Appunti di Matematica e tecnica finanziaria. Ettore Cuni, Luca Ghezzi

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1 Appuni di Maemaica e ecnica finanziaria Eore Cuni, Luca Ghezzi Universià Carlo Caaneo LIUC Casellanza 2010

2 Universià Carlo Caaneo LIUC C.so Maeoi, Casellanza (VA) Tel Eore Cuni, Luca Ghezzi, Appuni di Maemaica e ecnica finanziaria

3 Appuni di Maemaica e ecnica finanziaria Eore Cuni 1, Luca Ghezzi 2 Orandum es u si mens sana in corpore sano (Decimus Iunius Iuvenalis, I-II secolo d.c.). Premessa La Maemaica finanziaria concerne l impiego di srumeni scienifici nelle aivià di invesimeno e finanziameno. Più precisamene, essa riguarda modelli e procedimeni quaniaivi convalidai, uilizzabili per prendere decisioni nell ambio della valuazione e del confrono di piani di invesimeno reale; del confrono di operazioni bancarie e parabancarie, quali un deposio vincolao, un muuo immobiliare ipoecario a asso fisso e/o variabile, un presio di ioli conro garanzia, o una locazione finanziaria di beni srumenali; della progeazione di conrai finanziari, quali un obbligazione sruuraa o una polizza assicuraiva sulla via a capiale o rendimeno garanio; come pure dei processi di gesione di rendimeni e rischi finanziari, per esempio nel caso di un porafoglio di presii bancari, di un fondo pensione, o di un fondo comune di invesimeno; dei processi di supervisione e conrollo dei rischi finanziari. Quesi appuni, concepii per gli sudeni di un corso universiario di Maemaica finanziaria, sono sai originariamene sesi come complemeno, conforme alla radizione ialiana, del libro di eso Luenberger (1988), un opera di ben più ampio respiro, compiuamene riuscia nella compenerazione di rigore meodologico e di chiarezza esposiiva. Essi si basano soprauo su una raduzione parziale degli Handous for Financial modelling, redai in inglese dal secondo auore; grazie all esperienza professionale del primo auore, il maeriale proposo è sao corredao di riferimeni a e di esempi e esercizi coereni con la prassi operaiva. L apprendimeno e la rienzione della disciplina porebbero quindi essere agevolai dall uso di una duplice chiave di leura: quella logica, relaiva alle proprieà dei procedimeni analiici e 1 Analisi rischi, Credio Bergamasco Gruppo Banco Popolare, Bergamo. 2 Associao di Ingegneria economico gesionale, Universià Carlo Caaneo, Casellanza (Va). 3

4 alle peculiarià dei procedimeni empirici, e quella operaiva, relaiva ai conrai, alle operazioni e ai processi finanziari. La comprensione di quesi ulimi non deve illudere; l esposizione, spesso a caraere inroduivo, è propedeuica ai corsi specialisici. Tuavia, il quadro d insieme aciamene proposo, sebbene parziale, è sruurao e desumibile mediane una leura aiva. Gli appuni sono organizzai in 5 disine sezioni, ue le successive essendo sviluppae a parire dalla prima 1. Calcolo finanziario di base 2. Ripagameno raeale di un presio 3. Valuazione degli invesimeni reali 4. Obbligazioni a asso fisso 5. Sruura a ermine dei assi di ineresse La correne versione è priva di una sezione finale sui fondameni della gesione di porafogli azionari, invece presene negli Handous for Financial modelling; al leore ineressao si segnalano, olre al già menzionao Luenberger (1988), le opere Farrell (1997), Keasey e alii (1998) e Cornell (1999). Ogni sezione può comprendere una schemaica spiegazione di nozioni eoriche, accompagnaa da esempi illusraivi, e di procedimeni empirici; un essenziale presenazione di procedimeni operaivi come pure una sineica ciazione di norme di legge. Ove possibile, si menzionano pure gli specifici assi annui di ineresse usai nella prassi operaiva; alcuni esercizi e le loro soluzioni, i quali si aggiungono agli esempi proposi nel libro di eso Luenberger (1988). Olre a esemplificare un procedimeno analiico, un esercizio offre, a vole, l occasione per descrivere un conrao finanziario e delle regole operaive. Tui gli esercizi sono sai risoli al calcolaore, mediane dei fogli eleronici, ove possibile programmai e convalidai; per esempio, nel caso dell ammorameno all ialiana, una vola inserii i dai (il capiale presao C, il numero di rae n, la loro cadenza m, il asso periodale di ineresse applicao i m ), il foglio eleronico resiuisce l inero piano di ammorameno (una abella di n 1 righe e 5 colonne: il empo, la quoa di capiale C, la quoa di ineresse I, la raa effeuando gli arroondameni con la precisione richiesa. R e il debio residuo D ), L approccio è orienao alle applicazioni e dunque mulidisciplinare, con possibili riferimeni ai principi eorici e alle nozioni praiche di alre discipline, quali la conabilià, l economia indusriale, l economia dei mercai e degli inermediari finanziari. 4

5 Si enga presene che un serio esame finale dovrebbe concernere sia la eoria sia la praica; gli auori condividono infai con alri colleghi la convinzione che una proficua eoria riposa su solide basi praiche, e viceversa. Per imparare bene e senza roppa faica la Maemaica finanziaria, come pure per non dimenicarla assai preso, bisogna quindi acquisire allo sesso empo un po di dimesichezza con la Tecnica finanziaria. Perano, con riferimeno ai principali puni di un programma analiico, occorre sapere dove e quando un problema finanziario emerga nella praica professionale; chi siano le conropari e gli inermediari finanziari; come e per mezzo di quali dai si possa risolverlo; quale sia il significao finanziario dei più imporani passaggi analiici e, se richieso, perché il procedimeno risoluivo è appropriao (una dimosrazione può rivesire ineresse, in quano aiua a ricordare meglio un procedimeno analiico e le sue proprieà). Si rammena che la Maemaica finanziaria si basa su ragionameni passo a passo. Qualora ale capacià non sia ra le doi di uno sudene, la frequenza alle lezioni dovrebbe essere consideraa come un agevole e proficuo modo di apprendere. Bergamo - Casellanza, 20 novembre 2010 Ringraziameni Si ringraziano seniamene i professori Franco Cesarini (già Universià Caolica del Sacro Cuore, Milano) e Lorenzo Peccai (Universià Luigi Bocconi, Milano) per i loro preziosi commeni e suggerimeni in merio a precedeni versioni. Nondimeno, la responsabilià di ogni evenuale errore è degli auori. Uleriori commeni e suggerimeni sono gradii e possono essere inviai all indirizzo eleronico 5

6 Indice 1. Calcolo finanziario di base I. Principi finanziari: accumulazione e scono di ammonari di denaro. Ineresse semplice. Ineresse composo. Scono commerciale. II. Tassi equivaleni di ineresse composo. Principio di scindibilià. Faori di monane in 2 variabili e esclusione dell arbiraggio. III. Rendie annue immediae: valori auali, monani e valori. Rendie annue immediae: proprieà. Rendie annue immediae con rae cosani. Rendie periodiche immediae con rae cosani. Rendie perpeue annue immediae. 2. Ripagameno raeale di un presio IV. Il piano di ammorameno. La locazione finanziaria (leasing). V. Legislazione ialiana sul credio al consumo: TAN e TAEG. Legislazione ialiana sui muui ipoecari: TAN e ISC. 3. Valuazione degli invesimeni reali VI. Sull uso dei documeni conabili pro-forma. VII. Il valore auale neo (VAN). VIII. Il asso inerno di rendimeno (TIR). Sull uso congiuno di VAN e TIR. 4. Obbligazioni a asso fisso IX. Apprezzameno di obbligazioni a asso fisso e con cedole annue. Apprezzameno di obbligazioni con cedole semesrali (rimesrali). La funzione rendimeno a scadenza-prezzo. Sul asso di rendimeno effeivo. X. Duraa media finanziaria. XI. La sima del rischio di credio da pare delle agenzie specializzae. XII. Sulla gesione aiva di porafogli obbligazionari. 5. Sruura a ermine dei assi di ineresse XIII. Sui assi di ineresse a bassissimo rischio di credio. Sulla rilevazione della sruura a ermine dei assi Euribor. Tassi di ineresse a ermine. Apprezzameno di obbligazioni a asso variabile. Riferimeni bibliografici 6

7 1. Calcolo finanziario di base I. Principi finanziari: accumulazione e scono di ammonari di denaro Il empo sia misurao in anni e 0 sia il correne isane. Si supponga che un ammonare di denaro C sia presao per uno spazio di empo 0; e sia ripagao mediane un unico ammonare. Poiché l esercizio del credio è aivià remuneraa, il crediore riceverà dal debiore un più elevao valore fuuro o monane FV C I in cambio del presio del capiale C nello spazio di empo 0;. La differenza I è l ineresse maurao, ossia il compenso per il crediore, il quale è, coeeris paribus, ano maggiore quano più disane è la scadenza. Poiché si ha dove df ( ) FV Cf con f 0 1 e 0 per ogni 0 d f è un faore di monane, l accumulazione di denaro (o capializzazione) è un processo nel quale l ineresse si accumula al passare del empo capiale C FV C I Cf () empo 0 empo dall avvio Per il momeno si prescinde sia dal rischio di asso sia dal rischio di credio. In alre parole, non si iene cono del fao che le previsioni insie nell iniziale sruura a ermine del mercao moneario possano non rovare risconro nel successivo andameno emporale dei assi di ineresse, quali l Eonia, gli Euribor e i assi swap inrodoi più avani; inolre, si suppone che il debiore assolva sicuramene i propri obblighi conrauali. Infine, non si considerano espliciamene giorni di differimeno, commissioni e asse. Il coneso è dunque deerminisico, essendo ceri per ipoesi sia gli impori, sia i assi di ineresse, preseni e fuuri. Si supponga che un credio con valore nominale C e scadenza sia venduo al empo 0 a un minore valore auale PV C D, essendo la differenza D lo scono. Il compraore diviene crediore; perano, riceverà un più elevao monane C, comprendene un compenso per il presio PV nello spazio di empo 0;. Poiché si ha PVf C e dunque C PV f con f df ( ) d 0 1 e 0 per ogni 0 dove f 1 è un faore di scono coniugao, lo scono di denaro (o aualizzazione) è un 7

8 procedimeno inverso al precedene, secondo cui un ammonare esigibile a una successiva daa è ridoo a un minore ammonare esigibile a una precedene daa, ques ulimo essendo, coeeris paribus, ano minore quano più disane è la scadenza del credio. 1 PV C D Cf() valore nominale C empo 0 scadenza: empo L accumulazione e lo scono di denaro sono 2 operaori lineari negli ammonari di denaro. Perano, se 2 ammonari di denaro C 1 e C 2 sono presai per uno spazio di empo 0;, il loro monane al empo sarà C C f FV 1 2. Per effeuare i calcoli finanziari in esame, occorre sabilire una regola di accumulazione o di scono di modo che il faore di monane f e il faore di scono coniugao f 1 assumano una specificazione analiica. Siano i un asso annuo di ineresse e d un asso annuo di scono commerciale; nel prosieguo esamineremo le 3 regole usae nella comune praica, dee pure regimi finanziari: l ineresse semplice, per cui f i 1 ; l ineresse composo, per cui f i 1 ; 1 lo scono commerciale, per cui f 1 d In linea di principio, le regole dell ineresse semplice e dello scono commerciale dovrebbero essere uilizzae solamene quando la duraa del presio non supera i mesi. Ove non diversamene specificao, si assumerà in ua la sezione che ogni mese abbia 30 giorni, coerenemene con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea inrodoa appresso. Ineresse semplice Il empo sia misurao in anni, 0 sia il correne isane, e i sia il asso annuo di ineresse semplice, vale a dire l ineresse annuo su un unià di capiale. Si supponga che un capiale C sia presao per uno spazio di empo 0;. Poiché l ineresse semplice si accumula linearmene al passare del empo secondo l equazione il monane I Ci FV C I C Ci C 1 i verrà pagao dal debiore al crediore al empo in cambio del presio di C nello spazio di. 8

9 empo 0;. Perano, il monane di C al empo è pari al capiale C moliplicao per il faore di monane lineare f i 1. Esempio sono presai da mercoledì 16 seembre a mercoledì 16 dicembre al asso annuo dell 1%; si rovi l ineresse semplice applicando la regola di calcolo dei giorni: a) effeivi/360 o effeivi/365; b) 30/360 europea. Le 5 regole di calcolo dei giorni sono spiegae in Cherubini-Della Lunga (2002, pag. 146); il primo (l ulimo) giorno di un presio è sempre escluso (incluso). Soluzione. a) Poiché il presio dura effeivamene giorni, si ha 91 I Ci *0,01* 252, I Ci *0,01* 249, b) Il presio dura convenzionalmene giorni, in quano il 31 del mese va rascurao; se la daa iniziale o finale cadesse il 31 del mese, sarebbe sposaa al 30. Si ha quindi 90 I Ci *0,01* 250, OSSERVAZIONE. A un divisore pari a 360 corrisponde l anno commerciale menre a un divisore pari a 365 corrisponde l anno civile. Esempio sono presai per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al asso annuo del 6%. Si rovino l ineresse semplice e il monane nell ipoesi che ogni mese abbia 30 giorni. Soluzione. Si ha 6 18 I Ci *0,06* * 0,06*1, FV C I C 1 i ,06*1, Esempio 3. All inizio di un cero anno e dopo 9 mesi, e sono rispeivamene presai al asso annuo del 4%. Si rovino l ineresse e il monane dopo alri 12 mesi. Soluzione. La linearià dell ineresse semplice compora che I I A I FV B * 0,04* 2.500* 0, , C C I *1, *1, A B A causa della linearià dell ineresse semplice, il suo ammonare semesrale Ci 0, 5 è meà dell ammonare annuo Ci, il suo ammonare rimesrale Ci 0, 25 è un quaro dell ammonare 9

10 annuo Ci, ec. Le sesse proporzioni valgono per i assi periodali di ineresse semplice, vale a dire gli ineressi periodici su un unià di capiale: il asso semesrale è i 0, 5, il asso rimesrale è i 0,25, ec. Esempio sono presai per 1 anno e 3 mesi a ineresse semplice. Il monane dopo 3 mesi ammona a Si rovino a) il monane annuo; b) il monane finale; c) il asso rimesrale di ineresse; d) il asso annuo di ineresse i. Soluzione. Poiché l ineresse rimesrale è , a) l ineresse annuo e il monane annuo sono rispeivamene 500* e ; b) l ineresse finale e il monane finale sono rispeivamene 500* e ; c) il asso rimesrale di ineresse è 500/ % ; d) si ha i 4* 500/ *1% 4%, cioè 4 vole il asso rimesrale. Ineresse composo Il empo sia misurao in anni, 0 sia il correne isane, e i sia il asso annuo effeivo di ineresse composo. Si supponga che un capiale C sia presao per uno spazio di empo 0;. Qualora l ineresse sia composo annualmene secondo la convenzione esponenziale, il monane FV al empo di un capiale pari a C vale di modo che l imporo C1 i FV C 1 i verrà resiuio al empo in cambio del presio di C nello spazio di empo 0;. Perano, il monane di C al empo è pari al capiale C moliplicao per il faore di monane esponenziale f 1 i. L ineresse composo I al empo vale I FV C C1i C C1i 1. Per i 5%, l ineresse composo su un unià di capiale I 1,05 1 impora 1,05 1 0, , , , , , ,62889 dopo 1 anno dopo 2 anni dopo 3 anni... dopo 10 anni 10

11 DIMOSTRAZIONE. Quando l ineresse è composo annualmene, esso viene aggiuno al capiale alla fine di ciascun anno. Perano, alla fine del primo anno l ineresse maurao Ci viene aggiuno al capiale, che diviene FV C Ci C i 1. Inolre, alla fine del secondo C 1 i i Ci Ci 2 anno l ineresse maurao, dove 2 Ci è ineresse sull ineresse, viene aggiuno al capiale, che diviene FV C1 i C1 ii C1 i 2. Si comprende immediaamene (e si dimosra mediane induzione maemaica) che ciascuna composizione annua dell ineresse equivale a una moliplicazione del capiale per 1 i, da cui si oiene FV C1 i alla fine del -imo anno. Sebbene il empo sia inero nel nosro ragionameno, esso può assumere qualsiasi valore reale non negaivo in forza della convenzione esponenziale. Esempio sono presai per 1 anno, 6 mesi and 18 giorni al asso annuo del 6%, come nel secondo esempio. Si rovino il monane e l ineresse composo nell ipoesi che ogni mese abbia 30 giorni. Soluzione. Si ha FV C I FV C C 1,55 1 i *1, , 02 1 i C , , 02 Si considerino i monani a ineresse semplice e composo allo sesso asso annuo i; i corrispondeni faori di monane sono allora i 1 e i 1. Come si osserva nel seguene diagramma, dove i 100%, l uno cresce linearmene menre l alro cresce esponenzialmene (geomericamene) con i 1 i 1 per ogni 0 1 causa del pagameno dell ineresse sull ineresse. e i 1 i 1 per ogni 1 a 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 ineresse semplice ineresse composo 11

12 Perano, per qualsiasi dao asso annuo di ineresse i e qualsiasi scadenza disane più di 1 anno, il monane a ineresse composo è maggiore di quello a ineresse semplice. Per esempio, si ha i 1 2i i 1 2i per 2, la differenza i 2 essendo l ineresse sull ineresse. Qualora il empo non sia inero, si può pure fare uso della convenzione lineare e quindi della capializzazione misa, secondo la quale il monane FV al empo di un capiale pari a C vale n FV C i i 1 1 dove n con n inero e 0 1. Se, per esempio, n 3 anni e 0,25 anni 3 mesi, il faore di monane vale 1 i 1 i0,25 3 e discende dall applicazione dell ineresse composo per un periodo di 3 anni seguia dall applicazione dell ineresse semplice per un periodo di 3 mesi. Poiché la funzione esponenziale 1 i è convessa, si ha n 1i 1i 1 i ovvero per qualunque duraa inera ( 0 e n) si oiene lo sesso monane con enrambe le convenzioni; per qualunque duraa non inera la capializzazione misa fornisce un monane maggiore. I grafici dei due faori di monane per i 100% sono riporai nel diagramma soo n 4,0000 3,0000 2,0000 1,0000 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 esponenziale lineare Esempio 6. All inizio di un cero anno e dopo 9 mesi, e sono rispeivamene presai al asso annuo del 4%, come nel erzo esempio. Si rovino il monane e l ineresse composo dopo alri 12 mesi, facendo uso della convenzione lineare e della capializzazione misa. Soluzione. Si ha 12

13 FV C A i 1 i C 1 i 1 i 7.956,75 I FV B C A C 7.956, ,75 B Se un presio viene diviso in ioli obbligazionari, il credio all emiene delle obbligazioni (il Tesoro di uno sao sovrano, un ene sovranazionale, una banca, una socieà quoaa,...) può essere conemporaneamene concesso da più sooscriori, con conseguene suddivisione del credio e del rischio di credio; ogni sooscriore ha la facolà di rivendere il proprio credio successivamene. Il rischio di credio riguarda una perdia finanziaria dovua all inadempienza dell emiene delle obbligazioni in merio a dei pagameni conrauali. Nauralmene, un presio obbligazionario risula meno personalizzabile e elasico di un presio bilaerale concesso da un sola banca a un solo presaario. Poiché un obbligazione senza cedola non sacca alcuna cedola, essa quoa sempre a scono; il suo prezzo è dunque minore del valore nominale e pari al valore auale di ques ulimo, calcolao mediane un asso annuo di rendimeno a scadenza. Esempio 7. Un risparmiaore sooscriva oggi, all emissione, delle obbligazioni senza cedola con valore nominale di e duraa di 6 mesi. Il prezzo percenuale di sooscrizione sia 98,058. Si rovino a) l esborso del risparmiaore; b) il asso annuo di rendimeno a scadenza, nel regime dell ineresse semplice; c) il asso annuo di rendimeno a scadenza, nel regime dell ineresse composo. Soluzione. Il empo sia misurao in anni, ogni mese abbia 30 giorni e y indichi il asso annuo incognio. 98,058 a) L esborso del risparmiaore ammona a * 9.805, b) Risolvendo l equazione dove 1 0,5 1 PV C 1 y vale a dire ,058 1 y0,5 100 y è un faore di scono semesrale, si ricava y 2 1 3, 961%. 98, 058 c) Risolvendo l equazione 0, 5 dove 1 PV C1 y 0, 5 vale a dire 98, y y è un faore di scono semesrale, si ricava y 1 4%. 98,058 13

14 Scono commerciale Siano il empo, misurao in anni, 0 il correne isane e d il asso annuo di scono commerciale, vale a dire lo scono annuo su un valore nominale pari a 1. Si supponga che un credio C esigibile al empo sia venduo a una banca al empo 0. Poiché lo scono commerciale cresce linearmene col empo secondo l equazione il valore auale PV D Cd PV C D C Cd C 1 d è l ammonare pagao dalla banca al empo 0. Perano, il valore auale di C al empo 0 è pari al valore nominale C moliplicao per il faore di scono 1 f 1 d ; affinché PV sia posiivo, si deve avere 1. d Esempio 8. Un neopensionao cede il proprio esercizio commerciale. L acquirene emee, ra l alro, una cambiale pagherò avene il neopensionao quale beneficiario; si raa di una promessa di pagameno con valore nominale di e con scadenza a 4 mesi e 15 giorni da adesso. Per disporre immediaamene del proprio credio, il neopensionao fa sconare il pagherò dalla propria banca, la quale applica un asso annuo dell 8%. Si rovi l ammonare incassao dal neopensionao nell ipoesi che ogni mese abbia 30 giorni. Soluzione. Si ha 4 15 D Cd *0,08* * 0,08* 0, PV C D C 1 d ,08* 0, OSSERVAZIONE. La cessione del credio è salvo buon fine; in alre parole, se l emiene della cambiale pagherò fosse insolvene e la cambiale pagherò rimanesse quindi insolua, il beneficiario, ossia il neopensionao, dovrebbe rifondere la banca. Per quesa ragione, la banca si premunirà al momeno dello scono, accerando se si possa concedere al neopensionao un fido con cifra di caselleo non minore del valore nominale del credio. Lo scono di pagherò è operazione bancaria oggi poco frequene menre lo scono di cambiali rae è caduo in disuso. 14

15 ES 1. All inizio di un cero anno, un capiale di è dao in presio al asso annuo del 4% nel regime dell a) ineresse semplice; b) ineresse composo secondo la convenzione esponenziale; c) ineresse composo secondo la convenzione lineare. Quano empo occorre affinché il monane impori 7.000? Il empo sia misurao in anni e ogni mese abbia 30 giorni. a) Poiché dall equazione , 04 si rae ,04 10 anni il periodo incognio nel regime dell ineresse semplice è uguale a 10 anni. b) Poiché dall equazione , 04 si rae log / ,579 anni 8 anni 0,579*360 giorni 8 anni e 209 giorni log1,04 il periodo incognio nel regime dell ineresse composo secondo la convenzione esponenziale è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 29 giorni. 8 c) Poiché dall equazione *1,04 1 0, ,851 0, ,85 si rae 1 0,04 0,574 anni 0,574* 360 giorni 207 giorni il periodo incognio nel regime dell ineresse composo secondo la convenzione lineare è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 27 giorni. ES 2. Un proni conro ermine è un conrao finanziario che prevede una vendia a proni di ioli e un loro conemporaneo riacquiso a ermine; si raa di solio di obbligazioni che hanno un soddisfacene merio di credio e che non saccano una cedola ra i 2 regolameni. Il vendiore si impegna a riacquisare le sesse obbligazioni dal compraore a una precisa daa fuura, per esempio dopo 1-6 mesi, e a un preciso prezzo el quel. Il rischio di credio insio nel conrao è modeso; in caso di insolvenza del presaore di ioli, il presaore di denaro disporrà dei ioli obbligazionari; in caso di insolvenza del presaore di denaro, il presaore di ioli non resiuirà il denaro preso in presio. I proni conro ermine sono sipulai da socieà e da inermediari finanziari per prendere o dare denaro in presio a breve ermine; inolre, sono uilizzai dalle Banche cenrali per influenzare i assi di ineresse. 15

16 Si consideri la seguene negoziazione: una banca ialiana venda a un cliene delle obbligazioni per , la daa di regolameno essendo 3 giorni lavoraivi dopo la daa di negoziazione; la banca si impegni conesualmene a riacquisare le obbligazioni 91 giorni dopo il regolameno per , anche nel caso di insolvenza dell emiene. L ineresse lordo ammona dunque a 800; poiché è assao alla fone con aliquoa fiscale del 12,5%, l ineresse neo e il monane neo ammonano a 700 e a Si rovi il asso annuo neo di ineresse implicio nell operazione monearia; si usino l ineresse semplice e la regola effeivi/365 per il calcolo dei giorni, come avviene in Ialia nel caso dei proni conro ermine su obbligazioni. Il empo sia misurao in anni e i rappreseni il asso annuo di ineresse incognio. Siano C e FV Poiché l ineresse semplice compora che 365 FV C 365 I i 3, 510% 91 C 91 C In alre parole, il asso neo di ineresse semplice è del 3,510% annuo. FV C 1 i , si ha OSSERVAZIONE. La Banca cenrale europea fissa 3+1 assi di ineresse chiave per l area, applicai ai deposii e ai presii per una noe, i quali sono operazioni aivabili su iniziaiva delle conropari, come pure alle operazioni di rifinanziameno principale (a più lungo ermine), le quali sono operazioni di mercao apero. Le operazioni aivabili su iniziaiva delle conropari e le operazioni di rifinanziameno sono svole dalla BCE per gesire la liquidià e adeguare i assi di ineresse a breve ermine alla propria poliica monearia, se la liquidià è scarsa (abbondane), i assi di ineresse a breve ermine vengono spini verso l alo (il basso) a causa di uno squilibrio ra domanda e offera nel mercao moneario. L obieivo principe della BCE e della sua poliica monearia è la sabilià dei prezzi, definia come un asso di inflazione annuo non maggiore del, ma prossimo al 2%, nel medio ermine e nell area. Le banche cenrali nazionali sono prone ad acceare deposii per una noe dal e a fornire presii per una noe al sisema bancario ai assi di ineresse menzionai più sopra. I presii sono effeuabili conro opporune garanzie collaerali; il sisema bancario comprende ue le isiuzioni obbligae a deenere riserve presso le proprie banche cenrali nazionali. I 2 assi per una noe definiscono un corridoio per il asso di rifinanziameno principale; sono usualmene i peggiori assi possibili nell area e fungono pure da pavimeno e da eo per il asso inerbancario per una noe (espresso dallo Eonia, acronimo di Euro OverNigh Index Average, un asso annuo di ineresse semplice dell area applicao secondo la regola effeivi/360 per il calcolo dei giorni; più precisamene ogni Eonia è una media pesaa, calcolaa dalla BCE, dei 16

17 assi per una noe effeivamene applicai a ui i presii inerbancari senza garanzia concessi da un campione di più di 40 banche). Gli alri assi di ineresse sono applicai a periodiche operazioni di mercao apero, gesie dalla BCE araverso ase di proni conro ermine, enue ogni seimana (mese) e relaive a operazioni di duraa seimanale (rimesrale). Le decisioni di riparo sono prese dalla BCE; in un asa a asso e quanià fissi ue le offere sono soddisfae pro-raa, menre in un asa a asso variabile solo le migliori offere sono soddisfae ai loro corrispondeni assi. Ogni vola che si iene un asa, le banche cenrali nazionali presano denaro al sisema bancario per una seimana (un mese); più precisamene, esse comprano a proni e rivendono a ermine un appropriaa quanià di opporuni ioli, il cui valore può essere maggiore o minore dell ammonare in scadenza. Il sisema bancario riceve liquidià dalla BCE soprauo araverso le operazioni di rifinanziameno principale; uavia, la BCE può pure condurre operazioni di mercao apero ad hoc, uilizzando anche alri srumeni finanziari, quali gli swap valuari, o effeuando la compravendia a proni di ioli. Tuavia, per la gesione giornaliera della liquidià le banche si avvalgono soprauo del mercao inerbancario, dando o prendendo in presio impori non minori di 1 milione di. Il rischio di credio è miigao mediane un sisema a 2 livelli, secondo cui le banche più grandi e più conosciue operano ra loro olre confine come pure con le banche più piccole nel loro sesso paese. ES 3. Un cerificao di deposio è un iolo negoziabile abbinao a un deposio vincolao presso una banca. Il cerificao di deposio emesso da una banca per un risparmiaore prevedeva che un capiale di si rasformasse in un monane lordo di in un periodo di 5 anni. Perano, l ineresse lordo ammonò a ; poiché fu assao alla fone con aliquoa fiscale del 12,5%, l ineresse neo e il monane neo ammonarono a e La banca affermò che il asso annuo lordo (neo) di ineresse era l 8% (il 7%). Quale regime dell ineresse aveva impiegao? Il empo sia misurao in anni e i rappreseni il asso annuo di ineresse incognio. Siano C e FV oppure FV monane, si oiene un asso di ineresse lordo (neo).. Facendo riferimeno al primo (secondo) FV C e Nel regime dell ineresse composo si ha: 1 i 5 1 FV 5 i 1 6,961% (6,186%) C 17

18 FV Nel regime dell ineresse semplice si ha: 1 5i C e 1 FV i 18% (7%) 5 C Perano, vige il regime dell ineresse semplice, che favorisce chi prende denaro in presio e quindi la banca in queso caso. La duraa e gli impori sono fiizi, ma il fao è realmene accaduo (fone: Basso, A., Pianca, P., Appuni di maemaica finanziaria, Padova, CEDAM, 2002, pag. 131). OSSERVAZIONE. Secondo il decreo legge 323 del 20/6/1996, la rienua fiscale sugli ineressi dei cerificai di deposio è operaa alla fone con aliquoa del 27%, indipendenemene dalla loro duraa. ES 4. Un risparmiaore sooscriva, all asa di emissione enua dalla Banca d Ialia lunedì 12 gennaio 2009, dei buoni ordinari del Tesoro ialiano 15/1-15/4/2009 per un valore nominale di , pari a 10 vole il aglio minimo. Il prezzo percenuale di aggiudicazione all asa di ali obbligazioni senza cedola sia 99,587; la rienua fiscale è operaa all emissione con aliquoa del 12,50%; la commissione bancaria sia lo 0,10% del valore nominale. La regola per il calcolo dei giorni è effeivi/360. Si rovino a) l esborso del risparmiaore; b) i assi annui lordo e neo di rendimeno a scadenza, nel regime dell ineresse composo. Il empo sia misurao in anni e y indichi il asso annuo incognio di modo che 365 / y è un faore di scono annuo. a) Il prezzo percenuale di sooscrizione è 99,587 (100 99,587) *0, * 0, ,739 99,739 di modo che l esborso del risparmiaore è di * 9.973, b) Poiché il 15 gennaio 2009 cade di giovedì e il 15 aprile di mercoledì, dall inizio al ermine dell operazione monearia inercorrono effeivamene giorni. Si ha 99, / / y e 99, y e quindi il asso lordo y 1,669% e il asso neo y 1,051%. Affinché l 1,051% sia pure il asso annuo neo di rendimeno effeivo, bisogna poer reinvesire, alle condizioni d asa e per alri 9 mesi, il monane di , disponibile dopo 3 mesi. 18

19 OSSERVAZIONE. Qualora al risparmiaore occorresse del denaro prima della scadenza dei suoi BOT, li porebbe rivendere nel mercao secondario. Il regolameno di una sooscrizione all asa di BOT (di una loro successiva rivendia nel mercao secondario) avviene con 3 (2) giorni lavoraivi di differimeno. Il regolameno di una ransazione su CTZ avviene comunque con 3 giorni lavoraivi di differimeno; la regola per il calcolo dei giorni è effeivi/365. I BOT (CTZ) sono emessi con duraa di 3, 6 e 12 mesi (24 mesi) araverso ase eleroniche periodicamene enue dalla Banca d Ialia, compeiive (marginali) per i BOT (CTZ). Sono comunque accole le migliori offere per un obbligazione senza cedola presenae dagli inermediari finanziari; in un asa compeiiva ogni offera aggiudicaaria è soddisfaa al rispeivo prezzo proposo, menre in un asa marginale ue le offere aggiudicaarie sono soddisfae al prezzo marginale, quello dell ulima offera accola. Le commissioni massime di sooscrizione dei BOT a 3 / 6 / 12 mesi sono pari allo 0,10% / 0,20% / 0,30% del valore nominale. Non ci sono commissioni di sooscrizione per i CTZ, in quano esse sono rerocesse dal Tesoro ialiano agli inermediari finanziari aggiudicaari al momeno della sooscrizione. La rienua fiscale è operaa al rimborso dei CTZ con aliquoa del 12,50%. ES 5. Gli Euribor (Euro inerbank offer rae) sono assi annui di ineresse semplice proposi nell area con riguardo a presii inerbancari senza garanzia, di duraa pari a 1, 2, 3 seimane o 1, 2,..., 12 mesi; essi prevedono 2 giorni lavoraivi di differimeno e la regola effeivi/360 per il calcolo dei giorni. Lo Euribor per un presio inerbancario senza garanzia di duraa mensile proposo lunedì 12 gennaio 2004 fu del 2,082% (fone: il Sole 24 Ore, 13/1/2004). Si rovino a) la daa di rimborso e la duraa del presio (si iene cono dell ulimo giorno ma non del primo); b) il faore di monane mensile e l equivalene asso di ineresse composo. Lo sesso capiale fu nuovamene presao a un alra banca alla prima daa uile. Si rovi c) la daa di decorrenza del secondo presio inerbancario senza garanzia. a) Il primo presio in esame iniziò mercoledì 14 gennaio; poiché il 14 febbraio 2004 è sabao, esso erminò lunedì 16 febbraio, durando effeivamene giorni. b) Il faore di monane mensile vale ,02082 * 1, Sia i il asso annuo di ineresse composo equivalene allo Euribor per un operazione in essere dal 14/1/2004 al 16/2/2004; esso soddisfa l equazione 19

20 33 1 0,02082 * i / / dalla quale si rae i 1 0, 02082* , %. 360 c) Il secondo presio in esame cominciò lunedì 16 febbraio; il asso di ineresse applicao fu l opporuno Euribor proposo giovedì 12 febbraio

21 II. Tassi equivaleni di ineresse composo Siano il empo misurao in anni e 0 il correne isane. Si supponga che un capiale C sia presao per uno spazio di empo 0; e che l ineresse sia composo m vole all anno al asso jm periodale im m, essendo il asso conrauale j m un asso annuo nominale converibile m vole all anno. Si consideri il caso di un cono correne; sebbene il asso conrauale j m sia un asso annuo, l ineresse è composo a un minore asso periodale jm im m ; 2 m m 4 implica che l ineresse sia composo semesralmene (rimesralmene) al asso semesrale j2 j4 (rimesrale) i2 i Si indichi con i il asso annuo effeivo di ineresse composo; esso è equivalene a i m, in quano genera lo sesso ineresse (e quindi lo sesso monane) nel corso di un anno (e quindi a qualsiasi scadenza) senza composizioni inermedie. Poiché secondo la convenzione esponenziale il monane FV di un capiale C è dopo un anno m jm FV C 1 C 1 im m con m composizioni per anno m come pure FV C i 1 con un unica composizione per anno si oiene la seguene formula di equivalenza ra assi nominali e effeivi di ineresse m jm 1 m 1 m 1 m i i essendo Ci l ineresse complessivamene maurao nel corso del primo anno. Esempio 9. Un cono correne è remunerao al asso annuo nominale del 10% converibile semesralmene. Si ricavino a) il asso annuo effeivo di ineresse; b) l ineresse maurao nel corso del primo anno su un deposio di Si supponga che la composizione dell ineresse divenga rimesrale senza alcun cambiameno del asso annuo effeivo di ineresse. Si ricavi c) il nuovo asso nominale di ineresse. j2 2 Soluzione. a) Si ha j 2 10% e i 1 1 1, ,25%. 2 2 b) L ineresse maurao nel corso del primo anno su un deposio di è 1.000i * 0, ,5. 21

22 j 1 c) Si ha i 4 e quindi , ,878% 4 Per ogni dao i si può accerare che j 2 1 i 1 0,25 j 4 4 i. 1/ 2 i 2 1, a causa del pagameno dell ineresse sull ineresse, e che la successione j decresce al crescere di m, avendo come limie inferiore il asso annuo nominale converibile isananeamene inrodoo più soo. Perano, qualunque asso annuo nominale è minore del corrispondene asso annuo effeivo. Consideriano ora il caso ideale in cui il asso nominale sia converibile isananeamene e l ineresse sia quindi composo isananeamene. Si fa riferimeno a queso caso, per esempio m quando si devono apprezzare alcuni srumeni derivai. Si ha lim m j m lim m 1/ (1 i) 1/ m m 1 (1 i) lim 0 1 (1 i) ln 1 i lim 0 1 ln(1 i) i dove è un asso annuo nominale converibile isananeamene (o composo coninuamene) e è il corrispondene faore di monane nell inervallo di empo 0 ;. e Esempio 10. All inizio di un cero anno sono collocai in un ideale cono correne, dove l ineresse è composo coninuamene. Il monane dopo 2,5 anni impora ,40. Si rovino a) il asso annuo effeivo di ineresse; b) il asso annuo nominale converibile isananeamene. Soluzione. Il empo sia misurao in anni. Siano inolre C ; FV ,40 ; 2,5 anni. Da FV C( 1 i) Ce consegue che 1/ FV a) 1 3% C i ; b) ln1 i 2, 956% Si osservi che Principio di scindibilià. i come affermao più sopra. Siano il empo misurao in opporune unià e 0 il correne isane. Si indichi con f ( ) un faore di monane che dipende solo dalla duraa dell operazione finanziaria, invece che dalle sue dae iniziale e finale (per esempio, le dae di decorrenza e di scadenza di un presio inerbancario). Si consideri il seguene diagramma 0 22

23 e si ricordi che f( ) è il monane al empo di un invesimeno di 1 nell inervallo 0; menre f ( ) f( ) è il monane al empo di un invesimeno di 1 nell inervallo 0; seguio da un reinvesimeno dell incasso nell inervallo ; Definizione. Il faore di monane f () è scindibile se. f() f( ) f( ) per qualsiasi, 0 vale a dire se il monane non è influenzao dalla poliica di invesimeno. Sia i un asso periodico di ineresse semplice (o composo). Si ha 1 i1 i 1 i ii 1 i nel regime dell ineresse semplice nel regime dell ineresse composo 1 i 1 i 1 i Perano, il faore di monane f ( ) 1 i e il regime dell ineresse semplice non sono scindibili menre il faore di monane f () 1 i scindibili. e il regime dell ineresse composo sono Proposizione. Un faore di monane derivabile f () è scindibile sse (se e solo se) esso è ale che f () 1 i, vale a dire sse l ineresse è composo. DIMOSTRAZIONE. Si ha f ln f ln f ln e quindi l equazione funzionale di Cauchy g g g in virù della sosiuzione g ln f l equazione di Cauchy diviene g0 g0 g0 e quindi g 0 0 Cauchy rispeo a si oiene g dg d dg di modo che d. Per 0. Derivando l equazione di dg d. Perano, si ha, in quano solo una linea rea con inercea nulla ha derivaa cosane e è ale che g 0 0. Infine, ln f g equivale a f e, vale a dire a un faore di monane nel regime dell ineresse composo coninuamene al asso nominale converibile isananeamene. Se f () è scindibile, monani (e valori auali) possono essere calcolai in diversi maniere. Per esempio, poiché la definizione daa più sopra può essere così riscria f( ) f() per qualsiasi, 0 f ( ) il monane di un invesimeno di 1 nell inervallo 0; può essere pure calcolao come il valore 23

24 auale al empo del monane di un invesimeno di 1 nell inervallo 0;. Quesa proprieà maemaica risula uile nel raare le rendie; essa implica pure il principio di equivalenza finanziaria delle rendie, secondo cui il confrono di più rendie sulla base dello sesso asso di ineresse i conduce alle sessa graduaoria, qualunque sia l isane di valuazione. Nel caso di un invesimeno in obbligazioni, i assi annui di rendimeno a scadenza e di rendimeno effeivo sono coereni ra loro solamene soo l ipoesi di scindibilià. Esempio 11. Un invesiore compra delle obbligazioni senza cedola per un valore nominale di e con scadenza dopo 12 mesi. Il asso di rendimeno a scadenza è il 3% annuo. L invesiore rivende le obbligazioni 8 mesi più ardi, quando il asso di rendimeno a scadenza è ancora il 3% annuo. Facendo asrazione da commissioni e asse, si deermini il asso di rendimeno effeivo dell operazione monearia, qualora il asso di rendimeno a scadenza sia espresso nel regime a) dell ineresse semplice, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro ialiani; b) dello scono commerciale, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro briannici e sauniensi; c) dell ineresse composo. Soluzione. Il empo sia misurao in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Un obbligazione senza cedola quoa sempre a scono; il prezzo di mercao è dunque minore del valore nominale e pari al suo valore auale calcolao per mezzo del asso di rendimeno a scadenza. a) L appropriao faore di scono è 1, dove 3% è il asso annuo di rendimeno a 1 0,03 scadenza e è la duraa residua delle obbligazioni. Perano, il prezzo di acquiso è ,37, in quano la duraa residua è 1 anno, menre il prezzo di rivendia è 1 0,03* ,50, in quano la duraa residua è 4 mesi. Il asso annuo effeivo 1 0, 03* 4/ 12 incognio soddisfa l equazione monane capiale prezzo di rivendia prezzo di acquiso 4.950, ,37 1 r dalla quale si rae r 2,970% ; si raa di un asso di ineresse semplice. Poichè l ineresse semplice non è scindibile e l invesimeno viene inerroo prima della scadenza, il asso di rendimeno effeivo dell operazione monearia differisce dal asso di rendimeno a scadenza, cosane per ipoesi. b) L appropriao faore di scono è 1 0,03, dove 3% è il asso annuo di rendimeno a

25 scadenza e è la duraa residua delle obbligazioni. Perano, il prezzo di acquiso è ,03* menre il prezzo di rivendia è ,03* Il asso 12 annuo effeivo incognio soddisfa l equazione monane capiale prezzo di rivendia prezzo di acquiso d dalla quale si rae d 3,030% ; si raa di un asso di scono commerciale. Poichè lo scono commerciale non è scindibile e l invesimeno viene inerroo prima della scadenza, il asso di rendimeno effeivo dell operazione monearia differisce dal asso di rendimeno a scadenza, cosane per ipoesi. c) L appropriao faore di scono è 1,03, dove 3% è il asso annuo di rendimeno a scadenza e è la duraa residua delle obbligazioni. Perano, il prezzo di acquiso è 5.000*1, ,37 menre il prezzo di rivendia è 4/ * 1, , 98. Il asso annuo effeivo incognio soddisfa l equazione monane capiale prezzo di rivendia prezzo di acquiso 4.950, , r dalla quale si rae r 3,000% ; si raa di un asso di ineresse composo. Poichè l ineresse composo è scindibile, il asso di rendimeno effeivo dell operazione monearia coincide con il asso di rendimeno a scadenza, cosane per ipoesi. Faori di monane in 2 variabili e esclusione dell arbiraggio Siano il empo misurao in opporune unià e 0 il correne isane. Si indichi con f ( 0; ) un faore di monane che dipende dalle dae iniziale e finale dell operazione finanziaria (per esempio, le dae di decorrenza e di scadenza di un presio inerbancario). Definizione. Il faore di monane in 2 variabili f ( ; ) è scindibile se f ( 0; ) f ( ; ) f (0; ) per qualsiasi, 0 vale a dire se il monane non è influenzao dalla poliica di invesimeno Proposizione (di F.P. Canelli). Un faore di monane differenziabile f ( ; ), funzione di 2 variabili, è scindibile sse (se e solo se) esso è ale che f ( 0; ) exp ( ) d, vale a dire sse 0 l ineresse è composo coninuamene al asso nominale () converibile isananeamene. DIMOSTRAZIONE. Ponendo T, si ha ln f (0; ) ln f ( ; T ) ln f (0; T ) e quindi 25

26 l equazione funzionale di Cauchy g( 0; ) g( ; T ) g(0; T ) per funzioni di 2 variabili in virù della sosiuzione g( 0; ) ln f (0; ). Per T 0 l equazione di Cauchy diviene g 0;0 g0;0 g0;0 e quindi g 0;0 0 oiene Perano, si ha ; T g0 T g ; T T di modo che g ; T T T g ( ; T ) ln f ( ; T ) ( T ) dt e quindi. Derivando l equazione di Cauchy rispeo a T si ( T ), in quano g 0; T T dipende solo da T. f ( 0; ) exp ( ) d, vale a dire un 0 faore di monane nel regime dell ineresse composo coninuamene. La scindibilà dell ineresse composo può essere dimosraa nel più generale caso di misurabilià dei faori di monani in 2 variabili. Se l andameno emporale di () è noo, ci si rova in condizioni di cerezza, in quano sono pure noe sruure a ermine dei assi di ineresse, sia la correne sia ue le fuure. Più precisamene, i 0; di duraa ; exp d ( ) 0 è il correne asso a proni di ineresse per un operazione finanziaria exp ( ) d i ; è il asso a proni di ineresse vigene al empo per un operazione finanziaria di duraa ; se () è funzione crescene / cosane / decrescene del empo, pure i assi a proni di ineresse correni i 0 ; (fuuri i ; ) crescono / rimangono invariai / decrescono con la duraa ( ). Se si fa asrazione da elemeni di ario quali asse, vincoli alle posizioni core, commissioni, forbici denaro-leera, esise un unica sruura a ermine dei assi di ineresse. In ale caso, si accera agevolmene che l arbiraggio è escluso, sse i valori auali e fuuri sono operaori lineari negli ammonari di denaro, i faori di monane in 2 variabili essendo scindibili. Si rammena che l arbiraggio è un insieme di simulanee operazioni finanziarie che non richiede alcun esborso (neo) e procura o può procurare un qualche incasso. 26

27 ES 6. Un cero cono correne bancario è remunerao al asso nominale di ineresse del a) 3,8% annuo converibile rimesralmene; b) 4% annuo converibile rimesralmene; c) 3,8% annuo converibile semesralmene. Si rovino i corrispondeni assi annui effeivi di ineresse. Si consideri la formula dove 1 i 1 jm m j m è un asso annuo nominale di ineresse converibile m vole all anno e i è il corrispondene asso annuo effeivo di ineresse. a) Sosiuendo m 4 e j m j 4 3,8 % nella formula più sopra si oiene i 3, 854%. b) Sosiuendo m 4 e j m j 4 4 % nella formula più sopra si oiene i 4, 060%. c) Sosiuendo m 2 e j m j 2 3,8 % nella formula più sopra si oiene i 3, 836%. m ES 7. All inizio di un cero anno sono posi in un ideale cono correne remunerao al asso nominale annuo del 4% converibile rimesralmene. a) Quano empo occorre affinché il monane impori 5.500? b) Qual è l ineresse composo? Il empo sia misurao in anni e ogni mese abbia 30 giorni. 4 a) Poiché dall equazione ,01 si rae ln 2, 395 anni 2 anni e 143 giorni ln1, 01 il periodo incognio è uguale a 2 anni e almeno 143 giorni. b) L ineresse composo ammona a I FV C ES 8. All inizio di un cero anno sono collocai in un cono correne bancario che genera ineresse al asso nominale del 5,48% annuo converibile semesralmene. L aliquoa della rienua fiscale sull ineresse è del 27%. a) Tenendo cono dell onere fiscale, si deermini il asso (lordo) equivalene nel caso di composizione annua dell ineresse. 27

28 b) Si supponga che né il asso di ineresse, né l aliquoa fiscale cambino nel empo. Si rovi il massimo prelievo cosane che può essere effeuao alla fine di ogni semesre senza che il cono correne si esaurisca. c) Supponendo che ale prelievo avvenga regolarmene, si deermini il monane neo dopo 3 anni e 3 mesi (suggerimeno: si usino la convenzione lineare e dunque la capializzazione misa). a) Il asso di ineresse incognio i soddisfa l equazione 0, i 2 1 0, ,27 secondo la quale il faore di monane annuo neo è lo sesso in enrambi i casi. La soluzione dell equazione è i 5, 535%. b) Il massimo prelievo semesrale possibile è pari all ineresse semesrale neo 0, , * 2% essendo il asso semesrale neo di ineresse del 2%. Qualsiasi imporo maggiore svuoerebbe prima o poi il cono correne. c) Il monane 3 mesi dopo ogni prelievo, e quindi pure alla daa richiesa, è , Tuavia, l ineresse rimesrale neo, pari a 1.000, non è ancora sao composo. OSSERVAZIONE. Secondo il DPR 600 del 29/9/1973 (ar. 26, comma 2) e i successivi aggiornameni, ivi compreso il decreo legge 323 del 20/6/1996 (ar. 7, comma 6), la rienua fiscale sugli ineressi dei deposii e coni correni bancari o posali è operaa alla fone con aliquoa del 27% dalle banche o dalle Pose ialiane. Essa è a iolo di imposa per le persone fisiche, a iolo di accono per gli imprendiori individuali e le socieà per azioni; per un elenco più compleo si rimanda a Mignarri (2010). Tale disinzione vale pure per i proni conro ermine e i cerificai di deposio inrodoi più sopra. ES 9. Un capiale di è presao da maredì 1 marzo a mercoledì 1 giugno al asso di ineresse semplice dell 1,80% annuo. Il monane neo è nuovamene presao da mercoledì 1 giugno al asso di ineresse semplice del 2% annuo. Vige la regola effeivi/365 per il calcolo dei giorni, menre l ineresse è assao alla fone con aliquoa fiscale del 12,5%. Tenendo cono dell onere fiscale, si rovino 28

29 a) la duraa e la daa di scadenza del secondo presio alle quali corrisponde un monane neo di ,73; b) l ineresse neo delle 2 operazioni monearie in combinazione. Il empo sia misurao in giorni e rappreseni la duraa incognia del secondo presio. Siano C e M , a) Poiché il primo presio dura effeivamene giorni, il monane neo alla sua scadenza vale 92 M1 C1 0,018 1, 365 0, Il monane neo alla scadenza del secondo presio soddisfa l equazione M 2 M 1 1 0, ,125 dalla quale si ricava M giorni M 1 0,02*0,875 Poiché il secondo presio dura effeivamene giorni, la sua daa di scadenza è lunedì 3 oobre. b) L ineresse neo delle 2 operazioni monearie in combinazione vale M2 C 1987., 73. ES 10. All inizio di un cero anno, un capiale di è presao per 24 mesi al asso di ineresse composo del 4% annuo. Alla scadenza, il monane è presao per alri 12 mesi al asso di ineresse composo del 3,75% annuo. Si rovino a) il monane e l ineresse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione; b) il asso annuo effeivo di rendimeno delle 2 operazioni finanziarie in combinazione. Il empo sia misurao in anni e r rappreseni il asso annuo effeivo di rendimeno incognio. Sia C a) Il monane dopo 24 mesi è M menre il monane dopo 36 mesi è M 2 1 0, C, 1 0, M1, Perano, l ineresse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione è M2 C , 00 29

30 b) Il asso annuo effeivo di rendimeno r soddisfa l equazione M C 3 rae 1 M2 3 r 1 3,917% C 2 1 r Si enga presene che il asso annuo effeivo di rendimeno r soddisfa pure l equazione 1 0, , r 3 che esprime l equivalenza ra i faori di monane., dalla quale si ES 11. Il asso di ineresse di un cono correne bancario è il 3% annuo effeivo. L aliquoa della rienua fiscale sull ineresse è del 27%. Il asso annuo di inflazione è l 1,178%. Supponendo che né il asso di ineresse, né l aliquoa fiscale, né il asso di inflazione cambino nel empo, si deerminino a) il asso reale di ineresse annuo dopo le impose; b) il monane reale di dopo 7 anni. a) Poiché i monani nei nominale e reale di 1 dopo 1 anno sono 10,03 10,27 1,0219 e 10,03 10,27 1, il asso reale di ineresse annuo dopo le impose vale 1,011 1%. 1, , b) Il monane reale dopo 7 anni è ,01 =10.721,35 1,

31 III. Rendie annue immediae: valori auali, monani e valori Il empo sia misurao in anni. Si supponga che l ineresse sia composo (e le rae siano sconae) al asso i annuo effeivo. Una rendia annua immediaa sipulaa, emessa o compraa al empo 0 è una sequenza (o successione finia) di n rae annue posicipae, la prima R 1 0 con scadenza dopo 1 anno e la -ima R 0 con scadenza dopo anni, alla fine del -imo anno. Tale sequenza di rae posiive è rappresenaa dal seguene diagramma R1 R 2 Rn n 1 Rn n Per agevolare la comprensione facciamo riferimeno a un caso ideale ma significaivo. Un obbligazione sicura, emessa al empo 0, promea di pagare le rae più sopra. Non ci siano commissioni e asse. Poiché l emiene rispeerà sicuramene i propri impegni, il conrao finanziario non compora rischio di credio. E neppure compora rischio di asso, essendo i il suo rendimeno a scadenza in qualsiasi momeno fino alla scadenza finale. Un invesiore compri l obbligazione sicura all emissione e la enga sino alla scadenza; ogni raa R sia versaa in un cono correne, remunerao al asso annuo i di ineresse composo. Il valore auale al empo 0 di una rendia annua immediaa è n k n Rk 1i R 1i R 1i Rn1i k1 vale a dire la somma dei valori auali di ue le n rae come pure, nel nosro esempio, il prezzo al empo 0 del conrao finanziario sicuro. Il monane al empo n di una rendia annua immediaa è n n k n 1 1 n Rk 1i R 1i R21i 2 Rn k1 vale a dire la somma dei monani di ue le rae, come pure, nel nosro esempio, il saldo al empo n del cono correne. Il valore al empo di una rendia immediaa con rae annue posicipae è k Rk k 1 i R 1 i k k ( k) vale a dire il monane di ue le rae in scadenza prima del e al empo più il valore auale di ue le rae in scadenza dopo il empo. Il empo può assumere qualsiasi valore reale. Nel 31

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