TITOLO: Perché non basta saper contare? Il linguaggio matematico nella realtà

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1 TITOLO: Perché non basta saper contare? Il linguaggio matematico nella realtà Liceo Classico- Linguistico ARISTOFANE Classe V Ginnasio Sez. F ( PNI) Classe V Ginnasio Sez. G Prof.ssa Oliva Bruziches olivabruz@tiscali.it cell Prof.ssa Elena Dal Bello elena.dalbello@istruzione.it cell Domande: A cosa servono le equazioni? Come si risolvono le equazioni di primo grado? Come si può risolvere un equazione di grado 2 senza far uso di formule? Problemi diversi possono essere tradotti in una stessa equazione? Se l equazione ha più soluzioni, quali accettare? Ci possono essere più strade che portano alla risoluzione di un problema? Qual è la migliore? A cosa servono i sistemi di equazioni? Come si risolvono? I sistemi ci aiutano anche ad effettuare delle scelte? Comprensio ne durevole: Sviluppare ed utilizzare strategie per interpretare e risolvere problemi in svariati contesti Obiettivi Contenuti: Abili Abilità/tà/ Competenze: Identità ed equazioni di primo grado.. Grafico di rette nel piano cartesiano. Sistemi lineari: risoluzione per via algebrica e per via grafica. Problemi di primo grado. Problemi di scelta. Cognitive (1) Conoscere e saper applicare i criteri di equivalenza delle equazioni. (2) Saper risolvere sistemi di primo grado con il metodo opportuno (3) Saper rappresentare una equazione lineare come retta nel piano cartesiano anche con strumenti informatici. Saper dedurre l equazione di una retta dal suo grafico (4) Saper risolvere problemi reali, dai più semplici a quelli più complessi con eventuali operazioni di scelta, impostando equazioni di primo grado. Metacognitive (1) Capacità autoregolativa del proprio processo di apprendimento: autoriflessione sul senso e sullo scopo delle cose che si fanno e sulle strategie che si usano, e autovalutazioni. Abilità di altro tipo (1) Ipotizzare (2) Esemplificare (3) Connettere (4) Collaborare Disposizioni della mente

2 (1) Accogliere le sfide (2) Perseverare nonostante le difficoltà (3) Assumersi i rischi in modo responsabile (4) Controllare la propria impulsività Processo di costruzione della prestazione autentica di valutazione dell apprendimento 1. LA PRESTAZIONE Determinare la soluzione ottimale in un problema di scelta 2. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI METACOGNITIVI Determinare la soluzione ottimale in un problema di scelta Lo studente deve lavorare nella consapevolezza del proprio processo cognitivo: di ciò che sta facendo, del perché lo fa e di quando è opportuno farlo. Per ottenere questo dovrà indicare il perché di ogni operazione che compie. 3. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI DI GRUPPO Determinare la soluzione ottimale in un problema di scelta Lo studente deve lavorare nella consapevolezza del proprio processo cognitivo: di ciò che sta facendo, del perché lo fa e di quando è opportuno farlo. Per ottenere questo dovrà indicare il perché di ogni operazione che compie. Lo studente deve sostenere la prestazione autentica in modo autonomo. 4. LA PRESTAZIONE CON LE DISPOSIZIONI DELLA MENTE Determinare la soluzione ottimale in un problema di scelta Lo studente deve lavorare nella consapevolezza del proprio processo cognitivo: di ciò che sta facendo, del perché lo fa e di quando è opportuno farlo. Per ottenere questo dovrà indicare il perché di ogni operazione che compie. Lo studente deve sostenere la prestazione autentica in modo autonomo. Lo studente dovrà essere in grado di sostenere la prestazione autentica in modo autonomo, con attenzione e controllando la propria impulsività, essere preciso ed accurato riflettendo sulle conoscenze acquisite per adattarle alla nuova situazione. 5. LA PRESTAZIONE AUTENTICA Situazione: Ruolo: Scegliere per risparmiare : parola d'ordine per ogni consumatore attento alle proprie spese, specialmente nell attuale periodo di crisi. Ma come districarsi nella miriade di profili tariffari proposti in ogni settore, e in particolare come scegliere la tariffa telefonica più competitiva tra gli oltre 50 gestori presenti sul mercato italiano? Navigando in Internet con tuo padre, avete selezionato quattro profili tariffari A, B, C, D di una certa società telefonica per il tuo nuovo cellulare. Tuo padre ti chiede di scegliere la tariffa più conveniente in relazione alle tue esigenze e vuol sapere:

3 Destinatario: Prodotto: Disposizioni della mente: (1) Considerando le tariffe senza abbonamento, con e senza scatto alla risposta, qual è la durata minima di una telefonata (in minuti e secondi), perché sia più conveniente la tariffa con scatto alla risposta? (2) Considerando le tariffe senza scatto alla risposta, con e senza abbonamento, quanti secondi (o minuti) totali di conversazione in un mese sono necessari perché convenga la tariffa con abbonamento? (3) Il papà ti regala ogni mese una ricarica di 25 di traffico utile. Se ogni mese mandi ai tuoi amici 150 SMS, quale tariffa, tra la A e la D, ti permette di conversare più a lungo? E inviando solo 60 SMS? Tuo padre Rispondi per iscritto: (1) In modo chiaro e completo a tutte le richieste di tuo padre (2) Giustifica le tue affermazioni impostando e risolvendo un opportuno sistema di equazioni (3) Rendi chiare e trasparenti le tue conclusioni servendoti anche di grafici cartesiani Per convincere tuo padre della validità delle tue risposte, devi essere preciso ed accurato nei calcoli e nelle rappresentazioni grafiche, cercando di descrivere anche a parole il procedimento seguito. 6. LA PRESTAZIONE AUTENTICA Hai ricevuto in dono un cellulare e tuo padre ti chiede di scegliere, tra quattro tariffe A, B, C, D di una certa società telefonica, la più conveniente in relazione alle tue esigenze. Tuo padre vuol sapere: 1 Considerando le tariffe senza abbonamento, con e senza scatto alla risposta, qual è la durata minima di una telefonata (in minuti e secondi), perché sia più conveniente la tariffa con scatto alla risposta? 2 Considerando le tariffe senza scatto alla risposta, con e senza abbonamento, quanti secondi (o minuti) totali di conversazione in un mese sono necessari perché convenga la tariffa con abbonamento? 3 Il papà ti regala ogni mese una ricarica di 25 di traffico utile. Se ogni mese mandi ai tuoi amici 150 SMS, quale tariffa, tra la A e la D, ti permette di conversare più a lungo? E inviando solo 60 SMS? Tuo padre è piuttosto pignolo ma ha fiducia nelle tue abilità e competenze. Dopo aver schematizzato le informazioni in modo chiaro e comprensibile, descrivi a parole il procedimento che intendi seguire. Rispondi alle domande di tuo padre cercando di essere il più possibile preciso ed accurato nei calcoli e nelle rappresentazioni grafiche. Analizzando il grafico, evidenzia le scelte più convenienti. Non essere frettoloso, rivedi le tue risposte controllando la corrispondenza dei calcoli algebrici con quanto emerge dal grafico. Rubrica di valutazione Scala di qualità Analisi della situazione : Il sistema utilizzato per presentare le informazioni o i dati è disorganizzato Il sistema utilizzato per presentare le informazioni o i dati non è sempre chiaro o efficace Il sistema utilizzato per presentare le informazioni o i dati È appropriato E organizzato Il sistema utilizzato per presentare le informazioni o i dati è appropriato, organizzato e efficace

4 La presentazione delle informazioni o dei dati non è preciso, accurato o completo Le interpretazioni e le spiegazioni non sono chiare La presentazione dell informazione o dei dati in qualche cosa non è precisa, accurata e completa Le interpretazioni e le spiegazioni sono abbastanza chiare La presentazione delle informazioni o dei dati è per lo più precisa, accurata e completa Le interpretazioni e le spiegazioni sono logiche e per lo più chiare Presenta le informazioni o i dati in modo preciso, accurato e completo Interpretazioni e spiegazioni sono logiche e comunicate in maniera efficace Risoluzione del problema Non ha compreso il compito Non utilizza una strategia adatta e funzionale Non vi è alcuna evidenza dell esecuzione di un piano Dimostra di non avere alcuna connessione alla soluzione Non vi è alcuna evidenza di conoscenza critica Ha solo in parte compreso il compito Ha impostato una strategia adeguata Ha utilizzato solo in parte una strategia adeguata, ma non è sempre chiara Vi è stata una parziale connessione ad una soluzione appropriata Parziale applicazione di conoscenza critica Ha compreso il compito Ha sviluppato una strategia funzionale Ha utilizzato una strategia adeguata, ma non è sempre chiara La strategia sostiene una soluzione appropriata Riesce ad orientarsi e dimostra comunque conoscenza critica Ha analizzato e ha compreso con prontezza il compito Ha sviluppato una strategia efficiente e funzionale Ha applicato una strategia in modo efficace La strategia è a fondamento di una soluzione valida Rielabora in modo autonomo le conoscenze Presentazione del contenuto: grafici e tabelle Non so come dovrei utilizzare strumenti grafici per rendere chiara e concreta l argomentazione. Utilizzo in modo poco pertinente strumenti grafici Utilizzo in modo per lo più adeguato strumenti grafici per rendere più chiara e concreta la mia argomentazione. Utilizzo in modo corretto strumenti grafici per rendere più chiara e concreta la mia argomentazione. Precisione nel calcolo e nell uso dei simboli Molti errori di calcolo. Uso improprio del simbolismo matematico Calcoli non sempre precisi e uso per lo più adeguato del simbolismo matematico Calcoli per lo più corretti e uso adeguato del simbolismo matematico Calcoli corretti e uso adeguato del simbolismo matematico

5 Discussione dei risultati Non riesce a interpretare il grafico in relazione alle scelte più convenienti Interpreta in modo parziale il grafico senza evidenziare nessuna delle scelte più convenienti Interpreta in modo corretto ma parziale il grafico sostenendo solo alcune delle scelte più convenienti Interpreta in modo corretto e completo il grafico evidenziando le scelte più convenienti 7. PROGETTAZIONE DIDATTICA La progettazione didattica prevede questi apprendimenti: Esperienza per l apprendimento-1/: Agli alunni, suddivisi in gruppi di quattro, viene assegnato un problema di scelta simile alla prestazione autentica, per esempio stabilire tra due autovetture, B con motore a benzina e D con motore diesel, il tipo più conveniente in base non solo ai consumi ma anche alla tassa annua. Dopo un quarto d ora dedicato a una libera discussione in seno al gruppo, l insegnante solleciterà gli studenti, perplessi e smarriti, ad intervenire con intuizioni e osservazioni pertinenti con le quali dare avvio ad una prima analisi della situazione. L insegnante chiederà allora a ciascun gruppo di rispondere per iscritto a tre domande (30 minuti): 1) Avete sentito l esigenza di presentare i dati in modo organizzato e efficace, per esempio con una tabella? si come?.. no 2) I dati hanno permesso di ottenere qualche nuova informazione? Quali? 3) Di quali strumenti matematici ( già noti) pensate di avere bisogno per tradurre questo tipo di problema? (Ciò consentirà di dare concreta motivazione all applicazione di questi strumenti matematici e di percepire la disponibilità degli alunni ad affrontare nuove situazioni). Abilità/competenza (prerequisiti): Principi di equivalenza delle equazioni lineari; risoluzione di equazioni lineari numeriche intere e fratte; sistemi lineari: principi di equivalenza, metodi di risoluzione algebrici; conoscenza del piano cartesiano. Disposizione della mente: accogliere nuove sfide, non scoraggiarsi di fronte alle difficoltà, applicare conoscenze già possedute a nuove situazioni, apprendere nuove conoscenze anche attraverso il cooperative learning, essere precisi e accurati. Valutazione continua:partecipazione attiva alla discussione. Esperienza per l apprendimento-2/: Verifica dei prerequisiti tramite prova individuale (60 minuti): 1) Risolvi il seguente problema impostando opportune equazioni di primo grado: Una scatola contiene forchette a due e a tre punte. Sapendo che le forchette sono in totale 22 e che le punte in totale sono 54, calcola quante sono le forchette a due punte e quante quelle a tre.

6 1) Risolvi il seguente problema impostando opportune equazioni di primo grado: Una scatola contiene forchette a due e a tre punte. Sapendo che le forchette sono in totale 22 e che le punte in totale sono 54, calcola quante sono le forchette a due punte e quante quelle a tre. Indica con la lettera x le forchette a...punte Indica con la lettera y le forchette a...punte La prima equazione è: x + y =... La seconda equazione è: 2x +...y =... 2) Risolvi il seguente sistema algebricamente ma anche con metodo grafico: 4 x + y = x + y = ) Ricava le equazioni delle rette riportate nel seguente grafico: 4) Ricava le equazioni delle rette riportate nel seguente grafico: Osserva i punti di intersezione di ciascuna delle due rette con gli assi e scrivi le loro coordinate. Sostituisci le coordinate nella formula dell equazione di una retta passante per due punti. Abilità/competenza : Principi di equivalenza delle equazioni lineari; risoluzione di equazioni lineari numeriche intere e fratte; sistemi lineari: principi di equivalenza, metodi di risoluzione algebrici; conoscenza del piano cartesiano; risoluzione grafica di sistemi. Disposizione della mente: accogliere nuove sfide, non scoraggiarsi di fronte alle difficoltà, applicare conoscenze già possedute a nuove situazioni, essere precisi e accurati. Valutazione continua: Rubrica di valutazione predisposta dall insegnante con le voci: - Analisi della situazione

7 - Risoluzione del problema - Precisione nel calcolo e nell uso dei simboli Esperienza per l apprendimento-3/: Gli alunni, suddivisi in gruppi di tre o quattro, risolveranno un semplice problema di scelta lineare in due variabili per via grafica guidato da una serie di domande (45 minuti) Problema: Al di là delle tue preferenze, volendo considerare il consumo di acqua, è preferibile usare la doccia o fare il bagno? - Da cosa dipende tale consumo? Il consumo di acqua è funzione del.. - Come possiamo misurare in modo oggettivo il consumo di acqua? - Possiamo definire una grandezza idonea allo scopo? - Utilizzando tale grandezza, puoi scrivere le equazioni del consumo per la doccia e per il bagno. - Compila la tabella di ogni equazione e riportala sul piano cartesiano - Discuti ciò che viene evidenziato dal grafico. Abilità/competenza: saper costruire grafici cartesiani di funzioni lineari e saper risolvere graficamente un sistema di equazioni lineari; ricavare dai grafici il concetto di pendenza di una retta; saper interpretare il significato di intersezione di due grafici. Disposizione della mente: saper collaborare con i compagni in piccoli gruppi; apprendere nuove conoscenze anche attraverso il cooperative learning; consegnare il lavoro entro i tempi stabiliti; saper relazionare sui concetti appresi in modo chiaro e sintetico; essere precisi nel redigere i grafici e nell'esecuzione dei calcoli. Valutazione continua: Osservazione della classe durante il lavoro; negli ultimi 15 minuti ciascun gruppo potrà autovalutarsi in base alla soluzione proposta dall insegnante mediante la rubrica con tutte le voci. Esperienza per l apprendimento-4: Gli alunni, suddivisi in gruppi di due, risolveranno problemi tratti da situazioni reali che li porteranno a determinare relazioni di proporzionalità diretta e relazioni lineari di cui costruire la rappresentazione grafica ( 45 minuti). Un gestore di telefonia mobile A offre ai propri clienti la tariffa di 0,10 per ogni minuto di conversazione, con in più lo scatto alla risposta di 0,10. Il secondo gestore B offre invece la tariffa di 0,01 ogni 4 secondi di conversazione, senza scatto alla risposta. a) Analizza la situazione e descrivi i dati in modo sintetico b) Dopo aver compilato delle tabelle tempi- costi, rappresenta la situazione in un grafico cartesiano. c) Stabilisci in base al grafico quanti secondi di conversazione occorrono affinché si spenda la stessa somma con entrambe le tariffe. d) Stabilisci in base al grafico quale delle due tariffe è la più conveniente in relazione all uso che intendi fare del telefonino. e) Ricava le equazioni dal grafico e risolvi algebricamente il quesito ( c ) Abilità/competenza: saper elaborare una efficace strategia risolutiva per ogni problema e formalizzarla in sistema di equazioni lineari; saper risolvere un sistema lineare algebricamente e graficamente. Metacognizione: saper determinare analogie e differenze tra le rappresentazioni matematiche dei diversi problemi. Disposizione della mente: saper collaborare con i compagni in piccoli gruppi; consegnare il lavoro

8 entro i tempi stabiliti; saper relazionare sui concetti appresi in modo chiaro e sintetico; essere precisi nel redigere i grafici e nell'esecuzione dei calcoli. Valutazione continua: Osservazione della classe durante il lavoro; negli ultimi 15 minuti ciascun gruppo potrà autovalutarsi in base alla soluzione proposta dall insegnante mediante la rubrica con tutte le voci. Esperienza per l apprendimento-5/: Risoluzione individuale di un questionario che richiede discussione sui dati dei problemi proposti ( 60 minuti) 1) Considera i seguenti problemi : a) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 20 e che il triplo del maggiore supera il triplo del minore di 60. b) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 20 e che il triplo del maggiore supera il triplo del minore di 50. c) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 20 e che il triplo del maggiore supera il doppio del minore di 50. d) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 20. Quale tra essi risulta determinato, indeterminato, impossibile? Giustifica la tua risposta anche con grafici cartesiani. Completa: La condizione necessaria affinché un problema sia determinato è che i dati in esso contenuti permettano di scrivere tante.. quante sono... ; questa condizione è sempre.. per determinare in modo univoco la soluzione. 2) Considera il seguente problema: Il perimetro di un rettangolo è 50 cm; trova la sua area. a) Perchè questo poblema è indeterminato? b) Aggiungi i dati mancanti in modo che risulti determinato ( e risolvilo!) c) Aggiungi i dati mancanti in modo che risulti impossibile Abilità/competenza: capacità critica, controllo dei processi; Disposizione della mente: essere precisi nell'esecuzione dei compiti assegnati; consegnare il lavoro entro i tempi stabiliti; saper relazionare sui concetti appresi in modo chiaro e sintetico; essere precisi nel redigere i grafici e nell'esecuzione dei calcoli. Saper cogliere e accettare in modo critico le differenze tra problema reale e modello matematico. Valutazione continua: Autovalutazione e valutazione mediante rubrica di valutazione con tutte le voci. Osservazione della classe durante il lavoro. Esperienza per l apprendimento-6/: A ogni studente sarà richiesto di risolvere il problema proposto nell esperienza 1 e di procedere all analisi dei risultati in relazione alla scelta migliore. Tua madre intende acquistare un automobile e ha individuato due modelli, un modello B a benzina e un modello D a motore diesel. Ti chiede di aiutarla a scegliere il modello più conveniente in base alle seguenti caratteristiche: La vettura D percorre in media 22 km con un litro di gasolio e richiede una tassa annua di 450.

9 La vettura B percorre in media 16 km con un litro di benzina e richiede una tassa annua di 120. Ogni litro di gasolio costa 1,21 mentre un litro di benzina costa 1,32. Tua madre ti pone le seguenti domande: a) Quanti Km deve percorrere in un anno per spendere la stessa somma usando le due automobili? b) Per un numero di Km maggiore quale delle due vetture è più conveniente? Dopo aver schematizzato le informazioni in modo chiaro e comprensibile, descrivi a parole il procedimento che intendi seguire. Rispondi alle domande di tua madre cercando di essere il più possibile preciso ed accurato nei calcoli e nelle rappresentazioni grafiche. Analizzando il grafico, evidenzia le scelte più convenienti. Non essere frettoloso, rivedi le tue risposte controllando la corrispondenza dei calcoli algebrici con quanto emerge dal grafico. Hai 60 minuti di tempo, puoi usare la calcolatrice, il righello e la carta millimetrata. Abilità/competenza: saper impostare e risolvere algebricamente e graficamente problemi analoghi a quelli dell esperienza 1; saper esporre e analizzare i risultati; metacognizione. Disposizione della mente: consegnare il lavoro entro i tempi stabiliti; saper relazionare sui concetti appresi in modo chiaro e sintetico; essere precisi nel redigere i grafici e nell'esecuzione dei calcoli; controllare in modo rigoroso il procedimento; saper interpretare e discutere i risultati. Valutazione continua: Osservazione della classe durante il lavoro. Per ciascun alunno rubrica di valutazione con tutte le voci. Autovalutazione e verifica delle risposte. Esperienza per l apprendimento-6/: Prestazione autentica con valutazione e autovalutazione di ogni studente tramite rubrica predisposta e resa pubblica. RISOLUZIONE A GRANDI LINEE Da completare!