Nella lezione precedente abbiamo visto che l'energia totale posseduta da un corpo di massa a riposo m 0 che viaggia con velocità v è pari a

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1 LEZIONE VI Il quadriettore Energia - quantità di moto. Nella lezione preedente abbiamo isto he l'energia totale posseduta da un orpo di massa a riposo m he iaggia on eloità è pari a m E = m = (1) D'altra parte, sappiamo anhe he la quantità di moto relatiistia è pari a : m p = m = () Utilizzando le relazioni (1) e (), si erifia immediatamente he, qualunque sia la eloità della partiella, soddisfano la relazione: E e p 4 E p = m (3) La relazione (3) resta alida in qualunque riferimento inerziale. In partiolare, nel riferimento inerziale solidale on il orpo al tempo t, sappiamo he p = mentre l'energia E in eq.(1) si ridue all'energia a riposo E = m, in aordo on quanto si ottiene ponendo p = in eq.(3). Se si seglie un qualunque altro riferimento inerziale doe la eloità del orpo è, la (3) resta anora alida. Riordando he p in eq.(3) rappresenta il modulo del ettore quantità di moto, la (3) può essere anhe sritta nella forma equialente: E 4 p p p = m (4) x y z doe p x, p y e p z sono le omponenti x,y e z del ettore quantità di moto. Ma l'equazione (3) è analoga all'equazione di inarianza relatiistia he aeamo troato per il ettore spostamento quadridimensionale ( τ, x, y, z ) per il quale alea la relazione generale: τ - x - y - z = τ (5) Doe, τ è l'interallo di tempo misurato in metri-lue, x, y e z sono le omponenti dello spostamento e τ è l'interallo di tempo proprio misurato nel riferimento doe il orpo è fermo. Analogamente, E in eq.(4) rappresenta l'energia totale del orpo, p x, p y e p z rappresentano le omponenti della quantità di moto e m 4 è il quadrato dell'energia a riposo E = m del orpo, ioè l'energia del orpo nel riferimento in ui esso è fermo. La (4) stabilise he, nel passare da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, i alori di E, p x, p y e p z ambiano ma la ombinazione in eq.(4) resta sempre ostante. Ora, in eq.(4) ompaiono l'energia E della partiella e le omponenti della quantità di moto he hanno dimensioni fisihe dierse ( l'energia è una massa per una eloità al quadrato, mentre la q.m. è una massa per una eloità). Dunque, oniene diidere l'energia per in modo da ottenere una grandezza he ha le stesse dimensioni fisihe della quantità di moto. Dopodihè si può definire il quadriettore Energia-quantità di moto P = (E/, p x,p y,p z ) (6) La relazione (4) i assiura he P rappresenta proprio un quadriettore perhè il modulo quadridimensionale di P risulta inariante in qualunque riferimento inerziale proprio ome il modulo quadridimensionale del quadriettore ( τ, x, y, z ). Infatti, la (4) si può sriere nella forma equialente: 51

2 E E p x p y p z = (7) he è formalmente identia alla relazione (5) he definise il quadriettore spostamento se si sostituise τ on E/, x on p x e osì ia. Si noti he E/ gioa lo stesso ruolo della ariabile temporale τ mentre p x, p y, e p z quello delle oordinate spaziali x,y,z. Per quanto detto nelle lezioni preedenti, ogni olta he le 4 omponenti di una grandezza quadridimensionale soddisfano una relazione di inarianza del tipo in eq.(7), allora tale grandezza rappresenta un quadriettore relatiistio he gode di tutte le proprietà aratteristihe di un quadriettore. In partiolare, se E/, p x,p y e p z rappresentano i alori delle omponenti del quadriettore in un riferimento inerziale S, allora le omponenti in un altro sistema inerziale S' in moto on eloità rispetto a S si possono ottenere utilizzando le relazioni di Lorentz doe E/ sostituise il tempo τ ( espresso in metri-lue), p x sostituise x, p y sostituise y, p z sostituise z e doe è sostituito dalla eloità adimensionale β = /. Dunque le nuoe omponenti del quadriettore P nel sistema S' sono legate a quelle in S dalle relazioni: E ' = γ p β (8) x p x p ' = p (9) y y p ' = p (1) z z E' E = γ βp x (11) La orrettezza delle relazioni (8)-(11) può anhe essere dimostrata utilizzando le definizioni di energia e quantità di moto in equazioni (1) e () e tenendo onto he la eloità si trasforma da un riferimento inerziale ad un altro seondo le relazioni troate nella lezione III. L'energia si onsera sempre. Le equazioni (8)-(11) sono molto importanti perhè esse mettono in lue il fatto he l'energia e la quantità di moto sono strettamente ollegate l'una all'altra. Infatti, dalla (8) si dedue he la quantità di moto misurata nel sistema S' dipende dal alore dell'energia misurato in un dierso sistema S. Analogamente, l'energia misurata in S' dipende dal alore della quantità di moto in S [ edi eq.(11)]. Questo ha una onseguenza molto importante: la onserazione della quantitità di moto implia neessariamente he si debba anhe onserare l'energia. Infatti, supponiamo per assurdo he, in un dato riferimento S, alga la onserazione della quantità di moto ma non la onserazione dell'energia. Allora orrebbe dire he nel sistema di riferimento S, algono le due relazioni: p xi =p xf e E i E f. (1) doe i suffissi i ed f indiano "iniziale" e " finale". Ma allora, la omponente x della quantità di moto non si onsererebbe più in S'. Infatti, utilizzando la (8), si troa p' xf -p' xi =γ β (E i -E f )/ Dunque, se la onserazione della quantità di moto dee alere in ogni sistema di riferimento inerziale, ome rihiesto dal PRINCIPIO DI RELAIVIA', allora tutte le omponenti del quadriettore energia-quantità di moto e, in partiolare l'energia, si deono onserare. Noi aeamo raggiunto la stessa onlusione analizzando il aso partiolare di un urto totalmente anelastio, ma l'analisi fatta sopra mostra he questo è un risultato del tutto generale e strettamente legato al fatto he energia e quantità di moto fanno parte di un unia entità fisia, il quadriettore energiaquantità di moto. Utilizzando la (3) si troa un' espressione he lega l'energia di un orpo alla quantità di moto: 4 E = m + p (13) Questa espressione alternatia alla (1) risulta spesso utile nella risoluzione di problemi fisii. 5

3 Le onde elettromagnetihe e i fotoni. Come è noto, la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell mostra he un ampo elettromagnetio osillante si può propagare nello spazio uoto on eloità sotto forma di onda elettromagnetia. Un'onda elettromagnetia monoromatia è ostituita da un ampo elettrio e un ampo magnetio he osillano nel tempo ad una data frequenza. Un tipo partiolarmente importante di onda è l'onda piana; in essa il ampo elettrio e il ampo magnetio giaiono sempre sul piano perpendiolare alla direzione di propagazione (asse x) e sono fra loro perpendiolari (edi fig.1). Ad un generio istante t, il ampo elettrio e il ampo magnetio in tutti i punti di uno stesso piano perpendiolare all'asse x hanno lo stesso alore (onda piana). E H x direzione di propagazione figura 1 Per un'onda piana polarizzata linearmente i ampi E ed H si mantengono sempre paralleli a due assi ortogonali y e z e i alori del ampo elettrio E e di quello di induzione magnetia B ( B = µ H ) in un generio piano indiiduato dalla oordinata x ed ad un generio istante t sono dati da: E = E os [π(x/λ - ν t)] (14) B = B os [π(x/λ - ν t)] (15) doe E e B sono, rispettiamente, le ampiezze del ampo elettrio E e del ampo di induzione magnetia B, mentre λ è la lunghezza d'onda he è legata alla frequenza ν e alla eloità dell'onda dalla nota relazione: ν = /λ (16) Al ariare del alore della frequenza, ambia il tipo di onda elettromagnetia. Le frequenze tipihe anno dalle frequenze delle onde radio ( ν 1 6 Hz = 1 MHz), delle miroonde ( ν Hz), delle onde luminose ( ν 1 15 Hz), fino ad arriare a quelle dei raggi X (ν 1 18 Hz) e dei raggi γ (ν 1 Hz). Come noto, molte di queste onde elettromagnetihe hanno troato importanti appliazioni sia nella ita di tutti i giorni (onde radio, onde V...) he in mediina ( radiazione laser, raggi X, raggi γ...). La teoria Elettromagnetia permette di dedurre tutte le proprietà fondamentali delle onde elettromagnetihe a partire dalle equazioni di Maxwell. In partiolare, sulla base di tale teoria, si può dimostrare he un'onda elettromagnetia trasporta energia e quantità di moto. Che un'onda elettromagnetia trasporti energia è eidente per tutti. Infatti, è proprio attraerso i suoi raggi luminosi he il Sole i risalda e permette la ita sulla terra. Ma osa uol dire he l'onda trasporta quantità di moto? Vuol dire he, se un'onda elettromagnetia inide su una parete e iene da essa assorbita, non solo la parete si salda ( l'energia dell'onda iene assorbita) ma essa aquista anhe una quantità di moto p pari alla quantità di moto he è stata assorbita nel tempo t. Ne onsegue he la parete subise una forza F = p/ t ( pressione di radiazione) he, seppur normalmente piola, è stata effettiamente misurata negli esperimenti. Per un'onda monoromatia piana he si propaga nel uoto lungo l'asse x, si dimostra he l'energia per unità di olume ( densità di energia elettromagnetia) è pari a u = ε E (17) doe ε = F/m è la ostante dietettria del uoto. La quantità di moto per unità di olume ( densità di quantità di moto) è, inee, data da p = u/ (18) 53

4 In un famoso laoro pubbliato nel 195, Einstein mostrò he l'effetto fotoelettrio, ioè l'emissione di elettroni da un onduttore inestito da radiazione luminosa ( edi Parte II del orso), può essere spiegato assumendo he l'onda luminosa sia ostituita da un insieme di orpusoli, detti fotoni, he si muoono lungo la direzione di propagazione dell'onda on eloità e aenti un'energia pari a ε = h ν (19) doe h è una ostante aratteristia he iene detta ostante di Plank ed è pari a h = Js. I fotoni sono distribuiti in tutti i punti dello spazio doe è presente l'onda on una densità n ( n = numero di fotoni per unità di olume). Poihè iasun fotone trasporta l'energia hν, allora la densità di energia, ioè l'energia per unità di olume, sarà anhe uguale ad u = n hν. Dunque, il numero di fotoni per unità di olume può essere failmente alolato se si onose la densità di energia elettromagnetia u utilizzando la relazione: n = u/(hν) () enendo onto he la densità d'energia u è proporzionale al quadrato del ampo [ eq.(17)], si dedue he i fotoni si addensano maggiormente nei punti dello spazio doe il ampo elettrio dell'onda elettromagnetia è più intenso. D'altra parte, se p è la quantità di moto trasportata da un singolo fotone, la quantità di moto per unità di olume p dell'onda, si otterrà moltipliando p per n. Dunque p = n p = up/(hν) (1) Confrontando p in eq.(1) on quello in eq.(18) si troa: u up = hν hν ε p = = () In onlusione, i fotoni sono partielle on energia ε e quantità di moto p pari a: hν ε = hν, p = (3) Ma ome è possibile he una partiella abbia eloità pari a quella della lue? In effetti, aeamo isto in preedenza he, per poter far aquistare la eloità della lue ad un orpo materiale di massa a riposo m è neessario fornire al orpo un'energia infinita, mentre l'energia di un fotone ha il alore finito in eq.(3). La risposta a questo quesito è he il fotone è una partiella molto diersa da tutte le altre partielle he sono oggetto delle nostre osserazioni perhè esso ha massa a riposo m =. Infatti, se sostituiamo i alori di ε e p dati dalla (3) nell'equazione (3), si troa m =. Ciò uol dire he, l'energia del fotone è solamente energia inetia ( non è possibile osserare un fotone fermo). Più in generale, qualunque partiella he iaggi on eloità uguale a è neessariamente una partiella on massa a riposo nulla. Conseguentemente, per tale partiella, l'energia E dee essere legata alla quantità di moto p dalla relazione E = p [( edi eq.(13)]. L'effetto Doppler. Le onsiderazioni preedenti i permettono di troare failmente le relazioni he desriono un importante fenomeno riguardante le onde elettromagnetihe: l'effetto Doppler. Questo effetto si presenta quando un'onda elettromagnetia di frequenza ν iene emessa da una sorgente he si muoe on eloità rispetto ad un dato "osseratore" (ν rappresenta la frequenza misurata nel riferimento doe la sorgente è ferma). In tal aso, la frequenza he iene misurata dall'osseratore è maggiore di ν se la sorgente si sta aiinando all'osseratore, mentre è minore di ν se essa si sta allontanando. Un fenomeno qualitatiamente simile ma quantitatiamente dierso si erifia anhe per le onde non di tipo elettromagnetio ome le onde sonore. utti noi, infatti, possiamo failmente osserare he il fishio di un treno appare più auto ( alta frequenza) se esso i iene inontro e dienta, inee più basso ( bassa frequenza) quando esso si allontana da noi. Lo stesso aiene per la sirena di un'atombulanza o dei pompieri. Nel aso delle onde elettromagnetihe si deono distinguere due asi: 1) Effetto Doppler longitudinale. Questo aso si presenta quando la direzione di propagazione della radiazione è lungo lo stesso asse x su ui si sposta la sorgente ome mostrato shematiamente in figura, doe A rappresenta il punto doe si troa l'osseratore he riee la radiazione e B rappresenta la sorgente. Se è la eloità della sorgente lungo l'asse x nel riferimento S 54

5 dell'osseratore, allora è anhe la eloità di trasinamento del riferimento S' solidale on la sorgente rispetto ad S. Qui india la omponente della eloità lungo x e, quindi, > se la sorgente si allontana dall'osseratore in A e < nel aso opposto. A B x figura Per troare il alore inognito della frequenza ν misurata dall'osseratore he si troa nel punto A, possiamo appliare la legge di trasformazione in eq.(11). Infatti, l'energia dei fotoni luminosi nel riferimento della sorgente ( S' ) è ε' = hν, mentre nel riferimento S sarà ε = hν, doe ν è la frequenza he ogliamo troare. Qui siamo interessati a alolare la frequenza dei fotoni he sono emessi dalla sorgente ( punto B in fig.) e raggiungono l'osseratore posto in A. Questi fotoni si muoono, oiamente, nel erso negatio delle x. La quantità di moto dei fotoni nel riferimento S è un ettore di modulo p = hν / diretto lungo l'asse x nel erso negatio, dunque la omponente x della quantità di moto è p x = - hν /. Ma allora, sostituendo questi alori nella (11) ( ε' = hν al posto di E', ε = hν al posto di E e p x = - hν /), si troa immediatamente la formula fondamentale dell'effetto Doppler longitudinale: hν = hν h ν γ = ν = ν (4) 1 + Per ottenere l'ultima espressione a destra, abbiamo utilizzato le relazioni: γ = 1 = e = Nella maggior parte dei asi di interesse, la eloità della sorgente è, in modulo, molto minore di. Dunque, le radii in eq. (4) possono essere approssimate utilizzando l' approssimazione ( 1+x) α 1+ax. In tal aso, la (4) dienta sempliemente: ν = ν 1 (4) Se la sorgente si allontana dall'osseratore [ > in eq.(3) e (4)], allora la frequenza ν misurata è minore di quella emessa dalla sorgente, l'opposto aiene se la sorgente si aiina all'osseratore ( < ). L'espressione approssimata in eq.(4) oinide on il risultato he si ottiene lassiamente utilizzando le trasformazioni di Galileo al posto di quelle di Lorentz. Dalla (4) si dedue he la eloità on ui si muoe la sorgente può essere failmente ottenuta da una misura delle frequenze ν e ν. In partiolare, dalla (4) si dedue = (ν-ν )/ν. L'effetto Doppler iene oggi orrentemente utilizzato per misurare la eloità di un orpo in moimento ( eloimetria Doppler). Infatti, le tenihe sperimentali 55

6 per misurare le differenze di frequenze sono oggi estremamente aurate e permettono di determinare on preisione la eloità dei orpi utilizzando l'effetto Doppler. ) Effetto Doppler trasersale. In questo aso, si onsidera anora una sorgente B he si muoe on eloità lungo l'asse x rispetto ad un osseratore posto in A. staolta, però, l'osseratore si troa lungo un asse y perpendiolare all'asse x ome mostrato shematiamente in figura 3. y A B x Figura 3 La radiazione elettromagnetia he raggiunge l'osseratore è quella he si propaga, periò, nel erso positio dell'asse y in direzione perpendiolare al moto della sorgente. Dunque, a differenza del aso preedente, la omponente x della quantità di moto dei fotoni è p x =. Le energie dei fotoni in S' e S sono anora date, rispettiamente, da ε' = hν e ε = hν. Sostituendo queste espressioni ( on p x =) nella (11) si troa immediatamente la formula dell'effetto Doppler trasersale: ν ν = = ν (5) γ Dunque, in questo aso, qualunque sia il erso di moto della sorgente, la frequenza ν misurata dall'osseratore è sempre minore di ν. In questo aso, inee, il risultato he si ottiene utilizzando le trasformazioni lassihe di Galileo è ν =ν he si ottiene dalla ( 5) nel limite /. Osseriamo he le espressioni aratteristihe dell'effetto Doppler poteano essere anhe ottenute direttamente a partire dalle espressioni dei ampi di un'onda piana [equazioni (14) e (15)] andando a edere ome si trasformano i ampi E e B nel sistema di riferimento S' in moto rispetto alla sorgente. In questo sistema di riferimento, le oordinate spazio-temporali dientano x' e t' e la nuoa frequenza dell'onda risulta data dalle espressioni (4) e (5). Eserizio: lo studente ritroi la formula dell'effetto Doppler longitudinale (4) seguendo questa diersa proedura. In partiolare, dimostri he, se il ampo elettrio nel sistema S della sorgente dipende da x e t ome os[π(x/λ -ν t)] allora, nel sistema S' in moto rispetto alla sorgente, il ampo dipende da x' e t' ome os[π(x'/λ -ν t')] doe νλ = e doe ν è legata a ν dalla relazione (4). Analogamente, l'effetto Doppler trasersale si ritroa failmente appliando le trasformazioni di Lorentz ad un'onda he si propaga lungo l'asse y. In tal aso, nel sistema S, il ampo elettrio dipende da y e t ome os[π(y/λ -ν t)]. CONSEGUENZE DELLA CONSERVAZIONE DELLA QUANIA' DI MOO E DELL'ENERGIA. In quest'ultima parte della lezione, analizziamo alune onseguenze della legge di onserazione della quantità di moto e dell'energia e della legge E = m. La massa a riposo di un orpo dipende dalla sua temperatura. Una prima onseguenza della onserazione dell'energia è il fatto he, in ia di prinipio, la massa a riposo di un orpo dipende dalla temperatura del orpo. Infatti, se m è la massa a riposo del orpo ad una temperatura, allora 56

7 l'energia da esso posseduta è m. Se, però, il orpo iene saldato portandolo ad una temperatura >, allora la sua energia dorà aumentare perhe' la sua energia termia è aumentata di una quantità pari a C (- ), doe C è la apaità termia del orpo. Dunque, dopo essere stato saldato, il orpo arà l'energia E = m + C (- ) e, quindi, una massa a riposo M = E/ = m + C (- )/. L'aumento della massa a riposo è failmente spiegabile se si pensa he un orpo marosopio fermo è in realtà ostituito da moleole he si muoono aotiamente on energia inetia he rese all'aumentare della temperatura. Il entro di massa del orpo resta fermo ma i singoli ostituenti ( atomi e moleole) si muoono sempre più all'aumentare della temperatura. Dato l'alto alore di, però, il ontributo termio all'energia dei orpi marosopii è sempre trasurabile. Ad esempio, onsideriamo 1 kg di aqua a temperatura iniziale = C he iene saldato fino a raggiungere la temperatura = 9 C. Riordando he la apaità termia di 1 Kg di aqua è C = 4186 J/kg C, la ariazione di massa è M = C (- )/ Kg he è, oiamente, trasurabile rispetto a m = 1 kg. In una reazione himia la massa a riposo dei prodotti non è uguale alla massa a riposo dei reagenti. Una delle leggi fondamentali della Chimia è la nota legge di onserazione della massa di Laoisier. Seondo tale legge, ad esempio, se due sostanze reagisono insieme per formare una nuoa sostanza, la somma delle masse dei reagenti è uguale alla massa totale dei prodotti della reazione. La relatiità mostra he questa legge è era solamente in prima approssimazione perhè, in ia di prinipio, la somma delle masse a riposo dei reagenti può essere sia maggiore he minore di quella dei prodotti. Ad esempio, possiamo onsiderare il aso di due moleole di idrogeno ( H ) he reagisono on una moleola di ossigeno (O ) per formare due moleole di aqua ( H O). Come è noto, questa reazione è esotermia, ioè 'è siluppo di alore he può essere utilizzato per la produzione di energia ( motore a idrogeno). Dopo la reazione, i prodotti di reazione si troano a temperatura più alta di quella iniziale dell'ambiente irostante, ioè l'energia di agitazione termia dei prodotti di reazione è più alta. Per la onserazione dell'energia, dunque, una parte delle masse a riposo dei reagenti si è trasformata in energia inetia dei prodotti di reazione. Dunque, la massa finale del prodotto della reazione, dopo he esso ha raggiunto nuoamente la temperatura iniziale, dee essere minore della somma delle masse dei reagenti prima della reazione. Sapendo he il alore siluppato in una reazione in ui sono presenti moli di H e 1 mole di O è E = 57 KJ, mentre la loro massa totale è M = 36 g, si stima he la ariazione relatia di massa è M/M = E/(M ) Anhe nel aso delle reazioni himihe, dunque, l'energia termia prodotta è molto minore di quella iniziamente assoiata on le masse a riposo e, quindi, seppur approssimata, la legge di Laoisier desrie in modo più he soddisfaente le reazioni himihe. Il fatto he la massa a riposo non sia additia e, ioè, he la massa a riposo del prodotto finale non sia uguale alla somma delle masse a riposo dei omponenti, si spiega failmente in termini energetii. Consideriamo, ad esempio, due atomi di idrogeno ( H ) di diametro D.1 nm he si troano a grande distanza ome mostrato shematiamente in fig.4a. Sappiamo he he questi atomi tendono a formare una moleola stabile H doe i entri dei due atomi si troano a distanza d raiinata ( d D) ome mostrato shematiamente in figura 4b. d d H H H figura 4a figura 4b Oiamente, se gli atomi si legano insieme per formare una moleola stabile, uol dire he i sono delle forze he tendono a trattenere i due atomi nella loro posizione finale di equilibrio. In effetti, utilizzando le leggi dell'elettrostatia, si può dimostrare he, se gli atomi di idrogeno si troano a distanza apprezzabilmente maggiore del loro diametro, essi sono soggetti ad una forza attrattia di origine elettria he rese rapidamente al diminuire della distanza ( forza di Van der Waals). Oiamente, se gli atomi fossero sferette rigide, i loro entri non potrebbero aiinarsi più di un diametro, ioè, quando arriassero a toarsi, si silupperebbero delle forze repulsie estremamente intense he impedirebbero un ulteriore aiinamento. Si può dimostrare he, effettiamente, quando gli atomi arriano a distanze onfrontabili on il loro diametro, nasono delle nuoe forze di tipo repulsio doute alle interazioni fra le nuole elettronihe he tendono a respingerli ed ad impedirne la ompenetrazione. Dunque, in ondizioni di equilibrio, gli atomi tenderanno a disporsi a quella distanza d D in ui la forza totale è nulla, ioè nel punto doe la forza attrattia uguaglia esattamente quella repulsia. Dalla Meania sappiamo he una posizione di equilibrio stabile è quella posizione in ui l'energia potenziale assume il minimo alore ome aiene, ad esempio, nel aso di una pallina nel fondo di una unetta. In figura 5 è mostrato l'andamento tipio dell'energia potenziale del sistema dei due atomi in funzione del rapporto h = d / L, doe L D è la distanza fra i entri degli atomi nella moleola in ondizioni di 57

8 equilibrio. Nel rappresentare l'energia potenziale U, abbiamo assunto ome zero dell'energia la posizione in ui i due atomi si troano a distanza infinita. La porzione di ura resente ( h > 1) rappresenta la regione doe domina la forza attrattia, mentre quella deresente ( h < 1) è quella doe domina la forza repulsia. La posizione di equilibrio h = 1 è quella doe l'energia è minima ed ha il alore negatio U = - E = -.5 u.a. in fig.5. figura 5 Supponiamo, ora, he la massa a riposo di un atomo di idrogeno isolato sia m. Allora, quando i due atomi si troano fermi a distanza molto grande ( h >>1) l'energia totale del sistema è E ot = m. Inee, nel aso in ui i due atomi si troino fermi in h =1, ioè si troino aggregati sottoforma di moleola H, l'energia totale è E' ot =E ot - E = M, doe M è la massa a riposo della moleola H. Oiamente, E' ot < E ot e, quindi, in ia di prinipio, M < m anhe se la differenza fra le due masse ( M e m ) è piolissima. Le reazioni nuleari. Fino ad ora abbiamo mostrato he, in ia di prinipio, in una reazione himia le somme delle masse a riposo dei ragenti non sono uguali a quelle dei prodotti della reazione. uttaia, le energie siluppate od assorbite nelle reazioni himihe sono estremamente piole se onfrontate on le energie inizialmente presenti sotto forma di massa a riposo dei reagenti. Questo aiene perhè le forze di interazione fra atomi sono relatiamente piole. Dunque, il ontributo di queste forze all'energia totale dei orpi è sempre del tutto trasurabile e la legge di Laoisier è pratiamente "esatta". Ben dierso è iò he aade nel aso delle reazioni nuleari nelle quali, ad esempio, il nuleo di un atomo si "spaa" diidendosi in partielle più piole. In questo aso, le forze fra le partielle subnuleari sono molti ordini di grandezza più grandi di quelle he aratterizzano le reazioni himihe e, di onseguenza, le energie in gioo non sono più ompletamente trasurabili rispetto alle energie immagazzinate nelle masse a riposo. Queste reazioni risultano, periò, estremamente promettenti dal punto di ista energetio. Sono possibili due asi diersi: 1- Fusione Nuleare In questo aso due partielle he inizialmente sono separate si aiinano fino ad aggregarsi per formare una partiella più grossa. Le forze he tengono unite le partielle sono forze nuleari. Se l'energia di interazione fra le partielle ha un minimo quando esse si troano ad una data distanza ( edi, ad esempio, fig.5), l'energia potenziale finale delle due partielle sarà minore di quella iniziale e, quindi, una parte della massa a riposo delle due partielle si sarà onertita in un'altra forma di energia (energia inetia delle partielle) he può essere sfruttata per la produzione di energia. Fino ad oggi questo proesso di fusione nuleare è stato utilizzato solamente per appliazioni bellihe ( bomba H) ma è tuttora in orso in tutto il mondo un noteole sforzo olto a realizzare entrali he sfruttino la fusione nuleare. Proessi di questo tipo aengono spontaneamente nelle stelle e sono responsabili dell'enorme quantità di energia emessa dal nostro Sole he permette la ita sulla terra. I proessi di fusione possibili sono numerosi. Uno partiolarmente importante è quello in ui un nuleo di deuterio ( H ) formato da un protone e un neutrone si unise on un nuleo di rizio ( 3 H ) formato da un protone e neutroni. Nella reazione si forma un nuleo di Elio 4 He ( neutroni + protoni) ed un neutrone libero entrambi on un'energia inetia piuttosto eleata. La reazione nuleare si srie: H + 3 H 4 He (3.5 Me) + n (14.1 Me) Le energie fra parentesi rappresentano le energie inetihe delle partielle risultanti dopo he è aenuta la fusione. Come si ede, le energie in gioo non sono più trasurabili rispetto alle masse a riposo delle partielle ( dell'ordine di alune migliaia di Me). Una parte della massa a riposo inizialmente presente ( ira.5%) si onerte in radiazione 58

9 he iene assorbita dalla materia del Sole e si trasforma in energia termia o in altre forme di energia ( ad esempio energia luminosa). Queste iolente reazioni nuleari possono aenire solamente negli strati più interni del Sole doe le temperature sono eleatissime ( milioni e milioni di gradi). Infatti, i nulei interagisono fra loro on due tipi diersi di forza: la forza elettrostatia e l'interazione forte. Ora, l'interazione forte fra i nulei è una forza nuleare he, ome die il nome stesso, è una forza estremamente intensa he tende a tenere i nulei uniti, ma questa forza ha la aratteristia di deresere enormemente all'aumentare della distanza fra i nulei. Già a distanze di pohi diametri nuleari, la forza dienta trasurabile rispetto a quella elettria. D'altra parte, la aria elettria dei nulei di deuterio e trizio è pari a quella di un protone, dunque essi, aendo la stessa aria elettria, tendono a respingersi elettriamente. Finhè essi si troano a distanze apprezzabilmente maggiori del loro diametro, la forza elettria repulsia preale su quella nuleare attrattia ed essi tendono a respingersi. Se, inee, i nulei arriano suffiientemente iini, allora le forze nuleari attrattie dientano dominanti e i nulei si aiinano sempre di più fino a formare un unio nuleo di He. In onlusione, se si uole he la reazione di fusione aenga, è neessario he i nulei riesano a inere le forze repulsie elettrostatihe fino ad arriare suffiientemente iini. Questo aiene, ad esempio, se si "spara" un nuleo ontro l'altro on una eloità suffiientemente alta in modo da superare la barriera di potenziale elettrostatia. Questo è il motio per ui la reazione di fusione neessita il raggiungimento di temperature estremamente alte. Infatti, l'energia inetia media dei nulei è proporzionale alla temperatura assoluta. Se la temperatura è suffiientemente eleata, la loro eloità media è suffiientemente alta da permettere loro di superare la barriera di energia potenziale douta alla forza repulsia di origine elettrostatia e la reazione di fusione dienta possibile. Per realizzare la fusione nuleare per appliazioni iili si dorebbe prendere una erta quantità di deuterio e trizio e portarli a temperature eleatissime onfrontabili on quelle he engono raggiunte nel nuleo entrale del Sole. Ma, a queste temperature, qualunque materiale dienta gassoso e, quindi, si presenta il problema di ontenerlo all'interno di un dato reattore nuleare, portarlo a temperature eleatissime, senza he le pareti del ontenitore entrino in ontatto on esso eaporando immmediatamente. Questo pone, oiamente, grossi problemi tenologii he hanno reso e rendono tuttora molto diffiile la realizzazione di reattori nuleari a fusione anhe se negli ultimi deenni sono stati fatti molti importanti progressi in questo settore. Questo tipo di reattori nuleari presenterebbero enormi antaggi rispetto alle entrali nuleari a fissione. Il primo antaggio è he la materia prima è ostituita dal Deuterio e dal rizio he sono failmente reperibili ( essi sono presenti in piole perentuali nell'aqua), mentre l' Uranio neessario per i reattori a fissione è molto raro e si troa in aree ristrette del pianeta. Il seondo, ma non meno importante, antaggio è he le sorie radiattie he si engono a produrre nella fusione sono deisamente meno periolose di quelle da fissione poihè esse hanno una ita media molto minore. - Fissione nuleare. In questo aso, un dato nuleo si "spezza" in più parti e la somma delle energie a riposo dei ari " pezzi" è minore di quella iniziale del nuleo. Dunque, le partielle he si formano hanno un'energia inetia he può essere sfruttata per la produzione di energia per appliazioni iili o per la ostruzione di bombe atomihe. Questo aiene per aluni nulei pesanti ome l'uranio 35 he si india on 35 U. Questi nulei sono instabili, ioè, tendono a spezzarsi, e engono detti radiattii. Per apire osa oglia dire instabile, onsideriamo, il semplie esempio di due nulei A e B he siano uniti insieme formando in un unio nuleo AB. I due nulei rimarranno sempre attaati se la loro energia di interazione a questa distanza è la minima possibile, ome aenia in h =1 nel aso dell'energia rappresentata in figura 5. Nel aso dei nulei radiattii, inee, la forma qualitatia dell'energia è quella mostrata in figura 6 doe h=d /L rappresenta il rapporto fra la distanza d fra i entri dei due nulei A e B e il alore L di questa distanza quando i nulei si troano uniti a formare il nuleo AB ( h =1 in fig.6) In questo aso la posizione h =1, he orrisponde al aso in ui i nulei formano un unio nuleo AB, è una posizione di minimo relatio per l'energia ma non di minimo assoluto ( l'energia è minima quando A e B si troano a distanza infinita)..7 U (unità arbitrarie) E(AB) 1 3 h 4 5 Figura 6 59

10 Dunque, se il nuleo si spezza in due pezzi A e B he si allontanano suffiientemente ( h >>1), l'energia E(AB) inizialmente presente nel nuleo AB si trasforma in energia inetia delle partielle A e B. Ciò signifia he la massa a riposo del nuleo AB è maggiore di quella dei due nulei A e B separati e he una parte dell'energia immagazinata nella massa a riposo iniziale si è trasformata in energia inetia. Ora, dalla figura 6 si omprende failmente he il proesso di separazione dei nulei A e B non può aenire spontaneamente. Infatti, la posizione h = 1 in figura 6 orrisponde ad un minimo relatio dell'energia e, per poter allontanare i nulei da tale posizione, è neessario he qualuno fornisa dall'esterno l'energia neessaria per superare la barriera di potenziale Ε in figura 6 ( Ε rappresenta la differenza di energia fra i punti di massimo e di minimo relatio in figura 6). Una olta superata la barriera di potenziale, l'energia inizia a deresere all'aumentare della distanza e iò signifia he i due nulei iniziano a respingersi allontanandosi sempre più l'uno dall'altro. Nel aso della fissione dell'uranio 35, l'energia neessaria per innesare la reazione iene fornita da un neutrone he urta l'atomo di Uranio. Dopo l'urto, il nuleo di Uranio si spezza in due nulei più leggeri e in un erto numero di neutroni liberi he, a loro olta, possono urtare on un altro nuleo di Uranio prooando una nuoa fissione e osì ia. Se il numero di nulei presenti è piolo, la probabilità he uno dei neutroni emessi nella reazione di fissione olpisa un altro nuleo è piola e, quindi, le reazioni di fissione sono in numero limitato. All'aumentare della massa dell' uranio 35, aumenta il numero di nulei presenti e, quindi, la probabilità he un neutrone emesso in una reazione di fissione olpisa un altro nuleo prooando una nuoa fissione. Se la massa di Uranio 35 supera un alore ritio M, il numero di neutroni emessi in una fissione he prooano mediamente un'altra fissione dienta superiore ad 1. In tal aso, ogni nuleo he si spezza produe mediamente un'altra reazione nuleare e osì ia ( reazione a atena ) dando luogo ad una enorme quantità di energia prodotta. La ondizione M > M è quella he aratterizza il funzionamento di una bomba nuleare ome quella he enne sganiata sulla ittà di Hiroshima durante la II guerra mondiale. Nel aso, inee, dei reattori nuleari doe si uole produrre energia in modo ontrollato, la massa di Uranio dee essere sempre mantenuta molto prossima ma inferiore al alore ritio. Date le eleatissime energie in gioo nelle reazioni nuleari, l'energia he si riese ad ottenere è estremamente eleata se onfrontata on le energie prodotte nelle ordinarie reazioni himihe. Ad esempio, l'energia prodotta da un grammo di Uranio potrebbe essere ottenuta solamente bruiando dierse tonnellate di petrolio o di arbone ( 1 tonnellata = 1 miliardo di grammi!). Si noti he questa energia rappresenta anora una piola ( pohi millesimi) frazione dell'energia ontenuta inizialmente nella massa a riposo. Dunque, se fosse possibile trasformare interamente l'energia di massa a riposo in altre forme di energia ( termia, elettria...), bruiando un solo grammo di materia si potrebbero ottenere energie omparabili on quelle prodotte da dierse migliaia di tonnellate di petrolio!. 6