SESSIONE B DINAMICA IDENTIFICAZIONE DEI COEFFICIENTI DINAMICI DI SISTEMI MECCANICI TRAMITE LA TECNICA DELLE FUNZIONI MODULANTI

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1 Assocazone Italana per l Anals delle Sollectazon (AIAS) XXXI Convegno Nazonale 8-2 Settembre 22, Parma SESSIONE B DINAMICA IDENIFICAZIONE DEI COEFFICIENI DINAMICI DI SISEMI MECCANICI RAMIE LA ECNICA DELLE FUNZIONI MODULANI C. Carmgnan, P. Forte, E. Rustgh Dpartmento d Ingegnera Meccanca, Nucleare e della Produzone, Unverstà d Psa, Facoltà d Ingegnera, Va Dotsalv 2, 5626 PISA E-mal: carm@ng.unp.t, p.forte@ng.unp.t, e.rustgh@ng.unp.t keywords: expermental dentfcaton, dynamc coeffcents, hydrodynamc bearng L obettvo del presente lavoro è quello d utlzzare l metodo delle funzon modulant, fnora adottato solo per l dentfcazone delle caratterstche d sstem elettrc ed elettronc, per l dentfcazone d sstem meccanc. A tale scopo è stata realzzata un attrezzatura per l dentfcazone d un semplce sstema ad uno e due grad lbertà. Il segnale d ngresso, come rumore banco, vene ntrodotto per mezzo d un attuatore pezoelettrco l quale mpone lo spostamento ad un estremo d una molla. Approprat sensor d spostamento rlevano lo spostamento mposto e quello conseguente della massa. Mnmzzando la dfferenza tra la rsposta del modello teorco, valutata nel domno del tempo, e la rsposta msurata del sstema reale sottoposto alla stessa ecctazone, s determnano coeffcent dnamc caratterstc del sstema. Prma d esegure le prove spermental, l processo dentfcatvo è stato smulato al calcolatore, valutando l errore al varare d dvers parametr. Il lavoro condotto ha permesso d mettere n luce, anche medante l confronto con altre tecnche, vantagg ed lmt della tecnca dentfcatva delle funzon modulant ed soddsfacent rsultat ottenut hanno portato ad estenderla anche all dentfcazone d sstem meccanc pù compless come cuscnett drodnamc d cu s rportano prm rsultat.

2 . INRODUZIONE La smulazone numerca d un determnato fenomeno fsco rchede, oltre ad un buon modello teorco che lo descrva, l dentfcazone spermentale de coeffcent del modello adottato, per poter prevedere e controllare l comportamento dnamco del sstema reale. Inoltre coeffcent real varano nel tempo e per l controllo del sstema può essere necessara un dentfcazone rpetuta. I metod d dentfcazone, ndpendentemente dal tpo d modello del sstema adottato, possono essere svluppat sa nel domno del tempo che delle frequenze. Mentre l dentfcazone nel domno delle frequenze mra n genere a dentfcare la funzone d trasfermento armonca del sstema, le tecnche d dentfcazone nel domno del tempo tendono a rcostrure l segnale partendo dagl andament temporal de segnal spermental. Il prncpo fondamentale delle tecnche d dentfcazone è quello d mnmzzare la dfferenza tra la rsposta analtca, valutata nel domno del tempo o delle frequenze, e la rsposta msurata del sstema reale sottoposto alla stessa ecctazone. Le metodologe per mnmzzare tale dfferenza sono molte ma tutte rconducbl ad un approcco d mnm quadrat. L dea d adottare le funzon modulant per l dentfcazone d sstem rsale agl ann sessanta, quando Shnbrot [] suggerì d applcare una trasformazone ntegrale per rdurre gl effett negatv del rumore. Successvamente molt rcercator hanno concentrato la loro attenzone su questa tecnca ed n partcolare sulla sua applcazone a sstem non lnear e sulla scelta del tpo d funzone pù effcace. Balestrno et al. [2] hanno proposto una tecnca per l dentfcazone d sstem contnu con rtard multpl n ngresso soggett a rtardo che prevede l utlzzo d funzon modulant del tpo splne. Questa tecnca ha mostrato seguent vantagg: a) l sstema d equazon dfferenzal che descrve l equlbro dnamco è sosttuto da un sstema d equazon algebrche; b) non c è bsogno d dervare l segnale; c) l dentfcazone è effettuata drettamente nel domno contnuo del tempo; d) la tecnca è robusta ne confront del rumore. Fnora questo metodo è stato adottato solo per l dentfcazone delle caratterstche d sstem elettrc ed elettronc dando ottm rsultat. L obettvo del presente lavoro è quello d utlzzarlo per l dentfcazone d modell meccanc a partre da un semplce sstema meccanco ad un grado d lbertà costtuto da una massa ed una molla per po estenderlo ad un sstema pù complesso costtuto da un rotore flessble supportato da un cuscnetto drodnamco lsco. Per quanto rguarda quest ultma applcazone, d notevole nteresse pratco, è noto che nella dnamca de rotor l cuscnetto drodnamco vene comunemente rappresentato analtcamente da 8 coeffcent lnearzzat, ma tale modello è del tutto prvo d valore se non dentfcato spermentalmente. Molt lavor sono stat dedcat alla determnazone spermentale de coeffcent dnamc de cuscnett [3-] con dverse tecnche nel domno del tempo e della frequenza, e dverse modaltà d ecctazone dell albero o, alternatvamente, della sede del cuscnetto: da orbte forzate [3,4], a forze armonche asncrone [4-6], a forze mpulsve undrezonal [7-9], a rumore banco []. Un problema comune a var metod è comunque la sensbltà al rumore e l applcabltà sul campo. 2. LA ECNICA IDENIFICAIVA DELLE FUNZIONI MODULANI Le funzon modulant F(t) sono funzon che godono delle seguent propretà:

3 Φ( t) Φ( t) = t altrment d Φ( t) () dt Φ () = Φ ( ) = dove è l perodo dell ntervallo d modulazone. La scelta delle funzon modulant è una scelta emprca. Se s consderano grupp d funzon modulant del tpo : Φ = ϕ j =,, (2) { } n n n, j, dove ϕ n,j è la funzone modulante d ordne j del gruppo d ordne n, Φ n. S ottene un gruppo d funzon modulant d tpo splne se s consdera come funzone modulante d ordne n la funzone: = ( N n n ϕ n, n ) δ ( t ) (3) = Il gruppo è ottenuto per successve ntegrazon d questa funzone detta funzone radce. Poché la funzone radce è costtuta da un nseme d mpuls, generalmente l ordne della funzone splne è scelto n modo tale da essere maggore dell ordne del sstema. Avendo gà a dsposzone un modello fsco che permette d descrvere l comportamento dnamco del sstema, m d y n d u b = a m n b = (4) = dt = dt s moltplcano ambo membr della () per Φ(t) e s ntegrano tra t e +t m d y n d u b Φ dt = a Φ( t) dt (5) dt dt = t+ t Integrando per part e consderando la propretà delle funzon modulant d annullars agl estrem del perodo s ha : m = t+ t b ( ) Φ ydt = a ( ) Φ u dt (6) = t + t ( ) n = t + che è un equazone algebrca ne parametr ncognt b, n cu compaono solo segnal, normalmente rumoros, e non le loro dervate. Per effettuare l dentfcazone s mpone un segnale d ecctazone (n genere rumore banco perché con alto contenuto d frequenze) agl ngress del sstema da dentfcare e s msurano le uscte del sstema. Effettuando un ntegrazone dscreta d Smpson s ottene un equazone algebrca per cascuna equazone dfferenzale. Ecctando l sstema per un tempo suffcentemente lungo e dvdendo dat acqust n sottontervall (della grandezza della cosddetta fnestra d dentfcazone) s possono ottenere molteplc equazon. Ottenendo pù equazon del necessaro è possble adottare la pseudonversa per rsolvere l sstema (approcco d soluzone a norma mnma). Un passo delcato n tale processo dentfcatvo è la scelta della fnestra d dentfcazone (). Infatt l operazone d ntegrazone del processo dentfcatvo costtusce un fltro passa-basso la cu frequenza d taglo è proporzonale a / ed è noltre strettamente legata al tpo d funzone modulante. Una fnestra pccola mplca una banda larga e qund s prendono n esame anche component del segnale dovute al rumore. Una fnestra grande mplca al t ( )

4 deator [2]. Fg. Funzon modulant contraro una banda stretta e qund con l rscho che alcune component del segnale sano soppresse. Gl autor suggerscono che una buona soluzone è quella d sceglere una fnestra dello stesso ordne d grandezza della costante d tempo domnante del sstema meccanco. La tecnca d dentfcazone è stata mplementata n un programma svluppato n ambente Matlab, adattando opportunamente un sorgente messo a dsposzone da suo 3. APPLICAZIONE A SISEMI MECCANICI 3. Il sstema a un grado d lbertà La prma applcazone consderata per provare l effcaca del metodo è l sstema meccanco pù semplce, costtuto da una massa, una molla ed uno smorzatore. Il metodo d dentfcazone con le funzon modulant necessta della defnzone del modello matematco rappresentante l sstema fsco. Fg.2 Schema del sstema ad grado d lbertà (a) e dspostvo spermentale (b) Percò, facendo rfermento allo schema d Fg.2, sono state fatte le seguent potes: a) le molle sono consderate avent massa concentrata alle estremtà, che s rcava medante un equvalenza energetca; n questo modo l modello terrà conto solamente della prma pulsazone naturale mentre n realtà, a causa della reale dstrbuzone d massa delle molle, l sstema presenta pù frequenze d rsonanza; la valdtà del modello utlzzato è legata dunque al fatto che le pulsazon natural superor alla prma, sano caratterzzate da ampezze d oscllazone trascurabl rspetto a quella fondamentale;

5 b) essendo lo smorzamento reale del sstema n parte steretco e n parte coulombano s consdera un coeffcente d smorzamento vscoso, equvalente dal punto d vsta dell energa dsspata. D conseguenza l equazone d equlbro rsulta : m x t) + c ( x x ) + k ( x x ) + c x + k x (7) eq o( o o 2 o 2 o = Applcando l metodo delle funzon modulant l equazone dventa m eq Φ x o ( t ) dt + c Φ ( x c 2 o Φ x x ) dt + k o dt + k 2 Φ( t) x Φ( t)( x o o dt = ( t ) x ) dt + A questo punto s mpone un rumore banco a x, s msurano gl spostament x o e medante ntegrazone s ottene un equazone lneare ne parametr dnamc ncognt, e molteplc equazon dvdendo l tempo d ecctazone n sottontervall. Per utlzzare questa tecnca, almeno uno de parametr dnamc deve essere noto; n tal modo gl altr parametr dentfcat saranno normalzzat rspetto al tale termne. Nel caso specfco, l unco parametro d cu era possble conoscere l valore abbastanza accuratamente era la massa equvalente. 3.2 Il sstema albero-cuscnetto drodnamco Al fne d dentfcare le caratterstche dnamche del cuscnetto drodnamco s è nzalmente pensato d adottare lo stesso approcco descrtto sopra utlzzando uno schema come quello d Fg.3, n cu è rappresentato un albero flessble supportato da due cuscnett d cu uno fludodnamco, recante una massa n prossmtà d quest ultmo. Inzalmente era stato potzzato d mporre uno spostamento del tpo rumore banco all albero tramte due attuator dspost a 9. A causa però della dffcoltà pratca d realzzare opportune nterfacce, s è optato per un segnale mpulsvo applcato con un martelletto nella mezzera dell albero. enendo presente tale schema, s consdera la seguente equazone d equlbro basata sul modello lneare del cuscnetto drodnamco lsco, accettable per pccol spostament dell albero, (8) cuscnetto drodnamco dsco pezoattuator sensor sensor Fg.3 Schema del sstema rotore/cuscnetto drodnamco

6 m x c + m y c xx yx c c xy yy x y k + k xx yx ka k k xy yy x = y x ka y 2 2 x y 3 3 ( α + ) xα F + ( α + ) y α F cx cy (9) dove termn al secondo membro rappresentano rspettvamente la forza ecctatrce agente sul cuscnetto trasmessa dall albero elastco, e la forza legata allo sblancamento del dsco rotante. S trascura l eventuale smorzamento nterno dell albero e la sua massa rspetto a quella concentrata sul supporto. Utlzzando le funzon modulant s arrva ad un sstema d 2 equazon lnear (molteplc consderando sottontervall temporal) ne parametr ncognt ossa ne coeffcent dnamc del cuscnetto e nello sblancamento statco del rotore. Per quanto rguarda parametr not, s può porre nota la massa equvalente e/o la rgdezza dell albero. Msurando gl spostament x, y, x 2, y 2, x 3 e y 3 e qund la deformata dell albero, è pratcamente nota la forza elastca da questo eserctata sul supporto da dentfcare. S procede po come sopra. 3.3 Smulazone della tecnca dentfcatva Al fne d verfcare l applcabltà della teora delle funzon modulant al problema concreto, e per ottmzzare parametr che regolano l funzonamento della tecnca d dentfcazone (perodo d camponamento de segnal d ngresso e d uscta e della fnestra d ntegrazone), prma d esegure le prove spermental, s è smulato l processo dentfcatvo al calcolatore, con programm svluppat n ambente Matlab/Smulnk. Applcando la trasformata d Laplace alle equazon (7) e (9), rspettvamente per l sstema massa/molla e per l sstema rotore/cuscnetto, sono state mplementate le relatve funzon d trasfermento nel programma d smulazone. Nel prmo caso è stato smulato un ngresso del tpo rumore banco, nel secondo sono state condotte smulazon sa con rumore banco che con segnale mpulsvo. I coeffcent de modell sono stat dentfcat con error trascurabl per le rgdezze, pù sensbl per quanto rguarda gl smorzament, e segnal n uscta sono stat rcostrut con error ntorno al %. Per smulare dsturb present ne sstem real, è stato anche smulato un dsturbo d tpo random per l sstema massa/molla ma l errore su parametr dentfcat s è rvelato poco sensble, mostrando la robustezza della tecnca. Spesso però dsturb real sono d altro genere, come ad esempo ngress perodc non prevst nel modello. Rsulta qund fondamentale, perché l metodo funzon, modellare almeno tutt fenomen dnamc d una certa rlevanza che ntervengono sul sstema n esame. 4. PROVE SPERIMENALI 4. Attrezzatura Per quanto rguarda l sstema massa-molla, è stata realzzata un apposta attrezzatura costtuta da una struttura rgda, a campana, (Fg.2) n cu è alloggata la massa d forma clndrca (49 g), le molle (rgdezza nomnale d 35 N/mm), l pezoattuatore, sensor d spostamento, l sstema d contenmento de movment lateral. L attuatore pezoelettrco è l P-84.4 della Physk Instrumente (corsa massma 6 mcron, forza = -N/+N, rgdezza 25 N/mcron). Gl spostament lateral sono contenut da un sstema d molle. Gl spostament assal della massa e dell estremtà della molla superore a cu è applcato l carco sono msurat

7 medante due sensor d dstanza a corrente parassta della Bently Nevada (33 NSV M Probe) con sensbltà 7.87 mv/µm. Per quanto rguarda l Fg.4 Foto del Rotor Kt/Whrl opton sstema rotore/cuscno fludodnamco, è stato utlzzato l Rotor-kt della Bently Nevada, nella opzone ol-whrl, che è costtuto da un albero d accao, d mm d dametro, lungo 45 mm, supportato da una bronzna orentable e da un cuscnetto trasparente n plastca acrlca a sostentazone drodnamca, con fludo colorato per evdenzare l meato. In prossmtà del cuscnetto è stato calettato un dsco da.8 kg e, come s può vedere anche dallo schema e dalla foto, sono stat utlzzat 6 sensor d spostamento, due per ogn sezone d msura. Attuator e sensor sono stat collegat ad un PC per mezzo d una scheda della Natonal Instrument (PCI-MIO-6E-4) e d programm d acquszone dat svluppat n ambente LabVIEW M. E stata adottata una frequenza d camponamento da a khz, e d attuazone d khz. 4.2 Rsultat dell dentfcazone spermentale In Fg.5 sono rportat segnal real e rcostrut medante l processo dentfcatvo dello spostamento della massa nel sstema a un grado d lbertà con relatvo errore ottenuto con la tecnca delle funzon modulant. Il tempo d prova è d 6 s. Il numero d fnestre ottmal è stato determnato sulla base della massma coerenza tra l segnale deale e quello dentfcato ed è rsultato essere 36. S è noltre notato che, prefltrando l segnale con un fltro passa basso Butterworth ordne 6 a 8 rad/s, l errore dmnuva. Per verfcare la bontà del sstema d msura s rporta anche l grafco della coerenza tra segnale n uscta e segnale n ngresso (Fg.6). Le rgdezze dentfcate delle due molle sono rsultate rspettvamente d 4.3 e 4.7 N/mm. E stato noltre confrontato l errore rscontrato nel segnale dentfcato con quello ottenuto per lo stesso sstema e gl stess dat spermental utlzzando apposte routnes svluppate con la Control oolbox d Matlab, basate sulle tecnche ARX (Fg.7). E' da notare che, mentre per dat non fltrat, l'ordne mnmo del modello ARX che permette l'dentfcazone è superore a quello del modello teorco adottato (ARX 44), con dat prefltrat può essere utlzzato anche un modello d ordne pù basso (ARX 22). Essendo la funzone d trasfermento corrspondente d grado pù basso, è possble n quest ultmo caso rsalre faclmente a parametr fsc del sstema. Come s può vedere comunque, la tecnca a funzon modulant, oltre a permettere l calcolo de coeffcent del modello, presenta un errore nella rsposta nferore.

8 (a) (b) (c) tempo [s] Fg.5 Spostamento della massa: segnale rcostruto (a), reale (b), dfferenza (c) frequenza [Hz] Fg.6 Coerenza tra segnale n uscta e segnale n ngresso tempo [s] Fg.7 Dfferenza tra segnale rcostruto e reale ottenuta con ARX 22 fltrato e ARX44

9 Il modello dentfcato è stata valdato utlzzando segnal d un altra prova spermentale. In Fg.8 è rportato l errore tra l segnale reale e quello ottenuto con l sstema dentfcato nella prova d valdazone tempo [s] Fg.8 Dfferenza tra segnale rcostruto e segnale reale nella prova d valdazone Per quanto rguarda l sstema albero/cuscnetto drodnamco s rportano n Fg.9 lo spostamento n drezone x dell albero al cuscnetto e n Fg. l grafco della coerenza tra tale spostamento e lo spostamento n corrspondenza dell applcazone del carco mpulsvo. La 5 (a) (b) (c) tempo [s] Fg.9 Spostamento x dell albero al cuscnetto: segnale rcostruto (a), reale (b), dfferenza (c) frequenza [Hz] Fg. Coerenza tra gl spostament x dell albero al cuscnetto e nel punto d applcazone del carco

10 prova è stata effettuata a 5 gr/mn, con una frequenza d camponamento d 36 punt/gro per una durata d 2 s. I dat sono stat fltrat con fltro passa basso a 25 rad/sec e l dentfcazone è stata eseguta con fnestre temporal. Gà da quest rsultat prelmnar, confrontando l segnale prodotto dal sstema dentfcato (a) e quello reale (b) e dall errore corrspondente (c), s osserva come l processo dentfcatvo abba avuto un esto soddsfacente. uttava s è rscontrata un eccessva sensbltà de coeffcent dentfcat alle fnestre temporal, che ha rchesto un pazente lavoro d regolazone. 5. CONCLUSIONI L ndagne svolta sull applcazone della tecnca delle funzon modulant all dentfcazone de parametr dnamc caratterstc d un sstema meccanco ha evdenzato, da un lato, la sua effcaca e accuratezza rspetto ad altr metod, dall altro però la necesstà d dsporre d una conoscenza profonda del sstema da dentfcare e d un modello completo. Qund, anche per la dpendenza de rsultat dalle fnestre temporal, la tecnca rsulta utlzzable da un utente partcolarmente esperto. BIBLIOGRAFIA [] Shnbrot M., On the analyss of lnear and non lnear system, rans. ASME, 79, pp , 957. [2] Balestrno A., Land A., San L., Parameter dentfcaton of contnuous systems wth multple nput tme delays va modulatng functons, IEE Proc. D, Contr. heory Appl., 47, pp. 9-27, 2. [3] Parkns D.W., Measured Characterstcs of a journal bearng ol flm, J.Lub.echnol., 3, pp.2-25, 98. [4] Casn M., Lactgnola P., Lsn G.G., on P., Determnazone spermentale delle caratterstche dnamche de cuscn, Quadern Pgnone 43, pp.3-4, 987. [5] Hsa S., Matsuura., Someya., Experments on the dynamc characterstcs of large scale journal bearngs, I. Mech. E., pp , 98. [6] Musznynka, A., Bently, D.E., Frankln, W.D., Hayashda, R.D., Identfcaton of modal parameters of rotatng systems usng perturbaton technques: part & 2, Proc. 2th Bennal ASME Conf. on Mech. Vb. and Nose, Montreal, Canada, September 7-2, pp. 7-8, 989. [7] Morton P.G., he dervaton of bearng characterstcs by means of transent exctaton appled drectly to a rotatng shaft, IUAM Symposum, Lyngby/Denmark, Aug.2-6, pp , 974. [8] Nordmann, R., Schollhorn, K., Identfcaton of stffness and dampng coeffcents of journal bearngs by means of the mpact method, I Mech E, pp , 98. [9] Zhang Y.Y., Xe Y.B., Qu D.M., Identfcaton of lnearzed ol-flm coeffcents n a flexble rotor-bearng system, Part I: Model and smulaton, and Part II: Experment, J. Sound and Vbraton, 52(3), pp , 992. [] Yasuda C., Kank H., Ozawa., Kawakam., Applcaton of random exctaton technque to dynamc characterstcs measurement of bearng, Int. Conf. on Rotordynamcs, oko, 986.