Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n...7 Euazione di Poisson Funzione δ(x) di Diac Metodo delle caiche immagine Anno Accademico 7/8

2 Euazione di Poisson Tamite la legge di Gauss abbiamo fomulato una elazione fa il campo elettico e le sue sogenti ρ E ε Inolte sappiamo che il campo elettostatico è consevativo E d s Sappiamo già che combinando le due euazioni otteniamo l'euazione di Poisson ρ φ ε Il poblema geneale dell'elettostatica è Deteminae tamite l'euazione di Poisson il potenziale (e il campo elettico) una volta definite le caiche elettiche (la densità ρ) e le condizioni al contono D'alto canto, data la densità ρ il potenziale φ è φ ( ) Ci chiediamo la diffeenza fa i due appocci Pe fa uesto abbiamo bisogno alcuni peliminai matematici V E ( ) d ρ φ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

3 La funzione δ(x) di Diac Consideiamo il campo vettoiale F( ) ˆ Riconosciamo la funzione vettoiale che abbiamo utilizzato pe il campo elettico di una caica puntifome E La divegenza di F ha un compotamento bizzao vicino l'oigine Calcoliamo la divegenza F x ( ) Otteniamo petanto ( ) Calcoliamo adesso il flusso di F su una sfea di aggio R centata all'oigine Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9 x F x + x / x x ( x + y + z ) x x x e analoghe pe y e z x y z + + 5/ 5 ( ) x y z F ˆ ( + + ) x y z 5 π π π π F da dθ ˆR sin θdφ Ssfea sin θdθ R 5 ˆ dφ 4π non dipende da R

4 La funzione δ(x) di Diac F F da 4π Ssfea Possiamo calcolae l'integale di supeficie utilizzando il teoema della divegenza S sfea Pe endee i due isultati compatibili dobbiamo concludee che avee assunto F anche pe è sbagliato Infatti il isultato coetto è Questo compotamento non è uello di una funzione nomale Il isultato vale pe ualunue sfea centata sull'oigine Anche pe aggi piccolissimi tendenti a zeo Questo è il compotamento di un funzionale o distibuzione F da FdV V sfea Ma abbiamo appena visto che F!! Otteniamo F da FdV S sfea Vsfea V sfea FdV 4π Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

5 La funzione δ(x) di Diac Intoduciamo adesso la funzione delta di Diac unidimensionale x x δ ( x x ) b x ( a, b) δ x ( x x ) x dx a x ( a, b ) È definita divesa da zeo solo in un punto dove è infinita L'integale non è coetto (Riemann o Lebesgue). Infatti è un funzionale I fisici la tattano come una funzione Alla fine dei calcoli compae sempe in un integale È impotante icodae come si compota in un integale b f ( x ) δ ( x x ) dx f ( x ) a Può essee pensata come il limite di una successione di funzioni u n (x) di aea unitaia: esempio tiangoli isosceli + + u x x dx f x u x x dx f x n ( ) ( ) n ( ) ( ) Il limite di u n non appatiene allo spazio delle funzioni Notiamo infine che se x ha una dimensione ( es.: [x] L ) δ(x) ha le dimensioni invese ([δ(x)] L ) È una densità u n y x x x n n x Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 94

6 Popietà della funzione δ(x) + ( ) δ ( ) ( ) f x x x dx f x ( ) δ( ) ( ) δ( ) f x x x f x x x δ k ( kx ) δ( x ) δ( x) δ( x) ( x) δ f θ δ ( x ) N δ ( xk ) x k sono zei della funzione f(x) ( k ), f ( x ) k x < x x x k d dx θ ( x) δ ( x x ) d d f x x dx f x x dx f dx dx + + ( ) ( ) δ( ) ( ) δ( ) ( ) + ikx x e dk π f x k N Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 95 y y x x x x

7 La funzione δ(x) di Diac Analogamente si definisce la funzione delta di Diac tidimensionale δ ( ) δ ( ) dv δ ( ) dxdydz La funzione delta tidimensionale si espime tamite te funzioni unidimensionali δ δ x x δ y y δ z z Notiamo che ha le dimensioni di una densità di volume Ritoniamo alla divegenza della nosta funzione vettoiale La funzione F è sempe nulla escluso pe dove è infinita Il suo integale è diveso da zeo Si compota come una funzione delta Infine sappiamo che ( ) F ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Vsfea FdV F 4πδ Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 96 ( ) 4π Abbiamo la fondamentale elazione ( ) 4πδ

8 Caiche puntifomi Possiamo espimee le elazioni tovate in foma più geneale Non necessaiamente con i campi centati nell'oigine F 4πδ uˆ ( ) F ( ) 4πδ ( ) uˆ Tamite la funzione delta si possono appesentae anche le caiche puntifomi come densità di caica Ad esempio una caica nella posizione ρ( ) ρ( ) δ ( ) ρ( ) δ ( ) Veifichiamo che la fomula geneale pe il campo elettico podotto da una distibuzione di caica poduce il isultato coetto (diapositiva ) ( ) E Intoduciamo ρ() δ (- ) ( ) E V ( ) d ρ uˆ V δ ( ) uˆ d dv dv Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 97 uˆ

9 Euazione di Poisson Possiamo veificae anche un'alta cosa impotante Il potenziale definito con la fomula geneale (diapositiva 6 48 ) soddisfa l'euazione di Poisson ρ( ) d ( ) φ 4πδ V Infatti ( ) ρ d φ( ) ρ( ) d V ρ( ) d V 4π ρ ρ( ) ε Infine il potenziale di una caica puntifome soddisfa l'euazione di Poisson V ρ( ) 4πδ( ) d V ( ) φ ρ ( ) ( ) δ ( ) φ( ) 4πδ ( ) δ ε ( ) ρ ε φ ( ) ρ ε Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 98

10 Euazione di Poisson A uesto punto possiamo discutee l'euazione di Poisson È un poblema elettostatico in cui vengono date le distibuzioni di caica Date le distibuzioni di caica il potenziale si calcola come φ ( ) ( ) d ρ Tuttavia uesta soluzione non ispetta paticolai condizioni al contono Ad esempio pe la pesenza di conduttoi Eventuali caiche indotte distocono il campo Ad esempio una caica e un piano conduttoe Facciamo una impotante ossevazione Supponiamo che φ () soddisfi l'euazione di Poisson E inolte supponiamo che φ () soddisfi l'euazione di Laplace ρ φ ( ) φ ( ) Φ ( ) ε Alloa Φ() φ ()+φ () soddisfa ancoa l'euazione di Poisson con la stessa ρ() data pecedentemente Φ( ) φ( ) φ ( ) ρ + φ ( ) + φ ( ) + ε La stessa ρ() può geneae campi divesi pe le condizioni al contono Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 99 V ρ ε

11 Euazione di Poisson Si può alloa usae la funzione φ () pe soddisfae le condizioni al contono Ad esempio, pe il poblema della caica puntifome e un piano conduttoe infinito Da isolvee nel semispazio supeioe Alloa φ () saebbe la funzione che soddisfa l'euazione di Poisson senza paticolai condizioni al contono Ovviamente il campo elettico che coisponde al potenziale φ () non è pependicolae al piano Il piano non è euipotenziale ( ) φ? φ ( ) in tutti i punti del piano Si ceca uindi una soluzione φ () dell'euazione di Laplace Tale che il campo elettico deivato dal potenziale φ () annulli le componenti tangenziali del campo Che petanto enda il piano euipotenziale Come abbiamo visto φ () + φ () soddisfa ancoa l'euazione di Poisson pe la distibuzione di caica data Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

12 Euazione di Poisson Anche pe l'euazione di Poisson vale un teoema di unicità Una volta definite le distibuzioni di caica e fissate le condizioni al contono la soluzione dell'euazione di Poisson che le soddisfa è unica Consideiamo una egione delimitata dalla supeficie S e (eventualmente all'infinito) e da un ceto numeo di conduttoi S k All'inteno della egione siano anche definite le distibuzioni di caica I potenziali sulle supefici sono fissati dalle condizioni al contono Supponiamo che esitano due soluzioni Φ e Φ che assumono le stesse condizioni al contono. Ovviamente φ ρ/ε e φ ρ/ε La funzione Φ d Φ Φ soddisfa l'euazione di Laplace (non Poisson! ) L'opeatoe laplaciano è lineae ( Φ Φ ) Φ d Inolte sulle supefici S Φ Φ ( S ) ( S ) ( S ) d k k k Ma una funzione amonica non può avee massimi o minimi locali Petanto concludiamo che Φ d che implica a sua volta che Φ Φ La soluzione è unica Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa S φ S S φ φ k + S k ρ ρ ε ε Φ Φ Φ φ φ k k φ S e

13 Caiche immagine Veniamo al poblema della caica e di un piano infinito Un piano conduttoe infinito + Una caica positiva + posta ad una distanza h dal piano h Possiamo assumee che il conduttoe iempia tutto il semispazio sotto il piano Matematicamente il poblema è uello di tovae una soluzione dell'euazione di Poisson nello spazio al di sopa del piano Le condizioni al contono sono Potenziale costante sul piano Assumiamo V Potenziale che si annulla all'infinito Osseviamo che abbiamo dimostato il teoema di unicità delle soluzioni dell'euazione di Laplace con le condizioni di Diichelet Abbiamo appena dimostato che il teoema di unicità vale anche pe le soluzioni dell'euazione di Poisson Vedemo fa poco che si può tovae in modo molto semplice una soluzione dell'euazione di Poisson che nello spazio al di sopa del piano soddisfa le condizioni al contono Pe il teoema di unicità uesta è l'unica soluzione Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

14 Caiche immagine Cechiamo di faci un'idea ualitativa della + soluzione Dalla caica positiva patono linee di campo h Molto vicino alla caica le linee sono adiali La caica positiva induce caiche negative sul piano metallico Le caiche fanno compaie una densità supeficiale di caica La densità è maggioe nelle posizioni più vicine alla caica positive La densità di caica è simmetica pe otazioni intono alla nomale al piano passante pe la posizione della caica Le caiche positive invece sono espinte all'infinito e non contibuiscono La densità di caica negativa: Genea un campo elettico che modifica il campo adiale della caica Insieme al campo elettico della caica puntifome geneano un campo pependicolae al piano Il piano diventa euipotenziale Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa

15 Caiche immagine Il campo elettico che cechiamo deve avee le seguenti popietà Essee soluzione dell'euazione di Poisson (caica puntifome): φ ρ/ε Inolte deve essee costante (in paticolae φ ) sul piano z Il piano z è una supeficie euipotenziale Cechiamo una soluzione sotto la foma φ φ + φ La funzione φ è il potenziale della caica + posta nella posizione + (altezza h sul piano) φ ( ) 4 πε + La funzione φ soddisfa l'euazione di Poisson La funzione φ deve essee soluzione dell'euazione di Laplace nel semispazio z > e endee nullo il potenziale a z Consideiamo il potenziale geneato da una caica puntifome posta sull'asse z a distanza h dall'oigine (posizione ) φ ( ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 4 x + z h h + (,, + h ) y (,, h )

16 Caiche immagine Sottolineiamo che ai fini del poblema entambe le funzioni φ e φ sono definite SOLO nel semispazio z Il potenziale nel punto z è la somma dei due potenziali + φ φ + φ φ ( ) + Nel semispazio z x La funzione φ () soddisfa l'euazione di Poisson La caica è in + La funzione φ () soddisfa l'euazione di Laplace sempe Complessivamente soddisfano l'euazione di Poisson ρ ( ) φ( ) ε Sciviamo esplicitamente la dipendenza da x, y, z φ ( xyz,, ) ( ) ( ) ( ) ( xyz,, ) x + y + z h x + y + z + h ( ) ( ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 5 h h + (,, + h ) y (,, h )

17 Caiche immagine φ ( xyz,, ) x + y + z h x + y + z + h ( ) ( ) Si veifica immediatamente che φ(x,y,) Il piano z è euipotenziale Petanto il potenziale soddisfa una delle due condizioni al contono Inolte il potenziale si annulla pe La seconda condizione al contono Il potenziale soddisfa l'euazione di Poisson Petanto il potenziale è la soluzione del nosto poblema Inolte, pe il teoema di unicità, è l'unica soluzione x + ( xyz,, ) z h h + (,, + h ) y (,, h ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

18 Caiche immagine Sottolineiamo che la soluzione tovata vale solo nel semispazio supeioe La caica negativa non esiste Pende il nome di caica immagine Calcoliamo il campo elettico sul piano φ( xyz,, ) x + y + z h x + y + z + h ( ) ( ) Semplifichiamo la notazione intoducendo due vaiabili e + + ( ) x + y + ( z + h) φ( xyz,, ) x y z h La componente z del campo elettico φ ( z h) ( z + h) E z z Specializzando sul piano (z ) z h z + h E z ( x, y,) h w x + y w + h Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7

19 Caiche immagine Inolte si può facilmente veificae che sul piano ( ) ( ) E x, y, E x, y, x y x + y w + h h Ez ( x, y,) w Possiamo tovae il valoe della densità supeficiale di caica h σ εez ( x, y,) 4π w La densità di caica dipende dalla distanza dal punto sul piano di minima distanza dalla caica Calcoliamo la caica totale sul piano d σda da πd h 4π h ( + h ) / ( + h ) / πd h ( + h ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8 / d

20 Caiche immagine Calcoliamo adesso la foza che il piano esecita sulla caica Consideiamo un anello di aggio cosθ La sua aea è da πd La sua caica d σda σ h εez ( x, y,) 4π w h + h + θ h w + h La caica dell'anello esecita una foza sulla caica pai a d hσπd df cosθ h + h Intoducendo il valoe di σ df F h 6πε d ( h + ) ( + ) / 4ε ( h + ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9 d h πε F ( h + 8πε ) ( h + ) 6πεh ( h ) h 8 h σd /

21 Caiche immagine Esaminiamo il isultato appena tovato z + F ( h ) h La foza che il piano esecita sulla caica y è la stessa di uella che la caica immagine esecita sulla caica Due caiche uguali in modulo poste x h a distanza h l'una dall'alta Il poblema appena studiato ci consente di ivedee citicamente la definizione opeativa di campo elettico La foza pe unità di caica che si esecita su una caica esploatice Petanto se avviciniamo una caica ad un piano conduttoe scaico la foza esecitata sulla caica è F ( h ) La definizione coetta è F E lim E F SBAGLIATO!! ( h ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa lim ( h )

22 Definizione opeativa di E Come faccio speimentalmente a fae il limite? Detto divesamente, come faccio a sapee se la caica è piccola a sufficienza? Speimentalmente faccio più misue, con caiche sempe più piccole e ossevo se il campo che misuo dipende dal valoe della caica esploatice Nell'esempio studiato Si utilizza una caica e si misua E E Si utilizza una caica / e si misua E Si utilizza una caica /4 e si misua E E Si estapola all'oigine Se il campo non aggiunge un valoe stabile significa che la caica esploatice è la E causa del campo che misuiamo E 4 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa