Rudi Mathematici. Rivista fondata nell altro millennio Numero 126 Luglio 2009 Anno Undicesimo

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1 Rud Matemat Rvsta fondata nell altro mllenno Numero 6 Luglo 9 Anno Undesmo

2 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9. Projet Management Problem mau Zar Bungee Jumpers Soluzon e Note [4] Non è un duplato Mezza Blana Quk & Drty Summer Contest Il Seondo d Nagano Quello d Zensoj Queston aperte Pagna Parapernala Matemata Maglone fantasa... 7 Rud Matemat Rvsta fondata nell altro mllenno da Rudy d Alembert (A.d.S., G.C., B.S) rudy.dalembert@rudmatemat.om Potr Rezerov Slverbrams (Do) potr.slverbrams@rudmatemat.om Ale Rddle (Trea) ale.rddle@rudmatemat.om RM5 a dffuso 367 ope e l /7/9 per eravamo n 8 35 pagne. Tutto quanto pubblato dalla rvsta è soggetto al drtto d autore e n base a tale drtto onedamo l permesso d lbera pubblazone e rdstrbuzone alle ondzon ndate alla pagna draut.tml del sto. In partolare, tutto quanto pubblato sulla rvsta è srtto ompendo ogn ragonevole sforzo per dare le nformazon orrette; tuttava queste nformazon non vengono fornte on aluna garanza legale e qund la loro rpubblazone da parte vostra è sotto la vostra responsabltà. La pubblazone delle nformazon da parte vostra osttuse aettazone d questa ondzone. Le fgure mpossbl, soprattutto se non messe n mano alla genaltà d M. C. Eser, dopo un po stufano; a no non pare sa questo l aso per quelle dsegnate da Andreas AARONSON e, pur se sprate a modell orma vst e rvst, sembrano nterpretate da un nuovo punto d vsta. Ma s può dre, punto d vsta, parlando d erte ose?

3 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9. Projet Management Non è abbastanza fare del nostro meglo, a volte oorre fare ò e è neessaro. (Sr Wnston Curll) Per lavora nell ndustra ogggorno le due parole e danno l ttolo a quest artolo sono dventate un tormentone. È pù e ovvo e organzzare un gruppo d persone on dvers nteress e abltà nell ntento d ottenere un preso rsultato sa un attvtà d tutto rspetto e dalla grande mportanza, ma allo stesso tempo pare e non s possa nemmeno pù affrontare una pausa affè senza avere un pano preso e un responsable d progetto. Per quanto sano orma dventat nvs modern artef dell organzzazone delle attvtà, devono aver avuto de moment d gran potere n passato. Resta nfatt mpossble mmagnare la ostruzone d grandos monument ome le pramd o le strade romane, o attedral medeval, senza un oordnamento ed un anma entrale a far sì e ogn pezzo andasse al suo posto. Certo gl artett del passato avevano qualosa e ogg projet manager non possono nemmeno sognare: sav o manodopera ompletamente ontrollable e autortà senza lmt rguardo al progetto. Col passare de mllenn lavorator anno svluppato drtt e pretese, non solo per un trattamento salarale adeguato, ma ane per ottenere una erta dgntà d persone. In realtà l moderno onetto d lavoratore è propro ambato: una volta forse s mmagnava una persona, pù o meno n unforme, e lavorava un ampo o operava n una fabbra, mentre ogg l onetto s è esteso: ollett ban sono forse quello e la maggor parte de lettor d queste note mmagna quando pensa alle attvtà e ogn gorno ontrbusono al salaro d fne mese. Ed è ane per questo e le tene d oordnamento e drezone devono ambare: organzzare la ostruzone d un edfo può redere lo stesso tpo d sforzo d oordnare lo svluppo d un software d gestone, oppure no. La defnzone uffale d projet management è applazone d onosenze, atttudn, tene e strument alle attvtà d un progetto al fne d onsegurne gl obettv; oè s suppone e non esstano dfferenze nelle tene tra progett. Quello e s nota mmedatamente dalla defnzone è l esstenza d atttudn, parola dversa dalle altre: e vorrà dre? Peré non bastano onosenze, tene e strument? Il onetto potrebbe rferrs a ò e s notava al paragrafo preedente, e oè e l moderno PM non a pù potere d vta e morte su partepa al progetto, ma normalmente a solo poter d oordnatore. I mod d pensare devono neessaramente evolvers on le soetà, ma ò non aade po tanto n fretta. In un mondo d lavorator e ndossano tutt una ama e sedono detro ad una srvana, l onetto d apo, o manager, ontnua ad essere assoato al Interessante onetto provenente dal mondo anglosassone degl ann trenta: gl opera delle fabbre ndossavano prevalentemente tute blu (blue-ollar), mentre gl mpegat n uff ame bane, notoramente pù sensbl allo sporo. Seondo l famgerato PMBOK, pubblato dal Projet Management Insttute ( assoazone nternazonale e s pone ome sopo d defnre e proteggere la professonaltà de PM. Nata dall altra parte dell Oeano, è dventata l una assoazone ronosuta per progett governatv negl States. Per motv mpersrutabl la Redazone d una erta Prestgosa Rvsta d Matemata Rreatva è puttosto avvezza alle tene e strument d questa dsplna, ma prma e quale esperto venga a orregger le vrgole v rordamo e tutto quello e è srtto nelle pagne della Prestgosa Rvsta è prodotto da dlettant, perfettamente ons d esserlo. 3

4 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 potere n senso negatvo: una persona e dede quando s possono redere le fere e se s potrà revere un aumento d stpendo o un mgloramento d poszone non può e essere assoata a barzellette e rone. In questo ambto, l projet manager è una fgura anora pù rdola: d solto è un attore e opera tra dvers dpartment, alla rera d onsenso d dvers nteress. Insomma, un rompsatole e passa le sue gornate a erare d onvnere alun ndvdu a onentrare loro sforz verso una determnata drezone, e per questo deve mparare ad essere arsmato, onvnente e soprattutto redble. Henry Laurene Gantt ollegat a ompt assegnat. I manual d projet management esstent n ommero anno orma pare aptol dedat alle rsorse umane, a ome ottenere onsenso, a ome motvare membr del gruppo, a ome reare un team. Quando le prme nozon d gestone d progetto s faevano strada, all nzo del ventesmo seolo, Henry Gantt 3 aveva gà perfettamente aro l fatto e per poter drgere un qualsas progetto oorreva studare tutte le rsorse a dsposzone, d ogn tpo, e sapere ome ontrollarle. Ingegnere meano laureato alla Jon Hopkns Unversty (ovo d numeros prem Nobel), trovò un modo d tabulare la produttvtà d un team d lavorator (deando la famgerata Gantt Cart) e nella sua arrera d onsulente rusì a defnre tene d motvazone moderne ome bonus d produttvtà Adesso le tene d Gantt sono state approfondte e mglorate, ma fondamentalmente pass dell organzzazone d un attvtà sono quell a suo tempo da lu defnt: panfare on ura metod da utlzzare e defnre un pano, atteners al pano, msurare ontnuamente rsultat e onfrontarl on quell prevst, tenere sempre sotto ontrollo le varazon e rs ad esso onness. Ogg però ogn passo è defnto, le metodologe anno tutte un nome e una eklst da segure, metod var, lnee guda e sussd nformat. Un buon esempo è ome gestre una runone: ors e lste sono organzzat per rendere ogn nontro effente e generare un rsultato. In genere punt prnpal sono:. Fssare on presone l obettvo della runone, n modo omprensble, valutable e motvante per tutt;. Fssare una durata ed atteners a quanto onordato; 3. Evtare, on tene e omportament adeguat, l protrars d brus o d samb d battute sottovoe tra partepant; defnre regole d omportamento; 4. Defnre e omunare n antpo l ordne del gorno e non ammettere dvagazon; 5. Illustrare on arezza le onluson della runone; 6. Defnre temp d svolgmento delle azon eventualmente onordate e gl argoment della runone suessva. Quest sono solo pol suggerment, ma s trovano ovunque ors nentrat su ome faltare una runone ed esste la fgura professonale del faltatore, per quanto no non ne abbamo ma onosuto uno. Leggendo le regole qu sopra sembrano perfettamente ragonevol, eppure raramente segute: dopotutto metod d nterazone tra esser uman anno anora tanto a e fare 3 No, non è lu l protagonsta d questo ompleanno: non samo rust a soprre l suo mese d nasta, ma ane se potrebbe essere nato a luglo, non s può dre e sa un matemato. 4

5 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 on l stnto e la ultura d ognuno d no. E anora, se segure queste regole può aumentare l effenza d una runone, non è detto e l gnorarle possa portare al dsastro. Nel luglo del 935, durante un ongresso d matemat a Besseen-Candesse naseva un matemato polefalo dal nome d Nolas Bourbak. Era pù d un anno e tra André e Henr, professor all unverstà d Strasburgo, s dsuteva su ome potesse essere nsegnata l anals dfferenzale ed ntegrale: l testo a dsposzone era superato ed erano ann n u la matemata franese era n delno soprattutto a ausa della Prma Guerra Mondale e del gap generazonale da essa reato. In Frana, nfatt, matemat non Il prmo ongresso Bourbak, Luglo 935. Da snstra a destra, detro: Henr Cartan, René de Possel, Jean Deudonné, André Wel; sedut: Mrlès, Claude Cevalley, Szolem Mandelbrojt godevano d nessun prvlego partolare ed erano andat n guerra ome ogn altro uomo able della loro generazone, mentre n altre nazon, ome la Germana, venvano spesso assegnat a manson spefe spesso evtando nar mortal. C pae mmagnare due am e dsutono l problema anmatamente e dedono e la soluzone mglore sa quella d reare un nuovo testo per l nsegnamento. L vedamo raoglere onsens e affrontare l problema n vare oason on altr matemat e olleg durante le frequent vste a Parg. Qu grupp d ex-student dell Éole Normale Supéreur s nontravano ogn due lunedì al affè Capoulade n Boulevard Sant-Mel vno a gardn Luxembourg. Le dsusson portarono nfne a quel prmo ongresso, alle deson e al regolamento del gruppo. Il team s proponeva un ben preso sopo quello d unfare n un testo tutte le onosenze moderne d anals dfferenzale e ntegrale e regole prese ome l onsenso all unanmtà su tutte le deson, l elmnazone de nom ndvdual dal trattato, l metodo assomato e l obblgo d rtrars a nquant ann : un progetto ambzoso. D suro membr del gruppo avevano un gran senso dell umorsmo: un buon esempo è l modo n u selsero l nome dell autore del loro trattato d anals. Nolas Bourbak fu probablmente proposto da André Wel 4, e da govane studente al suo prmo anno d unverstà era stato nvtato ad una onferenza-serzo, n u uno studente anzano on una barba fnta ed un forte aento stranero aveva spegato numeros fals teorem a u aveva dato l nome d var general franes, l ultmo de qual probablmente l pù fantasoso era l Teorema d Bourbak. Tra l altro Bourbak è l nome d una strpe d ondotter: Carles eroe della guerra d Crmea, e suo padre (greo) eroe nella guerra d ndpendenza ellena nel 87. Selto l ognome desero ane per un nome, Nolas, e la mogle d uno de membr s prestò ome madrna d battesmo. Del resto n seguto gl stess membr ontnuarono a perpetuare la leggenda d Nolas Bourbak ome un personaggo reale: quando l edtore eseutvo d Matematal Revews srsse e Nolas Bourbak era uno pseudonmo utlzzato da un gruppo d matemat, ottenne una lettera nfurata da Nolas stesso, e durante l perodo dadasta la morte d Bourbak fu annunata da quale burlone. 4 D lu abbamo parlato a profusone n RM88, Fgura e sfondo. 5

6 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Indpendentemente dalla vtaltà del matemato, ongress Bourbak, normalmente tenut tre volte all anno per una o due settmane, furono fn dal prmo momento uno spettaolo nredble ed affasnante per unque v partepasse per la prma volta. Deudonné srsse e l asoltatore ne usva sempre on l mpressone d assstere all nontro d pazz. Non s poteva mmagnare ome questa gente, urlando a volte tre o quattro allo stesso tempo potesse ma ottenere qualosa d sensato. Lo stesso Wel 5 onfermò e la struttura anara del onsesso era voluta: In ogn runone del gruppo non è ma stato un presdente. Ognuno parla quando vuole e tutt gl altr anno l drtto d nterromperlo Il arattere anaro d queste dsusson è stato mantenuto durante tutta l esstenza del gruppo Una buona organzzazone avrebbe senza dubbo resto e a ognuno vensse assegnato un argomento o un aptolo, ma l dea non a ma sforato Quello e è da mparare da questa esperenza è e qualsas sforzo organzzatvo avrebbe portato ad un trattato qualsas L dea d un progetto ondotto n questa manera farebbe norrdre ogn buon teoro della gestone de progett: gl stess partepant s esero spesso ome fosse possble e le runon ontnuassero e fossero un suesso. Borel srsse e molto dpese sempre dall mmensa dedzone de suo membr, soprattutto Henr Cartan, e da padre fondatore del progetto, non smse ma d reder. Henr Paul Cartan era nato l otto luglo 6 del 94, fglo d arte, vsto e suo padre Ele era a sua volta uno de professor dell Éole Normale, ollega e amo d Gaston Jula 7. Nel perodo tra le due Guerre aveva stretto amze on matemat tedes, tra u Henr Benke, e dopo la guerra rprese ontatt malgrado la sua famgla fosse stata demata dal onfltto. Tra la Normale, la Sorbona e l Unverstà d Strasburgo e molt ann a Parg furono vagg e nontr ed un ntensa attvtà ome matemato e nzatore d nuov progett, d u Bourbak fu uno de prnpal, ma non l uno. Le sue pubblazon, onferenze, e gl nsegnament a suo student ne anno fatto uno de matemat e pù anno nfluenzato la matemata de nostr gorn: tra suo student non s possono 3 Henr Paul Cartan gnorare Jean-Perre Serre o René Tom 8, e tant altr e non tamo e e anno ontnuato rere adesso fondamental. Ha ottenuto numeros prem ed onor, tra u uno de pù prestgos per un matemato, l Premo Wolf, nel 98. Il lbro e pubblò nel 956 on Samuel Elenberg, sull algebra omologa, è anora utlzzato e venduto, ed è stato l lbro d testo d mezzo seolo d matemat franes e non. 5 Dobbamo molto all artolo d Armand Borel Ventnque ann on Nolas Bourbak, e s trova ntegralmente su ttp:// 6 Ebbene sì, ompleanno multplo questo mese. D un matemato polefalo e d uno de suo papà. 7 D lu parlamo n RM73. 8 Ane lu elebrato da no n RM8. 6

7 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 L uomo Henr Cartan non fnse on la matemata: fu ane mpegnato sul fronte polto, raolse frme per lberare matemat dssdent, omnando l suo mpegno on Leonard Plyus, e proseguendo reando omtat e proteggono senzat dalle perseuzon polte n tutto l mondo. Fu un fervente sostentore del Federalsmo Europeo, fno a anddars ome deputato per la omuntà europea 9. Nel 935 Henr sposava Nole Wess, fgla d un fso franese, dalla quale ebbe 5 fgl: forse è un aso e nello stesso anno nasesse Nolas Bourbak, un progetto destnato a nfluenzare mezzo seolo d matemata. Infatt, ome ben Wel aveva prevsto, non s trattò d un trattato qualsas: malgrado l metodo aoto ed l sstema e obblgava ogn omponente a studare e apre ogn parte del progetto, part de volum degl Éléments de matématque omnarono a venr pubblat a partre dal 939, e a rsuotere quale suesso. Una sera nterruzone o perlomeno un rallentamento fu mposto dallo soppo della Seonda Guerra Mondale, e vde alun membr trasferrs negl Stat Unt, e altr mpegnat su dvers front. Il progetto nzale nludeva se lbr, ognuno d de aptol: I. Teora degl Insem II. Algebra III. Topologa IV. Funzon n una varable reale V. Spaz vettoral topolog VI. Integrazone Alla fne della Seonda Guerra mondale, però, solo alun aptol de prm tre volum erano stat pubblat. Ma le generazon d matemat e presero l nome Nolas Bourbak non nveavano, e soprattutto redevano fermamente nel loro progetto: negl ann nquanta s rese onto e ogn volume aveva resto una dena d ann, ma gà nel 958 prm se volum erano quas omplet, e Grotendek, e nel frattempo era dventato l anma della terza generazone d Bourbak, propose d ontnuare l opera on altr tre volum: VII. Algebra omologa VIII. Topologa elementare IX. Varetà 4 Il prmo volume degl Éléments de matématque Ed l progetto ontnua tutt ora ; ane se negl ultm ann pù a rlento e on meno entusasmo, è una realtà e sta per ompere ottant ann. Nente male per un progetto organzzato ontro ogn regola, on obettv defnt ogn volta n modo dverso e senza nessun projet manager. Henr Cartan, nvee, s è spento l anno sorso, alla veneranda età d entoquattro ann, nel bel mezzo delle Olmpad del 8, testmone d un seolo d matemata e d progett eezonal. 9 S soprono molte altre ose su d lu leggendo un ntervsta e a orma omputo de ann, negl arv dell AMS, ttp:// Ane d lu abbamo gà parlato, n RM86. Vstare la pagna uffale de ollaborator d Nolas Bourbak per redere: ttp:// 7

8 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Certo non avrebbe potuto ottenere un nerologo spassoso ome quello della sua reatura matemata predletta, Nolas: Les famlles Cantor, Hlbert, Noeter; les famlles Cartan, Cevalley, Deudonné, Wel; les famlles Bruat, Dxmer, Samuel, Swartz; les famlles Carter, Grotendek, Malgrange, Serre; les famlles Demazure, Douady, Graud, Verder; les famlles fltrantes à drote et les épmorpsmes strtes, mesdemoselles Adèle et Idèle; ont la douleur de vous fare part du déès de M. Nolas Bourbak, leur père, frère, fls, pett-fls arrère-pett-fls et pett-ousn respetvement peusement déédé le novembre 968, jour annversare de la vtore, en son domle de Nanago. La rématon aura leu le samed 3 novembre 968 à 5 eures au metère des fontons aléatores, métro Markov et Gödel. On se réunra devant le bar «aux produts drets», arrefour des résolutons projetves, anennement plae Koszul. Selon les vœux du défunt, une messe sera élébrée en l églse Notre-Dame des problèmes unversels, par son émnene le Cardnal Alep en présene des représentants de toutes les lasses d équvalene et des orps algébrquement los onsttués. Une mnute de slene sera observée par les élèves des Éoles normales supéreures et des lasses de Cern. Car Deu est le ompatfé d Alexandroff de l unvers, Grotendek IV,. Un matemato del genere, però, non s era ma vsto, e forse non s vedrà ma pù. 8

9 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9. Problem Rudy d Alembert Ale Rddle Potr R. Slverbrams.mau. Zar Pressone bassa, ome tutt gl ann. E vogla d fare nente, ome tutt gl ann. Fortunatamente, abbamo de lettor e vengono n soorso...mau. Sull orgne d questo problema samo mpegnat a mantenere l pù rgoroso segreto; per l momento, lmtamo a dre e ne rparleremo. Revamo e volenter pubblamo, on l permesso dell Autore: Su un tavolo sono state messe n fla 5 monete d var valor, da ent a euro. Ale [No, non le: quella d tutt problem dove dopo ompare almeno un Bruno ] nza a goare prendendos una moneta da uno degl estrem della fla; a questo punto è l turno d Bruno [L avevo detto, o!], e prende ane lu una moneta da uno de due estrem, o dallo stesso da u a preso Ale o dall altro; l goo ontnua osì fno a e tutte le monete sono fnte nelle tase d Ale o Bruno. Dmostrare e Ale a una stratega e le permette d ottenere almeno tant sold quanto Bruno. Pola nota: v rordamo e le soluzon d.mau. a nostr problem sono, pù e soluzon, rsposte (ossa de la soluzone senza un brolo d alolo dopo due frasette e spegano a grand lnee l alolo; fosse per lu, RM avrebbe se pagne, se tramo lungo l ompleanno); vsto e questa volta gl è nbta la rsposta, erate d fare un mnmo d anals, please.. Zar Qu, sull orgne possamo fornre ulteror dettagl: Zar lo a trovato alle selezon per le Olmpad della Matemata, dove s è dvertto molto (quest anno, ane due d no s sono dvertt molto); damo le ose e abbamo da dre n nota, e gl lasamo la parola. 9

10 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Avete suramente presente l problema del ragno e della forma e s devono muovere sulle paret d un paralleleppedo: l ragno parte da un punto della base e deve raggungere un punto antpodale seguendo la strada pù orta. Il punto antpodale è effettvamente l punto pù lontano o ve ne sono altr pù lontan? E qual è l punto pù lontano d tutt? Gusto per non-bbloflomatematorereatv (appena nventata, e ne samo fer!), rportamo l problema orgnale nella formulazone del Gers (pag. 6 nella quarta edzone del 97): In una stanza d forma paralleleppeda l pavmento è un rettangolo d metr 5 per 7 e l altezza è d metr 4. Sulla vertale del mezzo d una delle paret mnor, a 5 entmetr dal sofftto, sta un ragno e a preso d mra una mosa stuata sulla parete opposta, sulla vertale nel mezzo d essa e dstante 5 entmetr dal pavmento. Qual è la va pù breve e possa segure l ragno per raggungere la mosa supposta mmoblzzata dal terrore? 3. Bungee Jumpers Provate e, se p è un numero prmo e le parentes quadre ndano la parte ntera del numero, la dfferenza è dvsble per p. 4. Soluzon e Note n n, p p La soluzone, a Pagna 46 Fare matemata a Luglo è davvero osa da professonst: a parte matemat ver, quell on la emme mausola nel nome e un dottorato d rera nel assetto, solo gl student alle prese on la maturtà e la loro ontroparte, professor e formano le ommsson d esame, dovrebbero rmanere a parlare d numer e funzon nel mese eponmo d Gulo Cesare. Sa ome sa, quale aneddoto matemato dovremmo rusre a metterlo nseme ane questa volta. Per non peare troppo d orgnaltà, potremmo omnare ol parlarv d no. Ale e Potr anno nuovamente goato a quattro anton, sambandos ompt sttuzonal: l ompleanno e avete appena fnto d leggere è stato srtto da mss Rddle, mentre nvee queste leggere farnetazon e usualmente sono l regno d Trea, questa volta sono state messe nseme dalla tastera d Do. In realtà, però, questa notza d lmtato nteresse nterno è solo una msera susa per aennare a quattro anton, e rflarv un altra notza (d nteresse non meno lmtato, e nemmeno meno provnale): l CdR Estvo, e s svolge usualmente a Zurgo a prm d Agosto, Lo abbamo talmente presente e faamo notare due ose:. Non è una forma, è una mosa!. La prma omparsa (n talano) del problema è sul Gers; reentemente abbamo soperto e G. a potentemente sopazzato da Eduard Luas (ane dsegn!), qund forse la prma omparsa fuor dalla lngua talana va attrbuta a lu. Il meno govane d no (Rudy) rorda la seonda omparsa talana del problema sull Angolo de Wutk, ne prmerrm numer d Lnus (ao, Enno!:-), n u l ragno s amava Zradlo e la mosa Wutk. C edamo anora adesso da dove davolo nasano que due nom: se qualuno on le nzal E.P. (o ane altre: non formalzzamo) vuole spegarelo, saremo ben ontent d pubblare.

11 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 questa s terrà a prm d Luglo. E ane se sarà sempre Zurgo la base del CdR, sembra propro e nostr, stavolta, aompagnat da un varegato sottonseme d VAdLdRM aut smla, faano un salto a Luerna. E a Luerna, ome è noto, l Lago de Quattro Canton è davvero. Rudy, per onto suo, s è addrttura lanato n un mento e solo n quale anno partolarmente fortunato gl rese: l Summer Contest. Lo trovate un po pù avant n queste pagne, qund non vale neppure la pena d rovnarv la sorpresa: l grande onorso estvo (on solt prem n palo: entnaa e entnaa d abbonament vtalz gratut ad una prestgosa rvsta d matemata rreatva) rprende un PM d partolare suesso, e non dovrebbe deludere neane lettor pù esgent. E se provassmo a guardare ane solo un po pù lontano del nostro naso? Be, allora dovremmo subto segnalare un pao d osservazon nteressant. Ad esempo, esste n rete una bella mmagne d Paperno e s nterroga nqueto n una nuvola d fumett matemat. È un mmagne molto arna, e no l abbamo a suo tempo usata, naturalmente senza edere nente a nessuno, da brav saeggator del web. La s può vedere ane qu: ttp:// Per fortuna, non tutt sono rmnal ome no: Paolo Polt, e tra gl altr a ane l gran merto d mandare avant l Caffè Senza d Frenze ( s è messo nvee alla rera del legttmo propretaro, e l a trovato! Grande è stata la sua sorpresa nello soprre e l fortunato possessore era talano, matemato e forentno ome lu: s tratta d Maro Barlott, (ttp://marobar.outduks.org/snat/ndex.tml), e a ottenuto l dsegno drettamente dal grande Don Rosa, l pù grande paperografo al mondo, dopo Carl Barks. Il mese sorso, nel ompleanno dedato a Markov, nel desrvere le atene de rater devamo e usualmente sono l rsultato d un mpatto tra orp elest, un po ome rmbalz e sass patt resono a fare sull aqua quando vengono lanat on un angolo molto auto rspetto alla superfe. Ebbene, quanto detto non è vero: è l solto Do e s doumenta, ma lo fa male e ogn tanto de delle grosse soezze. Però RM è grande e potente, e rese a orreggers da sola: n questo aso è stato Paolo Srtol ad aorgers dell errore e a mandar una presazone: Solo una presazone da pedante: le atene d rater d u rportate un bell esempo su questo numero d RM non dervano da un mpatto radente a mo d petra saglata sull aqua. S tratta nvee dell effetto della forza d marea, e a volte rese a sbrolare un oggetto eleste e framment adono tutt n fla. Uno spettaolare aso è dato dalla povera ometa Soemaker-Levy, e dopo essere stata sbrolata n una ventna d framment, s è tuffata su (n) Gove nel 994. Seondo no Paolo sbagla: la presazone e a fatto non è affatto da pedante, è nvee del tutto sarosanta. E non sappamo osa ne pensate vo, ma vedere ane quel suo dubbo su quale possa essere la preposzone pù adatta su (n) Gove mostra n realtà una profonda famlartà ol osmo: su panet gassos non s atterra, puttosto s entra. Po, vsto e è Luglo, v faamo un pese d Aprle. Dove erate problem, d solto, n RM? Ma è ovvo, nel aptolo de problem. Epperò no abbamo un onto aperto on un lettore e vuol mantenere l anonmato, e e ameremo ol l nome n ode d Instanable Fustgatore (o IF, per gl am). È uno de po lettor e a ben apto e n redazone samo tutt altro e brav solutor, e ogn tanto tormenta (o meglo: fustga) mandando le evdenze delle nostre manevolezze o, peggo anora, de problem e dovremmo essere n grado d rsolvere, ma e mmanablmente non rusamo a smuovere d un mllmetro. Quale gorno fa a mandato un problema e, a sentr lu, lo asslla da tempo. No non redamo per nente, e lo assll, ma se ma fosse vero, e se ma quale volenteroso masosta volesse mentars nel tentatvo d rsolverlo, lo raontamo brevemente qu:

12 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 C è un problema e m tormenta da ann. Elettrostata: sfera onduttre ara, ontatto on sfera onduttre sara, se le due sfere sono ugual la ara s rpartse equamente. Cosa apta se ragg sono dvers? Io a suo tempo l avevo rsolto on una sere (e onvergeva abbastanza n fretta se le sfere erano solo vne, ma non a dstanza zero) d are fantasma ottenendo, a spanne, una strana funzone su u non avre sommesso molto. Su lbr, spealmente negl eserz o le sfere sono sempre ugual o sparano avolate del tpo proporzonale alla apatà. Sono arrvato ane a srvere all autore d un manuale e m rspose ome se foss fuor d testa. Nell edzone suessva, però, l eserzo non era pù. Vo e fs sete, potete prourarm una rsposta redble? Fguramo se no, e samo fs, provamo a metter n un tale gneprao. A Fsa nsegnano soprattutto ome non fars fregare da problem, e n questo samo bravssm. Se però qualuno d vo a delle dee, sappate e IF potrebbe apprezzare Infne, damne, è estate! E d estate s va al mare, a mont o a lag. E non vorremmo davvero e v dmentaste e a Caldè d Castelveana, rva lombarda del Lago Maggore, sarà l solto festval matemato Tutto è Numero (quello e no d RM ontnuamo a amare Sagra del Pese Algebro, ma non edete nfo on questo nome, samo solo no a amarla osì ): da govedì 3 a domena 6 luglo: trovate n allenamento la Nazonale Italana d Go Matemat e s allena per Parg, oltre ad una pletora d altre attrazon. Trovate tutto qua: ttp:// E adesso basta on le Note: è tempo delle Soluzon. 4. [4] Poe soluzon, ome era da aspettars. In realtà, l grande Campeador, l nostro Cd, a mandato perfno una soluzone del Quk&Drty, mentre Guseppe Bona a mandato una gran bella semplfazone/generalzzazone del Bungee Jumpers (e non pubblamo per problem so e ten, ma rpromettamo d farlo al pù presto). Per l resto, v rordate problem del numero sorso? Il prmo s nttolava 4.. Non è un duplato... ma n realtà s parla d lottere. Il testo retava pù o meno osì: Trattas d lottera; vo potete omprare de bglett, asuno de qual a un valore d vnta t; varable asuale unformemente dstrbuta tra e Euro; ogn bgletto osta un erto prezzo, an esso ompreso tra e Euro; vo potete omprare, se volete, ane zero bglett; la fregatura è e se non v pae l bgletto e avete omprato, lo gettate va e ne omprate un altro (sempre al osto ). Supponamo e adottate la mglor stratega; quanto v aspettate d vnere, ome funzone d? Supponamo vo non sate ostrett a buttare va bglett preedent, ma quando v stufate d regalare sold all organzzatore della Lottera, possate presentare all nasso un solo bgletto a vostra selta; n questo aso, quanto v aspettate d vnere? Le lottere non paono tanto, m sa. S sono mentat ol problema n po: Alberto R, Mllennum Bug e Gnugnu. Il problema era ndubbamente dffle, e a no pae molto vedere ome nostr mglor solutor resano ad essere obettv e rgorosamente analt ne loro omment. Alberto, ad un erto punto della sua soluzone, srve: È gusto questo rsultato? Non lo so e spero poo. Mentre n un normale problema d matemata s presentano due alternatve: trovo la soluzone o non reso, quando è d mezzo l alolo delle probabltà le alternatve dventano tre poé alla due suddette s aggunge, frequente e deprmente, l aso o trovato la soluzone ma è sbaglata, osa e, notoramente, ndue matemat dlettant a ambare dletto dedandos alla oltvazone delle zune.

13 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 La vertà, a parer nostro, è e le zune sarebbero onorate d avere ert urator, peré sono tra gl ortagg ntellettualmente pù dotat. E Alberto è ertamente troppo modesto. A fargl ompagna possamo mettere Mllennum Bug, e gl fa da ontroanto: Eo le (me) soluzon, ane se non sono troppo soddsfatto d quella del problema Però, a parte questa premessa, po parte all attao: Spesso la parte pù mpegnatva de problem d RM è aprl. Ad esempo n questo non m è aro peré uno debba gettare va l bgletto se non gl pae l valore d vnta: ane se mnma omunque è meglo d nente! La osa pù loga m pare allora nterpretare questa regola nel senso e una volta e s rtra una vnta po non s a pù drtto a goare. e s lana ane n graf: Il aso pù semple d una sola goata s può sematzzare osì: vnta osto valore d vnta Nell potes d una dstrbuzone unforme tra e del valore d vnta del sngolo bgletto a osto fsso, la vnta attesa è data dalla dfferenza tra l area verde e quella rossa, oè tra as n u realzzo un guadagno e quell n u vado n perdta. Notare e lo sema vale ane per l aso n u s vendono bglett a osto > : o non lo esludere a pror ome assurdo, onsderata la quanttà d gente e goa assduamente al lotto, alun vantandos d usare metod matemat basat su rtard de numer. Come preannunato, ane Gnugnu era tra solutor d questo problema. Eo ome a affrontato la questone: La dstrbuzone de prem assoat a bglett non vene modfata dal rsultato d una o pù estrazon, né l esto d queste porta nuove nformazon. Però la onvenenza a goare, la speranza d vnta e la stratega e la massmzza, non possono e essere ndpendent dagl est osservat, a meno e l aptale a dsposzone del goatore s esaursa per l rpeters d estrazon sfavorevol. Se l goatore dspone d un aptale suffente, la stratega dovrà essere del tpo: ontnuo a goare fno a quando non estraggo un bgletto on un premo superore ad un valore dpendente solo dal osto d un bgletto. Il premo atteso è uguale alla meda artmeta degl estrem dell ntervallo onsderato, qund se è >.5 non o aluna onvenenza a goare, se.5 l goo sarà equo e, volendo goare, aqusterò un solo bgletto, affdandom alla sorte. 3

14 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 4 Con <.5, ndando on E l evento estraggo un bgletto on premo maggore d e on m l valor medo d questo premo, avremo:, ) (, ) ( E p E p e. m + L evento E può verfars alla prma estrazone, oppure ad una delle suessve e, dovendo ogn volta aqustare un bgletto avremo vnte mede v(r) (ane negatve) deresent ol rtardo:..., ) (..., (), ) ( m v m v m v. La vnta attesa sarà l valor medo d queste nfnte vnte: ( ) ( ) ( ) ( ) + + ) ( a v v da u, rordando e ( ) <,,,. v a + Volendo rendere massma questa vnta attesa possamo, per qualsas valore d, dervare rspetto ad, ottenendo ( ) v a e s annulla quando ) (. Il segno della dervata, postvo per mnore del valore trovato e negatvo per maggore, garantse e la vnta orrspondente è effettvamente quella massma possble on questa stratega. Sosttuendo l valore d ottenamo: v amax +. Sorpresa! Per ogn valore d, orrspondent valor d e del massmo della vnta attesa ondono. Sarà un aso? Credo poo alle ondenze asual, e, n effett, on quale passaggo algebro s può gustfare l uguaglanza, evtando n questo modo, l uso della dervata. Non reso, però, a trovare una spegazone soddsfaente e preeda l alolo della funzone. Il testo del problema ggna sommessamente, ma l ultmo paragrafo è un apolavoro: sbllno pù e ma e quas provoatoro. M paerebbe rntraare l albero genealogo d Rudy per ontare quante pze v ompaono. Obò! Se la stratega è quella desrtta, m fermo solo quando s verfa E. Dsporre de prem preedent, d mporto ertamente nferore all ultmo, è la quntessenza dell nutltà. Supponamo, allora, d poter ontare su un aptale lmtato: quanto basta per aqustare solo n bglett. In questo aso avremo: ( ) + + n v n n na on la regola nzale e ( ) n n v n n na

15 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 onservando l mglor bgletto estratto. La seonda formulazone a l vantaggo, d fornre, per qualunque valore d n, una dervata e dfferse da quella trovata prma solo per un fattore non negatvo v na ( ) e, sosttuendo on v n n [ + ( n ) n ], la funzone dventa n+ ( ) ( ) n + v n + n+ na a. Nel grafo a snstra sono rportate, dal basso n alto, le urve v na per n,, 4 e la urva lmte v a. Come s vede la onvergenza è molto rapda. Per un onfronto on l problema Fné samo n tempo del mese passato, l grafo a destra rporta le polgonal per n,, 3, 4; normalzzate ponendo ad l premo per l estrazone d una pallna bana e dvdendo per n l valore atteso. Sambando gl ass, s può potzzare, ane questa volta, una onvergenza, desamente pù lenta, verso l medesmo aro d parabola. Le due funzon lmte sarebbero l una l nversa dell altra, e s spegerebbero rpetut ammament del GC. Nell attesa e la omuntà matemata s deda ad nserre l ultma osservazone fra le tene dmostratve aettate, posso solo provare un rsultato, desamente ontrontutvo, relatvo a FSIT.. e non ontradde l uguaglanza delle urve lmte. 5

16 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Dato un qualsas osto <, esste un m tale e, per ogn n > m, almeno una stratega rsulta favorevole al goatore. Come a gustamente osservato Cd nella sua ottma trattazone del aso n 3, la stratega e permette d goare vantaggosamente on pù grand valor d è: ontnuo ad aqustare bgle fno a quando non ne estraggo una attva. Goando on n bgle, s dmostra falmente e la probabltà d estrarre la prma bgla nera all -esmo tentatvo è p ( ), per ogn non maggore d n, + mentre è ( n +) la probabltà d goare on l saetto ontenente solo bgle bane. La vnta attesa on la stratega ndata è allora v na n n n n ( ) + ( ) ( ) + + n + + n + + n +, n ertamente postva se + >. La dvergenza della sere armona assura l verfars dell ultma dsuguaglanza, per ogn n maggore d opportun, magar molto grand, valor d m. Un pao d note a margne sono ndspensabl per aompagnare questa soluzone. La prma è e l Cd, ane le rarssme volte e non rsolve un problema, fnse per essere tato nella sua soluzone: questa è orama quas maga. La seonda è e, se andate a vedere a pagna del numero sorso, troverete due sol onglett ome nde d dffoltà d questo problema. Adesso, rtornate a guardare nelle pagne preedent la soluzone d Gnugnu, e dtem vo se è redble e Do possa aver dato due sol smbol d dffoltà ad una osa del genere. V servono altre prove del fatto e redattor d RM fanno pes d Aprle n ogn perodo dell anno? 4.. Mezza Blana Questo questo a senza dubbo nontrato pù favor del preedente, almeno a gudare dal numero d soluzon gunte n redazone. V rordate osa edeva? Eo qua: L dea è, approssmatvamente, d prendere una d quelle tegle paralleleppedal e pazzarla su un supporto n modo e sa perfettamente blanata; a questo punto, dovendo pesare della farna, la ompattamo sulla snstra, e form un paralleleppedo all nterno della tegla rempendola ompletamente per una erta lungezza. Questo squlbrerà la monolana, ostrngendo a spostare l punto d appoggo sulla snstra della tegla, sno a raggungere un nuovo punto d equlbro funzone della quanttà d farna ontenuta. Fred s è posto un nteressante domanda: Ma senza sapere nente del peso della tegla o della farna, se o ontnuo ad aggungerne e ntanto sposto l fulro, sarà un momento n u l punto d appoggo sarà nel punto pù a snstra possble, per po romnare a spostars verso l entro Ma n quel momento, fn dove arrva la farna nella tegla? È a snstra o a destra del entro tegla? Alberto non poteva essere da meno, e a omnato a eders se fosse possble determnare presamente la poszone u arrva la farna quando l punto d appoggo è l pù a snstra possble. E Fred: E ten ane onto del fatto e sta lavorando on farna ntegrale, qund on delle mpurtà e t fanno varare l peso lungo l panetto n questo aso, ambano le tue rsposte? Alberto: Credo voglano un po d numer: la nostra farna pesa gramm per ogn entmetro d lungezza d tegla, la tegla è lunga entmetr e pesa 3 gramm; adesso, dovremmo poter trovare l punto d appoggo pù a snstra 6

17 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Come devamo, questo problema a ramato molt pù solutor. In arvo abbamo esusson monolane d Cd, BR, Trekker, Mllennum Bug, Gnugnu, Frano57, AndreaB. e Gno P., ma l bello è soprattutto la varetà delle soluzon proposte. Innanztutto, varetà geografa: v rendete onto e una soluzone gunge dal Brasle e una dall Alaska? Oltre a questa, è ane varetà d metodo e d approo, prma anora e d soluzone. Ad esempo, Cd è veloe nel gungere ad un rsultato: Camo x la dstanza n entmetr tra l fulro e l estremtà snstra della tegla. Il 3 peso della parte d tegla a snstra del fulro rsulta uguale a: P x 5x. La poszone del barentro della parte snstra della tegla dsta dal fulro: x d. Il peso della parte d tegla a destra del fulro rsulta uguale a: 3 P ( x) 5 ( x). La poszone del barentro della parte destra della tegla dsta dal fulro: ( x) d. Camo P la varable e nda l peso della farna. Some la farna pesa gramm per entmetro, la lungezza del bloo d farna da pesare rsulta uguale a: P. La poszone del barentro della farna dsta dal fulro: d P P P x x. Per poter stare n equlbro, la monolana dovrà rspettare la seguente ondzone: P d + P d p P d Rsolvendo: x P 5x + P x 5 La taratura rsulta qund uguale a: ( ) ( x x ) ( 4 4x ) 5x + Px P 5 + x P Px 6x + 6 P x ± x + 6x 6 x ± x + 6x 6 Caramente, l fulro s troverà sempre a snstra del entro tegla e le mpurtà della farna nevtablmente auseranno error nella msurazone. La poszone pù a snstra possble del fulro, s a quando la farna raggunge la poszone del fulro; n tal aso l peso della farna rsulterà uguale a: P x. Qund nella formula: P x ± x + 6x 6, dovremo avere: x + 6x 6. Da u s rava: x 3 ± ± 5 entmetr.. E some, aramente l valore d x non può essere negatvo, s ottene: x entmetr. ( ) 7

18 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Il solo e rese a metter d meno è Trekker, ma non sappamo se omologare la sua rsposta: nfatt, pù e rsolvere l problema lu a voluto mostrar la potenza d Wolfram Alpa: Il fulro della monolana è nzalmente al entro della tegla. Mano a mano e s aggunge, a snstra, farna ompattata a paralleleppedo, l fulro s muove a snstra fno a sforare la faa vertale destra del paralleleppedo d farna per po rspostars a destra fno a rtornare al entro quando l paralleleppedo d farna avrà nvaso l ntera tegla. Posto e x sa la lungezza del paralleleppedo d farna quando l fulro F è alla massma snstra, s può srvere l blano de moment rspetto ad F ottenendo: x -x farna x x/ F 3 3+x x (x/) 3(-x) La soluzone d questa equazone d seondo grado la laso trovare a Wolfram Alpa (onsglo d far un gro al lnk ttp://www79.wolframalpa.om/) ottenendo: Ovvamente è la soluzone postva entmetr e nteressa. Trekker segnala po e Wolfram Alpa a fornto ane valor nutrzonal della farna e perfno le propretà fse. Potere della senza, della rete e d Wolfram. All altro lato dell approo rsolutvo s stua BR. In realtà, la sua, pù e una soluzone è una provoazone, vsto e quota la bellezza d otto pagne: ma, ome de lu stesso (fana nlusa): Non potevo restare ndfferente alla provoazone verso gl ngegner >:-(... 8

19 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 Non rusamo a darv onto d tutte le pagne srtte dal nostro vendatvo ngegnere (e, tra l altro, rsuote tutta la soldaretà del treuto ngegnere della redazone), ma almeno alun de suo splendd dsegn dobbamo farvelo vedere: L P S D D. F B P D dx P PS x F S F D P PD Z H α E P D P S y L P AS P AD S P FS F P FD C sarebbe molto da vedere, nelle otto pagne d BR: ma questo è gà un numero volumnoso, spee per essere un numero estvo. C lmtamo allora a mostrare quest dsegn: n fondo, sono osì bell e vene vogla d guardarl a presndere dal loro sgnfato, osa e mostra ome ane l ngegnera, oltre alla matemata, resa ad avvnars all arte. 5. Quk & Drty Dovreste rordare e è l quadrato d, almeno sn quando restamo n base de. In qual altre bas suede la stessa osa? In qualsas base q > : v basta avere smbol e, per poter srvere:. q q q 9

20 Rud Matemat Numero 6 Luglo 9 6. Summer Contest 9 Avevamo promesso e, n aso d ragonevole suesso del PM su sangaku, ve ne avremmo passato qualun altro ome Summer Contest; some no mantenamo le promesse, eolo. In due part, oltretutto. 6. Il Seondo d Nagano Esattamente ome l altra volta omnamo on l orgnale. E, esattamente ome l altra volta, se volete sbrare le soluzon attent e vanno da destra a snstra. Due al prezzo d una! Bene, on alma. La fgura è smmetra. I er O ( r ), ( r ) O 4 ( r 3 ), O 5 ( r 3 ) e 6 ( r 3 ) O, O toano la orda AB del R O r, O ( r ), O 3 ( r ), O 6 r 3 sono tangent nternamente al O R. ero O ( ), mentre ( ) O 4 ( r 3 ), e ( ) medesmo ero ( ) O ( r ), O ( r ), O 3 ( r ), O 4 ( r 3 ), O 5 ( r 3 ) e O 6 ( r 3 ) sono tangent l un l altro, ome mostrato. O 7 ( r 4 ), O 8 ( r 5 ) e O 9 ( r 5 ) sono tangent tra d loro e tangent esternamente a ( ) r ome mostrato. Trovare R n funzone d r. O, O ( ), O ( ) e O ( ) r 3 r 5 r 3