LEZIONE 37. x 2 a 2 + y2. b 2 = 2z, x 2. a 2 y2. b 2 = 2z. Esempio Sia S il cilindro luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l equazione
|
|
- Gerardina Falco
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LEZIONE Altri esempi di superfici. In questo paragrafo daremo altri esempi di superfici. Esempio Sia D R 2 un aperto. Allora il grafico Γ ϕ di una funzione ϕ: D R 3 di classe C 1 è una superficie regolare. Infatti la parametrizzazione f = (u, v, ϕ) è iniettiva (attenzione, come per le curve, si richiede l iniettività di f, non di ϕ). Inoltre Jf (u0,v 0 ) = 1 0 ϕ (u 0, v 0 ) ϕ ha sempre, evidentemente, rango 2. Per esempio siano a, b > 0 e si considerino il paraboloide ellittico e quello iperbolico di semiassi a, b, rispettivamente di equazioni x 2 a b 2 = 2z, x 2 a 2 2 b 2 = 2z. Esempio Sia S il cilindro luogo dei punti P = (x,, z) soddisfacenti l equazione ( ) x = ϱ 2. Sia P x la proiezione ortogonale del punto P sul piano x. Indichiamo con u l angolo formato da ı e OP x. Indichiamo con v la quota del punto P (si veda la Figura 37.1). Chiaramente P = (ϱ cos u, ϱ sin u, v). In particolare S è immagine dell applicazione f: R 2 R 3 (ϱ cos u, ϱ sin u, v). In tal caso abbiamo Jf (u0,v 0 ) = ϱ sin u 0 0 ϱ cos u Tpeset b AMS-TEX
2 ALTRI ESEMPI DI SUPERFICI Si noti che tale matrice ha sempre rango 2. z S v P O u ρ P x x Figura 37.1 Il cilindro considerato è un caso particolare di cilindro proiettante una curva nel senso della costruzione seguente. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 una qualsiasi curva parametrizzata e p = p x ı + p j + p z k un vettore non nullo. Si consideri f: R I R 3 (g x (u) + p x v, g (u) + p v, g z (u) + p z v). La superficie Cil(C, w) = im(f) viene detta cilindro proiettante C secondo la direzione di p. Risulta dg x du (u 0) p x Jf (u0,v 0 ) = dg du (u 0) p : dg z du (u 0) p z in particolare, se g è una parametrizzazione regolare di C, la superficie parametrizzata f è regolare in P 0 = f(u 0, v 0 ) se e solo se la retta tangente a C in Q 0 = g(u 0 ) non è parallela al vettore p. Si noti che, essendo (ϱ cos u, ϱ sin u, v) = (ϱ cos u, ϱ sin u, 0) + (0, 0, 1)v, il cilindro d Equazione ( ) è esattamente il cilindro proiettante la circonferenza di centro (0, 0, 0) e raggio ϱ contenuta nel piano x secondo la direzione di k. Chiaramente se C è piana e p è parallelo al piano di C, tale superficie è esattamente una regione non limitata del piano di C. Se p non è parallelo all eventuale piano contenente C (se ne esiste uno), allora Cil(C, p) è regolare se e solo se la curva C lo è. Come ultimo esempio si consideri la cubica sghemba C di equazioni (x,, z) = (t, t 2, t 3 ) definita nella Lezione 13. Sia p = ı + j + k. Allora Cil(C, p) ha equazioni parametriche (x,, z) = (u + v, u 2 + v, u 3 + v)
3 LEZIONE 37 3 Esempio Sia S il cono luogo dei punti P = (x,, z) soddisfacenti l equazione ( ) x = z 2. Allora l angolo formato da OP e k è costantemente uguale a π/4. Sia P x la proiezione ortogonale del punto P sul piano x. Indichiamo con u l angolo formato da ı e OP x. Indichiamo poi con v la quota del punto P. z v P O u P x x Figura 37.2 Chiaramente S è immagine dell applicazione In tal caso abbiamo f: R 2 R 3 (v cos u, v sin u, v). Jf (u0,v 0 ) = v 0 sin u 0 cos u 0 v 0 cos u 0 sin u 0 Si noti che tale matrice ha rango 2 per v 0. Il cono considerato è un caso particolare di cono proiettante una curva nel senso della costruzione seguente. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 una qualsiasi curva parametrizzata e A = (x A, A, z A ) un punto. Si consideri f: R I R 3 (x A + (g x (u) x A )v, A + (g (u) A )v, z A + (g z (u) z A )v). La superficie Cono(C, A) = im(f) viene detta cono proiettante C dal punto A e il punto A si dice vertice del cono. Risulta dg v x 0 du (u 0) g x (u 0 ) x A Jf (u0,v 0 ) = dg v 0 du (u 0) g (u 0 ) A : dg v z 0 du (u 0) g z (u 0 ) z A.
4 ALTRI ESEMPI DI SUPERFICI in particolare la superficie parametrizzata f non è regolare per v 0 = 0, cioè nel punto A. Per esercizio determinare una condizione geometrica su A e C che permetta di descrivere il luogo dei punti regolari della parametrizzazione f (almeno nell ipotesi di regolarità di g). Si noti che, essendo (v cos u, v sin u, v) = (0, 0, 0) + (cos u, sin u, 1)v, il cono avente Equazione ( ) è esattamente il cono proiettante la circonferenza di centro (0, 0, 1) e raggio 1 contenuta nel piano di equazione z = 1 dall origine O. Cosa accade se C è piana e se A appartiene al piano della curva? Come ultimo esempio, si consideri, di nuovo, la cubica sghemba C di equazioni (x,, z) = (t, t 2, t 3 ). Sia A = (1, 0, 1). Allora Cono(C, A) ha equazioni parametriche (x,, z) = (1 v + uv, u 2 v, 1 v + u 3 v) Esempio Un esempio di superfici interessanti sono quelle ottenute nel modo seguente. Sia C R 3 non intersecante l asse delle z: per ogni P C indichiamo con P z la sua proiezione ortogonale sull asse z che, per ipotesi, è diversa da P. Consideriamo allora la superficie Seg(C) unione di tutte le rette r P Pz passanti per P e P z. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 è una parametrizzazione di C: se P = g(t), allora P z = (0, 0, g z (t)), quindi una parametrizzazione per Seg(C) è con I R. Allora f = (vg x (u), vg (u), g z (u)), Jf (u,v) = du (u) g x(u) du (u) g (u). du (u) 0 v dg x v dg dg z Determinare l insieme dei punti dove f non è regolare. Per esempio sia C l elica cilindrica di raggio ϱ e passo h parametrizzata da g(t) = (ϱ cos t, ϱ sin t, ht), t R. Allora Seg(C) viene detta elicoide di passo h. Una sua parametrizzazione è data da h = (vϱ cos u, vϱ sin u, hu), con R 2. Si noti che sostituendo al parametro v il parametro v/ϱ si ottiene una nuova parametrizzazione dell elicoide f = (v cos u, v sin u, hu), con R 2, indipendente da ϱ: ovvero l elicoide dipende solo dal passo dell elica generatrice, non dal suo raggio.
5 LEZIONE Il piano tangente a una superficie. Ritorniamo ora sulla nozione di superficie regolare per introdurre la nozione di piano tangente ad una superficie in un suo punto. Ricordiamo che dire che S è una superficie regolare significa che esiste una sua parametrizzazione f: D S che sia iniettiva, di classe C 1 e tale che x x Jf (u,v) = su D. Dal punto di vista geometrio quest ultima condizione significa che,, pensati come vettori applicati, non sono mai paralleli. Si fissi P 0 S e sia (u 0, v 0 ) D tale che f(u 0, v 0 ) = P 0 : d ora innanzi supporremo che la superficie S sia regolare in P 0. Se C S è una curva regolare passante per P 0 si può vedere facilmente che esiste una funzione regolare g: I D tale che F = f g: I R 3 sia una parametrizzazione regolare di C. Se F (t 0 ) = P 0, allora g(t 0 ) = (u 0, v 0 ) e la retta tangente T P0 (C) a C in P 0 risulta essere parallela al vettore df dt (t 0) = (u 0, v 0 ) dg u dt (t 0) + dg v dt (t 0) 0. In particolare tale retta è perpendicolare al vettore N = (u 0, v 0 ) (che è non nullo per l ipotesi sul rango della matrice jacobiana). Viceversa consideriamo un qualsiasi vettore p perpendicolare a N, quindi complanare con i vettori (u 0, v 0 ),. Allora esistono λ u, λ v R non contemporaneamente nulli e tali che p = λ u (u 0, v 0 ) + λ v. Siano λ = λ 2 u + λ 2 v e w = λ 1 (λ u, λ v ) allora ( ) p = λ w u (u 0, v 0 ) + w v = λ w (u 0, v 0 ). Consideriamo la funzione g: R R 2 definta da g(u 0 +tw u, v 0 +tw v ). La funzione F = f g è definita in un opportuno intorno sferico di (u 0, v 0 ) e risulta df (0) = dt w (u 0, v 0 ) = w u (u 0, v 0 ) + w v.
6 IL PIANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE Quanto detto sopra dà una motivazione del fatto che il sottospazio generato N in V 3 (O) non dipende dalla parametrizzazione, ma solo dal punto P 0 e dalla superficie, in quanto contiene tutti i vettori perpendicolari alle rette tangenti a tutte le curve tracciate su S nel punto P 0. Per questo motivo diamo la seguente definizione Definizione Sia S una superficie regolare e f: D R 3 una sa parametrizzazione regolare. Se P 0 = f(u 0, v 0 ) S, la retta N P0 (S) di equazione x = f(u 0, v 0 ) + τ ( (u 0, v 0 ) ) τ R, viene detta retta normale a S nel punto P 0. Ogni vettore parallelo a N P0 (S) viene detto vettore normale a S in P 0. Il piano T P0 (S) passante per P 0 e perpendicolare a N P0 (S) viene detto piano tangente a S nel punto P 0. Riprendiamo ora gli esempi in questa lezione ed in quella precedente e calcoliamo l equazione del piano tangente (e, quindi, della retta normale). Per esercizio si verifichi che se π R 3 è un piano e P 0 π, allora T P0 (π) = π. Esempio Si consideri la sfera S di centro l origine e raggio ϱ > 0. Ricordiamo (si veda il Paragrafo ) che una sua parametrizzazione è P = f = (ϱ cos u cos v, ϱ sin u cos v, ϱ sin v) e che la corrispondente matrice jacobiana è sin u cos v cos u sin v Jf (u,v) = ϱ cos u cos v sin u sin v. 0 cos v Dunque, quando v 0 π/2 + kπ, k Z, un vettore normale a S in P 0 = f(u 0, v 0 ) è (cos u 0 cos v 0 ) ı + (sin u 0 cos v 0 ) j + (sin v 0 ) k. Concludiamo che il piano tangente a S in un suo punto P (0, 0, 1), (0, 0, 1), è il piano passante per P e perpendicolare a OP. Cambiando parametrizzazione si osserva che vale una caratterizzazione analoga per il piano tangente a S nei punti (0, 0, 1) e (0, 0, 1). Esempio Sia D R 2 un aperto. Abbiamo visto nell Esempio come il grafico Γ ϕ di ogni funzione ϕ: D R 3 di classe C 1 sia una superficie regolare. Se (u 0, v 0 ) D, allora 1 0 Jf (u0,v 0 ) =, ϕ (u ϕ 0, v 0 )
7 LEZIONE 37 7 sicché la retta normale N P0 (Γ ϕ ) a Γ ϕ nel punto P 0 = (u 0, v 0, ϕ(u 0, v 0 )) è parallela al vettore. ϕ (u 0, v 0 ) ı ϕ j + k. In particolare il piano tangente T P0 (Γ ϕ ) a Γ ϕ in P 0 ha equazione ϕ (u 0, v 0 )(x u 0 ) ϕ ( v 0 ) + (z ϕ(u 0, v 0 )) = 0 o, esplicitando rispetto a z, z = ϕ(u 0, v 0 ) + ϕ (u 0, v 0 )(x u 0 ) + ϕ ( v 0 ). Si noti che l equazione di tale piano non è altro che la parte iniziale dello sviluppo di Talor della funzione ϕ di punto iniziale (u 0, v 0 ). Esempio Si consideri il cilindro S dell Esempio Una sua parametrizzazione è P = f = (ϱ cos u, ϱ sin u, v) e che la corrispondente matrice jacobiana è ϱ sin u 0 Jf (u,v) = ϱ cos u 0. Dunque un vettore normale a S in P 0 = f(u 0, v 0 ) è (cos u 0 ) ı + (sin u 0 ) j. Tale vettore è parallelo a OP x ove P x è la proiezione ortogonale di P 0 sul piano x: concludiamo che il piano tangente a S in un suo punto P 0, è il piano passante per P 0 e perpendicolare OP x. Osservazione Si consideri il cono Cono(C, A) proiettante la curva C dal punto A. Abbiamo già determinato una parametrizzazione f di tale superficie in funzione di una parametrizzazione g di C. Abbiamo anche visto che anche se C è regolare, la parametrizzazione indotta f non è mai regolare in A. In effetti si dimostra facilmente che la superficie Cono(C, A) stessa non è mai regolare nel suo vertice. Infatti, se C non è piana, su Cono(C, A) giacciono tre rette passanti per A e non complanari. Dunque non può esistere nessun piano contenente le rette tangenti in A a tutte le curve tracciate su Cono(C, A), cosa che dovrebbe accadere se Cono(C, A) fosse regolare.
LEZIONE 36. si dice regolare se è. per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.
LEZIONE 36 36.1. La definizione di superficie. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Come già fatto per le curve, considereremo
DettagliLEZIONE 13. f + g: I R n
LEZINE 13 13.1. Funzioni a valori in R n. Ricordiamo che gli elementi R n sono le n uple ordinate ( 1,..., n ) di numeri reali. Se = ( 1,..., n ) R n e α R, poniamo + = ( 1 + 1,..., n + n ), α = (α 1,...,
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliI FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio
DettagliVi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a
ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Geometria proiettiva Esercizio 1. Dire quali tra le seguenti coordinate omogenee dei punti in P 2 rappresentano
DettagliFormulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2
Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto
DettagliCorso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni
Dettagliviene detto il sostegno della curva. Se σ è iniettiva, diciamo che la superficie è semplice. Le equazioni
Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 2010-11 (Canale 1) Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica Valentina Casarino Appunti sulle superfici 1. Superfici regolari Ricordiamo
DettagliSoluzioni. 1. Disegnare il grafico della funzione f : R 2 R, nei casi:
Soluzioni. Disegnare il grafico della funzione f : R 2 R, nei casi: (a) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. In questo caso il grafico rappresenta un piano (vedi figura). (b) f(, ) = 2.
Dettagli1 Rette e piani nello spazio
1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002
Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere
Dettagli2 Forma canonica metrica delle ipequadriche
26 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Iperquadriche Sia A una matrice reale simmetrica n n, non nulla, sia b un vettore colonnna in R n e sia c R. L insieme delle soluzioni in R n dell equazione X t AX +
DettagliCurve e superfici parametrizzate. R. Notari
Curve e superfici parametrizzate R. Notari 17 Aprile 2006 1 1. Cambi di parametro. Proposizione 1 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia ϕ : s (c, d) ϕ(s) (a, b) una
DettagliGEOMETRIA B Esercizi
GEOMETRIA B 2016-17 BARBARA NELLI A.A. 2016-17 Alcuni degli esercizi sono presi dal libro DC [1]. 1. Esercizi Esercizio 1.1. Sia α : I R 3 una curva parametrizzata e sia v R 3 un vettore fissato. Assumiamo
DettagliESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ
ESAME DI GEOMETRIA 6 febbraio CORREZIONE QUIZ. La parte reale di ( + i) 9 è positiva. QUIZ Si può procedere in due modi. Un primo modo è osservare che ( + i) =i, dunque ( + i) 9 =(+i)(i) 4 = 4 ( + i) :
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica
DettagliCdL in Ingegneria Informatica (A-Faz), (Orp-Z) CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale
Prova scritta di Geometria assegnata il 13 Dicembre 2003 Sia Si consideri l equazione AX = A t. 0 1 1 A = 1 1 5 R 3,3. 1 2 1 h 1) Determinare i valori di h per cui tale equazione ammette soluzioni. 2)
DettagliGeometria 4 (nuovo ordinamento) Esame scritto del 1/4/2004
Esame scritto del /4/2004 Le risposte non giustificate o illeggibili non saranno corrette. A fianco di ogni domanda è indicato il punteggio. Si è ammessi all orale con un punteggio minimo di 2/33. Esercizio.
DettagliEsericizi Quadriche e Coniche nello spazio
Esericizi Quadriche e Coniche nello spazio 1. In R 3 sia A = (1, 1, 0) e sia r la retta passante per A, parallela al piano x + y + z = 0 e complanare alla retta s di equazione cartesiana x + y z = 0 =
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliEsercizi su esponenziali, coni, cilindri, superfici di rotazione
Esercizi su esponenziali, coni, cilindri, superfici di rotazione Esercizio 1. Risolvere exp (exp (z)) = i. Esercizio. Risolvere i exp(z)z 4 + i exp(z)(1 + i) z 4 i 1 = 0. Esercizio. Risolvere exp(z) =
DettagliLEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo
LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliCORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)
CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi
Geometria 3 A.A. 2014 2015 Esercizi Equivalenza omo- Omotopia di applicazioni contiue. topica. Si dimostri che lo spazio X = {x R 2 : x 1} è connesso. Si dimostri che lo spazio topologico è connesso. X
DettagliSUPERFICI DI ROTAZIONE
SUPERFICI DI ROTAZIONE Esercizio Determinare l equazione del cono di vertice V e avente la curva come direttrice, ove y = 0 V (0; 3; 0) e : x 2 + 3z 2 2x + z = 0 Prendo un punto P generico sulla curva,
DettagliCORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova II prova parziale TEMA n.1
CORSO DI FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Padova 15-06-2010 II prova parziale TEMA n.1 Parte 1. Quesiti preliminari. Stabilire se le seguenti affermazioni sono
DettagliUniversità degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Civile e Ambientale
CdL in ngegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 26 gennaio 2018 Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. 1) Siano
DettagliEsercizi sulle superfici - aprile 2009
Esercizi sulle superfici - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio 1. Scrivere l equazione della superficie ottenuta ruotando la retta s : x = y, y =z attorno alla retta r : x = y, x =3z. Soluzione:
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003
Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,
DettagliLEZIONE 9. Figura 9.1.1
LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi. Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante.
Geometria 3 A.A. 2016 2017 Esercizi Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante. Risultante. Si dimostri che il polinomio f(x, y) = x 2 y +x 5 +1 è irriducibile in C[x, y]. Sia K un campo.
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliAnalisi Matematica 2. Superfici e integrali superficiali. Superfici e integrali superficiali 1 / 27
Analisi Matematica 2 Superfici e integrali superficiali Superfici e integrali superficiali 1 / 27 Superficie Sia D un dominio connesso di R 2 (per def. un dominio connesso é la chiusura di un aperto connesso).
DettagliIntegrali di superficie
Integrali di superficie Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Integrali curvilinei Analisi Matematica 2 1 / 27 Superfici in forma parametrica Procediamo
DettagliEsonero di GEOMETRIA 1 - C. L. Matematica 21 Febbraio M 2 (R) a + 2b d = 0.
Esonero di GEOMETRIA 1 - C. L. Matematica 21 Febbraio 2013 1. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di M 2 (R): ( ) ( ) 0 1 0 1 U =,, 1 0 1 0 ( ) a b V = c d } M 2 (R) a + 2b d = 0. (a) Si determinino
DettagliEsercizi 5 soluzioni
Esercizi 5 soluzioni Alessandro Savo, Geometria Differenziale 27-8 Esercizi su geodetiche e curve su superfici. Esercizio Determinare l area della regione del paraboloide z = x 2 + y 2 compresa tra i piani
DettagliCdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni
CdL in Ingegneria Informatica - Ingegneria Elettronica (P-Z) Ingegneria delle Telecomunicazioni Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 9 Gennaio 3 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall
DettagliRETTE E PIANI NELLO SPAZIO
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio
DettagliAlgebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013
Diario delle esercitazioni e lezioni per il corso di Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 (solo la parte per Fisici e Matematici, non ci sono le lezioni del Modulo B) Lidia Stoppino Lezione 1 9
DettagliLEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1
LEZIONE 10 10.1. Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del
DettagliRisolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi).
La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani esercizi 1 prof D Benetti Risolvere i seguenti esercizi (le soluzioni sono alla fine di tutti gli esercizi) Esercizio 1 Determina due
DettagliEsercizi di Geometria 1 Foglio 4 (24 novembre 2015)
Esercizi di Geometria 1 Foglio 4 (24 novembre 2015) (esercizi analoghi potranno essere chiesti all esame scritto o orale) 6. Coniche. Esercizio 6.1 (Definizione intrinseca di ellisse, iperbole e parabola)
DettagliLezione Sfere nello spazio
Lezione 12 12.1 Sfere nello spazio In questa lezione studieremo alcuni dei più semplici oggetti geometrici non lineari : circonferenze e sfere nello spazio S 3. Analizzeremo poi in dettaglio il caso delle
DettagliCURVE 2D-3D. x ² + y ² - 1 = 0 è l equazione di una circonferenza di centro O e raggio 1
CURVE 2D-3D Curve in R² 01 Definizioni. Consideriamo il piano euclideo R² dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy. Esso sarà chiamato d ora in poi più semplicemente piano cartesiano. L equazione
DettagliEsercizi di Geometria Affine
Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 10
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017
PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione
DettagliGeometria Differenziale 2017/18 Esercizi 3
Geometria Differenziale 217/18 Esercizi 3 1 Superfici I 1.1 Esercizio a) Verificare che l ellissoide Σ : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 è una superficie regolare in tutti i suoi punti. b) Dare una parametrizzazione
DettagliCURVE E SUPERFICI / RICHIAMI
M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 1 CURVE E SUPERFICI / RICHIAMI Di seguito ricordiamo brevemente come curve e superfici in R 2 o R 3 vengano rappresentate classicamente come insiemi di livello di campi scalari
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea
Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea Filippo F. Favale 4 marzo 04 Esercizio Si dica, per ciascuno dei seguenti casi, se A ha la struttura di spazio affine o euclideo su V. A R 3 con coordinate
DettagliPiano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).
Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R)
DettagliLEZIONE 24. a 1,1 x 2 + a 2,2 y 2 + a 3,3 z 2 + 2a 1,2 xy + 2a 1,3 xz+ + 2a 2,3 yz + 2a 1,4 x + 2a 2,4 y + 2a 3,4 z + a 4,4 = 0 (24.1.
LEZIONE 24 24.1. Riduione delle quadriche a forma canonica. Fissiamo nello spaio un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio q(x, y, ) di grado 2 in x, y, a meno di costanti moltiplicative
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliRette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio
DettagliEsercizi su curvatura e torsione.
Esercizi su curvatura e torsione. e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 016. 1 Indice 1 Curvatura e torsione 1.1 Curve parametrizzate alla lunghezza d arco................... 1.
DettagliEsercizi per il corso di Algebra e Geometria L.
Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo
DettagliI Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio.
I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio. A [8] Sono date le matrici A M 34 (IR) e b M 31 (IR) A = 1 0 2 2 0 k 1 k, b = 1
DettagliLEZIONE 13. Figura 13.1
LEZIONE 3 Ritorniamo al nostro rettangolo R di vertici A = (, ), B = (, ), C = (, 3), D = (, 3) a partire dal segmento OU unitario di estremi l origine O ed il punto U = (, ). y D C R A B O Figura 3. Tra
DettagliEsempi di superfici.
Esempi di superfici.. Grafici di funzioni. Sia Ω IR un dominio in IR e sia f: Ω IR una funzione C. Il suo grafico è una supeficie parametrizzata in IR 3 della forma u v f(u, v) La superficie S è regolare
DettagliCdL in Ingegneria Industriale (F-O)
CdL in Ingegneria Industriale (F-O) Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 1 Giugno 018 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.
Dettagli1 Esonero di GEOMETRIA 2 - C. L. Matematica Aprile 2009
1. Si consideri la matrice 1 Esonero di GEOMETRIA 2 - C. L. Matematica Aprile 2009 A = ( 1 1 1 3 Sia g : R 2 R 2 R la forma bilineare e simmetrica avente A come matrice associata rispetto alla base canonica
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Corsi dei Proff. M. BORDONI, A.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL -- Corsi dei Proff. M. BORDONI, A. FOSCHI Esercizio. E data l applicazione lineare L : R 4 R 3 definita dalla matrice A = 3
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliFacsimile di prova d esame Esempio di svolgimento
Geometria analitica 18 marzo 009 Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento 1 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche x,y,z, è assegnata la retta r di equazioni
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Sfere Coordinate sferiche e sfere in forma parametrica Sfere, rette e piani Circonferenze nello spazio Circonferenze in forma parametrica 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliUniversità degli Studi di Catania CdL in Ingegneria Industriale
CdL in ngegneria ndustriale Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del 27 gennaio 2014 Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. È vietato consultare
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Domande Vero/Falso (seconda parte) 1. (a) Se f è una funzione derivabile, allora (b) Se un vettore x R n ha norma nulla, allora x = 0.
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi 9 Esercizio 1. Si considerino i punti del piano A (1, 1), B (4, 1), C ( 1/2, 2) (a) Si determini se i punti A, B, C sono allineati e, in caso affermativo, si
DettagliEsame di GEOMETRIA 27 giugno ore 11
Esame di GEOMETRIA 27 giugno 2011 - ore 11 Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta
DettagliCurve parametrizzate. Esercizi. 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione
Curve parametrizzate. Esercizi Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 014. 1 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione Qui di seguito si riporta
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliOsservazioni generali
Osservazioni generali Innanzitutto Non si può dividere per. Per i numeri complessi Quando si risolve z 3 = az con a dato, ricordarsi di stare attento per che cosa si divide. Infatti non si può dividere
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliGEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry)
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO La geometria analitica dello spazio è molto simile alla geometria analitica del piano. Per questo motivo le formule sono
Dettagli16. Superfici e immersioni
136 16. Superfici e immersioni Un passo essenziale per lo sviluppo dell analisi e della geometria è la realizzazione dell idea intuitiva di superficie regolare. Una sfera, un cilindro sono superfici regolari
DettagliIngegneria Edile - Corso di geometria - anno accademico 2009/2010
prova scritta del 7// TEMPO A DISPOSIZIONE: 9 minuti Esercizio. In R si considerino i punti A =, B = e la retta r passante per A e B. (i)il punto C = r? vero falso (ii) Determinare l equazione di un piano
DettagliEsercizi di Algebra Lineare Superfici rigate
Esercizi di Algebra Lineare Superfici rigate Anna M. Bigatti 29 ottobre 2012 Definizione 1. Una superficie rigata è una superficie tale che per ogni suo punto passa una retta interamente contenuta nella
Dettagli1 Rette e piani in R 3
POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 1. Sez. D - G. Docenti: Federico G. Lastaria, Mauro Saita, Nadir Zanchetta,. 1 1 Rette e piani in R 3 Una retta parametrizzata
DettagliGENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI
Capitolo 1 GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Definizione 1. Sia I un intervallo aperto della retta euclidea E 1 e sia α : I E n, con n 2, un applicazione differenziabile. La sua immagine C = α(i)
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliProva scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a
Prova scritta di Geometria 8//26, Soluzioni Ing. Meccanica a.a. 25-6 Esercizio È data la conica γ : 3x2 2xy + 3y 2 + 8x + 3 =. a) Verificare che la conica è un ellisse e determinarne la forma canonica.
Dettagli1 Geometria analitica nel piano
Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )
DettagliAppunti di geometria analitica dello spazio. di Fabio Maria Antoniali
Appunti di geometria analitica dello spazio di Fabio Maria Antoniali versione del 23 maggio 2017 1 Un po di teoria 1.1 Vettori e punti 1.1.1 Componenti cartesiane e vettoriali Fissato nello spazio un riferimento
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
Dettagli22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non
Primo esonero di GEOMETRIA 3 - C. L. Matematica 22 Novembre 2013 1. Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non singolare ( ) α 2. 1 0 (a) Si determini, al variare del
DettagliCdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del giorno 1 Febbraio 2006 Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare definita dalla legge f (x, y, z, t) = (2x + (h + 3)y + (1 h)z + t, 2x + 5y + (h + 5)z + 2t,
DettagliCdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale
CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale Prova scritta di Geometria- 18 Giugno 008 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliEsercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio
Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Sansonetto Nicola 15 aprile 2016 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A 2 (R) dotato del riferimento canonico,
DettagliEsercizi su Rette e Piani
Esercizi su Rette e Piani Raffaella Di Nardo dinardo@calvino.polito.it 1 aprile 2004 Esercizio 1. In R 2, determinare l equazione dellal retta per P 0 e parallela al vettore u = 3i j. Esercizio 2. Data
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
- - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle
DettagliEsercizi di Algebra Lineare - Foglio 9
Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9 Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i quattro punti A (0, 1, 0), B (, 1, ), (3,, 0) e D (3,, ). (a) Determinare il baricentro del triangolo AB.
Dettagli4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).
Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici
Dettagli