PMP Compendium PROBABILITÀ E STATISTICA A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT

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1 PMP Compendium PROBABILITÀ E STATISTICA A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT ESPM- European School of Project Management 1

2 SOMMARIO 1. GESTIONE DEL DOCUMENTO Storia del documento Gestione delle modifiche Confidenzialità e proprietà PREMESSA INTRODUZIONE Struttura Simboli VARIABILI Variabili qualitative e variabili quantitative Variabili aleatorie MEDIA, MEDIANA, MODA Media Mediana Moda MISURE DI VARIABILITÀ A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT Range Varianza Deviazione Standard Deviazione Standard come misura dell'incertezza sulle stime di durata e costi di progetto Stime con la tecnica a 3 punti Stime con la tecnica PERT DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ E LORO APPLICAZIONI IN PROJECT MANAGEMENT Distribuzione Uniforme Distribuzione Triangolare Distribuzione Beta Distribuzione Normale La Distribuzione Lognormale (Lognormal) Teorema del limite centrale Il ruolo delle distribuzioni di probabilità nella gestione dei rischi TECNICHE DI SCHEDULING DEL PROGETTO ESPM- European School of Project Management 2

3 8.1 Reticolo logico di schedulazione (scheduling network) Critical Path Method (CPM) Critical Chain Method (CCM) Analisi Monte Carlo applicata ai progetti DESIGN OF EXPERIMENT (DOE) IN PROJECT MANAGEMENT GLOSSARIO INDICE DELLE FIGURE Figura 1: Schema riassuntivo variabili... 9 Figura 2: Schema riassuntivo Media, Mediana, Moda Figura 3: Range di un insieme di dati Figura 4: Distribuzione Uniforme discreta Figura 5: Distribuzione Uniforme continua Figura 6: Distribuzione Triangolare Figura 7: Distribuzione Beta Figura 8: Distribuzione Normale (Gaussiana) Figura 9: Deviazioni Standards dalla media Figura 10: Distribuzione lognormale Figura 11: Metodo CPM e CCPM a confronto Figura 12: Schema Design of Experiment ESPM- European School of Project Management 3

4 1. GESTIONE DEL DOCUMENTO 1.1 Storia del documento Data Autore(i) Versione Stato Commenti 12/05/2013 MGV 0.0 Draft Versione iniziale 06/07/2013 MGV 0.1 Draft Versione completa 1.2 Gestione delle modifiche Il presente documento è gestito dal processo di gestione dei cambiamenti. I cambiamenti apportati devono essere approvati da ESPM (European School of Project Management) via il processo di gestione dei cambiamenti. 1.3 Confidenzialità e proprietà Questo documento e tutti gli allegati associati sono di proprietà di ESPM spa, delle società sue consociate e affiliate (Projectize srl, YLUM srl). ESPM- European School of Project Management 4

5 2. PREMESSA L'obiettivo primario per il Project Manager è il successo del progetto. Essere efficaci, arrivare all'obiettivo, non basta! Bisogna anche essere efficienti e arrivare all'obiettivo con il minore dispendio e spreco di risorse, mantenendo alti gli standard qualitativi. Per essere efficaci, quindi, non è sufficiente "misurare", occorre anche elaborare le misurazioni effettuate e utilizzarle a scopi previsionali sempre nell'ottica dell'efficienza e della sostenibilità del progetto. Questo compendium ha lo scopo di spiegare i concetti base e alcuni metodi della probabilità e della statistica che possono essere di supporto al Project Manager. È esclusa una trattazione completa e rigorosa delle discipline della Statistica e della Probabilità, per una conoscenza approfondita delle quale si rimanda a corsi specialistici. ESPM- European School of Project Management 5

6 3. INTRODUZIONE La conoscenza di base e la comprensione di alcuni elementi delle discipline della Statistica e della Probabilità sono di supporto al Project Manager nello svolgere le attività di gestione di un progetto, tra le quali citiamo: la gestione dei rischi, la capacità di predire in maniera oggettiva l'andamento dei costi e delle tempistiche, la misurazione degli indici di performance del progetto e la loro analisi necessaria per capire l'andamento del progetto stesso. Inoltre, durante la fase del Monitoring & Controlling, sono numerosi i metodi statistici che supportano una comprensione analitica (qualitativa e quantitativa) dell'andamento del progetto. Tale comprensione permette di avere gli strumenti necessari per intraprendere eventuali correzioni (di costo, di risorse, di budget, di tempistiche, di qualità, di scopo) durante le varie fasi del progetto. 3.1 Struttura La struttura del presente compendium è la seguente: Breve spiegazione teorica Esempi di applicazione 1 minuto di riflessione Verifica Test di comprensione In conclusione 3.2 Simboli Attenzione! 1 minuto di riflessione Ricorda! Esempio Test di comprensione Domande di verifica Definizione Per l'esame Riferimenti In conclusione ESPM- European School of Project Management 6

7 4. VARIABILI In Statistica una variabile ha due caratteristiche: è un attributo che descrive una persona, un posto, un oggetto o un idea; ha un valore che dipende dal tipo di entità cui si riferisce. 4.1 Variabili qualitative e variabili quantitative Le variabili sono classificate in due modi: qualitative e quantitative. Variabili qualitative (o categoriche): il valore è un testo, un aggettivo. Per esempio: il colore dei capelli di una persona è una variabile qualitativa. Variabili quantitative (o numeriche): il valore è un numero. Per esempio: l'altezza di una persona, espressa in centimetri, è una variabile quantitativa. Le variabili quantitative sono a loro volta classificate come discrete o continue. Discrete: le variabile discrete assumono solo numeri interi. Esempio: la popolazione del pianeta Terra è un numero discreto. Continue: le variabili continue assumono qualsiasi valore tra un minimo e un massimo. Esempio: Il budget previsto per l'acquisto di una nuova automobile della famiglia Bianchi, può assumere qualsiasi valore tra il minimo di e il massimo di Variabili aleatorie Una variabile aleatoria (casuale, random) è una variabile che assume determinati valori in modo casuale (non deterministico). Esempi: il lancio di un dado; l esito di una estrazione del Lotto; il risultato di una partita di calcio; il voto di un esame. Dato che ciascuno dei valori ha una probabilità di verificarsi, ci sarà anche una funzione detta distribuzione di probabilità P(x) della variabile aleatoria x. Le variabili aleatorie possono essere sia discrete che continue. ESPM- European School of Project Management 7

8 Riprenderemo il concetto di variabili aleatorie nel capitolo 7 quando approfondiremo le Distribuzioni di Probabilità. Esempio di applicazione Una piccola azienda ha deciso di investire in un progetto che prevede la ristrutturazione e riqualificazione dei locali situati al piano terra di un edificio di 3 piani per la realizzazione di un centro ricreativo e culturale che ha l'obiettivo di erogare corsi di: lingua, teatro, musica, arte e doposcuola. Il Project Manager fa un elenco delle seguenti variabili qualitative e quantitative che intende tenere sotto controllo durante le varie fasi del progetto. Variabili qualitative: risposta della popolazione alla proposta dei corsi; tempi di realizzazione struttura. Variabili quantitative: popolazione potenziale interessata ai corsi tra 4 e 6 anni tra 7 e 11 anni tra 12 e 14 anni tra 14 e 25 anni tra 25 e 55 anni tra 55 e 65 anni > 65 anni percentuale di persone che hanno espresso interesse per i corsi di lingua percentuale di persone che hanno espresso interesse per i corsi di teatro percentuale di persone che hanno espresso interesse per il servizio di doposcuola e tutoraggio I valori delle suddette variabili permetteranno di valutare il numero dei corsi da erogare e il numero dei docenti esterni da reclutare sul territorio. 1 minuto di riflessione Rifletti su quali possano essere le variabili quantitative principali che caratterizzano un individuo. "Alto" è una variabile qualitativa, "178 cm" è una variabile quantitativa. ESPM- European School of Project Management 8

9 Domande di verifica Tra le variabili quantitative che hai individuato nel minuto di riflessione precedente, quali sono le variabili continue? Quale delle seguenti affermazioni è vera? Test di comprensione [A] Tutte le variabili possono essere classificate come numeriche o qualitative. [B] Le variabili categoriche possono essere variabili continue. [C] Le variabili qualitative possono essere variabili discrete. [D] Le variabili discrete assumono qualsiasi valore tra un minimo e un massimo. Soluzione Test di comprensione La risposta corretta è [A]. Tutte le variabili possono essere classificate come qualitative o numeriche. Le variabili categoriche (dette anche qualitative), non possono essere numeriche e quindi non possono essere classificate come continue. Le variabili discrete sono una categoria di variabili quantitative e assumono solo valori interi tra un minimo e un massimo. In conclusione Figura 1: Schema riassuntivo variabili ESPM- European School of Project Management 9

10 5. MEDIA, MEDIANA, MODA 5.1 Media La media aritmetica di un set di dati è la somma numerica di tutti i valori dei dati diviso il numero dei dati. In simboli matematici: Dove: è la media del set di x valori è la somma di tutti gli x valori facenti parte del set n è il numero di x valori del set 5.2 Mediana La mediana di un insieme di dati è il valore del dato centrale dell'insieme dopo che questi sono stati ordinati in ordine crescente. Dove: n è il numero dei dati mediana = ½ (n + 1) -esimo valore del set di dati Nota: Se è il numero dei dati è pari, allora la mediana è calcolata come la media di due valori centrali di un insieme di dati. La mediana indica il numero che occupa la posizione centrale in un insieme di numeri, ovvero una metà dei numeri ha un valore superiore rispetto alla mediana, mentre l'altra metà ha un valore inferiore. La media e la mediana sono misure usate per descrivere il valore "più tipico" di una popolazione. Gli Statistici li definiscono come misure della tendenza centrale. ESPM- European School of Project Management 10

11 5.3 Moda La moda indica il valore più ricorrente in un insieme di dati. In alcune distribuzioni, la moda può mancare, oppure essere presente per più di un valore; in questo caso, si hanno distribuzioni bimodali (due mode), trimodali (tre mode), plurimoldali. La moda, ad esempio, di 2, 3, 3, 5, 7 e 10 è 3. Moda = valore che compare con maggior frequenza Esempio di applicazione In un progetto si registra un aumento dei costi mensile. Dopo una analisi sui costi, il PM decide di calcolare l'over-costo medio settimanale dovuto alle ore di straordinario richieste negli ultimi due mesi (1 ora di straordinario costa all'azienda 122 euro). Media 1. Settimana 1 = 25 ore 2. Settimana 2 = 21 ore 3. Settimana 3 = 15 ore 4. Settimana 4 = 28 ore 5. Settimana 5 = 21 ore 6. Settimana 6 = 32 ore 7. Settimana 7 = 17 ore 8. Settimana 8 = 22 ore Mediana = =181 ore n 8 22,625 ore Costo medio settimanale 2760,25 imputabile alle ore di straordinario Ordiniamo le ore settimanali in ordine crescente: 15, 17, 21, 21, 22, 25, 28, 32 Valori centrali: 21, 22 Mediana: (21+22)/2 = 21,5 ore ESPM- European School of Project Management 11

12 Moda Il valore più ricorrente è 21 ore. 1 minuto di riflessione Nell'esempio precedente quali delle 2 misure della centralità meglio risponde alle esigenze del Project Manager? Domande di verifica Quando è meglio usare la media e quando la mediana? Usiamo la media quando abbiamo un campione grande di dati. Usiamo la mediana quando abbiamo un campione piccolo di dati e il campione presenta un valore che differisce moltissimo da tutti gli altri dati. Tale valore si chiama outlier (dato erratico). Questo perché il dato erratico può falsare la media. Test di comprensione Il punteggio di 4 test di IQ è il seguente: 96, 100, 106, 114. Quale delle seguenti affermazioni è vera? [A] La media è 103 [B] La media è 104 [C] La mediana è 100 [D] La mediana è 106 Soluzione La risposta corretta è [B]. Infatti: Media = Σx / n = ( ) / 4 = 104 Dal momento che ci sono un numero pari di punteggi (4), la mediana è la media dei due punteggi centrali. Mediana = ( ) / 2 = 103 ESPM- European School of Project Management 12

13 In conclusione Figura 2: Schema riassuntivo Media, Mediana, Moda ESPM- European School of Project Management 13

14 6. MISURE DI VARIABILITÀ A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT 6.1 Range Il Range è la differenza tra valore massimo e valore minimo di un insieme di dati. Nell'intervallo di Figura 3 i valori sono {4, 6, 9, 3, 7}. Il valore minimo è 3, il valore massimo 9, il range = 9-3 = 6. Figura 3: Range di un insieme di dati 6.2 Varianza Nel capitolo precedente abbiamo visto come la media sia una misura della centralità del nostro insieme di dati (popolazione). Utilizziamo ora la media come punto di riferimento per calcolare la deviazione (o variabilità) di ciascun valore dal valore centrale (media). Questa deviazione si chiama scarto. Le deviazioni sono numeri positivi per tutti i valori al di sopra della media e numeri negativi per tutti i valori al di sotto della media. Sommando queste deviazioni il risultato è 0 (i valori positivi sono elisi dai valori negativi). Quest'approccio non ci consente quindi di ottenere una misura della variabilità dei dati. Il problema si risolve elevando al quadrato le deviazioni dalla media (il quadrato di un numero negativo è un numero positivo). Sommando i quadrati delle deviazioni (o scarti ) dalla media e dividendo questa somma per il numero delle osservazioni, otteniamo la deviazione quadratica media (o scarto quadratico medio) o varianza. Data una popolazione, la varianza è una funzione che fornisce una misura di quanto i valori assunti dalla variabile si discostano dal valore medio. La varianza è quindi definita come lo scarto quadratico medio dalla media della popolazione, secondo la seguente formula: = dove ESPM- European School of Project Management 14

15 è la varianza μ è la media X i è l'i-esimo elemento della popolazione N è il numero degli elementi della popolazione. σ 2 In sintesi, la varianza dice come sono distribuiti i valori attorno alla media. Per esempio: prendiamo l'età di una popolazione di 3 gruppi di individui adulti in 3 ospedali diversi per sperimentare un nuovo protocollo di cura. Età gruppo 1 (anni): 20, 30, 40, 50, 60. Età gruppo 2 (anni): 10, 25, 40, 55, 70. Età gruppo 3 (anni): 35, 37, 40, 43, 45. L'età media (media aritmetica) è pari a 40 anni per tutti e tre i gruppi, ma nel secondo gruppo i dati sono più dispersi attorno alla media. È per questo che, accanto ai valori medi, vanno introdotti anche indici di misura della variabilità (o dispersione o scarto) dei dati. Nota: Nella formula della varianza, il denominatore è pari ad N quando si calcola la varianza di una popolazione, si usa invece (n-1) quando si calcola la varianza di un campione di dati (sample). 6.3 Deviazione Standard Il limite della varianza come misura di dispersione è quella di avere una unità di misura espressa al quadrato rispetto all'unità di misura originale. Essa indica quanto, in media, ciascun elemento si discosta dalla media aritmetica. La radice quadrata della varianza, chiamata deviazione standard, ci riporta i valori nell'unità di misura di partenza: dove: σ è la deviazione standard σ 2 è la varianza μ è la media X i è l'i-esimo elemento della popolazione N è il numero degli elementi della popolazione. La Deviazione Standard è l'indice di variabilità più "reale" e, quindi, più utilizzato per misurare l'incertezza di una misura. Quanto più elevata è la deviazione standard, tanto più i dati si discostano dal valore medio. ESPM- European School of Project Management 15

16 Nel paragrafo seguente vedremo come il valore della varianza e della deviazione standard possono dare al Project Manager una indicazione sulle stima di durata e di costo di un progetto. La deviazione standard rappresenta l'incertezza della nostra misura centrale (media). Essendo definita come la radice quadrata della varianza assume sia valori negativi che valori positivi. 6.4 Deviazione Standard come misura dell'incertezza sulle stime di durata e costi di progetto Stime con la tecnica a 3 punti Ogni attività di un progetto presenta un margine di incertezza o rischio relativamente ai parametri come la durata e i costi del progetto stesso. Nella pratica di tutti i giorni sono molti i rischi di non terminare un progetto in una determinata data ed entro un determinato budget. Valutare questi rischi permette di pianificare meglio una risposta agli stessi, aumentando così la probabilità di successo del progetto. Le stime a 3 punti sono di supporto al Project Manager per valutare i rischi di alcuni parametri fondamentali di progetto come la durata e i costi. Le stime a 3 punti usano 3 stime differenti: valore Ottimistico (caso migliore, O), valore Pessimistico (caso peggiore, P) e valore più probabile (M dall'inglese Most Likely) per stimare sia la durata che i costi di un progetto. Il modo più semplice è quello di calcolare la media semplice del parametro in esame: Tali formule derivano dalla Distribuzione di Probabilità Triangolare che vedremo nel capitolo Stime con la tecnica PERT Anche la tecnica PERT (Program Evaluation and Review Technique) è una stima dell'incertezza che usa 3 punti. ESPM- European School of Project Management 16

17 Per poter arrivare alla formula di PERT, osserviamo che la durata di un progetto è una variabile aleatoria (rif. 4.2). Assumiamo ancora che il tempo di completamento di un progetto sia un valore finito. In riferimento alla durata del progetto, chiamiamo stima Ottimistica (caso migliore, O) il minimo valore del range della durata e stima pessimistica (caso peggiore, P) il massimo valore del range. Queste assunzioni sono anche alla base della definizione della così detta Distribuzione Beta (β) che è una distribuzione di probabilità continua con range finito che vedremo in dettaglio nel capitolo 7.3. Il picco di questa distribuzione corrisponde alla moda (M), ovverosia al valore più probabile della distribuzione. O, P ed M sono quindi dei parametri della distribuzione di una variabile aleatoria (quale può essere appunto la durata o il costo di un progetto). La distribuzione Beta è caratterizzata da 4 parametri: un valore minimo, un valore massimo, due parametri di forma. Indipendentemente dai valori di minimo e massimo, dando ai parametri di forma specifici valori, si calcola: Il valore medio µ rappresenta la stima media della durata oppure dei costi del progetto. Il valore la varianza e il valore la deviazione standard, ossia rappresenta l'incertezza sulla stima del valore medio µ. Osserviamo che la differenza fra il valore pessimistico e il valore ottimistico è 6 volte la deviazione standard e che PERT dà uno peso 4 al valore della moda (valore più probabile). In sintesi PERT è un tipo di tecnica di stima a 3 punti e usa una stima della media "pesata" rispetto alla stima semplice della formula a 3 punti semplice. Le stime a 3 punti sono anche usate per l'analisi Monte Carlo (vedi xxxxxxx). La formula PERT è detta anche EAD (Expected Activity Duration). Affineremo e completeremo le tecniche di stima della durata e dei costi di un progetto quando esamineremo la Distribuzione Normale (Distribuzione Gaussiana) nel paragrafo 7.4 e il metodo del cammino critico (Critical Path Method). ESPM- European School of Project Management 17

18 Esempio di applicazione In seguito ad un cambiamento di un requisito software che implica l'installazione di un nuovo plug-in, il Project Manager chiede alla risorsa interessata di stimare il tempo che gli occorre per effettuare tale modifica. La risorsa risponde che nel caso migliore potrebbe impiegarci 6 ore, nel caso peggiore 26 ore (problemi con l'installazione del plug-in), più probabilmente 10 ore. Il Project Manager decide di aggiornare la schedulazione usando la stima PERT che porta al seguente risultato: (6 + 4* )/6 = 72/6 = 12 ore, molto vicino alla stima più probabile. 1 minuto di riflessione Abbiamo visto che sia la varianza che la deviazione standard danno la misura dell'incertezza di una variabile aleatoria intorno al valore medio: perché abbiamo bisogno di due variabili che ci dicono la stessa cosa? Domande di verifica Un progetto è normalmente formato da più attività (scomponibili per esempio utilizzando la WBS). Una volta calcolato la durata media e la deviazione standard di ogni attività, a cosa corrisponde la durata totale e la deviazione standard totale del progetto? Suggerimento: verifica la tua risposta dopo aver letto il paragrafo 7.6. Test di comprensione Due progetti X e Y hanno una durata prevista di 48 giorni ciascuno. La Deviazione Standard è 4 giorni per il progetto X e 8 giorni per il progetto Y. Cosa possiamo affermare in riferimento ai due progetti? [A] Il progetto X ha una probabilità di completarsi in metà del tempo del progetto Y [B] Il progetto Y ha una probabilità di completarsi in metà del tempo del progetto X [C] Il progetto X è più rischioso del progetto Y [D] Il progetto Y è più rischioso del progetto X. Soluzione Test di comprensione La risposta corretta è[d]. Il progetto Y è più rischioso del progetto X. Una deviazione standard più elevata indica maggiore incertezza sui rischi. ESPM- European School of Project Management 18

19 In conclusione ESPM- European School of Project Management 19

20 7. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ E LORO APPLICAZIONI IN PROJECT MANAGEMENT Nel capitolo 4 abbiamo definito le variabili aleatorie. Se disegniamo un grafico con i valori di tali variabili lungo l'asse x e disegniamo la probabilità che ciascun di esse si verifichi lungo l'asse y, otteniamo una distribuzione di probabilità. La funzione matematica che descrive la forma della distribuzione di probabilità si chiama funzione di distribuzione della probabilità. In questo capitolo vediamo alcune tra le distribuzioni più usate nella disciplina del Project Management e le loro applicazioni. 7.1 Distribuzione Uniforme Nella distribuzione uniforme ogni valore della variabile aleatoria ha una uguale probabilità di verificarsi. Per esempio, nel lancio di un dado (facce numerate da 1 a 6), ciascuna faccia ha una uguale probabilità di occorrenza. Quindi ogni faccia del dado ha una probabilità di 1/6 di verificarsi. La distribuzione uniforme può essere discreta o continua. Il lancio di un dado è un esempio di distribuzione discreta perché il risultato può assumere solo valori discreti (1, 2, 3, 4, 5, e 6). Le variabili aleatorie continue, invece, sono quelle che possono assumere un insieme continuo di valori tra un intervallo dato [a, b]. La distribuzione uniforme di un insieme definito di valori è la distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti gli elementi dell'insieme la stessa probabilità di verificarsi. Figura 4: Distribuzione Uniforme discreta ESPM- European School of Project Management 20

21 Figura 5: Distribuzione Uniforme continua Utilità in Project Management Tale distribuzione è usata in Project Management quando si hanno poche informazioni sui dati di progetto e si vogliono determinare delle stime grossolane. È inoltre usata nel processo di Gestione dei Rischi quando un certo numero di rischi ha una uguale probabilità di verificarsi. 7.2 Distribuzione Triangolare La Distribuzione Triangolare è una distribuzione di probabilità continua con un valore minimo, una moda (valore più probabile) e un valore massimo. Differentemente dalla Distribuzione Uniforme i valori di una variabile aleatoria in questo caso NON hanno la stessa probabilità di verificarsi. La probabilità del valore minimo (a) è 0, come pure la probabilità del valore massimo (b), la probabilità della moda (c) invece è il valore più alto della distribuzione. Figura 6: Distribuzione Triangolare ESPM- European School of Project Management 21

22 Utilità in Project Management Tale distribuzione è usata spesso come approssimazione della Distribuzione Beta che vedremo nel prossimo paragrafo per stimare la durata delle attività di un progetto come abbiamo visto nel paragrafo (stima a 3 punti semplice). Assumendo infatti una Distribuzione Triangolare, la durata aspettata di una attività (media della distribuzione) può essere calcolata usando il metodo della media semplice. 7.3 Distribuzione Beta La distribuzione Beta è determinata da 4 parametri: a - valore minimo b - valore massimo α - parametro di forma β - parametro di forma dove a e b sono numeri finiti. Anche se gli eventi naturali raramente hanno numeri finiti, la distribuzione Beta li approssima abbastanza bene. La forma della Distribuzione Beta assomiglia a quella della Distribuzione Triangolare ma con la punta del triangolo arrotondata. I parametri di forma α e β permettono di variare la forma della distribuzione (vedi Figura 7). Per valori di α piccoli e di β grandi, il picco della distribuzione è spostato a sinistra del grafico. Viceversa, per valori di α grandi e di β piccoli, il picco della distribuzione è spostato a destra del grafico. Infine, quando i valori di α e β sono paragonabili, il picco della distribuzione si situa al centro del grafico. Figura 7: Distribuzione Beta ESPM- European School of Project Management 22

23 Utilità in Project Management Come abbiamo visto nel paragrafo in occasione della tecnica PERT, interpretando come pessimistico (P) il valore minimo, Ottimistico (O) il valore massimo e più probabile (M) il valore di moda della distribuzione Beta, possiamo ottenere delle buone stime sia per la durata delle attività di un progetto, sia per i costi. 7.4 Distribuzione Normale Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore tra - e segue una distribuzione Normale (detta anche Gaussiana). Molti fenomeni naturali si distribuiscono secondo la Distribuzione Normale. La particolarità di questa distribuzione è che è simmetrica rispetto al valore medio (valore aspettato). Inoltre il valore medio coincide con la mediana e con al moda (valore più probabile). La distribuzione normale presenta la caratteristica forma a campana. La forma più semplice di distribuzione normale si chiama Distribuzione Normale Standard ed ha come media il valore 0 e come varianza il valore 1. Grazie alla sua capacità di modellare bene moltissimi eventi naturali, tale distribuzione presenta molte applicazioni pratiche in ogni disciplina di studio. Figura 8: Distribuzione Normale (Gaussiana) Nel capitolo 6 abbiamo visto come la varianza e la deviazione standard danno una misura della dispersione dei valori di una variabile aleatoria. L'asse y della curva di distribuzione dà la probabilità di verificarsi di ogni valore che può assumere una variabile aleatoria. Il rapporto dell'area sotto la curva tra due qualsiasi punti a e b e l'area ESPM- European School of Project Management 23

24 totale della curva, dà la probabilità che un determinato valore della variabile aleatoria cada dentro l'intervallo tra a e b. E qui entra in gioco la deviazione standard. In accordo con la statistica il 68,2% dei valori di una variabile aleatoria cadono dentro 1 deviazione standard dal valore della media, il 95,5% dentro 2 deviazioni standard dal valore della media e il 99,7% dentro 3 deviazioni standard. In altre parole: c'è una probabilità di 68,2% che i valori di una variabile aleatoria stiano tra, 95,5% e 99,7%. Figura 9: Deviazioni Standards dalla media Utilità in Project Management Qualsiasi variabile aleatoria di un progetto può essere gestita con i livelli di confidenza dati dalle stime di deviazione standard. Questo perché molte variabili di progetto seguono la tipica forma a campana della Distribuzione Normale. Molti Project Manager sono confidenti con stime di ±2, alcuni preferiscono avere livelli di confidenza sulle loro stime fino a 3. Una tecnica, nota come Six-Sigma (rif. xxx), termine coniato da Motorola nel 1985 per ridurre al minimo gli errori sul prodotto e aumentare la qualità dello stesso minimizzando la variabilità nei processi di produzione e di business, considera livelli di confidenza fino ±6. In realtà sono sufficienti ±4,5 per raggiungere un livello tale di controllo del processo da avere soltanto 3,4 parti difettose per milione (valore standard), il che porta a limiti molto restrittivi sulla variabilità del processo produttivo. 7.5 La Distribuzione Lognormale (Lognormal) In teoria delle probabilità la Distribuzione Lognormale, o Lognormal, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo segue una distribuzione normale. Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti. ESPM- European School of Project Management 24

25 Figura 10: Distribuzione lognormale 7.6 Teorema del limite centrale Il Teorema del limite centrale dice che, preso un grande campione di variabili aleatorie indipendenti (più di 30), ognuna delle quali presenta lo stesso tipo di distribuzione (come per esempio la distribuzione Beta) con una media finita e una varianza, esso si distribuisce secondo la Distribuzione Normale. Più è grande il campione, più il risultato si avvicina alla Distribuzione Normale. Abbiamo visto nel paragrafo che l'assunzione di base della tecnica PERT è che ogni singola attività di un progetto sia una variabile aleatoria che segue la Distribuzione Beta. La durata totale del progetto ha una incertezza che vogliamo valutare. Consideriamo le durate delle singole attività come variabili aleatorie e le durate delle attività sul percorso critico (vedi paragrafo Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.) come campione. Per calcolare la durata totale del progetto sommiamo le stime PERT delle attività sul percorso critico. Il Teorema del limite centrale ci assicura che il risultato, cioè la durata totale del progetto (somma delle attività sul cammino critico), sia ancora una variabile aleatoria avente distribuzione normale con media pari alla somma delle medie e varianza pari alla somma delle varianze. Il teorema del limite centrale risponde quindi alla domanda di verifica del capitolo Il ruolo delle distribuzioni di probabilità nella gestione dei rischi Nei paragrafi precedenti abbiamo visto il ruolo delle distribuzioni di probabilità per fare delle stime anche accurate di variabili aleatorie fondamentali per il progetto quali tempi e costi. Tempi e costi possono rappresentare elementi di rischio di un progetto e quindi vanno gestiti con molta attenzione. Altri parametri concorrono ad allungare la lista dei rischi di un progetto. Essi dipendono essenzialmente dal tipo di progetto e dal contesto in cui il progetto si svolge. Tutti i tipi di rischi, siano essi minacce (rischi negativi) od opportunità (rischi positivi), a differenza dei problemi che sono certi e sono quindi da risolvere, sono delle variabili aleatorie che hanno come attributo una probabilità associata. Quantificare questa probabilità permette una maggiore ESPM- European School of Project Management 25

26 consapevolezza delle criticità che potrebbero emergere in corso d opera. La gestione dei rischi è una attività proattiva, mentre la gestione dei problemi è una attività reattiva. Una volta identificati i rischi e registrati nell'apposito registro, si procede alla loro analisi qualitativa e quindi all'analisi quantitativa. Dopo di che si procede con il piano di risposta ai rischi (cfr. PMBOK - 5 edizione, cap "Project Risk Management"). L'analisi quantitativa dei rischi, ragionando in termini probabilistici, si serve delle distribuzioni di probabilità. Ma quali funzioni di probabilità usare? Dipende dal tipo di rischio, dalla quantità di informazioni e dal livello di accuratezza che vogliamo ottenere. Per stime poco accurate può essere sufficiente la Distribuzione Triangolare, per stime più accurate ci serviamo della Distribuzione Beta oppure della Distribuzione Normale che dà ottimi risultati soprattutto per grandi numeri. In generale le Distribuzioni Triangolari e Beta si usano al livello di working package nella WBS, cioè quando il Project Manager ha informazioni di massima sul progetto, invece si usa la Distribuzione Normale quando il Project Manager ha acceso ad informazioni più dettagliate di progetto. La Distribuzione Beta ha una forma a campana come la Distribuzione Normale ma è asimmetrica. Questa sua caratteristica la rende adatta per stimare tempi e costi. Questo perché il costo o il tempo per completare un'attività o un progetto hanno un limite inferiore conosciuto, mentre il limite superiore può essere anche molto alto. Per esempio, se un'attività richiede dieci giorni per essere completata, essa non può essere completata in meno di zero giorni (limite inferiore), ma, d'altra parte, potrebbe richiedere un numero di giorni maggiore di dieci (limite superiore). Allo stesso modo, se un'attività ha un budget di euro, potrebbe richiedere alla fine un costo superiore a euro, ma non è probabile che sia inferiore al budget prefissato di euro. In conclusione, l identificazione dei rischi e la loro probabilità di verificarsi, quindi la loro analisi attraverso le distribuzioni di probabilità, aiutano il Project Manager a prevenirli e, laddove possibile, a mitigarli se si tratta di minacce, a sfruttarli, se si tratta di opportunità. Esempio di applicazione Utilizzando la stima PERT un Project Manager stima che la durata del suo progetto è di 48 giorni e che la deviazione standard è di 4 giorni. Quali considerazioni egli può fare in riferimento alle probabilità di completamento date dalla deviazione standard? Il progetto ha: il 50% delle probabilità che sia completato in 48 giorni (valore medio) il 68,2% di probabilità che sia completato tra 44 e 52 giorni (1 deviazione standard) il 95,5% di probabilità che sia completato tra 40 e 56 giorni (2 deviazioni stardard) il 99,7% di probabilità che sia completato tra 36 e 60 giorni (3 deviazioni standard). ESPM- European School of Project Management 26

27 Il committente vuole conoscere esattamente quale è la probabilità che il progetto sia completato in 44 giorni. Ora questo valore rappresenta -1 della curva di probabilità (dove il segno "-" indica che ci troviamo a sinistra del valore medio della curva). Dalla Figura 9 possiamo dire che l'area sotto la curva a sinistra del valore medio ( ) è 50% dell'area totale e che l'area tra -1 e è 34,1%. L'area a sinistra di -1 è la probabilità cercata ed è pari a 50% - 34,1% = 15,9%. Quindi la probabilità di completare il progetto in 44 giorni è di 15,9%. 1 minuto di riflessione Stai gestendo un progetto e hai appena disegnato la WBS. Sapendo che la durata delle attività di un progetto è una variabile aleatoria, di quale, tra le distribuzioni esaminate, ti servi per avere una stima del tempo totale di un progetto? Suggerimento: rileggi con attenzione il presente capitolo. Domande di verifica Prendi carta e penna e tieni sottomano la Figura 9. Sulla base dell'esempio di applicazione di questo capitolo, calcola la probabilità di completare il progetto il 52 giorni. Test di comprensione Quale è la percentuale corrispondente a 3 dalla media di una Distribuzione Normale? [A] 68,2% [B] 99.9% [C] 95.5% [D] 99,7% Soluzione Test di comprensione La risposta è D. Vedi Figura 9. ESPM- European School of Project Management 27

28 In conclusione ESPM- European School of Project Management 28

29 8. TECNICHE DI SCHEDULING DEL PROGETTO Nei precedenti capitoli abbiamo visto come alcuni concetti di probabilità e statistica si applicano al Project Management per risolvere problemi di incertezza sui tempi e i costi del progetto. In questo capitolo vedremo come, oltre alla tecnica del PERT (già analizzata nel paragrafo 6.4.2), il metodo del percorso critico (CPM dall'inglese Critical Path Method) e il metodo CCM (dall'inglese Critical Chain Method), possono concorrere insieme per dare delle stime molto precise sulla durata di progetti anche complessi. Prima però bisogna introdurre i "reticoli logici di schedulazione (o programmazione)" su cui si applicano le tecniche suddette. 8.1 Reticolo logico di schedulazione (scheduling network) La rappresentazione grafica dell insieme di attività fra loro correlate e sequenziate prende il nome di reticolo logico di schedulazione temporale (scheduling network". Abbiamo due tipi di reticoli: AOA = Activity On Arch (Attività sugli Archi) --> orientato agli eventi AON = Activity On Node = (Attività sui Nodi o Diagrammi di Precedenza) --> orientato alle attività AOA: Il primo approccio mette nei nodi gli eventi mentre impiega gli archi (collegamenti tra i nodi) per indicare le attività. Evento = il punto in cui una o più attività devono essere completate e una o più attività devono iniziare. Significato: l attività B può iniziare solo quando si verifica l evento 2 il quale segna anche la conclusione dell attività A o, anche, sinteticamente A precede B. AON: I nodi rappresentano le attività mentre gli archi indicano i rapporti di precedenza tra le attività. Significato: l attività C può iniziare solo dopo la fine dell attività B. Quest ultima può essere svolta solo dopo la conclusione dell attività A o, anche, A precede B che precede C. ESPM- European School of Project Management 29

30 Attività iniziale (Start): un attività che non subisce alcun condizionamento all inizio. Le attività che iniziano senza predecessori, sono rappresentate in uscita dal nodo comune Start. Attività finale (Finish): un attività che non condiziona con la sua fine alcuna attività. Attività fittizia (indicata con freccia tratteggiata): attività che non richiede tempo e non necessita di risorse, spesso serve semplicemente a collegare tra loro dei sottoreticoli. Percorso o Cammino (Path): sequenza di tutte le attività-legami da un attività iniziale ad una attività finale. Percorso critico: la sequenza di attività che condiziona in modo determinante il conseguimento degli obiettivi del progetto (normalmente il cammino più lungo in termini di tempo). Un ritardo o anticipo di tempi, un extracosto o un risparmio in un'attività del cammino critico non possono essere compensati da variazioni di segno opposto di altre attività e inevitabilmente comportano una variazione di analoga entità per l'intero progetto. Date due attività A e B, abbiamo quattro tipi di legami che individuano le dipendenze tra di esse. F-S = Finish - Start = B non può iniziare se non è finita A S-S = Start - Start = B non può iniziare se non è iniziata A F-F = Finish - Finish = B non può finire se non è finita A S-F = Start - Finish = B non può finire se non è iniziata A. Ogni legame può avere una durata. Una durata positiva è un ritardo (lag), una durata negativa un anticipo (lead). 8.2 Critical Path Method (CPM) Osserviamo che PERT è un metodo probabilistico che stima la durata delle attività sulla base di probabilità, mentre CPM è un metodo deterministico che assume che le durate delle attività siano fisse. Abbiamo visto che le attività sono variabili aleatorie e la loro probabilità segue una funzione di distribuzione che NON è fissa. Per calcolare il percorso critico usando il metodo CPM, dobbiamo trattare le stime di durata delle attività come se fossero fisse. La tecnica CPM è usata per individuare, nell'ambito di un diagramma a rete (o reticolo logico), la sequenza di attività più critica (massima durata) ai fini della realizzazione di un progetto. Individuato il percorso critico, si tengono sotto stretto controllo le attività che lo compongono, in quanto un ritardo (maggiore durata del previsto) di una qualsiasi di queste attività comporta inevitabilmente un ritardo dell'intero progetto. ESPM- European School of Project Management 30

31 Per ogni attività definiamo quanto segue: Early Start (ES) = primo inizio possibile (al più presto può iniziare) Late Start (LS) = ultimo inizio possibile (al più tardi può iniziare) Duration = durata Early Finish (EF) = prima fine possibile (al più presto può finire) Late Finish (LF) = ultima fine possibile (al più tardi può finire) Activity Name = Nome attività Float (detta anche slack time) = ammontare di tempo di cui può essere ritardata una attività senza causare ritardo rispetto: all'attività successiva (Free Float) -->ES dell'attività successiva - EF dell'attività attuale al progetto totale (Total Float) --> LF - EF (oppure LS - ES). La flessibilità tra il primo momento in cui un'attività PUÒ terminare e il momento più remoto in cui DEVE terminare si chiama float (oppure slack time). Per definizione, se l attività ha flessibilità, o float, associata alla sua data di inizio e data di fine, allora NON è sul percorso critico. Il percorso critico consiste nella sequenza più lunga di attività che deve essere avviata e terminata rigidamente come schedulato. In altre parole, è la sequenza più lunga di attività con ZERO float. Esempio di applicazione Vediamo ora in dettaglio il Critical Path Method lavorando su un esempio e seguendone le fasi. Fase 1: Listiamo le attività, la loro durata e le loro dipendenze. Attività Durata Dipendenza A 7 B 3 C 6 A D 3 B E 3 D,F F 2 B G 3 C H 2 E,G ESPM- European School of Project Management 31

32 Fase 2: Costruiamo il reticolo. FINISH Fase 3: Programmazione in avanti (Forward) START FINISH 1. Si inizia da 0 con le attività A e B perché queste due attività iniziano simultaneamente. 2. Ricordando che "EF = ES+Duration" si procede in avanti per tutte le attività. 3. ES del successore = EF del predecessore. 4. Quando ad una attività si arriva da due predecessori, come EF si prende il predecessore con valore più alto (esempio: attività E e attività H). ESPM- European School of Project Management 32

33 Fase 4: Programmazione all'indietro (Backward). START FINISH 1. Si inizia dall'ultima attività (H nel nostro esempio) e si torna indietro. 2. LF dell'attività precedente (predecessore) = LS dell'attività seguente (successore). 3. Ricordando che "LS = LF-Duration" si procede indietro per tutte le attività. 4. Quando ad una attività si arriva da due attività seguenti, come LS si prende il seguente con valore più basso (esempio: attività B). ESPM- European School of Project Management 33

34 Fase 5: Identificazione del cammino critico. START END Total Float = LF - EF (oppure LS - ES). Le attività sul Cammino Critico, sono le attività con Total Float = 0, quindi nel nostro esempio: A, C, G, H. Ma vediamo perché! Se una qualsiasi attività del Percorso Critico finisce in ritardo, l'intero progetto finirà in ritardo (a meno che non venga recuperato successivamente con qualche iniziativa a favore delle attività sul percorso critico). La fine del progetto corrisponde alla fine delle attività sul percorso critico. Se non c'è un percorso critico, allora c è flessibilità (float) in tutte le sequenze di attività dall'inizio alla fine. Se c'è float ovunque, possiamo ridurlo e completare il progetto in anticipo. Per anticipare la data di ultimazione del progetto, dobbiamo rimuovere parte del float. Ma, quando ad un certo punto scomparirà tutto il float, avremo trovato il punto dove ogni attività sul percorso ha data di inizio e data di fine contigue su tutte le attività. Quando non c è più flessibilità sulla sequenza di attività più lunga, vuol dire che quello è il percorso critico. Per l'esame Nella percorso avanti-indietro, la prima attività inizia dal giorno 0 o dal giorno 1? Formalmente entrambe gli approcci sono corretti, ma portano a risultati diversi. Quale è l'approccio giusto per l'esame di certificazione PMP? Il PMBOK suggerisce di partire dal giorno 1. ESPM- European School of Project Management 34

35 1 minuto di riflessione Perché il percorso critico è importante? Confronta la tua risposta con la spiegazione seguente. Su progetti piccoli non è necessario determinare il percorso. Per progetti grandi e complessi il metodo si può rivelare invece molto utile. Se il progetto tende ad essere in ritardo e vogliamo accelerare l'intera schedulazione (in altre parole cerchiamo di anticipare la fine del progetto) è molto importante identificare le attività sul percorso critico. Se non siamo in grado di accelerare le attività sul percorso critico, la data finale dell'intero progetto resta la stessa. Aggiungendo altre risorse su attività che sono fuori dal percorso critico consente di completare prima quelle attività, senza influenzare la data di ultimazione dell intero progetto. L unica possibilità di influenzare la data di fine progetto sta nell abilità di comprimere il percorso critico. Aggiungiamo che, fortunatamente, molti pacchetti software di schedulazione di project management calcolano il percorso critico. Tutti i progetti medi e grandi hanno bisogno, in qualche modo, di utilizzare un applicativo software per gestire la schedulazione. Il suggerimento è sfruttare questo applicativo software se disponibile per il progetto. Per un piccolo progetto, ci può essere soltanto una sequenza principale di attività facilmente identificabile anche senza un software di schedulazione. Test di comprensione Un'attività ha un ES di 3 giorni, un LS di 13 giorni, un EF di giorni 9 e un LF di giorni 19. L'attività: [A] è sul cammino critico [B] ha un lag [C] sta procedendo bene [D] non è sul cammino critico Soluzione Test di comprensione: La risposta è D. Quando un'attività è sul percorso critico, il Total Float (LF-EF oppure LS-ES) è zero. ESPM- European School of Project Management 35

36 8.3 Critical Chain Method (CCM) Il Critical Chain Method (CCM) o Critical Chain Project Management (CCPM) è una tecnica di schedulazione (E. M. Goldratt), derivata dalla Teoria dei Constraints (rif. "The Goal" E. M. Goldratt), che utilizza l'analisi reticolare come il Critical Path Method, ma, anziché focalizzarsi sulle attività, si focalizza sulla disponibilità delle risorse. Il CCM comporta in genere una schedulazione più lunga ma, sicuramente, raggiungibile. Inoltre, allieva lo stress del Project Manager che, normalmente, deve sempre negoziare con la disponibilità delle risorse! Di solito, quando si chiede ad una risorsa di stimare il tempo necessario a completare una determinata attività di sua competenza, la risorsa aggiunge istintivamente un margine temporale di sicurezza al tempo effettivo (buffer implicito) necessario al completamento dell'attività richiesta. Il Project Manager può quindi decidere di tener conto di questo margine attività per attività. Questo procedimento presenta però dei rischi. In effetti è stato visto che, quanto più è grande il margine di sicurezza temporale dell'attività, tanto più si ha la tendenza a comportarsi nei seguenti modi: Sindrome dello studente. L impegno è crescente man mano che ci si avvicina alle scadenze. Spesso ci si impegna solo quando è prossima la fine di un'attività in quanto, finché non si avverte la pressione psicologica a finire il lavoro, questo non viene ultimato. Ciò è spesso la risultante di una schedulazione eccessivamente generosa. Legge di Parkinson. Le attività tendono ad impegnare tutto il tempo pianificato. Se si assegna ad esempio per una attività che può durare 8 giorni una durata di 10 giorni, difficilmente questa verrà conclusa in 8 giorni e nella migliore delle ipotesi finirà per durarne 10. Multitasking. È illusorio pensare che se le risorse svolgono più compiti in parallelo ciò aumenti la loro efficienza. Infatti saltare da un'attività all'altra introduce delle inefficienze in quanto si tende a procrastinare l'attività più critica a favore di attività meno importanti. Gestione delle attività in anticipo. Seguendo la tecnica del Critical Path Method (CPM) e qualora si venisse a completare un'attività in anticipo, difficilmente si riuscirebbe a capitalizzare il tempo risparmiato se tale attività non appartiene al percorso critico. Infatti gli anticipi sulle attività non critiche con il CPM portano al più ad un rilascio anticipato delle risorse. Ciò deriva dalla tendenza nel CPM ad una pianificazione al più presto delle attività che spesso comporta anche un anticipo nel sostenerne il costo ed una gestione non ottimizzata appunto dei possibili risparmi di tempo. Sovrastima. Le stime di progetto implicano spesso una certa tendenza ad eccedere. Poiché è noto che le stime spesso vengono tagliate e non tutte le informazioni sono note nel momento in cui le stime vengono formulate, si tende a sovrastimare in modo da proteggersi da eventuali ritardi, da sfondamenti di budget e dall incertezza tipica delle fasi di avvio. Questo fatto comporta inoltre un effetto di propagazione ed amplificazione dovuto al numero di stakeholders coinvolti sulle attività che porta ad una sovrastima del costo e della durata del progetto. ESPM- European School of Project Management 36

37 Come risultato, il tempo di sicurezza aggiunto in fase di pianificazione viene perso completamente. Gli strumenti tradizionali utilizzati per la gestione dei progetti: CPM, PERT, Gantt, etc, non sono efficienti nell'utilizzo del margine di sicurezza temporale. La tecnica CCM, invece, fa un uso ottimale del buffer, ovverosia della quantità di tempo di sicurezza che si può aggiungere ad ogni attività per prevenire/evitare lo slittamento in avanti delle tempistiche. In particolare, il CCM si pone i seguenti obiettivi: assicurarsi che il calendario di progetto rifletta l effettiva disponibilità delle risorse e non solo le dipendenze tra attività; non lasciare che le risorse operino su attività che non sono ancora pronte per essere avviate o su cui non ci siano sufficienti informazioni; fare in modo per quanto possibile che le risorse lavorino su una attività alla volta in modo da limitare i cambi continui di contesto ed il multi-tasking. Definizione catena critica (critical chain) Per catena critica si intende la catena più lunga di attività tra loro dipendenti (da non confondere con percorso critico). Si definiscono i seguenti tipi di buffer: Project Buffer (PB): quantità di tempo che si aggiunge tra l'ultima attività e la fine del progetto per tener conto dell'incertezza globale delle tempistiche di progetto. Eventuali ritardi sulla catena più lunga di attività tra loro dipendenti consumerà un po' di tempo di buffer, ma lasceranno la data di completamento invariata e quindi proteggono il progetto. Feeding Buffer (FB): quantità di tempo di buffer che si aggiunge alla fine di una sequenza di attività che non stanno sul cammino critico ma che convergono ad esso. I Feeding Buffer proteggono la catena critica dallo slittamento in avanti delle tempistiche relative alle attività che conducono al buffer. Resource Buffer (RB): si tratta di una segnalazione di risorsa necessaria allo svolgimento dell'attività che viene messa vicino alla catena critica per garantire che la suddetta risorsa sia disponibile. Questa segnalazione può essere impostata qualche giorno prima che la suddetta risorsa sia effettivamente necessaria. Gli elementi caratteristici dell approccio della Critical Chain sono: Le attività vengono schedulate al più tardi diversamente dal CPM in cui vengono schedulate al più presto. La stima della durata delle singole attività è ridotta rispetto a quanto indicato dalle singole risorse del team di progetto in modo da ridurre la contingenza presente in ogni stima. Vengono introdotti dei buffer per proteggere ciascun cammino di progetto (FB) ed il cammino critico di progetto (PB). ESPM- European School of Project Management 37

38 Viene introdotto un buffer per gestire le transizioni di una risorsa da un'attività all altra (RB). La pianificazione è quindi vincolata dalle risorse effettivamente disponibili. In caso di conflitti sulle risorse, le attività subiranno un ritardo/anticipo, ma non verranno eseguite simultaneamente (no multitasking), distribuendo la risorsa sulle varie attività. Questo significa che se due attività fanno uso simultaneo della stessa risorsa, queste saranno poste in sequenza anziché vedere aumentata la loro durata e condivisa la risorsa. Chiaramente l attività più critica avrà un maggior livello di priorità. Ciò naturalmente sposta il problema dalla contingenza inserita nelle stime di ciascuna attività alla determinazione dell ampiezza di ciascun buffer. Infatti non ha senso reintrodurre a livello di percorso ciò che si è tagliato a livello di ciascuna attività che compone il percorso. Figura 11: Metodo CPM e CCPM a confronto Numerose ricerche confermano l efficacia di tale approccio. L effetto finale è quello di un migliore impiego delle risorse e del delivery dei progetti più critici in anticipo rispetto a quanto può succedere usando i metodi tradizionali. Per arrivare ad una determinazione ottimizzata di ciascun buffer è necessario apportare una riduzione di almeno il 50% della durata di ciascuna attività rispetto alle stime tradizionali. Ma esistono approcci più sofisticati che si basano su motori statistici Monte Carlo (rif. paragrafo 8.4) per la definizione dell ampiezza di ciascun buffer. 8.4 Analisi Monte Carlo applicata ai progetti L'analisi Monte Carlo è una tecnica di analisi statistica molto usata in ambito scientifico. In Project Management si può applicare in presenza di stime di progetto molto incerte come per esempio nell analisi dei tempi, dei costi e dei rischi associati ad un progetto e per progetti molto grandi. ESPM- European School of Project Management 38

39 Questa tecnica permette di ridurre il livello di incertezza attraverso una serie discreta di cicli di simulazioni che forniscono, per le variabili interessate, un range di possibili stime e il livello di probabilità che la stima sia accurata (livello di confidenza). Alcuni software di project management contengono direttamente al loro interno un motore statistico Monte Carlo. Diversamente si possono reperire facilmente su web (spesso sono creati da centri di ricerca e messi a disposizione gratuitamente). Il metodo è molto potente e realmente utile quando i progetti hanno centinaia o migliaia di attività o di rischi da analizzare ed il livello di approssimazione cresce esponenzialmente all aumentare dei valori presi in considerazione. In questi casi è praticamente impossibile arrivare a dati affidabili senza svolgere un analisi Monte Carlo. Su progetti più piccoli, seppur tecnicamente fattibile, l analisi porterebbe a valori non molto lontani da quelli stimabili con tecniche più tradizionali. Per capirne di più vediamo un esempio di applicazione. Esempio di applicazione Utilizziamo l'analisi Monte Carlo per determinare la durata complessiva del nostro progetto. Nella fase di pianificazione individuiamo le attività che compongono il progetto e viene stimata la durata di ciascuna attività. Costruiamo quindi il reticolo logico del progetto utilizzando la tecnica del CPM che abbiamo visto nel paragrafo 8.2 e determiniamo la durata complessiva del progetto e la data di completamento. Poiché queste stime non sono certe possiamo procedere con l'analisi Monte Carlo. Supponiamo che il nostro progetto sia composto di tre attività: A, B e C. Assegniamo ad ognuna di esse tre valori di durata: uno ritenuto il più probabile, uno ritenuto ottimistico (in assenza quindi di ostacoli al flusso di lavoro) ed uno pessimistico (solitamente le stime richieste alle risorse coinvolte sono tutte pessimistiche in quanto contengono più tempo per proteggersi da eventuali imprevisti). Il valore ritenuto più probabile non è la media tra quello ottimistico e quello pessimistico, ma è un terzo valore indipendente che può emergere ad esempio dal parere di esperti o dalla documentazione di progetti analoghi svolti precedentemente. Supponiamo che le stime preliminari di durata e probabilità associata a ciascuna durata, forniscano per ciascuna attività le seguenti probabilità: Probabilità di durata per l'attività A: ESPM- European School of Project Management 39

40 3 giorni - 70% di probabilità 2 giorni - 10% di probabilità 4 giorni - 20% di probabilità. Probabilità di durata per l'attività B: 6 giorni - 60% di probabilità 5 giorni - 20% di probabilità 8 giorni - 20% di probabilità. Probabilità di durata per l'attività C: 4 giorni - 80% di probabilità 3 giorni - 5% di probabilità 5 giorni - 15% di probabilità. A questo punto entrano in gioco i cicli di simulazione che prendono in considerazione tutte le possibili combinazioni dei tre valori per le nostre tre attività A, B e C. Ogni ciclo di simulazione produce una risposta (nel nostro caso, durata) per ogni attività. Ad esempio il primo ciclo può restituire come risposta 12 giorni (3+5+4), il secondo ciclo 11 giorni (3+5+3), il terzo ciclo 12 giorni (2+6+4) e così via per il numero di cicli che abbiamo impostato nel software di simulazione. L'Analisi Monte Carlo produce una curva di valori ad ognuno dei quali è associata una probabilità cumulativa che misura l accuratezza della durata così stimata. Nel nostro esempio iterando su 1000 cicli, si ottiene che le durate sono tutte comprese tra il valore ottimistico totale (10 = 2+5+3) ed il valore pessimistico totale (17 = 4+8+5). Se si chiede ai principali stakeholders del progetto di definire la durata del progetto, solitamente propongono un valore che comporti almeno il 90% di probabilità di successo. Per cui ci si posizionerà sulla curva prodotta dal metodo Monte Carlo individuando il valore di durata che ha la probabilità del 90% di essere accurato e quella sarà la data di completamento attesa. 1 minuto di riflessione Sulla base di quanto hai appreso nel presente capitolo relativamente tecniche di schedulazione, identifica un progetto che hai gestito o che stai gestendo (non necessariamente in ambito professionale) e che ha subito (sta subendo) degli slittamenti temporali enormi inizialmente non previsti. Identifica quindi quale di queste tecniche avrebbe potuto (può) aiutarti a contenere lo slittamento temporale. ESPM- European School of Project Management 40

41 Domande di verifica 1. Per un progetto che comporta 20 attività, quale delle tecniche apprese in questo capitolo applicheresti? 2. In quale delle tecniche apprese, le risorse acquistano un ruolo fondamentale? 3. Perché è importante affidarsi a metodi probabilistici per avere delle stime affidabili sulla durata dei progetti? Test di comprensione Un Project Manager, durante l'analisi del reticolo di schedulazione, utilizza la stima della media ponderata per le stima di durata del progetto. Che tipo di analisi matematica sta utilizzando? [A] Critical Path Method [B] PERT [C] Analisi Monte Carlo [D] Critical Chain Method. Soluzione Test di comprensione: La risposta corretta è B. Vedi paragrafo dove viene spiegato come la tecnica PERT sia appunto una media ponderata della variabile aleatoria in analisi. ESPM- European School of Project Management 41

42 In conclusione ESPM- European School of Project Management 42

43 9. DESIGN OF EXPERIMENT (DOE) IN PROJECT MANAGEMENT Il DOE (Design Of Experiment) è un metodo statistico che permette di identificare le variabili (chiamate fattori) di input che hanno maggiore influenza sugli output di progetto durante le fasi di sviluppo o in produzione. I fattori, in quanto variabili, possono essere sia di natura qualitativa che di natura quantitativa. Il DOE aiuta il Project Manager ad ottimizzare i processi/prodotti. Il suo vantaggio principale è che permette di cambiare sistematicamente tutti i fattori importanti associati ad un progetto simultaneamente e il loro setting (livello, ovverosia il valore assunto dal rispettivo fattore), anziché cambiarne una alla volta, come nei metodi tradizionali di sperimentazione. Analizzando i dati ottenuti, il Project Manager può trovare le condizioni ottimali per il prodotto / processo, con un focus sui fattori che influenzano i risultati ed evidenziando l'esistenza di correlazioni e interazioni all'interno dei fattori. Questa analisi è molto utile in termini di qualità dei prodotti realizzati. L originalità del metodo consiste nella variazione programmata e simultanea delle variabili in ingresso (fattori). Affinché la tecnica produca i suoi effetti, è necessario seguire i seguenti otto passaggi: 1. Identificare e definire i problemi. 2. Determinare chiaramente gli obiettivi dell'esperimento. 3. Attività di brainstorming per identificare i fattori critici e i loro livelli (setting). 4. Progettare gli esperimenti. 5. Condurre una serie sequenziale di esperimenti e collezionare i dati. 6. Analizzare e valutare i dati. 7. Interpretare i risultati. 8. Verificare sempre i ottenuti dal complesso degli esperimenti effettuati. È importante eseguire le prove dell'esperimento in maniera tale da distribuire aleatoriamente i fattori di disturbo (es.: eseguire le prove di un esperimento in ordine casuale). Inoltre le misure vanno ripetute in condizioni diverse. Alla fine di una sequenza è facile ritenere che i risultati raggiunti siano accurati. Occorre però non accontentarsi e svolgere ulteriori verifiche anche utilizzando altri strumenti di indagine. In particolare, il DOE si applica nella gestione della qualità di un progetto quando occorre: formulare ipotesi sulle motivazioni retrostanti l andamento di alcune variabili critiche; effettuare alcuni test per verificare tali ipotesi; analizzare i risultati degli esperimenti; individuare le correzioni da applicare; ESPM- European School of Project Management 43

44 effettuare ulteriori esperimenti fino a quando non viene raggiunto un risultato ritenuto affidabile. Il DOE non costituisce solo una modalità per verificare se l implementazione pratica di un nuovo processo/prodotto risponde effettivamente agli obiettivi stabiliti durante la progettazione. Tale metodo può infatti generare valore aggiunto non solo se pensato come conferma di quanto inizialmente previsto, ma anche come potenziale fonte di iniziative di miglioramento non sempre intuibili a priori. Per facilitare la comprensione del metodo, schematizziamo la serie di esperimenti con un rettangolo (vedi Figura 12). Figura 12: Schema Design of Experiment dove: X i sono variabili controllate (fattori), in ingresso Z i sono le variabili di disturbo (noise) non controllate, in ingresso Y è il risultato (risposta, quality function) Attraverso il DOE: si valuta se e come X i influenzano Y quali livelli di X i ottimizzano Y come Z i disperdono (cioè influenzano negativamente) il risultato Y ESPM- European School of Project Management 44

45 se e come X i possono ridurre gli effetti di Z i su Y. Vantaggi del metodo DOE: Riduzione dei tempi di sviluppo di un prodotto. Riduzione dei costi di sviluppo e di produzione. Miglioramento della produttività di un processo. Riduzione della variabilità del prodotto associata ad una maggiore conformità ai valori nominali. In conclusione il DOE è una metodologia efficace per realizzare miglioramenti progressivi nella qualità di un prodotto e nell'efficienza di un processo. Ciò conduce alla diminuzione dei costi di produzione e quindi all'aumento dei margini di profitto. Esempio di applicazione Consideriamo il seguente esempio di applicazione del metodo DOE con un solo fattore: una ditta produttrice di calcestruzzo vuole verificare se l aggiunta di un componente al calcestruzzo (emulsione di polimero) ne modifica la resistenza. Osserviamo che: Vi è un solo fattore in gioco(composizione del calcestruzzo); Il fattore è di tipo qualitativo; Il fattore ha due livelli: polimero assente / polimero presente. Supponiamo che lo sperimentatore abbia avuto a disposizione 10 provini di calcestruzzo normale e 10 di calcestruzzo modificato; Le prove sperimentali hanno fornito i seguenti risultati: Osservazione Valore di resistenza del calcestruzzo modificato (formula 1) - y1 Valore di resistenza del calcestruzzo non modificato (formula 2) - y2 1 16,85 17, ,40 17, ,21 18, ,35 18, ,52 17, ,04 17, ,96 18, ,15 17, ,59 17, ,57 18,15 Visualizziamo i dati dell esperimento in un diagramma a punti. Ciascun punto rappresenta un dato sperimentale. Una primissima analisi ci porta a dire che la presenza del polimero influisce sul calcestruzzo (Media e Mediana superiori per Formula 2 senza polimero) abbassando la resistenza. ESPM- European School of Project Management 45

46 Media Mediana Formula 1 17,064 16,72 Formula 2 17,922 17,93 Tuttavia i risultati di questo piccolo esperimento potrebbero essere dovuti a fattori casuali, occorre quindi non accontentarsi e svolgere ulteriori verifiche come, per esempio aumentare il numero di prove e/o utilizzare altri strumenti di indagine (come ad esempio i test per la verifica delle ipotesi statistiche t di Student). 1 minuto di riflessione Prova a schematizzare, seguendo l'esempio della Figura 12 quali e quanti potrebbero essere i fattori (controllati e non controllati) di input e il loro livello che potrebbero influenzare il risultato di un progetto quale ad esempio l'acquisto della tua nuova automobile. Domande di verifica 1. Cosa si intende per "fattore" nel metodo del DOE? 2. Quali sono le variabili in ingresso nel metodo DOE? Test di comprensione Durante il processo di Pianificazione della Qualità, stai usando il metodo del Design of Experiment per determinare quali siano i fattori che maggiormente influenzano specifiche variabili. Quali tra queste variabili possono essere usate nella tua analisi? [A] Euro [B] Metri [C] Peso [D] kg Soluzione Test di comprensione: La risposta corretta è C. Le altre risposte sono delle unità di misura in cui un fattore può essere espresso. ESPM- European School of Project Management 46

47 In conclusione ESPM- European School of Project Management 47

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