Parte 2. Problemi con macchine parallele

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1 Parte 2 Problemi co macchie arallele

2 Esemio job j macchie Assegado{2,3,5}aM1e{1,4}aM2 M2 M Assegado{1,4,5}aM1e{2,3}aM2 M2 3 2 M

3 R m //C Algoritmo 2-arossimato basato sulla PL

4 R m //C : formulazioe PLM variabili decisioali: x ij = 1se job jassegato alla macchia ie 0 altrimeti, C R mi C m i = 1 j = 1 x ij x ij = 1, j = 1, K, ij xij C, i = 1, K, m { 01, } i = 1, K, m; j = 1, K,

5 Algoritmo 2-arossimato 1. Risolviamo il rilassameto lieare, otteuto sostituedox ij {0,1}cox ij 0 il umero di variabili o ulle i ua soluzioe di base è mioreougualealumerom +dirighedellamatrice. EssedoC semre ositivo, al iùm+ 1variabilix ij soo ositive. Ioltre, ciascu job ha almeo ua variabile ositiva ad esso associata. Quidi, al iùm 1job soo stati frazioati su due o iù macchie. il valore della soluzioe C (LP) è ua limitazioe iferiore del valore ottimo

6 Algoritmo 2-arossimato C (LP) C 2. Costruiamo lo schedule i due fasi: job assegati i modo itero dall LP: mategoo tale assegameto. job frazioari (al iù m 1): er eumerazioe totale calcoliamouoscheduleottimoitemoo(m (m 1) )

7 Algoritmo 2-arossimato C 2C C (LP) lo schedule arziale dei job iteri ha durata C (LP) C (jobgrigi) loschedulearzialedeijobfrazioarihadurata C 3. Cocateado i due schedule arziali si ottiee ua soluzioe ariadaliù 2C

8 caso seciale: P m //C C 2C 2. lo schedule ottimo dei job frazioari è: m 1 macchie ricevoo 1 job(qualuque) ed ua rimae scarica. Quidi, la comlessità dell algoritmo si riduce a quella della soluzioediuroblemadipl

9 P m //C algoritmi arossimati

10 List Schedulig List Schedulig (LS): data ua (qualsiasi) sequeza fissata dei job, ogi volta che ua macchiaisi libera, il successivo job della lista viee rocessato su i (5,2,4,3,1) M M

11 List Schedulig LS, C idichiamo co C e l ottimo risettivamete il valore della soluzioe calcolata da LS Teorema: er qualuque sequeza di job, risulta: C LS 2 1/ m) ( C Dimostrazioe. Sia k l ultimo job ad essere comletato ello schedulelses k =C k k ilsuoistatediiizio. Valgoo le segueti tre relazioi: (a) C k k deve essere rocessato

12 LS: dimostrazioe (b) C ) j j = 1 ( 1/ m macchie erfettamete bilaciate Ioltre,essuamacchiauòesserefermarimadis k m m 1 k 1 Quidi, (c) s (1/ m) k j j k s k macchie erfettamete bilaciate sezailjobk

13 LS: dimostrazioe = + + = = k k j j k k k LS m s C C ) (1/ (c) Da cui: + = = k j j m m ) 1/ (1 ) (1/ 1 ) 1/ (2 ) 1/ 1 ( C m mc C = + (b)+(a)

14 Regola LPT Logest Processig Time (LPT) first: ordia i job er temi di rocessameto o cresceti Assumiamoche 1 2 Teorema:erqualuqueistazadiP m //C,detta soluzioe calcolata da LPT, risulta C LPT 4/3 1/3m ) ( C LPT C la Dimostrazioe. Per cotraddizioe. Assumiamo che esistao cotroesemi, cioèistazedip m //C er cui C LPT / C > (4/3 1/3m )

15 LPT: dimostrazioe Cosideriamo, fra essi, il cotroesemio co il miimo umero di job. Perquesto valela segueterorietà:ello schedule LPT iljob(il iù corto) è l ultimo ad iiziare e ache l ultimo a termiare. m m 1 1 s LPT C

16 LPT: dimostrazioe Ifatti, se così o fosse, la rimozioe di rodurrebbe ua uova istaza er cui: LPT C o cambia C o cresce s Quidi, er la uovaistazasiha acora C LPT / C > (4/3 1/3m ) LPT C ed ha u umero iferiore di job, cotraddicedo la miimalità del cotroesemio.

17 LPT: dimostrazioe Quidi, er il iù iccolo cotroesemio, risulta s LPT = C I tale istate, tutte le macchie soo occuate, quidi LPT 1 C 1/ m ( ) dacui C LPT j = 1 j + 1/ m( 1 j = 1 j ) = (1 1/ m) + 1/ m( j j= 1 ) ioltre: C (1/ m) j j = 1 quidi: C LPT 1 1/ m) ( + C

18 Dimostrazioe LPT 4 1 C (1 1/ m) ricordado l iotesi: < m C C cioè: 1 1 (1 1/ m) < 3 3 m C (1 1/ m) C < 3(1 1/ m) ifie: C < 3 quidi, er il iù iccolo cotroesemio, uo schedule ottimo uò assegare al iù due job a ciascua macchia (quidi, 2m).

19 LPT:dimostrazioe I questo caso, uo schedule ottimo ha la seguete struttura. Sia = 2m h. Assegamo i job 1, 2,, h da soli su h macchie; assegamo alle rimaeti m h macchie le segueti coie di job: (h + 1,), (h + 2, 1), (h + 3, 2),etc. D altro cato, questo è rorio lo schedule otteuto da LPT. Quidi C LPT / C = 1, cotraddizioe.

20 il boud è stretto job j C = LPT C =

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