Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica. Corso di Esperimentazioni I

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1 Università deli Studi di Firenze Facoltà di Scienze Mat., Fis. e Nat. Corso di Laurea in Fisica Corso di Esperimentazioni I Prof. R. Falciani Prof. A. Stefanini Appunti su: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI NELLE MISURE INDIRETTE

2 Introduzione La misura di una randezza fisica implica la determinazione di due quantità: la milior stima del valore vero della randezza in esame e la milior stima dell incertezza di misura. La milior stima del valore vero v della randezza misurata è data in enerale dal valore medio dei valori ottenuti in una serie di misure; tale affermazione, basata sostanzialmente sul buon senso, è iustificata dalla statistica matematica quando le nostre misure sono affette solo da errori accidentali. Vediamo ora come ci si deve porre rispetto alla determinazione dell errore di misura. Per raiunere tale scopo si possono individuare due fasi: la stima a priori delle incertezze di misura e la valutazione a posteriori dell entità deli errori che hanno influito sul risultato finale. Non sempre è possibile eseuire le due fasi: discuteremo di seuito i casi in cui l una o l altra, o ambedue, possono essere fatte. 2 Stima a priori delle incertezze di una misura in una misura diretta La stima a priori deve essere fatta sempre prima di eseuire effettivamente la misura in laboratorio; è importante eseuire correttamente questa stima anche per sceliere una strumentazione di sensibilità e di qualità opportuna per poter, alla fine, arantire che il risultato della misura della randezza fisica sia affetto da un errore che assicuri di raiunere la precisione relativa / necessaria a risolvere il problema per il quale la misura è stata proettata. Se poi non si ha la possibilità di sceliere la strumentazione, la stima a priori può risultare importante per capire in anticipo quali sono le fasi della misura più critiche per raiunere il milior risultato finale. Si devono distinuere due casi, quello in cui la misura può essere affetta anche da errori sistematici e quello in cui sono presenti solo errori accidentali. a) errori sistematici Abbiamo ià visto (par..2 di []) che tali errori, una volta fissate le condizioni di misura, modificano il risultato della misura in un solo verso (per eccesso o per difetto). Nell esecuzione di una serie di misure di una randezza fisica dovremo quindi preliminarmente esaminare con estrema cura tutte le modalità d esecuzione della misura stessa per rimuovere le cause di errori sistematici, che altererebbero il risultato della misura stessa. Tra i più comuni esempi di fonti di errori sistematici ricordiamo, ad esempio, l offset di un calibro o di un compasso di Palmer, un catetometro non in bolla, un cannocchiale non aiustato all infinito nello spettroscopio, un effetto di parallasse nella lettura di uno strumento con indice,etc... Succede talvolta di non poter eliminare tali errori sistematici pur avendoli individuati: è questo il caso delle misure con strumenti tarati, per i quali il costruttore fornisce una incertezza nella taratura (accuratezza dello strumento) che si ripercuote in una incertezza sist sul valore della randezza misurata. Per eliminare tale contributo dovremmo essere in condizione di verificare la taratura dello strumento considerato; se ciò non è possibile 2

3 dovremmo tenere conto di tale fonte di errore nella stima a priori dell incertezza di misura, introducendo un termine ± sist in tale valutazione a priori. b) errori casuali Il contributo ali errori casuali dovuto alla apparecchiatura o alla procedura di misura potrà essere variato con una opportuna scelta della strumentazione o della procedura di misura stessa. Esistono poi alcuni processi fisici intrinsecamente casuali (quale, ad es., il decadimento di una sorente radioattiva), la cui trattazione quantitativa dovrà prevedere un contributo all incertezza della misura indipendente dali effetti strumentali e procedurali sopra menzionati. Tale trattazione sarà descritta neli opportuni corsi specialistici; ci occuperemo nel seuito solo deli effetti strumentali e procedurali. La stima a priori dell incertezza sulla misura diretta di una randezza fisica dovrà sempre essere ricavata da una analisi critica del procedimento di misura e delle modalità con cui la misura viene eseuita. Tale incertezza potrà essere talvolta data direttamente dall errore di sensibilità s dello strumento con il quale tale misura è eseuita. Ad esempio, se si misura lo spessore l di una sbarretta con un calibro ventesimale, si ha l = 0.05 mm. Consideriamo invece la misura del periodo di oscillazione di un pendolo, eseuita attraverso un cronometro manuale che ha la sensibilità di 0.0 s. Si eseue la misura facendo partire il cronometro quando il pendolo assume una determinata posizione e arrestando il cronometro quando il pendolo riassume la stessa posizione dopo n periodi. Se t è il tempo misurato, il periodo T è ovviamente dato da T = t/n. In questo caso sarebbe del tutto erroneo assumere come stima a priori dell errore su t la sensibilità del cronometro t = 0 2 s perché, così facendo, si farebbe completamente astrazione dell incertezza insita nelle operazioni manuali consistenti nel far partire e nell arrestare il cronometro. Una stima più raionevole potrebbe essere, in questo caso, t 0.2 s, dovuto essenzialmente al tempo di reazione dello sperimentatore. c) errori sia casuali che sistematici In tal caso dovremo eseuire le due valutazioni riportate nei punti a) e b) e dare una stima dell incertezza tenendo separati i contributi dovuti ali errori sistematici da quelli dovuti ali errori casuali. 3 Stima a priori delle incertezze in una misura indiretta La maior parte delle misure fisiche venono effettuate utilizzando misure indirette e la randezza fisica si ottiene dalla misura di altre randezze fisiche x, y, z..., che venono misurate indipendentemente le une dalle altre. Conoscendo la relazione funzionale = f(x, y, z,...) otterremo la milior stima del valore vero, v, sostituendo nella relazione funzionale i valori misurati x v, y v, z v,..., ovvero v = f(x v, y v, z v,...). Onuna delle randezze x, y, z,... sarà affetta da un incertezza di misura x, y, z,... e dovremo quindi stabilire criteri raionevoli e quantitativamente ben definiti per dedurre l incertezza su v. Ricordando che le misure delle randezze x, y, z,.. devono essere 3

4 indipendenti tra loro possiamo assimilare, limitandoci ad una trattazione al primo ordine (come melio specificato alla fine del pararafo), l incertezza su al differenziale della funzione f, che permette di valutare la variazione del valore di tale funzione in un intorno infinitesimo di un qualunque punto del suo campo di esistenza rispetto alle variazioni infinitesime delle variabili indipendenti della funzione stessa. Per colleare quantitativamente le incertezze delle randezze fisiche indipendenti x, y, z,... alla incertezza lobale sulla randezza fisica dipendente possiamo quindi applicare li aloritmi dell analisi matematica per il calcolo dei differenziali. In questo senso parliamo anche di metodo della propaazione delle incertezze o deli errori. Avremo quindi, nell ipotesi di considerare la funzione = f(x, y, z,...), che il suo differenziale totale d sarà dato da: ( ) ( ) ( ) d = dx + dy + dz +... () x x v,y v,z v,.. y x v,y v,z v,.. z x v,y v,z v,.. dove ( ) indica il valore della derivata parziale della funzione f rispetto alla x x v,y v,z v,.. variabile x nel punto considerato e così via. Sostituiamo ali incrementi infinitesimi dx,dy,dz,... le incertezze di misura x, y, z,..., e teniamo inoltre conto del fatto che i seni delle derivate parziali possono essere sia positivi che neativi. Mettendoci nelle condizioni più sfavorevoli dobbiamo prendere i valori assoluti di tutti termini dell eq.(), cosicché avremo che l incertezza totale stimata sul valore v sarà data da: = x xv,y v,z v,.. x + y xv,y v,z v,.. y + z xv,y v,z v,.. z +... (2) Ovviamente le varie derivate parziali devono essere valutate in corrispondenza dei valori misurati x v, y v, z v,... delle randezze fisiche in ioco. Tuttavia, nel caso in cui il numero di addendi nell eq.(2) è elevato, oppure nel caso in cui si ha a che fare solo con errori accidentali, possiamo tener conto in qualche modo che è altamente improbabile che li errori si presentino in modo tale da avere termini dello stesso seno nell equazione (2). Per questo talvolta si preferisce sostituire l equazione (2) con l equazione ( ) = x x x v,y v,z v 2 ( ) + y y x v,y v,z v (3) C è da notare che le eq. (2) e (3) danno lo stesso risultato quando esiste solo un addendo, oppure quando uno fra i vari addendi è preponderante rispetto ali altri. In oni caso, il valore per che fornisce la eq.(3) è minore di quello fornito dalla eq.(2). Nel caso in cui tutti li addendi diano contributi riorosamente uuali il rapporto fra i due valori di è pari a N, dove N è il numero deli addendi. La stima dell incertezza relativa ε nella misura di v sarà semplicemente: 4

5 ε = v (4) Come ià accennato, in questo pararafo e nei successivi presentiamo una trattazione al primo ordine nelle incertezze. Dovrà quindi essere valutata caso per caso la necessità di tenere conto anche dei termini di ordine superiore. Ad esempio se consideriamo la relazione = senx + y (5) con x v =.57 rad, x = 0.0 rad, y v = e y = 0 4, applicando la trattazione al primo ordine otteniamo = cosx v x + y (6) In tal modo si sono però trascurati i termini al secondo ordine, considerando i quali avremo = cosx v x+ 2 senx v ( x) 2 + y (7) In tal caso i termini del secondo ordine forniscono quindi un contributo non trascurabile alla valutazione di. 4 Valutazione a posteriori deli errori Per quanto detto nel par. 2, non ha senso cercare di determinare la stima a posteriori dell effetto deli errori sistematici sulla misura in esame. Non potremo infatti ricavare alcuna informazione su tali effetti ripetendo più volte la misura. Per li errori sistematici dovremo quindi accontentarci della stima a priori precedentemente descritta, sia per le misure dirette che per quelle indirette. Nel caso di errori accidentali, la valutazione a posteriori deli errori della serie di misure eseuita sarà fatta applicando i risultati della statistica matematica, disciplina sviluppata proprio per la trattazione quantitativa dei fenomeni casuali. Nell ipotesi di aver effettuato una serie di N misure indipendenti i si puo dimostrare che la distribuzione in frequenza dei dati è compatibile con una distribuzione normale (o aussiana) e che il valore più probabile per il valore vero v della randezza misurata è rappresentato dalla media aritmetica delle sinole misure, cioe v = Σ i /N. In questo modo si rende minima la varianza σ 2 deli scarti ε i = i v delle sinole misure, σ 2 = Σ ε 2 i /(N-). La deviazione standard σ = σ 2 = Σ( i v ) 2 /(N ) rappresenterà l errore quadratico medio della serie di misure, per cui il risultato finale delle N misure sarà dato da v ± σ. L errore quadratico medio relativo sarà ovviamente σ/ v. Nell intervallo v σ, v + σ cadranno circa il 67% delle N misure. Nel caso di misure indirette è possibile dimostrare che l errore a posteriori sulla randezza leata alle randezze x, y, z misurate direttamente ed affette esclusivamente da errori 5

6 accidentali è dato dalla eq.(3). Bisona anche ricordare che, perché si possa valutare la media e la deviazione standard dalla serie di misure i della randezza, è necessario disporre di strumenti tali da avere un errore di sensibilità minore, o almeno paraonabile, al valore della standard deviation σ. Molto spesso abbiamo la possibilità di eseuire solo un numero molto limitato di misure (N 0) per cui siamo in condizioni molto lontane dalle ipotesi fondamentali della statistica matematica; pertanto la valutazione a posteriori dell entità dell errore della misura finale puo essere fatta seuendo criteri di buon senso, come quello, ad esempio, di assumere per l errore lo scarto massimo dalla media, ɛ max, della serie di misure a disposizione. (Ovviamente, possono esistere dei casi in cui tutte le N misure danno lo stesso risultato. In tali casi risulterebbe ɛ max = 0 e la stima dell errore deve di nuovo essere effettuata tenendo conto della sensibilità dello strumento come nel caso deli errori a priori.) Volendo determinare l incertezza di misura a posteriori, seuiremo ancora criteri di buon senso applicando una propaazione lineare dell errore, data dalla eq.(2) con i vari x, y, z,... dati dali errori a posteriori. In tutti i casi il confronto tra la stima a priori e la valutazione a posteriori dell incertezza della misura rappresenta, quando tali valori differiscono, un utile strumento per caratterizzare la precisione della misura eseuita. 5 Propaazione dell incertezza relativa Presentiamo in questo pararafo un metodo alternativo per stimare a priori l incertezza relativa ε = v della misura indiretta che andiamo ad eseuire. In molti casi tale metodo è più rapido di quello che risulta dall applicazione dell eq.(2)-(3) e (4). Sappiamo, dall analisi matematica, che df = d(lnf); quindi potremo ottenere immediatamente ε = v f = (ln v ). Questo metodo sarà particolarmente utile quando è espresso tramite una serie di prodotti di espressioni, onuna delle quali contiene solo una randezza fisica indipendente. Infatti se avremo che: = φ(x) θ(y) λ(z)... (8) d = d ln = d ln[φ(x) θ(y) λ(z)...] = d lnφ(x) + d lnθ(y) + d lnλ(z) +... (9) = dφ φ + dθ θ + dλ λ +... = φ ( ) dφ dx + dx θ ( ) dθ dy + dy λ ( ) dλ dz +... dz da cui 6

7 v = φ(x v ) ( ) dφ dx x v x + θ(y v ) ( ) dθ dy y v y + λ(z v ) ( ) dλ dz z v z +... (0) in cui abbiamo usato ancora la convenzione di esprimere v tramite la somma dei valori assoluti dei sinoli termini per metterci sempre nelle condizioni più sfavorevoli. E ovvia la semplicità del calcolo della derivata loaritmica rispetto al calcolo delle derivate parziali e successivo rapporto con v per la valutazione dell incertezza relativa v. Tuttavia la situazione è effettivamente semplice solo quando la v ha l espressione (8), dove tutte le variabili del problema sono indipendenti le une dalle altre. Nel caso contrario occorre porre molta attenzione nell applicazione del metodo della derivata loaritmica, come li esempi che seuono possono illustrare. Se, tuttavia, si hanno dubbi sulla correttezza dell applicazione del metodo della derivata loaritmica in casi particolarmente complessi (dal punto di vista delle relazioni analitiche che leano fra loro le varie randezze), è consiliabile valutare il tramite l eq.(2) e successivamente valutare ε = v. Coerentemente con quanto detto nel par.2, in presenza di soli errori accidentali la eq.(7) sarà sostituita dalla seuente formula: σ v = ( ) 2 φ(x v ) 6 Alcuni casi particolari ( ) 2 ( ) 2 dφ σx dx 2 + x v θ(y v ) ( ) 2 ( ) 2 dθ σy dy 2 + y v λ(z v ) ( ) 2 dλ σz dz z v Neli esempi che seuono ometteremo per semplicità il pedice v nelle relazioni funzionali relative all incertezze di misura.. Supponiamo che le randezze fisiche indipendenti x e y siano leate alla randezza fisica, che dobbiamo misurare, dalla relazione () = x2 + y 2 kx 3 (2) con k =.3800, x = 4.35, x x 2 0 3, y = 0.485, y y 0 4. Il valore di risulta quindi =.34. Valutiamo inizialmente l incertezza tramite il metodo delle derivate parziali: d = x2 + 3y 2 kx 4 dx + 2y dy (3) kx3 7

8 da cui + 3y 2 = x2 kx 4 x + 2y kx 3 y (4) = x y = = (5) Si vede quindi che l incertezza sulla randezza x produce un effetto su di oltre un ordine di randezza superiore rispetto a quello prodotto dall incertezza sulla randezza y. Dividendo per otterremo quindi Applichiamo adesso il metodo della derivata loaritmica: (6) d ( x 2 + y 2 ) = d ln = d ln = d[ln(x 2 + y 2 ) lnk lnx 3 ] = d(x2 + y 2 ) d(x3 ) kx 3 x 2 + y 2 x 3 2xdx + 2ydy = 3dx ( ) ( ) 2x 2 dx 2y 2 dy x 2 + y 2 x = x 2 + y 3 2 x + (7) x 2 + y 2 y Sviluppando e passando ai valori finiti, avremo = + 3y 2 x2 x 2 + y 2 x x + 2y 2 x 2 + y 2 y y. (8) Si noti che la stessa espressione può essere ricavata anche attraverso le eq. (4) e (2). Sostituendo nell eq.(8) i valori numerici, si ritrova ovviamente il risultato dell eq.(6). Ovviamente anche la valutazione numerica dei termini che compaiono nell espressione di ci porta alla conclusione che l effetto su dell incertezza relativa alla randezza x è di circa un ordine di randezza più elevato dell effetto dell incertezza relativa a y, come avevamo ià precedentemente visto dall esame dei valori numerici dei termini contenuti in. Facciamo notare che nell applicazione del metodo della derivata loaritmica si deve procedere con la massima attenzione fino ad ottenere l espressione di d in funzione della somma (alebrica!) dei vari termini, onuno dei quali porta a fattore il differenziale relativo dx, dy,ecc. Successivamente, come ultimo passaio, si passa x y ai valori finiti dell incertezza relativa stimata per prendendo il valore assoluto di ciascuno dei termini. 8

9 2. Supponiamo di considerare adesso la relazione = x 2 sen(x + y) (x y) y (9) con x = 45, y = 60 e x = y = 30. Dopo aver espresso li anoli in radianti (x = rad, y =.0472 rad, x = y = rad), si ottiene = Applichiamo il metodo della derivata loaritmica d = 2dx x d[sen(x + y)] d(x y) + sen(x + y) (x y) d( y) = (20) y = +2 dx dx dy + [cot(x + y)](dx + dy) x (x y) 2 [ = xcot(x + y) + x 2y x y dy y = ] [ dx x + ycot(x + y) + 3y x 2(x y) ] dy y Passando ai valori finiti = x 2y xcot(x + y) + x y x x + 3y x ycot(x + y) + 2(x y) y y (2) Sostituendo i valori numerici otterremo 3. Supponiamo invece di considerare la relazione x y = x y (22) = ab2 c 3 ( k(z t) x ) y (23) con x, y, z, t, a, b, c randezze (positive) misurate direttamente e k costante. Applichiamo il metodo della derivata loaritmica ( invitando lo studente anche a valutare usando le derivate parziali e successivamente trovare ) d = da a + 2db b + 3dc c = da a + 2db b + 3dc c dz (z t) + dt z dz (z t) z + (z t) + d ( ) x y t dt (z t) t ( x y ) = (24) y dx (y x) x + x dy (y x) y Passando ai valori finiti 9

10 = a a + 2 b b + 3 c c + z z t z t z z + t 4. Supponiamo infine di considerare la relazione dove x, y, z sono randezze positive misurate direttamente. Applicando il metodo della derivata loaritmica otteniamo t t + y y x x x + x y y x y (25) = x2 z 2 y 2 z 2 (26) d = d(x2 z 2 ) (x 2 z 2 ) d(y2 z 2 ) (y 2 z 2 ) = (27) = 2x 2 x 2 z 2 dx x 2y2 dy y 2 z 2 y + 2z2 (x 2 y 2 ) (y 2 z 2 )(x 2 z 2 ) dz z Passando ai valori finiti = 2x 2 x 2 z 2 x x + 2y2 y 2 z 2 y y + 2z 2 (x 2 y 2 ) (y 2 z 2 )(x 2 z 2 ) z z (28) I più vivi rinraziamenti vanno al collea prof. E. Landi Del Innocenti per i suerimenti e le critiche costruttive forniti durante la stesura di questi appunti. [] R.Falciani, A.Stefanini: Appunti su Misure in Fisica, equazioni dimensionali e sistemi di unità di misura 0

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