L'oligopolio di Cournot

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1 L'oligopolio di Cournot Esaminiamo la soluzione di Cournot al problema della formazione dei prezzi e delle quantità di equilibrio in oligopolio. Partiamo dal caso più semplice, quello in cui gli oligopolisti sono solo due. Si parla in questo caso di duopolio. Il modello di Cournot si basa sull'ipotesi seguente: ciascun duopolista (sia il duopolista A che il duopolista B) crede che il suo rivale continuerà a produrre una certa quantità, indipendentemente dalla quantità che egli stesso produce. Sulla base di tale ipotesi, ciascun duopolista calcola la quantità da produrre per massimizzare i propri profitti individuali. educendo la quantità fissa del rivale B dalla quantità totale indicata dalla funzione di domanda di mercato per ciascun prezzo, A può innanzi tutto ricavare la propria ipotizzata funzione di domanda individuale. Tale funzione di domanda individuale, data la quantità che A congettura sarà prodotta da B, è chiamata funzione di domanda residuale. A può quindi procedere ad eguagliare il suo ricavo marginale al suo costo marginale. Tuttavia, nessun duopolista congettura correttamente la quantità che il rivale produrrà. Infatti B generalmente non mantiene l'output costante, ma a sua volta produce la quantità che massimizza i suoi profitti sulla base della ipotesi che A produca un output fisso. i conseguenza la coppia di output realizzata in generale non dura, ossia non è fissa: ogni duopolista, quando scopre la quantità effettivamente realizzata dal rivale, adegua le proprie aspettative a tale quantità, mantenendo l'ipotesi che essa resterà fissa. Solo quando entrambi, adattando il proprio output al simultaneo output dell'altro, raggiungono l output di equilibrio, allora l'ipotesi che essi fanno sull'altro è "quasi corretta". Infatti è diventato vero che l'altro continua a produrre una quantità fissa, anche se la ragione non è nel fatto che segue una politica di output fisso, indipendentemente dall'output del rivale. Rappresentiamo geometricamente le funzioni di reazione, assumendo che la funzione di domanda sia lineare e che i produttori abbiano costi marginali costanti e dello stesso livello. output di B F F 3 output di A Augustin Cournot, Recherche sur les principes mathématiques de la théorie de richesses, 838.

2 Misuriamo sull'ascissa l'output di A subordinato a quello di B. Chiamiamo F la curva che indica l'output di A in funzione di quello di B ed F la curva che esprime l'output di B in funzione dell'output di A. F ed F sono chiamate funzioni di risposta ottima o di reazione. Entrambe le funzioni declinano monotonicamente, come indicato nella figura. Infatti più uno produce, meno produrrà l'altro, perché quest'ultimo ipotizza che la propria funzione di domanda individuale sia collocata più a sinistra. Le due curve si intersecano e l'intersezione segna un equilibrio stabile. In altri termini, alla destra dell'intersezione l'output di A tende a cadere e quello di B a crescere, mentre alla sinistra l'output di A tende a crescere e quello di B a cadere, così che l'equilibrio viene restaurato in caso di disturbi. Il punto mostra l'output di B che indurrebbe A a non produrre nulla, mentre il punto mostra l'output che B produce se A non produce nulla. La prima di queste due quantità è l'output concorrenziale dell'industria, mentre la seconda quantità è l'output monopolistico di B. L'output concorrenziale supera quella monopolistico. Per la stessa ragione l'output di A nel punto 3 deve essere più piccolo che nel punto. Il punto corrisponde all'output concorrenziale e il punto 3 all'output monopolistico di A. Le funzioni di reazione (F e F ) sono lineari se ipotizziamo, come abbiamo fatto, funzioni di domanda lineari e costi marginali costanti. i conseguenza il punto di equilibrio stabile è l'unico punto di intersezione. Inoltre egli output individuali degli oligopolisti, date le identiche funzioni di costo, sono uguali. E' facile inoltre mostrare che sulla base di queste ipotesi l'output duopolistico aggregato è pari a due terzi dell'output concorrenziale, mentre l'output monopolistico è pari a metà dell'output di concorrenza pura. Sulla base di analoghe ipotesi per l'oligopolio caratterizzato dalla presenza di molti oligopolisti (invece di due soli), l'output oligopolistico aggregato sarà n volte l'output concorrenziale, dove n indica il numero dei produttori. n + Per chiarire il problema partiamo da funzioni di domanda lineari e da costi marginali costanti pari a C. Sia la funzione di domanda di mercato: P a - bx a - b ( + ), dove P è il prezzo, X è l output complessivo dei due duopolisti e + sono i due output individuali. Sia a che b sono costanti positive. Il duopolista a cui applico l'indice tratta come è costante. Allora P a - b ( + ) è la funzione di domanda, vista da A, sulla base dell'ipotesi che. Il ricavo totale di A sarà: P a - b - b La condizione di massimizzazione dei profitti per A è l'uguaglianza di ricavo marginale e costo marginale, che abbiamo supposto uguale a C. Allora a - b - b C. Quindi la funzione di reazione di A sarà: b ()

3 dove è espresso in funzione di. Per ragioni analoghe la funzione di reazione di B sarà: () b Si ha equilibrio quando e (cioè le quantità di produzione del rivale che vengono congetturate sono effettivamente quelle che si verificano, per entrambi i duopolisti). Quindi Sostituisco in () : b b da cui risulta che in equilibrio (dove ): ovvero: Sostituendo in (), risulta che anche L'output totale sarà:. b 3 a C X NC + 3 b ( a C) Ove X NC è la quantità totale dell equilibrio di Nash-Cournot. Il risultato ottenuto ci dice che in un duopolio di Cournot in cui le due imprese sostengono costi marginali uguali (duopolio simmetrico), le imprese producono la stessa quantità di output in equilibrio. Esse dunque si divideranno esattamente in due il mercato. eterminiamo ora il profitto che ciascuna impresa realizzerà producendo la quantità appena determinata. Per fare questo occorre prima determinare il prezzo di equilibrio. Sostituendo X NC all interno della funzione di domanda di mercato si ottiene: a C P NC + a b 3 espressione che può essere utilizzata per il calcolo del profitto di A nel modo seguente: NC NC NC P NC a + C 3 ( a c) C. C + ;

4 In modo analogo si potrà calcolare anche il profitto dell impresa B. NC ( a c) Si noti come il profitto di duopolio appena calcolato sia inferiore a quello di monopolio, M ( a c) che avevamo visto essere:. Il caso in cui le imprese hanno costi diversi Analogamente a quanto visto in precedenza, nel caso in cui i costi marginali non siano uguali (ovvero nel caso in cui C C ) le funzioni di reazione delle due imprese saranno: b b Infatti per massimizzare i profitti ciascuna impresa ha uguagliato il ricavo marginale al proprio costo marginale. Si può notare che più alti sono i costi dell impresa, più a sinistra sarà spostata la sua funzione di reazione. X F X Sostituendo a la funzione di reazione di B e a la funzione di reazione di A si ottengono le quantità prodotte in equilibrio da ciascuna impresa, che sono rispettivamente per A e B:

5 e + C + C Si può notare come in questo caso la quantità prodotta da ciascuna impresa dipenda direttamente dai costi sostenuti dall impresa rivale, oltre che dai propri costi. Se i costi dell impresa rivale aumentano allora la produzione dell impresa i cui costi non sono variati aumenterà anch essa, mentre diminuisce la produzione del rivale. Quindi il caso di un duopolio asimmetrico mostra che esiste un vantaggio per l impresa più efficiente (quella con i costi marginali più bassi), la quale produrrà una quantità maggiore della rivale, realizzando così una quota di mercato maggiore. Il caso in cui le imprese sono numerose Quando gli oligopolisti sono n la funzione di domanda è: P a - b ( n ) Il ricavo totale di A sarà pertanto: a -b - b ( n ) Per massimizzare il profitto, l'oligopolista A sceglie la quantità da produrre uguagliando il ricavo marginale al costo marginale. Ipotizziamo ora per semplicità che il costo marginale sia uguale per tutte le imprese. Quindi: a - b - b ( n ) C a b ( b n ) - C (3) In equilibrio tutti gli n sono uguali e quindi la (3) diventa: da cui si ricava che: a b (n - ) - C b 5

6 ( n + ) b La produzione totale del settore X sarà pari a n. Quindi: X n ( n +). b Si vede che all'aumentare del numero di oligopolisti la quantità offerta aumenta. Cosa succede ai prezzi? ato che la funzione di domanda del mercato è P a - bx, avremo che: P a - b n ( n +) a - b n( ) ( n + ) a + nc a n + C. n + n + n + Si vede quindi che il prezzo scende all'aumentare del numero degli oligopolisti presenti sul mercato. L equilibrio con leadership Nel duopolio di Cournot le imprese prendono le loro decisioni sulla quantità da produrre simultaneamente in base alla loro curva di reazione. Vediamo ora il modello di duopolio di Stackelberg (93), che modifica quello di Cournot sulla base dell ipotesi che le decisioni sull output da produrre siano prese dalle due imprese sequenzialmente. Se A, che sceglie per prima, decide quanto output produrre sapendo che B reagisce lungo la sua funzione di reazione (F ), mentre B, che decide dopo A, sa correttamente che A manterrà costante l output che ha già prodotto, allora A è in grado di scegliere il punto lungo la F che è ottimo dal proprio punto di vista, e questo punto segna l'equilibrio. Si dice in questo caso che A è il leader e B il follower (naturalmente le posizioni potrebbero essere rovesciate). Il modello leader-follower è sostanzialmente un gioco a due stadi in cui nel primo stadio il leader (impresa A) sceglie la quantità da produrre che non potrà più essere variata nel secondo stadio. Nel secondo stadio il follower (impresa B) sceglie quanto produrre dopo aver osservato la scelta fatta dal leader sulla base della propria funzione di reazione. opo che entrambe le imprese hanno scelto la quantità da produrre, l output totale viene venduto sul mercato e le imprese raccolgono i profitti. L equilibrio, come mostreremo fra poco, corrisponde a produzione e profitti di A maggiori di quelli di B. Rappresentiamo ora formalmente questo modello mantenendo le stesse ipotesi fatte nel duopolio di Cournot per quanto riguarda la forma della curva di domanda (lineare) e la struttura dei costi marginali (uguali e costanti). Partiamo dalla solita curva di domanda. P a - b ( + ). 6

7 Vediamo le cose dal punto di vista del leader, in quanto è l attore che decide per primo. Egli tiene conto del fatto che il follower sceglierà sulla base della sua funzione di reazione. Sostituendo quindi a la funzione di reazione del follower si ottiene la curva di domanda che il b leader assume. P a - b ( + ( ) ) a b b P a b P a + C b. + b ata la funzione di domanda, il leader sceglierà la quantità da produrre in base all obiettivo di massimizzare i profitti. Il suo ricavo totale (P ) sarà: a + C b RT -. Per massimizzare i profitti, il leader uguaglia il ricavo marginale al costo marginale: a + C b / C / e sceglie quindi di produrre:. b Per ottenere la produzione del follower, che agisce sulla base della propria funzione di reazione conoscendo quanto il leader ha già prodotto, si deve inserire il valore della produzione del leader nella funzione di reazione del follower: ( ) b b b L offerta totale ( + ) sarà pari a: X S 3a 3C 3( ) + + b Il prezzo di equilibrio sarà: P S 3( ) a-b a + 3C Infine si può calcolare anche il profitto realizzabile dalle due imprese. Nel caso del leader si avranno profitti pari a (P-C), quindi: a + 3C ( C) b b 7

8 Nel caso del follower invece si avranno profitti pari a (P-C) : a + 3C ( C) 6b Chiaramente, il follower producendo la metà del leader con gli stessi costi, ha profitti dimezzati. In conclusione, il leader produce più del follower e fa un profitto maggiore semplicemente grazie al vantaggio della prima mossa (first mover advantage), pur non avendo vantaggi di costo. Considerazioni e confronti Si può notare che in questo modello l impresa leader produce più del duopolista di Cournot. Infatti: S > NC. b Il follower invece produce meno: NC S >. Inoltre l output totale, nella condizione di asimmetria tra le imprese, è maggiore dell output delle due imprese che competono alla Cournot, in quanto: S 3 NC X > X. i conseguenza il prezzo è inferiore, con vantaggio per i consumatori: P S a + 3C 8 < P NC a + C. 3 Tornando al primo aspetto, in particolare ai risultati relativamente cattivi ottenuti dal follower, si noti che mentre nel modello di Cournot l impresa B non sapeva quanto A stesse producendo simultaneamente, in questo caso lo sa, data la sequenzialità delle mosse. B sa che A ha fatto una scelta non reversibile di produrre. Nel contesto di Cournot tale impegno non sarebbe b credibile, in quanto tale livello produttivo non è la migliore risposta a. Ma A non sceglie la migliore risposta alla mossa di B (il leader dovrebbe ridurre la produzione al livello 3 ), mantenendo invece la produzione originaria. b E quindi fondamentale l assunzione che il leader possa rendere credibile un certo specifico piano di produzione. Ma quale può essere la fonte di tale credibilità? Per esempio può avere fatto investimenti non reversibili in capacità produttiva o aver mostrato nella storia passata di mantenere le promesse fatte. Oppure può essere consapevole del fatto che mettendosi a giocare alla Cournot l esito del gioco sarebbe meno positivo rispetto ai risultati ottenuti giocando da leader. Infatti si può

9 notare come in equilibrio il leader riesca a realizzare un profitto maggiore del duopolista alla Cournot: leader > NC > follower 6b. L instabilità della collusione Nell equilibrio di Cournot si è ipotizzato che le due imprese producano la quantità che massimizza il loro profitto senza accordarsi o cooperare. Introduciamo ora la possibilità per le imprese di cooperare (o colludere). Ipotizziamo che le due imprese si accordino nel modo seguente: esse producono insieme una quantità complessivamente pari a quella di monopolio e si dividono poi il mercato in due. Teniamo ferme per semplicità le ipotesi fatte precedentemente sulla funzione (lineare) di domanda di mercato e la struttura (simmetrica e costante) dei costi marginali delle due imprese. La stipulazione di un accordo di questo tipo (che di solito avviene segretamente) è chiamata collusione. Il gruppo di imprese che agisce in maniera coordinata è definito cartello. ata la quantità di monopolio: M b avremo che, colludendo, ciascuna impresa produrrà: CO CO Calcoliamo ora il profitto di collusione ipotizzando che il prezzo di mercato sia quello di monopolio: CO M a + C P P CO CO CO P CO CO a + C C C Lo stesso valore sarà ottenuto dall impresa, dato che l accordo prevedeva di dividersi esattamente a metà il mercato. Notiamo peraltro che: CO CO NC > ossia che colludendo le due imprese potranno realizzare un profitto maggiore di quello che farebbero competendo sulle quantità come previsto dal modello di Cournot. 9

10 Le due imprese hanno effettivamente un incentivo a cooperare, come sembrerebbe a prima vista, dato che possono realizzare profitti maggiori rispetto a quelli che ottengono non cooperando (ossia nella situazione dell equilibrio di Cournot)? Per rispondere a questa domanda è necessario considerare se la collusione rappresenta un equilibrio stabile. Bisogna quindi analizzare cosa succede al profitto dell impresa se essa, dopo avere stipulato un accordo collusivo con l impresa, decide di deviare da tale accordo, smettendo di cooperare, mentre l impresa continua rispettarlo. CO Se mentre continua a produrre l impresa devia, sceglierà lungo la sua funzione di reazione ( ) la quantità ottima da produrre per massimizzare i profitti, data la quantità di b collusione prodotta dall impresa rivale. 3 a C b. Inserendo nella funzione di domanda l offerta complessiva X mercato in questo caso: 5( ) P a-b ( ) + CO si ricava il prezzo di 3a 5C P + 8 Il profitto dell impresa, che devia cercando di ottenere il massimo profitto in modo non cooperativo mentre la rivale tiene fede al patto, sarà quindi pari a: P C 3a + 5C C al momento che: ( 3a + 5C ) C ) ( ( a C) > 7,b 6 CO ( ) 7,b l impresa deviando può ottenere un profitto maggiore di quello che otterrebbe se rispettasse l accordo di collusione stabilito con l impresa. E allora dimostrato che effettivamente esiste un incentivo a deviare per l impresa (e simmetricamente per l impresa ) e che dunque l equilibrio di collusione non è stabile. Qual è il profitto dell impresa B, nell ipotesi che venga tradita da A? 0

11 T 3a + 5C 8 ( ) ( 3a 3C) 8 C 3 3a + 5C C 8 6 ( ) 6 ( ) 0,7b E chiaro che: ( ) NC T <. 0,7b L impresa B pertanto teme che questo risultato possa verificarsi. Non conviene quindi nemmeno a lei cooperare. altra parte se l impresa A si attenesse in prima istanza all accordo collusivo, converrebbe a B romperlo, per ottenere profitti più alti. Per non cadere in questa trappola, ad A non conviene cooperare. Idem come sopra. Se questa è la logica che guida le imprese, non ci sarà cooperazione, e prevarrà l equilibrio di Cournot, che corrisponde ad una comportamento indipendente e non cooperativo da parte di entrambe le imprese. E chiaro che siamo nel contesto di un gioco del tipo dilemma del prigioniero. La strategia di non cooperazione è una strategia dominante e un equilibrio di Nash. Individualmente ogni impresa ha vantaggio nel non cooperare, anche se collettivamente le imprese stanno peggio non cooperando. Impresa B Coopera Non coopera Impresa A Coopera ; 0,7b ; 7,b Non coopera 7,b ; 0,7b ; Nella realtà, tuttavia, i cartelli esistono e le imprese oligopoliste colludono (anche se effettivamente queste alleanze non risultano stabili). Come spiegare questo fatto? Abbiamo visto che se il gioco è ripetuto (e percepito come tale dai giocatori-imprese oligopoliste) ed è possibile ai giocatori punire le mosse ostili del rivale (cioè le deviazioni dalla cooperazione) finisce col prevalere la cooperazione, in particolare la strategia migliore è occhio per occhio (tit for tat). Tale strategia, nel caso dell oligopolio, dà risultati positivi per le imprese oligopoliste (maggiori profitti), ma negativi per la società, in quanto i consumatori devono subire prezzi monopolistici e una restrizione dell offerta che comporta una perdita secca di benessere. Tuttavia in altri tipi di gioco, come per esempio la collaborazione o meno nella ricerca, la cooperazione può

12 essere positiva sia per le imprese che per la società, in quanto consente di risparmiare evitando costose duplicazioni di spese, che costituirebbero uno spreco sociale. A conclusione di questa breve trattazione dell oligopolio, si può affermare che la teoria economica non è in grado di prevedere quali saranno gli esiti del confronto tra gli attori. In altre parole, non è possibile prevedere quale tipo di gioco prevarrà. I modelli di teoria dei giochi servono come razionalizzazioni e-post di pattern di competizione effettivamente prodottisi nella storia dei diversi settori industriali caratterizzati dalla concorrenza tra pochi. Ma quale gioco si andrà a giocare? Nella realtà operano spinte divergenti, che portano ora in una direzione ora in un'altra. L orizzonte temporale può rivelarsi in una certa fase molto breve, in un'altra fase più ampio. Talora qualcuno riesce ad affermarsi come leader, grazie a costi più bassi o a una prima mossa favorevole, in altre circostanze le posizioni sono sostanzialmente simmetriche. L oligopolio può essere ristretto, o più allargato. Forse l unica previsione robusta è che all aumentare del numero degli attori l esito del confronto tra i produttori è più favorevole ai consumatori. In generale, compito dell analista sarà quello di tirar fuori dalla sua scatola di strumenti quelli più adatti ad interpretare la realtà.