Elettromagnetismo. Teoria macroscopica del magnetismo nella materia. Lezione n Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano
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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Teoria macroscopica del magnetismo nella materia Anno Accademico 216/217
2 Discontinuità del campo magnetico Nello studio del campo elettrico avevamo osservato che il campo elettrico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di carica σ La componente normale del campo è discontinua: E 1n E 2n σ/ε Anche il campo magnetico è discontinuo quando si attraversa una densità superficiale di corrente Per il campo magnetico la discontinuità riguarda la componente tangenziale Consideriamo una densità di corrente superficiale K Consideriamo il cammino chiuso in figura Il senso di percorrenza del cammino e il verso di K sono legati dalla regola della vite destrorsa Applichiamo la legge di Ampère Assumiamo che il tratto verticale sia di lunghezza trascurabile C Otteniamo pertanto d l L L 1t 2t C dl μ J da inoltre Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 29 S S L J da Kdl KL L L μ KL μ K 1t 2t 1t 2t K L 1 2
3 Discontinuità del campo magnetico Studiamo adesso il comportamento della componente normale Dimostriamo che la componente normale si conserva Ricordiamo che nel caso del campo elettrostatico era la componente tangenziale che si conservava Consideriamo ancora una volta una densità di corrente superficiale K In questo caso consideriamo la superficie chiusa indicata in figura Utilizziamo la proprietà che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie è nullo d a S Assumiamo che il contributo della superficie laterale sia trascurabile A A 1n 2n Le due condizioni che abbiamo visto possono essere sintetizzate in un'unica relazione vettoriale Il verso di ˆn e il verso di K sono definiti μ K nˆ sopra sotto con la regola della vite destrorsa Osserviamo che K nˆ non ha componente normale alla superficie La componente normale di è continua 1n 2n K A 1 2 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 291
4 Discontinuità del campo magnetico Come per il campo elettrico anche per il campo magnetico si ha che il potenziale vettore è continuo In realtà c'è un'arbitrarietà Infatti abbiamo visto che il potenziale vettore A non è univocamente determinato La sostituzione A A + f dà lo stesso campo Utilizzando questa arbitrarietà si può sempre richiedere che A In questo caso si dimostra facilmente che la componente normale è continua Anche la componente tangenziale è continua Infatti per il teorema di Stokes A d l C A da S d a Se l'altezza del rettangolo scelto come cammino è infinitesima allora Φ Si dimostra come di consueto che Per finire si può dimostrare che A n A n 1 2 S μ K A A 1n 2n Φ A 1t A 2t K K L A 1 A 2 A 1 A 2 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 292
5 Esempio: campo del solenoide Verifichiamo le condizioni di discontinuità appena enunciate per un solenoide Consideriamo un solenoide infinito z Ci sono n spire per unità di lunghezza y La corrente di una spira I x Il campo di induzione magnetica è nullo all'esterno All'interno vale μ niˆz La corrente trasportata dalle spire può essere considerata una corrente superficiale parallela alla superficie del cilindro La normale alla superficie è il versore ˆρ Abbiamo pertanto La componente di perpendicolare alla superficie è nulla: ρ È nulla sia all'interno che all'esterno: è continua La componente di parallela alla superficie è z È nulla all'esterno ( z ) e vale z μ ni all'interno Abbiamo pertanto verificato che K nˆ ni φˆ ρˆ niˆz μ ni z ext zint K n μ ˆ sopra sotto ni φˆ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 293 K
6 Il campo H Il formalismo che abbiamo sviluppato fino ad ora permette di calcolare il campo magnetico quando si conosce la magnetizzazione M di un corpo ( ) A r ( ) μ ( ) μ J r K r b dv + da M J 4π r r 4π r r b V In questa espressione l'integrale di superficie è calcolato sulla superficie del materiale magnetizzato La magnetizzazione M(r) è diversa da zero Nella derivazione avremmo potuto estendere l'integrale a tutto lo spazio Il particolare il regioni in cui M(r) In questo caso l'integrale di superficie è nullo La formula diventa ( ) A r μ J 4π r S b ( r ) r dv K r M r n ( ) ( ) ( ) Osserviamo che in questo caso l'integrando non è sempre continuo Sulla superficie dei corpi magnetizzati la magnetizzazione M è discontinua Le derivate di una funzione discontinua producono delle funzioni singolari (δ di Dirac) che riproducono il contributo delle correnti superficiali μ 4π M r r r dv Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 294
7 1 μ Il campo H Il campo generato dalla magnetizzazione ha la stessa espressione matematica del campo generato da una corrente reale (vedi diapositiva ) ( ) A r μ J 4π r Possiamo pertanto includere il contributo della magnetizzazione nell'equazione di Maxwell che lega il campo alle correnti libere Abbiamo aggiunto il suffisso "f" per esplicitare quali sono le correnti dovute ad un reale trasposto di carica elettrica Introducendo l'espressione per J b otteniamo Definiamo il campo H ( r ) Notiamo che H non ha le dimensioni di Ha le dimensioni della magnetizzazione ( A m 1 ) b r μ J f dv Jb M ( J + J ) J + M f M Jf μ μ f b M f μ J H M H Jf μ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 295
8 Il campo H Il campo H ha nome diversi in letteratura Viene anche chiamato "campo magnetico" Nel nostro corso abbiamo sempre chiamato campo magnetico il campo Chiameremo il nuovo campo "campo H" Il campo H è analogo al campo D introdotto in elettrostatica Lega il campo alle sorgenti esterne eliminando la dipendenza esplicita dalle sorgenti indotte A differenza del campo D il campo H è molto utile ed è usato nelle applicazioni e nel lavoro sperimentale La ragione sta nel fatto che la grandezza fisica che si controlla per generare un campo magnetico è la corrente H J f Nel caso elettrostatico la grandezza fisica che si controlla sono le tensioni sui conduttori Il campo D è invece legato alle densità di carica reali che non sono facilmente controllabili D ρ f H i C f Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 296
9 Il campo H Come nel caso del elettrostatico anche adesso bisogna sottolineare che il campo H non può sostituire Per determinare completamente un campo vettoriale è necessario definirne sia il rotore sia la divergenza In generale la divergenza di H non è definita Dipende dalla magnetizzazione Pertanto le equazioni necessarie per risolvere il problema sono H J f f( H) Inoltre le opportune condizioni al contorno Se nel problema sono presenti più materiali occorre imporre le discontinuità dei campi alle superfici di passaggio da un materiale all'altro Ricaviamo le condizioni per il campo H Le condizioni per il campo sono state ricavate utilizzando le equazioni μ J Il rotore di H è formalmente identico al rotore di e porterà a condizioni sulla componente tangenziale di H analoghe a quelle di Abbiamo bisogno della divergenza di H Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 297
10 Il campo H Calcoliamo la divergenza di H H Otteniamo μ M H M H M La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di μ Per la componente normale calcoliamo il flusso di H attraverso la superficie di un cilindro di altezza trascurabile Abbiamo Contribuiscono solo le superfici circolari A Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 298
11 Suscettività e permeabilità magnetica Per risolvere il problema abbiamo pertanto bisogno di conoscere una relazione fra e H Abbiamo visto la relazione che permette di trovare M in funzione di Abbiamo preannunciato (diapositiva ) che la relazione corretta è Ricordiamo la definizione di H μ Definiamo la permeabilità magnetica del materiale μ μ (1 + χ m ) Otteniamo M χm μ NO! χm H M μ H+ μ M μ + μ χ m μh Se μ è indipendente dalla posizione il mezzo è omogeneo Se μ è indipendente da H il mezzo è lineare Se il mezzo è diamagnetico μ/μ < 1, χ m < Se il mezzo è paramagnetico μ/μ > 1, χ m > Per i materiali ferromagnetici μ μ(h) M H H H μ ( 1 χ ) + H m Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 299
12 Esempio: solenoide con nucleo Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χ m Le spire per unità di lunghezza sono n La corrente è I Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro Il campo è nullo all'esterno Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in figura (la corrente esce dal piano) H i C f nli Hl H ni μ ( 1 + χ ) H μ ( + χ ) Usando la permeabilità del mezzo m Osserviamo che nel vuoto si ha μ ni L'effetto del mezzo generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χ m ni La magnetizzazione è Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso l m M χ m H K M nˆ K χ ni m H 1 ni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 3
13 Ferromagnetismo Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle forze nei materiali ferromagnetici Facendo riferimento alle misure con il solenoide La forza è attrattiva e molto intensa La forza dipende linearmente dalla corrente La forza dipende solo dal gradiente del campo La forza si calcola utilizzando la formula ( ) F m Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m La dipendenza lineare della forza dalla corrente (dal gradiente del campo) nel caso dei materiali ferromagnetici indica che m non varia più con Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici La forza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo Infine osserviamo che i materiali ferromagnetici possono essere magnetizzati anche in assenza di campo È importante notare che il fenomeno dipende dalla temperatura In particolare il ferromagnetismo scompare al di sopra di una certa temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie T c ) F Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 31
14 Il campo di un magnete permanente Consideriamo un cilindro di materiale uniformemente polarizzato Non ci sono correnti di magnetizzazione all'interno dato che J b M Le correnti superficiali sono date da K M ˆ n Non ci sono correnti superficiali sulle basi del cilindro: C'è una corrente sulla superficie laterale: K M Il campo magnetico generato dalla corrente superficiale è quello generato da un solenoide di lunghezza finita ( ) A r μ 4π ( ) K r r r da K M ˆn M nˆ ˆn Osserviamo che e M non sono paralleli M Inoltre H / μ M Neppure H e M sono paralleli H Evidentemente non è solo a determinare a determinare la direzione dei dipoli / μ Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 32
15 Ferromagnetismo È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva 1 Kg di ferro subisce una forza di 4 N con / z 17 T/m ( ) F m 4 F m m z J / T La magnetizzazione corrispondente al momento magnetico m è m MV V ρ 1Kg 3 ( Kg/ m ) M Questo è il massimo valore della magnetizzazione del ferro (saturazione) Abbiamo anche detto che m Nμ N Dato che nel ferro ci sono circa atomi/m 3 concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni M J T m m m ρ V 1Kg 6 J T m 29 3 Elettroni per m 3 ρ N: 1 Kg Kg m 3 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 33
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