MATRICI E OPERAZIONI

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1 MATRICI E SISTEMI MATRICI E OPERAZIONI Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutatività del prodotto, legge di annullamento del prodotto Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni e proprietà Determinanti Esercizio Scrivere per esteso le seguenti matrici: A (a ij con a ij 2i + 3j per i,2,3 e j,2,3,4; 2 B (b ij con b ij siniπ + cos jπ + ij 0 con i,2,3 e j,2,3,4; 3 H ( i+j con i,j,2,3,4 La matrice H è detta matrice di Hilbert (qui scritta per l ordine 4 ed estendibile per l ordine n qualsiasi ed è utilizzata per testare vari algoritmi numerici Esercizio 2 Senza scrivere tutta la matrice, scrivere la diagonale principale di: (4i j 2 con i,j,2,3; 2 ( sin( iπ 4 cos(iπ 4 con i,j,2,3,4 Esercizio 3 Siano date le matrici ( A 0, B ( 2, C ( Calcolare: i 2A B; ii 3A + 2B 4C; iii 2A + B + 2C 2B; iv 3B + 2(2A C (A + B + C; v 2(A B + C 3( 2B + 3C + (4C A + 3B 2 Risolvere, se possibile, le equazioni matriciali: i 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X 0; ii 4A + 2(B + 2X 3(C + X + 2A 0; iii 4(A + B + X + 4( A B + X 4(A B + X 0 Esercizio 4 Sia A una matrice 7 e B una matrice 7 Il prodotto AB è una matrice: (i 49, (ii 7 7, (iii, (iv 7 Esercizio 5 Sia A 2 e sia B ( Calcolare AB 3 Esercizio 6 Sia A ( e B ( Calcolare AB BA

2 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 2 Esercizio 7 Siano date le matrici: A ( 0, B 2 0 2, C 0 0 Calcolare, quando possibile: i AC; ii (BCA; iii B + CA; iv BA; v B(A T ; vi 3A T + BC Esercizio 8 Siano date le matrici: A (, B 2 ( 0 0 0, C Calcolare: i A T, B T, C T ; ii P AB, Q B T A T, P T ; iii V BC, W C T B T, V T, W T Esercizio 9 Dire quali delle seguenti matrici sono simmetriche: ( L, M 5 6 7, N 4, R ( , S , T Esercizio 0 Date le matrici: A ( 6 2, P 2 6 ( x, 0 determinare x R tale che la matrice D P T AP sia diagonale Esercizio Mostrare che: se Y è un vettore colonna con entrate reali, allora Y T Y 0 se e solo se Y 0; 2 dati una matrice quadrata reale A e un vettore colonna reale Z, allora A T AZ 0 se e solo se AZ 0; 3 date una matrice quadrata reale A e una matrice reale X, allora A T AX 0 se e solo se AX 0 Esercizio 2 Date due matrici A e B che soddisfano le uguaglianze AB 0 e BA 0, dire, giustificando la risposta, se sono vere le seguenti affermazioni: (i AB BA; (ii A o B sono la matrice nulla

3 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 3 Esercizio 3 Siano A e B due matrici quadrate che commutano (cioè tali che AB BA Mostrare che: A T e B T commutano; 2 A p e B q commutano per ogni p,q N; 3 (AB m A m B m per ogni m N; 4 i polinomi 3A 2 5A + 6I e 2B + 3I commutano; 5 ogni polinomio matriciale in A commuta con ogni polinomio matriciale in B Esercizio 4 Verificare che le seguenti coppie di matrici sono una l inversa dell altra: ( ( A, A ; B 2 0, B ; C 2, C ; /5 0 0 D 0 0, D ; /2 3 /3 /3 0 T 0, T 2 0 / /2 Calcolare anche l inversa delle seguenti matrici: 5A, B C, 2C B T 2 Esercizio 5 Una matrice quadrata A si dice idempotente se A 2 A Stabilire se esistono valori del parametro reale k tali che la matrice k k A 0 0 k 0 0 sia idempotente 2 Date due matrici quadrate A e B di ordine n, verificare che se AB A e BA B allora A è idempotente Esercizio 6 Una matrice quadrata A è nilpotente se esiste p N tale che A p 0; il più piccolo intero p per cui ciò avviene viene detto indice di nilpotenza Stabilire se la matrice 3 A è nilpotente e, in caso positivo, calcolarne l indice di nilpotenza

4 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 4 Esercizio 7 Considerate le matrici: A 0, E 0 0, mostrare che: E 3 0; 2 A I + E e A I E + E 2 Esercizio 8 Mostrare che l inversa della matrice ( cos θ sin θ R sinθ cos θ è data da R R T Esercizio 9 Determinare una matrice X tale che dove A 3X + (A + B 2 2AB, ( 2 3 e B ( 2 3 Esercizio 20 Dimostrare che, data una matrice quadrata A, si ha che: A 2 I (I + A(I A 0 E vero che date due matrici quadrate A e B si ha che A 2 B 2 (A + B(A B 0? Esercizio 2 Calcolare i determinanti delle seguenti matrici: ( A,B,C a 0,D dove a è un parametro reale Esercizio 22 Data la matrice si ha che: (i det(a 0; A , (ii det(a 4; (iii det(a ; (iv il determinante di A non si può calcolare

5 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 5 SVOLGIMENTI Svolgimento Esercizio Si ha a , a , a , a , a , a , 2 Si ha a , a , a , a , a , a A b sin π + cos π , b 2 sinπ + cos 2π , b 2 sin 2π + cos π , b 22 sin2π + cos 2π , b 3 sin 3π + cos π , b 32 sin3π + cos 2π , b 3 sin π + cos 3π , b 4 sin π + cos 4π , b 23 sin 2π + cos 3π , b 24 sin 2π + cos 4π , b 33 sin 3π + cos 3π , b 34 sin 3π + cos 4π , 3 Risulta H B /2 /3 /4 /2 /3 /4 /5 /3 /4 /5 /6 /4 /5 /6 /7 Svolgimento Esercizio 2 Gli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata A (a ij sono gli elementi a ii Se a ij 4i j 2 con i,j,2,3, allora allora a ii 4i i 2 a 4 3, a , a Se a ij sin iπ 4 cos jπ 4 con i,j,2,3,4, allora a ii sin iπ 4 cos iπ 4 a sin π 4 cos π 4 2, a 22 sin π 2 cos π 2 0, a 33 sin 3π 4 cos 3π 4 2, a 44 sin π cos π 0

6 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 6 Svolgimento Esercizio 3 Utilizziamo l algebra delle matrici per semplificare le espressioni, quando possibile: risulta ( ( ( ( ( i 2A B 2, ( ( ( ( ii 3A + 2B 4C +, ( ( iii 2A + B + 2C 2B 2A B + 2C, iv 3B + 2(2A C (A + B + C 3B + 4A 2C A B C 2B + 3A 3C ( ( 7, 7 ( 3 0 v 2(A B + C 3( 2B + 3C + (4C A + 3B ( A 2B + 2C + 6B 9C + 4C A + 3B A + 7B 3C ( ( ( 3 0 ( Utilizziamo l algebra delle matrici per isolare l incognita X, quando possibile: i si ha risulta 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X 0 X 2 5 3X + 2A 2X + B + 2C + 4X 0 ( 0 5 ( X 2A B 2C X (2A + B + 2C 5 ( (

7 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 7 ii si ha 4A + 2(B + 2X 3(C + X + 2A 0 4A + 2B + 4X 3C 3X 6A 0 4X 2A 2B + 3C risulta X 2 ( 0 2 ( ( ( iii si ha 4(A + B + X + 4( A B + X 4(A B + X 0 (A + B + X + ( A B + X (A B + X 0 A + B + X A B + X A + B X 0 B + X A 0 risulta X ( 0 ( ( Svolgimento Esercizio 4 Le dimensioni della matrice prodotto, quando esiste, si ottengono con la regola (m n(n p m p, quindi AB è di tipo Svolgimento Esercizio 5 Risulta 2 ( Svolgimento Esercizio 6 Si ha ( ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( ( + ( + ( + ( + ( AB BA AB ( ( 2 2, 2 2 ( Svolgimento Esercizio 7 i Risulta ( 0 0 AC 0 ( 0

8 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 8 ii Si ha iii Risulta BC (BCA B + CA ( ( iv Il prodotto BA non esiste, in quanto B è di tipo 3 3 ed A è di tipo 2 3 v Si ha A T 0 B ( A T vi Risulta A T + BC Svolgimento Esercizio 8 i Si ha A T (, B T 2 (com era prevedibile, perché C è simmetrica ii Risulta 0 0, C T C 3 4 ( ( ( P AB, ( 2 Q B T A T 0 2, 2 0 2

9 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 9 P T (AB T B T A T Q iii Risulta ( ( V BC , W C T B T CB T , V T (BC T C T B T W e W T ( V T T V Svolgimento Esercizio 9 L, N e T sono simmetriche (a ij a ji per ogni i,j, mentre non sono simmetriche M (ad esempio a 3 a 3, R (a 2 a 2 ed S (a 4 a 4 Svolgimento Esercizio 0 Calcoliamo D P T AP Si ha ( ( ( ( ( ( x 0 6 6x x + 2 D x x 2 2x + 6 6x + 2 6x 2 + 4x + 6 Dunque D è diagonale (cioè a ij 0 se i j se e solo se 6x + 2 0, ossia x 2/6 Svolgimento Esercizio Sia Allora Y Y T Y ( y y n y y n y y n y y 2 n Y T Y 0 se e solo se y y2 n 0, il che, essendo gli y i reali, equivale a y y 2 y n 0, cioè Y 0 2 Se Z 0, non c è nulla da dimostrare Supponiamo allora Z 0 In questo caso, la relazione A T AZ 0 equivale a Z T A T AZ 0 (ottenuta moltiplicando ambo i membri per Z T 0, ossia a (AZ T AZ 0 Ma AZ è un vettore colonna reale (AZ T AZ 0 significa AZ 0, per quanto provato al punto precedente 3 Se A è di tipo m m, perché il prodotto A T AX abbia senso, X deve essere di tipo m n Indichiamo con X,,X n le colonne di X (ciascuna di tipo m, in modo che x x n X ( X X 2 X n x m x mn Osserviamo ora che, se a a m M a m a mm

10 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 0 è una qualsiasi matrice di tipo m m, le colonne del prodotto a a m x x n MX a m a mm x m x mn a x + a m x m a x n + a m x mn a m x + a mm x m a x + a m x m sono cioè a a m MX a m a mm a a m MX n a m a mm Allora, prendendo M A T A, risulta x x m x n x mn MX ( MX MX 2 MX n A T AX ( A T AX A T AX n a x + a m x m a m x + a mm x m a x n + a m x mn a x + a m x m A T AX 0 se e solo se A T AX A T AX n 0 Ma le X j sono colonne reali, per quanto dimostrato al punto precedente, A T AX A T AX n 0 significa AX AX n 0 Ciò equivale ad AX 0, in quanto (prendendo questa volta M A si ha AX ( AX AX n, Svolgimento Esercizio 2 La (i è vera solo se le matrici A e B sono quadrate e della stessa taglia Altrimenti, nelle uguaglianze AB 0 e BA 0, le matrici nulle hanno taglie diverse e quindi sono diverse La (ii invece è falsa, perché prendendo ad esempio si ottiene AB BA 0 A ( , B Svolgimento Esercizio 3 Se BA AB, risulta ( A T B T (BA T (AB T B T A T 2 Se p 0 oppure q 0, allora una tra A p e B q è la matrice identica risulta A p B q B q A p banalmente Se p,q, allora A p B q A p ABB q A p BAB q A p 2 ABAB q A p 2 BAAB q A p 2 BA 2 B q BA p B q

11 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni e procedendo nello stesso modo si può cambiare posto a tutti i fattori B ad uno ad uno, fino ad ottenere A p B q B q A p 3 Se m, allora risulta (AB m A m B m banalmente Per m 2, potremmo ragionare in modo simile al punto (2, esplicitando la potenza (AB m, ma conviene procedere per induzione: supponiamo (AB m A m B m e deduciamo (AB m A m B m Si ha (AB m (AB m AB A m B m AB A m AB m B A m B m dove si è usata l uguaglianza B m A AB m dimostrata al punto (2 4 Applicando ripetutamente la distributività della somma rispetto al prodotto, si ottiene e (3A 2 5A + 6I(2B + 3I (3A 2 5A + 6I2B + (3A 2 5A + 6I3I 6A 2 B 0AB + 2B + 9A 2 5A + 8I (2B + 3I(3A 2 5A + 6I 2B(3A 2 5A + 6I + 3I(3A 2 5A + 6I 6BA 2 0BA + 2B + 9A 2 5A + 8I Poiché A 2 B BA 2 per quanto dimostrato al punto (2, i secondi membri risultano uguali e quindi lo stesso vale per i primi 5 Si ragiona come al punto (4: si ottiene ( n [( m m n ] a i A i b j B j a i A i b j B j i0 j0 j0 i0 m j0 i0 n a i b j A i B j e ( m n b j B j a i A i j0 i0 n m m m b j B j a i A i b j a i B j A i, i0 j0 j0 j0 dove a i b j b j a i perché il prodotto di numeri reale è commutativo e A i B j B j A i per quanto dimostrato al punto (2 Svolgimento Esercizio 4 Per verificare che due matrici sono l una l inversa dell altra è sufficiente controllare che il loro prodotto (in un ordine qualsiasi dia la matrice identica ; ad esempio A A 2 ( ( Lasciamo al lettore il calcolo degli altri prodotti ( ( 5 3( ( 5 5( ( 0 0 L inversa di 5A è 5 A 5 A 2 (in generale: (λa λ A per ogni λ 0 e A invertibile L inversa di B C è (B C B C (l inversa del prodotto di matrici invertibili è il prodotto delle inverse in ordine inverso, poiché B B 2 e C C 2, risulta infatti, AB I implica det Adet B entrambe A e B risultano invertibili, per cui da AB I segue A B moltiplicando ambo i membri a destra per B

12 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 2 (B C B 2 C 2 L inversa di 2C B2 T è ( 2C B2 T ( 2 B T 2 C ( A T per ogni A invertibile, poiché B 2 BT C 2 2 ( B T 2 C (in generale: 2 B e C C 2, risulta ( 2C B T 2 Svolgimento Esercizio 5 Si ha k k k k + k + k 2 k k A k k, k 0 0 k 0 0 k k 2 k 2 quindi A è idempotente se e solo se + k + k 2 k k k k k k 0 0, k k 2 k 2 k 0 0 ossia che è soddisfatto per k 0 + k + k 2 k 0, k 2 0 ( A T 2 Scrivendo l uguaglianza AB A come A AB e moltiplicando a destra per A si ottiene A 2 ABA Sostituendo ora BA B prima e AB A poi, si conclude A 2 ABA AB A Svolgimento Esercizio 6 Si ha A e A 3 A 2 A Dunque A ha indice di nilpotenza p 3 Svolgimento Esercizio 7 Si ha E E 3 E 2 E

13 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 3 2 Si ha I + E A ( I E + E 2 A ( I E + E 2 (I + E I E + E 2 + ( I E + E 2 E I E + E 2 + E E 2 + E 3 I + E 3 I Ciò prova che A I E + E 2, in quanto due matrici sono l una l inversa dell altra se e solo se il loro prodotto (in un ordine qualsiasi è la matrice identica (v nota allo svolgimento dell Esercizio 4 Svolgimento Esercizio 8 Si ha R T ( cos θ sinθ sin θ cos θ R T R ( ( ( cos θ sinθ cos θ sin θ cos 2 θ + sin 2 θ 0 sin θ cos θ sinθ cos θ 0 cos 2 θ + sin 2 θ ( 0 0 Ciò prova che R R T, in quanto due matrici sono l una l inversa dell altra se e solo se il loro prodotto (in un ordine qualsiasi è la matrice identica (v nota allo svolgimento dell Esercizio 4 Svolgimento Esercizio 9 L equazione 3X + (A + B 2 2AB equivale a 3X 2AB (A + B 2 (attenzione a non svolgere il quadrato (A + B 2 con l usuale formula valida nel campo dei numeri reali: si ha (A + B 2 A 2 + BA + AB + B 2, che è diverso da A 2 + 2AB + B 2 a meno che A e B commutino, ossia ( ( 2 2 3X ( ( [( ( ( ] 2 ( ( e pertanto X 3 ( ( 4 8 4/3 8/ /3 Svolgimento Esercizio 20 Distribuendo il prodotto rispetto alla somma, si ha (I + A (I A (I + A I (I + A A I + A A A 2 I A 2

14 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 4 (I + A (I A 0 equivale a I A 2 0, cioè I A 2 Procedendo come sopra, si ottiene (A + B(A B (A + BA (A + BB A 2 + BA AB B 2 risulta (A + B(A B 0 se e solo se A 2 + BA AB B 2, che non equivale ad A 2 B 2, a meno che A e B commutino La risposta è dunque negativa Svolgimento Esercizio 2 Si ha deta 2 a a 22 a 2 a 2 2 Calcoliamo il determinante di B sviluppando rispetto alla prima riga (che contiene uno 0: 0 detb 2 2 ( + a 2 + ( +2 a ( +3 a ( 2 (2 2 3 Calcoliamo il determinante di C sviluppando rispetto alla terza colonna (che contiene uno 0: 2 det C a ( +3 a 3 a ( 2+3 a ( 3+3 a 23 a a a + 2(2 + a 3 + 2a Iniziamo il calcolo del determinante di D sviluppando rispetto alla quarta colonna (che contiene due elementi nulli: 2 det D ( +4 2 a ( 3+4 a A questo punto potremmo procedere sviluppando direttamente i due determinanti 3 3 ottenuti D altra parte, un determinante non cambia operando trasformazioni elementari del primo tipo (cioè sommando ad una riga o colonna un multiplo non nullo di un altra, quindi semplifichiamo il loro calcolo facendo comparire un maggior numero di zeri: si ha R 3 R 3 2R (

15 MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni 5 e R 2 R 2 R Dunque det D 2(3 + 2( R 3 R 3 2R ( Svolgimento Esercizio 22 Ovviamente l affermazione (iv è falsa, perché il determinante di una matrice esiste se e solo se la matrice è quadrata In questo caso, la matrice A è triangolare superiore e perciò, siccome il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore è il prodotto degli elementi della sua diagonale, risulta deta a a 22 a 33 a 44 ( (2 ( ( 2 4