Elementi di topologia della retta

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1 Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero { } { } { } { } ] ] { } un intervallo è l insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) intervallo l insieme [ [ è un intervallo perché contiene tutti i numeri compresi tra 1 e fai attenzione che un intervallo è anche un insieme ma non è detto che un insieme sia un intervallo. Ad o l insieme: { } non è un intervallo perché contiene solo i quattro numeri indicati e non tutti i numeri tra 1 e 4 intorno completo di un punto l intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contiene il punto dato il punto l intervallo ] [ è un intorno completo di l intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto stesso intorno circolare di un punto dato il punto l intervallo ] [ è un intorno circolare di la parte ] ] è l intorno sinistro di 4 e la parte [ [è l intorno destro di 4 il minimo di un insieme A è l elemento più piccolo appartenente all insieme. In simboli si scrive: è il minimo di se minimo di un insieme dato l insieme [ [ il minimo è 2 5 dato l insieme ] [ il minimo 2 5 Osserva che il minimo di un insieme esiste solo se l insieme è chiuso inferiormente v di 4

2 Elementi di topologia della retta il massimo di un insieme è l elemento più grande appartenente all insieme. In simboli si scrive: è il massimo di se massimo di un insieme dato l insieme ] ] il massimo è 2 5 dato l insieme ] 2, 5 [ il massimo 2 5 Osserva che il massimo di un insieme esiste solo se l insieme è chiuso superiormente un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento minore o uguale di tutti gli elementi dell insieme. Il minorante non deve necessariamente appartenere all insieme e non è unico minorante di un insieme dato l insieme[ [ 2, 1, 0 sono minoranti minoranti 2 5 dato l insieme [ [ l insieme dei minoranti è l intervallo ] ] dato l insieme ] 2, 5 [ l insieme dei minoranti è sempre l intervallo ] ] Osserva che l insieme dei minoranti, se esiste, è sempre chiuso superiormente un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento maggiore o uguale di tutti gli elementi dell insieme. Il maggiorante non deve necessariamente appartenere all insieme e non è unico maggiorante di un insieme dato l insieme[ [ 5, 6, 7 sono maggioranti 2 5 maggioranti dato l insieme [ [ l insieme dei maggioranti è l intervallo [ [ dato l insieme [ ] l insieme dei maggioranti è sempre l intervallo [ [ Osserva che l insieme dei maggioranti, se esiste, è sempre chiuso inferiormente l estremo inferiore di un insieme è il massimo dei minoranti dell insieme stesso Si indica con il simbolo inf (A) estremo inferiore di un insieme dato l insieme A = ] ] l estremo inferiore di A è 2 in simboli: infatti l insieme dei minoranti di è ] ] il cui massimo è 2 Osserva che se l insieme non è limitato inferiormente, l estremo inferiore è B= ] ] C =] ] D =[ ] v di 4

3 Elementi di topologia della retta proprietà dato un insieme A l estremo inferiore delle seguenti due proprietà: gode l estremo superiore di un insieme è il minimo dei maggioranti dell insieme stesso Si indica con il simbolo sup (A) dato l insieme A = ]2, 5[ l estremo superiore di A è in simboli: 5 estremo superiore di un insieme infatti l insieme dei maggioranti di è [ [ il cui minimo è 5 Osserva che se l insieme non è limitato superiormente, l estremo superiore è B=] [ C = ] ] D = ] [ proprietà dato un insieme A l estremo superiore delle seguenti due proprietà: gode di riepilogo dato l insieme A = ]1, 9 ] si ha che: A è un intervallo limitato A è aperto inferiormente e chiuso superiormente il minimo di A non esiste, il massimo di A è 9 minoranti maggioranti 1 9 l insieme dei minoranti di A è l intervallo ] ] l insieme dei maggioranti di A è l intervallo [ [ l estremo inferiore di A è 1, l estremo superiore è 9 dato l insieme B = [ [ si ha che: B è un intervallo non limitato superiormente B è chiuso inferiormente e aperto superiormente il minimo di B è 1, il massimo di B non esiste minoranti 1 l insieme dei minoranti di B è l intervallo ] ] l insieme dei maggioranti di B è vuoto l estremo inferiore di B è 1, l estremo superiore è dato l insieme C = ] [ si ha che: 2 maggioranti C è un intervallo non limitato inferiormente C è aperto inferiormente e superiormente il minimo e il massimo di C non esistono l insieme dei minoranti di C è vuoto l insieme dei maggioranti di C è l intervallo [ [ l estremo inferiore di C è, l estremo superiore è 2 v di 4

4 Elementi di topologia della retta punto di accumulazione per un insieme un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto vi è almeno un elemento dell insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che: l appartenenza del punto all insieme non implica che il punto sia di accumulazione per l insieme la non appartenenza del punto all insieme non implica che il punto non sia di accumulazione per l insieme I successivi quattro illustrano i possibili casi appartiene ad sia ed A = ] [ è di accumulazione per 3 appartiene ad A ed è di accumulazione appartiene ad sia ed A = ] [ è di accumulazione per 2 non appartiene ad A ed è di accumulazione 2 6 appartiene ad sia ed A = ] [ non è di accumulazione per 1 non appartiene ad A e non è di accumulazione appartiene ad sia ed ] [ non è di accumulazione per 1 appartiene ad A e non è di accumulazione un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l insieme stesso si dice punto isolato ulteriori dato l insieme { } nessuno dei quattro elementi di A è un punto di accumulazione per A. Infatti, scelto ad o l elemento 3, esiste un suo intorno ] [ che non contiene alcun elemento di A distinto da 3 stesso. Analoga conclusione per gli altri tre elementi di A dato l insieme B = ] [ ] ] si ha che insieme dei minoranti insieme dei maggioranti il minimo di B non esiste, il massimo è 9 l insieme dei minoranti di B è ] ] l insieme dei maggioranti di B è [ [ l estremo inferiore è l estremo superiore 9 0 e 9 sono di accumulazione per B 7 è di accumulazione per B tutti i numeri tra 0 e 9 sono di accumulazione per l insieme B v di 4

5 Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione studio del segno della funzione scopo: lo studio del segno individua le regioni di piano in cui la funzione è positiva (+), cioè si trova nel semipiano delle ordinate positive (al di sopra dell asse delle ), o negativa ( ), cioè si trova nel semipiano delle ordinate negative (al di sotto dell asse delle ). Lo studio del segno va svolto ovviamente solo all interno del dominio della funzione come si cerca: si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione NON esiste Studiamo il segno della seguente funzione o si studia innanzitutto il dominio si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste: nell intervallo dove la funzione è negativa si cancella la parte di piano al di sopra dell asse nell intervallo dove la funzione è positiva si cancella la parte di piano al di sotto dell asse studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani scopo: lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani individua i punti di contatto della funzione con l asse e con l asse. I primi sono anche detti zeri della funzione perché hanno intersezioni con l asse o zeri della funzione come si cercano: si pone la funzione uguale a zero, si risolve l equazione le soluzioni dell equazione sono gli zeri della funzione intersezione con l asse come si cerca: si sostituisce alla nella funzione (solo se il dominio lo consente) si svolgono i calcoli e si ottiene l ordinata del punto di intersezione con l asse delle y v di 4

6 Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione o Studiamo le intersezioni con gli assi cartesiani della seguente funzione cerchiamo le intersezioni con l asse funzione uguale a zero ponendo la risolviamo l equazione; la soluzione è l ascissa del punto di intersezione cercato cerchiamo le intersezioni della funzione con l asse sostituendo alla nella funzione; si sviluppano i calcoli e si ottiene l ordinata del punto cercato gli eventuali punti di intersezione della funzione con l asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno (per o, il grafico a destra). Due zone successive di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione con l asse (sempre se il punto appartiene al dominio); due zone successive dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l asse delle (sempre se il punto appartiene al dominio) studio delle simmetrie di una funzione scopo: la presenza di eventuali simmetrie semplifica la ricerca del grafico della funzione. Ciò consente di studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e successivamente di ribaltarne il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all asse se la funzione è pari, oppure rispetto all origine se la funzione è dispari simmetria rispetto all asse y o simmetria pari definizione: una funzione simmetrica rispetto all asse delle si dice pari come si cerca: si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli se la funzione è pari simmetria rispetto all origine o simmetria dispari definizione: una funzione simmetrica rispetto all origine degli assi cartesiani si dice dispari come si cerca: si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno se la funzione è dispari 1. Studiamo la simmetria della seguente funzione sostituiamo con nel testo della funzione e sviluppiamo i calcoli v di 4

7 Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi la funzione non è pari raccogliamo il segno nel testo della confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono diversi la funzione non è nemmeno dispari 2. Studiamo la simmetria della seguente funzione sostituiamo con nel testo della funzione e sviluppiamo i calcoli confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi la funzione non è pari raccogliamo il segno nel testo della confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono uguali la funzione è dispari lo studio delle eventuali simmetrie di una funzione si effettua in genere dopo aver calcolato il dominio e studiato il segno della funzione. Ciò è un vantaggio perché solo se il dominio ed il grafico del segno sono entrambi simmetrici allora (e solo allora) la funzione potrebbe essere simmetrica ed ha senso studiarne algebricamente le simmetrie. Viceversa se il dominio o il grafico del segno NON sono entrambi simmetrici la funzione NON potrà essere simmetrica. Ciò è evidente osservando il grafico dell o dello studio del segno della funzione T periodo studio della periodicità di una funzione definizione: una funzione che ripete a intervalli regolari la sua forma si dice periodica e la dimensione dell intervallo ripetuto si dice periodo e si indica con T come si cerca il periodo T della funzione: si pone ottenendo una equazione si risolve l equazione nell incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione 1. Calcoliamo il periodo della seguente funzione poniamo ottenendo una equazione risolviamo l equazione nell incognita T il periodo richiesto si trova ponendo 2. Calcoliamo il periodo della seguente funzione poniamo ottenendo una equazione risolviamo l equazione nell incognita T v di 4

8 Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione il periodo richiesto si trova ponendo osservazioni importanti il calcolo del periodo di una funzione si effettua solo se la funzione è composta da funzioni periodiche Ricordiamo che le funzioni periodiche elementari sono:,,,. Le prime due hanno periodo uguale a, le ultime due hanno periodo uguale a, come si vede dai loro grafici qui sotto riportati. In questi casi si possono utilizzare le più semplici formule riportate di seguito per il calcolo della periodicità. seno coseno tangente cotangente la ricerca del periodo di una funzione si effettuata risolvendo un equazione goniometrica. In molti casi lo svolgimento dell equazione può risultare complesso per cui è utile ricordare alcune regole pratiche: a) data una funzione di periodo T : il periodo di è il periodo di è b) data una funzione composta dalla somma (o differenza) di funzioni periodiche il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni che la compongono quesiti tratti da tracce di esami di stato di liceo scientifico 1. Sia (Tratto dall esame di Stato 2012 problema 1 prima domanda) poniamo ottenendo una equazione risolviamo l equazione nell incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha 2. Si determini il periodo della funzione (Tratto dall esame di Stato 2009 quesito 10) poniamo ottenendo una equazione risolviamo l equazione nell incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha v di 4

9 Grafici delle funzioni elementari potenza con esponente pari radice con indice pari seno arcoseno potenza con esponente dispari radice con indice dispari coseno arcocoseno logaritmo con base > 1 esponenziale con base > 1 tangente arcotangente logaritmo con 0 < base < 1 esponenziale con 0 <base < 1 cotangente arcocotangente v di 1

10 Grafici di funzioni: trasformazioni Noto il grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo funzione iniziale traslazione verso l alto di unità traslazione verso il basso di unità ribaltamento rispetto all asse x ribaltamento della parte negativa rispetto all asse delle x traslazione verso sinistra di unità traslazione verso destra di unità ribaltamento rispetto all asse y riflessione rispetto all asse delle y dilatazione sull asse y di un fattore dilatazione sull asse x di un fattore ribaltamento rispetto all asse x e all asse y ribaltamento della parte negativa rispetto all asse x e successiva riflessione rispetto all asse delle y contrazione sull asse y di un fattore contrazione sull asse x di un fattore v di 1

11 Definizione di limite di una funzione premessa considerata una funzione sia D il suo dominio sia un punto di accumulazione per D si dice che è il limite per che tende a di : e si scrive se: per ogni intorno esiste un intorno definizione tale che per ogni : appartenente all intorno appartenente al dominio D diverso dal punto si ha che appartiene all intorno definizione topologica La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di. La lettura di tale definizione è riportata nel riquadro definizione in alto a destra definizione algebrica ) La definizione algebrica di limite è una traduzione di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: rappresenta il raggio dell intorno i cui estremi sono ed rappresenta il raggio dell intorno di centro i cui estremi sono ed definizione mista La definizione mista di limite è una composizione delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all asse delle y (quella nella prima e nell ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazione importante L esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione v di 1

12 Tutte le definizioni di limite di una funzione: topologica, algebrica, mista Data una funzione sia D il suo dominio e sia un punto di accumulazione per il dominio l x o x 0 x 0 l l v di 1

13 Algebra dei limiti algebra dei limiti Le regole dell algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell ambito dell algebra classica. Ricordando che nell algebra classica si ha: nell algebra dei limiti valgono le seguenti regole: rapporto tra numeri reali, zero e più o meno infinito somma e prodotto tra un numero reale e più o meno infinito elevamento a potenza tra più o meno infinito e un numero somma e prodotto tra più o meno infinito il segno davanti a nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni elevamento a potenza tra più o meno infinito nel caso del calcolo di limiti delle funzioni elementari il risultato si ottiene osservando l andamento del grafico della funzione stessa, come si vedrà negli successivi forme indeterminate Nel calcolo dei limiti si possono presentare le seguenti sette forme dette indeterminate. Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive. v di 2

14 Algebra dei limiti di calcolo di limiti che NON si presentano in forme indeterminate Per calcolare i limiti degli proposti di seguito si procede nel seguente modo: 1. si sostituisce al posto della nel testo della funzione il valore a cui tende la nel limite 2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dell algebra classica, dell algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari I seguenti due esercizi sono invece di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata v di 2

15 Limiti di funzioni elementari potenza con esponente pari radice con indice pari potenza con esponente dispari radice con indice dispari logaritmo con base > 1 esponenziale con base > 1 logaritmo con 0 < base < 1 esponenziale con 0 <base < 1 v di 2

16 Limiti di funzioni elementari seno arcoseno coseno arcocoseno tangente arcotangente cotangente arcocotangente v di 2

17 Calcolo di limiti calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata Le funzioni algebriche sono le funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici. Se il limite delle funzioni algebriche è in forma indeterminata è possibile manipolare algebricamente il polinomio o la radice in modo da sciogliere la forma indeterminata. Di seguito presentiamo le tecniche di risoluzione più comuni. forma indeterminata cosa fare: mettere in evidenza la di grado massimo ricalcolare il limite tenendo conto dei segni mettere in evidenza la di grado massimo al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo al denominatore semplificare dove è possibile ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore semplificare ricalcolare il limite tenendo conto dei segni ricordando che: moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli ricalcolare il limite tenendo conto dei segni ricordando che: moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli ricalcolare il limite tenendo conto dei segni per calcolare rapidamente sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni per calcolare rapidamente bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero v di 3

18 Calcolo di limiti di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata la forma indeterminata si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo del polinomio, cioè: la forma indeterminata si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo al numeratore e al denominatore, cioè: la forma indeterminata si risolve operando algebricamente sul numeratore e denominatore, cioè: la forma indeterminata si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioè: v di 3

19 Calcolo di limiti caso altre tecniche risolutive Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore. Ad o: caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore. Dal confronto si possono avere tre casi possibili 1 caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per che tende a infinito è. Il segno o si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo (o ) al monomio di grado massimo del numeratore. Ad o: 2 caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per che tende a infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo Il segno o si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo (o ) al monomio di grado massimo del numeratore e del denominatore. Ad o: 3 caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per che tende a infinito è. Ad o: v di 3

20 Asintoti di una funzione definizione di asintoto di una funzione f(x) data una funzione P e dato un suo punto P si dice che una retta è asintoto per la funzione se la distanza di P dalla retta tende a zero quando P si allontana indefinitamente lungo la funzione la definizione non esclude che in alcuni casi la funzione può intersecare l asintoto. Vedi in seguito per l approfondimento Esistono tre tipi di asintoti: asintoto verticale, asintoto orizzontale, asintoto obliquo f(x) asintoto verticale dove si cerca: nei punti di discontinuità della funzione nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso x o come si cerca: osserva: la funzione non attraversa mai l asintoto verticale perché non appartiene al dominio della funzione asintoto orizzontale dove si cerca: a se il dominio lo consente f(x) come si cerca: n solo se l asintoto orizzontale non esiste, si cerca l asintoto obliquo fai attenzione che per e per vanno fatte ricerche separate, ad o a potrebbe esistere l asintoto orizzontale ed a potrebbe esistere l asintoto obliquo asintoto obliquo dove si cerca: a se il dominio lo consente e se non esiste già l asintoto orizzontale f(x) come si cerca: v di 2

21 Asintoti di una funzione osservazioni la funzione può intersecare l asintoto orizzontale e l asintoto obliquo anche più volte, come si vede nei seguenti : f(x) f(x) f(x) la presenza dell asintoto orizzontale esclude l asintoto obliquo. Esistono però funzioni che ammettono l asintoto orizzontale a e l asintoto obliquo a (e viceversa), come si vede nei seguenti grafici: f(x) f(x) γ la funzione ammette l asintoto orizzontale a e l asintoto obliquo a la funzione ammette l asintoto orizzontale a e l asintoto obliquo a la curva ammette un asintoto orizzontale ed uno obliquo nella stessa direzione perché non è una funzione o di ricerca di asintoti di una funzione Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione si calcola il limite sinistro e destro della funzione per della funzione: che tende ai punti di discontinuità ricerca degli asintoti verticali e entrambi i limiti sono infiniti e la retta e entrambi i limiti sono infiniti e la retta è un asintoto verticale per la funzione è un asintoto verticale per la funzione si calcola il limite della funzione per che tende a e a : ricerca degli asintoti orizzontali ricerca degli asintoti obliqui e l asintoto non esiste entrambi i limiti sono infiniti e non esiste asintoto orizzontale a e a per la funzione. Ha senso cercare l asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare e dell ordinata all origine dell equazione dell asintoto obliquo : e la funzione ammette due asintoti verticali ed un asintoto obliquo, come riportato nel grafico della funzione in alto a destra. Osserva che la funzione interseca l asintoto obliquo nell origine degli assi cartesiani v di 2

22 Funzioni: definizione e tipi definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo elemento dell insieme B Una funzione si indica con dove: è un generico elemento di A ed o si chiama immagine di ed appartiene all insieme B l insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di A a b c d A a b c d A a b c d A a b c d A a b c d B B B B B tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca funzione iniettiva una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell insieme A corrispondono elementi distinti dell insieme B f(x) iniettiva x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di funzione suriettiva una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell insieme B è immagine di almeno un elemento dell insieme A f(x) suriettiva la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l insieme A è il dominio, l insieme B è il codominio di funzione biunivoca o biettiva una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell insieme B e viceversa f(x) biunivoca e viceversa l insieme A è il dominio, l insieme B è il codominio di funzione non iniettiva, non suriettiva la funzione della figura a sinistra: PDFdu PDF Password Remover Trial NON è iniettiva perché gli elementi distinti b, c dell insieme A hanno la stessa immagine 2 NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell insieme B ( 4, 5 ) sono immagine di un elemento dell insieme A l insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di corrispondenza la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: all elemento b dell insieme A sono associati più elementi ( 2, 3 ) dell insieme B. l elemento d dell insieme A non è associato ad alcun elemento dell insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza v di 2

23 una generica funzione si indica con Funzioni: definizione e tipi funzioni numeriche è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio se ed sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione X 0 1 grafico di una funzione reale consideriamo ad o la funzione radice cubica x rappresentazione insiemistica coppie di numeri associati grafico della funzione Y Y Y Y Y Y 0 1 X X X X X tipi di funzione la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell asse X hanno ordinate distinte sull asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell asse Y sono associati a punti dell asse X. La parte negativa dell asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell asse Y sono associati a punti dell asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell asse X hanno la stessa ordinata sull asse Y la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: è iniettiva perché punti distinti dell asse X hanno ordinate distinte sull asse Y è suriettiva perché tutti i punti dell asse Y sono associati a punti dell asse X PDFdu PDF Password Remover Trial la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: non è iniettiva perché punti distinti dell asse X hanno la stessa ordinata sull asse Y non è suriettiva perché non tutti i punti dell asse Y sono associati a punti dell asse X. La parte negativa dell asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull asse delle X corrisponde più di un ordinata sull asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza v di 2 Y X

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