Capitolo 2 Spazi vettoriali Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti

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1 Capitolo 2 Spazi vettoriali Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 27

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3 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Dato un insieme, verificare se è un sottospazio (vedi esercizi nella pagina seguente e a pagina 5). Determinare di una base per un sottospazio (vedi esercizio a pagina 7). Determinare le coordinate di un vettore rispetto ad una data base (vedi esercizio a pagina 7). Algoritmo di completamento di una base (vedi esercizio a pagina 7). Determinare una base per lo spazio somma di due sottospazi (vedi esercizio a pagina 3). Determinare una base per lo spazio intersezione di due sottospazi (vedi esercizio a pagina 3). Esercizio di riepilogo, piuttosto elaborato...(vedi esercizio a pagina 8). 2

4 Esercizio Dato l insieme x V = x 2 R 3 x + 2x 2 = 3x + x 3 =, x 3 verificare se è un sottospazio vettoriale di R 3. Soluzione Dobbiamo controllare le 3 condizioni mostrate sulle slide teoriche, ovvero: R 3 V? Per rispondere a questa domanda, basta sostituire il vettore nullo all interno delle equazioni che definiscono V (notiamo subito come tali equazioni definiscano una retta passante per l origine...): V : { x + 2y = 3x + z = R 3 { + 2 = 3 + = Quindi possiamo concludere che V contiene il vettore nullo di R 3. Dati v, w V, v + w V? Per poter dimostrare la veridicità di tale affermazione non possiamo prendere dei vettori a caso appartenenti a V. Infatti tale proprietà deve essere verificata per tutti i vettori appartenti a tale insieme. Dobbiamo quindi dimostrare tale asserto facendo uso di due vettori generici V : v w v + w v = v 2, w = w 2 = v 2 + w 2 v 3 w 3 v 3 + w 3 Sostituendo tali vettori all interno delle equazioni cartesiane che definiscono V otteniamo: { (v + w ) + 2 (v 2 + w 2 ) = 3 (v + w ) + (v 3 + w 3 ) = { v + w + 2v 2 + 2w 2 = 3v + 3w + v 3 + w 3 = Riordinando i termini possiamo scrivere: { (v + 2v 2 ) + (w + 2w 2 ) = (3v + v 3 ) + (3w + w 3 ) = 3

5 Ora però si può subito notare che, siccome v e w appartengono a V, valgono le condizioni che definiscono tale insieme e quindi: {}}{{}}{ (v + 2v 2 ) + (w + 2w 2 ) = (3v + v 3 ) + (3w + w 3 ) = }{{}}{{} Pertanto anche la seconda proprietà è verificata. Dati v V e λ R, λv V? Per rispondere a questo quesito, dobbiamo ragionare come nel punto precedente, e quindi in via del tutto generale usando vettori generici: v λv v = v 2, λ R = λv = λv 2 v 3 λv 3 Sostituisco λv nelle equazioni cartesiane di V : { (λv ) + 2 (λv 2 ) = 3 (λv ) + (λv 3 ) = { λ (v ) + 2λ (v 2 ) = 3λ (v ) + λ (v 3 ) = {}}{ λ(v + 2v 2 ) = λ(3v + v 3 ) = }{{} Quindi anche l ultima proprietà è verificata. Possiamo concludere che V è un sottospazio vettoriale di R 3. NB. In realtà potevamo fin da subito affermare che V è un sottospazio di R 3 : infatti per come era definito V, non era nient altro che una retta passante per l origine. Come ben si sa dalla teoria, le rette e i piani passanti per l origine sono sottospazi di E 3 O, il quale è isomorfo a R3 ; quindi potevamo giungere subito a tale conclusione. E bene notare tuttavia che ciò vale solamente in R 3, in quanto in spazi vettoriali di dimensione superiore non vi è il concetto di retta o di piano (anche se si può parlare di iperpiano...). 4

6 Esercizio 2 Dato l insieme x V = x 2 x 3 R4 x + x x 2 + 3x 4 =, x 4 verificare se è un sottospazio vettoriale di R 4. Soluzione A prima vista l insieme V non sembra un sottospazio. Tuttavia prima di giungere a qualsiasi conclusione, dobbiamo dimostrarla. Ragioniamo come nell esercizio precedente: R 4 V? Per rispondere a questa domanda, basta sostituire il vettore nullo all interno dell equazione che definisce V : V : = Quindi possiamo concludere che V contiene il vettore nullo di R 4. Dati v, w V, v + w V? Per poter dimostrare la veridicità di tale affermazione non possiamo prendere dei vettori a caso appartenenti a V. Infatti tale proprietà deve essere verificata per tutti i vettori appartenti a tale insieme. Dobbiamo quindi dimostrare tale asserto facendo uso di due vettori generici V : v w v + w v = v 2 v 3, w = w 2 w 3 = v 2 + w 2 v 3 + w 3 v 4 w 4 v 4 + w 4 Sostituendo tale vettore all interno dell equazione che definisce V otteniamo: (v + w ) + (v + w ) (v 2 + w 2 ) + 3 (v 4 + w 4 ) = v + w + v v 2 + v w 2 + w v 2 + w w 2 + 3v 4 + 3w 4 = (v + v v 2 + 3v 4 ) + (w + w w 2 + 3w 4 ) + v w 2 + w v 2 }{{}}{{} = v w 2 + w v 2 = () 5

7 Ma l equazione () non è affatto vera! Possiamo quindi concludere che la somma di due vettori appartenenti a V restituisce un elemento che non appartiene più a tale insieme: pertanto, senza nemmeno verificare la condizione successiva, possiamo affermare che V non è un sottospazio. NB. In questo caso volevamo dimostrare nel modo più generico possibile che V è un sottospazio e siamo giunti alla conclusione che non lo è; se il nostro intento fosse stato quello di cercare di dimostrare che V non era un sottospazio, allora non avevamo bisogno di prendere due vettori generici appartenenti a V : sarebbe bastato cercare due vettori appartenenti a V che se sommati non rispettavano più le condizioni imposte dall equazione di V. Infatti, se per dimostrare la veridicità di una proposizione è necessario verificarla per tutti i casi possibili, per confutarla basta solamente un controesempio... 6

8 Esercizio 3 Si consideri il sottospazio: x V = y z R4 x + y + 2t = x + 3z =, t Determinare:. una base per V ; 2. dire per quali valori di h il vettore u = 6 h 2 2 Span (V ) ; 3. Completare la base B V trovata in modo da ottenere una base per R 4 ; 4. Scrivere i vettori della base canonica e =, e 2 =, e 3 =, e 4 =, nella nuova base trovata. Soluzione Punto () Per ottenere una base per V conviene prima ottenere una rappresentazione parametrica del sottospazio, così da poter vedere quali sono i vettori che ne compongono la base (è un po come quando si vuole ottenere l equazione parametrica di una retta così da poter vedere facilmente qual è il suo vettore direttore...). Tuttavia non sappiamo quale sia la dimensione del sottospazio e quindi quanti parametri servano per poter descrivere parametricamente V ; infatti anche se V è definito da due equazioni, abbiamo a che fare con un sottospazio di R 4 e pertanto non possiamo affermare che, siccome è definito da due equazioni, rappresenta una retta per l origine. Per poter ricavare la dimensione del sottospazio dobbiamo piuttosto sfruttare la relazione d oro mostrata sulle slide teoriche relative al capitolo, ovvero la formula: dim (V ) = dim ( R 4) n equazioni cartesiane di V = 4 2 = 2 7

9 Quindi per ottenere le equazioni parametriche di V dobbiamo aggiungere due parametri: { x + y + 2t = V : x + 3z = V : V : V : V : x + y + 2t = x + 3z = z = α t = β x + y + 2β = x = 3α z = α t = β x = 3α y = 3α 2β z = α t = β x 3 y z = α 3 + β 2 (2) t Dall equazione parametrica vettoriale (2) si nota subito che una base per V è data da: 3 B V = 3, 2 = {v, v 2 } Punto (2) Affinchè il vettore u V, esso deve poter essere scritto come combinazione lineare dei vettori componenti una base di V. In termini matematici questo 8

10 vuol dire che: 6 3 h 2 = α 3 + β = 3α h = 3α 2β 2 = α 2 = β α = 2 h = 6 4 = 2 α = 2 β = 2 Quindi il vettore u V se e solo se h = 2. Punto (3) Usiamo l algoritmo di completamento. Provo ad aggiungere il vettore e e mi chiedo: Span (v, v 2, e ) Span (v, v 2 ) =? cioè: 3 = α 3 + β 2 = 3α = 3α 2β = α = β α = 3? = 3α 2β α =? β = α, β R Siccome il sistema non è risolubile, possiamo concludere che e è un vettore 9

11 linearmente indipendente rispetto a Span (v, v 2 ), e quindi può essere tenuto.quindi ora ho il seguente insieme di vettori linearmente indipendenti: 3 3, 2, Tuttavia non abbiamo ancora ottenuto una base per R 4, pertanto dobbiamo continuare con l algoritmo di completamento. Prendiamo ora il vettore e 2 : e 2 = Span (v, v 2, e, e 2 ) Span (v, v 2, e )? cioè: 3 = α 3 + β 2 + γ = 3α + γ = 3α 2β = α = β γ = = F ALSO! α = β = α, β R Anche questo sistema è senza soluzione, vuol dire che possiamo prendere e 2 e aggiungerlo ai vettori della base che otterremo. Abbiamo ora 4 vettori linearmente indipendenti e pertanto possiamo fermarci: abbiamo una base di R 4 data da: 3 B = 3, 2,,

12 Punto (4) Come mostrato sulle slide di teoria, dobbiamo risolvere le seguenti equazioni vettoriali: e : = α β 2 + γ + δ = [e ] B = e 2 : = α β 2 + γ + δ = [e 2] B = e 3 : = α β 2 + γ + δ = 3α + γ = 3α 2β + δ = α = β = 3 + γ = 3 + δ α = β = γ = 3 δ = 3 α = β = Quindi: [e 3 ] = 3 3

13 e 4 : 3 = α 3 + β 2 + γ + δ = 3α + γ = 3α 2β + δ = α = β = γ = 2 + δ α = β = γ = δ = 2 α = β = [e 4 ] = ; 2 Quindi le coordinate della base canonica nella base B sono date da: [B C ] B =,, 3, 3 2 2

14 Esercizio 4 Si considerino i seguenti sottospazi: x V = y R 3 x + 3y = z x W = y R 3 2x + y + z = z determinare:. la dimensione e una base per V e W ; 2. il sottospazio V + W e una sua base; 3. il sottospazio V W e una sua base; 4. se la somma V + W è diretta; 3 5. a chi appartiene il vettore u = (se appartiene a V + W, a V W o a entrambi). Soluzione Punto () Siamo in R 3, quindi V rappresenta un piano per l origine in quanto è definito da un unica equazione cartesiana; la stessa cosa vale per W. Quindi dim (V ) = dim (W ) = 2. Per determinarne una base, dobbiamo ottenere le loro equazioni 3

15 parametriche: x = 3α x 3 V : y = α = V : y = α + β z = β z B V = 3, = {v, v 2 } Punto (2) x = α W : y = 2α β = W : x y = α z = β z B W = 2, = {w, w 2 } 2 + β Un insieme di generatori per V + W è dato dall unione delle due basi di V + W, cioè dall insieme: 3,, 2, }{{}}{{} B V B W Applicando l algoritmo di estrazione a tale insieme di vettori otteniamo una base per il sottospazio V + W : v Span (v 2 )? NO! (assieme formano una base per V!) w Span (v, v 2 )? 3 2 = α + β = 3α 2 = α = β α = 3 α = 2 β = 4

16 Possiamo concludere che w / Span (v, v 2 ). Siccome abbiamo ottenuto 3 vettori linearmente indipendenti in R 3, possiamo fermarci (w 2 sarebbe sicuramente linearmente dipendente agli altri 3 vettori, in quanto questi sono già una base per R 3, cioè il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che è possibile avere in R 3 ). Concludiamo quindi che V + W = R 3. Punto (3) Innanzitutto, sfruttando la formula di Grassman, determiniamo la dimensione dello spazio V W, così da poter sapere in anticipo quanti vettori costituiscono una sua base: dim (V ) + dim (W ) = dim (V W ) + dim (V + W ) dim (V W ) = dim (V ) + dim (W ) dim (V + W ) dim (V W ) = = Quindi una base per V W è costituita da un unico vettore, cioè è una retta in R 3. Effettivamente, essendo V e W due piani (siamo in R 3 ), non era difficile intuire tale risultato, e avremmo potuto fare a meno della formula di Grassman. Tuttavia è bene ricordare che ragionamenti geometrici di questo tipo sono impraticabili quando ci troviamo di fronte a sottospazi di spazi vettoriali di dimensione > 3 (tipo R 4 ). Per poter ottenere una base per il sottospazio intersezione V W dobbiamo applicare l algoritmo di estrazione di una base al seguente insieme di vettori: 3,, 2, }{{}}{{} B V B W e per ciascun vettore che viene scartato da tale insieme in quanto linearmente dipendente agli altri, è necessario trovarne una scrittura come combinazione lineare di tutti gli altri elementi: così facendo potremo poi trovare ciascun vettore della base V W. Dal punto precedente sappiamo che il vettore scartato è il vettore: w 2 = 5

17 Troviamone una scrittura come combinazione lineare degli altri vettori dell insieme {B V, B W } : 3 = α + β + γ 2 = 3α + γ = α 2γ = β γ = 3α = α 6α = β γ = 3 5 α = 5 β = Quindi abbiamo che: w 2 = 5 v + v w Il vettore che rappresenta una base per lo spazio intersezione è dato da: w 2 w = 5 v + v 2 = m cioè: = 3 + = 3/5 /5 5 Quindi una base per lo spazio intersezione è data da: B V W = 3/5 /5 Punto (4) La somma V + W non è diretta in quanto dim (V W ). 6

18 Punto (5) Per verificare se v appartiene ad uno dei due sottospazi piuttosto che all altro è necessario verificare che v ammetta una scrittura in coordinate in una base del sottospazio presa in questione. In altre parole, dobbiamo verificare che per V W esista una soluzione univoca alla scrittura: v = tm 3 3/5 = t /5 3 = 3 5 t = 5 t = t Dal sistema sopra mostrato si nota che non esiste una soluzione univoca nel parametro t: quindi v non può essere scritto in coordinate rispetto ad una base per V W e pertanto non appartiene a tale sottospazio. Ora in teoria dovremmo ripetere lo stesso procedimento anche per il caso di V + W ; tuttavia abbiamo constatato in precedenza che Span (V + W ) = R 3! Quindi sicuramente v Span (V + W ). 7

19 Esercizio 5 Dato il seguente sottospazio: V = {p (x) R 3 [x] p () = p (2)}, determinare:. una base per V ; 2. una base per R 3 [x] a partire dalla base trovata al punto ; 3. Trovare le coordinate del polinomio p (x) = x 3 + 2x 2 + nella nuova base trovata. Soluzione Punto () Se indichiamo con ax 3 + bx 2 + cx + d un generico polinomio appartenente a V, allora la condizione imposta dalla definizione di V può essere matematicamente espressa nel modo seguente: a () 3 + b () 2 + c () + d = a (2) 3 + b (2) 2 + c (2) + d a + b + c + d = 8a + 4b + 2c + d 7a 3b c = c = 7a 3b Quindi possiamo scrivere un generico polinomio di V come: p (x) = ax 3 + bx 2 (7a + 3b) x + d Prendendo ciascun coefficiente che moltiplica ciascun addendo del polinomio, otteniamo il vettore di coordinate: a [p (x)] BV = b 7a 3b d Quindi possiamo rappresentare ciascun polinomio appartenente a V in coordi- 8

20 nate rispetto alla base B V (ancora da determinare...) nel modo seguente: a a [p (x)] BV = b 7a 3b = 7a + b 3b + d d = a 7 + b 3 + d Quindi una base per V è data dall insieme di vettori: B V = 7, 3, Punto (2) = {p, p 2, p 3 } Per ottenere una base per R 3 [x], utilizziamo l algoritmo di completamento. Notiamo come, dato che ora abbiamo fissato una base, ci ritroviamo a lavorare con le coordinate, e quindi che non ci rendiamo nememno più conto di avere a che fare con uno spazio vettoriale di polinomi: Span (p, p 2, p 3, e ) = Span (p, p 2, p 3 )? = α 7 + β = α = β = 7α 3β = γ α = β = = 7 γ = 3 + γ Possiamo quindi concludere che Span (p, p 2, p 3, e ) Span (p, p 2, p 3 ) e che 9

21 quindi e può essere tenuto. Abbiamo ottenuto quindi una base per R 3 [x] data dai vettori di coordinate: B = 7, 3,, Punto (3) = {p, p 2, p 3, p 4 } Dobbiamo poter scrivere il polinomio p (x) = x 3 + 2x 2 + nella nuova base trovata. Quindi, definite con [p (x)] BC le coordinate del polinomio rispetto alla base canonica di R 3 [x], dobbiamo trovare la soluzione al sistema: 2 = α 7 + β 3 + γ + δ = α + δ 2 = β = 7α 3β = γ = α + δ β = 2 6 = 7α γ = δ = = 3 7 β = 2 α = 6 7 γ = Quindi: [p (x)] B = 6/7 2 3/7 2