LT0003 Misure di resistenza al variare della temperatura

Transcript

1 LT0003 Misure di resistenza al variare della temperatura Lo scopo di questa esperienza è lo studio dell andamento della resistenza in funzione della temperatura in un campione metallico, un semiconduttore e un carbon-resistor. Introduzione Il comportamento dei solidi dal punto di vista del trasporto della corrente elettrica si può caratterizzare (disponendo di un campione lungo e stretto, di geometria nota e sezione costante), misurandone la resistenza elettrica R =V/ I (legge di Ohm) Da tale misura si può ricavare la resistività ρ definita macroscopicamente per un conduttore omogeneo di lunghezza L e sezione S, R =ρl/s, o la conducibilità σ =1/ρ. La conducibilità si può esprimere anche come σ =J/E, cioè come rapporto fra la densità di corrente J e l'intensità del campo elettrico E. Per dare una spiegazione alla legge di Ohm si può ricorrere ad un modello microscopico per il moto delle cariche nei conduttori. Se pensiamo che la corrente elettrica sia un flusso di particelle con la concentrazione n, dotate tutte della stessa carica q e della stessa velocità di deriva v d, la densità di corrente, cioè la quantità di carica che passa nell unità di tempo attraverso la sezione unitaria di conduttore, si scrive J = q n v d. Infatti in un secondo passano attraverso la superficie unitaria S tutti i portatori di carica contenuti nel volume del cilindro di area S ed altezza v d. Figura 1

2 Si vedrà che la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico E ed il rapporto μ= v d /E viene chiamato mobilità di deriva. Allora σ =J/E = q n μ. In conclusione la σ è proporzionale : 1) alla concentrazione e alla carica dei portatori di carica elettrica 2) alla loro mobilità, cioè al parametro che tiene conto delle forze resistenti che essi incontrano nel loro movimento. Il moto dei portatori di carica, analizzato dal punto di vista microscopico, è la sovrapposizione di un moto d insieme nella direzione del campo elettrico applicato dall esterno più un moto disordinato di agitazione termica con velocità quadratica media che, nel modello classico, si può stimare pari a v m = 3kT / m. A temperatura ambiente questa relazione dà: v m 10 5 m/s (infatti m e =0.5 MeV/c 2, c= m/s, e a 300 K si ha kt=0.026 ev). Per confronto la velocità del suono in aria è circa 350 m/s. Oltre alla forza dovuta al campo elettrico, è presente la resistenza dovuta alle collisioni con le inevitabili impurità presenti e con i difetti e le vibrazioni del reticolo (fononi), e questo fa sì che il moto dei portatori avviene con velocità media costante vd (velocità di deriva). L'energia perduta dai portatori in questi urti va ad aumentare la temperatura del materiale (effetto Joule). La velocità di deriva è solo una piccola componente ordinata nella direzione del campo elettrico applicato rispetto alle velocità che i portatori possiedono a causa dell agitazione termica e che, avendo direzioni completamente casuali hanno valor medio nullo. Nel nostro modello la velocità di deriva è proporzionale ad E (v d = µ E ), ove µ è la mobilità. L ordine di grandezza della mobilità a temperatura ambiente è 10 o1000 cm 2 V-1s -1 rispettivamente per i metalli ed i semiconduttori, e perciò, pur con un campo elettrico applicato piuttosto intenso (E 10 V/cm), la velocità di deriva è molto più piccola della velocità di agitazione termica. La mobilità di deriva (μ = v d /E) in termini microscopici si può esprimere come: μ = eτ/m 2

3 dove m è la massa efficace del portatore e τ è il tempo medio fra due collisioni del portatore stesso contro il reticolo o le impurità. Questa formula si può ricavare supponendo che in ogni collisione il portatore di carica perda tutta l'energia acquisita dal campo elettrico e che successivamente nel tempo τ fino al successivo urto, essendo soggetto alla accelerazione a = ee/m, acquisti in media una velocità v d = a τ = eeτ/m. La stessa espressione si può anche derivare da un modello del moto del portatore esprimibile mediante l'equazione dv/dt = ee /m v/τ nella quale il termine v/τ tiene conto della resistenza al moto dovuta alle collisioni (resistenza di tipo viscoso), e che in condizioni di moto stazionario (dv/dt=0) dà appunto v = ee τ /m. Per stimare la dipendenza della mobilità dalla temperatura conviene partire dalla relazione che lega il cammino libero medio λ, al tempo di collisione e λ=v m τ, che fornisce μ= eλ/(mv m ). Nel modello classico di Drude si fanno le approssimazioni: λ=distanza interatomica costante e v m = 3kT / m, e quindi si prevede per la mobilità una dipendenza del tipo μ T 1/2. Nel modello quantistico invece v m si identifica con la velocità di Fermi (indipendente da T), mentre λ si può assumere inversamente proporzionale a T (inversamente proporzionale alla sezione d'urto elettrone-atomo del reticolo, pari all'area spazzata da un atomo in conseguenza della sua vibrazione cioè al quadrato dell'ampiezza di vibrazione e quindi anche all'energia elastica del moto di agitazione termica kt ), e quindi si prevede per la mobilità l andamento μ T 1. Da quanto detto si può giungere ad una previsione la dipendenza della resistività dalla temperatura nel caso di conduttori metallici, ove la concentrazione dei portatori di carica può essere assunta essere costante e quindi il solo parametro che conta nella relazione ρ=1/ q n μ è la mobilità: ρ T. Nei semiconduttori le cose vanno in modo molto diverso: qui la concentrazione dei portatori di carica non è più costante al variare della temperatura: nel caso di semiconduttori puri essa cresce esponenzialmente con T, nel caso di semiconduttori drogati essa può essere all incirca costante (zona estrinseca a 3

4 basse temperature) oppure crescere esponenzialmente con T (zona intrinseca ad alta temperatura). Infine in elementi resistivi a pasta di carbone (carbon-resistor in inglese) la resistività è determinata anche da un altro fattore: la probabilità di trasmissione degli elettroni attraverso microcristalli contigui di grafite che compongono la pasta di carbone ( hopping tra domini separati di materiale conduttore). Le resistenze a pasta di carbone sono le prime apparse commercialmente e sono oggi normalmente sostituite da quelle a film di carbone su supporto ceramico. Tale probabilità dipende dalla distanza media tra i microcristalli e dal numero di fononi presenti, e quindi dalla temperatura. Il risultato tipico è un andamento della resistività rapidamente decrescente al crescere della temperatura nella regione di bassa temperatura (T<200 K) e poi nuovamente crescente nella regione di alta temperatura (T>350 K), ove diventa importante anche la dipendenza dalla temperatura della resistività della grafite 1. 1 The Electrical Conductivity and Current Noise of Carbon Resistors, I. M. Templeton and D.K.C. MacDonald (1953) Proc. Phys. Soc. B 66,

5 Descrizione dell apparato sperimentale Questo apparato didattico consente di misurare la resistenza R di un filo metallico, un semiconduttore e un carbon resistor in funzione della temperatura assoluta T. L apparato è progettato per eseguire misure con la tecnica RTL (Real Time Laboratory), ovvero per acquisizione dati in tempo reale. Figura 2: Schema dell apparato Esso consiste in due parti: 1) un dewar contenente un portacampioni, con 3 campioni e relativa contattiera per ingresso/uscita dei segnali 2) una unità di controllo che fornisce una alimentazione a corrente costante ai campioni e ad un termometro a diodo, dotato di display che visualizza la temperatura dei campioni, e che condiziona i segnali in uscita per ottimizzare l acquisizione RTL. 5

6 I campioni sono posti entro un cilindretto di ottone, dotato di riscaldatore a fascia (50 Ω) e di dito freddo che pesca in un bagno di azoto liquido, nel caso si voglia estendere il campo di misura ad di sotto della temperatura ambiente, e sostenuto da un tubo di acciaio inox a pareti sottili su cui si distribuisce quasi tutto il salto di temperatura rispetto alla temperatura ambiente. La variazione di temperatura, nel cilindretto che costituisce il contenitore isotermo, viene ottenuta alimentando il riscaldatore con una corrente costante 2 : in circa 50 minuti si può ottenere una escursione termica da circa -200 o C a circa +150 o C. La temperatura nel cilindro portacampioni è misurata con un termometro a diodo e mostrata in gradi Kelvin su un visore LCD a tre cifre sul frontale della scatola di controllo. Il principio di funzionamento del termometro a diodo è il seguente. La tensione Vf ai capi di una giunzione PN polarizzata direttamente dipende quasi linearmente dalla temperatura assoluta: questa caratteristica consente di utilizzare un normale diodo come termometro, mediante un opportuno circuito di condizionamento che fornisce in uscita una tensione direttamente proporzionale alla temperatura 3. La resistenza dei tre campioni (nickel, germanio, carbon resistor) è misurata con il metodo voltamperometrico a quattro terminali: per ogni campione due fili servono per fornire una corrente costante I e altri due per misurare la tensione V, e la resistenza è ricavata dal rapporto R=V/I. I quattro segnali di tensione (3 provenienti dai capi dei 3 campioni (R 1,R 2 e R 3 ) ed una dai capi del diodo termometrico (T)) sono disponibili sul frontale della unità di controllo mediante 4 coppie di boccole (le boccole nere sono al potenziale comune di massa). La corrente di alimentazione dei campioni è di pochi ma per contenere la dissipazione per effetto Joule entro limiti che rendano trascurabile l autoriscaldamento : 2 ma per il nickel (R 1 <50 Ω), 100 μa per il campione di germanio (R 2 <5 kω), 10 μa per il carbon resistor (R 3 <50 kω). 2 Tale corrente puo essere regolata mediante un potenziometro posto all interno della scatola. 3 Normalmente servono due punti di taratura per calibrare il circuito di condizionamento del segnale; in questo apparato si usa invece una tecnica che consente una calibrazione assoluta con un solo punto di taratura (ad esempio a temperatura ambiente). 6

7 Dato che il segnale di tensione ai capi dei campioni è al massimo alcune decine di mv: esso viene amplificato da amplificatori differenziali ad elevata impedenza di ingresso e con diversi guadagni (G 1 =50, G 2 =10, G 3 =10), per adattare i segnali ad una interfaccia con campo di misura tra 0 e 5 V. Le tensioni in uscita misurano le resistenze con sensibilità di 100 mv/ Ω per il nickel, 1 mv/ Ω per il germanio e 0.1 mv/ Ω per il carbon resistor. Il segnale di temperatura in uscita dall unità di controllo è dato con sensibilità 10 mv/k, per mantenere il valore della tensione nell intervallo 0-5 V per una escursione termica da circa 80 K a circa 450K,. Per ottenere che l interfaccia LabPro registri nella memoria del PC i valori delle resistenze e della temperatura direttamente in ohm e in kelvin, rispettivamente per i segnali prodotti dai campioni e dal termometro, basta assegnare appropriate calibrazioni alle sonde connesse alle relative uscite: per i campioni si assegna intercetta=0, pendenza =10 per il nickel (R 1 ), pendenza =1000 per il germanio (R 2 ), pendenza =10000 per il carbon resistor (R 3 ), e per la temperatura intercetta =0 pendenza =100. Il campione di nickel è ricavato da filo di diametro nominale 0.05 mm lungo alcuni centimetri, avvolti su un cilindretto di ottone. Il campione di germanio è ricavato da un wafer di spessore 1.2 mm tagliato con geometria rettangolare (circa 2x4 mm) con 4 fili saldati ai vertici. Il carbon-resistor è ricavato da un resistore cilindrico a pasta di carbone (tipo Allen-Bradley) di valore nominale 22 kω, fresato su due lati in modo da assotigliarlo e migliorarne l accoppiamento termico con il supporto. Quando la scatola di controllo è connessa a rete ed accesa mediante l interruttore generale ( power ), si accende un LED verde. Un interruttore ( heating ) avvia il circuito di controllo del riscaldatore: premendo il pulsante accanto all interruttore si accende un LED rosso che indica che il riscaldatore è in funzione. Se la temperatura supera i 450 K un interruttore elettronico a soglia spegne il riscaldamento, per evitare di danneggiare l apparato ed i campioni. Finché la temperatura è al di sotto del massimo consentito, il riscaldamento può in ogni momento essere spento o riacceso mediante l interruttore. 7

8 Misura delle resistenze mediante ohmetro. Nella scatola che sostiene il cilindretto portacampioni un connettore multiplo (tipo flat cable a 25 pin) alloggia il cavo che collega l unità di controllo a campioni, termometro e riscaldatore, e quattro boccole consentono una misura delle resistenze mediante ohmetro. La boccola nera è connessa alla massa comune dei tre campioni e le altre tre boccole ad uno dei fili connessi all altra estremità di ciascun campione. E facile verificare che questa misura (a due terminali) approssima sempre in eccesso il valore reale della resistenza, in quanto include la resistenza dei fili e dei contatti (la resistenza di contatto è importante soprattutto nel caso dei semiconduttore ove è molto difficile ottenere un contatto a bassa resistenza). Figura 3: Schema di diversi tipi di collegamenti per misure di resistenza Il metodo voltamperometrico utilizzato da un comune ohmetro per misurare una resistenza connessa tra i due terminali è schematizzato in figura 3: la resistenza incognita è Rx e le resistenze dei cavi e dei contatti con gli estremi di Rx sono indicate qui con R1 e R2. E ovvio che il rapporto tra la tensione V misurata tra i due terminali dell ohmetro (a e d) e la corrente fornita alla resistenza (si trascura la corrente che attraversa il voltmetro che ha di solito altissima impedenza), non vale Rx ma è invece pari alla somma Rx+R1+R2. Ove non sia R1+R2<<Rx questo metodo di misura fornisce un risultato affetto da errore. Il metodo a 4 terminali evita questo errore perché il voltmetro misura la tensione non tra i punti a e d, ma tra gli estremi b e c della resistenza incognita. La caduta di 8

9 tensione su R1 e R3 (ove passa la corrente I che polarizza Rx) non viene misurata e la debolissima corrente che attraversa R2 e R4 produce una caduta di tensione trascurabile. Tuttavia se i 4 terminali sono connessi agli estremi di Rx con 2 soli contatti e le resistenze di contatto (b-b* e c-c*) non sono trascurabili rispetto ma Rx, allora anche questa configurazione può produrre misure affette da errori notevoli. Nello schema a 4 terminali e 4 contatti distinti la resistenza di contatto (importante ad esempio nel caso di contatto metallo-semiconduttore) viene esclusa dalla misura perché viene inglobata ni quella dei cavi di collegamento. In questo apparato le misure vengono eseguite a 4 terminali per i campioni metallici e a 4 contatti distinti per i campioni semiconduttori. Descrizione della procedura sperimentale. Sequenza delle operazioni preliminari: - Accendere la scatola di controllo e il PC, lanciare il programma LoggerPro - Aprire il file LoggerPro TEMPLATE_RT.cmbl - Verificare che LabPro sia collegato a PC e che i sensori siano collegati alle 4 porte analogiche di LabPro. - Quando si apre la finestra Impostazione sensori, che mostra i sensori connessi, selezionare per tutti Tensione/ Tensione elettrica 0-5V. - Dal menu principale selezionare Esperimento e poi Acquisizione Dati Selezionare l opziomne misure in funzione del tempo e digitare per Durata 5000 secondi e per frequenza di campionamento 0.2 campionamenti / secondo (frequenza di campionamento 0.2Hz) 9

10 Figura 4: scelta della frequenza di campionamento - Verificare la calibrazione dei sensori. Con doppio click sul quadrato che individua un sensore scegliere [ Calibrazione ] poi [ Equazione ] e digitare come intercetta valore zero e come pendenza: ch1 (nickel) 10 ch2 (germanio) 1000 ch3 (carbon resistor) ch4 (temperatura) Introdurre l azoto liquido nel dewar e inserire i campioni - Acquisire prima la rampa di discesa della temperatura e poi quella di risalita a partire dal T=78K a cui si stabilizzerà il sistema una volta immerso nell azoto liquido - La rampa di temperatura (con potenza costante erogata) è sempre un esponenziale (figura 5). 10

11 Figura 5: andamento tipico della temperatura nel tempo Una scelta ragionevole per la durata della acquisizione è di 5000 secondi per l intervallo 100K-450 K e 1500 secondi per un riscaldamento che parte da temperatura ambiente (conviene predisporre un tempo di acquisizione maggiore di quello necessario, per evitare che la misura venga interrotta anzitempo: in ogni istante si può fermare l acquisizione con click su pulsante Stop ). Esempio dei risultati di una misura Figura 6: andamento delle tensioni misurate in funzione di T 11

12 Analisi dei risultati ottenuti con il campione di nickel Nel caso dei metalli la resistenza elettrica cresce sempre al crescere della temperatura secondo una relazione all'incirca lineare: R R o (1+βt), ove R o è il valore a zero centigradi e il parametro β=δr/(r o Δt) è detto coefficiente di temperatura del metallo. Una interpolazione di questo tipo si ottiene facilmente dai dati acquisiti ricordando la relazione (T=t ) fra la temperatura in gradi centigradi t e quella assoluta T. Fig. 7: Resistenza di un campione di nickel in funzione di T La resistenza, per un conduttore uniforme e omogeneo di sezione costante S e lunghezza L, vale R=ρL/S, ove ρ è la resistività. Per un conduttore cilindrico di diametro D vale S=πD 2 /4, ovvero ρ=rπd 2 /4L. Per il nickel a temperatura ambiente, la resistività è ρ Ni Ω m. Dal valore misurato R o (nickel)=12.4 Ω, e dalla relazione L=RπD 2 /4ρ si può ottenere una stima della lunghezza del filo di nickel che ha diametro nominale D=50 μm: L Ni =42 cm. 12

13 La sua resistenza (e dunque la resistività) mostra una dipendenza dalla temperatura che non è costante 4. La spiegazione si trova nel fatto che la temperatura di Debye T D per il nickel è piuttosto elevata: T D (Ni)=472K A T basse, o perlomeno confrontabili con la temperatura di Debye, il meccanismo che controlla la mobilità dei portatori e quindi la resistività del metallo è lo scattering fononico anelastico che impone un andamento ρ~t 5. In una approssimazione grossolana si può comunque dire che la resistività varia all incirca proporzionalmente alla temperatura assoluta T, in accordo con il modello teorico che prevede una densità dei portatori di carica corrisponde alla densità degli elettroni di valenza (n cm -3 ), indipendente dalla temperatura. 4 Questo andamento si osserva anche in altri metalli in un intervallo di temperature molto più basso 13

14 Analisi del campione semiconduttore Il risultato dell esperimento nel caso del campione semiconduttore è più interessante. Qui si utilizza un cristallo di germanio drogato N, che in diversi dell'intervalli di temperatura, si comporta come estrinseco o intrinseco a seconda che predomini la popolazione di elettroni messi in gioco dagli atomi donori o il processo di eccitazione diretta di elettroni in banda di conduzione attraverso il gap energetico. Fig. 8: Resistenza di un campione di germanio in funzione di T Zona estrinseca A temperature basse (ma superiori a T 120 K), in un semiconduttore di tipo N, si ha n Nd» ni (T), con ni=concentrazione intrinseca dei portatori, e la conducibilità elettrica è determinata essenzialmente dai portatori dovuti al drogante la cui concentrazione è costante al variare della temperatura, mentre il contributo delle coppie intrinseche è trascurabile. Il comportamento del campione si dice estrinseco 14

15 e questa zona di temperature si chiama zona estrinseca. Il comportamento del materiale può essere assimilato al comportamento di un metallo e la conducibilità risulta dipendere dalla temperatura sostanzialmente come la mobilità µ. Perciò σ è proporzionale a T -α e la resistenza R è proporzionale a T α, ove α nel germanio vale tipicamente 1.5. Ci si aspetta quindi che il grafico logaritmo naturale di R in funzione del logaritmo naturale di T sia una retta di pendenza α. Fig. 9: Determinazione dell andamento della resistività con la temperatura (α=1.34) Zona intrinseca Al crescere della temperatura il numero di coppie di portatori intrinseci cresce rapidamente secondo la legge n i = cost exp[-e g /(2kT)], finché si raggiunge la condizione opposta N d «ni in cui il drogante ha effetto trascurabile (n p =n i ) e il campione è in zona intrinseca. In questa zona si può scrivere σ=e(μ h +μ e )ni(t) (ove μ h e μ e sono rispettivamente le mobilità degli elettroni e delle lacune). Essendo trascurabili le deboli dipendenze da 15

16 T delle mobilità rispetto a quella del fattore esponenziale contenuto in n i, σ varia come exp{ E g /(2kT)} ed R varia come exp{+e g /(2kT)}. In questa zona di temperature il grafico di ln(r) vs. 1/2kT è una retta di pendenza E g(t=0. (La costante di Boltzmann vale k=8.617x10-5 ev/k). Infatti, dato che il valore di Eg dipende quasi linearmente dalla temperatura, si può assumere Eg(T)=Eg(0)+aT, con a costante, e quindi nella pendenza del grafico in funzione di 1/2kT resta solo il termine Eg(0). Ovviamente la temperatura di transizione tra le due zone dipende dalla concentrazione del drogante e cresce con essa. Fig. 10: Ln R per germanio in funzione di 1/2kT (si ottiene Eg(T=0) = 0.66 ev) Per ottenere una buona stima si consiglia di effettuare le misure R(T) sia con rampa di temperatura in salita che in discesa e di mediare i risultati ottenuti. 16