Sulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla

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1 Sulle funzioni di W 1,p () a traccia nulla Sia u W 1,p (R n ) e supponiamo che il supp u, essendo un aperto di R n. Possiamo approssimare u con una successione di funzioni C il cui supporto è contenuto in? In altri termini, possiamo dire che la u ristretta ad appartiene a W 1,p ()? È noto che se consideriamo le regolarizzate della u R ε u(x) = ϱ e (x y) u(y) dy, (1) R n queste convergono a u nella norma di W 1,p (R n ), ma il loro supporto sarà contenuto in ε. La possibilità di approssimare la u con funzioni il cui supporto è contenuto in è più delicata e dipende dalla regolarità della. Il prossimo teorema fornisce una classe abbastanza ampia di aperti per i quali la risposta domanda posta all inizio del paragrafo è affermativa. Per semplicità ci limiteremo a considerare il caso di aperti limitati. Premettiamo una definizione: l aperto limitato verifica la proprietà ristretta di cono se: 1. esiste un numero finito di aperti N k (k = 1,..., m) tali che m N k ; 2. per ogni k {1,..., m} esistono un vettore ξ k con ξ k = 1 e un numero h k > 0 tali che il cono k=1 x + C k = {y R n y = x + ϱ ξ, 0 < ϱ < h k, ξ ξ k < h k, ξ = 1} è contenuto in per ogni x N k. 1 Sia R n un aperto limitato che verifica la proprietà ristretta di cono. Sia u W 1,p (R n ) tale che supp u. Esiste allora una successione di funzioni C (R n ) a supporto (compatto) contenuto in e convergente a u nella norma di W 1,p (R n ). 1

2 Dim. Sia N 0 un aperto tale che N 0 e m N k. Sia ϑ k (k = 0, 1,..., m) una partizione dell unità subordinata al ricoprimento N k. Questo significa che ϑ k C (R n ), supp ϑ k N k, 0 ϑ k 1 e ϑ k (x) = 1 x. L esistenza della partizione dell unità è ben nota e può essere trovata in vari testi (cfr. ad es., A. Cialdea, Appunti sugli Spazi di Sobolev, USB) Poniamo u k = ϑ k u. La funzione u k appartiene a W 1,p (R n ) e il suo supporto è contenuto in N k. Inoltre u = u ϑ k = u k. (2) In virtù della formula (2), basterà dimostrare che ogni singola u k può essere approssimata da funzioni di C (). Per quanto riguarda la u 0, essendo il suo supporto contenuto in N 0 e quindi in,basta considerare le usuali regolarizzate R e u 0 (cfr. la (1)). Fissiamo ora un k {1,..., m}; sia j una funzione di classe C (R n ) tale che j 0, il supp j è contenuto nell insieme {x R n 1 < x < 2, ξ k x/ x < h k } e infine Definiamo il mollifier R n j(x) dx = 1. j ε (x) = 1 ε n j ( x ε ). Osserviamo che supp j ε C ε dove C ε = {x R n ε < x < 2ε, ξ k x/ x < h k } 2

3 e consideriamo la regolarizzata u ε (x) = j ε (x y) u k (y) dy. R n Essendo supp u k N k, possiamo scrivere u ε (x) = j ε (x y) u k (y) dy. (3) Dato che dalla (3) si trae N k y N k, x / y + C ε j ε (x y) = 0 x / (N k ) + C ε u ε (x) = 0. In altri termini abbiamo dimostrato che supp u ε (N k ) + C ε. Essendo, ovviamente, C ε C k per 0 < ε < h k /2, abbiamo che, per questi ε, il supp u ε è un compatto contenuto in. Dalle solite proprietà dei mollifiers si deduce che u ε tende a u nella norma di W 1,p (R n ) e questo completa la dimostrazione (1). Vediamo ora una conseguenza di questo risultato. 2 Sia un aperto limitato di R n tale che sia un dominio regolare. Lo spazio W 1,p () coincide con lo spazio delle funzioni di W 1,p () che hanno traccia nulla su. Dim. È ovvio che le funzioni di W 1,p () appartengono a W 1,p () ed hanno traccia nulla. Viceversa, sia u W 1,p () tale che u = 0 su. Come prima cosa, mostriamo che la funzione ũ ottenuta prolungando a zero la u fuori di, ossia { = u(x) se x ũ(x) = 0 se x R n \, (1) L idea di costruire le funzioni approssimanti considerando mollifiers con i supporti scelti come nel testo è presa dal Lemma 8 di Browder, F. E., Approximation by solutions of partial differential equations, Amer. J. Math., 84, 1962,

4 appartiene a W 1,p (R n ). È ovvio che ũ L p (R n ). Inoltre, presa comunque una ϕ C (R n ) (non necessariamente a supporto compatto contenuto in ), abbiamo dove R n ũ ϕ dx = u ϕ dx = ϕ u dx + u ϕ ν h dσ. Essendo u = 0 su, l ultimo integrale è nullo e quindi possiamo scrivere R n ũ ϕ dx = u { = u se x = 0 se x R n \. R n ϕ u dx (4) Questa funzione appartiene a L p (R n ) e la (4) mostra, per l arbitrarietà di ϕ C (R n ), che la (5) è la derivata debole di u rispetto a x h. Per il Teorema precedente la funzione ũ può essere approssimata in norma da funzioni C (R n ) il cui supporto è contenuto in, ossia u appartiene a W 1,p (). (5) Un Corollario interessante del Teorema 2 è il seguente teorema di unicità per il problema di Dirichlet in H 1. 3 Sia un aperto limitato di R n tale che sia un dominio regolare. Sia u soluzione del problema di Dirichlet { u H 1 () u = 0 in (6) u = 0 su Σ. Risulta u = 0 in. Dim. Nell enunciato del problema (6) l equazione differenziale è da intendersi in senso debole, ossia u ϕ dx = 0, ϕ C (), (7) 4

5 mentre la condizione al contorno u = 0 su Σ è nel senso delle tracce. Osserviamo che, in virtù del Lemma di Caccioppoli-Weyl, la u risulta di classe C 2 (). In virtù del Teorema 2 la funzione u appartiene a H 1 () e quindi esiste una successione di funzioni {ϕ n } C () tale che lim ϕ n u H n 1 () = 0. Questo implica (si tenga presente la (7)!) u 2 dx = lim u ϕ n dx = lim u ϕ n dx = 0 n n e quindi u = 0 in. Questo significa che la u è costante su ogni componente connessa di ed essendo la sua traccia su Σ nulla, si deve avere u = 0. 5