{ Teorema di Rouché -Capelli Un sistema di equazioni lineari A x=b ammette soluzioni se e solo se r (A)=r ( A b).

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1 Modulo di Geometria e Algebra 13 Luglio 215 Esercizio 1 Si discuta la compatibilità del seguente sistema e si determinino le sue soluzioni al variare di k R 2 k)x= x+2 k) y+4 2 k)t= x+2 y+1 k)z +4t= x+2 y 2 z+4 t=1 k Teorema di Rouché -Capelli Un sistema di equazioni lineari A x=b ammette soluzioni se e solo se r A)=r A b). 1 2 k 4 2 k A=2 k ) 1 2 k 4 2 k A b)=2 k 1 k) La matrice A del sistema è una matrice di ordine 4, quindi avrà al massimo rango 4 r A) 4). La matrice completa A b) è una matrice 4 5, quindi avrà al massimo rango 4 r A b) 4). r A) r A b) 1 2 k 4 2k det A)=2 k =, k R infatti C 4 =2C 2 Affinché il sistema abbia soluzioni occorre che il Studiamo il seguente minore di ordine 4 r A b) 4, 1 2 k det A)=2 k 2 k) k k= 2 1 k) 2 1. per k 1,k 2, r A)<4=r A b), per il Teorema di Rouché Capelli il sistema non ammette soluzione. 2. Per k=1, otteniamo la seguente matrice completa: A b)= r A)=3=r A b), infatti il minore per il Teorema di Rouché Capelli il sistema ammette = 1 ) soluzioni, ottenibili risolvendo il seguente sistema: x= x= x+ y+2t= y= 2α x+2 y+4t = z= x+2 y 2 z+4 t= t=α

2 3. Per k=2, otteniamo la seguente matrice completa: 1 A b)= ) r A)=3=r A b), infatti il minore per il Teorema di Rouché Capelli il sistema ammette = 1 soluzioni, ottenibili risolvendo il seguente sistema: x= x= y= x+2 y z+4t= 1 2 2α x+2 y 2 z+4t= 1 z=1 t =α Esercizio 2 Data la matrice : A= ) a. determinare l'immagine e il nucleo di f ; Sia f :V W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali. Il nucleo di f è il sottoinsieme di V costituito da tutti i vettori che vengono mandati nel vettore o W da f. Ker f )= v V f v)= o } L'immagine di f è il sottoinsieme di W, definito nel seguente modo: Im f ) = w W f v)= w, v V } Si dimostra che Im f ) è un sottospazio vettoriale di W. Im f ) = w W w=a 1 f e 1 )+a 2 f e 2 )+ +a n f e n ), a 1, a 2,, a n R } Nel nostro caso: Im f ) = w R 3 w=a,,1)+b,1,)+c1,,), a, b,c R } L'immagine è il sottospazio di W, generato dalle colonne della matrice A. Il rango della matrice A è 3, infatti 1 1, 1 dim Im f ) ) = 3 Teorema della nullità più rango Sia f :V W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali, con dimv )=n. Allora Ker f ) e Im f ) hanno dimensione finita, e Dal teorema della Nullità più Rango ricaviamo che Il Ker f ) è costituito soltanto dal vettore o. dim V ) = dim Ker f ) ) + dim Im f ) ) dim Ker f )=3 3=. b. verificato che A è diagonalizzabile, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tale che D= P 1 A P. A è diagonalizzabile perché A= A t

3 Cerchiamo gli autovalori di A: Uno scalare λ è un autovalore della matrice A M n R) se e soltanto se: A λ I= λ 1 1 λ 1 λ =1 λ ) λ 1 1 λ =1 λ )λ 2 1) autovalori: λ =1, λ= 1, m a 1)=2=m g 1), m a 1)=1=m g 1). per determinare gli autovettori, basta risolvere la seguente relazione vettoriale: nel nostro caso: per per λ =1, otteniamo il sistema: A λ I ) v= o λ 1 ) x ) 1 λ y = ) dove v x, y,z) R 3, v o. 1 λ z ) x ) y = ) x z= z= x z v x, y, x)=x,, x )+, y,)=x1,, 1)+ y, 1, ) λ = 1, otteniamo il sistema: v x,, x)= x1,, 1) autovettori Determiniamo le matrici D e P: 1 1 1) x ) 2 y = ) z= x y= 1 z v 1 1,, 1), v 2, 1, ), v 3 1,, 1) In pratica, quando una matrice A è diagonalizzabile, la matrice D= P 1 A P diagonale è costituita dagli autovalori di A, mentre la matrice di passaggio P è quella avente come colonne gli autovettori di A. c. classificare la conica associata alla matrice A. v 1 v 2 v 3 P= ) D= 1 1 1) det A)= 1 1 conica non degenere. 1 det A 33 )= = La conica è una parabola. 1

4 Esercizio 3 Data la retta r : 3 x +4 y= e il punto P 3, 4), determinare: a. la proiezione di P sulla retta r ; determiniamo la retta passante per P e perpendicolare ad r proiezione: H : x=3+3t y=4+4 t 3 x+4 y= s : x=3+3t y=4+4t 33+3t )+44+4t )= t= 1 x= y= b. la circonferenza di centro P e tangente alla retta r ; Il raggio della circonferenza richiesta è la lunghezza del segmento d P, r) Pertanto l'equazione della circonferenza è: c. le rette passanti per P che formano un angolo di r=d P,r)= =5 x 3) 2 + y 4) 2 =25 π 4 con la retta s : 2 x+ y+1=. Si definisce angolo tra due rette r : a x+b y+c=, s : a' x+b' y+c ' = l'angolo formato dai vettori direzione r, s ossia: Scriviamo il fascio di rette con centro P cosϑ)= r s, dove cosϑ) 1; ϑ [, π ] r s a x 3)+b y 4)= cos π 4 )= 2 a+b 1 5 a 2 +b 2 2 = 2a+b 5 a 2 +b 2 5a 2 +5b 2 =8 a 2 +2b 2 +8 a b 3a 2 3b 2 +8a b= a= 3b b=3a per a= 3 b, otteniamo 3 x y 5= per b=3 a, otteniamo x +3 y 15= Esercizio 4 Sono dati il punto P 1,2,3), il piano π : x+ y+2 z 3= e la retta r : x z= y+ z=2 equazioni della retta per P parallela a π e che interseca la retta r. Equazioni parametriche della retta s: determinare le s : x=1+l t y=2+mt z=3+n t vettore direzione s l, m,n) π : x+ y+2 z 3= vettore ortogonale n1,1,2) Sfruttiamo le condizioni di parallelismo retta piano: n s= l +m+2n= se r e s sono incidenti allora r e s sono complanari: s l, m,n) r 1,2, 1) P 1, 2,3) S,2,). SP= P S=1,,3)

5 l m n = 3l +2 m n= 1 l+m+2 n= 3l +2m n= l =5n m= 7n s 5, 7,1) Teoria s : x=1+5t y=2 7 t z=3+t 1. Dare la definizione di vettore. Due segmenti orientati AB e CD si dicono equipollenti se hanno: a. la stessa direzione giacciono su rette parallele) b. lo stesso verso c. la stessa lunghezza AB=CD). Definiamo vettore ogni classe di segmenti orientati equipollenti. Un vettore non cambia al cambiare del punto di applicazione. Un vettore è individuato da tre elementi: una direzione, un verso e un numero positivo, detto modulo. 2. Dopo aver definito la relazione di similitudine tra due matrici A, B M n R), dimostrare che due matrici simili hanno lo stesso determinante. Due matrici A, B M n R) si dicono simili se esiste una matrice non singolare M, tale che: due matrici simili hanno lo stesso determinante B=M 1 A M det B)=det M 1 A M )=det M 1 )det A)det M )= 1 det A)det M )=det A) det M )