Università degli Studi della Tuscia di Viterbo Dipartimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agraria

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1 Univesità degli Studi della Tuscia di Vitebo Dipatimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agaia Univesità degli Studi della Tuscia Dottoato di Riceca in Scienze Ambientali XIX Ciclo Deteminazione dei paameti elettomagnetici di mateiali compositi e loo vaiazione in funzione del contenuto idico e di inquinanti. FIS/7 Coodinatoe: Pof. Enico Mincione Tuto esteno: Pof. Albeto De Santis Tuto inteno: Pof. Felice Gandinetti Dottoanda: Dott.ssa Elisabetta Mattei

2 Univesità degli Studi della Tuscia di Vitebo Dipatimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agaia Univesità degli Studi della Tuscia Dottoato di Riceca in Scienze Ambientali XIX Ciclo Deteminazione dei paameti elettomagnetici di mateiali compositi e loo vaiazione in funzione del contenuto idico e di inquinanti. FIS/7 Coodinatoe: Pof. Enico Mincione Tuto esteno: Pof. Albeto De Santis Tuto inteno: Pof. Felice Gandinetti Dottoanda: Dott.ssa Elisabetta Mattei

3 INDICE Intoduzione 1 1. Onde elettomagnetiche e linee di tasmissione Le equazioni di Maxwell e le onde elettomagnetiche 5 1. Velocità di popagazione e attenuazione Onde in possimità di conduttoi Linee di tasmissione Adattamento di impedenza e coefficiente di iflessione Cicuito equivalente di una linea di tasmissione 4. La tecnica TDR 7.1 Metallic Cable Teste 7. Le sonde TDR 9.3 Pincipio di funzionamento 3.4 Misue di pemittività elettica 36.5 Misue di conducibilità elettica e di attenuazione 4.5 Analisi TDR nel dominio della fequenza Pocessi di polaizzazione Polaizzazione di un dielettico isotopo Modello di Debye Significato fisico della pate eale e immaginaia della pemittività Misue di calibazione Scelta del tipo di sonda Sonde coassiali Sonde tifilai Misue di calibazione nel dominio del tempo Misue di calibazione nel dominio della fequenza Calibazioni pe la misua della conducibilità 77 I

4 5. Misue su campioni anidi Mateiali e metodi Misue di velocità Misue di attenuazione Deteminazione dello spetto di potenza del segnale TDR Misue con le acque di vegetazione Misue di monitoaggio delle acque di vegetazione Conducibilità nei mezzi poosi Modello di dispesione/avvezione Intepetazione delle cuve di dispesione Misue del contenuto idico Cenni sul funzionamento del GPR Costuzione del sito speimentale Modalità di accolta dei dati Analisi dei dati 136 Conclusioni 144 II

5 Intoduzione Le tecniche di indagine elettomagnetica hanno suscitato negli ultimi decenni gande inteesse da pate della comunità scientifica intenazionale gazie alle loo numeose potenzialità applicative in campi divesi quali l'ingegneia civile, le scienze della tea, le scienze ambientali, i beni cultuali e l'acheologia. Il successo che queste tecniche hanno iscosso negli ultimi anni è dovuto alla loo non distuttività, alla loo accuatezza in confonto ai costi elativamente bassi e al fatto che appesentano un metodo veloce, sicuo e facilmente applicabile su laga scala. Lo svantaggio maggioe nell utilizzo di tali tecniche isiede nei limiti di applicabilità in paticolai condizioni (come pe esempio in pesenza di mateiali altamente conduttivi che possono causae la completa attenuazione del segnale elettomagnetico) e nella necessità di dispoe di opeatoi specializzati non tanto nell acquisizione delle misue quanto nell analisi e nell intepetazione dei dati. Questa tesi è stata focalizzata sullo studio di tecniche elettomagnetiche applicate a sistemi solidi compositi e sul loo possibile impiego in campo ambientale. La tecnica pincipalmente usata è la eflettometia nel dominio del tempo, in inglese Time Domain Reflectomety (TDR), che pemette di icavae infomazioni sulle popietà elettomagnetiche del mateiale esaminato. Il pincipio di funzionamento della tecnica TDR è simile a quello più comunemente noto del RADAR con la diffeenza che, nel caso del TDR, l impulso elettico viene mandato lungo una linea di tasmissione e gli echi povenienti dalle discontinuità del mezzo incontate dal segnale vengono egistati da un oscilloscopio. Dalla misua del tempo tascoso ta l emissione dell impulso e la icezione del suo eco e dalla conoscenza della lunghezza della linea di tasmissione usata, è possibile icavae la velocità di popagazione del segnale. Un analisi più appofondita condotta anche nel dominio della fequenza pemette di isalie ai paameti elettomagnetici e, quindi, alla caatteizzazione del mezzo esaminato. La tecnica TDR è stata sviluppata veso la fine degli anni 5 con lo scopo di localizzae i guasti lungo i cavi elettici; negli anni 7 si è iniziato ad applicae tale tecnica alla deteminazione dei paameti fisici del teeno e solo negli ultimi anni è stata applicata in campi divesi come l analisi dielettica dei mateiali biologici (Lee e Bone, 1996) e dei cistalli (Kalogeas e 1

6 Vitoyianni, 1994) e nel monitoaggio dello stato di idatazione dei cementi (Hage e Dowszy, 4). Oggi viene utilizzata in numeosi settoi delle scienze agaie ed ambientali, dell ingegneia civile ed elettonica. Gli studi empiici pionieistici nelle applicazioni alle scienze del suolo sono matuati gazie ai numeosi lavoi oa pesenti in letteatua e sono stati acceleati anche gazie allo sviluppo di sensoi e cavi sempe più pecisi e di calcolatoi ad elevate pestazioni. Alte tecniche pazialmente utilizzate in questa tesi sono state la tecnica LCR-mete, la tecnica di misua conduttimetica e quella GPR (Gound Penetating Rada). Gli aspetti analizzati iguadano la isoluzione di poblemi legati all appaato speimentale e all applicazione della tecnica TDR nell ambito delle scienze del suolo e di quelle ambientali. La tesi è aticolata in sette capitoli che vengono iassunti di seguito. Nel Capitolo 1 sono ipotati i ichiami di elettomagnetismo a patie dall enunciazione delle equazioni di Maxwell fino ad aivae alla deteminazione delle equazioni delle onde elettomagnetiche. Viene mostato, inolte, il uolo che i paameti elettomagnetici caatteistici del mezzo (pemittività elettica, pemeabilità magnetica, conducibilità) svolgono quando un onda vi si popaga, facendo ifeimento ai fenomeni dissipativi e dispesivi che possono avee luogo nel caso di mateiali in cui le pedite non siano tascuabili. Vengono descitti, inolte, il compotamento dei campi in possimità di un conduttoe e le popietà di cui godono nel caso in cui si popaghino lungo una linea di tasmissione ideale e non. Sono stati, in seguito, ipotati e discussi in temini di onde di tensione e di coente i pincipi base elativi alle iflessioni dei campi lungo una linea di tasmissione disadattata. Il Capitolo, che appesenta il capitolo intoduttivo alla tecnica TDR, contiene la descizione dell appaato stumentale con paticolae ifeimento alle specifiche del metallic cable teste adottato ai divesi tipi di sonda utilizzabili e alle loo popietà fisiche e stuttuali. In questo capitolo, vengono ipotati, inolte, i pincipi fondamentali di tale tecnica e le pincipali metodologie usate in letteatua pe misuae i paameti elettomagnetici del mezzo indagato, sia nel dominio del tempo che della fequenza. Nel Capitolo 3 vengono illustati i vai pocessi di polaizzazione che possono avee luogo quando un mezzo è immeso in campo elettomagnetico con paticolae

7 attenzione alla dipendenza che tali fenomeni mostano nei confonti della fequenza del campo applicato. Viene ipotato, inolte, il modello di Debye che fonisce una soluzione analitica della pemittività elettica complessa in funzione della fequenza e delle caatteistiche del mezzo esaminato. Il Capitolo 4 appesenta il pimo capitolo elativo alle misue speimentali: è dedicato all analisi dei divesi tipi di sonde TDR (coassiali e tifilai) pogettate ad hoc pe le misue eseguite in questa tesi e ealizzate in laboatoio. In questo capitolo vengono ipotate, inolte, le misue di calibazione al fine di deteminae i paameti fisici caatteistici, come la lunghezza efficace o l impedenza intinseca. Il loo valoe può essee anche significativamente diveso da quello geometico pe il fatto che le linee di tasmissione usate sono, ovviamente, eali e, quindi, possono discostasi dai isultati aspettati nel caso di linee ideali. Il Capitolo 5 è dedicato alla caatteizzazione di mistue anide costituite da palline di veto e magnetite con lo scopo di deteminae le popietà elettomagnetiche di tali mateiali. In paticolae, sono state eseguite misue di velocità di popagazione del segnale e di attenuazione in funzione della dimensione dei gani del campione e del contenuto volumetico di magnetite. Inolte è stata analizzata la isposta di questi mateiali nel dominio della fequenza pe valutae il contenuto spettale del segnale TDR e pemettee il confonto con misue ottenute da tecniche opeanti a fequenze divese. Nel Capitolo 6 sono ipotate le misue elative alla dispesione delle acque di vegetazione povenienti dai fantoi al fine di valutae l applicabilità della tecnica TDR al monitoaggio di questi tipi di efluo in teeni bagnati. Mente, infatti, è ben nota la deteminazione del contenuto idico dei suoli tamite TDR, è molto meno studiata la possibilità di usae tale tecnica pe monitoae la pesenza di tipologie di inquinanti in acqua. Le misue sono state eseguite su te mezzi divesi (palline di veto, teeno agicolo e sabbia) al fine di studiae la isposta in elazione al tipo di mezzo pooso consideato. Il Capitolo 7 descive la pogettazione e la costuzione di un sito speimentale ealizzato pesso l Azienda Agaia dell Univesità degli Studi della Tuscia di Vitebo. Tale sito consiste in una vasca scavata nel teeno, completamente isolata dal suolo cicostante in cui è stato inseito un sistema pe l afflusso ed il deflusso di 3

8 acqua in condizioni contollate. La vasca è stata iempita di sabbia pe lo studio della distibuzione idica veticale e la deteminazione dei paameti elettomagnetici nella zona satua ed insatua. Gli obiettivi pincipali della tesi sono petanto iconducibili allo studio dei seguenti punti: 1) Dimostae la possibilità di icavae infomazioni sui paameti elettomagnetici di suoli anidi attaveso la tecnica TDR; ) Veificae l applicabilità della tecnica nel monitoaggio di inquinanti nei suoli satui; 3) Connettee le infomazioni ottenute attaveso il TDR e quelle ottenute dalla tecnica GPR pe deteminae le potenziali applicazioni di quest ultima su teeni sia umidi che anidi. 4

9 1. Onde elettomagnetiche e linee di tasmissione 1.1 Le equazioni di Maxwell e le onde elettomagnetiche Le elazioni fondamentali della teoia elettodinamica classica sono iassunte nelle equazioni di Maxwell che legano il campo elettico e il campo magnetico alle caatteistiche delle sogenti. Le equazioni di Maxwell in foma diffeenziale si scivono: B E = t (1.1) D = ρ (1.) D H = + J t (1.3) B = (1.4) dove H (A/m) è il campo magnetico, E (V/m) è il campo elettico, D (C/m ) è il vettoe spostamento elettico, B (Wb/m ) è l induzione magnetica, ρ (C/m 3 ) è la densità di caica e J (A/m ) è la densità di coente. Se si considea un mezzo omogeneo ed isotopo, le elazioni che legano D ed E, H e B sono: D = εe B = µ H (1.5) dove ε = ε ε µ = µ µ (1.6) con ε costante dielettica del vuoto ( ε = F / m ), µ pemeabilità magnetica del vuoto ( µ = 4π 1 H / m ), ε e 7 µ pemittività elettica e pemeabilità magnetica elativa del mateiale consideato. Sostituendo le (1.5) nelle (1.1-4) si ottiene: H E = µ t (1.7) E = ρ /ε (1.8) E H = ε + J t (1.9) 5

10 H =. (1.1) Nel caso in cui il dielettico sia eletticamente neuto (assenza di caiche localizzate: ρ = ) e pefetto (assenza di coenti macoscopiche: J = ) la (1.8) e la (1.9) diventano: E = (1.11) s E H = ε. t (1.1) Nelle equazioni di Maxwell appaiono simultaneamente campo elettico e magnetico; pe disaccoppiale si deve applicae l opeatoe otoe alla (1.7) e alla (1.1) e confontae con la deivata tempoale della (1.1) e della (1.7) ispettivamente. Così facendo si ottiene: E E = εµ t H H = εµ. t (1.13) Le (1.13) sono le equazioni delle onde elettomagnetiche. Se si considea il caso di un mezzo ideale pivo di pedite, ε e µ sono due gandezze eali; nel caso più geneico di un mezzo dissipativo è necessaio intodue la pemittività elettica e la pemeabilità magnetica complesse ε* e µ* (Capitolo 3). In questo caso le (1.13) diventano: dove E E = ε * µ * t H H = ε * µ * t ε* = ε jε µ * = µ jµ. (1.14) (1.15) Le equazioni (1.14) possono essee semplificate notevolmente ipotizzando che i vettoi E e H dipendano solo da x e dal tempo t. Sotto questa ipotesi si ha: E E H H = = = = y z y z e le (1.14) diventano: (1.16) 6

11 7 = =. * * * * t H x H t E x E µ ε µ ε (1.17) Si può dimostae che esistono due soluzioni paticolai delle (1.17) coispondenti a due onde che viaggiano in diezioni opposte. Una di queste è: = = ) ( ) ( x t j x t j e H H e E E γ ω γ ω (1.18) e appesenta l onda che oscilla con fequenza π ω ν / = e si popaga nella diezione delle x positive con il fattoe di popagazione complesso: β α µ ε ω γ j j + = = * * (1.19) in cui α è il fattoe di attenuazione e β è il fattoe di fase dell onda. Il peiodo e la lunghezza d onda sono dati da:. / 1/ β π λ ν = = T (1.) Pe compendee come il campo elettico e quello magnetico siano accoppiati, occoe itonae alla condizione (1.16). Poiché né E né H dipendono dalle componenti y e z, solo le deivate ispetto alla vaiabile x sono divese da zeo, pe cui dalla (1.1) si ha: ) ˆ ˆ *(ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ( ) ˆ( ) ˆ( t E k t E j t E i x H k x H j i y H x H k z H x H j z H y H i H z y x y z x y x z y z + + = = + = + = ε da cui si ottiene:. * * * t E x H t E x H t E z y y z x = = = ε ε ε (1.1) Usando lo stesso pocedimento pe la (1.7) si ottiene:

12 H x µ * = t E H z = µ * x t E y H z = µ *. x t Inolte, poiché le divegenze sono nulle si ha: y (1.) E x H = e x =. (1.3) x x Le condizioni (1.1-3) fanno in modo che campo elettico e magnetico soddisfino le seguenti popietà: 1) le componenti x dei vettoi di campo, cioè le componenti longitudinale dell onda elettomagnetica, sono indipendenti dal tempo e dallo spazio e di conseguenza si può assumee che siano nulle. Ciò compota che l onda isultante sia un onda tasvesale (TEM). ) Le componenti di E e di H sono pependicolai l una all alta e fomano, insieme alla diezione di popagazione, un sistema di coodinate destoso x, E y, H z (Figua 1.1). Infatti, intoducendo le soluzioni (1.18) nelle equazioni delle componenti, pe esempio nella seconda delle (1.1), si ottiene γ H = jωε * E che mosta come la z y componente del campo magnetico accoppiate. 3) Il appoto ta campo elettico e magnetico vale: H z e quella del campo elettico E γ = = Z. H j ωε * E y siano (1.4) Questo appoto è detto impedenza caatteistica del dielettico e può essee iscitto consideando la (1.19) come: Z γ µ * µ * = = = Z (1.5) jωε * ε * ε * dove µ Z = Ω (1.6) ε è l impedenza caatteistica del vuoto. 8

13 Figua 1.1 Onda elettomagnetica. 1. Velocità di popagazione e attenuazione Nel paagafo pecedente è stato accennato al fatto che nei dielettici pivi di pedite la pemittività elettica e la pemeabilità magnetica sono due gandezze eali. In questo caso, infatti, la costante di popagazione γ data dalla (1.19) è puamente immaginaia ( α = ) e sostituita nelle soluzioni (1.18) fa in modo che la soluzione sia un onda che si popaga lungo l asse x con una velocità di fase data da: Nel caso più geneico ( α dx = v = vλ = ω / β. (1.7) dt ) la soluzione (1.18) diventa: j( ωt βx) αx E = Ee e j( ωt βx) αx H = He e (1.8) che appesenta ancoa un onda elettomagnetica che si popaga lungo l asse x con la velocità di fase (1.7), ma che decade secondo il fattoe esponenziale e αx. La compasa del fattoe di attenuazione α dipende peciò dalle popietà elettomagnetiche del mateiale attaveso la pemittività elettica e la pemeabilità magnetica date dalla (1.15). La pesenza delle pati immaginaie ε e µ dà luogo a 9

14 fenomeni dissipativi che compotano una pedita nel flusso di enegia e che attenuano l ampiezza dell onda che si popaga. Se si escludono mateiali paticolai come gli ossidi di feo, la pemeabilità magnetica elativa si accosta all unità ( µ 1, µ = ) e i fenomeni dissipativi legati alle popietà magnetiche del mezzo possono essee tascuati. In questo caso la pedita di enegia è data dalla somma di due contibuti: uno associato alla pemittività elettica e l alto alla conducibilità del mateiale. Il pimo è causato da fenomeni di ilassamento legati a pocessi di polaizzazione del dielettico (Capitolo 3). Il secondo appesenta la pedita di enegia pe effetto Joule nei dielettici eali dovuta alla pesenza di caiche che possono muovesi in pesenza di un campo elettico e che, quindi, confeiscono al mezzo una conducibilità divesa da zeo. Pe capie come la conducibilità enta nelle equazioni di Maxwell, è necessaio aggiungee alle condizioni (1.5) la elazione J = σe in modo che la (1.9) diventi: E H = ε * + σe. (1.9) t j( t x) Consideando che E ω γ = E 1 E e e quindi E = si ottiene: jω t E H = ε e * (1.3) t dove la nuova costante σ ε e * = ε * + (1.31) jω appesenta sia la pemittività elettica che la conducibilità del mateiale e può essee consideata come una pemittività equivalente. La conducibilità intoduce, quindi, un contibuto alla dissipazione di enegia di cui si può tene conto aggiungendo alla σ pate immaginaia della pemittività elettica il temine : ω σ ε ε e = +. (1.3) ω Pe capie come le popietà dell onda dipendono dalle popietà elettomagnetiche del mezzo, si deve sepaae la pate eale dalla pate immaginaia del coefficiente di popagazione. Dalla (1.19) si ha: 1

15 ( ε jε )( µ jµ ) = α jβ γ = jω ε * µ * = jω e + (1.33) da cui: ω α = ε + ε µ + µ ε µ + ε µ e e (1.34) ω β = ε + ε µ + µ + ε µ ε µ e e. (1.35) Sostituendo la (1.35) nella (1.7) si ottiene che la velocità di fase può essee scitta in funzione dei paameti elettomagnetici come: 1 1 v = ε + ε µ + µ + ε µ ε µ e e 1. (1.36) Se si consideano mateiali non feomagnetici ( µ 1, µ = ) e si sostituiscono le elazioni (1.6) nella (1.34) e nella (1.36), si ottiene: 1 ε µ ω α = ε + ε e ε (1.37) v = ε µ ε + ε e + ε 1. (1.38) Il fattoe di attenuazione e la velocità di fase possono essee espesse in funzione della costante univesale 1 c = che appesenta la velocità di popagazione ε µ delle onde elettomagnetiche nel vuoto. La (1.37) e la (1.38) diventano quindi: 1 ω α = ε + εe ε (1.39) c v = ε + + ε e ε c 1. (1.4) Raccogliendo ε dalle pecedenti elazioni si ottiene: ω ε e α = ε 1+ 1 (1.41) c ε 11

16 v = ε e, definendo la tangente di pedita elettica: ε c ε e 1+ ε (1.4) + 1 e tan δ e = (1.43) ε si ha: ω α = ε 1+ tan 1 δ e (1.44) c v = c. ε 1+ tan + 1 δ e (1.45) Pe un mezzo con pedite tascuabili tan δ << 1 e la (1.44) e la (1.45) diventano: α ωε e e (1.46) c ε c v (1.47) ε 1.3 Onde in possimità di conduttoi Nelle modene comunicazioni un poblema impotante è il taspoto di enegia da un punto all alto. I due punti possono essee sepaati pochi meti o migliaia di chilometi. Pe fequenze infeioi a pochi gigahetz il mezzo più usato è la linea di tasmissione a due fili (genealmente il cavo coassiale), mente nella egione delle micoonde è pefeito un singolo conduttoe (genealmente un tubo metallico). Una linea di tasmissione è, quindi, una guida d onda che pemette di tasmettee il segnale elettomagnetico lungo la diezione del sistema guidante. Pe capie come la adiazione elettomagnetica si popaga lungo una linea di tasmissione è necessaio studiae il compotamento delle onde in possimità dei conduttoi. Se si considea la supeficie di sepaazione ta un conduttoe pefetto (avente conducibilità infinita) e il vuoto (che può essee sostituito anche da un 1

17 dielettico ideale), le componenti tangenziali e nomali del campo elettico e magnetico sono appesentate in Figua 1.. Figua 1. Regione intono alla supeficie di sepaazione ta il conduttoe e il vuoto. Applicando il teoema di Gauss al cilindetto di Figua 1.3 si ottiene: dove lat ε E ds + Φ = ρ dl ds (1.48) n E lat Φ E è il flusso della componente tangenziale del campo elettico attaveso la supeficie lateale del cilindo; nel limite dl si ha Φ lat E (il campo elettico E t è finito) e diventa: ρ dl ρ densità di caica supeficiale del conduttoe. La (1.48) s n ρ s ε E =. (1.49) Analogamente si ottiene una condizione pe la componente nomale del campo magnetico: dove B ds lat inf n + Φ B + Φ B = (1.5) lat Φ B è il flusso del campo magnetico attaveso la supeficie lateale del cilindo (tende a zeo quando dl ) e inf Φ B è il flusso del campo magnetico attaveso la supeficie infeioe. Visto che all inteno del conduttoe E =, il campo 13

18 magnetico vaiabile è nullo e, di conseguenza, deve essee Φ inf B =. La (1.5) diventa alloa: B = (1.51) n Figua 1.3 Cilindetto Gaussiano che include la supeficie di sepaazione ta conduttoe e vuoto. Analogamente, se si considea un pecoso chiuso che attavesa la supeficie di sepaazione ta il conduttoe e il vuoto (Figua 1.4), si ha: Figua 1.4 Pecoso ettangolae chiuso che include la supeficie di sepaazione ta conduttoe e vuoto. E n (1) e E n () appesentano le componenti nomali del campo elettico nei due punti della supeficie. E n dl dl d 1 t n z (1.5) dt ( ) E db E ( ) = B dl db Come pe il cilindo, pe dl, essendo B z ed E n finiti, si ottiene che la componente tangenziale alla supeficie del conduttoe è nulla: 14

19 E = (1.53) t In modo analogo si pocede pe il campo magnetico, applicando la teza equazione di Maxwell al pecoso di Figua 1.5: Figua 1.5 Pecoso ettangolae chiuso compendente una pozione di supeficie del conduttoe. Quando ( 1) dl B B ( ) B dl de n t n z db = ε dl db J zdl db dt + (1.54) µ µ µ dl, Jdl J S (in un buon conduttoe la coente è confinata sullo stato supeficiale) e si ottiene: Bt µ J Sz = (1.55) cioè, la coente pe unità di lunghezza alla supeficie del conduttoe è popozionale alla componente tangenziale del campo magnetico sopa la supeficie. In un conduttoe di conducibilità gande, ma finita, si tova che la coente (così come il campo elettico) è confinata ad un sottile stato situato all intefaccia metallo/vuoto. Lo spessoe dello stato δ (e quindi la pofondità di penetazione) diminuisce man mano che aumenta la fequenza o la conducibilità del conduttoe secondo la fomula δ =. Questo compota che la componente longitudinale del campo ωµ σ elettico non sia zeo nei conduttoi eali, ma tenda a zeo allontanandosi dalla supeficie stessa. Nel limite di conduttoe pefetto ( σ ) lo spessoe inteessato dalla coente si annulla e la componente longitudinale E t saà zeo. L equazione (1.55) e la Figua 1.5 mostano che sia J z che B t sono paalleli all intefaccia metallo/vuoto, ma sono pependicolai l uno all alto. Alloa la 15

20 elazione (1.55) si può espimee come n B = µ J. Più in geneale le condizioni al contono alla supeficie di un conduttoe ideale si possono iassumee come segue: s ρ S n E = ε n E = n B = n B = µ J S. (1.56) 1.4 Linee di tasmissione È possibile consideae la linea di tasmissione in temini di tensioni e coenti equivalenti nei conduttoi. Tale appoccio pemette di descivee il compotamento enegetico della linea in modo semplice e di ottenee fomalmente l equazione diffeenziale delle onde di tensione e di coente. La linea di tasmissione più semplice può essee schematizzata come in Figua 1.6 da due conduttoi piani e paalleli infinitamente estesi e posti ad una distanza fissa a (le consideazioni fatte pe questo tipo di linea di tasmissione potanno essee genealizzate anche a geometie più complicate). Figua 1.6 Linea di tasmissione a facce piane e paallele costituita da due fogli metallici posti ad una distanza pai ad a. I calcoli sono ifeiti ad una stiscia di laghezza b. 16

21 Se si considea il caso di un onda elettomagnetica che si popaga lungo l asse z con il campo elettico dietto lungo x e magnetico lungo y, le condizioni al contono (1.56) sono soddisfatte ( E =, B = ). Quindi, una volta che l onda è stata t n podotta, continueà a popagasi lungo il sistema. Poiché il campo elettico e magnetico si assumono vaiabili solo lungo z, nel piano x-y avanno la distibuzione di Figua 1.7. Secondo tale figua ci saà una caica positiva ρ s nella supeficie supeioe del conduttoe infeioe ed una negativa nella supeficie infeioe del conduttoe supeioe; inolte ci saà un flusso di coente pagina nella piasta supeioe e veso l inteno in quella infeioe. J v s veso l esteno della Figua 1.7 Rappesentazione del campo elettico e magnetico su una linea di tasmissione piano paallela vista pependicolamente alla diezione di popagazione z. Se si applica la legge di Faaday al cammino chiuso e ettangolae di Figua 1.8(a) si ha: 1 E dl + 3 E dl E dl B y E dl = adz t (1.57) Il pimo integale è uguale alla diffeenza di potenziale, cambiata di segno, fa i due conduttoi nel punto z (-V(z)). Il secondo e il quato sono nulli peché la componente tangenziale alla supeficie del conduttoe è nulla se il conduttoe è pefetto. Il tezo è uguale alla diffeenza di potenziale ta i due conduttoi nel punto z+dz (V(z+dz)). Alloa l equazione (1.57) diventa: V By = a. (1.58) z t 17

22 Figua 1.8 Sezione xz (a) e yz (b) della linea di tasmissione La quata delle condizioni al contono (1.56) pemette di scivee: B I = µ J Sz = µ (1.59) b y dove I è la coente totale che fluisce lungo una pozione di linea di tasmissione laga b. Sostituendo la (1.59) nella (1.58) si icava una elazione che lega il potenziale e la coente: V a I = µ. (1.6) z b t Un alta elazione ta V e I può essee ottenuta applicando la legge di Ampèe al pecoso di Figua 1.8(b). Il isultato è Sostituendo bb y con E x bby ( z) bby ( z + dz) = µ ε bdz (1.61) t µ I e E y con V / a si ottiene l alta elazione ta V e I: I z b V = ε. (1.6) a t 18

23 La (1.6) e la (1.6) sono due equazioni alle deivate paziali nelle incognite V e I. Pe disaccoppiale si deiva la pima ispetto a z e poi si sostituisce la seconda, ottenendo un equazione pe il potenziale V: V z Allo stesso modo si ottiene un equazione pe la coente I: I z V = ε µ (1.63) t I = ε µ (1.64) t Le ( ) sono analoghe alle (1.17) e mostano che le onde di tensione e di coente si popagano lungo la linea di tasmissione con una velocità di fase che è pai alla velocità della luce nel vuoto e che è, quindi, indipendente dalla sepaazione fa le piaste conduttici. Pe capie quale sia il significato fisico dei fattoi che moltiplicano le deivate tempoali di V e di I nella (1.6) e nella (1.6) ispettivamente, il temine ε b / a va moltiplicato pe una lunghezza l misuata lungo la diezione di popagazione z. Si ottiene ε bl / a, che, consideando che bl è l aea dei conduttoi, non è alto che la capacità di un condensatoe piano che si otteebbe in elettostatica. Ne segue che ε b / a è la capacità pe unità di lunghezza della linea che può essee indicata con C. Analogamente si tova che µ a / b è l induttanza pe unità di lunghezza (L ). Tenendo conto di queste consideazioni, le equazioni (1.6) e (1.6) possono essee iscitte: V I = L z t I V = C z t (1.65) che appesentano le equazioni fondamentali nella teoia delle linee di tasmissione. Dal confonto ta le equazioni ( ) e le equazione delle onde (1.17) e, tenuto conto delle (1.65), si evince che è possibile tattae le onde elettomagnetiche sia in temini di campi che in temini di tensione e di coente, semplicemente facendo le seguenti sostituzioni: 19

24 E V H I ε C µ L. (1.66) L impedenza caatteistica definita nella (1.4) come appoto ta campo elettico e magnetico può essee scitta, quindi, anche come appoto ta tensione e coente: E V Z = =. (1.67) H I Le onde di tensione e di coente, soluzioni delle ( ), sono del tutto analoghe a quelle tovate pe il campo elettico e magnetico e possono essee scitte come segue: V = V exp I = I exp j j( ωt kz) ( ωt kz) (1.68) dove k = µ ω = C ω è il numeo d onda e la velocità di fase vale ε L ( ) 1 1 ε = ( C ) v = ω / k = µ L, mente l impedenza isulta essee L Z =. C Le (1.65) sono state deivate pe la linea di tasmissione avente la geometia di Figua 1.6, ma sono valide pe qualunque linea di tasmissione composta da due o più conduttoi puché la sezione della linea imanga costante lungo la diezione di popagazione. Le caatteistiche pincipali delle linee di tasmissione ideali possono essee iassunte come segue: i) In una linea di tasmissione a due o più conduttoi è sempe possibile tovae una configuazione in cui i campi elettici e magnetici sono tasvesali alla diezione di popagazione (onde TEM). Pe questo modo detto pincipale si applicano le equazioni (1.65). Esistono modi di odine più elevato caatteizzati dal fatto che il campo elettico e magnetico possiedono una componente lungo la diezione di popagazione, ma non veanno analizzati in questo lavoo in quanto legati, pevalentemente, a sistemi con un unico conduttoe. ii) Nel caso in cui le pedite dei conduttoi siano tascuabili, la velocità di fase dell onda è indipendente dalla fequenza (non c è dispesione) e uguaglia la velocità della luce nel vuoto.

25 iii) Le onde TEM possono essee studiate anche come onde di tensione e di coente che si popagano lungo la linea di tasmissione. iv) L impedenza caatteistica può essee espessa sia come appoto ta tensione e coente, sia come appoto ta campo elettico e campo magnetico. 1.5 Adattamento di impedenza e coefficiente di iflessione Le equazioni (1.68) appesentano onde di tensione e coente pogessive e quindi, in ifeimento alla Figua 1.9, che si popagano da un geneatoe ad un caico. Più in geneale, lungo la linea di tasmissione possono viaggiae anche onde iflesse e le (1.68) possono essee genealizzate come: V = V I = I + + exp j( ωt kz) + V exp j( ωt kz) + I exp j( ωt + kz) exp j( ωt + kz) (1.69) dove gli indici positivi appesentano le ampiezze delle onde pogessive, mente gli indici negativi appesentano quelle delle onde egessive. L ampiezza dell onda dipende dall impedenza del caico, Z L : consideando che le (1.65) devono valee sia pe l onda pogessiva che pe quella egessiva si ottiene che I + + = V / Z e che I = V / Z. La (1.69) diventa quindi: V = V V I = Z + + exp j( ωt kz) + V V exp j( ωt kz) Z exp j( ωt + kz) exp j( ωt + kz) (1.7) Figua 1.9 Linea di tasmissione chiusa sul caico Z L. 1

26 Se si ipotizza che il caico si tovi a z = e che in quel punto la tensione e la coente siano ispettivamente V L e I L, le (1.7) diventano: L impedenza di caico vale V I L L = ( V + V = Z + + V V Z )exp j( ωt) exp j( ωt). + ( V + V ) ( ). + V V / L I L = Z (1.71) Z L = V (1.7) La (1.7) può essee isolta in temini del coefficiente di iflessione ρ definito come il appoto ta ampiezza dell onda iflessa e l onda incidente: V V Z L ρ = + =. (1.73) Z L Z + Z Allo stesso modo si può dedue il coefficiente di iflessione pe la coente: I Z Z L ρ I = I + =. (1.74) Z L + Z Quando l impedenza di caico Z L uguaglia l impedenza caatteistica della linea Z (cioè quando le due sono adattate ), il coefficiente di iflessione è zeo e non c è nessuna onda che tona veso il geneatoe. Infatti pe Z L = Z, la linea di tasmissione pu di lunghezza finita, di fatto è come se nei iguadi della popagazione delle onde avesse lunghezza infinita. In tutti gli alti casi l onda incidente veà in pate iflessa ogni volta che inconta un contasto di impedenza lungo la linea su cui viaggia. Il isultato della sovapposizione dell onda incidente e quella iflessa, la cui fase ed ampiezza dipendono dal caico Z L, è un onda stazionaia. Quando Z L è zeo o infinito, il valoe del coefficiente di iflessione è unitaio e l onda incidente e iflessa hanno la stessa ampiezza; la foma delle onde stazionaie che si poducono è, peò, divesa nei due casi. Quando l impedenza di caico è zeo, le coenti si sommano e la tensione ai capi del caico deve essee nulla pe cui la somma dell onda iflessa e incidente deve essee zeo in quel punto. Quando l impedenza di caico è infinita, le onde di coente si devono annullae su Z L e le onde di tensione si sommano dando un campo elettico doppio di quello incidente.

27 Se si considea un tatto di linea lungo l come in Figua 1.1, è possibile calcolae l impedenza di entata quando si guada veso il caico. Pe calcolae la tensione V l e la coente I l in entata basta sostituie z = l nelle (1.7). Le ampiezze V + e V - possono essee sostituite con V L e I L tamite le (1.71) da cui si tova + V = ( V + Z I )exp( jωt) L sostituzioni si ottiene: L I e V = ( V ZI )exp( jωt). Facendo queste V = V cos( kl) + jz I l l = I L L L V cos( kl) + j Z L L L sin( kl) (1.75) sin( kl) da cui è possibile icavae sia il modulo che la fase di V l e I l pe una lunghezza data l, puché siano noti Z, V L e I L. L impedenza di entata è peciò data da: Z l Z = Z Z L cos( kl) + jz cos( kl) + jz L sin( kl) = Z sin( kl) 1+ ρ exp( jkl). (1.76) 1 ρ exp( jkl) Figua 1.1 Tatto di linea di tasmissione di lunghezza l chiusa su un impedenza Z L. La (1.76) dimosta che l impedenza d ingesso è divesa dall impedenza caatteistica e che le due coincidono solo nel caso in cui la linea è adattata ( ρ = ). Di inteesse paticolae sono i due casi limite in cui la linea è apeta ( Z L = ) o cotocicuitata ( Z = ): in entambi i casi il coefficiente di iflessione è unitaio e il L 3

28 segnale viene iflesso totalmente. Nel pimo caso la pate iflessa è in fase con quella incidente, nel secondo caso è in conto fase. 1.6 Cicuito equivalente di una linea di tasmissione Una linea di tasmissione ideale può essee schematizzata consideando segmenti di lunghezza infinitesima dz ed associando ad ogni segmento il cicuito equivalente mostato in Figua 1.11 dove C e L sono la capacità e l induttanza pe unità di lunghezza e sono consideae gandezze distibuite lungo la linea. Figua 1.11 Cicuito equivalente di una linea di tasmissione piva di pedite. Applicando le leggi di Kichoff al cicuito di Figua 1.11 si ha: V ( z, t) Ldz I( z, t) = V ( z + dz, t) t I( z, t) = Cdz V ( z + dz, t) + I( z + dz, t) t Dividendo pe dz e passando al limite pe dz, si ottiene: (1.77) V ( z, t) + L I( z, t) = z t (1.78) I( z, t) + C V ( z, t) = z t che sono fomalmente analoghe alle (1.65) e che mostano come il cicuito equivalente di Figua 1.11 poti allo stesso isultato ottenuto dallo studio delle onde di tensione e di coente. Nel caso di linee eali, il dielettico non è pivo di pedite e i conduttoi non sono pefetti. Il fatto che i conduttoi non abbiano conducibilità infinita implica che la 4

29 5 componente longitudinale del campo elettico sia divesa da zeo e che, di conseguenza, le onde che si popagano lungo la linea non siano TEM. Genealmente, peò, pe buoni conduttoi, le pedite sono talmente piccole da pote tascuae la componente longitudinale ispetto a quella tasvesale e da pote consideae le onde come TEM. Pe tene conto della non idealità della linea il cicuito di Figua 1.11 deve essee, peò, sostituito con quello di Figua 1.1. Figua 1.1 Cicuito equivalente di una linea di tasmissione: la esistenza e la conduttanza pe unità di lunghezza tengono in consideazione il fatto che i conduttoi e il dielettico non sono ideali. La esistenza pe unità di lunghezza, R, tiene conto della dissipazione di potenza legata alla componente longitudinale del campo elettico all inteno dei conduttoi, mente la conduttanza pe unità di lunghezza, G, appesenta le pedite del dielettico. Pe questo cicuito, le equazioni (1.78) si scivono: = + + = + +. ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( t z V t C t z V t z G t z I z t z I t L t z I R t z V z (1.79) Le soluzioni sono sempe date dalle (1.68), ma questa volta il numeo d onda è pai a: + + = ω ω ω j G C j R L k (1.8) (nel limite di linea senza pedite si ottiene nuovamente L C k ω = ). Di conseguenza, nel caso di linea di tasmissione eale in cui siano pesenti fenomeni

30 6 dissipativi, pe passae dalle equazione dei campi a quelle di tensione e di coente è necessaio eseguie le sostituzioni: R G L C I H V E e ω µ ω ε µ ε (1.81) al posto delle (1.66). Tenuto conto delle (1.81), l impedenza della linea può essee espessa in temini dei paameti cicuitali come: * * C j G L j R j G C j R L Z ω ω ω ω ε µ + + = + + = =. (1.8)

31 . La tecnica TDR La eflettometia nel dominio del tempo si basa sulla iflessione che subisce un onda elettomagnetica quando si popaga su una linea di tasmissione. La iflessione avviene ogni qualvolta l onda inconta un contasto nell impedenza del mezzo attavesato. Oiginaiamente, questa tecnica veniva usata pe tovae i guasti nelle linee telefoniche: quando il segnale elettomagnetico inconta un inteuzione o un difetto del cavo viene totalmente o pazialmente iflesso veso il tasmettitoe e la posizione del guasto lungo la linea è calcolabile dal tempo di andata e itono del segnale e dalla velocità di popagazione. A patie dagli anni 7, la tecnica TDR è stata applicata alla deteminazione della pemittività elettica (Fellne-Feldegg, 1969) nella fisica del suolo (Hoeksta and Delaney, 1974) e all inizio degli anni 8 è stato legato alla misua del contenuto volumetico di acqua (Topp et al., 198). Nelle misue elative alla caatteizzazione dei mateiali, il contasto di impedenza viene ceato atificialmente e l effetto del mateiale oggetto di studio viene misuato valutando le diffeenze di compotamento ta la sonda a vuoto e la sonda iempita con il mateiale stesso. In questo capitolo vengono descitti i pincipi su cui si basa il funzionamento della tecnica TDR e quelli che pemettono di valutae le popietà elettiche dei mateiali. Con il temine TDR si intende un insieme di stumentazioni costituite da: geneatoe di impulsi e icettoe degli stessi (Metallic Cable Teste), linea di tasmissione estena e sonda di misua..1 Metallic Cable Teste Il metallic cable teste usato pe questa tesi è il Tektonix 15C (Tektonix, 199). L appaato è composto da un geneatoe di impulsi a gadino, un cavo coassiale, un campionatoe ed un oscilloscopio. Questi elementi sono collegati ta loo come in Figua.1. L impulso a gadino viene podotto dal geneatoe attaveso un onda quada di peiodo estemamente lungo ispetto ai tempi di misua (cica 5ns). Il tempo di isalita del gadino è non nullo a causa della velocità finita dell elettonica del geneatoe. In temini di onda quada ideale, ottenibile come sovapposizione di onde sinusoidali date dalla seie di Fouie, ciò coisponde al taglio delle alte 7

32 fequenze. Il Tektonix 15C genea impulsi di ampiezza pai a 3 mv della duata di 6 µs a intevalli di µs e con una costante di isalita pai a ps (Figua.). Il contenuto in fequenza del segnale è compeso nell intevallo 5kHz 1.75GHz in cui l estemo infeioe è dato dall inveso del peiodo dell onda quada emessa, e quello supeioe è calcolato dal tempo di salita, t, come (Robinson et al., 5)..35 / t Figua.1 Schema di funzionamento del metallic cable teste. Figua. Segnale di input del Tektonix 15C. Il cavo coassiale connette il geneatoe d impulsi al campionatoe. Il segnale podotto dal geneatoe viaggia veso il campionatoe che è costituito da un 8

33 tempoizzatoe e da un voltmeto. Quando il segnale aggiunge il campionatoe, questo egista la tensione ad intevalli egolai. La tensione in funzione del tempo fonisce la tipica cuva di isposta TDR e viene visualizzata sullo schemo dell oscilloscopio. L intefacciamento dello stumento con il PC, eso possibile tamite collegamento alla pota seiale RS3, pemette di scaicae i dati elativi alle misue diettamente sul calcolatoe e di analizzali. L uscita dello stumento può essee collegata diettamente ad una sonda immesa o iempita del mateiale da investigae, ma genealmente (e in modo paticolae nel caso di misue in situ), è pefeibile collegae la sonda allo stumento tamite una linea di tasmissione. Il tipo di linea di tasmissione usata come collegamento dipende dal tipo di sonda: pe le sonde bifilai si utilizzano linee bifilai, pe quelle tifilai o coassiali, invece, si utilizza il cavo coassiale. Nel secondo caso, il conduttoe esteno del cavo coassiale viene collegato a tea, mente quello inteno è collegato all uscita dello stumento. Il cavo coassiale deve essee adattato all uscita dello stumento in modo tale da non alteae il segnale con iflessioni spuie, non dovute al mateiale da analizzae. Poiché l uscita del Tektonix 15C è a 5 Ω si usano cavi coassiali con la stessa impedenza. Il tipo di cavo più usato è il modello RG58, in cui il dielettico che sepaa il conduttoe inteno da quello esteno è il teflon. Cavi coassiali eccessivamente lunghi possono, peò, causae dispesione e attenuazione del segnale (Logsdon, ; Heimovaaa, 1993; Robinson et al., 3c). In questi casi è possibile usae cavi coassiali che minimizzano le pedite in cui il dielettico di sepaazione ta i due conduttoi è l aia (come nel modello Aicomplus).. Le sonde TDR Uno degli scopi pincipali di una sonda TDR è ottenee un volume di campionamento significativo, cecando di minimizzae eventuali pedite ed utilizzando una stuttua obusta e patica da usae. Non è, peò, possibile tovae una sonda che soddisfi tutti questi equisiti e, quindi, è necessaio individuae quella che pemette di aggiungee un buon compomesso a seconda del tipo di misua che si intende effettuae. 9

34 Le tipologie di sonda sono essenzialmente due (Robinson et al., 3a; Noboio, 1; Heimovaaa, 1993; Zegelin et al., 1989): quella coassiale e quella multifilae. In una linea coassiale, lo spazio ta il conduttoe inteno ed esteno è iempito dal mateiale da analizzae. Il campo elettico e magnetico sono ispettivamente puamente adiale e azimutale come mostato in Figua.3. Figua.3 Distibuzione delle linee di foza del campo elettico (linea continua) e magnetico (linea tatteggiata) lungo un cavo coassiale. Il campo magnetico pe un aggio geneico è dato dalla legge di Ampèe e vale µ I / π con I coente che fluisce in diezione x lungo il conduttoe inteno. Il flusso del campo magnetico elativo ad una lunghezza l di linea è: L induttanza pe unità di lunghezza è definita come: b lµ I d lµ I a Φ B = = ln. (.1) π π b L a µ a = ln. (.) π b 3

35 Il campo elettico adiale pe un aggio geneico è dato dalla legge di Gauss e vale ( πε l) E = Q con Q caica istantanea sul conduttoe inteno nel punto x. La diffeenza di potenziale ta i due conduttoi vale: V b = Q d Q a = ln πε l l b πε a (.3) e la capacità pe unità di lunghezza definita come C = Q lv è: C πε =. a ln b (.4) Sostituendo le (.) e (.4) nella (1.8) si ottiene l impedenza caatteistica pe un cavo coassiale pivo di pedite: Z = L C = 1 π µ a ln ε b (.5) Se lo spazio ta i due conduttoi è iempito con un dielettico di pemittività elativa ε e pemeabilità magnetica elativa µ, l impedenza diventa: = (.6) ε Z c Z µ La sonda coassiale ha il vantaggio di avee il conduttoe esteno che funge da schemo, annullando le pedite adiative e di pote essee facilmente collegata al cavo coassiale, e quindi allo stumento, tamite un connettoe BNC. L utilizzo di questo tipo di sonda non è, peò, consigliabile pe misue in campo peché di difficile inseimento nel teeno e peché, pe la sua configuazione, alteeebbe la condizione fisica locale del suolo da analizzae. Al contaio le sonde multifilai sono molto indicate pe misue di questo tipo. In questo tipo di sonda, il conduttoe esteno del cavo coassiale è sostituito da un numeo n 1 di bacchette metalliche (cilindiche o piane). Il caso più semplice è quello della linea bifilae costituita da due bacchette. L unico poblema di questa linea è che, essendo bilanciata (sulle due bacchette c è una tensione uguale ed opposta), non può essee collegata al cavo coassiale dal momento che quest ultimo è una linea non bilanciata (il conduttoe inteno è a tensione V, quello esteno a tea); il collegamento deve essee effettuato tamite un dispositivo, il balun, che pemette il 31

36 passaggio da una linea non bilanciata ad una bilanciata (Spaans e Bake, 1993). Questo poblema non sussiste nel caso di sonde con più di due bacchette ( n > 1), peché, in questo caso, la bacchetta centale viene collegata al conduttoe inteno del cavo coassiale, e le lateali, disposte simmeticamente ispetto alla centale, a quello esteno. Lo svantaggio pincipale della sonda multifilae è costituito dalle pedite adiative dovute al fatto che questo tipo di sonda non è schemata. Questo inconveniente può essee isolto incementando il numeo di bacchette lateali: all aumentae di esse, la configuazione del campo diventa sempe più simile a quella del coassiale. L impedenza caatteistica di una linea bifilae costituita da due conduttoi cilindici di aggio 1 e e distanti s, è (Ball, ): Z µ = ln[ F + F π ε 1 1] (.7) dove: ( s )( s + ) 1 F = (.8) L impedenza caatteistica di una linea multifilae a n conduttoi è data da (Ball, ): 1 Z µ = ln[ H + H πn ε 1 1] (.9) con: n n ( s a ) ai H = (.1) n n n a i [( s + a ) ( s a ) ] dove a i è il aggio del conduttoe inteno, a quello dei conduttoi esteni e s è la distanza ta i loo centi..3 Pincipio di funzionamento L appaato stumentale è schematizzato in Figua.4(a) con il TDR collegato alla sonda tamite un cavo coassiale; i isultati di questo paagafo possono essee estesi anche al caso della sonda bifilae, puché adattata all uscita dello stumento tamite balun. 3

37 Figua.4 (a) Dispositivo speimentale fomato dal TDR, dal cavo coassiale e dalla sonda; (b) schematizzazioni delle iflessioni multiple all inteno della sonda. Il gadino di tensione, V, podotto dal geneatoe viaggia lungo il cavo coassiale che, avendo un impedenza di 5 Ω uguale a quella in uscita dello stumento, non dà luogo a nessuna discontinuità. Il segnale aggiunge la sonda, ealizzata in maniea da avee un impedenza divesa da 5 Ω, e, incontando una discontinuità nel mezzo attavesato, viene pazialmente iflesso veso lo stumento (Figua.4(b)) e egistato dall oscilloscopio. Se Z c è l impedenza del cavo coassiale e Z p è l impedenza della sonda, il coefficiente di iflessione, definito nel paagafo 1.5, vale: Z p Z c ρ =. (.11) Z + Z p c Il segnale iflesso, V, si somma al potenziale incidente V e, quindi, l oscilloscopio egista la tensione V 1 data da: L alta pate del segnale incidente pai a V = ρ (.1) V t 1 V + V = V + V = ( 1 ρ) V (.13) viene tasmessa e continua a popagasi lungo la sonda fino a aggiungene la fine. Se la teminazione della sonda è apeta, il segnale vede un impedenza infinita è viene 33

38 totalmente iflesso in fase. All inteno della sonda, l onda inconta un alto contasto di impedenza all intefaccia sonda/cavo coassiale e viene pazialmente iflessa con coefficiente di iflessione ρ : la pate di segnale che viene iflessa nuovamente dento la sonda è ρ( 1 ρ) V, quella che viene tasmessa veso l oscilloscopio è ( 1+ ρ)(1 ρ) V. La tensione visualizzata sullo schemo dell oscilloscopio saà: V V ρ)(1 ρ) V = V + ρv + (1 ρ ) = ( V. (.14) La pozione di segnale che continua a viaggiae nella sonda viene nuovamente iflessa quando ne aggiunge la fine e viene ancoa pazialmente iflessa all intefaccia sonda/cavo coassiale. Si cea, peciò, una seie di iflessioni multiple (Figua.4(b)) in cui le tensioni egistate dal campionatoe sono: V V 3 4 = V = V + ρv + (1 ρ ) V + ρv + (1 ρ ) V K K ρ(1 ρ ) V ρ(1 ρ ) V + ρ (1 ρ ) V Genealizzando pe l ennesima iflessione si ha: V n n = + + k V (1 ρ ) (1 ρ ) ( ρ) (.15) k= che vale pe n e nel caso in cui il mateiale sia pivo di pedite. Nel caso in cui il dielettico sia dissipativo la (.15) diventa: dove f è il fattoe di attenuazione dato dalla fomula: V n n = + + k k+ 1 V (1 ρ ) (1 ρ ) ( ρ) ( f ) (.16) k= f = exp( αl) (.17) con α coefficiente di attenuazione e L lunghezza della sonda. Il fattoe pesente nella (.17) tiene conto del fatto che il segnale compie un viaggio di andata e itono lungo la sonda. Dopo la fase tansiente, la tensione aggiunge il valoe asintotico: che si ottiene facendo il limite pe f (1 ρ ) (1 + ρ ) + (.18) 1+ ρ f V f = V n nella (.16) (Yanuka et al., 1988). 34

39 Figua.5 (a) Schematizzazione delle iflessioni multiple in una linea costituita da una successione di stati; (b) Segnali che convegono nel nodo ij. Queste consideazioni possono essee estese al caso in cui il segnale viaggi su una linea costituita da una successione di stati come in Figua.5(a): ogni stato ha un impedenza divesa e, quindi, all intefaccia pate del segnale viene iflessa e pate tasmessa nello stato successivo secondo il coefficiente di iflessione dello stato i- esimo ( ρ ). In pima appossimazione, le tensioni V i possono essee calcolate i ignoando le iflessioni secondaie mostate in Figua.5(a) dalle linee più spesse. Sotto questa ipotesi si ottiene: 35

40 V V V 1 3 K i = V = V = V (1 + ρ ) 1 V = V i 1 + V + V (1 + ρ )(1 ρ ) ρ + V ρ (1 + ρ )(1 ρ )(1 + ρ )(1 ρ ) ρ i 1 i j= j (1 ρ ) 3 (.19) dove i = 1,, K, n e n è il numeo degli stati. Nel caso in cui si voglia tene conto anche delle iflessioni secondaie, bisogna fa ifeimento alla Figua.5(b) in cui è appesentato il nodo di intesezione V ij e i quatto aggi, V ijk, che vi convegono. L indice i indica il tempo, l indice j denota la posizione del nodo elativamente allo stato alla desta del nodo e l indice k ( k = 1,,3, 4 ) denota i aggi convegenti nel nodo. Si può dimostae (Topp et al., 1988; Yanuka et al., 1988) che la tensione egistata dall oscilloscopio al tempo i-esimo è: V = V +. (.) i V m,1,4 m= 1 i Nel caso in cui il mezzo sia dissipativo, è necessaio aggiungee il fattoe di attenuazione f..4 Misue di pemittività elettica La Figua.6 mosta l andamento della foma d onda TDR visualizzata sull oscilloscopio ottenuta in aia e in acqua deminealizzata. Dal gafico è possibile icavae il tempo t di andata e itono del segnale all inteno della sonda e, conoscendone la lunghezza L, icavae la velocità di popagazione nel mezzo come: v = L / t. (.1) Pe un mezzo non magnetico pivo di pedite vale la elazione (1.47) che, confontata con la (.1) pemette di icavae la pemittività elettica elativa: c t ε = (.) L La (.) implica che il calcolo della pemittività elettica del mezzo si iduca a quello del tempo di tansito all inteno della sonda. Le fome d onda di Figua.6 mostano che il tempo di andata (il metallic cable teste della Tektonix divide automaticamente il tempo a metà) è misuato dal punto A al punto B in aia e dal 36

41 punto A al punto C in acqua deminealizzata. e mostano come aumenti all aumentae della pemittività del mateiale (pe l aia ε = 1, pe l acqua deminealizzata a tempeatua ambiente ε 8 ). 4 B Tensione (uni.ab.) V A t aia t acqua C acqua deminealizzata aia t (ns) Figua.6 Cuve di isposta in aia e in acqua deminealizzata e tempi di andata e itono nella sonda. In letteatua esistono te modi pe deteminae il tempo di tansito. Il pimo e il più utilizzato è il metodo delle tangenti (Topp et al., 198; Bake e Allmaas, 199; Heimovaaa e Bouten, 199; Robinson et al., 3c) secondo il quale i punti t 1 e t sono dati dall intesezione ta le ette di Figua.7(b): la pima etta è il isultato di un fit lineae su un numeo di punti (scelti dall opeatoe) pima dell entata del segnale nella sonda, la seconda nell intono del pimo punto di flesso, la teza pima dell uscita del segnale dalla sonda, la quata nell intono del secondo punto di flesso (Figua.7(a)). Il secondo metodo (Mattei et al., 6) consiste nel deivae ispetto al tempo il segnale TDR e di eseguie un fit ta la cuva così ottenuta e quella teoica data da: 37

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