LEZIONI DI ELETTROTECNICA

Transcript

1 LEZIONI DI ELETTROTECNICA Giovanni Miano Università di Napoli FEDERICO II

2 ii LEZIONI DI ELETTROTECNICA Giovanni Miano Università di Napoli FEDERICO II Nate dalle dispense del Corso di Elettrotecnica, in uso da alcuni anni presso la Facoltà di Ingegneria dell Università di Napoli Federico II, queste Lezioni partono dai princìpi di base dell Elettromagnetismo e portano l allievo a scoprire prima il modello circuitale e poi le tecniche impiegate nell analisi e nella progettazione dei circuiti. La teoria dei circuiti costituisce, oltre che un occasione per conoscere metodologie e tecniche tipicamente ingegneristiche per lo studio di problemi complessi, anche il momento per l apprendimento di alcuni strumenti matematici indispensabili per comprendere e progettare, nei vari campi applicativi dell elettronica e delle telecomunicazioni, dispositivi e circuiti elettronici per la comunicazione e l elaborazione del segnale, sistemi di controllo e di potenza e circuiti a microonde. Giovanni Miano è professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facoltà di Ingegneria dell'università di Napoli Federico II. Napoli 10 aprile 2001

3 Indice iii Prefazione ix CAPITOLO 0: LE LEGGI DELL'ELETTROMAGNETISMO 0.1 Le sorgenti del campo elettromagnetico Le leggi dell'elettromagnetismo nel vuoto Le Leggi di Maxwell in forma integrale Le Leggi di Maxwell in forma locale Le leggi dell'elettromagnetismo nei mezzi materiali Equazioni di Maxwell in regime stazionario Proprietà del modello stazionario Modello della conduzione stazionaria Modello dell'elettrostatica Modello del campo magnetico stazionario Modello del campo magnetostatico Approssimazioni quasi-stazionarie delle Equazioni di Maxwell Modello quasi-stazionario elettrico Modello quasi-stazionario magnetico 20 CAPITOLO 1: IL MODELLO CIRCUITALE 1.1 Introduzione Interazione tra i componenti: un modello di campo approssimato Corrente elettrica nel terminale e tensione elettrica tra due terminali Circuiti di bipoli Le leggi di Kirchhoff Le relazioni costitutive Il resistore Limite stazionario: un problema di campo stazionario di corrente Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo? Il generatore di tensione costante Il condensatore Limite lentamente variabile Cosa accade quando f > f C? L'induttore Limite lentamente variabile Cosa accade quando f > f I? 63

4 iv 1.11 Considerazioni finali 67 CAPITOLO 2: BIPOLI ELEMENTARI 2.1 Introduzione Bipoli statici Bipoli dinamici 77 CAPITOLO 3: LE EQUAZIONI CIRCUITALI 3.1 Introduzione Elementi di teoria dei grafi Equazioni di Kirchhoff per gli insiemi di taglio Matrice di incidenza e matrice di maglia Equazioni di Kirchhoff indipendenti Equazioni circuitali Esempio: circuito di resistori lineari e generatori indipendenti Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e un resistore non lineare Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e un induttore lineare Esempio: circuito composto da un resistore lineare, un generatore indipendente, un resistore non lineare e un condensatore lineare Potenziali di nodo Correnti di maglia Conservazione delle potenze virtuali (teorema di Tellegen) 124 CAPITOLO 4: PROPRIETÀ ENERGETICHE DEI BIPOLI 4.1 Potenza elettrica. Conservazione delle potenze elettriche Significato fisico della potenza elettrica Bipoli statici Bipoli dinamici Energia elettrica. Bipoli passivi e bipoli attivi Proprietà energetiche dei bipoli statici Proprietà energetiche dei bipoli dinamici lineari tempo-invarianti Bipoli dinamici non lineari tempo-invarianti 142

5 v CAPITOLO 5: PROPRIETÀ DEI CIRCUITI DI RESISTORI 5.1 Bipolo equivalente. Connessione in serie e connessione in parallelo Collegamento di due bipoli statici in serie Collegamento di due bipoli statici in parallelo Proprietà dei circuiti resistivi lineari Circuito resistivo lineare con un solo generatore Sovrapposizione degli effetti Teorema di Thévenin-Norton Teoremi di reciprocità Teoremi di non amplificazione Teorema di non amplificazione delle tensioni Teorema di non amplificazione delle correnti 170 CAPITOLO 6: ELEMENTI CIRCUITALI A PIÙ TERMINALI 6.1 Elementi circuitali con più di due terminali. Circuiti di N-poli Potenza elettrica assorbita dal N-polo Caratterizzazione di un M-porte Il transistore bipolare e l'amplificatore operazionale Generatori controllati lineari Il giratore Il trasformatore ideale N-poli di resistori lineari Caratterizzazione di un N-polo di resistori lineari Proprietà della matrice delle conduttanze Sintesi di un N-polo resistivo lineare La trasformazione stella-triangolo M-porte di resistori lineari Caratterizzazione di un M-porte di resistori lineari Proprietà delle matrici delle conduttanze, resistenze e ibride Sintesi di un doppio bipolo resistivo lineare Induttori accoppiati (trasformatore) Equazioni costitutive di due induttori accoppiati Circuiti perfettamente accoppiati e circuiti equivalenti 219 CAPITOLO 7: CIRCUITI DINAMICI LINEARI 7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale Equazioni di stato e variabili di stato Continuità delle variabili di stato di un circuito 232

6 vi 7.4 Circuiti del primo ordine Circuito RC del primo ordine: equazione di stato Circuito RL del primo ordine: equazione di stato Circuiti del primo ordine tempo-invarianti Evoluzione libera ed evoluzione forzata Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente Regime stazionario e regime sinusoidale Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato Circuiti RC del secondo ordine Circuito RL del secondo ordine Circuito RLC del secondo ordine Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti Proprietà delle frequenze naturali Soluzione di regime e termine transitorio Regime stazionario e regime sinusoidale Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi Applicazione: Circuito RC con amplificatore operazionale Circuiti dinamici lineari tempo-invarianti di ordine qualsiasi 281 CAPITOLO 8: CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE 8.1 Circuiti in regime stazionario Circuiti in regime sinusoidale: i fasori Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori Circuito di impedenze Proprietà delle reti di impedenze Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenze elettriche complesse Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore di tensione, partitore di corrente Bipolo di impedenze Generatore equivalente di Thévenin-Norton Proprietà della reciprocità e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze Diagrammi fasoriali Potenza ed energia in regime sinusoidale Proprietà energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze Reti in regime periodico e quasi-periodico Circuiti risonanti Cenni sui sistemi elettrici di potenza e sulle reti elettriche trifase 321

7 8.9 Voltmetro, amperometro e wattmetro 329 vii CAPITOLO 9: CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI 9.1 Introduzione Integrale di convoluzione Risposta all'impulso: metodi di calcolo e proprietà Soluzione di un circuito con generatori impulsivi attraverso la determinazione delle condizioni iniziali a t = Proprietà della risposta all'impulso di Dirac Risposta al gradino unitario Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace bilatera Trasformata di Laplace monolatera Analisi dei circuiti in evoluzione forzata tramite la trasformata bilatera di Laplace Circuito di impedenze operatoriali Funzione di rete e sue proprietà Analisi dei circuiti in evoluzione generica tramite la trasformata di Laplace Analisi di un circuito lineare tempo-invariante attraverso la trasformata di Laplace monolatera Analisi di un circuito lineare tempo-invariante tramite generatori impulsivi 379 CAPITOLO 10: RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO 10.1 Funzione risposta in frequenza Proprietà della funzione risposta in frequenza Analisi dei circuiti attraverso la risposta in frequenza Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtro passa-alto Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passabanda e filtro taglia-banda Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati 405 CAPITOLO 11: INTRODUZIONE AI FILTRI ANALOGICI 11.1 Generalità sui filtri analogici Filtri ideali Condizioni di fisica realizzabilità e filtri reali Filtri di Butterworth Circuiti passa tutto e circuiti a fase minima Circuito passa tutto 419

8 viii Circuiti a fase minima Fattorizzazione spettrale Fattorizzazione spettrale per i filtri di Butterworth Sintesi di funzioni di trasferimento a tutti poli tramite elementi passivi Leggi di trasformazione Variazione in scala della frequenza di taglio Variazione in scala dell'impedenza Trasformazioni di frequenza Sintesi di funzioni di trasferimento tramite elementi attivi 436 APPENDICI Appendice A A.1 Unicità del problema di Dirichlet interno 441 A.2 Unicità del problema di Neumann interno 442 A.3 Unicità di un problema misto interno 443 Appendice B B.1 Teorema di Poynting 445 B.2 Teorema di Poynting per i modelli approssimati delle equazioni di Maxwell 446 B.3 Potenza assorbita da un bipolo nel limite lentamente variabile 447 Appendice C Proprietà della reciprocità per i circuiti accoppiati 449 Appendice D D.1 Forma standard Ý x = B x 452 D.2 Comportamento qualitativo delle soluzioni di DÝ x = Ax 454 Appendice E E.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso 456 E.2 Operazioni con i numeri complessi 458

9 ix PREFAZIONE Chi è che non ha mai sentito parlare di elettricità? che non si è mai avvalso delle sue applicazioni? che non ha mai avuto a che fare coi watt e coi volt? Chi non ha mai usato un circuito elettrico? Se non ci fosse stato l immenso progresso scientifico delle conoscenze intorno a questo settore della fisica, e, di conseguenza, il meraviglioso sviluppo delle applicazioni tecniche, la nostra vita quotidiana sarebbe oggi molto diversa. Soltanto, forse, la medicina e la biologia, fra le scienze applicate, possono competere con l per il numero e l importanza dei loro risultati. Queste Lezioni di Elettrotecnica partono dai princìpi di base dell Elettromagnetismo e portano l'allievo alla padronanza delle metodologie e delle tecniche che, sulla base di questi princìpi, producono applicazioni circuitali, fino alle soglie dello studio delle stesse applicazioni. In questo senso questo corso fa da ponte tra le materie formative del primo biennio e quelle, altrettanto formative, ma in maniera più specifica e applicativa, del successivo triennio del corso di studi in Ingegneria. La prospettiva assunta, dunque, vede il Corso di Fisica II partire dai fenomeni per giungere alle leggi, fino al loro più alto grado di formalizzazione espresso dalle Leggi di Maxwell, e il Corso di Elettrotecnica prendere le mosse da queste ultime per giungere fino alle applicazioni concrete di tipo circuitale, con l obiettivo di completare il bagaglio metodologico degli allievi. Giovanni Miano è professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facoltà di Ingegneria dell'università di Napoli Federico II. Napoli 18 aprile 2001 G. M.

10 x AVVERTENZA In questo testo adopereremo il Sistema Internazionale di misura (SI). Pertanto una corrente I 0 di 10 ampère verrà semplicemente indicata come I 0 = 10, senza riportarne esplicitamente l unità di misura. Qualora si tratti di multipli o sotto-multipli, il valore della grandezza verrà riportato insieme all'unità di misura. In tal modo, indicheremo con C = 100 nf una capacità di 10 7 F.

11 CAPITOLO 0 LE LEGGI DELL ELETTROMAGNETISMO 0.1 Le sorgenti del campo elettromagnetico Assumiamo nota dal corso di Fisica la nozione di carica elettrica (dei due segni), nonché la relativa unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) (il coulomb, (C)). Le forze con le quali due cariche puntiformi interagiscono nel vuoto, in un riferimento inerziale, dipendono, oltre che dalla loro posizione reciproca, anche dalle rispettive velocità 1. La Teoria dell Elettromagnetismo nel vuoto prende in considerazione un arbitrario sistema di cariche (comunque distribuite), delle quali siano note a priori le leggi del moto (quali che siano) e consente di valutare la forza che si esercita su ciascuna carica, in ogni punto-istante (P;t) dello spazio-tempo occupato da essa, per effetto dell'azione di tutte le altre cariche presenti. La teoria consente, inoltre, di valutare anche la forza e il momento (rispetto a un polo arbitrario) risultanti su una qualsiasi parte del sistema di cariche, in ogni istante. Cosa vuole dire assegnare le leggi del moto delle cariche? Nell'ambito di una descrizione macroscopica dell'elettromagnetismo, le cariche possono presentarsi sotto forma di cariche puntiformi concentrate, oppure aggregate in distribuzioni continue: lineari, superficiali o volumetriche. Una descrizione adeguata di questi aggregati continui di cariche è ottenibile assegnando in ciascun punto della distribuzione una corrispondente densità scalare: rispettivamente, lineare λ=λ(p;t), superficiale σ=σ(p;t), volumetrica ρ=ρ(p;t). Il significato di tali grandezze è chiaro: nel caso di distribuzioni volumetriche, dire che in un generico punto P della distribuzione, la densità volumetrica ha il valore ρ(p;t) al generico istante t, vuole dire che in un volume elementare dω centrato in P è presente una carica elementare dq = ρp t dω ; (1) analogamente, per le distribuzioni superficiali e lineari risulta, rispettivamente, dq σ = σp t ds (2) 1 A questo proposito vedi S. Bobbio e E. Gatti, Elementi di Elettromagnetismo, (Boringhieri, Torino 1984).

12 2 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica dq λ = λ P td O, (3) avendo indicato con ds e d O, rispettivamente, l area dell elemento superficiale e la lunghezza dell elemento lineare centrati nel generico punto P della distribuzione. Per ogni fissato istante di tempo il dominio di definizione di λ è una linea, quello di σ è una superficie e quello di ρ è un volume dello spazio. È pure ovvio che le unità di misura derivate per le tre densità, nel SI, sono rispettivamente [ λ]= C m [ σ]= C m 2 [ ρ]= C m 3 Assegnare, dunque, una distribuzione di cariche, in un dato istante, vuole dire assegnare le posizioni, in quell'istante, di tutte le cariche puntiformi che ne fanno parte, nonché le funzioni λ P t σ(p;t) e ρ( P;t), che descrivono, nello stesso istante, le distribuzioni degli aggregati continui di cariche appartenenti al sistema. È inutile dire che non sempre nel sistema sono presenti contemporaneamente tutti i diversi tipi di distribuzioni. Osserviamo esplicitamente che, nell'ambito di una descrizione macroscopica dell'elettromagnetismo, è possibile concepire la presenza contemporanea, in una stessa regione spaziale, di due distribuzioni di cariche di segno opposto. Così, ad esempio, un volume elementare dω, centrato attorno a un punto P, può essere considerato sede, nel medesimo istante, di due distribuzioni volumetriche: una, positiva descritta da una densità ρ + P;t, l'altra, negativa di densità ρ P;t. In tale caso, è ovvio che la densità di carica totale (o netta ) risulta pari a ρp; t = ρ + P;t + ρ P;t. (4) Quando accade che ρ P; t = ρ + P;t, risulta ρp t = 0. Considerazioni analoghe valgono anche per gli altri tipi di distribuzioni. È importante sottolineare che, quando le cariche sono ferme nel nostro riferimento inerziale, di solito, viene fornita la sola densità netta, e non le eventuali densità di segno opposto che la compongono, poiché gli effetti elettromagnetici risultanti dalla presenza contemporanea delle cariche dei due segni (considerate ferme) sono, in questo caso, pari a quelli prodotti dalla carica netta (o totale). Diversamente stanno le cose quando passiamo a descrivere il moto delle cariche. In questo, caso, infatti, occorre partire dalla osservazione fondamentale che due cariche di segno opposto, che si muovono in versi opposti (con pari velocità) producono lo stesso effetto. Ciò implica che se sono presenti due portatori di carica, con densità pari rispettivamente a ρ + P;t e ρ P;t, occorrerà specificare tanto la velocità media, quanto la Y + P;t Y P;t, con cui i due portatori si muovono nel riferimento inerziale. Ciò avviene introducendo due grandezze vettoriali, dette densità di corrente, date rispettivamente da: - Pt = ρ + Pt Y + P t, (5) Pt = ρ - P ty P t. (6) La densità di corrente totale è data ovviamente da: - P;t = P;t P;t. (7) Anche in questo caso, ciò che interessa, alla fine, è - P;t.

13 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 3 È bene, però, osservare esplicitamente che la densità di corrente totale - P;t non può essere introdotta, in generale, a partire dalla sola conoscenza della densità di carica totale ρp; t. Il caso più evidente è dato da quello, diffusissimo, che si verifica nei normali conduttori (di rame, ad esempio), nei quali la corrente elettrica è dovuta al moto orientato dei soli elettroni, mentre gli ioni positivi del metallo restano fermi. In questo caso, pure essendo ρ P; t = ρ + P;t e quindi ρp; t = 0, risulta: quindi - Pt, - Pt = ρ P t Y P t (8) - P t = ρ Pt Y P t. (9) Il conduttore, in altre parole, può essere neutro elettricamente in ogni suo punto, e ciò non pertanto essere percorso da corrente. Come per le densità scalari di carica, anche per le densità vettoriali di corrente è opportuno introdurre grandezze diverse a seconda che a muoversi siano cariche distribuite con continuità in un volume, oppure su una superficie o ancora su una linea. Così, oltre alla densità di corrente volumetrica J appena introdotta, è possibile definire una densità di corrente superficiale - s, pari a: e una lineare, - data da P t = σ Pt Pt + σ P t - s + Y + Y P t (10) - P t = λ + P t + λ Pt ty + P Y P t. (11) Il campo - s è definito su di una superficie e la sua direzione è sempre tangente a essa, e il campo - è definito lungo una linea e la sua direzione è sempre tangente a essa. Nelle leggi del campo elettromagnetico in forma integrale le sorgenti compaiono attraverso grandezze globali: la carica elettrica e l'intensità di corrente elettrica. Per distribuzioni volumetriche, la carica elettrica totale Q Ω = Q Ω t che all istante t si trova nella regione Ω vale Q Ω t = ρpt dω P Ω (12) (Attenzione: Q Ω = 0 non implica ρ = 0 in Ω.), e l'intensità di corrente elettrica i S = i S t che all'istante t circola attraverso la superficie orientata S (aperta o chiusa) vale: i S t = -Pt QdS S P. (13) L'integrale nella (13) è il flusso del campo di densità corrente attraverso la superficie orientata S. (Attenzione: i S = 0 non implica J=0 su S). La corrente i S rappresenta la carica netta che nell'unità di tempo scorre attraverso S. Il segno di i S, per una assegnata J, dipende da come viene orientata la normale n alla superficie S. La corrente elettrica nel SI si misura in ampere (A): 1A=1C/1s e le unità di misura per i campi di densità di corrente sono, rispettivamente: [ J]= C m m 3 s = A m2 [ J s ]= C m m 2 s = A [ m J ]= C m m s = A

14 4 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica In conclusione, nell ambito di una descrizione macroscopica dell elettromagnetismo, assegnare le leggi del moto delle cariche vuole dire fornire, per ogni tipo di distribuzione, rispettivamente, la corrispondente densità totale (scalare) di carica e la corrispondente densità totale (vettoriale) di corrente, come funzioni del punto e del tempo. Occorre, quindi, fornire, ad esempio, per le distribuzioni volumetriche, le funzioni ρ = ρp t e - -P t per ogni punto P e ogni istante t della regione di spazio-tempo che interessa. 0.2 Le leggi dell elettromagnetismo nel vuoto Veniamo ora alle leggi che consentono di determinare la forza agente su una carica per effetto di tutte le altre, quando siano note le funzioni ρp t e -P t. Sono possibili due approcci concettualmente distinti; entrambi fanno uso, comunque, di un fatto fisico fondamentale: il cosiddetto Principio di sovrapposizione delle interazioni elettromagnetiche. Ciò vuole dire che la forza cui è soggetta una data carica ( di prova ) per effetto di un sistema di altre cariche ( sorgente ) è pari alla somma (vettoriale) delle forze che sarebbero esercitate sulla carica di prova da ciascuna delle cariche-sorgente, considerata agente da sola (e cioè senza le altre carichesorgente). I due approcci di cui si parlava prima possono essere così sintetizzati. In uno si considera la forza che viene ad agire su una data carica di prova per effetto di tutte le altre cariche-sorgente, considerate insieme. Nell'altro si considera la forza esercitata sulla carica di prova da una singola carica-sorgente, e si sovrappongono gli effetti. Il primo approccio è largamente preferito in Letteratura, perché di uso più semplice. Noi seguiremo questo approccio. In generale, la forza risultante F che agisce su una carica puntiforme q che passi, con velocità v, per un generico punto P all'istante t, è data dalla forza di Lorentz: ) = q(p t + qy %P t (14) nella quale, tutte le grandezze (e cioè coordinate del punto P, istante di tempo t, forza F, velocità v, carica elettrica q, etc) sono da intendersi misurate in uno stesso sistema di riferimento inerziale (quello del laboratorio, ad esempio). Il vettore E rappresenta, per definizione, il campo elettrico agente nel punto-istante (P;t) e B il campo magnetico (induzione magnetica) nello stesso puntoistante. La (14) consente di misurare, e quindi definire, separatamente E(P;t) e B(P;t). Per misurare E basta mantenere la carica q ferma nel punto P e misurare la forza ) 0 che agisce, in queste condizioni, su q. Il rapporto ) 0 q fornisce E: ( ) 0 q. (15) Per misurare B, una volta misurato E, si attribuisca a q una velocità Y 1, e si misuri la forza ) 1 che, in queste condizioni, si esercita su q; si ha allora: ) 1 = ) 0 + qy 1 % (16) ripetiamo la misura attribuendo una nuova velocità, Y 2 (non parallela a Y 1) a q:

15 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 5 ) 2 = ) 0 + qy 2 %. (17) Le (16) e (17) consentono di individuare univocamente B. In quanto precede, si è assunto, ovviamente, che sia E che B non cambino significativamente nell'intervallo di tempo che intercorre fra le misure di ) 0 ) 1 e ) 2. Ricordiamo che la forza nel Sistema Internazionale si misura in newton (N) e la velocità in metro/secondo ([v]=m/s). Il campo elettromagnetico è, per definizione, la coppia ordinata di funzioni vettoriali {( P t %(P;t)}, definite in una assegnata regione dello spazio-tempo. Nel SI il modulo del campo elettrico è misurato in volt/metro (V/m) e quello del campo di induzione magnetica in tesla (T). Il volt è l'unità di misura della tensione elettrica. La tensione elettrica v γ, per definizione, è l'integrale di linea del campo elettrico lungo una curva γ i cui estremi sono A e B, orientata da $ verso %: v γ t = (P t Wd O. (18) γ La tensione elettrica v γ rappresenta il lavoro che compirebbe il campo elettrico su una carica puntiforme unitaria se si muovesse lungo γ da $ verso %. L'integrale di linea di E lungo una qualsiasi curva chiusa orientata Γ è detta circuitazione del campo elettrico (nella letteratura viene anche denominata forza elettro motrice (f.e.m.)) Le Leggi di Maxwell in forma integrale Le leggi che governano il campo elettromagnetico nel vuoto, nella loro forma più generale, possono essere così espresse (assumendo, per semplicità che siano presenti soltanto distribuzioni volumetriche di cariche e di correnti): ( QdS = Σ t 1 ε 0 = Q Σ t ρdω ΩΣ t ε 0, (19) % QdS = 0, Σ t (20) % ( Wdl = QdS, γ t S γ t t (21) ( ( % Wdl = µ ε 0 QdS = µ γ t S γ t t 0 I S γ t t + µ 0 ε 0 QdS, S γ t t (22) - QdS = Σ t ρ t dω, (23) Ω Σ t dove Σ(t) è una qualsiasi superficie chiusa contenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi (senza lacerazioni ); Ω Σ t è la regione di spazio delimitata da Σ(t); γ(t) è una qualsiasi linea chiusa contenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi (senza strappi ); S γ t è una qualsiasi superficie (aperta) che abbia γ(t) come orlo; i versori (cioè, i vettori unitari) t e n sono legati attraverso la regola del cavatappi. Osserviamo che, nel caso in cui le linee e le superfici non si deformino nel tempo, è possibile invertire l'operatore di derivata temporale con quello di integrale (e cioè derivare sotto segno di integrale ). ε 0 e µ 0 sono, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto e valgono nel SI

16 6 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica ε F / m, µ 0 = 4π 10-7 H / m, dove il farad (F) e l henry (H) sono, rispettivamente, le unità di misura della capacità e dell induttanza nel SI: 1F=1C/1V, 1H=1Wb/1A. Il weber è l'unità di misura del flusso del campo magnetico attraverso una superficie. Il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie (chiusa o aperta) orientata S per definizione è l'integrale di superficie della componente normale di B: Φ S t = % Pt QdS. (24) S Dalla (24) si ottiene che 1Wb=1T 1m 2 e dall'equazione (21) si ottiene anche che 1Wb=1V 1s. Le leggi dell'elettromagnetismo appena scritte prendono il nome di Equazioni di Maxwell in forma globale o integrale, in quanto esse legano le circuitazioni ed i flussi dei campi E e B tra di loro e alle cariche e correnti. Le (19) e (20) sono le Leggi di Gauss per il campo elettrico e per il campo magnetico; la (21) è la legge di Faraday-Neumann, la (22) è la legge di Ampère-Maxwell, la (23) è la legge di conservazione della carica elettrica. Come si vede, le sorgenti del campo elettromagnetico (e cioè i termini noti nelle (19) (23)) sono la distribuzione delle cariche ρ P t e delle correnti -(P;t). Esse compaiono attraverso la carica elettrica Q Σ e l'intensità di corrente elettrica i S γ. Dall'equazione (20) si ha che il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è sempre uguale a zero; per tale motivo si dice che il campo magnetico è conservativo rispetto al flusso. Da questa notevole proprietà discende che il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie aperta dipende unicamente dalla curva chiusa che orla la superficie (cioè dall'orlo) e non da altri particolari. Siano S 1 e S 2 due superficie aperte che hanno lo stesso orlo Γ orientate concordemente. Applicando la (20) alla superficie chiusa ottenuta dall'unione delle superfici S 1 e S 2 si ottiene immediatamente Φ Γ t = % P t 1dS Q 1 = %P t 2dS s Q 2 1 (25) s 2 Per questo motivo quando si considera il flusso del campo B attraverso una qualsiasi superficie aperta si parla di flusso concatenato con la linea chiusa che orla la superficie e lo si indica ricordando a pedice la linea chiusa che orla la superficie Le Leggi di Maxwell in forma locale Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo possono essere espresse anche nella forma locale o differenziale equivalente. Si assuma che, oltre alla distribuzione volumetrica di cariche e correnti, vi sia una distribuzione superficiale di cariche σ e di corrente - s sulla superficie Σ. In questo caso bisogna distinguere le regioni in cui il campo è continuo dalle regioni in cui non lo è: certamente in corrispondenza della superficie Σ il campo elettromagnetico presenta delle discontinuità. Per ottenere le equazioni di Maxwell in forma locale nelle regioni in cui il campo è regolare basta applicare il teorema della divergenza alle equazioni (19), (20) e (23) ed il teorema del rotore alle

17 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 7 equazioni (21) e (22). Per ottenere le equazioni in corrispondenza della superficie di discontinuità bisogna applicare le equazioni (19), (20) e (23) a una superficie elementare cilindrica posta a cavallo di Σ e far tendere poi l'altezza del cilindro a zero e le equazioni (21) e (22) a una linea chiusa elementare a forma di rettangolo posta sempre a cavallo di Σ e far tendere poi la larghezza del rettangolo a zero. Così facendo si ottengono le Equazioni di Maxwell in forma locale: punti regolari punti di discontinuità div ( = ρ ε 0, Q (( 2 ( 1 ) = σ / ε 0, (26) div % = 0, Q (% 2 % 1) = 0, (27) rot( = % t, Q (( 2 ( 1) =, (28) ( rot% = µ 0 ( - + ε 0 t ), Q (% 2 % 1 ) = µ 0 - s, (29) div- = ρ t, σ Q (- - + GLY - 2 1) =. (30) W Per le distribuzioni lineari (di cariche e di correnti) e puntiformi (di cariche) possono essere date espressioni analoghe locali, ma sono di scarso uso. Le equazioni (26) e (28) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuità) sono le due condizioni richieste dal teorema di Helmholtz 2 per determinare il campo elettrico E; analogamente, le (27) e (29) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuità) consentono di determinare B. Infine, le equazioni (30) costituiscono il vincolo imposto sulle sorgenti del campo elettromagnetico dalla legge della conservazione della carica elettrica. Osservazioni 2 Il teorema di Helmholtz assicura che, se di un campo vettoriale sono noti il rotore e la divergenza in tutti i punti dello spazio, il campo è univocamente determinato, purché esso sia regolare all'infinito. La divergenza di un campo vettoriale A (diva) è un campo scalare così definito: si consideri una regione Ω in cui A è definito, un dominio spaziale τ contenuto in Ω e limitato da una superficie chiusa regolare Σ orientata con la normale rivolta verso l'esterno e sia V il volume di τ. Si faccia contrarre la regione τ attorno a un punto fisso P. Il limite per V 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di Σ) del rapporto $ QdS ( ) V è la divergenza di A in P. In coordinate cartesiane rettangolari si ha div$ = A x x + A y y + A z z dove A x A y A z sono le componenti del campo A nel sistema di coordinate considerato. In modo analogo si definisce la divergenza superficiale div s A s di un campo vettoriale superficiale. Il rotore di un campo vettoriale A (rota) è un altro campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω, in cui A è definito e sia P un punto di tale regione. Data una qualsiasi superficie aperta S passante per P, sia γ la linea chiusa orientata (l'orientazione di γ e la normale n devono essere concordi secondo la regola del cavatappi), che ne costituisce l'orlo. Si faccia contrarre la superficie S attorno a P mantenendo fissa la normale n a S in P. È possibile dimostrare che, al variare di n il limite per S 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di S e γ ) del rapporto ( ) γ $ Wdl S corrisponde alla componente, secondo le direzione n, di un vettore univocamente individuato. Esso è il rotore di A in P. In coordinate cartesiane rettangolari si ha rot $ = [ x + \ y + (A ] x x [ + A y \ + A z ] effettuando formalmente i prodotti vettoriali considerati.

18 8 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica Le equazioni (26) (30) per i punti regolari (o le corrispondenti (19) (23) in forma integrale) non sono tutte indipendenti. È facile mostrare che, se le equazioni (26) e (27) per i punti regolari sono verificate in un istante qualsiasi, allora dall'equazione (28) per i punti regolari si ottiene la (27), e dalle equazioni (29) e (30) si ottiene la (26). In particolare l'equazione della conservazione della carica (30) per i punti regolari è già scritta nelle corrispondenti equazioni (26) e (29). Le equazioni (26) (30) (o le equivalenti in forma integrale (19) (23)), unite alle definizioni fisiche delle grandezze che vi figurano, costituiscono l'intero quadro della teoria dell'elettromagnetismo nel vuoto : tale teoria consente di affrontare qualsiasi problema fisico e ingegneristico che si riferisca a situazioni nelle quali non siano presenti mezzi materiali (conduttori, dielettrici, materiali ferromagnetici), oppure, come si vedrà, siano presenti soltanto mezzi trasparenti al campo elettromagnetico. I problemi che più frequentemente si incontrano nella tecnica, per ciò che riguarda le situazioni finora considerate, possono essere classificati in due grandi categorie: quelli in cui si può assumere che la distribuzione delle sorgenti sia nota nell'intero spazio (in questo caso bisogna imporre le condizioni iniziali e le condizioni di regolarità all'infinito); quelli in cui la distribuzione delle sorgenti sia nota soltanto in una regione limitata dello spazio (o, addirittura, non sia affatto nota), ma si conoscano, in aggiunta, opportune condizioni al contorno sulla frontiera della regione nella quale si considera il campo, nonché le condizioni iniziali. 0.3 Le leggi dell elettromagnetismo nei mezzi materiali Quando il campo elettromagnetico interessa mezzi materiali (conduttori, isolanti, materiali magnetici, etc), le equazioni che esprimono le leggi generali dell'elettromagnetismo assumono una forma più complessa, poiché le sorgenti del campo non si limitano più soltanto a quelle presenti nello spazio vuoto (delle quali sono note a priori le distribuzioni), ma comprendono anche quelle che si generano nei mezzi materiali per effetto dell'interazione del campo elettromagnetico ivi presente. Ne deriva che queste nuove distribuzioni svolgono allo stesso tempo il ruolo di sorgenti (e quindi - se si vuole - cause ) del campo e quello di effetto (in quanto determinate dal campo stesso). Di qui, la maggiore complessità richiesta dalla descrizione dei fenomeni elettromagnetici in presenza di mezzi materiali. I fenomeni che si manifestano nei mezzi materiali, quando immersi in un campo elettromagnetico, sono così classificabili: conduzione elettrica, polarizzazione elettrica e polarizzazione magnetica. Può riscontrarsi la presenza significativa di più d'uno di tali fenomeni, oppure la prevalenza di uno solo (ad esempio, in un pezzo di ferro sono significativi sia il fenomeno della conduzione che quello della polarizzazione magnetica, mentre in uno di rame è significativo soltanto quello della conduzione e in uno di plastica quello della polarizzazione elettrica). Il fenomeno della conduzione elettrica è caratterizzato dalle distribuzioni di cariche e correnti (superficiali e volumetriche), risultante dall'azione del campo elettromagnetico sui portatori di carica liberi di muoversi nel conduttore su dimensioni macroscopiche.

19 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 9 Il fenomeno della polarizzazione elettrica è caratterizzato dal campo di intensità di polarizzazione elettrica P, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo elettrico per unità di volume risultante dall'azione del campo elettromagnetico complessivo sul materiale. Infine, il fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato attraverso il campo di intensità di magnetizzazione M, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magnetico per unità di volume indotto dal campo elettromagnetico. Alla distribuzione di dipoli elettrici descritta da P è possibile sostituire una distribuzione equivalente di cariche (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del campo risultante. A queste cariche, che in un dielettrico polarizzato sono localizzate, in generale, sia sulla superficie esterna, con densità superficiale σ p = 3 Q (n è il versore normale alla superficie, diretto verso l'esterno), sia nel volume con densità volumetrica ρ p = div3, si dà il nome di cariche di polarizzazione (o anche legate), per distinguerle da quelle libere presenti nei conduttori (che, ad esempio, possiamo togliere o aggiungere alle armature di un condensatore). Analogamente alla distribuzione di dipoli magnetici descritta da M è possibile sostituire una distribuzione equivalente di correnti (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del campo risultante. A queste correnti, che in un materiale magnetico sono localizzate in generale sia sulla superficie esterna, con densità superficiale - sm = 0 Q, (anche in questo caso n è il versore normale alla superficie diretto verso l'esterno), sia nel volume con densità volumetrica - m = rot0, si dà il nome di correnti di magnetizzazione (o vincolate), per distinguerle dalle ordinarie correnti di conduzione, che seguono percorsi macroscopici definiti dai conduttori presenti, correnti che possono essere inserite o interrotte mediante un interruttore, e misurate con un amperometro. Queste ultime vengono chiamate correnti libere. Va detto con chiarezza che, ove mai fosse possibile conoscere a-priori la distribuzione delle sorgenti legate ai mezzi materiali presenti, oltre che di quelle libere, le leggi del campo elettromagnetico potrebbero ancora essere utilizzate nella forma relativa allo spazio vuoto (come se i mezzi materiali non esistessero), a patto, naturalmente, di fare figurare fra le sorgenti anche quelle legate (oltre che quelle libere). Analoga situazione si ha quando i mezzi materiali presenti siano completamente trasparenti al campo elettromagnetico: ciò si verifica quando nel mezzo materiale non vengono indotte sorgenti significative per effetto della presenza in esso del campo elettromagnetico (è il caso, ad esempio, dell'aria in condizioni usuali, nonché di altri gas). Nelle situazioni più frequenti che si presentano nella tecnica, le cose stanno però, come si è detto, in modo più complicato, perché anche quando si ammetta di potere conoscere a priori la distribuzione di tutte le sorgenti libere (come poi vedremo, quasi sempre anche esse sono incognite del problema), non è nota a priori quella delle sorgenti legate perché non è noto il campo complessivo: occorre, quindi, trovare il modo di riuscire a determinare insieme sia queste, sia il campo elettromagnetico che esse contribuiscono a produrre. A questo scopo, le equazioni del campo elettromagnetico in presenza di mezzi materiali assumono la forma seguente (per non appesantire le equazioni omettiamo di nuovo di scrivere i contributi dovuti alle distribuzioni superficiali e lineari di cariche e correnti libere): ' QdS = Σ t Ω Σ t ρ lib dω (31)

20 10 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica % QdS = 0 Σ t (32) % ( Wdl = QdS, γ t Sγ t t (33) + Wdl = - lib + ' t QdS, γ t Sγ t (34) Σ t ρ lib - lib QdS = dω. (35) Ω Σ t t Come si vede, nella legge di Gauss elettrica figura a primo membro un nuovo campo vettoriale, il vettore spostamento elettrico D (detto anche induzione elettrica ) e, a secondo membro sono presenti le sole sorgenti libere, ρ lib. Il campo D è legato al campo E e al campo P tramite la relazione ' = ε 0 ( + 3. (36) Analogamente, nella legge di Ampère-Maxwell, figura a primo membro un nuovo campo vettoriale H, (l'intensità di campo magnetico), mentre, a secondo membro, sono presenti la densità di corrente libera - lib e la densità di corrente di spostamento ' t. Il campo H è legato al campo B e al campo M tramite la relazione % = µ (37) La circuitazione di H lungo una qualsiasi curva chiusa orientata γ è detta forza magneto-motrice (f.m.m.); essa ha le stesse dimensioni della corrente elettrica. Nella legge di conservazione della carica, infine, figurano le sole sorgenti libere. Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del modulo di D e di P è C / m 2 e l'unità di misura del modulo di H e di M è A/m. Anche nei mezzi materiali il campo magnetico B è conservativo rispetto al flusso. Le leggi generali del campo elettromagnetico (31) (35) sono indipendenti dalla costituzione fisica dei mezzi materiali presenti. Esse non sono, di per sé, sufficienti a descrivere il campo elettromagnetico: occorrono altre relazioni, dette costitutive, che dipendono univocamente dalla costituzione fisica dei mezzi materiali, capaci di definire le caratteristiche fisiche di tipo elettromagnetico dei mezzi materiali presenti. Nelle normali applicazioni tecniche che più interessano queste lezioni, queste relazioni sono del tipo ' = ε 0 ( + 3( = '( % = µ 0 >+ + = %+ - lib = -( % Y % ( Stiamo considerando materiali dielettrici in cui il campo P in un qualsiasi punto-istante dipende unicamente dal valore del campo elettrico nello stesso punto-istante e materiali magnetici in cui il campo M in un qualsiasi punto-istante dipende unicamente dal valore del campo H nello stesso punto-istante (materiali senza memoria e senza dispersione spaziale). Il campo di corrente J in un mezzo conduttore, in un qualsiasi punto-istante, può dipendere, oltre che dal valore campo elettrico nello stesso punto-istante, anche dal campo magnetico B (effetto Hall), dalla velocità del conduttore attraverso la grandezza Y % (nelle dinamo e negli alternatori) e da campi di forze di natura non elettrica, che abbiamo indicato con E* (ad esempio, il campo elettromotore di natura chimica di una pila o il campo elettromotore di natura fotoelettrica nelle celle solari). Nei diodi e nei transistori, se i campi variano lentamente, - lib dipende non linearmente da E. Le relazioni costitutive si particolarizzano, per materiali in quiete lineari e isotropi nelle: ' = ε(, % = µ+, (38) (39)

21 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 11 - = γ ( + ( (40) nelle quali ε µ e γ sono grandezze scalari indipendenti dai campi. Esse sono, rispettivamente, la costante dielettrica del materiale, la permeabilità magnetica e la conducibilità elettrica e sono da intendersi misurate nello stesso sistema di riferimento inerziale in cui vanno misurate tutte le altre grandezze. Esse possono essere non uniformi (e cioè variabili da punto a punto del materiale) e tempo varianti (e cioè variabili nel tempo). In un conduttore ohmico in quiete la (40) si riduce a - = γ(. (41) Il limite γ 0 descrive il comportamento di un materiale isolante, come il dielettrico ideale: in questi materiali non circola corrente pur in presenza di un campo elettrico. Invece il limite γ descrive il comportamento di materiali con elevatissima conducibilità, cioè il comportamento dei conduttori ideali: in questo caso pur in presenza di correnti che circolano nel conduttore il campo elettrico è nullo. La conducibilità elettrica, nel SI, si misura in siemens (S) e la resistività elettrica η, definita come η=1/γ, si misura in ohm metro (Ω m), quindi 1S=1/1Ω. L'ohm (Ω) è l'unità di misura della resistenza elettrica e 1Ω=1V/1A. Le equazioni di Maxwell per i mezzi materiali (31) (35) possono essere espresse in forma locale, così come è stato fatto per il caso del vuoto. In presenza di corpi materiali occorre, però, distinguere i punti in cui le proprietà dei mezzi materiali sono continue da quelli in cui sono discontinue (ciò accade in genere in corrispondenza di superfici di discontinuità dei parametri fisici caratteristici dei materiali, come, ad esempio, la costante dielettrica, la conducibilità, etc). Operando questa distinzione abbiamo: punti regolari punti di discontinuità div ' = ρ lib, Q ' 2 ' 1 = σ lib, (42) div % = 0, Q (% 2 % 1) = 0, (43) rot( = % t, Q (( 2 ( 1) =, (44) rot + = - lib + ' t Q = - slib, (46) div- lib = ρ lib t Nelle (42), (46) e (47) σ lib e - slib. Q div s - slib = σ lib t. (47) sono, rispettivamente, distribuzioni superficiali di cariche e di correnti libere; come poi vedremo esse possono nascere sulle superfici dei conduttori. Il quadro completo della teoria dell elettromagnetismo in presenza di mezzi materiali lineari, isotropi e senza memoria è dunque costituito dalle equazioni di Maxwell in forma locale (42) (47) (o equivalentemente da quelle in forma integrale (31) (35)), dalle equazioni costitutive dei mezzi materiali (38) (40), unite alle condizioni iniziali e alle condizioni di regolarità all'infinito. Così come accade per le equazioni del campo elettromagnetico nel vuoto, le equazioni (42) (47) nei punti regolari (o le equivalenti (31) (35)) non sono tutte indipendenti.

22 12 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica L equazione (33) (o l equivalente (44) per i punti regolari) descrive il fenomeno dell induzione elettromagnetica secondo il quale, in presenza di campi magnetici variabili nel tempo, la circuitazione del campo elettrico è, in generale, diversa da zero. È, questo, uno dei fenomeni più importanti dell'elettromagnetismo: conseguenza immediata è che l'integrale di linea di E, esteso a una linea γ AB, (la tensione elettrica lungo γ AB ), in presenza di un campo magnetico variabile nel tempo, dipende, oltre che dagli estremi A e B, anche dal cammino di integrazione. Quando in una regione dello spazio esiste un campo magnetico variabile nel tempo, ad esso è associato sempre un campo elettrico rotazionale. Il termine della densità di corrente di spostamento ' t nell'equazione di Ampère-Maxwell (34) (o l'equivalente (46) per i punti regolari) descrive il fenomeno dell'induzione magnetoelettrica, secondo il quale la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa γ non dipende soltanto dal flusso di J, ma anche dal flusso della derivata di D rispetto al tempo. L'accoppiamento tra E e H, prodotto dai fenomeni di induzione elettromagnetica e magnetoelettrica, è all'origine del fenomeno della propagazione del campo elettromagnetico 3. In presenza di mezzi conduttori c'è un altro meccanismo che accoppia il campo elettrico al campo magnetico: un campo elettrico variabile nel tempo produce nei conduttori correnti che generano un campo magnetico, il quale a sua volta, essendo variabile nel tempo, contribuisce al campo elettrico. Questo accoppiamento è all'origine del fenomeno della diffusione del campo elettromagnetico nei conduttori (correnti di Foucault). Osservazione In tutti i sistemi elettromagnetici artificiali, cioè quelli che l'uomo costruisce, le sorgenti reali (cioè quelle che è possibile fissare a piacere attraverso manopole ), non sono né le cariche libere, né le correnti libere, ma i campi elettromotori, oppure le tensioni del campo elettrico tra determinate coppie di punti e lungo certi cammini (si pensi, ad esempio, alle prese di corrente nelle nostre abitazioni, nei laboratori, etc; in questo ultimo caso le sorgenti entrano in gioco tramite le condizioni al contorno). Le cariche e le correnti libere che nascono nei corpi conduttori e sulle loro superfici sono incognite del problema, assieme al campo elettromagnetico. La progettazione di un sistema elettromagnetico si riduce, in ultima analisi, proprio alla determinazione della struttura fisica del sistema e delle sorgenti reali che realizzino determinate configurazioni di cariche, correnti e campo elettromagnetico. 0.4 Equazioni di Maxwell in regime stazionario Quando il campo elettromagnetico è stazionario (ciò si verifica se le sorgenti sono costanti nel tempo e i transitori si sono estinti) il modello matematico si semplifica notevolmente. Le equazioni del campo elettrico e del campo di corrente si disaccoppiano da quelle del campo magnetico perché tutti i termini che compaiono sotto derivata temporale nelle equazioni di Maxwell si annullano: 3 A questo proposito vedi G. Franceschetti, Campi Elettromagnetici (Boringhieri, Torino 1983).

23 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 13 punti regolari div' = ρ lib rot( = = div- lib 0 div% = 0 rot+ = - lib punti di discontinuità Q = σ ' 2 ' 1 lib Q ( 2 ( 1 = Q = Q = % 2 % 1 0 Q = - slib (48) (49) Osserviamo subito che il vettore - lib figura come incognita nelle (48), laddove, invece, appare come sorgente del campo magnetico nelle (49). Come poi vedremo, le equazioni (48) consentono di determinare il campo elettrico e il campo di corrente una volta assegnate le sorgenti, mentre le equazioni (49) consentono di determinare il campo magnetico prodotto da quel campo di corrente Proprietà del modello stazionario Nel regime stazionario, il campo elettrico è irrotazionale nelle regioni dello spazio in cui è regolare rot ( =, (50) ed è conservativo rispetto alla circuitazione, cioè: ( Wdl = 0 γ (51) per ogni curva chiusa orientata γ. Pertanto il campo elettrico in regime stazionario può essere sempre espresso attraverso il gradiente 4 di un potenziale scalare ϕ=ϕ(p), il cosiddetto potenziale elettrico scalare, ( = ϕ. (52) Pertanto per la tensione elettrica v γ abbiamo v γ = ( Wd O = ϕ $ ϕ %, (53) γ ed è indipendente dalla linea γ che connette i punti $ e %. Il campo di densità di corrente stazionario è solenoidale nelle regioni dello spazio in cui è regolare ed è conservativo rispetto al flusso, cioè: Σ - lib QdS = 0 (54) per ogni superficie chiusa orientata Σ. Esso, quindi, può essere sempre espresso attraverso il rotore di un campo vettoriale T=T(P) (potenziale vettore elettrico) 4 Il gradiente di un campo scalare U (gradu) è un campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω in cui il campo scalare U è definito, un punto P 0 di Ω, e una generica retta orientata s passante per P 0 e un altro punto P di essa. Si faccia tendere a zero la distanza d(p, P 0 ) tra P e P 0. Il limite per d(p, P 0 ) 0 del rapporto incrementale > UP U P dp P 0 (se esiste ed è finito), al variare di s, corrisponde alla componente, secondo le direzione s, di un vettore univocamente individuato. Esso è il gradiente di U in P 0.

24 14 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica - lib = rot7. (55) Il campo magnetico H è irrotazionale soltanto nelle regioni prive di correnti libere, mentre non è conservativo rispetto alla circuitazione. Si ha infatti: + Wdl = i γ γ (56) dove γ è una qualsiasi curva chiusa orientata e i γ è la corrente libera che circola attraverso una qualsiasi superficie S γ aperta che ha come orlo γ (la superficie è orientata concordemente con il verso scelto per γ secondo la regola del cavatappi) i γ = - lib QdS. (57) S γ Sono infinite le superfici S γ che hanno γ come orlo. Quale scegliere? Una qualsiasi, poiché il flusso di - lib è indipendente dalla particolare superficie scelta, essendo il campo di corrente stazionario conservativo rispetto al flusso: i γ dipende unicamente dalla curva γ. Questo è il motivo per cui si usa l'espressione corrente (o flusso) concatenato con γ. Infine il campo magnetico B, come già abbiamo messo in evidenza, è sempre conservativo rispetto al flusso, anche quando i campi sono variabili nel tempo. Pertanto esso può essere sempre, e non solo nel caso stazionario, espresso attraverso il rotore di un campo vettoriale A=A(P) (potenziale vettore magnetico) % = rot$. (58) Per ottenere modelli matematici chiusi, alle leggi dei campi stazionari bisogna aggiungere le relazioni costitutive dei mezzi materiali, nonché opportune condizioni al contorno. In letteratura, vengono trattati separatamente i sistemi stazionari in cui circolano correnti e quelli in cui, pure essendovi conduttori in presenza di campi elettrici, le correnti sono assenti. Il primo caso è descritto dal modello del campo stazionario di corrente. Esso è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono - lib ed E in un sistema fisico fatto di conduttori in cui circolino correnti e isolanti. Il secondo caso è descritto dal modello del campo elettrostatico. Esso è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono il campo elettrico in un sistema fisico fatto ancora di materiali conduttori e isolanti, in cui, questa volta, non vi siano correnti (le cariche sono, cioè, ferme) Modello della conduzione stazionaria Il modello del campo stazionario di corrente è costituito dalle equazioni: punti regolari punti di discontinuità rot ( =, Q (( 2 ( 1) =, (59) div - = 0, Q ( - 2-1) = 0, (60)