FISICA-TECNICA Trasmissione del calore II parte

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1 FISICA-TECNICA Tasmissione del caloe II pate Katia Gallucci Geometie cilindiche Vediamo oa quando abbiamo paeti cilindiche: e i L Q ka Q e Q i kπl( Te Ti ) Q e i d dt d kπl kπldt e d Q kπl i kπl( T e Te Ti dt T ) i dt d Esempio Calcolae il caloe dissipato da un tubo lungo 300 cm che ha aggio inteno,5 cm e aggio esteno,8 cm (k30kcal/hm C),T i 300 C e T e 95 C Q kcal/h Consideiamo oa la pesenza di uno stato intono al tubo di aggio 5 cm ed una tempeatua estena di paete di 50 C: πl( Ti Te ) Q e i e + k k Q30kcal/h tubo film aia 300 C 50 C 5 C Q πl T h conv πl T h conv Possiamo espimee la esistenza totale, in un caso più ealistico come somma della esistenza dovuta all e una dovuta alla convezione R tot e k + h conv 3 4

2 Se facciamo la deivata della esistenza totale e la uguagliamo a zeo, così toviamo il valoe del aggio pe il quale la esistenza è minima: É necessaio scegliee un che abbia k piccolo in modo che min sia minoe di e. Se min > e l applicazione dell nell intevallo min - e è contopoducente. dr d tot k h conv 0 k h conv min k h conv e min A paità di h conv che non possiamo vaiae peché dipende dalle condizioni dell aia ambiente, la esistenza è minima pe un valoe min che dipende da k R tot 5 6 i e Pedite di caloe pe convezione natuale da un tubo oizzontale 300 C tubo film aia 38 C 6 C Calcolae lo spessoe di necessaio da applicae ad un tubo oizzontale che ha aggio i,5cm e e,8cm (k30kcal/hm C), T i 300 C, l3m consideando una tempeatua estena dall di 38 C e l aia cicostante alla pessione atmosfeica e a 6 C (K 0,05kcal/hm C) 7 Poniamo x (la nosta incognita) Q πl( T T ) i e πl e x i k e + k Txh conv È tutto noto tanne h conv che dobbiamo calcolae. Pe la convezione natuale vale la elazione: hconv D Nu ψ P k Pe tubi oizzontali si può utilizzae la elazione: 0,5 0,5 Nu 0,55 P G i G n 3 G D ρ βg T µ c pµ P k 8

3 Le popietà dell aia le consideiamo alla tempeatua media (38+6)/3 C µ 0,0684 kg/mh k 0,03 kcal/m Ch ρ,57 kg/m 3 c p 0,4 kcal/kg C β 0,0038(/ C) g, m/h D? Dobbiamo ipotizzae un diameto esteno dell hp D36cm0,36m h conv,86kcal/(hm C) ( ) x0 (38 6) 763,4 x 3,780,86 3,780 3 x + 0,8 3 x 763,4 x 3, f ( x),8 x 7 f ( x) 50 x 9 f ( x) 35,7 x 0 f ( x) 3, x 9,5 f ( x) 6,5 3 OK. x + 0,8 9 0 kcal Q πl Thconv π 3 0,95,86 6 h Flusso attaveso il tubo: kπl T kcal 30 π 3 (300 T ) Q 6 T 99, 975 C e h,8,5 i Flusso attaveso l : kπl T Q e i 0,05 π 3 (99,975 38) kcal Q 7 9,5 h,8 Veifichiamo che min è infeioe a e kcal 0,05 k hm m cm kcal C 0,075, 75 hconv,86 hm C min Se invece di un mateiale si fosse utilizzato un mateiale tipo cemento (k0,78kcal/hm C), il min saebbe stato 0,7 quindi il tubo avebbe peso più caloe.

4 Iaggiamento Mateiale Gas a Patm (aia a 0 C) k (cal/hm C) k (W/m C) Qualunque copo, a qualunque tempeatua, emette enegia sotto foma di onde elettomagnetiche. Lana di veto a 5 C Legno a 0 C Ganito a 50 C Acciaio a 30 C Agento a 0 C Cemento a 0 C Di tutte le adiazioni emesse, inteessano solo quelle le cui caatteistiche dipendono esclusivamente dalla tempeatua del copo che le emette, senza l aiuto di un alto mezzo: a tali adiazioni si dà il nome di adiazione temica. Quando dunque si pala di adiazione temica si intende l enegia caloifica emessa da un copo solo in vitù della sua tempeatua. Rispetto alla conduzione e convenzione, l iaggiamento può veificasi nel vuoto e non dipende dai salti temici. 3 4 Nel caso dell iaggiamento il caloe si popaga sotto foma d onde elettomagnetiche, che si popagano e taspotano enegia da un punto ad un alto. Le onde elettomagnetiche compendono anche, ta le alte, le onde adio, le micoonde, i aggi X e γ. Queste onde sono podotte da fenomeni fisici divesi, tutti iconducibili ad uno stato d eccitazione dei componenti elementai della mateia. 5 6

5 Se un copo è a tempeatua supeioe allo zeo assoluto, la sua supeficie emette adiazioni, pevalentemente concentate ta le lunghezze d'onda di 0, e 000 µm. A diffeenza degli alti casi (conduzione e convezione) nei quali il flusso va dal copo a tempeatua supeioe a quello a tempeatua infeioe, nel caso dell iaggiamento, due copi che si vedono iaggiano caloe l uno veso l alto. Il caloe netto taspotato è quindi dato dalla diffeenza dei due flussi e fluisce veso il copo a tempeatua minoe. L iaggiamento iveste paticolae impotanza pe quanto attiene: alla adiazione solae incidente sulle paeti degli ambienti (d estate, sopattutto quelle taspaenti, come le vetate); allo scambio di enegia adiante ta gli occupanti e le paeti dell ambiente; ai foni di cottua o iscaldamento, sia convenzionali che a micoonde. 7 8 Esempio di iaggiamento solae in un ambiente attaveso la finesta in inveno ed in estate. L enegia iaggiata dipende esclusivamente dalla tempeatua del copo secondo la elazione:: E εσt 4 E enegia iadiata pe unità di supeficie e nell unità di tempo εemissività (o potee emissivo) del copo σcostante di Stefan-Boltzmann4, kcal/m hk 4 5, J/sm K 4 Ttempeatua assoluta, K 9 0

6 Si definisce coefficiente di emissione monocomatica pe la fequenza ν (detto anche potee emissivo o emittanza monocomatica) ε(ν), il appoto ta l'enegia emessa in tutte le diezioni, nell unità di tempo, pe unità di supeficie e nell'intevallo di fequenza [ν,ν+dν ] dal copo in esame e l'enegia emessa dal copo neo alla stessa tempeatua; L emissività ha valoi compesi ta 0 e. Il caloe taspotato pe iaggiamento, passa da un copo all'alto, anche nel vuoto, senza che la sostanza eventualmente inteposta (puché taspaente alla adiazione) patecipi al fenomeno. Nel vuoto la velocità di popagazione è igoosamente la stessa pe tutte le adiazioni e, quindi, anche pe la luce; essa vale: c3, ms - petanto nel vuoto si ha: λ ctc/ν Quando l'enegia aggiante aggiunge un copo è in pate assobita, iflessa e tasmessa da esso. La pate assobita va ad eccitae i costituenti elementai del copo, che a sua volta emette adiazioni e così via. Vale, cioè, la elazione: a+ + t fazione di enegia assobita + fazione di enegia iflessa + fazione di enegia tasmessa 3 4

7 Si dice opaco un copo pe cui è a + e t 0; è invece definito taspaente un copo pe cui è t e a 0. È peò bene icodae che i concetti di opaco e di taspaente non sono assoluti, ma sono elativi alla lunghezza d'onda della adiazione incidente. Si definisce lunghezza d onda λ (lambda), in una ceta diezione, la distanza λvt pecosa dall onda, con velocità di popagazione v, nel peiodo t, ossia duante il tempo dopo il quale il fenomeno si ipete eguale a sé stesso. Si dice fequenza ν il ecipoco del peiodo t. 5 6 Si definisce coefficiente di assobimento monocomatico (ossia pe la geneica fequenza ν ), il appoto ta l enegia assobita e l enegia incidente da tutte le diezioni, nell unità di tempo e di supeficie, nell intevallo di fequenza [ν,ν+dν]; ossia: a(ν)q o (ν)/q i (ν) Si dice gigio un copo pe il quale a non è funzione di ν. Si dice invece copo neo un copo pe il quale a, ossia che assobe tutta l enegia incidente. Il copo neo è un'astazione; esso può essee simulato da una sfea cava dalla quale la adiazione ha poche pobabilità di uscie se le paeti non sono pefettamente iflettenti. 7 8

8 L iaggiamento è descitto da alcuni modelli fondamentali. La legge di Plank ( ) consente di calcolae l'enegia adiante emessa dal copo neo pe unità di tempo, di supeficie e di lunghezza d'onda (emittanza monocomatica) nell'intevallo [λ,λ+dλ]: dove: k, è la costante di Boltzman h6, eg. s è la costante di Plank c3, m. s - è la velocità della luce. Integando l'espessione pecedente su tutto lo spetto si ottiene: dove q be è l'emittanza totale e σ o 5,67 *0-8 W/m K 4 4,88*0-8 kcal/hm K 4 è la costante di Stefan-Boltzman. Abbiamo così calcolato l'emittanza totale del copo neo; questa equazione è detta legge di Stefan-Boltzman. Calcolando il valoe della lunghezza d'onda pe il quale la legge di Plank pesenta un massimo, si ottiene la legge dello spostamento (886) di Wien (864-98): Tλ max 0,884 cmk Questa legge consente di conoscee il valoe della lunghezza d'onda pe cui é massima l'emittanza monocomatica nota T o vicevesa. Nel caso dei copi gigi, l'emittanza totale si ottiene moltiplicando quella del copo neo pe il coefficiente di emissione, sempe minoe di, come sopa già icodato. Ricodando la legge di Stefan-Boltzman, si può calcolae la potenza temica scambiata ta due copi nei; essa vale: q q - q F S σ o T 4 - F S σ o T 4 dove F e F sono le fazioni di adiazione emesse da ciascuno dei due copi che aggiungono l'alto; i valoi di F e F dipendono dalla geometia del sistema Si noti che è F S -F S, dato che, se si pone T T, è q 0. Nel caso di supefici nee affacciate è,ad esempio, F F, mente pe un copo completamente contenuto in un alto convesso (podotto in un fono), indicata con la sua supeficie, è F e F S /S. I valoi di F sono ipotati nei manuali pe i casi più comuni. Pe i copi gigi l'analisi è in geneale molto difficile; nel caso di supefici affacciate si ha, ad esempio: con q ε m σ o S (T 4 -T 4 ) ε m ε + ε L enegia iadiata in tutte le diezioni se incidesse su un secondo copo potebbe essee pazialmente iflessa o assobita a tasmessa. La fazione dell enegia che viene iflessa, detemina il potee iflettente; la fazione a che viene assobita detemina il potee assobente. La fazione τ costituisce la taspaenza (se τ è tascuabile il copo è detto temicamente opaco) Pe ogni copo è valida la elazione : +a+τ Se a si ha il copo neo capace di assobie tutta l enegia incidente su di esso. 3 3

9 La legge di Kichoff Ad ogni tempeatua qualsiasi copo è capace di iaggiae la stessa enegia che è in gado di assobie. a ε Questa legge, speimentalmente dimostata, è teoicamente giustificabile in base alla temodinamica. Un copo non neo ha un potee emissivo e assobente, ad una ceta tempeatua, pai a E aσt dove a è la fazione dell unità che appesenta il potee assobente del copo, e anche l emissività 4 Se il potee assobente o l emissività non vaia con la tempeatua, alloa un copo non neo è assimilabile ad un copo gigio. Se T e T sono le tempeatue di un copo e dell atmosfea, e T >T, il caloe scambiato vale: E aσ T aσt σ ( at at a emissività del copo alla tempeatua T a emissività del copo alla tempeatua T che di solito viene valutato uguale al valoe di a alla tempeatua T 4 ) Esempi Calcolo del caloe ceduto pe iaggiamento da un tubo di m (d e 5cm) che si tova alla tempeatua di 30 C, mente la tempeatua dell ambiente è 5 C (a0,7) Un gas alla tempeatua di 090 C contiene il 5% di vapoe d acqua e fluisce alla pessione atmosfeica attaveso una canna fumaia a sezione quadata di 60 cm di lato, di mattoni efattai. Calcolae la potenza temica che viene scambiata pe meto di lunghezza delle paeti dal gas, se la supeficie intena è di 000 C e h v 0kcal/hm K 35 Il caloe che fluisce dal gas attaveso le paeti pe effetto della convezione è: kcal Q hv A( TG TP ) h Pe il calcolo del caloe iaggiato si opea in questo modo:. Calcolo del aggio della semisfea equivalente L volume 0.6 L m aea bagnata Calcolo del podotto PL (P%vapoe. pessione totale pessione paziale del vapoe) P L 0.05 L m atm 3. Calcolo dell emissività del vapoe d acqua con il gafico a 363K e 83K 36

10 Emissività del vapo d acqua con T e coezione P tot a (a T363K) a (a T83K) I due valoi devono essee coetti pe la pessione (P+P tot )/(0.05+)/ 0.5 atm. a C P a In definitiva: Q i ( )( )77kcal/h Q tot Q i +Q conv kcal/h Se fosse pesente la CO :diagammi 39 40

11 Si calcola la L e si moltiplica la pessione paziale della CO con L e si ottiene il valoe PL. Si enta nel gafico nel gafico con la tempeatua e si tova a Pe sapee a coetto con la pessione si calcola il appoto (P+P tot )/ e si detemina il C P dal secondo diagamma a ac P Scambiatoi di caloe Quando sono pesenti CO e H O l emittanza può essee calcolata sommando le emittanze dei componenti. 4 4 Scambiatoe di caloe Si dice scambiatoe di caloe un dispositivo nel quale avviene il tasfeimento di caloe ta due fluidi. Esistono molti tipi di scambiatoi, classificabili pe tipo di utilizzo, di contatto ta i fluidi, di diezione dei flussi, di foma. In paticolae è impotante la diezione dei flussi, che possono essee

12 Gli scambiatoi genealmente più utilizzati sono quelli detti a fascio tubieo. Nel campo alimentae sono anche molto diffusi gli scambiatoi a piaste pe la loo compattezza e pe la facilità di pulizia (e/o steilizzazione) Il dimensionamento degli scambiatoi di caloe è fatto dal costuttoe sulla base di specifiche fonite dal cliente. Ciononostante è utile conoscee i citei adottati, pe pote utilizzae questi impotanti componenti degli impianti a agion veduta. Il poblema fondamentale consiste nel calcolo della supeficie di scambio necessaia pe potae una ceta quantità di fluido da una ceta tempeatua ad un alta, cedendo o assobendo caloe a/da un alto fluido, note le tempeatue di ingesso e di uscita, ovveo la potata e una delle due tempeatue di quest ultimo. Pe isolvee questo poblema occoe calcolae peliminamente la quantità di caloe che i due fluidi debbono scambiae. Il flusso di caloe da scambiae si ottiene scivendo il bilancio enegetico globale dello scambiatoe: 47 48

13 Facendo icoso ad HU+pV e tenendo conto che nella maggioanza dei casi è non c è vaiazione di quota e di velocità, l equazione di bilancio può essee scitta pe i due fluidi ispettivamente come segue: H i +(q /M )H u H i +(q /M )H u dalle quali si possono icavae: q (H u -H i )M q (H u -H i )M Poiché sappiamo che il flusso di caloe scambiato ta i due fluidi sono eguali ma di segno contaio (acquisito e ceduto), ossia che è qq -q, dalle due espessioni pecedenti si ottiene: q (H i -H u )M (H u -H i )M detta equazione di bilancio enegetico globale dello scambiatoe Se: i due fluidi subiscono all inteno dello scambiatoe cadute di pessione (pedite di caico) piccole ispetto al valoe delle ispettive pessioni, non avvengono cambiamenti di stato, i caloi specifici dei due fluidi possono itenesi costanti lungo il pecoso (vaiano cioè poco in funzione della tempeatua) l espessione pecedente assume la foma: q c p (T i -T u )M c p (T i -T u )M Calcoliamo oa la supeficie di scambio, pendendo in consideazione pe lo scambiatoe la più semplice achitettua e i due flussi equi- e conto-coente. Individuiamo una geneica pozione infinitesima dello scambiatoe di lunghezza dx alla distanza x dall ingesso del fluido e la cui aea della supeficie di scambio valga ds x. Siano T e T le tempeatue dei due fluidi. Il flusso di caloe tasmesso da un fluido all alto (positivo se uscente) attaveso la sezione ds vale dqu(t -T )ds x dove U è il coefficiente globale di tasmissione del caloe. Scivendo il bilancio enegetico pe i due fluidi elativamente al tatto di scambiatoe consideato si ha: dq-dq -M dh -M c p dt dqdq ±M dh ±M c p dt dove: le eguaglianze di desta sono valide pe p < < p e c p cost Nel caso del fluido, il segno + vale pe scambiatoe equicoente (H cesce con S x ) e quello - pe scambiatoe contocoente (H diminuisce con S x ). 5 5

14 Ricavando dalle pecedenti -dt e dt, Sommando: -dt +dt d(t -T )dq(/m c p ± /M c p ) Ricodando che dq U(T -T )ds x e sostituendo nella pecedente si ottiene: d(t -T ) U(T -T ) (/M c p ± /M c p ) ds x che, nelle ipotesi c p e U costanti, sepaando le vaiabili (T -T ) e S x e integando diventa: ( T T ) U ± Sx + cost Mc p Mc p 53 La costante di integazione si calcola sapendo che: T i -T i (equicoente) T i -T u (contocoente) pe S x 0 è (T -T ) T o, essa vale cost- T o Petanto l espessione pecedente diventa: ( T T ) U ± Sx T0 Mc p Mc p Calcolando quest ultima pe SS x pe cui è (T -T ) T u -T u (equicoente) T i -T i (contocoente) si ottiene: TS U ± Sx T Mc p Mc p T T 0 U ± Mc Mc S p p S x 0 54 Ricodando che è: T T T T M c q M c q u i u i p p T US ( T ) ( ) 0 u T i ± T u T i si ha, infine: Ts q Semplici passaggi consentono di veificae che in entambi i casi di equi- e conto-coente, vale sempe l espessione: [ ] T US T 0 0 Ts Ts q US [ T0 Ts ] q q US Tm S T0 U T T s T m viene chiamato T medio logaitmico o, nei testi inglesi, MLDT. Si noti che T m è stato calcolato assumendo U costante il che genealmente non è veo; utilizzando peò un valo medio di U nell intevallo delle tempeatue in gioco si ottiene una buona appossimazione. m Un impiego fequente degli scambiatoi di caloe è quello pe il ecupeo del caloe. Il podotto si pe-iscalda nel pimo scambiatoe, si tatta a caldo nel secondo, si pe-affedda di nuovo nel pimo, aspotando pate del caloe speso pe tattalo e utilizzandolo pe pe-iscaldalo in ingesso, e si affedda nel tezo

15 Pe stabilie la convenienza del ecupeo di caloe si taccia la cuva somma dell ammotamento annuale dei costi di impianto e quella dei costi di esecizio; si dimensiona il ecupeo in coispondenza del minimo di questa cuva. Scambio temico in equicoente e in contocoente Abbiamo visto che nello scambio temico, tascuando l iaggiamento, possiamo utilizzae la elazione: QAU D T Consideiamo due tubi coassiali nei quali scoono due fluidi con tempeatue divese Equicoente T T T T T T L T T 57 L 58 Contocoente T T T T T T L T T Equicoente T LMDT ( T T ) ( T ' T ' ) T T T ' T ' Quale T scegliamo da inseie nell equazione di Q? Pe tene conto del fatto che la diffeenza delle tempeatue ta i due fluidi vaia lungo la supeficie di scambio, T utilizzato nell espessione è un T medio logaitmico calcolato come segue L dove LMTDMLDT (Media Logaitmica della Diffeenza di Tempeatua) Contocoente T LMDT ( T ' T ) ( T T ' ) T ' T T T ' 59 60

16 Esecizio Un fluido enta alla tempeatua di 00 C ed esce alla tempeatua di 60 C, da uno scambiatoe a tubi concentici, affeddato da un alto liquido che enta alla tempeatua di 0 C ed esce alla tempeatua di 50 C. Calcolae il T LMDT in equicoente e in contocoente ( 50 0) ( 60 50) T LMDT C ( 60 0) ( 50 50) T LMDT 7. 3 C In contocoente il T è più elevato quindi posso utilizzae tubi più coti a paità di caloe scambiato 6

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