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1 L ENERGIA Lavoro Energia Conservazione dell energia totale Energia cinetica e potenziale Conservazione dell energia meccanica Forze conservative e dissipative Potenza Rendimento di una macchina pag.1

2 Lavoro Lavoro = F s = F s cosα forza spostamento = forza spostamento Simile al concetto di sforzo, ma dipendente dalla direzione relativa tra forza e spostamento Es. Camminando con una valigia in mano, il lavoro della forza peso è: in piano L=0 in salita L<0 in discesa L>0 Relazione tra joule e erg: α F s L = F s = F s J = N m SI cgs pratici joule erg energia (kwh, cal, ev,...) 1 J = 1 N m = (10 5 dine) (10 2 cm) = 10 7 dine cm = 10 7 erg joule pag.2 Es.

3 Energia Energia = capacità potenziale di compiere lavoro meccanico stessa unità di misura del lavoro: joule si manifesta in forme diverse e si puo trasformare da una forma all altra. Il lavoro compiuto su un corpo diventa energia immagazzinata, cioe capacita di compiere ulteriore lavoro. - cinetica - potenziale gravità - potenziale elastica - potenziale elettrica - termica (calore) - chimica - nucleare -... PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA In un sistema isolato, l energia totale rimane costante. non si crea e non si distrugge: si trasforma! pag.3

4 Energia cinetica Ogni corpo in movimento e dotato di energia in base alla sua massa e alla sua velocita Energia cinetica: T = ½ mv 2 Aumento di velocita = somministrazione di energia (e viceversa) Teorema dell energia cinetica (conservazione dell energia) L = T = T 2 -T 1 = ½ mv 2 2 ½ mv 2 1 Il lavoro compiuto da una forza su un corpo e uguale alla variazione della sua energia cinetica. pag.4

5 Forze conservative e dissipative - 1 Una forza e conservativa se il lavoro (1) A compiuto contro di essa per spostare un (3) (2) corpo dal punto A al punto B non dipende dal cammino seguito, ma solo dalla posizione relativa dei punti A e B. B In questo caso il corpo (o meglio il sistema corpo-campo) immagazzina questo lavoro sotto forma di energia potenziale (Ep), riutilizzabile per compiere altro lavoro. NB: NON ha senso definire una Ep per un corpo isolato Se invece il lavoro dipende dal cammino seguito, viene perduto sotto forma di energia non riutilizzabile (es. energia termica, cioè calore, negli attriti) e la forza e detta dissipativa. pag.5

6 Forze conservative e dissipative - 2 Definizione equivalente: Una forza e conservativa se il lavoro compiuto contro di essa per spostare A (3) un corpo dal punto A al punto B e uguale e contrario al lavoro compiuto per farlo ritornare (1) (2) da B a A, indipendentemente dal cammino seguito. Quindi il lavoro di andata e ritorno lungo qualunque traiettoria chiusa e nullo. B Lavoro delle forze di attrito (sempre contrarie allo spostamento): L AB (< 0) + L BA (<0) = L tot <0 sempre negativo (mai nullo) Es. s F A A B s F A pag.6

7 Forze conservative e dissipative - 3 Se una forza e conservativa si può A definire una opportuna funzione (3) scalare della posizione (U(x) = f(x) + k) detta energia potenziale, sempre definita a meno di una costante arbitraria, in modo che: L AB = U A U B = - U (1) (2) Questo permette di ricavare una importante relazione funzionale tra F e U: F = -du/dx (caso 1-D) F = -(du/dx, du/dy, du/dz) (caso 3-D) Nota l energia potenziale si ricava la forza e viceversa. B pag.7

8 Esempio: energia potenziale gravitazionale Lavoro compiuto da/contro la forza peso nella caduta da A a B: L AB nel sollevamento da B a A: -L AB F = mg, s=h=h A -h B L AB = mg (h A -h B ) y z suolo Energia potenziale gravitazionale: U(h) = mgh + k L AB = U(h A ) U(h B )= mgh A -mgh B Forza peso: -du/dh = -mg x linee di forza A p = mg B h A h = h A h B h B NB: U = U(h), dipende solo dall altezza h rispetto al suolo (coord.y), non dalle coord. orizzontali x e z. Tipicamente si pone U(0) = k = 0J potenziale e relativa a un punto di riferimento arbitrario (dipende dal dislivello tra due punti, non dall altezza assoluta) pag.8

9 Energia potenziale gravitazionale: esempio I Gia pag.9

10 Esempio: energia potenziale elastica Energia potenziale elastica: U(x) = k/2 d 2 + cost. con d = x x 0 Forza elastica (lungo asse x): F = - du/dx = -k (x x 0 ) NB: al solito entra in gioco d = x - x 0, cioè l allungamento (d > 0) o la compressione (d < 0) della molla rispetto alla posizione di equilibrio x 0. U è quindi relativa rispetto a questo punto, in cui si pone tipicamente: U(x 0 ) = cost. = 0J. La forza pag.10

11 Conservazione dell energia meccanica Energia meccanica = energia cinetica T + energia potenziale U In generale, in un campo di forze conservative: L = T = T B -T A } T B -T A = U A U B T A +U A = T B +U B L = U A U B } CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA (per un sistema isolato) In un campo di forze conservative (es. moto senza attriti sotto l azione della forza peso), la somma dell energia cinetica e potenziale rimane costante. pag.11

12 Esempio: moto di caduta dei gravi Trascurando gli attriti, l energia totale (meccanica) e costante: E tot = T in + U in = T fin + U fin all inizio: T in = 0J, U in = mgh alla fine: T fin = ½mv 2, U fin = 0J m E tot = mgh = ½mv 2 h altezza iniziale velocita finale h = v 2 /2g v = 2gh (indipendenti dalla massa) Stessi risultati ottenuti con la cinematica... pag.12

13 Conservazione energia meccanica: esempio II Gia pag.13

14 Conservazione energia meccanica: esempio III Gia pag.14

15 Conservazione energia meccanica: esempio IV Pendolo semplice Problema: determinare v(ϑ), se inizialmente il pendolo è in quiete a ϑ = ϑ o = 10. Metodo-I: a partire dall equazione del moto lungo l arco di circonferenza (coordinata x = Lθ) F = ma - mg sinθ = md 2 x/dt 2 = mld 2 ϑ/dt 2 d 2 ϑ/dt 2 = - g/l sinθ facilmente risolvibile nell approssimazione a piccoli angoli sinϑ ϑ (dallo sviluppo di Taylor: sinϑ ϑ - ϑ 3 /3! +. ) d 2 ϑ/dt 2 = - g/l θ θ, la cui soluzione che soddisfa alle condizioni iniziali (ϑ(0) = ϑ 0, dϑ/dt 0 = 0) è ϑ(t) = ϑ 0 cos(ωt), con ω = (g/l) moto periodico con periodo T = 2π π (L/g) e ampiezza ϑ 0 (isocronismo delle piccole oscillazioni) v(ϑ) = Ldϑ/dt = - Lωϑ 0 sin(ωt) = - Lωϑ 0 (1-cos 2 ωt) v(ϑ) Lω ω (ϑ 02 - ϑ 2 ) = (gl(ϑ 02 - ϑ 2 )) Metodo-II: considerando la conservazione dell energia meccanica (ad un generico ϑ) T i + U i = T f + U f, con T i = 0J; T f = 1/2mv 2 (ϑ); U i = mgl(1-cosϑ 0 ); U f = mgl(1-cosϑ); v(ϑ) = (2gL(cosϑ - cosϑ 0 )) (gl(ϑ 2 0- ϑ 2 )) per piccoli angoli (cosϑ 1 - ϑ 2 /2! + ) NB: soluzione NON approssimata, ottenuta in modo immediato!!! pag.15

16 Conservazione dell energia Etot = Emec + Eth + Ein Etot = energia totale Emec = energia meccanica = T (cin.) + U (pot.) Eth = energia termica (energia cinetica interna ) Ein = energia interna (generica, diversa da Eth) Principio di CONSERVAZIONE DELL ENERGIA totale Etot di un sistema può variare solo se viene trasferita energia dal/al di fuori del sistema Es.: forza esterna che compie un lavoro L sul sistema L = Etot = Emec + Eth + Ein pag.16

17 Potenza meccanica potenza = lavoro compiuto tempo impiegato P = L/ t P Una macchina e tanto piu potente quanto piu riesce a fornire una certa energia (tipicamente lavoro) nel minor tempo possibile. W = J/s L F s = = = F v Definizione equivalente: t t MKS: watt cgs: erg/s pratico: hp=735 watt watt Potenza = forza velocita kilowattora: 1kWh = 1kW 1h = 10 3 W 3600 s = J unita di lavoro, non di potenza pag.17

18 Rendimento di una macchina rendimento = lavoro utile prodotto energia totale impiegata In presenza di attriti, una parte dell energia impiegata va dispersa sotto forma di calore e non puo essere utilizzata per gli scopi richiesti. η = (100 ) L/E tot % adimensionale η<1 (<100%) Rendimento del cuore: η % Es. Processi biochimici contrazione muscolare produzione di energia potenziale chimica lavoro meccanico + calore pag.18

19 Esercizi (I) Es. 1 Una cassa viene trascinata mediante una corda su un pavimento senza attrito per una distanza d = 1 m. Si supponga che la forza con cui la corda viene tirata sia pari a 100 N e che la direzione della corda formi un angolo θ = 45 rispetto all orizzontale. (a) Quanto vale il lavoro effettuato dalla forza sulla cassa? (b) Per quale valore di θ tale lavoro è massimo? Es. 2 (Esempio Gia) Una palla da baseball di 145 gr viene lanciata con una velocità di 25 m/s. (a) Quale è la sua energia cinetica? (b) Che lavoro totale viene compiuto sulla palla per farle raggiungere tale velocità, se è partita da ferma? Es. 3 (Esempio Gia) Quanto lavoro è necessario per accelerare un auto di massa 1000 Kg da 20 m/s a 30 m/s? Es. 4 (Esempio Gia) Un auto che viaggia a 60km/h è in grado, frenando, di fermarsi in un tratto di 20 m. Se l auto stesse viaggiando ad una velocità doppia (120 Km/h), quale sarebbe la sua distanza di arresto? Si assuma che la massima forza frenante sia indipendente dalla velocità. - Esercizi pag.19

20 Esercizi (II) Es. 5 Un corpo si trova a 10 m dalla superficie terrestre. Quale deve essere il valore della sua massa per cui la sua energia potenziale in questa posizione, rispetto a quella relativa al suolo, sia pari a 4.9 J? Es. 6 Supponiamo che un atleta, avente una massa di 70 Kg, effettui una marcia di 10 Km lungo un percorso in salita che lo porti dal livello del mare sino a 1000 m di altezza. Quale è l aumento del suo consumo energetico (in calorie) rispetto ad un percorso in piano di 10 Km? Si trascurino gli eventuali effetti legati al cambiamento del metabolismo umano con l altezza. Es. 7 (Esempio Gia) Una pietra viene fatta cadere da un altezza di 3 m rispetto al suolo. Determinare la sua velocità quando arriva ad un altezza di 1 m dal terreno. Es (Gia) Quanto impiega un motore da 1750 W per sollevare un pianoforte di 315 Kg sino alla finestra del sesto piano, a 16 m di altezza dal suolo? - Esercizi pag.20

21 Esercizi (III) Es (Gia) Se un auto sviluppa 18 hp di potenza mentre viaggia a una velocità costante di 88 Km/h, quale deve essere la forza media esercitata dall attrito e dalla resistenza dell aria sull auto? Es (HRW) Una palla di massa 0.5 Kg viene gettata verticalmente in aria con velocità iniziale di 4 m/s e raggiunge la massima altezza di 0.8 m. Quale è la variazione di energia meccanica del sistema palla-terra, durante l ascesa, da attribuirsi alla forza di resistenza aerodinamica? Es (HRW) Si tiene sotto osservazione la temperatura di un cubo di plastica mentre viene spinto per 3 m strisciando sul pavimento sotto l azione di una forza orizzontale di intensità 15 N. dal rilevamento si calcola che l energia termica del cubo è cresciuta di 20 J. Di quanto è cresciuta l energia termica del pavimento? Es (HRW) Un nuotatore avanza in acqua alla velocità media di 0.22 m/s. Che potenza dissipa sapendo che la resistenza dell acqua presenta una forza di 110 N? - Esercizi pag.21

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