Angius Anna Carla Licheri Daniele Monaco Emanuele Podda Francesco Puddu Alessio Saba Carolina Tedde Gregorio

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1 Angius Anna Carla Licheri Daniele Monaco Emanuele Podda Francesco Puddu Alessio Saba Carolina Tedde Gregorio

2 Per superficie minima si intende quella superficie che minimizza la propria area. E difficile non rimanere affascinati dalle forme eleganti e magiche che assumono le bolle di sapone, ma il segreto di questa magia è interamente racchiuso nelle equazioni matematiche che le descrivono.

3 una vera e propria superficie di area minima! Se si immerge in una bacinella contenente acqua e sapone un telaio di filo metallico, opportunamente piegato e richiuso, e lo si estrae, si ottiene una pellicola trasparente...

4 La pellicola ottenuta assume una forma di minima energia. Cioè, non necessita di essere alimentata per mantenere le sue caratteristiche, e che tale energia è proporzionale all area della sua superficie. Usando un anello, o un qualsiasi contorno piano, otteniamo una lamina piana, ovvero proprio la superficie di area minima per quel particolare contorno. La loro estensione è minore di ogni altra superficie avente lo stesso contorno.

5 Ma prima di parlare di superfici, è necessario risolvere, sempre con le bolle di sapone, un altro problema: Qual è la linea di lunghezza minima che collega i punti nel piano? Se i punti sono due, la soluzione è data dal segmento che li unisce. Se i punti sono tre e corrispondono con i vertici di un triangolo equilatero, la linea minima si trova congiungendoli con il centro della figura (qualsiasi altro percorso che unisce i vertici è più lungo di questo). Se i punti sono quattro e disposti nei vertici di un quadrato, la soluzione non è data dalle sue diagonali, ma la linea minima assomiglia ad una via di mezzo tra una X e una H.

6 Questo è ciò che avviene con le bolle di sapone su un piano bidimensionale. Ma se ci spostiamo su un piano tridimensionale? Dobbiamo prima dire che abbiamo delle diverse classi di superfici, tra le quali cercare il minimo. Se diamo delle condizioni sull omologia della superficie, possiamo prendere in esame superfici minime o connesse, o orientabili, o regolari, e queste, pur appartenendo ad una classe ridotta, sono comunque dei minimi locali e quindi realizzabili come bolle di sapone.

7 Prendiamo un contorno chiuso fatto di filo metallico, immergiamolo nell'acqua saponata ed estraiamolo delicatamente. Scopriremo che sul filo si appoggia una pellicola di sapone, che a seconda della forma del contorno assume forme diverse e spesso bellissime. Lamine di sapone Saper prevedere come si dispone la pellicola saponata costituisce un problema matematico noto come Problema di Plateau, dal nome del fisico belga J.A.F. Plateau ( ). Joseph Plateau

8 La lamina di sapone si dispone, in effetti, a formare una superficie la cui area sia la minima possibile tra quelle aventi quel dato contorno. Questo avviene perché la tensione superficiale della lamina saponata tende a ridurne il più possibile l'estensione. Il fenomeno è ben visibile nella figura, in cui si è usato un contorno costituito in parte da fili flessibili: i fili vengono flessi marcatamente verso l'interno dalle forze di tensione che tentano di ridurre la superficie della lamina.

9 Se il contorno è costituito da due cerchi paralleli sufficientemente vicini, la superficie che osserviamo non è il cilindro, come forse potremmo pensare. Osserviamo invece una superficie di rotazione chiamata catenoide. Infatti, se è vero che nella catenoide le curve verticali che costituiscono le generatrici della superficie sono più lunghe dei segmenti di retta che abbiamo nel cilindro, la nostra superficie è però più stretta al centro, e questo a conti fatti ci fa risparmiare area! Questo è un fatto matematico che i film di sapone conoscono alla perfezione. Catenoide

10 Del resto, i film di sapone sono anche perfettamente in grado di costruire una scala a chiocciola, senza bisogno dei disegni di un architetto: la superficie sotto si chiama elicoide. Lamine ecoidali

11 Se utilizziamo contorni più complicati, come ad esempio lo scheletro di un cubo (sotto), si formano più lamine che si incontrano soddisfacendo ad alcune condizioni geometriche: ad esempio, quando tre lamine si incontrano, formano sempre angoli di 120. Lamine in un telaio cubico. Le lamine non si dispongono sulle facce del cubo, ma si uniscono fra loro. Lamine in un telaio cubico. Bolla cubica centrale depositata con una cannuccia. Lamine in una piramide (tetraedro). Depositate una bolla al centro. Lamine fra due anelli unite da una lamina in comune.

12 Perché sono così importanti le superfici minime e la loro applicazione? L Allianz Arena di Monaco Abbiamo già detto che possiamo avere un riscontro reale, ma la loro importanza non consiste soltanto in questo. Altri esempi di superfici minime si possono incontrare sia in fisica (con lo studio sulle lamine saponate), sia in architettura. Ne sono un ottimo esempio le strutture reticolari di Otto Frei. In architettura, le superfici minime sono ideali nella costruzione di cupole e volte, perché ci avvantaggiano sia dal punto di vista energetico (in quanto non è necessario l utilizzo di travi di sostegno), sia dal punto di vista economico, perché dovendo coprire un area minima, è minore anche l utilizzo dei materiali. Uno degli esempi più famosi di applicazione delle superfici minime è la tenda che funge da copertura (detta tensostruttura: una membrana tesa con la struttura reticolare leggera) allo stadio olimpico di Monaco di Baviera, realizzata da Otto Frei, il quale aprì la strada allo studio delle superfici minime.

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