LEZIONE 37. x 2 a 2 + y2. b 2 = 2z, x 2. a 2 y2. b 2 = 2z. Esempio Sia S il cilindro luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l equazione

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1 LEZIONE Altri esempi di superfici. In questo paragrafo daremo altri esempi di superfici. Esempio Sia D R 2 un aperto. Allora il grafico Γ ϕ di una funzione ϕ: D R 3 di classe C 1 è una superficie regolare. Infatti la parametrizzazione f = (u, v, ϕ) è iniettiva (attenzione, come per le curve, si richiede l iniettività di f, non di ϕ). Inoltre Jf (u0,v 0 ) = 1 0 ϕ (u 0, v 0 ) ϕ ha sempre, evidentemente, rango 2. Per esempio siano a, b > 0 e si considerino il paraboloide ellittico e quello iperbolico di semiassi a, b, rispettivamente di equazioni x 2 a b 2 = 2z, x 2 a 2 2 b 2 = 2z. Esempio Sia S il cilindro luogo dei punti P = (x,, z) soddisfacenti l equazione ( ) x = ϱ 2. Sia P x la proiezione ortogonale del punto P sul piano x. Indichiamo con u l angolo formato da ı e OP x. Indichiamo con v la quota del punto P (si veda la Figura 37.1). Chiaramente P = (ϱ cos u, ϱ sin u, v). In particolare S è immagine dell applicazione f: R 2 R 3 (ϱ cos u, ϱ sin u, v). In tal caso abbiamo Jf (u0,v 0 ) = ϱ sin u 0 0 ϱ cos u Tpeset b AMS-TEX

2 ALTRI ESEMPI DI SUPERFICI Si noti che tale matrice ha sempre rango 2. z S v P O u ρ P x x Figura 37.1 Il cilindro considerato è un caso particolare di cilindro proiettante una curva nel senso della costruzione seguente. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 una qualsiasi curva parametrizzata e p = p x ı + p j + p z k un vettore non nullo. Si consideri f: R I R 3 (g x (u) + p x v, g (u) + p v, g z (u) + p z v). La superficie Cil(C, w) = im(f) viene detta cilindro proiettante C secondo la direzione di p. Risulta dg x du (u 0) p x Jf (u0,v 0 ) = dg du (u 0) p : dg z du (u 0) p z in particolare, se g è una parametrizzazione regolare di C, la superficie parametrizzata f è regolare in P 0 = f(u 0, v 0 ) se e solo se la retta tangente a C in Q 0 = g(u 0 ) non è parallela al vettore p. Si noti che, essendo (ϱ cos u, ϱ sin u, v) = (ϱ cos u, ϱ sin u, 0) + (0, 0, 1)v, il cilindro d Equazione ( ) è esattamente il cilindro proiettante la circonferenza di centro (0, 0, 0) e raggio ϱ contenuta nel piano x secondo la direzione di k. Chiaramente se C è piana e p è parallelo al piano di C, tale superficie è esattamente una regione non limitata del piano di C. Se p non è parallelo all eventuale piano contenente C (se ne esiste uno), allora Cil(C, p) è regolare se e solo se la curva C lo è. Come ultimo esempio si consideri la cubica sghemba C di equazioni (x,, z) = (t, t 2, t 3 ) definita nella Lezione 13. Sia p = ı + j + k. Allora Cil(C, p) ha equazioni parametriche (x,, z) = (u + v, u 2 + v, u 3 + v)

3 LEZIONE 37 3 Esempio Sia S il cono luogo dei punti P = (x,, z) soddisfacenti l equazione ( ) x = z 2. Allora l angolo formato da OP e k è costantemente uguale a π/4. Sia P x la proiezione ortogonale del punto P sul piano x. Indichiamo con u l angolo formato da ı e OP x. Indichiamo poi con v la quota del punto P. z v P O u P x x Figura 37.2 Chiaramente S è immagine dell applicazione In tal caso abbiamo f: R 2 R 3 (v cos u, v sin u, v). Jf (u0,v 0 ) = v 0 sin u 0 cos u 0 v 0 cos u 0 sin u 0 Si noti che tale matrice ha rango 2 per v 0. Il cono considerato è un caso particolare di cono proiettante una curva nel senso della costruzione seguente. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 una qualsiasi curva parametrizzata e A = (x A, A, z A ) un punto. Si consideri f: R I R 3 (x A + (g x (u) x A )v, A + (g (u) A )v, z A + (g z (u) z A )v). La superficie Cono(C, A) = im(f) viene detta cono proiettante C dal punto A e il punto A si dice vertice del cono. Risulta dg v x 0 du (u 0) g x (u 0 ) x A Jf (u0,v 0 ) = dg v 0 du (u 0) g (u 0 ) A : dg v z 0 du (u 0) g z (u 0 ) z A.

4 ALTRI ESEMPI DI SUPERFICI in particolare la superficie parametrizzata f non è regolare per v 0 = 0, cioè nel punto A. Per esercizio determinare una condizione geometrica su A e C che permetta di descrivere il luogo dei punti regolari della parametrizzazione f (almeno nell ipotesi di regolarità di g). Si noti che, essendo (v cos u, v sin u, v) = (0, 0, 0) + (cos u, sin u, 1)v, il cono avente Equazione ( ) è esattamente il cono proiettante la circonferenza di centro (0, 0, 1) e raggio 1 contenuta nel piano di equazione z = 1 dall origine O. Cosa accade se C è piana e se A appartiene al piano della curva? Come ultimo esempio, si consideri, di nuovo, la cubica sghemba C di equazioni (x,, z) = (t, t 2, t 3 ). Sia A = (1, 0, 1). Allora Cono(C, A) ha equazioni parametriche (x,, z) = (1 v + uv, u 2 v, 1 v + u 3 v) Esempio Un esempio di superfici interessanti sono quelle ottenute nel modo seguente. Sia C R 3 non intersecante l asse delle z: per ogni P C indichiamo con P z la sua proiezione ortogonale sull asse z che, per ipotesi, è diversa da P. Consideriamo allora la superficie Seg(C) unione di tutte le rette r P Pz passanti per P e P z. Sia g = (g x, g, g z ): I C R 3 è una parametrizzazione di C: se P = g(t), allora P z = (0, 0, g z (t)), quindi una parametrizzazione per Seg(C) è con I R. Allora f = (vg x (u), vg (u), g z (u)), Jf (u,v) = du (u) g x(u) du (u) g (u). du (u) 0 v dg x v dg dg z Determinare l insieme dei punti dove f non è regolare. Per esempio sia C l elica cilindrica di raggio ϱ e passo h parametrizzata da g(t) = (ϱ cos t, ϱ sin t, ht), t R. Allora Seg(C) viene detta elicoide di passo h. Una sua parametrizzazione è data da h = (vϱ cos u, vϱ sin u, hu), con R 2. Si noti che sostituendo al parametro v il parametro v/ϱ si ottiene una nuova parametrizzazione dell elicoide f = (v cos u, v sin u, hu), con R 2, indipendente da ϱ: ovvero l elicoide dipende solo dal passo dell elica generatrice, non dal suo raggio.

5 LEZIONE Il piano tangente a una superficie. Ritorniamo ora sulla nozione di superficie regolare per introdurre la nozione di piano tangente ad una superficie in un suo punto. Ricordiamo che dire che S è una superficie regolare significa che esiste una sua parametrizzazione f: D S che sia iniettiva, di classe C 1 e tale che x x Jf (u,v) = su D. Dal punto di vista geometrio quest ultima condizione significa che,, pensati come vettori applicati, non sono mai paralleli. Si fissi P 0 S e sia (u 0, v 0 ) D tale che f(u 0, v 0 ) = P 0 : d ora innanzi supporremo che la superficie S sia regolare in P 0. Se C S è una curva regolare passante per P 0 si può vedere facilmente che esiste una funzione regolare g: I D tale che F = f g: I R 3 sia una parametrizzazione regolare di C. Se F (t 0 ) = P 0, allora g(t 0 ) = (u 0, v 0 ) e la retta tangente T P0 (C) a C in P 0 risulta essere parallela al vettore df dt (t 0) = (u 0, v 0 ) dg u dt (t 0) + dg v dt (t 0) 0. In particolare tale retta è perpendicolare al vettore N = (u 0, v 0 ) (che è non nullo per l ipotesi sul rango della matrice jacobiana). Viceversa consideriamo un qualsiasi vettore p perpendicolare a N, quindi complanare con i vettori (u 0, v 0 ),. Allora esistono λ u, λ v R non contemporaneamente nulli e tali che p = λ u (u 0, v 0 ) + λ v. Siano λ = λ 2 u + λ 2 v e w = λ 1 (λ u, λ v ) allora ( ) p = λ w u (u 0, v 0 ) + w v = λ w (u 0, v 0 ). Consideriamo la funzione g: R R 2 definta da g(u 0 +tw u, v 0 +tw v ). La funzione F = f g è definita in un opportuno intorno sferico di (u 0, v 0 ) e risulta df (0) = dt w (u 0, v 0 ) = w u (u 0, v 0 ) + w v.

6 IL PIANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE Quanto detto sopra dà una motivazione del fatto che il sottospazio generato N in V 3 (O) non dipende dalla parametrizzazione, ma solo dal punto P 0 e dalla superficie, in quanto contiene tutti i vettori perpendicolari alle rette tangenti a tutte le curve tracciate su S nel punto P 0. Per questo motivo diamo la seguente definizione Definizione Sia S una superficie regolare e f: D R 3 una sa parametrizzazione regolare. Se P 0 = f(u 0, v 0 ) S, la retta N P0 (S) di equazione x = f(u 0, v 0 ) + τ ( (u 0, v 0 ) ) τ R, viene detta retta normale a S nel punto P 0. Ogni vettore parallelo a N P0 (S) viene detto vettore normale a S in P 0. Il piano T P0 (S) passante per P 0 e perpendicolare a N P0 (S) viene detto piano tangente a S nel punto P 0. Riprendiamo ora gli esempi in questa lezione ed in quella precedente e calcoliamo l equazione del piano tangente (e, quindi, della retta normale). Per esercizio si verifichi che se π R 3 è un piano e P 0 π, allora T P0 (π) = π. Esempio Si consideri la sfera S di centro l origine e raggio ϱ > 0. Ricordiamo (si veda il Paragrafo ) che una sua parametrizzazione è P = f = (ϱ cos u cos v, ϱ sin u cos v, ϱ sin v) e che la corrispondente matrice jacobiana è sin u cos v cos u sin v Jf (u,v) = ϱ cos u cos v sin u sin v. 0 cos v Dunque, quando v 0 π/2 + kπ, k Z, un vettore normale a S in P 0 = f(u 0, v 0 ) è (cos u 0 cos v 0 ) ı + (sin u 0 cos v 0 ) j + (sin v 0 ) k. Concludiamo che il piano tangente a S in un suo punto P (0, 0, 1), (0, 0, 1), è il piano passante per P e perpendicolare a OP. Cambiando parametrizzazione si osserva che vale una caratterizzazione analoga per il piano tangente a S nei punti (0, 0, 1) e (0, 0, 1). Esempio Sia D R 2 un aperto. Abbiamo visto nell Esempio come il grafico Γ ϕ di ogni funzione ϕ: D R 3 di classe C 1 sia una superficie regolare. Se (u 0, v 0 ) D, allora 1 0 Jf (u0,v 0 ) =, ϕ (u ϕ 0, v 0 )

7 LEZIONE 37 7 sicché la retta normale N P0 (Γ ϕ ) a Γ ϕ nel punto P 0 = (u 0, v 0, ϕ(u 0, v 0 )) è parallela al vettore. ϕ (u 0, v 0 ) ı ϕ j + k. In particolare il piano tangente T P0 (Γ ϕ ) a Γ ϕ in P 0 ha equazione ϕ (u 0, v 0 )(x u 0 ) ϕ ( v 0 ) + (z ϕ(u 0, v 0 )) = 0 o, esplicitando rispetto a z, z = ϕ(u 0, v 0 ) + ϕ (u 0, v 0 )(x u 0 ) + ϕ ( v 0 ). Si noti che l equazione di tale piano non è altro che la parte iniziale dello sviluppo di Talor della funzione ϕ di punto iniziale (u 0, v 0 ). Esempio Si consideri il cilindro S dell Esempio Una sua parametrizzazione è P = f = (ϱ cos u, ϱ sin u, v) e che la corrispondente matrice jacobiana è ϱ sin u 0 Jf (u,v) = ϱ cos u 0. Dunque un vettore normale a S in P 0 = f(u 0, v 0 ) è (cos u 0 ) ı + (sin u 0 ) j. Tale vettore è parallelo a OP x ove P x è la proiezione ortogonale di P 0 sul piano x: concludiamo che il piano tangente a S in un suo punto P 0, è il piano passante per P 0 e perpendicolare OP x. Osservazione Si consideri il cono Cono(C, A) proiettante la curva C dal punto A. Abbiamo già determinato una parametrizzazione f di tale superficie in funzione di una parametrizzazione g di C. Abbiamo anche visto che anche se C è regolare, la parametrizzazione indotta f non è mai regolare in A. In effetti si dimostra facilmente che la superficie Cono(C, A) stessa non è mai regolare nel suo vertice. Infatti, se C non è piana, su Cono(C, A) giacciono tre rette passanti per A e non complanari. Dunque non può esistere nessun piano contenente le rette tangenti in A a tutte le curve tracciate su Cono(C, A), cosa che dovrebbe accadere se Cono(C, A) fosse regolare.

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