11. LO SCAMBIO TERMICO PER CONDUZIONE

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1 . LO SCAMBIO ERMICO PER CONDUZIONE. Premea: i meccanimi di tramiione del calore In ermodinamica i è definito il calore come la forma aunta dall energia in tranito uando la ua tramiione da un corpo ad un altro avviene olo in virtù di una differenza di temperatura. L inieme dei procei mediante i uali ha luogo tale traporto di energia viene tudiato da una diciplina ditinta dalla ermodinamica che prende il nome di ramiione del calore. Ea, baandoi ui concetti fondamentali della ermodinamica, tudia l evoluzione nel tempo degli eventi generati da tati di non euilibrio termico. Anche ueta branca della fiica ha un forte carattere perimentale, e proprio dall oervazione perimentale dei fenomeni termici i è rilevato che lo cambio termico tra corpi, aventi temperatura divera, può avvenire: per contatto in aenza di moto relativo tra due corpi; per contatto in preenza di moto relativo tra un corpo ed un fluido; enza contatto tra corpi eparati da uno pazio anche vuoto. In tutti ueti cai l oervazione perimentale del fenomeno motra che le temperature dei due corpi cambiano nel tempo fino a uando entrambi raggiungono la tea temperatura, il cui valore riulta intermedio tra uelli delle loro temperature iniziali. L oervazione perimentale evidenzia anche che diminuice la temperatura del corpo più caldo e contemporaneamente aumenta la temperatura di uello più freddo. Si è oervato inoltre che la tramiione del calore è un fenomeno compleo, in genere cotituito dalla ovrappoizione degli effetti di più fenomeni elementari ognuno dei uali può avere un ruolo prevalente o marginale a econda delle proprietà del mezzo in cui ha luogo la tramiione del calore. In ogni cao i ditinguono tre diveri modi o meccanimi di tramiione detti ripettivamente: Conduzione, Convezione, Irraggiamento. Ei aranno decritti In ueto e nei proimi capitoli.. La conduzione termica Da un punto di vita macrocopico, la conduzione termica i manifeta come cambio di energia termica all interno di corpi o tra corpi olidi, liuidi o gaoi, in contatto tra di loro, enza movimento macrocopico di materia. Lo cambio termico è dovuto alla ceione di energia cinetica molecolare (rotazionale e vibrazionale) da zone ad alta temperatura vero zone adiacenti a più baa temperatura. Nel cao particolare dei olidi metallici, oltre a tale meccanimo i deve coniderare anche la componente di energia traportata grazie al moto degli elettroni. L entità dell'energia termica, che i cambia o che i propaga nel corpo coniderato, dipende dalla geometria e dalle caratteritiche di eo oltre che dalla differenza di temperatura tra le IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari

2 A, regioni del corpo intereate allo cambio termico. Per eempio, e i rivete un erbatoio di acua bollente con lana di vetro (materiale iolante termico), i riduce progreivamente l entità della diperione termica con l aumentare dello peore dell iolante. ale diperione dipenderà inoltre dalla differenza di temperatura tra acua ed ambiente circotante e dall etenione dell area diperdente.. Il potulato di Fourier Per iniziare lo tudio della conduzione e fiare alcuni concetti fondamentali è utile ripercorrere le eperienze di uno cienziato francee del XIX ecolo, Jean Fourier (768 80), e coniderare un itema molto emplice, cotituito da una barretta cilindrica di materiale omogeneo (truttura del materiale uniforme in ogni punto) ed iotropo (proprietà termofiiche indipendenti dalla direzione). Figura.. Fluo termico attravero una barretta cilindrica. Le etremità della barretta iano cotituite da due uperfici piane parallele a ditanza, mantenute a temperature divere ed uniformi e, con: > - Si conideri il corpo ben iolato lungo tutto l inviluppo in modo che il fluo avvenga olo nella direzione del uo ae: fluo monodimenionale. La differenza di temperatura caua un fluo di potenza termica attravero la ezione A; i ricontra che: A (.) i oerva uindi una proporzionalità diretta tra fluo termico, differenza di temperatura ed area della ezione A, ed una proporzionalità invera tra fluo termico e lunghezza della barra. Il fattore di proporzionalità è detto coefficiente di conduzione termica o conduttività termica del materiale. ale coefficiente è una proprietà fiica del materiale e ne caratterizza il comportamento, i miura in W/(m K).

3 Quanto affermato dalla (.) può allora eere ricritto come: A (.) in cui il egno meno ta ad indicare che la direzione del fluo termico, e concorde con il vero crecente dell'ae delle acie, deve comunue corripondere al decrecere della temperatura. In altri termini: la tramiione del calore avviene nel eno del gradiente negativo della temperatura, ovvero dalla zona più calda a uella più fredda, in accordo con il econdo principio della termodinamica. Queta relazione (.) è nota come potulato di Fourier. In forma differenziale, l euazione (.) può eere critta nel eguente modo: A lim 0 A (.) Nel corpo cilindrico opra decritto i avranno delle uperfici a temperatura cotante che approimativamente poono eere individuate nei piani perpendicolari all ae del cilindro. Si oerva uindi che il fluo termico i propaga in direzione perpendicolare alle uperfici ioterme. In altri termini lungo la direzione di maima variazione della temperatura, o, in termini matematici, lungo la direzione del vettore gradiente di temperatura. ale condizione ha una validità generale: u di un corpo ualiai una volta individuata una uperficie ioterma il fluo di calore i propagherà in ogni punto in direzione perpendicolare a tale uperficie. Si conideri allora u di una uperficie ioterma alla temperatura, un elemento di area A contenente un punto P. Coniderando la normale n alla uperficie in P e l ioterma a temperatura, che ulla normale identifica il egmento n, tracurando il fluo termico dipero lateralmente dal cilindro di bae A ed altezza n coì identificato (vedi Figura.), i può crivere: A A (.4) n n al tendere a zero dell area A, il fluo può eere coì decritto: * lim A 0 da n conideriamo ora Il fluo termico pecifico (per unità di uperficie) * da * (.5) da da n n A partire da tale relazione e coniderando il fatto che il fluo termico è un vettore diretto normalmente alla uperficie ioterma coniderata, la relazione (.5) può eere critta in IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari

4 termini vettoriali in relazione ad un itema di riferimento carteiano tridimenionale in cui la uperficie ha una poizione generica, e per unità di area della uperficie i avrà: n n P A Figura.. Direzione del fluo termico. * r r r [ i j k ] (.6) y z in cui i, j, k ono i verori dei tre ai carteiani ortogonali..4 Il coefficiente di conduzione termica Il valore del coefficiente di conduzione termica o conduttività termica delle divere otanze varia entro limiti larghiimi, eo dipende dallo tato del materiale e può variare con la temperatura, la preione e gli eventuali trattamenti termici che il materiale ha ubito. La conduttività termica, come detto, i miura, nel itema internazionale (SI), in W/(m K). La tabella. riporta a grandi linee i valori della conduttività per le divere clai di otanze. La tabella. riporta i valori della conduttività termica in unità del Sitema Internazionale per otanze di freuente utilizzo. abella.. Alcuni valori della conduttività termica Materiale [W/(m K)] Ga alla preione atmoferica 0,007 0, Materiali iolanti 0,0 0, Liuidi non metallici 0,05 0,7 Solidi non metallici 0,, Metalli liuidi 8 80 Metalli e leghe metalliche

5 abella.. Conduttività termica per alcuni materiali [W/(m K)] Acua liuido 0,6 W/ (m K) ghiaccio,8 W/ (m K) Legno 0,5 W/ (m K) Bala 0,055 W/ (m K) Aria 0,06 W/ (m K) Materiali iolanti Politirolo epano 0,04 W/ (m K) Sughero epano 0,06 W/ (m K) Lana di vetro 0,04 W/ (m K) Fibra di vetro 0,05 W/ (m K) Materiali da cotruzione Calcetruzzo 0,8,4 W/ (m K) Mattoni di argilla,0, W/ (m K) Marmo,8 W/ (m K) Sabbia 0,7 W/ (m K) erreno 0,5 W/ (m K) Alluminio 00 W/ (m K) Vetro,4 W/ (m K) Grafite 950 W/ (m K)] Diamante 00 W/ (m K).4 L Euazione Generale della conduzione Nel paragrafo. i è coniderato chematicamente il cao più emplice della conduzione termica: materiale omogeneo ed iotropo, fluo monodimenionale, regime tazionario. Si cercherà nel eguito di fornire una trattazione più generale del fenomeno in grado di decrivere ualiai ituazione perimentale. Come i è già ottolineato lo cambio di energia per conduzione avviene per interazione diretta tra le molecole del mezzo che, ove eita un gradiente di temperatura, econdo le ipotei della teoria cinetica molecolare i cambiano la loro energia cinetica rotazionale e vibrazionale. In eguito a tali cambi la uota di energia poeduta da ogni volumetto elementare del corpo i modifica e, di coneguenza, i modifica anche il campo delle temperature. Il fenomeno conduttivo è pertanto decritto uando ia noto il campo di temperatura all interno del corpo, campo che è in generale funzione delle coordinate paziali, y, z e del tempo τ. IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 5

6 Lo tudio del fenomeno richiede pertanto la preciazione della funzione calare: f (,y,z, τ ) (.7) Il luogo geometrico dei punti del corpo che in un certo itante del tempo τ hanno la medeima temperatura è una uperficie ioterma. Le uperfici ioterme non i interecano mai tra loro in uanto un punto, in un certo itante, può avere un olo valore di temperatura. Si oerva facilmente che in regime tazionario, cioè indipendente dal tempo, le uperfici ioterme ono fie: ciò ignifica che, e i immagina di poter fotografare in itanti ucceivi la loro configurazione all interno del corpo, le immagini che i otterrebbero riulterebbero identiche fra loro. In regime variabile, invece, le uperfici ioterme ono mobili e deformabili: ciò ignifica che, e i immagina di poter fotografare in itanti ucceivi la loro configurazione all interno del corpo, le immagini che i otterrebbero riulterebbero divere itante per itante. L interezione di un piano con le uperfici ioterme determina u uel piano delle curve o linee ioterme che, come le uperfici, ono continue e non poono interecari tra loro: il maggior gradiente di temperatura i incontra attraverando le linee ioterme in una direzione n normale ad ee. Per eplicitare la (.7), una poibile tecnica è uella di eeguire un bilancio di energia u un elemento infiniteimo di volume di un generico corpo. Si conideri un mezzo omogeneo ul uale i vada a coniderare un elemento infiniteimo di volume dv (Figura.4). La forma generale dell'euazione di conervazione dell'energia, limitatamente ai oli flui termici, fornice: E & E& E& E& (.8) in g out t in cui: E & in potenza termica in ingreo [W]; E & out potenza termica in ucita [W]; E & g potenza termica generata [W]; E & t potenza termica immagazzinata [W]. Coniderando come uperficie di controllo uella che delimita il volumetto dv d dy dz, i può procedere a eplicitare la relazione (.8): ( & E& y z ) Eg ( d y dy z dz ) t Dove i primi tre termini, y, z rappreentano i flui termici in entrata econdo la direzione di ciacun ae, ognuno perpendicolare ad una faccia del volumetto, ed termini d, ydy zdz ono relativi ai flui termici in ucita econdo ogni direzione attravero la faccia oppota. Queti ultimi ono eprimibili epandendo in erie di aylor il fluo entrante econdo una tea direzione e limitandoi con buona approimazione ai primi due termini: 6

7 y z d d ; y dy y dy ; z dz z dz y z In pratica uete epreioni ci dicono che i flui ucenti ono pari al fluo in entrata più la ua variazione lungo la direzione coniderata, eprea dalla ua derivata prima. z dz dy y dy E & g E & t dz d y z d Figura.4. Bilancio ull elemento infiniteimo dv utti ueti termini ono flui termici puramente conduttivi e perciò devono eere valutati con la legge di Fourier, econdo la uale: dy dz y d dz z dy d y z dove i prodotti dy dz, d dz e dy d rappreentano le aree delle facce del volumetto attraverate dai flui in ogni direzione. Pertanto i termini in ucita ono determinati come: [ ( dy dz) ( ( dy dz) ) d] d [ ( d dz) ( ( d dz) ) dy] (.9) y y y y dy IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 7

8 [ ( d dy) ( ( d dy) ) dz] z z z z dz Lungo ogni direzione il fluo netto arà pari alla differenza tra il fluo entrante e uello ucente, dunue: d ( ( dy dz) ) d ( ) d dy dz y y dy ( ) d dy dz y y z z dz ( ) d dy dz z z Per uanto riguarda la generazione interna, ipotizzando che H ia la generazione di potenza termica per unità di volume [W/m ], uniforme in tutto il volume infiniteimo dv, i può ricavare: E& g H d dy dz Mentre per la potenza termica immagazzinata i deve tener conto della maa δm del materiale coniderato; tale maa i può eprimere come prodotto della denità ρ per il volume dv: δm ρ d dy dz e la potenza termica immagazzinata arà determinata dalla variazione della temperatura nel tempo τ per il calore pecifico c del materiale (e olido c c p ), ovvero pari alla variazione temporale dell energia interna U della otanza: E& t ρ c p d dy dz (.0) τ L Euazione generale della conduzione (.8) nella forma più generale, diviene, con le aunzioni fatte e dividendo tutto per il volumetto d dy dz:: ( ) ( ) y y ( ) z z H ρ c p (.) τ Se è cotante (mezzo omogeneo ed iotropo), è poibile rendere l euazione (.) nella forma: 8

9 IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 9 τ ρ c H z y p dividendo tutto per prodotto c p ρ ed introducendo al poto del termine /(c p ρ) la diffuività termica che, nel Sitema Internazionale i miura in [m /] ed è indicata in letteratura con il imbolo a, l'euazione aume la forma: ρ τ c H z y a p (.) La diffuività termica può eere vita come il rapporto tra la capacità che ha un materiale di condurre energia termica, e la ua capacità di accumulare energia. Un alto valore di diffuività termica indica una veloce propagazione dell energia termica, mentre un valore bao, indica che nel materiale è preponderante l accumulo. La abella. riporta i valori della diffuività termica per alcuni materiali. Un'altra forma della tea euazione è la eguente: τ ρ c H z y p Se non c è generazione interna di calore compare il relativo termine e i ottiene (euazione di Fourier): τ z y a Se il regime è tazionario, non c è variazione di energia interna (temperatura cotante nel tempo) è poibile dividere tutto per a e la relazione (.) diviene (euazione di Poion): 0 H z y (.) Senza generazione interna ed in regime tazionario i ottiene una forma più emplice (euazione di Laplace): 0 z y (.4)

10 abella.. Valore della diffuività termica a [m /] per alcune otanze Metalli Oro m / Acciaio m / Alluminio m / Solidi non metallici Legno m / Calcetruzzo 0, m / Mattoni 0,5 0-6 m / Vetro 0,4 0-6 m / Legno (uercia) 0, 0-6 m / Aria,4 0-6 m / Acua liuido 0,4 0-6 m / olido, 0-6 m /.5 Le condizioni al contorno Le relazioni ricavate nel paragrafo precedente hanno un ignificato fiico olo uando i iano pecificate le caratteritiche geometriche del itema e le condizioni termiche lungo i uoi confini che i coniderano: condizioni al contorno. Se inoltre il itema non è in regime tazionario arà neceario pecificare il uo tato termico all itante iniziale del fenomeno oervato (condizioni Iniziali). In maniera intetica i riportano i diveri tipi di condizioni ricontrabili nella realtà perimentale.. emperatura uperficiale cotante: ( 0, τ) Condizione di Dirichlet (,τ) 0

11 . Fluo termico uperficiale cotante a fluo finito: " 0 0 (,τ) b condizioni di adiabaticità (neuno cambio termico uperficiale, neun gradiente di temperatura ulla uperficie): 0 0 (,τ). Scambio termico convettivo alla uperficie 0,τ h [ 0, τ ] 0.6 Alcune oluzioni dell Euazione Generale della conduzione A) Strato piano emplice Si conideri uno trato piano emplice (Figura.5) in regime tazionario e enza generazione interna di calore. Lo trato coniderato ia di peore finito [m] e alla uperficie delle due facce i iano miurate le due temperature e ( > ). Per eo valgono uindi le eguenti ipotei: τ 0 H 0 Inoltre per il materiale coniderato i poa ragionevolmente upporre indipendente dalla IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari

12 temperatura: Nel cao indicato vale l'euazione di Laplace (.4): y z 0 0 Figura.5. Strato piano emplice Per una tale configurazione geometrica, nell ipotei che lo trato ia indefinitamente eteo nelle direzioni y e z, poo ritenere: y z 0 0 (.5) La temperatura dipende olamente dalla variabile ; poo pertanto crivere: d d 0 (.6) che riolta permette di ottenere: () C C (.7) Fiati i eguenti valori per le condizioni al contorno (di primo tipo ulla temperatura) è poibile ottenere il valore delle cotanti C e C : 0 dalla.7: C dalla.7: C C C C ( ) /

13 inerendo il valore delle cotanti la.7 conente di ottenere l andamento della temperatura lungo la direzione : (.8) L andamento della temperatura è pertanto rettilineo: la Figura 6 riporta l andamento della temperatura nello trato e la direzione del fluo termico. Per il fluo termico, per la Legge di Fourier, è valutabile da: d ( ) (.9) d * L epreione (.9) può eere critta in modo leggermente differente: * ( ) ( ) R t, cond (.0) Nell epreione (.0) con R t,cond è tata indicata, in analogia con la legge di OHM per le reti reitive elettriche, la reitenza termica di conduzione: R t, cond (.) La reitenza termica alla conduzione di uno trato i miura in [K m / W]. Minore riulta la conduttività termica del materiale, maggiore riulta la reitenza termica dello trato. La reitenza termica crece in modo proporzionale allo peore dello trato. Dall epreione (.0), è poibile crivere: ( (.) ) R t, cond R t,cond ( - ) (.) Ad uno trato piano emplice è riconducibile con buona approimazione il cao di una parete piana emplice. La oluzione di ueto cao trova applicazione nei cai più emplici di trutture edilizie delimitanti pazi abitativi di cui, note le condizioni al contorno, i vogliano determinare i flui termici conduttivi (e convettivi) diperi (cao invernale) o guadagnati (cao etivo). IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari

14 0 R t,cond Figura.6. Andamento della temperatura e rappreentazione chematica di uno trato piano B) Strato piano multiplo: Si conideri un itema cotituito da più trati piani di area A come in Figura.7. I materiali iano di peore e tipologia differente. La oluzione di ueto cao può eere etea ad un numero ualivoglia di trati. Non eendovi generazione interna di energia termica, il fluo termico * che attravera gli trati piani è empre lo teo (cotanza del fluo), e può eere determinato con la relazione (.0) applicata ad ognuno degli trati: ( ) ( ) ( ) * (.4) temperatura all'interfaccia tra gli trati e ; temperatura all'interfaccia tra gli trati e ; i conduttività termica dello trato i-eimo; i peore dello trato i - eimo 4

15 A > Figura.7. Strato piano multiplo (o compoto) Sommando membro a membro ciacun termine della relazione (.4), i può ottenere: ( ) ( * i Rtotale i i ) (.5) in cui la reitenza totale di conduzione dei tre (o N ) trati è calcolabile come: R totale m [ i i i W K ] (.6) Di utile applicazione (ad eempio ai fini della cotruzione del Diagramma di Glaer) è la determinazione delle temperature di interfaccia e. Dalle relazioni (.4) e (.5), i ricava: R ) t, cond, ( ( ) R totale (.7) IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 5

16 6 ) ( ) ( (.8) ] ) [( (.9) Ugualmente: ] ) [( (.0) In generale, per ciacuno trato i-eimo, i può ricavare la relazione: totale i cond t tot i R R,, (.) La Figura.8 riporta un eempio degli andamenti della temperatura in uno trato compoto. Si noti che, e la reitenza di un ingolo trato è elevata (ad eempio e il materiale è un iolante), la differenza tra le temperature alle etremità dello trato riulta elevata. Al contrario là dove la reitenza termica di conduzione è baa, la differenza tra le temperature uperficiali è ridotta. Le relazioni trovate trovano logica applicazione nei cai di pareti piane multitrato. A Figura.8. Eempio di profilo termico in uno trato piano compoto (parete multitrato).

17 Note A) Reitenza di contatto ra trati di materiali diveri, a caua del contatto imperfetto eitente a livello microcopico tra le uperfici, all'interfaccia è in realtà rilevabile una differenza di temperatura che può eere apprezzabile. La rugoità uperficiale infatti fa i che lungo l interfaccia i formino delle cavità che i comportano da iolante a caua della baa conduttività termica dell aria in ee contenuta. ale reitenza aggiuntiva rende conto pertanto di un accoppiamento imperfetto tra i materiali ed è chematizzabile con il termine reitenza di contatto R c. In genere, i preferice indicare il valore della reitenza di contatto R c al variare dei materiali in contatto termico tra loro. I valori perimentali di tali reitenze termiche variano tra 0,0000 e 0,00 (m K)/W. La tabella 4 riporta i valori ricontrati per alcuni accoppiamenti. La Figura.9 motra un eempio di profilo termico. abella.4. Valori della reitenza di contatto per alcuni materiali metallici Acciaio (in vuoto) Rame (in vuoto) R c [m K/W] R c [m K/W] A B A B Figura.9. Eempio di profilo termico in preenza di una reitenza termica di contatto B) Reitenza termica erie parallelo In alcune trutture i può verificare che le reitenze termiche anziché in erie i preentino in parallelo o in una combinazione erie parallelo (vedi Figura.0). ale può eere infatti una chematizzazione di alcune trutture edilizie complee. Per trattare una imile truttura è neceario ipotizzare la completa aenza di diperioni IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 7

18 termiche laterali, ovvero che il fluo termico ia empre mono-direzionale il che euivale ad ipotizzare la completa adiabaticità delle uperfici laterali. Inoltre le uperfici anteriore e poteriore e devono eere entrambe ad una temperatura uniforme e ripettivamente con >. La truttura può eere chematizzata infine come una rete reitiva euivalente formata da reitenze termiche in erie o in parallelo. La Figura.0 riporta il relativo chema. I valori delle ingole reitenze termiche ono ricavabili dalla relazione (.). Il parallelo di due reitenze (nel cao la R e la R ) può eere valutato coniderando: (.) R parallelo in cui è la differenza tra le temperature delle uperfici delimitanti il parallelo ( i in Figura 0). Il valore di R parallelo, è ricavabile da: R R R Rparallelo (.) parallelo R R R R La reitenza totale dello trato arà pari a: R tot R parallelo R (.4) Naturalmente, i ha: R A ; R A ; R A 8

19 i A, Materiale A Superficie adiabatica A, Materiale Materiale Superficie adiabatica Figura.0. Rete di reitenze termiche: combinazione erie parallelo. R i R R Figura.. Schema della rete reitiva euivalente della truttura di Figura.9. C) Reitenza convettiva E poibile coniderare anche un eventuale reitenza termica relativa allo cambio termico per convezione. ale cambio i preenta all interfaccia olido liuido (o ga) ed è caratterizzato come i vedrà nel proimo capitolo dall euazione propota da Newton: h ( parete fluido ) (.5) in cui con h i indica, come i vedrà in eguito con maggior dettaglio, il coefficiente di cambio termico per convezione [W/(m K)]. Come i vede, in analogia a uanto fatto per la conduzione, riferendoi alla relazione (.0), è poibile definire una reitenza termica per convezione come: R conv / (h ) (.6) ale reitenza è in erie con le reitenze conduttive di uno trato piano (emplice o multiplo). La differenza di temperatura, di riferimento per il calcolo del fluo termico, è in tal cao valutata ripetto ai due fluidi che delimitano la truttura (e aulle temperature delle uperfici della truttura). IUAV Cori di Fiica ecnica A.A A. Carbonari 9

20 BIBLIOGRAFIA C. Bonacina, A. Cavallini, L. Mattarolo. ramiione del Calore. CLEUP, Padova, 99 Y.A. Cengel. ermodinamica e ramiione del Calore. Mc Graw-Hill, 998 M.N. Öziik. Heat Conduction. J. Wiley & Son, Inc, Second Edition. 99 A. Bejan. Convecticve Heat ranfer. MC Graw Hill F. Incropera, D. DeWitt. Fundamental of Heat and Ma ranfer. J. Wiley & Son, Inc, hird Edition