Potenziale vettore. f = soddisfa ancora l equazione precedente. (Invarianza di gauge)

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1 Ricordiamo le seguenti identità MAGNETOSTATICA Potenziale vettore ( f ) ( v) Poiché E U : U E B A : A B I potenziali U ed A non sono unici infatti U è definito a meno di una costante f mentre A A + f soddisfa ancora l equazione precedente. (Invarianza di gauge) f viene utilizzata per annullare il potenziale all infinito mentre f si può usare oltre che per annullare A' all infinito anche per annullare diva ' in tutto lo spazio. Per questo è sufficiente risolvere: A + f Equazione che ammette una e una sola soluzione una volta fissate le condizioni al contorno

2 Potenziale vettore A Se ammettiamo allora diventa molto semplice scrivere: ( A) A A J B A A J O meglio: equazione generale del potenziale vettore La cui soluzione formale è A( r) Questa è analoga all espressione V soluzione dell equazione di Poisson ( r) ( r ) J d 3 r 4π r r ( r ) ρ 3 d r 4πε r r V ρ ε

3 Esempio: filo indefinito percorso da corrente I B 4π + dl r r 3 I t π r A I r ln π r k Esempio:spira percorsa da corrente I dl r πr I 4 z B z 3 π r π + ( R ) 3/ k A I dl πr In r 4π r 4π r

4 Esempio3: Solenoide con n spire per unità di lunghezza Sull asse: B nii

5 In analogia con quanto avviene nei dielettrici, all interno dei materiali magnetici si trovano dei dipoli magnetici elementari che si orientano seguendo il campo magnetico esterno. I mezzi nei quali i dipoli magnetici si orientano parallelamente al campo esterno si dicono paramagnetici I mezzi nei quali i dipoli magnetici si orientano antiparalleli al campo esterno si dicono diamagnetici In alcuni mezzi permane un orientamento anche dopo che è stato rimosso il campo esterno, questi materiali si chiamano ferromagneti ed in essi la magnetizzazione è funzione non solo del campo presente ma anche della storia passata del mezzo (memorie magnetiche).

6 In analogia con quanto già fatto per i mezzi dielettrici possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell per il campo magnetico nei mezzi introducendo una densità di corrente microscopica del mezzo J m : B B B ( J + ) E, sempre in analogia con i dielettrici, introduciamo un vettore polarizzazione magnetica M come prodotto della densità di dipoli microscopici n per il valor medi del dipolo m M nm J m

7 Se interpretiamo i singoli dipoli come dovuti a delle spire elementari allora nel caso di magnetizzazione uniforme la densità di corrente J ms è confinata alla superficie, infatti i contributi interni al volume del materiale si cancellano. In questo caso la relazione con il vettore polarizzazione magnetica è: J ms M n Questo non avviene nel caso di magnetizzazione inomogenea per la quale vi è una densità di corrente residua internamente al materiale J mv. In questo caso la relazione con il vettore polarizzazione magnetica è: J M mv

8 Poiché le equazioni di Maxwell non sono adatte a descrivere le discontinuità dovute alle superfici utilizziamo le correnti di volume J mv. ( J + J ) ( J + M) mv B H B M H J E definendo otteniamo B In analogia con le corrispondenti equazioni per il campo elettrico D ρ E Notiamo che l equazione per H si può riscrivere in forma integrale H λ dl Σ J ds Dove le I i sono le correnti concatenate alla linea chiusa λ. Teorema di circuitazione di Ampere i Ii

9 E possibile scrivere una relazione semplice fra B,H ed M solo nei mezzi magnetici omogenei ed isotropi. Nel qual caso i due vettori sono paralleli e vale: Con B H rh M χ H χ m permeabilità magnetica, e suscettività magnetica m

10 MAGNETOSTATICA In presenza di una superficie di separazione fra due materiali magnetici possiamo ricavare delle relazioni analoghe a quelle per i vettori campo elettrico e induzione dielettrica. n n t t t t t t B B B B H H H H tan tan θ θ Legge di rifrazione del campo magnetico

11 Nelle sostanze diamagnetiche la suscettività magnetica è negativa ed indipendente dalla temperatura. Nelle sostanze paramagnetiche la suscettività magnetica è positiva e dipende dalla temperatura T e dalla densità ρ secondo la legge di Curie, dove C è una costante che dipende dalle proprietà atomiche. χ m Cρ T Nelle sostanze ferromagnetiche la suscettività magnetica dipende dalla storia passata del materiale. Si può disegnare una curva di isteresi. Le sostanze ferromagnetiche divengono paramagnetiche al di sopra di una temperatura critica detta temperatura di Curie.

12 Valori tipici della dl permeabilità relativa iniziale dm permeabilità relativa massima H c campo di coercizione M s magnetizzazione di saturazione w k lavoroper un ciclo (area della curva) T c temperatura di Curie