David Acheson 1089 e altri numeri magici

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1 Dvid Acheson 1089 e ltri numeri mgici Un viggio sorprendente nell mtemtic Trduzione di Luis Doplicher Chivi di lettur cur di Federico Tione e Lis Vozz indice 1. L mgi del Innmorrsi dell geometri M... è ssurdo! Il guio dell lger Cieli in movimento Tutto cmi Come essere il più piccoli possiile «Ci simo qusi?» Un reve stori di π Good virtions Grndi errori Qul è il segreto dell vit? e = 2, Cos e ctstrofi Non proprio il trucco indino dell cord Rele o immginrio? 155 Ringrzimenti 166 Per sperne di più 167 Indice nlitico 171

2 CAPITOLO 1 L mgi del 1089 Penste un numero di tre cifre. V ene qulsisi numero di tre cifre, purché l prim e l ultim cifr differiscno di lmeno 2 unità. Or scrivete il numero l contrrio, invertendo l ordine delle cifre; poi prendete il minore dei due numeri così ottenuti e sottretelo dll ltro. Per esempio, se il numero che vete pensto è 782, fte l sottrzione: = 495. Infine prendete il risultto e sommtelo llo stesso numero scritto l contrrio: = All fine del procedimento, dunque, il risultto finle è M certmente ci ttenderemmo che questo risultto dipend dl numero di tre cifre che si è scelto ll inizio. E invece no. Il risultto finle è sempre 1089.

3 6 L mgi del A qunto ricordo, il «trucco del 1089» è stto il primo ssggio di mtemtic che mi h dvvero colpito. Mi ci sono imttuto qundo vevo dieci nni, leggendo il periodico nnule I-SPY * del I-SPY er un liro per rgzzi pulicto d un noto giornle inglese dell epoc; contenev un ssortimento di storie d vventur e rticoli più eductivi, con titoli come «L vit nello stgno». M l prte che preferivo di grn lung er quell dei trucchi «mgici», come quello del 1089 che vi ho ppen descritto: *«I spy with my little eye something eginning with...» («Con i miei occhietti vedo un cos che inizi con l») è tr i più popolri giochi per mini nel mondo nglosssone: dll letter inizile isogn rislire ciò che h visto l person che conduce il gioco. [N.d.T.] C erno nche ltri giochi di prestigio, come «Il icchiere d cqu che scompre» oppure «Lettur del pensiero». M per qulche motivo è stto «1089» ctturre l mi ttenzione in modo specile. Er l elemento di mistero e sorpres, penso, mettere questo risultto un grdino più su rispetto lle cose che studivmo scuol. Or, non voglio dire che non mi picessero «le telline» e ltri rgomenti di mtemtic elementre; tutt ltro.

4 8 L mgi del M se vi dico per esempio che ll epoc ci ssegnvno compiti cs di questo tipo: A e B riempiono un cistern in 4 ore. A e C riempiono l stess cistern in 5 ore. B lvor ritmo doppio di C. Determinre qunto tempo ci metteree C riempire l cistern d solo.** penso che cpirete come mi il trucco del 1089 colpisse tnto l mi immginzione. E or, più di qurnt nni dopo, mi semr che questo stesso elemento di mistero e sorpres si ritrovi in grn prte dell mtemtic migliore. Alcuni teoremi e risultti di primissim clsse suscitno dvvero un senso di mervigli. Nel corso del liro spero di riuscire drvene un ide, così come spero di riuscire frvi vedere che ogni tnto dnno grnde soddisfzione nche i rgionmenti deduttivi che si usno per dimostrre quei teoremi e quei risultti. Oltre tutto questo, esmineremo lcune ppliczioni notevoli dell mtemtic lle ltre scienze e ll ntur. Così, non import se siete giovni, giovnissimi, dulti oppure nzini; se ndte scuol o ll università, o se non studite; se vete in mno un penn oppure un gin tonic... comunque si preprtevi, stimo per metterci in viggio. Il professor Binden fcev sempre di tutto per rendere l lger «interessnte»... (disegno Glen Bxter). ** L rispost è che C ci vree messo venti ore riempire l cistern, poverccio.

5 10 L mgi del Se immginimo per esempio che il viggio vveng in treno, si trtterà llor dell Eurostr dell mtemtic... Lungo l strd incontreremo lcune fr le più importnti idee dell mtemtic, e conosceremo un po dell loro stori. In reve, prtiremo di fondmenti e rriveremo lle frontiere dell mtemtic. E siccome non voglimo perdere di vist il qudro glole, viggeremo stnz veloci.

6 CAPITOLO 2 Innmorrsi dell geometri A volte si può restre sorpresi dll mtemtic. Uno degli esempi meglio documentti è offerto d questo neddoto rccontto d John Aurey nel suo liro Brief Lives proposito del filosofo Thoms Hoes ( ): Avev qurnt nni qundo si dedicò ll geometri, e ciò ccdde per cso. Si trovv nell iliotec di un signore e trovò perto il volume degli Elementi di Euclide, precismente l 47 El. liri I. Lesse l proposizione. «Per Dio...» esclmò (di qundo in qundo estemmiv per dre enfsi l discorso) «questo è impossiile!»

7 14 Innmorrsi dell geometri 15 Questo è proprio un esempio dell miglior mtemtic: Hoes trovò il risultto così sorprendente che non riusciv crederci fino in fondo. In reltà il risultto in questione ltro non er che il teorem di Pitgor: se, e c sono i lti di un tringolo rettngolo e c è il lto più lungo, llor = c 2. Ovvimente cpisco che potreste chiedervi: perché drsene l pen? Dopotutto quel teorem è in giro d più di duemil nni. Lo conoscono tutti. Di certo, se non fosse vlido, se vesse un qulsisi prolem, quest or qulcuno se ne sree ccorto. In mtemtic, però, questo tipo di rgionmento non h lcun vlore. E in ogni cso l dimostrzione del teorem di Pitgor che or vedremo è così semplice ed elegnte d essere qusi un divertimento. Considerte un qudrto di lto + e inseriteci quttro copie del tringolo rettngolo originle, come nell figur qui sotto sinistr. In questo modo rimne lier un regione qudrt di re c 2. c c 2 E per convincersene Hoes non si limitò credere qulcuno sull prol: lesse un dimostrzione. E fu quest dimostrzione, nelle prole di Aurey, frlo «innmorre dell geometri». Quindi or nche noi dimostreremo il teorem di Pitgor. c c c 2 c Or immginte che i rettngoli sino pistrelle inche su un pvimento scuro, e sposttene tre in modo che occupino le nuove posizioni mostrte nell figur destr. L re del pvimento sgomro d tringoli desso è 2 + 2, eppure deve essere l stess di prim. Quindi = c 2. 2

8 16 Innmorrsi dell geometri 17 Due csi prticolri del teorem di Pitgor sono di specile interesse. Uno è quello in cui gli ngoli minori del tringolo rettngolo vlgono entrmi 45 : Se i due lti minori hnno entrmi, mettimo, lunghezz pri 1, llor il lto lungo misur 2: questo è uno dei modi tipici in cui l rdice qudrt di 2 f l su comprs in mtemtic. Un ltro cso prticolre che cpit spesso è quello in cui gli ngoli minori vlgono 30 e 60 : M questi sono proprio csi prticolri e niente più. L ver forz e importnz del teorem di Pitgor st nell su generlità: è ltrettnto vlido 1 se il tringolo rettngolo in questione è corto e tozzo, oppure lungo e sottile. E lo sppimo non perché ce lo ssicur il Professor X esperto di fm mondile, qunto si dice m perché l imo verificto di person. Se il teorem di Pitgor è il risultto più noto dell inter geometri, quello che lo segue in clssific sono di sicuro le formule per l lunghezz dell circonferenz e per l re di un cerchio di rggio r: Ed è così che il numero specile: π = 3, f l su prim comprs in mtemtic. Nell mtemtic «elementre» π h sempre che fre con i cerchi. Immgintevi llor qule sorpres è stt, per i mtemtici dell metà del Seicento, scoprire che π in reltà fcev cpolino in ogni sort di posti che non semrvno vere proprio niente che sprtire con i cerchi.

9 18 Innmorrsi dell geometri 19 Tr i più fmosi risultti del genere c è uno strordinrio collegmento tr π e i numeri dispri: Prolemi di questo genere possono essere molto rdui e perfino controintuitivi. Osservte per esempio i due oggetti geometrici qui sotto: secondo voi è possiile deformre il primo oggetto, senz strpprlo, così d trsformrlo nell oggetto sottostnte? Qui i puntini indicno che destr del segno di uguglinz isogn continure d ggiungere e sottrrre frzioni ll infinito. Tnto per comincire, quindi, non è fftto scontto che l «somm» in questione de ssestrsi su un vlore en definito. M nche mmettendo che si così, perché mi quel vlore dovree essere proprio π /4? Che divolo c entrno i cerchi con i numeri dispri 1, 3, 5, 7,...? Sono proprio i collegmenti slorditivi come questo mndre in visiilio i mtemtici. Oggi il cmpo di studio dell geometri si estende en oltre il mondo dei tringoli rettngoli, dei cerchi e così vi. Ci sono ddirittur rnche dell disciplin in cui i concetti di lunghezz, ngolo e re non compiono per null. Un di queste rnche è l topologi, un sort di geometri degli oggetti di gomm, in cui un prolem ricorrente è stilire se un certo oggetto geometrico si deformile in un ltro «senz strppi». Se preferite, immginte che l oggetto di prtenz si ftto di un mterile molto elstico, che si può llungre o comprimere picere. Allor: è possiile deformre l oggetto «nnodto» senz tglirlo o strpprlo in modo tle d trsformrlo nell versione «snodt»?

10 20 Innmorrsi dell geometri 21 Be, in reltà... sì, è possiile. Ecco come: L line divide il cerchio in due regioni: n = 2 Or segnte invece tre punti sull circonferenz e unite ciscun punto tutti gli ltri con linee rette. Si ottengono quttro regioni: 4 5 Concludimo però il cpitolo ritornndo un delle eredità più importnti dell geometri degli ntichi Greci: il concetto di dimostrzione. Un motivo per sottolinere quest ide già ll inizio del liro è che in mtemtic può essere fin troppo fcile sltre lle conclusioni sglite. Ed è soprttutto pericoloso sltre conclusioni generli sull se di pochi csi prticolri. Ecco un esempio. Prendete un cerchio, segnte due punti sull circonferenz e uniteli con un segmento di rett. n = 3 Se fccimo lo stesso con quttro punti, trovimo otto regioni: n = 4 Il meccnismo pre chiro, no? Il numero di regioni rddoppi ogni volt che si ggiunge un punto.

11 22 CAPITOLO 3 Allor è lecito spettrsi che con n = 5 ci srnno sedici regioni. E inftti è proprio così: M... è ssurdo! n = 5 A questo punto potremo senz ltro concludere fiduciosmente che per n = 6 il numero di regioni distinte srà trentdue. E invece no. Le regioni sono trentuno, come potete verificre: n = 6 E l formul generle per il numero di regioni non è fftto quell semplice che immginvmo. È invece quest: (n 4 6 n n 2 18 n + 24) / 24. Ecco perché i mtemtici vogliono sempre vere dimostrzioni rigorose. All fine dell vventur Didem di erilli Sherlock Holmes come l solito spieg il suo metodo deduttivo e osserv: È un mi vecchi mssim che, qundo si è escluso l impossiile, ciò che rimne, per qunto improile, deve essere necessrimente l verità. In un certo senso questo ssomigli ll dimostrzione per ssurdo, un delle tecniche più elegnti ed efficci di tutt l mtemtic. L ide di se è dimostrre che un cert proposizione è ver studindo l possiilità che si fls, e poi fcendo vedere che questo port un contrddizione o un ssurdità di qulche tipo. Quindi l proposizione non può essere fls, e l unic possiilità rimst è che si ver. Questo modo di rgionre è chimto volte tecnic dimostrtiv «indirett», o reductio d surdum.

12 24 M... è ssurdo! 25 Come primo esempio considerte il cosiddetto prolem dei ponti di Königserg, che ttirò l ttenzione del grnde mtemtico svizzero Leonhrd Euler (per noi Eulero) nel All epoc Königserg er un città dell Prussi orientle, divis dl fiume Pregel in vrie prti collegte d sette ponti. I cittdini di Königserg ttrversvno questi ponti nelle lunghe e trnquille psseggite dell domenic pomeriggio. E rimuginvno, qunto si rccont, su un prticolre prolem: è possiile fre un psseggit per l città in modo d ttrversre ogni ponte un e un sol volt? Or, prim vist ci trovimo di fronte l compito noioso e scorgginte di esminre tutti i possiili itinerri, uno ll volt, e verificre che nessuno funzion. M, come h dimostrto Eulero, c è un modo stuto per evitrsi quest penitenz. E il suo rgionmento si può presentre in modo convincente come dimostrzione per ssurdo. Immginte quindi che si dvvero possiile fre un simile psseggit. In ltre prole prtimo d un delle quttro regioni, A, B, C o D, e rrivimo in un di queste (mgri l stess) dopo ver ttrversto tutti i sette ponti un volt sol. L conseguenz immedit è che ci sono lmeno due regioni in cui l psseggit non inizi né finisce. Considertene un. Ci rrivimo un certo numero di volte e l ndonimo un numero identico di volte, m siccome ttrversimo ogni ponte un volt sol, il numero dei ponti che conducono quest regione deve essere pri. M dl nostro disegno schemtico di Königserg si vede ene che nessun regione h quest proprietà: ll isol A conducono cinque ponti, lle regioni B, C e D, invece, tre ciscun. Perciò non è possiile fre un psseggit Königserg seguendo questo itinerrio prticolre. O lmeno non lo er nel Per qunto ne so l situzione oggi è cmit: Königserg or si chim Kliningrd e h soltnto cinque ponti, per lo più frutto dell ricostruzione seguit ll Second guerr mondile. C A D B

13 26 M... è ssurdo! 27 Per vedere un esempio più profondo di dimostrzione per ssurdo, pssimo ll rgomento dei numeri primi. Un numero primo è un numero intero mggiore di 1 che è divisiile soltnto per 1 e per se stesso. Quindi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, sono tutti primi, m 15 per esempio no, perché è divisiile per 3 e per 5. Tutti i numeri interi mggiori di 1 sono o primi oppure esprimiili come prodotti di numeri primi. Così 17 per esempio è primo, mentre 18 si può scrivere come 2 x 3 x 3. In questo senso i numeri primi sono i «mttoncini» prtire d cui si possono crere gli ltri numeri interi, trmite moltipliczioni. All inizio i numeri primi sono stnz frequenti, m poi si rrefnno mn mno che si v verso nu L elenco dei primi cento numeri primi. meri interi più grndi. Per esempio tr i numeri minori di 100 i numeri primi sono il 25%, mentre tr i numeri minori di sono soltnto il 7,9%. M llor un domnd ovvi è: l elenco dei numeri primi si rrest del tutto un certo punto, oppure v vnti ll infinito? Ed Euclide h scoperto l rispost: ci sono infiniti numeri primi. M come h ftto dimostrrlo? L rispost è che h ftto ricorso ll dimostrzione per ssurdo. H comincito perciò ipotizzndo che ci fosse un numero finito di primi; in tl cso ci srà un numero primo mssimo, che chimeremo p. L elenco completo dei numeri primi srà quindi: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., p. E fin qui tutto ene. Persino ovvio, direte voi. M il psso successivo è dvvero rillnte. L ide ingegnos di Euclide è stt di considerre questo numero: N = 2 x 3 x 5 x... x p + 1 cioè quello ottenuto moltiplicndo tutti i numeri primi e poi ggiungendo 1. Or, questo numero è senz ltro mggiore di p, e siccome p è il numero primo più grnde, questo nuovo numero N non può essere primo. Deve essere llor possiile scriverlo come prodotto di primi, cioè deve essere divisiile per lmeno un numero primo.

14 28 M... è ssurdo! 29 M non lo è: se dividete N per qulsisi primo dell elenco 2, 3, 5,..., p otterrete sempre un resto di 1. Simo dunque rrivti un contrddizione, e l sol vi d uscit è che l ipotesi originri si sglit: i numeri primi non possono essere in quntità finit; perciò devono essercene infiniti. M lcuni prolemi dell teori dei numeri sono più insidiosi. Considerimo per esempio i numeri interi, e chiedimoci se si possiile esprimere un qudrto come somm di due ltri qudrti. Dopo un po di tenttivi scopriremo che è senz ltro possiile: = 5 2 questo è un esempio, e ce ne sono precchi ltri. M se cerchimo di individure due cui che sommti dino un cuo, l stori è en divers. Mettendoci d impegno fr prove, con numeri stnz grndi, ci imtteremo in lcuni uffi «fuochini». Per esempio: mentre: = = che è «qusi» quello che ci serve... m non esttmente. E per qunto ci si provi, semr dvvero impossiile trovre tre numeri interi, e c tli che = c 3. Non solo, m pre che l stess situzione si verifichi per = c 4. Tutto questo er stto previsto nel 1637, qundo il mtemtico frncese Pierre de Fermt scrocchiò su un mnule di mtemtic un ffermzione di portt dvvero notevole: Ultimo teorem di Fermt. È impossiile trovre numeri interi, e c tli che: n + n = c n qundo n è un numero intero mggiore di 2. L cos più irritnte di tutte è che Fermt ggiunse: Ho un dimostrzione dvvero merviglios di questo teorem, m questo mrgine è troppo stretto per contenerl. M nche mmesso che Fermt i dvvero scoperto un «dimostrzione» simile, nessuno l h mi trovt. E si è dovuto spettre il 1993 perché Andrew Wiles nnuncisse di ver infine dimostrto l ultimo teorem di Fermt; fr gli eventi mtemtici del Novecento, dev essere stto quello che h ricevuto l mssim pulicità. Anche se l dimostrzione di Wiles è ccessiile soltnto gli esperti del cmpo, ess sfrutt comunque lo stesso tipo generle di rgionmento di cui imo ppen prlto. Così, più di duemil nni d qundo Euclide l pplicò con tnto successo i numeri primi, l ide di dimostrzione per ssurdo è ncor viv e veget.