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1 MOLECOLA IONE IDOGENO + La molecola dello ione idroeno molecolare, +, è la più semplice fra le molecole. Essa è infatti composta da nclei di idroeno ( protoni) ed n solo elettrone. Anche nello stdio di qesto sistema semplice, il pnto di partenza è sempre costitito dalla approssimazione adiabatica di Born- Oppenheimer. Come sappiamo, qesta approssimazione consente di ridrre lo stdio di n sistema composto da elettroni e nclei interaenti fra di loro, nello stdio di de sistemi formalmente disaccoppiati: il sistema elettronico a nclei fissi ed il sistema composto dai soli nclei che interaiscono tramite n potenziale schermato dali elettroni. Occpiamoci per il momento di stdiare il sistema elettronico, discteremo il moto dei nclei nei prossimi pararafi. e r r r p O p Fira : rappresentazione schematica dello ione idroeno molecolare Consideriamo qindi i nclei in posizione fissate e stdiamo la molecola nel sistema di riferimento solidale con il so centro di massa, praticamente coincidente con il baricentro dei de protoni. Indichiamo con ed i vettori di posizione dei de protoni rispetto all oriine del sistema di riferimento, con la loro distanza relativa e con r il vettore di posizione dell elettrone. Siamo interessati ali stati stazionari del sistema elettronico, ossia voliamo calcolare atostati ed atovalori dell hamiltoniano elettronico ˆ e : ˆ ψ ( r) Eψ ( r) e e e e () dove: ˆ e ˆ e e e m r r + () (notiamo che nel seito di qesto pararafo e nei sccessivi, dedicati ali stati elettronici molecolari, ometteremo per brevità l'indice e). Nell'espressione () di Ĥ il primo termine è associato all eneria cinetica dell elettrone, i de termini sccessivi corrispondono all interazione elettrostatica attrattiva fra l elettrone e ciascno dei de protoni, mentre l ltimo termine esprime l interazione elettrostatica replsiva fra i de protoni. Il nostro scopo ora è risolvere l'eqazione () associata al problema 68

2 69 elettronico. Qesto rislta particolarmente semplice nel caso in qestione dato che c è n solo elettrone. Fira 3: Eneria potenziale dell'elettrone lno l asse molecolare. In qesto caso è possibile ottenere na solzione esatta introdcendo le coordinate ellittiche: r + r r r λ e µ Notiamo, però che qesto è l nico caso in fisica molecolare in ci è possibile trovare na solzione esatta del problema elettronico (anche in fisica atomica è possibile la solzione esatta solo nel caso dell atomo di idroeno). Pertanto non ci interessa illstrare in dettalio come pò essere ottenta qesta solzione, dal momento che è na procedra applicabile solo per qesta molecola. Tttavia, notiamo che è molto importante avere a disposizione na solzione esatta perché qesto consente di testare i metodi approssimati che dobbiamo necessariamente svilppare per stdiare ttte le altre molecole. Pertanto, possiamo dire che lo stdio dello ione molecolare + rappresenta per la fisica molecolare qello che lo stdio dell'atomo d idroeno rappresenta per la fisica atomica. Il nostro obiettivo qi è qello di illstrare e disctere nel caso particolare e semplice dello ione molecolare + i metodi approssimati che possono essere adoperati in enerale per stdiare il problema elettronico nelle molecole. La più semplice approssimazione per li stati elettronici nella molecola + è fornita dal metodo LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals) ià citato nel pararafo 3.4. Essa consiste nello scrivere li orbitali molecolari dell nico elettrone come combinazione lineare di orbitali idroenoidi centrati s onno dei de nclei. Scriviamo qindi ψ r ) c ϕ ( r ) + c ϕ ( r ) (3) ( nlm n' l', m ' l dove ϕ nlm eϕ l n l sono le atofnzioni dell'atomo di idroeno. In realtà, il ml' metodo LCAO pò essere svilppato in vari modi: sia fissando i valori dei coefficienti della combinazione lineare slla base di alcne assnzioni fisiche o di dati empirici, sia ricorrendo ad na procedra variazionale. Inoltre, in qest ltimo caso, esistono varie strateie per sceliere i parametri variazionali. Pertanto di seito illstreremo alcne fra le varianti più semplici del metodo LCAO, evidenziando come opportne scelte dei l 69

3 70 parametri variazionali siano in rado di prodrre risltati di estrema accratezza. Nella nostra discssione ci limiteremo a considerare lo stato fondamentale ed il primo stato eccitato, mentre accenneremo solo brevemente ai risltati per i sccessivi stati eccitati. Entrambi li stati più bassi in eneria (fondamentale e primo eccitato) possono essere ottenti, in prima approssimazione, come combinazione lineare di orbitali s. Assmiamo qindi n n ed l l 0 e per brevità introdciamo la seente notazione: r r, r r. Inoltre indicheremo con εs e m e l'eneria dello stato fondamentale dell'atomo di idroeno, ε s, a0 m a0 con ao raio di Bohr, a0 0.59A o : me -r ϕ ( ) ( ) ( ) e /a 0 r ϕs r ϕs r 3 πa0 (4) -r ϕ ( ) ( ) ( ) e /a 0 r ϕs r ϕs r 3 πa0 Pertanto ϕ eϕ sono fnzioni reali, normalizzate ma non ortoonali. Di conseenza è conveniente introdrre la seente definizione enerale di interale di overlap: S ϕ ( r ) ( r ) dr (5) * nlm ϕn' l' ' l m l Esso misra il rado di sovrapposizione dei de orbitali atomici onno centrato s no dei de nclei. Il so valore dipende dalla distanza fra i de nclei e dal tipo di orbitale (ossia dai nmeri qantici): è evidente infatti che per si ottiene S 0 (le fnzioni d onda non si sovrapponono, neanche in minima parte) mentre per 0, se i de orbitali atomici hanno li stessi nmeri qantici, si ha S, ossia si ha na completa sovrapposizione deli orbitali. In enerale: 0 S ( ). Notiamo che il valore dell interale di overlap ioca n rolo centrale nell istararsi del leame molecolare. Nel caso specifico che stiamo disctendo (nn, ll 0, mlm l0), essendo ϕ eϕ fnzioni reali, si ottiene: S ϕ r r dr r r dr s ( ) ϕs ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ (5 ) Notiamo che nel caso che stiamo trattando, qello di na molecola omoncleare, e limitandosi a considerare i de orbitali molecolari più bassi in eneria (per ci li orbitali atomici ϕ eϕ hanno li stessi nmeri qantici) i coefficienti c e c possono essere determinati anche solo in base a considerazioni di simmetria. Infatti, tento conto dell'esistenza di n centro di simmetria deve essere: 70

4 7 c c Di conseenza, assmendo c e c reali (visto che anche le fnzioni (4) lo sono) si ottiene: c c c ± c ossia: c ± c Qindi le de combinazioni lineari indipendenti dei de orbitali ϕ eϕ danno loo ai seenti de orbitali molecolari: ψ( r) c ϕ ( r) + ϕ ( r) (4 ) ψ ( r) c ϕ ( r ) ϕ ( r) [ ] [ ] dove, in accordo con le notazioni introdotte nel pararafo precedente, l indice indica l orbitale molecolare pari e l indice qello dispari. Possiamo ora determinare c e c applicando la condizione di normalizzazione per ψ : ψ ( r ) dr cϕ ( ) ± ( ) ( ) + ( ) ± ( ) ( ) r cϕ r dr c ϕ r dr c ϕ r dr c ϕ r ϕ r dr tenendo conto che ϕ e ϕ sono fnzioni normalizzate, si ha: c ( ± S) Otteniamo dnqe: c e ( + S) c (6) ( S) ψ ( r, ) ψ ( r, ) [ ] [ ϕ ] s ( r ) + ϕs ( r ) + S( ) [ ] [ ( ) ( ϕ )] s r ϕs r S( ) (7) L eneria dell elettrone in no stato ψ normalizzato è data da: E ψ ( r ) ˆ ψ ( r ) dr (8) Calcoliamo dnqe i valori E ed E corrispondenti ali stati ψ e ψ : r ˆ ψ ( ) ψ ( r ) dr c ± c r ˆ ϕ( ) ϕ( r ) dr + c ϕ r ˆ ( ) ϕ( r ) dr + Conviene introdrre le seenti definizioni: ϕ r ˆ ( ) ϕ( r ) dr + ϕ ( r ) ˆ ( r ) dr ϕ 7

5 7 ˆ ϕs( r ) ϕs( r ) dr ˆ ϕs( r ) ϕs( r ) dr ϕ ( r ) ˆ ϕ ( r ) dr s s (9) dove (qesto non è vero in enerale ma è vero nel caso che stiamo considerando in ci ϕ e ϕ hanno li stessi nmeri qantici e sono centrati s nclei identici). Notiamo inoltre che in enerale * (come conseenza dell hermiticità di Ĥ ) e che l alianza di e nel nostro caso vale in qanto li orbitali ϕ sono reali. Gli interali e sono detti interali di risonanza o di interazione, infatti essi sono entrambi nlli per qando li atomi sono isolati e non interaiscono fra loro. Con qeste definizioni si ha: ˆ ψ ( r ) ψ ( r ) dr c + ± c c Otteniamo dnqe: e qindi: E E c c + c c E ( ) E ( ) ( ) + + S( ) ( ) S( ) ( ) ( ) (30) Nelle espressioni (7) delle fnzioni d'onda e (30) dell'eneria abbiamo esplicitato la dipendenza dalla distanza relativa dei de nclei, proprio per sottolineare il fatto che sia la fnzione d onda elettronica che l eneria dipendono da tale distanza. Osserviamo che per si ottiene: ( ) E ( ) ( ε E ) s Notiamo ancora che alcni atori (alcni libri di testo), invece di considerare deli orbitali molecolari ψ / normalizzati, così come espressi dalle (7), assmono le seenti espressioni non normalizzate per li orbitali molecolari ψ / : ψ ( r, ) ( ) ( ) ϕ s r + ϕ s r ψ ( r, ) ϕs( r ) ϕs( r ) Nel qal caso, l eneria elettronica invece che dalla (8) è data da: 7

6 73 E ( ) ˆ ψ r ψ ( r ) dr ψ ( r ) ψ ( r ) dr che fornisce lo stesso risltato della (30), na volta tento conto che per c / si ottiene: ψ ( r ) ψ ( r ) dr + ± S ± S e: ( r ) ˆ ψ ψ ( r ) dr ± imane in oni caso disctibile la scelta di considerare deli orbitali molecolari non normalizzati e ancor peio con norma dipendente dalla distanza interatomica. Prima di procedere lteriormente è opportno sottolineare che le espressioni (7) e (30) per le fnzioni d onda e le corrispondenti enerie sono state ricavate semplicemente tenendo conto della presenza di n centro di simmetria e della condizione di normalizzazione per ψ. Tttavia le stesse espressioni possono essere ottente applicando na procedra variazionale, la qale presenta il vantaio di essere applicabile, con alcne semplici modifiche, anche in assenza di n centro di simmetria, oltre che qello di essere implementabile razie all introdzione di lteriori parametri variazionali. Applichiamo pertanto al caso in qestione la procedra variazionale esposta in enerale nel Cap.. Scriviamo dnqe: ψ ( r ) cϕ ( r ) + cϕ ( r ) (3) E ψ, ˆ ψ E ψ, ψ ψ, ˆ ψ E( c + c + ccs) c + c + cc ψ, ψ (3) dove, nell ltimo passaio si è tento conto delle definizioni (5) e (9) di S, e, che e che ϕ e / ϕ sono reali e normalizzate a. Trattando c e c come parametri variazionali, dobbiamo determinarne i valori che minimizzano l eneria. Imponiamo qindi le condizioni: E E 0 e 0 (33) c c Derivando la (3) rispetto a c e c ed imponendo le (33) si ottiene il seente sistema lineare ed omoeneo nelle de inconite c, c c ( E) + c ( ES) 0 c ( ) + ( ) ES c E 0 (34) la ci condizione necessaria e sfficiente per l esistenza di solzioni comporta l eqazione secolare: 73

7 74 E ES ES E 0 ( E) ( ES) 0 (35) dove si è tento conto che. Svilppando la (35) si ottiene l eqazione: E ( S ) E( S) + 0 le ci de radici sono E ed E espresse dalle (30). Sostitendo qesti valori di E nelle (34) si ottenono ( c, c ) e ( c, c ) e qindi le espressioni (7) per ψ e ψ. Fira 4 Andamento deli orbitali molecolari ψ ed ψ di + per n valore fissato della distanza interncleare Fira 5 Densità di probabilità dell'elettrone neli stati Ψ e Ψ di + (a): distribzione lno la linea coninente i protoni; (b) e (c): distribzione in n piano contenente l'asse di leame, rappresentata come crve di livello di isodensità (b) o come densità di pnti (scatter plot) (c) 74

8 75 L andamento di ψ e di ψ lno l asse della molecola per n valore fissato di è riportato in Fi. 4. La fnzione ψ è pari rispetto al centro della molecola cioè è invariante per inversione dell asse della molecola (ossia ψ ( r ) ψ ( r ) ) mentre ψ è dispari. L andamento della densità di probabilità di presenza dell'elettrone lno l asse della molecola è riportato in Fi. 5 per onno dei de stati ed. Vediamo che ψ e ψ presentano picchi molto accentati si de protoni, risltato atteso data la forma del potenziale in Fi. 3. Tttavia è importante notare che la fnzione d'onda dispari ψ, dovendo annllarsi nel centro della molecola ( ψ ha n piano nodale perpendicolare all asse della molecola e passante per il centro della molecola stessa) comporta na scarsa probabilità di presenza dell'elettrone nella reione fra i de nclei. Il contrario accade per la fnzione d'onda pari ψ che invece è associata ad na sinificativa probabilità di presenza dell'elettrone in qesta reione. Qesta differenza di comportamento delle fnzioni d'onda è all'oriine della differenza di eneria fra li stati ψ e ψ. Infatti, nello stato ψ l elettrone scherma efficacemente la replsione Colombiana fra i protoni ed anzi aisce da atentica colla, in qanto le forze elettrostatiche tendono a spinere i protoni verso l elettrone. Per qesto motivo qesto stato viene detto leante (bondin). Nello stato ψ l elettrone semmai tende ad allontanare i de protoni e qesto comporta E < E per n qalnqe valore di. Per qesto motivo, stati di qesto tipo venono detti anti-leante o anti-bondin. In oni caso sottolineiamo che E ed E dipendono da, distanza interncleare. E () 0 () E ε s 0 () E Fira 6 Andamento di E( ) ed E( ). Lo zero dell'eneria è posto al valore del livello eneretico ε s dell'atomo di idroeno. 75

9 76 Poichè nello stato ψ prevale la replsione fra protoni l'eneria in qesto stato amenta al diminire di. Il contrario accade nello stato ψ, dove per distanze randi e medie prevale l'attrazione elettrostatica fra nclei indotta dalla presenza dell'elettrone, motivo per ci l'eneria diminisce al diminire di. Qesto però accade solo per distanze speriori ad n certo valore o, detto valore di eqilibrio della distanza interncleare. Infatti per < o sia la replsione Colombiana che la maiore eneria cinetica dovto ad n confinamento in na reione più piccola dello spazio, fanno amentare l'eneria anche nello stato Ψ. La differenza fra l'eneria a distanza infinita s ε e la minima eneria E ) rappresenta l'eneria che si deve fornire dall'esterno per rompere la molecola in eqilibrio nel so stato fondamentale: ε s E ( 0 ) D eneria di dissociazione dello ione molecolare + nel so stato fondamentale. Il valore ottento con il metodo LCAO per la distanza di eqilibrio è 0.3 A da confrontarsi con il valore sperimentale 0.06 A. Per qanto riarda il confronto fra le enerie di dissociazione, si ottiene: DLCAO.77( ev ) Dsper.65( ev ) Desatto.79( ev ) Qindi l'accordo fra i valori per la distanza di eqilibrio e l'eneria di dissociazione calcolati con il metodo LCAO ed i valori sperimentali è discreto, anche se non del ttto soddisfacente. E' da notare che il valore dell'eneria di dissociazione calcolata risolvendo esattamente il problema elettronico è leermente maiore del valore sperimentale. Infatti al valore sperimentale contribisce anche l'eneria di pnto zero associata al moto vibrazionale dei nclei, come discteremo in seito. Un'altra stima della validità del metodo LCAO ed n intizione si motivi di discrepanza con i dati sperimentali possono essere ottente confrontando le fnzioni d'onda relative ai de stati più bassi in eneria, ψ e ψ, calcolate risolvendo esattamente l'eqazione di Schrödiner con qelle ricavate sando il metodo LCAO. Il confronto è riportato in fira 7. Esso è effettato fissando.06 A o (valore sperimentale della distanza di eqilibrio). La fira mostra come per qesta distanza interncleare c'è n accordo abbastanza bono fra le fnzioni d'onda ricavate con il metodo LCAO e qelle ottente risolvendo esattamente l eqazione (6). In effetti si pò vedere che: a) per fissato l accordo è miliore nelle reioni lontane dai nclei e peiora nella reione interncleare; b) operando il confronto fra le fnzioni d onda per valori di crescenti tale accordo tende a miliorare all'amentare di e peiora notevolmente per valori piccoli di. ( 0 76

10 77 Fira 7: Atofnzione di + lno l asse interncleare per 0,exp. Linea piena: valori esatti; linea tratteiata: metodo LCAO. Qesto risltato, ossia il fatto che il metodo LCAO basato slla combinazione lineare di de orbitali s fnziona abbastanza bene a randi distanze interatomiche, qando na tale combinazione lineare rappresenta na bona approssimazione per l'orbitale molecolare, ma non fnziona a piccole distanze, qando la sddetta combinazione fornisce na cattiva descrizione, pò essere capito considerando il fatto che la fnzione LCAO è ottenta combinando stati s dell'idroeno: / a ϕ 0 s e r (idroeno) (36) + tttavia per 0 e + cioè lo ione idroeno molecolare per 0 si ridrrebbe ad n ipotetico 4 atomo di elio leero ionizzato (ipotetico perchè n ncleo siffatto senza netroni non è stabile). Qindi per 0 la fnzione corretta dovrebbe essere la fnzione idroenoide s per n atomo con carica Ze, ossia: r / a ϕ 0 s e (elio) (37) E' istrttivo, a qesto pnto, considerare l andamento di E() calcolato risolvendo esattamente l eqazione di Schrödiner Ĥ Ψ EΨ, qesto 4 NOTA: in realtà se invece di considerare no ione idroeno molecolare con nclei costititi da n protone, consideriamo no ione molecolare di idroeno pesante composto da de nclei di deterio ed n elettrone, dovrei sare anziché orbitali s dell atomo di idroeno, orbitali s di n atomo di deterio. Qesti ltimi sono identici a qelli definiti nella (8) na volta tento conto della diversa massa ridotta del sistema elettrone-ncleo. 77

11 78 andamento è riportato in Fi. 8. In qesta fira ad E è stato sottratto il e termine che divere per 0. Tale fira 8 costitisce n esempio di diaramma di correlazione in qanto mostra come si trasformano i livelli eneretici al variare della distanza interatomica, dali atomi "niti" ( 0) ali atomi isolati ( ) (qesto tipo di diarammi è tile nello stdio delle molecole biatomiche con più elettroni). atomo idroeno LCAO Fira 8: Diaramma di correlazione: livelli elettronici di + calcolati in fnzione della distanza interncleare. Le enerie sono espresse in ydber. esatto: elio Vediamo che na volta sottratto il contribto diverente e /, il calcolo esatto per 0 fornisce per l'eneria dell'elettrone n valore che riprodce correttamente qella di n elettrone in no ione di elio, ossia n eneria 4ε s. Al contrario, il calcolo LCAO fornisce n valore sinificativamente diverso. Se infatti riconsideriamo l espressione (30) per E : E LCAO ( ) ( ) + + S( ) ( ) e teniamo conto che per 0, S e ( ) ( ) si ottiene: E LCAO ( 0) ( 0) 78

12 79 Possiamo calcolare facilmente il valore E LCAO e 0. A qesto scopo teniamo conto che nel limite 0 ossia l espressione () di Ĥ fornisce: ˆ e hˆ + Vˆ Tˆ+ Vˆ e con: hˆ hamiltoniano dell atomo di idroeno e m r Utilizzando il teorema del viriale si pò facilmente vedere che: LCAO [ ] e / 0 e V. r E e / < E > 3 3 s +< V > s< E > s + < E > s < E > s εs 0 Qesto risltato è evidenziato dalle frecce in Fi. 8. Notiamo tttavia che il metodo LCAO fornisce correttamente il valore dell'eneria per. Infatti, in qesto caso: S0 e 0. Pertanto si ha: ( ) ( ) ( ε LCAO E E ) s : METODO LCAO VAIAZIONALE Il metodo LCAO pò essere miliorato introdcendo deli lteriori parametri da determinare col metodo variazionale. A qesto riardo, notiamo che la disponibilità di na solzione esatta serisce il modo in ci il metodo LCAO pò essere implementato. Per esempio, abbiamo visto come il comportamento non corretto della fnzione d'onda per 0, descritto nelle espressioni (36) e (37), sia l'oriine della sinificativa Qesto teorema, almente valido in meccanica classica ed in meccanica qantistica, si enncia nella maniera seente: < T> < xf i i > η i dove xi ed Fi indicano rispettivamente la posizione e la forza aente slla i- esima particella e le medie sono effettate sl tempo in meccanica classica e slla fnzione d onda in meccanica qantistica. La randezza : η < xf > viene detta viriale. Se spponiamo che esistano solo forze interne (conservative) al sistema e che l'eneria potenziale V sia na fnzione alebrica omoenea di rado n nelle coordinate, si pò dimostrare che: η nv Qindi, nel caso Colombiano n - ossia: η V. Di conseenza si ha: <T>-/<V>. D'altra parte: i i i <E><T>+<V> -/<V> + <V>/<V> <V><E> 79

13 80 differenza in eneria (y) evidenziata in Fi. 8. Qesto ci serisce che la nostra descrizione di + pò essere miliorata introdcendo, per esempio, la seente versione variazionale del metodo LCAO. Possiamo considerare la fnzione d onda ψ come combinazione lineare di orbitali atomici ϕ del tipo idroenoide, ma in ci l'esponente della parte radiale della fnzione d'onda invece di avere esattamente lo stesso valore che ha nell'atomo di idroeno, è n parametro dipendente da e, per fissato, è determinato con il metodo variazionale. In altri termini, limitandoci allo stato più basso in eneria, scriviamo: dove: ψ ( r,, α) cϕ s ( r, α) + cϕs ( r, α) ϕ( r, α) ϕs ( r, α) ϕs ( r, α) ϕ ( r, α) ϕs ( r, α) ϕs ( r, α) 3 α -αr/a e 0 3 a0 3 α -αr/a e 0 3 a0 Applichiamo qindi la richiesta imposta dalla simmetria di avere na parità definita e consideriamo lo stato pari. Imponiamo la condizione di normalizzazione per ψ. In qesto modo otteniamo per c n'espressione dipendente dal parametro α : c (, α) ( + S (, α) Calcoliamo ora: E * (, α) ψ ( r,, α) ˆ ψ ( r,, α) dr e cerchiamo, per oni valore fissato di, il valore di α che minimizza E. In qesto modo si ottenono dei risltati per le enerie e le fnzioni d'onda in ottimo accordo con qelli trovati risolvendo esattamente il problema elettronico, come illstrato in Fi. 9 (da notare che in tale fira le enerie sono espresse in artree, dove artree ydber 7.0 ev). Ovviamente, si possono introdrre anche lteriori parametri da determinare col metodo variazionale. La procedra che ne rislta è più complicata, tttavia in qesto modo si possono ottenere enerie e posizioni di eqilibrio dei nclei qasi coincidenti con qelli sperimentali o con qelli ottenti dalla solzione esatta. Si possono così stabilire le parametrizzazioni più appropriate, da sare poi nelle molecole a più elettroni per le qali non esistono solzioni esatte di riferimento (e maari nemmeno informazioni sperimentali sfficientemente dettaliate). 80

14 8 Fira 9 icordiamo che in qesta discssione svolta per + abbiamo considerato orbitali atomici s cioè abbiamo discsso lo stato fondamentale ed il primo stato eccitato della molecola di +. Esistono ovviamente anche altri stati eccitati delle molecole che nel limite corrispondono a stati eccitati dell atomo di idroeno. Come ià detto nel pararafo precedente, di solito si sa per essi la seente notazione (s indica lo stato atomico di provenienza, ossia lo stato ottento nel limite ): ψ sσ ; ψ sσ Pertanto si parla di stati (sσ ) o (pσ ) etc. inoltre, ricordiamo, che sando qeste notazioni * indica n orbitale molecolare anti-leante (non confondere con il simbolo di complesso coniato). Fira 0 Eneria potenziale elettronica in fnzione della distanza interncleare per lo stato fondamentale e per alcni stati eccitati. 8

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