Lnc= ΔE implica che il lavoro fatto modifica l energia totale del sistema e la rapidità con cui questo avviene permette di definire la potenza anche come P= ΔE / Δt e nel limite per Δt 0 P=dE/dt, questo va interpretato nel seguente modo: se una qualche forma di energia viene trasferita al sistema (scambio di energia) la potenza indica la rapidità con cui avviene questo scambio di energia. Es. curva di energia potenziale e moto limitato, punti di inversione del moto, forza. 10

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