Appunti del corso di Controllo Digitale

Transcript

1 Università degli Studi di Siena Sede di Arezzo Corso di Laurea triennale in Ingegneria dell Automazione Appunti del corso di Controllo Digitale A cura di Gianni Bianchini

2

3 Indice Glossario, abbreviazioni e notazione 4 Capitolo 1: Introduzione Analogico vs. digitale Conversione analogico-digitale (A/D) Quantizzazione Filtri digitali Conversione digitale-analogico (D/A) Un primo approccio al progetto Capitolo 2: Sistemi lineari a tempo discreto Trasformata zeta Trasformata zeta di segnali campionati Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione di stato Stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Criteri di stabilità per sistemi a tempo discreto Risposta in frequenza Sistemi a tempo discreto in retroazione Stabilità interna di sistemi di controllo Capitolo 3: Sistemi a dati campionati Modellistica del campionamento Analisi dei sistemi a dati campionati Schemi a blocchi a dati campionati Oscillazioni interperiodo Equivalente campionato in rappresentazione di stato Capitolo 4: Campionamento e ricostruzione Spettro di Fourier di un segnale Spettro del segnale campionato Modello del ricostruttore ideale e teorema di Shannon Interpretazione in frequenza dello ZOH Capitolo 5: Realizzazione digitale di controllori analogici Scelta del passo di campionamento Progetto per discretizzazione Metodi di discretizzazione Mappatura dei poli Specifiche statiche Predistorsione in frequenza (prewarping) Matching poli zeri (MPZ) Scelta del passo di campionamento

4 5.8 Progetto del filtro antialiasing. Effetto sul passo di campionamento Capitolo 6: Sintesi nel dominio a tempo discreto Sintesi diretta nel discreto Scelta di della funzione di trasferimento ad anello chiuso Scelta del passo di campionamento nella sintesi diretta Capitolo 7: Progetto nello spazio degli stati Metodi nello spazio degli stati Raggiungibilità Allocazione degli autovalori Inseguimento del riferimento Capitolo 8: Stima dello stato e sintesi del regolatore Stima dello stato Osservabilità Osservatore asintotico Sintesi del regolatore (compensatore dinamico) Capitolo 9: Cenni di controllo ottimo Introduzione Controllo ottimo lineare quadratico (LQ) su orizzonte temporale finito Controllo LQ su orizzonte infinito Bibliografia 12 2

5

6 Glossario, abbreviazioni e notazione L : lineare NL : non lineare TC : a tempo continuo TD : a tempo discreto TI : tempo invariante (stazionario) S(S/M)I(S/M)O : (Single/Multiple) Input (Single/Multiple) Output R n : spazio dei vettori reali di dimensione n v R n : vettore di R n v : trasposto di v v : norma di v v p : norma p di v span{v 1,...,v m } : sottospazio di R n generato da v 1,...,v m deta : determinante della matrice A adj A : aggiunta della matrice A A 1 : inversa della matrice A rank A : rango della matrice A ker A : nucleo della matrice A o della trasformazione lineare associata ImA : spazio immagine della matrice A o della trasformazione lineare associata C : il piano complesso s C : numero complesso Re[s], Im[s] : parte reale ed immaginaria di s s : modulo di s arg[s] : argomento (fase) di s s : coniugato di s G(s) : C C : funzione di variabile complessa a valori complessi Res[G(s), s ] : residuo della funzione G(s) in s C R + : i numeri reali positivi, l asse dei tempi nel continuo f(t) : R + R : funzione reale del tempo (segnale a tempo continuo) F(s) = L[f(t)] : trasformata di Laplace della funzione f(t) N + : i numeri interi positivi, l asse dei tempi nel discreto {f k } : N + R : successione a valori reali (segnale a tempo discreto) F(z) = Z[f k ] : trasformata zeta della successione f k f k = f(kt) : sequenza dei campioni del segnale f(t) agli istanti kt Z[F(s)] = = Z[L 1 [F(s)] t=kt ] : trasformata zeta della sequenza dei campioni f k = f(kt) del segnale f(t) la cui trasformata di Laplace è F(s) S : il semipiano sinistro aperto di C, i.e. {s C : Re[s] < } a.k.a. la regione di stabilità di asintotica di Hurwitz (TC) S : la frontiera di S, i.e., l asse immaginario D : il disco di raggio unitario aperto di C, i.e. {z C : z < 1} a.k.a. la regione di stabilità asintotica di Schur (TD) D : la frontiera di D i.e., la circonferenza di centro l origine e raggio unitario 4 rect(x) : 1 per 1 x 1 e altrove

7 Capitolo 1 Introduzione Sommario. In questo capitolo vengono introdotti in modo elementare i componenti fondamentali di un sistema di controllo digitale, in modo da inquadrare nel suo complesso il problema del progetto e risolvere in modo intuitivo un semplice esercizio di sintesi. I concetti presentati verranno ripresi in dettaglio nei capitoli seguenti. 1.1 Analogico vs. digitale La teoria classica dei controlli automatici opera in un contesto completamente analogico. Tale teoria presuppone infatti che ciascun elemento del sistema di controllo (processo, controllore, sensori ed attuatori) sia costituito da un apparecchiatura che misura, elabora e genera in uscita grandezze variabili in un continuo di valori e con continuità nel tempo. I sistemi dinamici coinvolti sono dunque a tempo continuo (TC), qualunque sia la loro natura fisica, che può essere ad esempio meccanica, elettrica, fluidodinamica oppure ibrida. Le tecniche relative si riferiscono inoltre a sistemi di controllo lineari stazionari a parametri concentrati, descritti pertanto da equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti. Per tali sistemi è noto che la dinamica del processo, quella del compensatore e quella del sistema complessivo sono rappresentabili mediante funzioni di trasferimento nel dominio della trasformata di Laplace. (Fig. 1.1). Attuatori Sensori G(s) Processo C(s)? Unità di controllo Figura 1.1: Sistema di controllo analogico Le possibilità offerte dall impiego dei calcolatori elettronici programmabili fanno sì che i moderni sistemi di controllo siano realizzati in larga parte con tecnologia digitale. In questi sistemi il regolatore è costituito da un computer ed è pertanto in grado di elaborare soltanto grandezze di tipo elettrico, rappresentate con un numero finito di bit (quantizzate) e definite ad istanti di tempo scanditi da un segnale di sincronismo (clock); il calcolatore può essere quindi visto come un sistema dinamico a tempo discreto (TD) che opera con grandezze quantizzate.

8 2 All interfaccia tra il regolatore ed il processo è necessaria la presenza di dispositivi in grado di operare la conversione da grandezze a tempo continuo e variabili con continuità a grandezze a tempo discreto e quantizzate (conversione A/D, analogico-digitale) e viceversa (conversione D/A, digitale-analogico) (Fig 1.2). 11 D A Conversione D/A Attuatori Sensori 11 D A Conversione A/D Processo Unità di controllo Figura 1.2: Sistema di controllo digitale L impiego del calcolatore come elemento centrale del sistema di controllo ha come principale motivazione la notevole flessibilità di questi sistemi nella realizzazione di algoritmi di controllo sofisticati: si pensi alla relativa facilità con cui è possibile elaborare una funzione matematica complessa con un calcolatore elettronico digitale piuttosto che con un circuito ad amplificatori operazionali o, peggio ancora, mediante un sistema costruito con elementi idraulici o meccanici. Elenchiamo alcuni ulteriori vantaggi dell approccio digitale: possibilità di effettuare facilmente delle simulazioni, flessibilità ed adattabilità, indipendenza dalla natura dell impianto, affidabilità, unità di controllo poco soggetta a degrado/usura, minore sensibilità al rumore durante l elaborazione e la trasmissione delle grandezze. Alcuni problemi di natura sistemistica legati a questo approccio, quali la necessità di disporre di modelli discreti di sistemi intrinsecamente continui, la perdita di informazione dovuta al campionamento, la perdita di proprietà importanti quali la stazionarietà del sistema, l introduzione di ritardi nell anello di controllo dovuti all elaborazione, saranno discussi in dettaglio nel seguito del corso. Dal punto di vista tecnologico si evidenziano una maggior complessità generale dell architettura rispetto ad un sistema analogico e l uso irrinunciabile di apparati elettrici/elettronici.

9 3 1.2 Conversione analogico-digitale (A/D) Poiché il regolatore digitale può operare solo con segnali definiti ad istanti di tempo discreti, ovvero con sequenze di numeri, è necessaria la presenza di un dispositivo in grado di trasformare un segnale a tempo continuo in un corrispondente segnale a tempo discreto. Tale dispositivo rappresenta l interfaccia tra i segnali continui generati dall impianto ed i segnali elaborabili dal calcolatore ed è detto convertitore analogico-digitale, campionatore o più brevemente blocco A/D. Da un punto di vista matematico, il campionamento è l operazione che, data una funzione del tempo f(t) : R + R, fornisce la successione {f k } : N R ottenuta valutando f(t) agli istanti t k = kt per k =, 1,..., dove T > è un valore fissato detto periodo (o tempo, o passo) di campionamento, i.e., f(t) f k = f(kt), k =, 1, 2,... (1.1) I valori f k sono detti campioni di f(t) agli istanti t k = kt. L operazione di campionamento può essere rappresentata schematicamente dalla chiusura periodica di un interruttore come in Fig Come sarà illustrato in dettaglio nel seguito, la f(t) T f k = f(kt) Figura 1.3: Campionamento scelta del periodo di campionamento T riveste un ruolo fondamentale nel progetto di un sistema di controllo digitale. Si definiscono la pulsazione di campionamento ω s e la frequenza di campionamento f s rispettivamente come ω s = 2π T, f s = 1 T. (1.2) 1.3 Quantizzazione L elaborazione digitale dei segnali prevede la memorizzazione di questi all interno di strutture a precisione finita, siano esse in rappresentazione intera, in virgola fissa o in virgola mobile. Ciò implica un processo di quantizzazione, ovvero di approssimazione del valore di ciascun campione f k con un valore ˆf k rappresentabile nella struttura considerata. Come conseguenza di questo procedimento, vi sono intervalli di valori che vengono mappati in un unico valore (Fig. 1.4). Il formato di rappresentazione dei dati ed il numero di bit costituiscono due parametri fondamentali che influenzano le prestazioni del sistema digitale; l intervallo di valori rappresentabili in macchina risulta necessariamente limitato. Si osservi che la relazione tra f k e ˆf k non è una legge lineare. Pertanto, in linea di principio, ogni sistema di controllo digitale è un sistema dinamico non lineare. Salvo discuterne gli effetti a posteriori, l effetto non lineare introdotto dalla quantizzazione sarà trascurato nell esposizione che segue.

10 4 ˆf k f k Figura 1.4: Quantizzazione 1.4 Filtri digitali Si consideri il semplice schema di controllo digitale in Fig Come si può notare, esso costituisce un estensione del classico sistema di controllo in retroazione unitaria, dove P è l impianto (analogico) e C è il compensatore digitale, ovvero l algoritmo di controllo. Sono inoltre presenti i blocchi di conversione D/A e A/D. In questo schema, le funzionalità dei blocchi esterni al y(t) yk e k u k C D/A P A/D _ y k P d Figura 1.5: Sistema di controllo digitale riquadro tratteggiato vengono realizzate attraverso un calcolatore digitale. L algoritmo di controllo consiste nell elaborazione dei campioni della sequenza e k del segnale errore per ottenere la sequenza u k del segnale di comando da inviare all impianto. Il controllore C, che realizza questo algoritmo, è un sistema a tempo discreto, ovvero un operatore che agisce sulla successione di ingresso {e k } fornendo la successione di uscita {u k }. In generale tale sistema è dinamico, ovvero l uscita al generico istante k è funzione di più campioni della successione {e k } e non del solo campione relativo all istante k. Per evidenti ragioni fisiche, inoltre, l uscita ad ogni istante non può dipendere dall ingresso ad istanti futuri, il sistema è quindi supposto soddisfare la proprietà di causalità. Infine, la relazione ingresso-uscita può essere espressa sotto forma di regressione, ovvero per ogni k si assume che C operi secondo una legge del tipo u k = Φ C k (u k 1, u k 2,...,e k, e k 1, e k 2,...) (1.3)

11 5 e k C u k Figura 1.6: Filtro digitale dove Φ C k ( ), k =, 1, 2,... sono funzioni note. Nell analisi che segue, l attenzione sarà ristretta alla classe dei sistemi dinamici (filtri) lineari a tempo discreto, tempo invarianti (LTDTI) e scalari (SISO). Tali sistemi, come già noto, sono descritti da equazioni alle differenze ingressouscita a coefficienti costanti di ordine n della forma u k+n + a n 1 u k+n a u k = b m e k+m + b m 1 e k+m b e k (1.4) nonché da relazioni algebriche nel dominio della trasformata zeta, i.e., dove e C(z), detta funzione di trasferimento, è data da U(z) = C(z)E(z) (1.5) E(z) = Z[e k ], U(z) = Z[u k ] (1.6) C(z) = b mz m + b m 1 z m b z n + a n 1 z n a. (1.7) Osservazione 1.1 Nello schema in Fig. 1.5, anche il blocco tratteggiato P d, che rappresenta l insieme dell impianto, supposto lineare, e dei convertitori così come viene visto dal calcolatore, è di fatto un sistema dinamico a tempo discreto poiché genera la sequenza dei campioni dell uscita {y k } a partire da quella dei campioni del comando {u k }. Tale sistema è però di natura ibrida, in quanto contiene al suo interno elementi analogici, e quindi sarà necessario studiare se e sotto quali ipotesi possa essere descritto da un opportuno sistema LTDTI. Osservazione 1.2 È fondamentale notare che, seppure ogni sistema di controllo digitale lavori con grandezze campionate, la variabile che deve essere regolata è di fatto l uscita analogica (continua) y(t) del processo piuttosto che la sua versione campionata y k, poiché è attraverso y(t) che il sistema interagisce fisicamente con il mondo esterno. La sequenza y k è funzionale al solo calcolo dell azione di controllo e rappresenta l informazione di cui il compensatore digitale dispone per realizzare la regolazione di y(t). È facile intuire che, in generale, la sequenza y k contiene una quantità d informazione inferiore a quella contenuta nell intera evoluzione del segnale analogico y(t), inoltre i segnali di riferimento possono essere elaborati solo in versione campionata (la sequenza yk nel sistema considerato); questo problema è di importanza cruciale nei sistemi di controllo che integrano elementi analogici e digitali e sarà analizzato con attenzione in seguito. 1.5 Conversione digitale-analogico (D/A) In ogni sistema di controllo digitale, è necessario convertire il segnale campionato ottenuto come uscita del regolatore in un segnale continuo, in modo che sia possibile applicarlo al sistema fisico

12 6 u h (t) u 2 u 1 u T 2T t Figura 1.7: Mantenitore di ordine zero (ZOH) da controllare. Si deve cioè generare un segnale continuo u h (t) da applicare all impianto a partire dal segnale discreto u k fornito dal controllore. Naturalmente, la costruzione del segnale u h (t) a partire dalla sequenza u k deve avvenire in modo causale, ovvero ad ogni istante tale segnale non può essere funzione dei campioni che saranno generati dal controllore ad istanti futuri. La soluzione più usata è quella di mantenere costante in tutto l intervallo di campionamento il valore dell ultimo campione generato Il dispositivo che realizza questa tecnica prende il nome di mantenitore di ordine zero o Zero-Order Hold (ZOH) (Fig. 1.7). Tale dispositivo genera appunto un segnale analogico che nell intervallo kt t < (k + 1)T è costante e pari al valore ricevuto in ingresso all istante t = kt. Il segnale ricostruito può in linea di principio dipendere anche da più di un campione del segnale discreto (invece che solo dall ultimo campione acquisito come nel caso dello ZOH). Ad esempio, il ricostruttore di ordine uno o First-Order Hold (FOH) fornisce in uscita un segnale u h (t) che per kt t < (k + 1)T è pari ai valori assunti dal prolungamento della retta congiungente i punti (kt, u(kt)) e ((k 1)T, u((k 1)T)) (Fig. 1.8). Si noti che tanto lo ZOH quanto il FOH operano in modo causale. 1.6 Un primo approccio al progetto Come sarà illustrato dettagliatamente in seguito, per la progettazione del regolatore digitale si possono impiegare due classi di metodi: metodi diretti e metodi per approssimazione. I metodi diretti consistono nell effettuare il progetto del regolatore esclusivamente nel dominio a tempo discreto a partire dalle specifiche assegnate; questo presuppone che si possa preventivamente determinare una rappresentazione puramente a tempo discreto delle componenti del sistema di controllo che a tempo discreto non sono, ovvero l impianto ed i convertitori. I metodi per approssimazione, al contrario, si basano sul progetto di un regolatore analogico eseguito in modo standard (ad es. con la sintesi per tentativi) e sulla successiva determinazione, con opportune tecniche, di un regolatore digitale le cui caratteristiche dinamiche riproducano fedelmente quelle del regolatore analogico, in modo da assicurare al sistema di controllo analoghe prestazioni. Riservandoci di trattare più in generale il problema in seguito, esaminiamo adesso un metodo

13 7 u h (t) T t Figura 1.8: Mantenitore di ordine uno (FOH) intuitivo per la determinazione di un regolatore digitale lineare C(z) a partire dalla funzione di trasferimento di un regolatore analogico C(s) preventivamente progettato. È noto che la funzione di trasferimento C(s) del regolatore analogico sottende un legame di tipo differenziale lineare stazionario tra l ingresso (il segnale errore e(t) del sistema di controllo) e l uscita (il segnale di comando u(t) all impianto). L idea fondamentale del metodo che vediamo, e più in generale dei metodi alle differenze finite che esamineremo in seguito, è quella di approssimare la soluzione dell equazione differenziale ingresso-uscita che descrive il controllore analogico, con la soluzione di un opportuna equazione alle differenze che lega i soli campioni dei segnali in gioco, e k = e(kt) e u k = u(kt). Per fissare le idee, si supponga di voler approssimare il valore dei campioni della derivata di una funzione f(t) disponendo soltanto dei campioni della funzione stessa. Il metodo più immediato per fare questo è di sostituire l operazione di derivata con quella di rapporto incrementale. Siano pertanto f k = f(t) t=kt, f k = f(t) t=kt Risulta allora f f((k + 1)T) f(kt) k = f k+1 f k T T Esempio 1.1 Si consideri il sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento C(s) = U(s) E(s) = b s + a corrispondente all equazione differenziale ingresso-uscita (1.8) u(t) + au(t) = be(t) Approssimando l operazione di derivata come sopra otteniamo la seguente relazione approssimata tra i campioni dell ingresso e dell uscita u k+1 u k T + au k = be k

14 8 a cui corrisponde una funzione di trasferimento a tempo discreto data da C(z) = U(z) E(z) = bt z 1 + at Riscrivendo la relazione (1.8) in termini delle trasformate zeta F(z) = Z{f k } e F(z) = Z{ f k } risulta F(z) z 1 F(z) (1.9) T Pertanto, in generale, due segnali f(t) e f(t) che sono l uno la derivata dell altro, e che quindi nel dominio della trasformata di Laplace sono legati da una relazione del tipo F(s) = sf(s) hanno i rispettivi campioni legati approssimativamente, nel dominio della trasformata zeta, dalla relazione (1.9). Si può pertanto scrivere Z [ L 1 [sf(s)] ] z 1 t=kt T F(z) In base a questa osservazione, la sostituzione formale dell operatore s con l operatore z 1 T in una data funzione di trasferimento C(s), dà luogo ad una funzione di trasferimento C(z) che corrisponde ad un equazione alle differenze tra campioni di ingresso e uscita la cui soluzione approssima quella dell equazione differenziale rappresentata da C(s). In altre parole, il sistema lineare stazionario a tempo continuo descritto da ovvero dall equazione differenziale C(s) = U(s) E(s) = b ms m + b m 1 s m b s n + a n 1 s n a u (n) (t) + a n 1 u (n 1) (t) + + a = b m e (m) (t) + b m 1 e (m 1) (t) + + b è approssimato dal sistema a tempo discreto C(z) = C(s) s= z 1 T dove C(z) lega i corrispondenti campionati dei segnali di ingresso e di uscita. Esempio 1.2 L esempio seguente è riportato nel file Scilab naif.sce. Sia dato l impianto con funzione di trasferimento ed il controllore analogico P(s) = 1 s 2 C(s) = K(s + b), K = 4, a = 1, b = 2 s + a

15 9 1.4 Step Response Amplitude Time (sec) Figura 1.9: Esempio 1.2. Risposta al gradino uscita controllore digitale T =.5 s uscita controllore digitale T =.18 s Figura 1.1: Esempio 1.2. Risposte al gradino con controllore digitale approssimato

16 T = 1 s Figura 1.11: Esempio 1.3. Risposta al gradino. a cui corrisponde un sistema ad anello chiuso con risposta al gradino come in Fig Approssimando il controllore C(s) alle differenze finite come sopra esposto con passo di campionamento T si ottiene C(z) = K(z 1 + bt), K = 4, a = 1, b = 2 z 1 + at Inserendo il regolatore C(z) nel sistema di controllo digitale in Fig. 1.5, si ottengono in simulazione le risposte al gradino nella variabile di uscita y(t) riportate in Fig Si noti come la risposta del sistema con regolatore digitale sia molto fedele a quella del corrispondente sistema con controllore analogico per valori sufficientemente piccoli del passo di campionamento T e come questa fedeltà tenda a perdersi al crescere di T. È facile osservare che per valori di T >.2 s il sistema diviene addirittura instabile. La scelta del periodo di campionamento si configura quindi come un problema di fondamentale importanza. È facile intuire che la scelta di T è fortemente legata ai requisiti di banda del sistema; infatti, più elevata è la banda, più i transitori della risposta sono rapidi, più velocemente è necessario campionare i segnali in gioco per poterli riprodurre fedelmente. Torneremo su questo importante aspetto nel seguito. Il seguente esempio illustra come i sistemi di controllo digitale possano presentare caratteristiche peculiari non riscontrabili nei sistemi di controllo analogici. Esempio 1.3 Riportato nel file Scilab magia.cos. Si consideri un sistema di controllo digitale con passo di campionamento T, impianto e regolatore P(s) = 1 s 2 C(z) = 2 T 2 5z 3 4z + 3 La corrispondente risposta al gradino nell uscita y(t) è riportata in Fig Il sistema risulta stabile internamente e la sua risposta va a regime in un tempo che è finito e pari a 3 passi di

17 campionamento, qualunque sia il valore di T prescelto. Quindi, al variare del tempo di campionamento, è possibile non solo portare a regime la risposta in un tempo finito, ma addirittura in un tempo arbitrariamente piccolo. È noto che non esistono sistemi lineari stazionari a tempo continuo la cui risposta al gradino abbia un transitorio di durata finita, si comprende quindi che mediante i sistemi di controllo digitale si possono ottenere in linea di principio prestazioni non ottenibili in un contesto analogico. 11

18 Capitolo 2 Sistemi lineari a tempo discreto Sommario. In questo capitolo vengono richiamati alcuni concetti fondamentali relativi a segnali e sistemi a tempo discreto, quali la trasformata zeta e le rappresentazioni di stato e ingresso-uscita dei sistemi lineari stazionari. Vengono inoltre illustrate le estensioni a tempo discreto di risultati standard quali la risposta in frequenza, il criterio di Nyquist ed il luogo delle radici. Particolare attenzione viene rivolta alle relazioni che sussistono tra la trasformata di Laplace di un segnale continuo e la trasformata zeta del suo campionamento con periodo assegnato. Queste relazioni sono fondamentali per l analisi che sarà presentata nei capitoli successivi. 2.1 Trasformata zeta La trasformata zeta è per i segnali a tempo discreto l operatore analogo della trasformata di Laplace per i segnali a tempo continuo; tale concetto permette di risolvere equazioni alle differenze con metodi algebrici e di definire le funzioni di trasferimento per i sistemi LTITD. Questo si realizza attraverso le proprietà della trasformata zeta, che sono del tutto analoghe alle corrispondenti proprietà della trasformata di Laplace. Definizione 2.1 Data una successione {f k } con f k = k <, la trasformata zeta di {f k } è la funzione F(z) : C C definita da F(z) = Z[f k ] = f k z k = f + f 1 z 1 + f 2 z (2.1) k= Osservazione 2.1 La trasformata zeta, a rigore, è definita solo per gli z C dove la serie (2.1) converge. Ciò non è essenziale per le applicazioni. Si ricordano di seguito le trasformate zeta di segnali a tempo discreto notevoli, che possono essere calcolate in modo semplice a partire dalla definizione. Impulso discreto δ k = { 1 se k = se k Z[δ k ] = 1 (2.2) Gradino unitario 1 k = { 1 se k se k < Z[1 k ] = z z 1 (2.3) Esponenziale f k = { λ k se k se k < Z[f k ] = z z λ (2.4) Analogamente al caso della trasformata di Laplace, le trasformate zeta dei segnali a tempo discreto che sono di interesse per la teoria dei sistemi dinamici lineari, sono funzioni razionali fratte proprie nella variabile z.

19 Proprietà della trasformata zeta Ricordiamo brevemente le proprietà fondamentali di cui gode la trasformata zeta: 1. Linearità Z[αf k + βg k ] = αf(z) + βg(z) 2. Trasformata della successione anticipata di un passo (e troncata a k = ) g k = f k+1 1 k G(z) = z(f(z) f ) 3. Trasformata della successione ritardata di un passo g k = f k 1 G(z) = z 1 F(z) 4. Trasformata della successione moltiplicata per k Z[kf k ] = z d dz F(z) 5. Teorema del valore finale. Se i limiti seguenti esistono e sono finiti, allora risulta lim f k = lim(z 1)F(z) k z 1 6. Teorema del valore iniziale f = lim z F(z) 7. Teorema di convoluzione. Dato il prodotto di convoluzione di due successioni {f k } e {g k } f k g k = k f k i g i i= la sua trasformata zeta risulta Z[f k g k ] = F(z)G(z) Antitrasformata zeta Data una funzione razionale fratta propria F(z), è sempre possibile determinare la successione f k tale che Z[f k ] = F(z). Risulta infatti sempre possibile effettuare la divisione lunga del numeratore di F(z) per il denominatore, ottenendo una serie di potenze in z 1. Per confronto con la definizione di trasformata zeta in (2.1), i coefficienti della serie ottenuta sono i campioni della successione f k.

20 14 Esempio 2.1 Sia F(z) = z2 + 2 z 2 + 3z + 2 Dividendo il numeratore per il denominatore e calcolando i corrispondenti resti, risulta dunque z 2 + z + 2 z 2 + 3z z 1 + 9z 2 21z F(z) = 1 3z 1 + 9z 2 21z Per confronto con la definizione (2.1) si ottengono i campioni della successione f k la cui trasformata è F(z) f = 1, f 1 = 3, f 2 = 9, f 3 = 21,... La successione f k tale che F(z) = Z[f k ] è detta antitrasformata zeta di F(z) e si indica con f k = Z 1 [F(z)]. Il metodo per ottenere un espressione in forma chiusa di Z 1 [F(z)] consiste nel calcolare lo sviluppo in fratti semplici di F(z) e nell associare a ciascun termine dello sviluppo una successione elementare (impulso, gradino, esponenziale) di cui tale termine è la trasformata, in modo analogo al caso della trasformata di Laplace. Viste le espressioni delle trasformate delle successioni elementari (si noti che presentano una z a numeratore), risulta conveniente effettuare lo sviluppo in fratti semplici di F(z)/z per poi ricavare da questo un espressione di F(z) in cui le trasformate elementari risultano immediatamente riconoscibili. Esempio 2.2 F(z) z = z z(z 2 + 3z + 2) = 1 z + 3 z z + 2 da cui F(z) = 1 3 z z z z + 2 e antritrasformando ogni singolo termine f k = δ k [3( 1) k 3( 2) k ] 1 k. 2.2 Trasformata zeta di segnali campionati Si consideri adesso il problema di calcolare la trasformata zeta F(z) della successione f k ottenuta campionando con periodo T un segnale continuo f(t), ovvero della successione f k = f(kt). Si desidera inoltre mettere in relazione F(z) con la trasformata di Laplace F(s) = L[f(t)] del segnale continuo. In altre parole si desidera determinare (2.5) F(z) = Z[f k ] = Z [f(t) t=kt 1 k ] = Z [ L 1 [F(s)] t=kt 1 k ]. (2.6) Per brevità, la trasformata zeta del campionamento di un segnale avente trasformata di Laplace F(s) verrà indicata con la notazione Z[F(s)] con cui denoteremo l espressione (2.6). In base alla proprietà di linearità delle trasformate, è possibile eseguire lo sviluppo in fratti semplici di F(s), calcolare le antitrasformate di ciascun fratto e, quindi, calcolare la trasformata zeta del campionamento di ciascuna di esse. Distinguiamo i seguenti due casi:

21 15 Caso di F(s) con tutti poli semplici. Sussistono il seguente sviluppo e la corrispondente antitrasformata n r i n F(s) = f(t) = r i e pit 1(t) s p i e dunque i=1 F(z) = Z[F(s)] = i=1 n ( ) Z [r i e Tp i k ] = i=1 n i=1 r i z z e p it Osserviamo che F(z) ha tutti poli semplici e che, inoltre, per ogni polo p i di F(s) la F(z) ha un corrispondente polo in e p it. Caso di F(s) con poli multipli. Si supponga che F(s) abbia un polo p di molteplicità µ p. Allora, come è noto, tale polo nello sviluppo in fratti semplici di F(s) dà luogo a µ p termini che hanno la forma j (s) = A(p) j (s p) j, j = 1,...,µ p F (p) le cui antitrasformate valgono f (p) j (t) = A(p) j t j 1 (j 1)! ept, j = 1,...,µ p Per ciascuno di tali termini si ha quindi, in base alla proprietà numero 4 della trasformata zeta (moltiplicazione per k), Z[F (p) j (s)] = A(p) j T j 1 (p) j T j 1 ( (j 1)! Z[kj 1 e Tp) k A ] = (j 1)! ( z d ) j 1 z dz z e pt dove con ( z dz) d j 1 ( si intende l applicazione ripetuta j 1 volte dell operatore z d dz). È facile convincersi che, a causa dell applicazione ripetuta dell operazione di derivata, Z[F (p) j (s)] risulta avere un polo in e pt di molteplicità j. Pertanto, l insieme dei fratti semplici F (p) j (s), j = 1,...,µ p, relativi al polo p, danno luogo ad un termine in F(z) che ha un polo in e pt di molteplicità µ p. Sussiste pertanto la seguente Proprietà 2.1 Per ogni polo p di F(s), la trasformata zeta F(z) = Z[F(s)] ha un polo in e pt di pari molteplicità. In altre parole, i poli di F(s) si trasformano nei poli di F(z) secondo la relazione z = e st Osservazione 2.2 Si noti che per T tendente a zero, tutti i poli di F(z) tendono a 1. Esempio 2.3 Calcolo della trasformata zeta della rampa campionata. [ ] 1 Z s 2 = Z[kT] = T( z) d dz Z[1 k] = Tz d z dz z 1 = Tz (z 1) 2

22 16 Esempio 2.4 Calcolo della trasformata zeta della sinusoide campionata. f(t) = sin(ωt), i.e., F(s) = Si noti che F(s) ha poli in s = ±jω. Risulta ω s 2 + ω 2 f k = f(kt) = sin(ωkt) = (ejωt ) k (e jωt ) k 2j da cui Z[f k ] = 1 2j [ ] z z e jωt z z e jωt = z(z e jωt z + e jωt ) 2j(z e jωt )(z e jωt ) = z sin(ωt) z 2 2z cos(ωt) Mappa z = e st Esaminiamo adesso alcune proprietà della relazione tra numeri complessi z = e st, che caratterizza la mappa tra i poli della trasformata di Laplace di un segnale ed i poli della trasformata zeta del suo campionamento con periodo T. In particolare analizziamo come si trasformano i luoghi del piano complesso corrispondenti alla posizione dei poli caratteristici dei segnali d interesse (ad esempio i segnali esponenziali o le sinusoidi smorzate aventi fattori ζ o ω n assegnati). Sia s = σ + jω, con σ = Re[s], ω = Im[s]. Risulta allora z = e σt e jωt. Pertanto z = e Re[s]T, arg z = Im[s]T (2.7) Dalla relazione (2.7) si vede facilmente che sussistono le seguenti proprietà (fig. 2.1). Valori complessi coniugati in s vengono mappati in valori complessi coniugati in z; la mappa z = e st è biunivoca per π T < Im[s] < π T periodica di Im[s]; ed in generale z è una funzione l asse immaginario in s è mappato nel cerchio di centro l origine e raggio 1 in z (cerchio unitario); il luogo dei poli caratteristici dei segnali a tempo continuo convergenti a zero, ovvero il semipiano sinistro aperto del piano s, è mappato sull interno del cerchio unitario in z, infatti Re[s] < z < 1; rette verticali in s (luoghi a Re[s] costante) sono mappate in circonferenze interne (se Re[s] < ) o esterne (se Re[s] > ) al cerchio unitario in z; semirette passanti per l origine in s con Re[s] < (luoghi dei poli complessi a smorzamento ζ costante) sono mappate in spirali logaritmiche interne al cerchio unitario in z; rette orizzontali in s (luoghi a Im[s] costante) sono mappate in rette radiali in z; i punti s = 2nπj/T sono mappati sul punto z = 1;

23 17 Figura 2.1: Mappa z = e st. i punti s = (2n + 1)πj/T sono mappati su z = 1; nessun punto del piano s è mappato su z =. In figura 2.2 è mostrata la mappatura dei luoghi a ζ e ω n costante dal piano s al piano z secondo la trasformazione z = e st. In figura 2.3 è riportato l andamento qualitativo dei segnali a tempo discreto in relazione alla posizione dei poli della loro trasformata zeta. Si osservi, in particolare, che alle trasformate zeta aventi tutti poli in z = corrispondono segnali che hanno solo un numero finito di campioni diversi da zero, ovvero segnali che si esauriscono in tempo finito. Questi non possono essere il campionamento di segnali continui con trasformata di Laplace razionale fratta, infatti, come già osservato, z = non è l immagine di alcun s secondo z = e st Trasformata zeta di segnali campionati con ritardo Dato un segnale a tempo continuo f(t), nullo per t <, si consideri il segnale ritardato (traslato nel tempo) f τ (t) = f(t τ), τ > e si voglia calcolare la trasformata zeta F τ (z) del campionamento con passo T di f τ (t): F τ (z) = Z [f(t τ) t=kt ] Si scomponga il ritardo τ in un numero intero m di passi di campionamento più il resto δ, i.e., τ = mt + δ ; m intero, δ < T È facile convincersi che l introduzione di una traslazione temporale mt in un segnale continuo genera semplicemente un ritardo di m passi nel corrispondente campionamento. Ricordando allora la proprietà del ritardo della trasformata zeta si ottiene F τ (z) = z m Z [f(t δ) t=kt ] ; δ < T (2.8)

24 18 Figura 2.2: Mappatura dei luoghi a ζ e ω n costante secondo z = e st. Figura 2.3: Andamento qualitativo dei segnali a tempo discreto in relazione alla posizione dei poli della loro trasformata zeta.

25 19 f(t) f(t δ) t δ T 2T 3T t Figura 2.4: Campionamento di un segnale ritardato nel tempo u k, U(z) Sistema T.D. lineare stazionario y k, Y (z) Figura 2.5: Sistema lineare stazionario a tempo discreto ingresso/uscita Scrivendo esplicitamente l espressione della trasformata zeta in (2.8) (si veda la fig. 2.4) risulta F τ (z) = z m [ + f(t δ)z 1 + f(2t δ)z ] = z m 1 f(kt + T δ)z k k= = z m 1 Z [f(kt + (T δ)) 1 k ] 2.3 Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita Un sistema linare stazionario a tempo discreto in rappresentazione ingresso/uscita (fig. 2.5) è descritto da un equazione alle differenze nelle successioni di ingresso u k e di uscita y k y k+n + a n 1 y k+n a y k = b m u k+m + b m 1 u k+m b u k (2.9) Tale relazione è esprimibile in modo alternativo utilizzando il formalismo della trasformata zeta. Si assumano nulle le condizioni iniziali del sistema; applicando la trasformata zeta ad entrambi

26 2 i membri della (2.9) si ottiene la seguente relazione tra la trasformata zeta dell ingresso U(z) e la trasformata zeta della corrispondente risposta forzata Y (z) dove G(z) = Y (z) = G(z)U(z) (2.1) b m z m +... b 1 z + b z n + a n 1 z n 1...a 1 z + a (2.11) G(z) è detta funzione di trasferimento del sistema, n è detto grado di G(z) e la differenza n m grado relativo di G(z). In base alla relazione (2.1) ed alla proprietà di convoluzione della trasformata zeta, la risposta forzata al segnale u k vale k y k = g k i u i = g k u k dove i= g k = Z 1 [G(z)] Si noti che la successione {g k } costituisce la risposta del sistema all impulso unitario δ k. Definizione 2.2 Il sistema è detto causale se per ogni istante k l uscita y k del sistema non dipende da u k per alcun k > k, ovvero dai valori assunti dall ingresso u ad istanti successivi a k. Proprietà 2.2 Il sistema descritto da G(z) è causale se e solo se il grado relativo n m della funzione di trasferimento G(z) in (2.11) è maggiore o uguale a zero. Dimostrazione. Effettuando la divisione lunga tra numeratore e denominatore di G(z) si ha G(z) = c m z (n m) + c m 1 z (n m) 1 + c m 2 z (n m) dove c m, c m 1, c m 2,... sono opportuni coefficienti. Pertanto, tenendo conto della (2.1) e delle proprietà 2 e 3 della trasformata zeta (trasformata della successione anticipata e ritardata), risulta y k = c m u k (n m) + c m 1 u k (n m) 1 + c m 2 u k (n m) da cui è evidente che y k non dipende dal valore di u ad istanti successivi a k se e solo se n m. Osservazione 2.3 Il grado relativo n m di G(z) rappresenta il ritardo ingresso-uscita del sistema. Per condizioni iniziali nulle, infatti, un ingresso applicato all istante k = produce uscite non nulle a partire dall istante k = n m. 2.4 Sistemi lineari a tempo discreto in rappresentazione di stato Un sistema lineare stazionario a tempo discreto in equazioni di stato è definito dalle equazioni seguenti { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n y k = Cx k + Du k dove A, B, C, D sono matrici costanti di opportune dimensioni, a seconda delle dimensioni della variabile d ingresso u k e da quelle della variabile di uscita y k. Il vettore x k è detto vettore di stato del sistema. La dimensione n del vettore di stato è detta ordine del sistema. Una proprietà

27 21 fondamentale dei sistemi lineari in rappresentazione di stato è che la risposta del sistema, nello stato x k e quindi nell uscita y k, è completamente determinata una volta note la condizione iniziale x e la sequenza d ingresso u k, k =, 1,... La risposta nello stato del sistema sopra descritto, nel dominio del tempo vale x k = x l k + xf k dove x l k e xf k, dette rispettivamente risposta libera e risposta forzata nello stato, sono date da La risposta nell uscita, analogamente, vale k 1 x l k = Ak x, x f k = A k i 1 Bu i i= y k = CA k x + k 1 CA k i 1 Bu i + Du k = yk l + yf k i= Applicando la trasformata zeta alle precedenti equazioni si ottengono facilmente le trasformate della risposta, libera e forzata, rispettivamente nell ingresso e nell uscita. Risposta libera X l (z) = [zi A] 1 zx Y l (z) = C[zI A] 1 zx Risposta forzata X f (z) = [zi A] 1 BU(z) Y f (z) = [C(zI A) 1 B + D]U(z) Dall ultima delle precedenti espressioni, che lega le trasformate dell ingresso e della corrispondente risposta forzata, risulta che la funzione di trasferimento del sistema in funzione delle matrici di stato vale G(z) = C[zI A] 1 adj(zi A) B + D = C det(zi A) B + D (2.12) Dalla relazione (2.12) è evidente che i poli di G(z), ovvero gli zeri del denominatore, sono necessariamente autovalori della matrice A. In generale, i poli di G(z) possono non contenere tutti gli autovalori di A, in quanto possono verificarsi cancellazioni tra numeratore e denominatore in G(z), come risulta dal seguente esempio. Esempio 2.5 A = [ La funzione di trasferimento vale ] B = [ 1 ] C = [1 ] D = G(z) = C[ zi A ] 1 B + D = 1 z 1 in cui non compare come polo l autovalore 2 di A.

28 Stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Richiamiamo qui brevemente le principali nozioni relative alla stabilità dei sistemi lineari stazionari a tempo discreto Stabilità della risposta libera di sistemi in rappresentazione di stato Definizione 2.3 Si consideri il sistema a tempo discreto lineare stazionario definito dalle equazioni di stato { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n y k = Cx k + Du k Tale sistema è detto stabile se la risposta libera ad una qualunque condizione iniziale x è limitata, è detto asintoticamente stabile se la risposta libera ad una qualunque condizione iniziale x è convergente a zero, è detto instabile altrimenti. Il seguente risultato caratterizza la stabilità del sistema in base agli autovalori della matrice A. Teorema 2.1 Un sistema lineare stazionario a tempo discreto è stabile se e solo se non esistono autovalori della matrice A con modulo maggiore di uno e quelli con modulo unitario hanno la molteplicità algebrica uguale a quella geometrica. Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo strettamente minore di uno. Osservazione 2.4 Si ricorda che un sistema lineare stazionario che sia (asintoticamente) stabile secondo la precedente definizione, soddisfa anche la condizione di (asintotica) stabilità nel senso di Lyapunov per ognuno dei suoi punti di equilibrio. Per una revisione di tale definizione di stabilità si rimanda ad un testo di teoria dei sistemi [6] Stabilità della risposta forzata (ingresso limitato-uscita limitata) Definizione 2.4 Un sistema è detto stabile nel senso ingresso limitato-uscita limitata (ILUL) se la risposta forzata y k corrispondente a qualunque ingresso u k limitato è limitata. La definizione di stabilità ILUL è appicabile sia alle rappresentazioni di stato, sia alle rappresentazioni ingresso-uscita. Il seguente risultato caratterizza la condizione di stabilità ILUL. Teorema 2.2 Un sistema lineare stazionario a tempo discreto è ILUL stabile se e solo se i poli della sua funzione di trasferimento G(z) hanno tutti i poli con modulo strettamente minore di 1. Osservazione 2.5 Poiché i poli della funzione di trasferimento sono anche autovalori della matrice A di una qualunque rappresentazione di stato, in base ai risultati precedenti si deduce che se un sistema lineare stazionario è asintoticamente stabile, allora è anche ILUL stabile. In generale non è vero il viceversa in quanto alcuni autovalori della matrice A possono non comparire come poli della funzione di trasferimento.

29 Criteri di stabilità per sistemi a tempo discreto Lo studio della stabilità (semplice, asintotica, ILUL) di un sistema lineare stazionario si riconduce allo studio della posizione delle radici di un polinomio (il polinomio caratteristico della matrice A per la stabilità delle rappresentazioni di stato, il polinomio a denominatore della funzione di trasferimento per la stabilità ILUL) rispetto ad una regione del piano complesso. Nel caso a tempo discreto, tale regione è rappresentata dal cerchio unitario aperto, allo stesso modo in cui nel caso a tempo continuo tale regione è il semipiano sinistro aperto Criterio di Jury Il criterio di Jury rappresenta l analogo del criterio di Routh per lo studio della posizione delle radici di un polinomio rispetto al cerchio unitario. Si consideri un polinomio della forma p(z) = z n + a n 1 z n a 1 z + a (2.13) Anche questo criterio si basa sulla costruzione di una tabella da cui è possibile successivamente rilevare la condizione di stabilità. La tabella viene costruita come segue 1 1 a n a 1 a 2 a a a n b n 1 b n 2... b 1 b 4 b b 1... b n 2 b n (2.14) dove Si ha il seguente risultato. b n 1 = 1 a a 1, b n 2 = 1 a 1 a a n 1,... Teorema 2.3 Il polinomio p(z) in (2.13) ha tutte radici con modulo strettamente minore di uno se e solo se i primi elementi delle righe di indice dispari della tabella (2.14) sono tutti diversi da zero ed hanno segno positivo Trasformazione bilineare In alternativa al criterio di Jury, è possibile operare una trasformazione sul polinomio p(z) in modo tale da ottenere un espressione polinomiale π(s) che abbia tutte radici a parte reale negativa se e solo se il polinomio iniziale p(z) ha tutte radici interne al cerchio unitario. In questo modo è possibile studiare la stabilità di tale polinomio applicando a π(s) il criterio di Routh. Si consideri la funzione razionale fratta π(s) q(s) = p(z) z= 1+s 1 s dove π(s) e q(s) sono polinomi. Si può facilmente dimostrare che la trasformazione z = 1 + s 1 s (2.15)

30 24 u k = A sin(ωtk) G(z) y f k Figura 2.6: Risposta in frequenza a tempo discreto mappa in modo biunivoco il cerchio unitario del piano complesso in z nel semipiano sinistro del piano complesso in s. Pertanto la funzione razionale fratta (2.15) (ovvero il polinomio a numeratore π(s)) ha tutti zeri a parte reale strettamente negativa se e solo se il polinomio p(z) ha tutte radici a modulo strettamente minore di 1. In definitiva, la stabilità a tempo discreto di p(z) si studia applicando il criterio di Routh a π(s) definito come in (2.15). 2.7 Risposta in frequenza Il concetto di risposta in frequenza, noto per i sistemi lineari stazionari a tempo continuo, può essere facilmente esteso al caso a tempo discreto. Sussiste infatti un risultato del tutto analogo: un sistema lineare stazionario a tempo discreto ILUL stabile eccitato da una sinusoide campionata, a regime, risponde con una sinusoide campionata di pari frequenza, opportunamente amplificata e sfasata. Si consideri un sistema ILUL stabile descritto dalla funzione di trasferimento G(z) ed un ingresso dato dal campionamento con periodo T di una sinusoide di ampiezza A e pulsazione ω (fig. 2.6). Sussiste il seguente risultato. u k = A sin(ωt) t=kt = A sin(ωtk) (2.16) Teorema 2.4 Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto ILUL stabile con funzione di trasferimento G(z), la risposta forzata alla sinusoide campionata u k in (2.16) è data da y f k = yg k + yu k dove y G k (risposta transitoria) tende a per k e yu k (risposta permanente) vale y U k = A G(ejωT ) sin[ωtk + arg G(e jωt )] Dimostrazione. Risulta (si veda l esempio 2.4) e pertanto la risposta forzata vale U(z) = Az sin(ωt) (z e jωt )(z e jωt ) Y f Az sin(ωt) (z) = G(z) (z e jωt )(z e jωt ) Poiché G(z) ha tutti poli interni al cerchio unitario, effettuando la scomposizione in fratti semplici di Y f (z), si ha che Y f (z) può essere scritta come Y f (z) = Y G (z) + Y U (z) (2.17)

31 25 Y o (z) + L(z) Y (z) Figura 2.7: Sistema a tempo discreto in retroazione dove i poli di Y G (z) coincidono con i poli di G(z) ed i poli di Y U (z) coincidono con i poli di U(z). Calcolando esplicitamente Y U (z), ovvero la parte dello sviluppo in fratti semplici di Y f (z) dipendente dai poli di U(z), risulta Ponendo i.e. risulta Y U (z) = Az sin(ωt){ 1 = Az sin(ωt)[ G(z) 1 G(z) [ ] z e jωt z e jωt z=e jωt + [ z e jωt G(e jωt ) 1 + G(e jωt ) 1 ] e jωt e jωt z e jωt e jωt e jωt z e jωt M = G(e jωt ) ; ϕ = arg G(e jωt ) z e jωt ] z=e jωt } G(e jωt ) = Me jϕ, G(e jωt ) = G (e jωt ) = Me jϕ Y U (z) = Calcolando l antitrasformata zeta si ha AM sin(ωt) e jωt e jωt [ ] ze jϕ z e jωt ze jϕ z e jωt (2.18) (2.19) y U k = Z 1 [Y U (z)] = 1 2j AM[ejϕ e jωkt e jϕ e jωft ] = AM sin(ωkt + ϕ) Pertanto, in base alla (2.17), y f k = yg k + A G(ejωT ) sin[ωkt + arg G(e jωt )] dove yk G = Z 1 [Y G (z)] tende a zero per k in quanto Y G (z) ha i poli di G(z), che sono tutti interni al cerchio unitario. Osservazione 2.6 La risposta in frequenza G(e jωt ) di un sistema a tempo discreto è una funzione periodica (in ω) di periodo ω s = 2π/T. 2.8 Sistemi a tempo discreto in retroazione Per lo studio della stabilità di sistemi a tempo discreto in configurazione ad anello chiuso (fig. 2.7) valgono criteri del tutto analoghi a quelli già noti per il caso a tempo continuo.

32 26 Nyquist Diagram Imaginary Axis.5 Punto critico Real Axis Figura 2.8: Esempio 2.6: luogo delle radici e diagramma di Nyquist. Luogo delle radici. Data la funzione di trasferimento L(z) del guadagno d anello nella forma L(z) = K N(z) D(z) la costruzione del luogo delle radici (luogo dei poli del sistema ad anello chiuso al variare di K) è del tutto analoga al caso a tempo continuo, trattandosi di una costruzione puramente algebrica. Ciò che cambia, ovviamente, è l interpretazione del luogo per lo studio della stabilità, in quanto nel caso a tempo discreto è necessario studiare la mutua posizione del luogo rispetto alla regione di stabilità costituita dal cerchio unitario piuttosto che dal semipiano sinistro del piano complesso. Criterio di Nyquist. Sussiste un risultato del tutto analogo al criterio di Nyquist a tempo continuo, purché il diagramma di Nyquist sia costruito come l immagine attraverso L(z) del percorso di Nyquist D costituito dalla circonferenza unitaria (indentata) piuttosto che dall asse immaginario (indentato). Esempio 2.6 Si consideri il sistema in retroazione unitaria con guadagno d anello L(z) = K z.5 In figura 2.8 sono riportati il luogo delle radici (con sovrapposta la regione di stabilità a tempo discreto) ed il diagramma di Nyquist (calcolato per K = 1). 2.9 Stabilità interna di sistemi di controllo Con riferimento al sistema di controllo in retroazione in figura 2.9, vale una nozione di stabilità interna del tutto analoga al caso dei sistemi interconnessi a tempo continuo.

33 27 D p (z) R(z) + X 1 (z) U(z) X 2 (z) C(z) P(z) Y (z) V (z) H(z) X 3 (z) + + D h (z) Figura 2.9: Sistema di controllo in retroazione a tempo discreto. Definizione 2.5 Il sistema di controllo è internamente stabile se la funzione di trasferimento tra qualunque segnale di ingresso e qualunque segnale di uscita presenti nell anello è ILUL stabile. In evidente analogia con il caso a tempo continuo, sussiste la seguente caratterizzazione della condizione di stabilità interna. Teorema 2.5 Il sistema di controllo in retroazione è internamente stabile se e solo se: 1. la funzione di trasferimento 1+C(z)P(z)H(z) non ha zeri con modulo maggiore o uguale a uno e 2. non ci sono cancellazioni tra poli e zeri con modulo maggiore o uguale a uno nel prodotto C(z)P(z)H(z).